2-1

2. LINEARNA TEORIJA KRILA

2.1 Jednadžba potencijala poremećaja Primijenit ćemo teoriju malih poremećaja što pretpostavlja da je krilo tanko i pod malim napadnim

kutom. U tom slučaju izveli smo u poglavlju X parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala

poremećaja

( ) 0ˆˆˆ

1 2

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

− ∞ zyxMa φφφ

Zato što sad promatramo supersonično strujanje ( 1>Ma ), odmah na početku pomnožit ćemo ovu

jednadžbu sa -1.

( ) 0ˆˆˆ

1 2

2

2

2

2

22 =

∂∂

−∂∂

−∂∂

−∞ zyxMa φφφ

U supersonici sa β označavamo

12 −= ∞Maβ

∞Vα

x

y

z

Slika 2-1

Kad smo izvodili parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala poremećaja postavili smo os x u

pravcu i smjeru brzine iz beskonačnosti. Sad ćemo postavit os y u ravni krila, a os z čini desni

trijedar s osama x i y kao na slici 2-1

2-2

2.1.1 Rubni uvjeti

Na gornjoj površini krila u presjeku krila consty = imamo profil, a na njegovoj gornjoj konturi

mora biti

uu Vx

Vz

ϑϑφφ∞∞ ≈⋅

∂∂

+=∂∂ tan

ˆˆ

i isto tako na donjoj konturi profila

dd Vx

Vz

ϑϑφφ∞∞ ≈⋅

∂∂

+=∂∂ tan

ˆˆ

2.2 Princip superpozicije Potpuno isto kao za ravansko optjecanje profila možemo postaviti princip superpozicije za

prostorno optjecanje krila.

Neka je zadano tanko krilo pod malim napadnim kutom sa simetričnim profilom koje ima u

supersoničnom optjecanju potencijal poremećaja ( )zyx ,,φ̂ . Taj potencijal ispunjava dva uvjeta :

• zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu:

0ˆˆ2

2

2

2

2

22 =

∂∂

−∂∂

−∂∂

zyxφφφβ ,

• zadovoljava rubne uvjete svim točkama na donjoj i gornjoj površini krila:

dd

d Vz

ϑφ

∞=∂∂ ˆ

i uu

u Vz

ϑφ

∞=∂∂ ˆ

.

Promatrajmo dva slučaja optjecanja krila.

Prvo: krilo nulte debljine (profil ploča), istog oblika kao zadano krilo, pod istim napadnim kutom

α , koje ima potencijal poremećaja ( )zyx ,,0̂φ . Taj potencijal mora zadovoljavati parcijalnu

diferencijalnu jednadžbu

0ˆˆ20

2

20

2

20

22 =

∂∂

−∂∂

−∂∂

zyxφφφ

β

i mora zadovoljavati iste rubne uvjete u svim točkama s donje i s gornje strane krila zato što je krilo

nulte debljine pa je kut tangente isti u svim točkama s donje i s gornje strane krila i jednak

napadnom kutu ploče. Odatle zaključujemo da je isti potencijal s donje i s gornje strane krila

ud 00ˆˆ φφ = , zato što zadovoljava istu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu i iste rubne uvjete. Nema

potrebe da uvodimo indeks "d" i "u" .

2-3

αφ

∞−=∂∂

Vz0̂

Drugo: krilo istog oblika i simetričnog profila, bez napadnog kuta. Neka to krilo ima potencijal

poremećaja ( )zyxt ,,φ̂ koji zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu

0ˆˆ2

2

2

2

2

22 =

∂∂

−∂∂

−∂∂

zyxtt φφφ

β

i koji zadovoljava rubne uvjete s donje strane krila

δφ

∞−=∂∂ V

zd

tdˆ

i gornje strane krila

δφ

∞=∂∂ V

zu

tuˆ

Promatrajmo zbroj ta dva potencijala

tφφφ ˆ0̂ +=′

Evidentno je da on zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu jer je

( ) ( ) ( )

0

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

0

2

2

2

2

2

22

0

20

2

20

2

20

22

20

2

20

2

20

22

2

2

2

2

2

22

=

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

−∂∂

=

∂+∂

−∂+∂

−∂+∂

=∂

′∂−

∂′∂

−∂

′∂

4444 34444 214444 34444 21zyxzyx

zyxzyx

ttt

ttt

φφφβ

φφφβ

φφφφφφβφφφβ

Zbrojimo dva granična uvjeta s donje strane

αδφφ

∞∞ −−=∂∂

+∂∂ VV

zz dt

d

dˆ

0̂

i isto tako s gornje strane krila

αδφφ

∞∞ −=∂∂

+∂∂ VV

zzt

u

uˆ

0̂

To znači da su ispunjeni uvjeti

( ) ( )αδφφ

−−=∂+∂

∞V

zd

tdˆ

0̂

( ) ( )αδφφ−=

∂+∂

∞V

zu

tu0ˆˆ

2-4

Prema slici 2-2 imamo vezu između kutova

( )αδϑ +−=d

αδϑ −=u

α uϑ

dδ

uδ

dϑ

Slika 2-2

pa gornje jednadžbe imaju oblik

( )d

d

td Vz

ϑφφ

∞=

∂+∂ ˆ

0̂

( )u

u

tu0 Vz

ϑφφ∞

=∂+∂ ˆˆ

što znači da je zbroj potencijala tφφ ˆ0̂ + rješenje optjecanja zadanog tankog krila sa zadanom

debljinom, sa zadanim profilom i zadanim napadnim kutom.

Na principu superpozicije razložit ćemo problem traženja potencijal poremećaja na dva

slučaja

• krilo zadanog oblika, nulte debljine (profil ravna ploča) pod napadnim kutom i

• krilo istog oblika, zadanog profila bez napadnog kuta

U prvom slučaju promatramo krilo nulte debljine (profil ravna ploča) pod napadnim kutom znamo

da je potencijal isti s donje i s gornje strane krila. Postavljamo izvore na jednom dijelu krila, tj.

područje D je onaj dio krila na kome se nalaze izvori ( )ηξςηξ ,,, w . Područje D trebaju biti sve one

točke iz kojih Machov konus obuhvata točku x, y, z u kojoj trebamo potencijal poremećaja. Gustoću

izvora označavamo sa f i ona je funkcija koordinata na krilu ( )ηξ ,f . Rubni uvjeti koje treba

zadovoljiti potencijal poremećaja, s gornje i donje strane ima isti oblik:

αφ

∞−=∂∂

Vz0̂ ,

2-5

a to znači da je potnecijal poremećaja isti s gornje i donje strane. Indeks "0" treba nas podsjetiti da

se radi o nultoj debljini . Taj rubni uvjet zadovoljavamo izborom funkcije ( )ηξ ,f tako da u svim

točkama površine krila gdje postoji potencijal poremećaja 0φ̂ , on bude zadovoljen. Ovaj slučaj krila

nulte debljine pod malim napadnim kutom zovemo noseće krilo (lifting wing).

U drugom slučaju promatramo tanko krilo bez napadnog kuta. Imamo različite uvjete s

donje i gornje strane krila, pa zbog toga određujemo odvojeno potencijal poremećaja s donje strane

i potencijal poremećaja s gornje strane krila. U slučaju simetričnog profila ta dva potencijala su ista

ali suprotnih znakova. Postavit ćemo izvore gustoće ( )ηξ ,df u točkama ηξ , na području D s donje

strane krila, tako da se točka u kojoj tražimo potencijal poremećaja x, y, z nalazi na donjoj strani

krila i u konusu s vrhom u izvoru ηξ , . Gustoću izvora određujemo iz rubnog uvjeta da potencijal

poremećaja donje strane krila zadovoljava jednadžbu:

dd

d Vz

δφ

∞−=∂∂ ˆ

.

Isti postupak treba ponoviti s gornje strane krila, a to znači postavit ćemo izvore u točkama ηξ ,

intenziteta ( )ηξ ,uf u području D s gornje strane krila, koji treba zadovoljiti rubne uvjete

udu

u Vz

δφ

∞=∂∂ ˆ

.

Taj dio D površine krila moramo izabrati tako da se točka zyx ,, nalazi u unutrašnjosti Machovog

konusa čiji vrh u izvoru, a gustoću ( )ηξ ,uf da zadovoljimo rubni uvjet, a to znači da se područje D

nalazi na površini krila koja je unutar konusa uz struju s vrhom u promatranoj točki.

Ukoliko krilo ima simetričan profil, treba odrediti potencijal samo s jedne strane krila jer je s

druge strane krila isti takav potencijal poremećaja, samo s promijenjenim znakom.

2.3 Rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe Rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe

( ) 0ˆˆˆ

1 2

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

− ∞ zyxMa φφφ

možemo lako naći ako prethodno izvršimo smjene varijabla

1

1

21 1

zzyy

Maxx

==

−= ∞

2-6

Parcijalna diferencijalna jednadžba dobiva oblik

0ˆˆˆ21

2

21

2

21

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zyxφφφ

Ova parcijalna diferencijalna jednadžba ima rješenje:

R1

=φ̂

gdje je

( ) ( ) ( )211

211

211

2 zyxR ςηξ −+−+−=

111 ςηξ ,, su koordinate proizvoljne točke u prostoru 111 zyx ,, . Da gornja funkcija zadovoljava

parcijalnu diferencijalnu jednadžbu uvjerit ćemo se na slijedeći način. Derivacijom

( ) ( ) ( )211

211

211

2 zyxR ςηξ −+−+−=

( )111

x2xRR2 ξ−=

∂∂

Rx

xR 11

1

ξ−=

∂∂ ,

pa je

Rx

R1

xR

R1

R1

xx11

21

211

ξφ −−=

∂∂

−=

∂∂

=∂∂ ˆ

( )111

3 xx

R ξφ−−=

∂∂ ˆ

.

Drugom derivacijom dobivamo

1x

Rxx

RR3 21

23

11

2 −=∂∂

+∂∂⋅

∂∂ φφ ˆˆ

( ) 1R

x3R

xR

xR31x

R 2

211

311112

21

23 −

−=

−−

−−−=

∂∂ ξξξφ̂

Analogno tome bit će i

( ) 1R

y3y

R 2

211

21

23 −

−=

∂∂ ηφ̂

( ) 1R

z3z

R 2

211

21

23 −

−=

∂∂ ςφ̂

Zbrajanjem ove tri jednadžbe je

2-7

( ) ( ) ( ) 1R

z31R

y31R

x3zyx

R 2

211

2

211

2

211

21

2

21

2

21

23 −

−+−

−+−

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂ ςηξφφφ ˆˆˆ

( ) ( ) ( ) 03R

zyx3zyx

R 2

211

211

211

21

2

21

2

21

23 ≡−

−+−+−=

∂∂

+∂∂

+∂∂ ςηξφφφ ˆˆˆ

Ako je R1 rješenje parcijalne diferencijalne jednadžbe, onda je rješenje i

RC , gdje je C neka

konstanta. Tako konačno imamo:

( )( ) ( ) ( )2

112

112

11

111 ,,ˆςηξ

φ−+−+−

==zyx

CRCzyx .

To je potencijal izvora u točki 111 ,, ςηξ i intenziteta C . Kad ovo rješenja transformiramo u prostor

zyx ,, dobivamo jednadžbu za traženi potencijal poremećaja.

( )( ) ( ) ( )[ ]2222

,,ςηβς

φ−+−−−

=zyx

Azyx

gdje su ςηξ ,, koordinate izvora poremećaja, a A je intenzitet izvora. Te veličine, u općem slučaju,

treba izabrati tako da budu zadovoljeni rubni uvjeti.

U rješenju imamo na raspolaganju položaj izvora ςηξ ,, i intenzitet izvora A. Sa ta četiri

uvjeta nemoguće je zadovoljiti rubne uvjete u svim točkama gornje i donje površine krila. Zato smo

prinuđeni promatrati složeni potencijal poremećaja koji čini zbroj (integral) elementarnih

potencijala poremećaja koji se nalaze u točkama ςηξ ,, nekog područja D, a čiji je intenzitet

proporcionalan elementu volumena ςηξ dddf ⋅ . Koeficijent proporcionalnosti ( )ςηξ ,,f

nazivamo gustoća i on je funkcija položaja u kome promatramo elementarni izvor

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫

−+−−−=

D

dddzyx

fzyx ςηξςηβς

ςηξφ2222

,,,,

2.3.1 Machov konus

Prije nego što krenemo zadovoljiti rubne uvjete pogledajmo karakter ovog rješenja. Prvo, vidimo

da potencijal postoji samo ako je u nazivniku veličina pod korijenom pozitivna tj. ako je

( ) ( ) ( )[ ] 02222 >−+−−− ςηβς zyx

a to znači da je

( ) ( )[ ] ( )2

222

βςςη −

<−+−xzy

2-8

ξ

η

ς

x

y

z

µ

y

z

Slika 2-3

Kao što se vidi sa slika 2-3 i 2-4 geometrijski to znači da se točka zyx ,, u kojoj promatramo

potencijal poremećaja treba nalazi u unutrašnjosti tzv. Machovog konusa, koji ima tjeme u točki

izvora ςηξ ,, , čiji je kut u vrhu

βµ 1tan =

a osa konusa je u pravcu neporemećene brzine iz beskonačnosti ∞V kao na slici 2-3 i 2-5

η−y

ς−z( ) ( )22 ςη −+− zy

βξ−x

zyx ,,

Slika 2-4

Uočimo da jednadžba

2-9

( ) ( ) ( )[ ]2222 ςηβξ −+−=− zyx

istodobno predstavlja konus iz točke ςηξ ,, otvora β

µ 1arctan= niz struju, kao i konus istog

otvora iz točke zyx ,, uz struju kao na slici 2-6.

2.3.2 Područje D

Sve točke ςηξ ,, na površini krila (s gornje ili donje strane) u čijem se Machovom konusu nalazi

točka x, y, z čine područje D. To područje predstavlja presjek (gornje ili donje) površine krila i

konusa uz struju koji ima vrh u točki C slika 2-5. Zato što krilo nema debljinu i napadni kut je mali,

izvori koji se nalaze na površini krila imat će koordinatu ς koja je mali broj. Zanemarivanjem tog

malog broja bit će praktično izvori u koordinatnoj ravnini ηξ , tj. bit će od sada 0=ς . Za tako

izabrane izvore poremećaja ( 0=ς ) bit će potencijal u točki prostora

( ) ( )( ) ( )[ ]∫∫

+−−−=

D

ddzyx

fzyx ηξηβς

ηξφ2222

,,,ˆ

Kao što smo već rekli, područje D određeno je presjekom konusa iz točke C uz struju otvora µ i

površine krila kao na slici 2-5.

∞Vα

x

y

z

C

D

ςηξ ,,

zyx ,,

Slika 2-5

Da bi udovoljili rubne uvjete trebamo derivaciju potencijala po z u točki C na slici 2-5

2-10

( )( ) ( )[ ]∫∫

+−−−∂∂

=∂∂

D

ddzyx

fzz

ηξηβς

ηξφ2222

,ˆ

∞Vα

x

y

z

D

C

D

α

Slika 2-6

Varijabla z nali se pod korenom u pod integralnoj funkciji, ali ono što je posebno važno od nje ovisi

i veličina područja D. Kad se mijenja varijabla z mijenja se i područje D.

2.4 Parcijalna derivacija po z potencijala poremećaja

2.4.1 Smjena varijabla

Izvršimo smjenu varijabla. Na mjesto ηξ , uvodimo varijable vu, . Jednadžbe transformacije jesu:

ξ=u

( )( ) 222

arcsinzx

yvβξ

ηβ

−−

−=

Za 2

v π±= dobivamo koordinatnu liniju

( ) ( )ηββξ −=−− yzx 222

( ) ( ) 22222 zyx βηβξ =−−−

2-11

Slika 2-7 Područje D za razne vrijednosti z: 0800600400200z ....= i 1=β

a to je jednadžba hiperbole u koordinatnom sustavu ηξ , s ishodištem u točki projekcije točke C na

ravan krila, presjek konusa i ravnine paralelne s osom konusa koja predstavlja krilo) kao na slici 2-

7, koja za slučaj 0z = (kad je točka C na krilu) prelazi u dva pravca (presjek ravnine i konusa kad

ravnina prolazi kroz vrh konusa).

Za ovako izabrane nove koordinate bit će Jacobijeva determinanta:

( ) ( )[ ]2222

01

),(),(

zyx

vvvvv

uu

DvuD

+−−−

−=

∂∂

=∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=ηβξ

βηηξ

ηξ

ηξηξ

.

Kako je veza između elemenata površine

( )( ) dvdudd

DvuD

=ηξηξ ,,

bit će potencijal poremećaja s novim varijablama

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )∫∫∫∫ −=

+−−−=

DD22220 dvduf1dd

zyxfzyx ηξ

βηξ

ηβς

ηξφ ,,,,ˆ

2-12

2.4.2 Granice integracije

Polazimo od oblika potencijala u točki ( )zyxC ,, pomoću novih koordinata za izvore vu, u

području D :

( ) ( )∫∫−=D

dvdufzyx ηξβ

φ ,1,,

gdje su

ξ=u

( )( ) 222

arcsinzx

yvβξ

ηβ

−−

−=

Potrebno je odrediti granice područja D sa novim varijablama. Vidjeli smo da je područje područje

D ograničeno presjekom konusne površine

( ) ( ) ( )[ ]2222 ςηβξ −+−=− zyx

i jednadžbom krila

0=ς ,

Taj presjek ( ) 0, =ηξf je hiperbola koja ima jednadžbu

( ) ( )[ ]2222 zyx +−=− ηβξ .

Na toj krivulji nova varijabla v ima vrijednost

( )( )

( )( )

1sinarcsinarcsin22222

±=−

−=

−−

−= arci

y

y

zx

yvηβ

ηβ

βξ

ηβ

2π

±=v

S obzirom na jednadžbu ( )ηξ ,v , bit će v pozitivno kad je η>y i obrnuto. To znači da je 2v π=

na gornjoj granici područja D i obrnuto kao na slici 2-9.

2-13

∞Vx

y

z

C

D

2π

−=u

2π

=u 0=ξ

xzβ

x

z

µ

y

Slika 2-8

Granice integracije po drugoj varijabli u lako je odrediti ako je napadni rub bez strijele. U

tom je slučaju jednadžba napadnog ruba 0=ξ , pa je donja granica jednostavno

0=u ,

a gornja

zxu β−= .

To znači da se integracija u području D vrši po varijabli v od 2π do 2π− , a po varijabli u od 0

do zx β− .

( ) ( )∫ ∫− −

−=

zx

0

2

2

dudvf1zyxβ π

π

ηξβ

φ ,,,ˆ ,

2-14

Ako promijenimo granice prve integracije po v dobivamo konačnu formulu za potencijal

poremećaja:

( ) ( )∫ ∫−

−

=

zx

0

2

2

dudvf1zyxβ π

π

ηξβ

φ ,,,ˆ .

Uočimo važnu činjenicu da gornja granica za u ovisi o udaljenosti z točke C od površine krila jer je

zxu β−= .

2.4.2.1 Derivacija potencijala kad je napadni rub bez strijele

Da bi odredili derivaciju potencijala

( ) ( )∫ ∫−

−

∂∂

=∂∂ zx

0

2

2

dudvfz

1zyxz

β π

π

ηξβ

φ ,,,ˆ

uočimo da se varijabla z nalazi se u pod-integralnoj funkciji implicitno preko varijable

( ) ( ) 222 zxvyz βξβ

η −−−=sin

i eksplicitno u gornjoj granici. Primijenit ćemo formulu za derivaciju integrala po parametru od

koga ovise pod integralna funkcija i granice integracije

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

∫∫ ∂∂

+−=

∂∂ λ

λ

λ

λ

λλλ

λλ

λλλ

b

a

b

a

dxxFddaaF

ddbbFdxxF ,,,,

U ovom slučaju: x je u, parametar λ je koordinata z, funkcija pod integralom F je također integral

tj.

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫−−−

−−−==≡

2

2

2222

2

2

2

dvzxvyufdvufdvfuFπ

π

π

π

π

π

βξβ

ηηξλ sin,,,,

Gornja granica je zxb β−≡ , a donja 0≡a . U našem slučaju. Da bi primijenili gornju jednadžbu

za derivaciju odredimo svaki član:

( ) ( ) ( )∫∫−−

−=

−+−−−≡

2

2

2

2

222 dvyzxfdvzzxxvyzxfzbFπ

π

π

π

ββββ

β ,sin,,

βλ

−=ddb

( ) K=zaF ,

2-15

0dda

=λ

( )( )

( )

( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫−

−

−

−

∂∂

∂∂

=

∂∂

=∂∂ zx

0

2

2

zx

0

2

2

b

a

dxdvz

ufdxdvufz

dxxFβ π

π

β π

π

λ

λ

ηηηηλ

λ,,,

Zamjenom u gornju opću jednadžbu bit će u našem slučaju derivacija potencijala poremećaja po z

( )

∂∂

∂∂

+−⋅−=∂∂

∫ ∫∫−

−−

zx

0

2

2

2

2

dudvz

fdvyzxf1z

β π

π

π

π

ηη

βββ

φ ,ˆ

Mi tražimo tu derivaciju potencijala u točki C na površini krila, a na površini krila je 0=z . Na

površini krila je

( )0

2

2sin222

2

=−−

−−=

∂∂

zx

zvz βξ

ββ

η

pa je

( )∫−

=∂∂ 2

2

dvyxfz

π

π

φ ,ˆ

( )yxf , je u odnosu na varijablu v područja D nepromjenljivo pa je konačno

( ) πφ⋅=

∂∂ yxf

z,

ˆ

2.4.3 Derivacija potencija kad napadni rub ima strijelu

U slučaju strijele u lit [4] rezonira se na slijedeći način. Dio između osi x, napadnog ruba krila i

presjekom Machovog konusa s površinom krila označimo sa ∗D .

S obzirom da se ispred krila u supersoničnoj struje ne mogu nalaziti izvori tu je gustoća izvora

0=f . zato je

( )∫∫∗

−=D

dvduf ηξβ

,10

2-16

y

D

x

2π

=u

π2

−=u

∗D0=ξ∗D

∞V

zx β−

Slika 2-9

To omogućuje da se ovaj dio područja ∗D doda bez posljedica području integracije, te umjesto da

se računa integral na području D računamo integral

( ) ( )∫∫∗+

−=DD

dvduf1zyx ηξβ

φ ,,,

koga opet možemo napisati u obliku

( ) ( )∫ ∫− −

−=

zx

0

2

2

dudvf1zyxβ π

π

ηξβ

φ ,,,ˆ

pa je dalje izvođenje isto, što znači da je i u ovom slučaju derivacija potencijala po varijabli z na

površini krila

( )yxfz

,ˆ

⋅=∂∂ πφ

2.5 Machove koordinate Više nas ne zanima potencijal poremećaja u prostoru već samo na površini krila. To znači da je od

sad 0=z . Imajući to u vidi i dobivenu vrijednost za intenzitet poremećaja bit će potencijal

poremećaja na krilu u točki yx, :

2-17

( ) ( )( ) ( )∫∫

−−−=

D222 yx

ddfyxηβς

ηξηξφ ,,ˆ .

S indeksom "0" želimo se podsjetiti da je to slučaj krila nulte debljine pod malim napadnim kutom.

2.5.1 Smjena

U daljem radu lakše ćemo izračunati ovaj integral ako koristimo koordinate duž Machovih pravaca

s tim da nam ishodište bude u točki C, a osi orijentirane uz struju kao na slici 2-11. Jednadžbe koje

povezuju stare koordinate izvora ηξ , s novim ρσ , imaju oblik

( ) ( )( ) ( )yx

yx−−−=−+−=

ηβξηξσηβξηξρ

,,

Kada je const=ρ prve jednadžbe je µβξ

η tan==1

dd , što znači da ove koordinatne linije imaju taj

nagib, a iz druge kad je const=σ nagib koordinatne linije je µβξ

η tan−=−=1

dd kao na slici 2-11.

ξ,x

η,y

2Ma =

00

==

ησ

ρ

σ

2=ρ

1=σ

03y .=

52x .=

Slika 2-10

2-18

Za const=ρ dobivamo jednu familiju Mahovih pravaca, a za const=σ drugu. Prvo pomoću tih

jednadžba transformacija određujemo Jacobijevu determinantu:

( )( ) β

ββ

ησ

ξσ

ηρ

ξρ

ηξσρ 2

11

−=+−−−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

,, .

Element površine u području D s novim varijablama bit će:

( )( ) ηξβηξ

ηξσρσρ dd2dddd −=

∂∂

=,,

Poslije smjene varijabla u integralu za potencijal poremećaja

( ) ( )( ) ( )∫∫

−−−=

D2220

yxddfyx

ηβξ

ηξηξφ ,,ˆ

dobivamo:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ]ρσ

ηβξηβξηβξ⋅=

−+−⋅−−−=−−− yxyxyx 222

Tako je konačno u novim koordinatama potencijal poremećaja u točki C

( ) ( )∫∫=D

0ddfC

ρσσρσρφ ,ˆ

2.5.2 Napadni rub

Jednadžbu napadnog ruba u Mahovim koordinatama dobit ćemo kad u jednadžbu napadnog ruba

0tanΛ=ηξ izvršimo smjenu varijabla. Usvojili smo jednadžbe transformacije:

( )( )yx

yx−−−=−+−=

ηβξσηβξρ

pa su inverzne jednadžbe transfromacije:

2x ρσξ +−=

βσρη

2y −+=

Tako dobivamo jednadžbu napadnog ruba:

02y

2x Λ

−+=

+− tan

βσρρσ

0

0

0

0 yx2Λ+Λ−

++Λ−Λ

=tantan

tantan

ββσ

ββρ

2-19

ili

( ) hk +⋅−= σσρ

gdje su

0

0kΛ+Λ−

=tantan

ββ

0

0yx2hΛ+Λ−

=tantan

ββ

2.5.3 Kraj krila

Jednadžba vrha krila jest:

2b

=η

a ta ista jednadžba u Machovim koordinatama ima oblik:

2b

2y =

−+

βσρ .

2.6 Noseće krilo

2.6.1 Potencijal poremećaja

Promatramo krilo nulte debljine pod malim napadnim kutom. Potencijal poremećaja isti je s gornje i

donje strane krila. Parcijalna derivacija potencija poremećaja nosećeg krila mora zadovoljiti rubni

uvjet:

αφ∞−=

∂∂ V

z

ˆ.

Kako je ta parcijalna derivacija potencijala poremećaja ( )yxf ,⋅π dobivamo nepoznatu gustoću

απ∞−=

Vf

Prvo uočimo da je ta gustoća konstantna, tj ista u svim točkama.

U određivanju područja D najvažniju ulogu ima strijela napadnog ruba. Područje D bit će u

presjeku konusa s vrhom u točki C (u kojoj promatramo potencijal) i površine krila. S obzirom da je

vrh konusa (točka C) na površini krila, taj presjek su Mahovi pravci na površini krila iz točke C.

Oni predstavljaju bočno graniče područje D, a naprijed ga zatvara napadni rub krila i krajevi krila.

Zato veliku ulogu ima strijela napadnog ruba krila. Zbog toga razlikujemo dva tipa napadnog ruba:

• supersonični napadni rub - kad je napadni rub van Machovog konusa, tj. kad je strijela

krila 0Λ < µ−090 (slika 2-10 lijevo) i

2-20

• subsonični napadni rub - kad je napadni rub u Machovom konusu, tj. kad je 0Λ > µ−090

(slika 2.10 desno).

µµ−090

0Λ

x x

µ

µ−090

0Λ

Slika 2-11 Lijevo supersonično krilo 1>m , desno subsonični krilo 1<m

Bitna karakteristika napadnog ruba je njegova soničnost m. Soničnost m napadnog ruba je odnos

( )00

0

tantan90tan

Λ=

Λ−

=βµm

Taj odnos pokazuje u kolikoj mjeri je napadni rub supersoničan. Tako je za 1>m napadni rub

supersoničan slika 2-11 lijevo, a za 1<m subsoničan kao na slici 2-11 desno.

2.6.2 Koeficijent tlaka - supersonični napadni rub

Područje D, slika 2-12, u kojima su raspoređeni izvori s koordinatama σρ , , ograničeno je

pravcima r=ρ , s=σ , gdje su sr, koordinate točke C, i napadnim rubom. Uobičajeno da se

područje integracije ograničeno supersoničnim napadnim rubom i Mahovim pravcima kao na slici

2-11 označava sa D1 .

U području integracije

• za neko određeno σ , varijabla ρ se mijenja od 0 njene vrijednosti u točki C do

vrijednosti na napadnom rubu

hk +⋅−= σρ

• izabrana vrijednost σ može biti od vrijednosti 0 u točki C do vrijednosti u točki A na

napadnom rubu. Kako je u točki A 0A =ρ bit će Aσ iz jednadžbe napadnog ruba

kh

A =σ

2-21

y

D

x

Cµµ

A

B

Aσσ =

hk +⋅−= σρ

∞V

const=σ

σ

ρ

LEρ

Slika 2-12

Dvostruki integral na području D svodi se tako na dvije sukcesivne integracije:

( ) σρρ

σβπαφ

σ

dd12VC

kh

0 00

LE

∫ ∫

= ∞ˆ

Poslije prve integracije dobivamo

hk22d hk

00

LE

+−==+−

∫ σρρρ σ

σ

S tim rezultatom bit će:

( ) ∫−

−= ∞kh

00 dkhVC σ

σσ

βπαφ̂

Ovaj integral se rješava smjenom:

ϑσ 2hk sin= .

Nove granice integracije bit će:

• kad je 0=σ onda je 0=ϑ

2-22

• kad je kh

−=σ bit će 2πϑ =

ρϑϑσ dkh2d cossin=

( )k

h2

Vdk

h2VdkhVC2

0

2kh

00 ⋅==

+−= ∞∞∞ ∫∫ β

αϑϑβπασ

σσ

βπαφ

π

cosˆ

0

0yx2hΛ+Λ−

=tantan

ββ

( )0

00

yxk

VCΛ+Λ−

⋅−= ∞

tantanˆ

βαφ

Kako je

0

0

k1

Λ−Λ+

=tantan

ββ

bit će

( ) ( )00

220 yxVC Λ−Λ+

−= ∞ tantan

ˆβ

αφ

Vidimo da ovaj potencijal postoji samo ako je 0tanΛ>β ili 1>m , a to znači ako je rub

supersoničan. U tom slučaju kad je napadni rub supersoničan ( 1>m ) u području D1 bit će

koeficijent tlaka

( )

Λ−−−=

Λ−⋅

Λ−−

∂∂

−=∂∂

−= ∞

∞

∞

∞∞ 0220

022

0

tan2tan

tan2ˆ2

β

α

β

αφ VV

yxVxVxV

C p

022 tan

2Λ−

=β

αpC

Do istog zaključka možemo doći promatrajući krilo beskonačnog razmaha sa istom

strijelom. Kad napadni rub nema strijelu onda znamo da je koeficijent tlaka :

12

2

22−

−=−

∞∞∞

∞

MaVpp α

ρ

2-23

y

D

x

Λ

Cµµ

∞V

0cosΛ∞V

Slika 2-13

Kad napadni rub ima strijelu onda u području D1 koeficijent tlaka možemo izračunati istom

jednadžbom ali u presjeku okomitom na rub kao na slici 2-12. U tom presjeku, napadni je kut

0cosΛα , a brzina iz beskonačnosti 0cosΛ∞V . S tim vrijednostima bit će koeficijent tlaka u

području D1 određen jednadžbom:

( ) ( ) 1Ma

2

2V

pp2

0

02

0 −Λ

Λ=Λ

−

∞∞∞

∞

coscos

cos

α

ρ

pa je

( ) 022

02

2022

02

0

02

02 tan1

2

cos1

21cos

cos2

1cos

coscos

2

2Λ−−

=

Λ−

=−Λ

Λ=

−Λ

ΛΛ=

−

∞∞

∞∞∞∞

∞

MaMaMaMaVpp ααα

α

ρ

Tako konačno nalazimo istu jednadžbu za koeficijent tlaka u području D1 pod uvjetom da je prednji

rub supersoničan

U slučaju kad napadni rub nema strijelu ( 00 =Λ )

( ) xVyxβα

φ ∞−=,0̂

Koeficijent tlaka na temelju linearizirane jednadžbe:

βα

βαφ 22ˆ2 0 −=−=

∂∂

−= ∞

∞∞

VVxV

C p .

2-24

Toliki je koeficijent tlaka u svim točkama iz kojih Mahove linije isijecaju napadni rub bez strijele

kao što je to slučaj s cijelim krilo na slici 2-14.

µµµµ

∞V

x

y

Slika 2-14

Kao što nam je poznato taj koeficijent tlaka je isti kao na krilu beskonačnog raspona tj. u

slučaju ravanskog optjecanja profila u supersonici. To je logično jer se utjecaj krajeva krila osjeća

samo u Mahovim konusima na kraju krila, a kako krilo ne ulazi u te konuse onda je u svim točkama

koeficijent tlaka isti kao da je krilo beskonačnog raspona.

2.6.3 Koeficijent tlaka - subsonični napadni rub

Kad je napadni rub subsoničan ( 1<m ) onda dio krila u konusu ispred točke C možemo podijeliti na

dva dijela: prvi na krilu D' (zatamnjeno), i drugi ispred krila D" (više zatamnjeno) kao na slici 2-15.

x

y

B

M

A

′

A′

B′

C

C′ E

E′ ρ

σ

Slika 2-15

2-25

U slučaju krila nulte debljine pod napadnim kutom u dijelu D" koji se nalazi u Mahovom konusu,

ali ispred subsoničnog napadnog ruba, postoji apriori potencijal poremećaja, jer se točke nalaze u

Mahovom konusu iz točke M. Evvard (1950) i Krasiljščikova (1951) postavili su princip

određivanja potencijala poremećaja u točki C na dijelu krila D" za taj slučaj [6]. Princip je ilustriran

na slici 2-16. Prema Evvardu i Krasiljščikovoj u točkama na dijelu BEMB potencijal poremećaja

jednak je nuli.

Taj potencijal poremećaja u točkama C' na dijelu BEMB (slika 2-15) ispred krila u

supersoničnoj struji zraka treba biti jednak nuli zato što se efekt s gornje strane i donje strane

poništavaju jer su gustoće na gornjoj i donjoj površini krila jednake ali suprotnih znakova.

( ) ( ) 0ddf21C

CAMEC0 =

⋅=′ ∫∫

′′′′

σρσρσρ

βφ ,ˆ

Rastavimo dvostruki integral na dva integrala

( ) ( ) 0ddg21ddf

21

BMECBBAMB

=⋅

+⋅ ∫∫∫∫

′′′′′′′

σρσρσρ

βσρ

σρσρ

β,,

Poznata je gustoća ( )σρ ,f u prvom integralu na području BAMB ′′′ . Nepoznata gustoća ( )σρ ,g

na drugom dijelu CBMEC ′′′′ mora biti takva da anulira vrijednost prvog integrala. To je točno sve

dok se točka C' nalazi u dijelu BEMB (ispred napadnog ruba, više zatamnjeno na slici 2-15).

Spustimo točku C' u krajnji položaj B (slika 2-16), još uvijek mora biti zadovoljen gornji uvjet, a to

znači da je gustoća ( )σρ ,g u dijelu BEMB takva da se integrali

( ) ( ) 0ddgddf

BEMBBMNB

=⋅

+⋅ ∫∫∫∫ σρ

σρσρσρ

σρσρ ,,

x

y

B

M

A

consts =

constr =C

E

N

Slika 2-16

2-26

međusobno poništavaju. Zato područje integracije za točku C čini samo dio CBNAC (zatamnjeni

dio) na slici 2-16 kad se radi o krilu nulte debljine pod napadnim kutom. Znači kad se u konusu iz

točke C nalazi subsonični napadni rub MB kao na slici 2-16, područje integracije određeno je

Mahovim pravcem iz točke C do presjeka sa napadnim rubom A, zatim supersoničnim dijelom

napadnog ruba AN, Mahovim pravcem NB i konačno opet Machovim pravcem BC kao na slici 2-16.

Drugim riječima područje integracije ne može biti ograničeno subsoničnim napadnim rubom.

Usvajamo da je gustoća izvora na dijelu krila D2 ista kao na dijelu krila D1.

( )πασρ ∞−=

Vf ,

2.6.4 Utjecaj kraja krila na uzgon

Ovaj princip se primjenjuje na bočne rubove krila. Promjenu koeficijenta tlaka pod utjecajem

krajeva krila, možemo odrediti pomoću ovog principa. Npr. trapezno krilo kao na slici 2-16.

Dio krila na kome se osjeća utjecaj kraja D2 na slici 2-17 ispunjen je točkicama, a čisti dio

krila je D1 u kome se ne osjeća utjecaj kraja krila. U tom djelu D1 već smo odredili koeficijent

tlaka. U nekoj točki C u dijelu D2, područje integracije je zatamnjeni dio.

( ) ∫∫∞−=D

0dd

2VC

ρσσρ

πβαφ̂

Granice integracije:

x

y

C

µ

A

B

N

ρ

σ

y2b−

0yx Λ− tan

1D2D

Slika 2-17

2-27

Za neku vrijednost koordinate ρ ( od 0 do vrijednosti u točki B na vrhu krila), koordinata σ se

mijenja od 0 do vrijednosti na prednjem rubu. Vidjeli smo da je jednadžba prednjeg ruba

hk +⋅−= σρ

u kojoj je

1m1mk

0

0

+−

=Λ+Λ−

=tantan

ββ

0

0yx2hΛ+Λ−

=tantan

ββ

pa je vrijednost σ pa prednjem rubu krila za izabrano ρ

kh

LEρσ −

=

Dvostruki integral se svodi na sukcesivne integracije

( ) ∫ ∫∫∫

−=−= ∞∞

B LE

0 0D0 dd1

2Vdd

2Vsr

ρ σ

ρσσ

ρπβα

ρσσρ

πβαφ ,ˆ

U točki B koordinata 0B =σ , pa je

−= y

2b2B βρ .

Prva integracija daje rezultat:

kh22d LE

LE

00

−==∫

ρσσσ σ

σ

U drugoj integraciji treba izračunati:

∫∫ ∫ −−

=

BB LE

00 0

dk

h2dd1 ρρ σ

ρρρρ

σσ

ρ

Ovaj integral rješava se smjenom:

ϑρ 2h sin=

ϑϑϑρ dh2d cossin=

Granice integracije za novu varijablu bit će od 0=ϑ (kad je 0=ρ ) do h

BB

ρϑ arcsin= (kad je

Bρρ = ).

( )BBB

0

0

2

0

kh2

42

2kh4

dkh4d

kh2

B

BB

ϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑρρρ

ϑ

ϑρ

cossin

sin

cos

+=

+=

=−

∫∫

2-28

Tako dobivamo traženi potencijal u točki C

( ) ( )BBB0 hk

1VC ϑϑϑπβαφ cossinˆ +⋅⋅−= ∞

Poslije zamjene vrijednosti

hB

Bρϑ arcsin=

dobivamo jednadžbu za potencijal poremećaja u obliku koji ćemo koristiti dalje.

( )

−⋅+⋅⋅−= ∞

h1

hhkhVC BBB

0ρρρ

πβαφ arcsinˆ

( ) ( )

−+⋅⋅−= ∞

hh

hkhVC BBB

0ρρρ

πβαφ arcsinˆ

Traženi koeficijent tlaka određen je jednadžbom

xV2C 0

p ∂∂

−=∞

φ .

S obzirom da potencijal poremećaja o x -u ovisi posredno preko funkcije ( )xh ( Bρ ne ovisi o -u).

( ) ( )( )

−−−

+−

−⋅+

−+−=

∂∂ ∞

2

BBBB

B

B

B

BBB0

h

hhh2

h1

hh21

hhh

hkV

h

ρρρρ

ρ

ρ

ρρρρ

πβαφ arcsin

ˆ

jer je hh2

1hdh

d BB ρρ−= .

( )( )

( )

−−

−+

−−

−+−=

∂∂ ∞

hh

h2h21

hh

hkV

hBB

BB

B

B

BBBB0 ρρρρ

ρρ

ρρρρπβ

αφ arcsinˆ

hkV

hB0 ρ

πβαφ arcsin

ˆ⋅−=

∂∂ ∞

Kako je

0

2xh

Λ+=

∂∂

tanββ

bit će

h2

kV

xh

hxB

0

00 ρβπ

αφφ arcsintan

ˆˆ⋅

Λ+−=

∂∂⋅

∂∂

=∂∂ ∞

Sa k označili smo odnos:

2-29

0

0kΛ+Λ−

=tantan

ββ

Poslije zamjene

h12V

xB

022

0 ρβπ

αφ arcsintan

ˆ

Λ−⋅−=

∂∂ ∞ .

Poslije zamjene parcijalne derivacije potencijala po x, dobivamo koeficijent tlaka u točki C

⋅

Λ−−⋅−=

∂∂

−= ∞

∞∞ h12V

V2

xV2C B

022

0p

ρβπ

αφ arcsintan

ˆ

h22C B

022p

ρπβ

α arcsintan

⋅Λ−

=

Odnos Machove koordinate i parametra h dan je jednadžbom:

( )0

0

0

0

B

yx

y2b

yx2

y2b2

h Λ−

−Λ+=

Λ+Λ−

−

=tan

tan

tantan β

ββ

βρ

pa je

( )0

00

22p yx

y2b

22CΛ−

−Λ+⋅

Λ−=

tantanarcsin

tanβ

πβα

x

y

C

µ

A

B

Nρ

σ

1D

2D3D

Slika 2-18

2-30

Ako točka C leži na vršnoj tetivi onda je 0y2b

=− , pa je koeficijent tlaka 0C p = . Ako točka C leži

na Machovom pravcu 0=σ , onda je hB =ρ što se vidi na slici 2-18, jer se točka B nalazi na

presjeku napadnog ruba i vršne tetive. Tad je koeficijent tlaka

022

022p

2122CΛ−

=⋅Λ−

=tan

arcsintan β

απβ

α

jednak konstantnoj vrijednosti koeficijenta tlaka u području D1 .

2.6.5 Pravokutno krilo

Promatramo pravokutno krilo kao na slici 2-18 za koje je

µtanc2b >

S2b2

>µtan

2A >β

Podsjetimo se da su jednadžbe transformacije između Machovih koordinata i Deckartovih u

područja izvora:

2x ρσξ +−=

βρση

2y −−=

b

c 1D

ρ

σ

B

A N

2D2

µ

C

γ

µtanc

Slika 2-19

2-31

2.6.5.1 Potencijal poremećaja na D2

Jednadžba napadnog ruba AN u slučaju pravokutnog krila je jednostavna: 0=ξ , ili u Machovim

koordinatama:

2x0 ρσ +−=

x2+−= σρ .

Jednadžba je vršne tetive 2b

=η , a u Machovim koordinatama

βσρ

2y

2b −

+= .

U točki B na vršnoj tetivi 0B =σ , pa je

−= y

2b2B βρ

Za potencijal poremećaja u točki C područje integracije bit će CBNAC. Prvo ćemo integrirati po σ

za fiksno ρ . U toj integraciji σ se mijenja od 0 do prednjeg ruba AN. U drugoj integraciji mijenja

se ρ od 0 do vrijednosti u točki B. Potencijal poremećaja bit će

( ) ∫ ∫

−=

−∞

B

0

x2

00 dd1

2VC

ρ ρ

ρσσ

ρπβαφ̂

Poslije prve integracije dobivamo:

ρσσσ ρρ

−==−

−

∫ x222d x2

0

x2

0

a poslije druge integracija : ( )

∫∫ ∫−

=

BB

00 0

dx22dd1 ρρ ρσ

ρρρρ

σσ

ρ

Ovaj integral rješavamo smjenom:

ϑρ 2x2 sin= .

Granice nove varijable su od 0=ϑ (kad je 0=ρ ) do

x2B

Bρϑ arcsin=

kad je Bρρ = . Diferencijal nove varijable jest:

ϑϑϑρ dx4d cossin= ,

pa je traženi integral

2-32

( )

( )B2

B

0

0 0

22

2

0 0

1x4

42

2x8

dx8dx4x2

x2x22dd1

B

B BB

ϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑϑϑϑϑϑρ

σσ

ρϑ

ϑ ϑρ ρσ

sinsin

sin

coscossinsin

sin

−⋅+=

+=

=−

=

∫ ∫∫ ∫

S tim rezultatom integracije potencijal poremećaja ima oblik

( ) ∫ ∫

−=

−∞

B

0

x2

00 dd1

2VC

ρ ρ

ρσσ

ρπβαφ̂

( )( ) ( )B

2B

0 00 1x2Vdd1

2VC

B

ϑϑϑπβαρ

σσ

ρπβαφ

ρ ρσ

sinsinˆ −⋅+−=

−= ∞∞ ∫ ∫

Vratimo varijablu ρ .

( )

( )

+−=

−⋅+=

∫ ∫

x2x2x22

x21

x2x2x4dd1

BBB

BBB

0 0

B

ρρρ

ρρρρσσ

ρ

ρ ρσ

arcsin

arcsin

pa je konačno potencijal poremećaja

( )

+−−= ∞

x2x21x2VC B

BB0

ρρ

ρπβαφ arcsinˆ

gdje je

−= y

2b2B βρ

Važno je uočiti da veličina Bρ nije funkcija x-a. Drugim riječima potencijal poremećaja ovisi o x-u

eksplicitno.

2.6.5.2 Koeficijent tlaka na D2

Da bi odredili traženi koeficijent tlaka u točki C, potrebna nam je derivacija potencijala po x-u, jer

je koeficijent tlaka određen jednadžbom:

xV2C 0

p ∂∂

−=∞

φ

gdje je

2-33

( )

+−−= ∞

x2x2x2VC B2

BB0ρρρ

πβαφ arcsinˆ

Derivacijom ovog potencijala poremećaja dobivamo

( )

−++

−−=

∂∂ ∞

x2dxd

x21

1x2x2

2x22

2Vx

B

B

B

BB

B0 ρρ

ρρρ

ρπβαφ arcsin

ˆ

Lakše ćemo naći derivaciju posredne funkcije preko logaritma

( )x2

xf Bρ=

( ) ( )x221xf B lnlnlnln −−= ρ

x2dx

fdf

−=

( )x2x2

1xfx2

1dxdf Bρ−== .

Pa je tražena derivacija potencijal poremećaj

x22V

x2x21

x21

1x2x2

21x2

1Vx

BB

B

B

B

0 ρπβ

αρρ

ρ

ρπβαφ arcsinarcsin

ˆ∞∞ −=

−−+

−−=

∂∂

zato što se prvi i treći član u zagradi krate. Tako će biti

x222

x22V

V2

xV2C BB0

pρ

πβαρ

πβαφ arcsinarcsin

ˆ⋅=

⋅−−=

∂∂

−= ∞

∞∞

Sa slike 2_20 vidimo da je odnos

µγ

µ

βρ

tantan

tan=

−=

−

=1

x

y2b

x2

y2b2

x2B

Zato jednadžba za koeficijent tlaka u točki C područja 2D može biti

µγ

πβα

tantanarcsin22Cp ⋅=

2-34

y

x

C

γ

y2b−

x µ

µtanx

−− y

2bx

β

Slika 2-20

Prvo što konstatiramo da je koeficijent tlaka u točki C ovisan samo o kutu γ , što znači da on

konstantan duž pravaca iz napadne točke vršne tetive. Za točku C na vršnoj tetivi bit će 0=γ pa je

duž vršne tetive 0C p = , a duž Machovog pravca iz napadne točke vršne tetive µγ = , pa je u tim

točkama

βα

πβα 2122Cp =⋅= arcsin

isti kao u točkama područja D1 .

2.6.5.3 Koeficijent normalne sile i njeno hvatište

−=

−=−=

⋅−=

βββµ

A11S

cbc1ScS

2cc2bcS

22

1tan

( )( ) 3

cc2b2c4b3

3c

c2bbc2b2bx1 µ

µµµ

tantan

tantan

−−

=−+−+

= → 2A24A3

31

c2b2c4b3

31

cx1

−−

=−−

=ββ

µµ

tantan

( )γ

χγ 2

2

2d

2ccdc

21dS

costan ⋅=⋅=

2-35

c32x2 = →

32

cx2 =

b

c

µ

γγd

1D

2D2

Slika 2-21

+= ∫∫∫∫∞∞

21 D22p

D11p

2

dSC2dSC22VN ρ

+= ∫∫∫∫∞∞

21 D22p2

D11p1

2

0 dSC2xdSC2x2VM ρ

βα2C 1p ±=

µγ

πβα

tantanarcsin22C 2p ⋅±=

⋅+= ∫∫∫∫∞∞

21 D2

D1

2

dS2222dS222VN

µγ

πβα

βαρ

tantanarcsin

⋅+= ∫∫∫∫∞∞

21 D22

D11

2

0 dS222x2dS22x2VM

µγ

πβα

βαρ

tantanarcsin

+= ∫∞∞

µ

γγ

µγ

πβαρ

02

2

1

2 d2c22S4

2VN

costantanarcsin

2-36

+= ∫∞∞

µ

γγ

µγ

πβαρ

02

2

211

2

0d

2c2x2Sx4

2VM

costantanarcsin

+== ∫

∞∞

µ

γγ

µγ

πβα

ρ 02

21

2Nd

cbc2

SS4

S2VNC

costantanarcsin

+== ∫

∞∞

µ

γγ

µγ

πβα

ρ 02

22

1120m

dcx

cbc2

SS

cx4

cS2VNC

costantanarcsin

+−= ∫

µ

γγ

µγ

πββα

02N

dA

2A114C

costantanarcsin

+

−−

−= ∫

µ

γγ

µγ

πββ

ββα

020m

d32

A2

2A24A3

31

A114C

costantanarcsin

Integral rješavamo uvođenjem nove varijable ϑ na mjesto γ smjenom:

ϑγβ =tanarcsin

Donja granica integracije kad je 0=γ bit će 0=ϑ , a gornja µϑ bit će određena jednadžbom:

µϑµβ =tanarcsin

2πϑµ =

Deriviranjem jednadžbe smjene:

ϑγβ 2sintan =

ϑϑϑγ

γβ d2d2 cossin

cos=

ϑϑβγ

γ d21d2 sin

cos=

Zamjenom ovih vrijednosti u integral dobivamo:

( )βπϑϑϑ

βϑϑϑ

βγγ

µγ ππµ

44212

21d21d 2

0

22

002 =+−== ∫∫

sinsinsincostan

tanarcsin

2-37

−=

⋅+−=

ββα

βπ

πββα

A1

2114

4A2

A114CN

−=

+

−−

−=

ββα

βπ

πββ

ββα

A1

23

34

432

A2

2A24A3

31

A114C 0m

1A22A3

31

A1

2114

A1

23

34

CC

Cx

N

0mC

−−

=

−

−

==ββ

ββα

ββα

Usporedimo ovaj teoretski rezultat s mjerenjima. Na dijagramu slika 2-22 prikazana je krivulja

odnosa gradijenta koeficijenta i vitkosti krila u funkciji βA . Po linearnoj teoriji krila prema

dobivenoj jednadžbi za koeficijent normalne sile, taj odnos je:

−=

ββα

A1

211

A4

ACN

Ne zaboravimo da ovaj rezultat važi samo za 2A >β .

Slika 2-22

2-38

Slika 2-23

2.7 Problem otpora Problem otpora je optjecanje tankog krila bez napadnog kuta. U tom slučaju iz rubnog uvjeta s

gornje ili donje strane krila dobivamo jednadžbu za gustoću:

( ) δπ ∞=⋅ Vyxf , .

gdje je δ nagib tangente (na gornjoj ili donjoj površini krila) u odnosu na tetivu, jer je tetiva u

pravcu brzine s obzirom da nema napadnog kuta. Zato što δ nije konstanta, ni gustoća nije

konstantna. Pri razmatranju problema otpora obično se promatra tanko krilo sa simetričnim

profilom. Kako je ( )yx,δ poznata funkcija geometrije krila, ova jednadžba nam određuje raspored

gustoće izvora na jednoj strani površine krila. S obzirom da je funkcija ( )yx,δ poznata u

Deckartovim koordinatama polazimo od jednadžbe za potencijal poremećaja na krilu

( ) ( )( ) ( )∫∫

−−−=

D

ddyx

fyx ηξηβς

ηξφ222

,,ˆ

S dobivenom gustoćom bit će taj potencijal poremećaja na jednoj strani krila

2-39

( ) ( )( ) ( )∫∫

−−−= ∞

D

ddyx

Vyx ηξηβς

ηξδπ

φ222

,,ˆ

Obično u supersonici promatramo simetrične profile i to:

• profila u obliku dva luka (trigonometrijska, kružna ili parabolična),

• profila oblika romba ili

• profil dijamanta.

U slučaju profila oblika romba ili dijamanta može se područje integracije podijeliti na dijelove u

kojima je kut tangente konstantan.

Područje integracije kad je točka C na dijelu krila D1 ostaje isto kao u slučaju nosećeg krila

(slika 2-12), ali područje integracije kad je točka C na dijelu krila D2 kao na slici 2-23 različito je od

područja integracije za problem uzgona. U problemu otpora kad je točka u dijelu krila D2 područje

integracije ograničeno Machovim pravcima iz točke C i napadnim rubom bio on supersoničan ili

subsoničan, kao na slici 2-23.

x

y

BP

Q

MA

constr =

consts =

µ µ

Slika 2-24

2.7.1 Utjecaj kraja krila

Tako kad određujemo potencijal poremećaja u točki C na dijelu D2 onda je područje integracije kao

na slici 2-23 koje se razlikuje od onog sa slike 2-17 kad smo tražili uzgon.

Potencijal poremećaja u točki C koja se nalazi na dijelu D2 u kome se osjeća utjecaj kraja

krila bit će

2-40

( ) ∫∫∞=CBMAC

dd2VC

ρσσρδ

πβφ̂

Pretpostavimo da je profil dijamant ili romb onda je moguće područje integracije podijeliti na

dijelove u kojima je nagib tangente konstantan. Radi jednostavnijeg izlaganja pretpostavimo

najjednostavniji profil, klinasti profil. Tad je nagib tangentne konstantan

Područje integracije (zatamljeno na slici 2-24) možemo prikazati kao zbir dva područja

CBMAC=CBNAC+BMNB

onda se i integral može rastaviti na dva djela

( )

+== ∫∫∫∫∫∫ ∞∞

BMNBCBNACCBMAC

dddd2Vdd

2VC

ρσσρ

ρσσρ

πβδ

ρσσρ

πβδφ̂

Prvi dvostruki integral na području CBNAC već smo riješili u slučaju nosećeg krila. To znači da

nam je potencijal poremećaja klinastog krila jednak zbroju potencijala poremećaja krila nulte

debljine pod napadnim kutom δα = i dodatnim potencijalom poremećaja

( ) ( ) ∫∫∞+=BMNB

0dd

2VCC

ρσσρ

πβδφφ ˆˆ

x

y

C

µ

A

B

Nρ

σ

M

Slika 2-25

Ovaj dvostruki integral u dodatnom potencijalu

2-41

∫ ∫∫∫

=

M

B

LE

t

dd11dd

BEMB

ρ

ρ

σ

σ

ρσσρρσ

σρ

gdje su granice prve integracije 43421

a

y2b2t

−−= βρσ i

kh

LEρσ −

= , a granice druge integracije od

vrijednosti Bρ varijable ρ u točki B, do vrijednosti Mρ varijable ρ u točki M.

2.7.2 Otpor pravokutnog krila klinastog profila

U slučaju pravokutnog krila klinastog profila vidjeli smo da jednadžba napadnog ruba 0=ξ u

Machovim koordinatama ima oblik:

ρσ −= x2LE ,

a jednadžba vršne tetive 2b

=η u Machovim koordinatama ima oblik:

43421a

y2b2t

−−= βρσ

Potencijal poremećaja u točki C na dijelu krila D2 bit će

( )

+== ∫∫∫∫∫∫ ∞∞

BMNBCBNACCBMAC0

dddd2Vdd

2VC

ρσσρ

ρσσρ

πβδ

ρσσρ

πβδφ̂

x

y

C

A

B

ρσ

MN

tσ

LEσ

Slika 2-26

2-42

Prvi dvostruki integral na području CBNAC izračunali smo u slučaju nosećeg pravokutnog krila

x2x21x2dd B

BB

CBNAC

ρρ

ρρσσρ arcsin+−=∫∫

Drugi dvostruki integral svodi se na dvije sukcesivne integracije:

∫ ∫∫∫ =M

B

LE

t

dd1dd

BMNB

ρ

ρ

σ

σ

ρσσ

ρρσσρ

Tako dobivamo potencijal poremećaja u točki C na dijelu D2 . Derivacijom tog potencijala

poremećaja po koordinati x (i množenjem sa ∞− V2 ) dobivamo koeficijent tlaka

−−

Λ−=

µγ

πβ

δtantan1

21arcsin21

tan2

022pC

Ono što je bitno i što pada u oči u točkama na kraju krila ( 0=γ ) bit će koeficijent tlaka

022

022 tan4

21221arcsin21

tan2

Λ−=

−=

−

Λ−=

β

δππβ

δπβ

δpC

dva puta manji od vrijednosti na dijelu krila D1 . Znači tlak opada pod utjecajem kraja krila, ali ne

do 0 već do pola svoje vrijednosti, za razliku od slučaj krila nulte debljini pod napadnim kutom kad

je u istom dijelu krila D2 od iste vrijednosti opao do nule.