Schroedingerova jednadžba

Numeričko rješavanje

Linearna diferencijalna jednadžba

Rubni uvjeti• Rubni uvjeti u jednoj točki,

Rounge-Kutta metoda

• Rubni uvjeti u dvije različite točke

• Diskretizacija diferencijalne jednadžbe

• i=1

?1 y

•Postoji bolji algoritam koji daje pogrešku reda6

•Numerova metoda

•Ne znamo analitički izraz za y pa neznamo ni derivaciju

Numerička procedurapogađanje i spajanje rješenja

•Možemo uzeti bilo koji broj za derivaciju u točki a, i varirati rješenje dok ne pogodimo rubni uvjet u b

Variranje parametara

•Rubni uvjet može biti zadan i implicitno, npr.

0)( rrf

Problem divergentnog rješenjaSpajanje rješenja

Schroedingerova jednadžba

•supstitucija

separacija

•Radijalni dio uz l=0

Zadan je potencijal

Vezana stanja

•Imamo rješenje za r<a i za r>a

0)0( u 0)( uRubni uvjeti

•Zbog kontinuiranosti

)()( 21 auau dr

adu

dr

adu )()( 21

Uz pokrate

vrijedi

))(cot()()( aEkEkEf

)()( EEf

• Nultočka ove funkcije je svojstvena energija• Newton-Raphsonova metoda daje

)())(cot()()( EaEkEkEf

•Numerička procedura•Definicija funkcije

Broj koraka

nultočka

4 -1.38036115622589 MeV

5 -1.38041232989264 MeV

6 -1.38041233026248 MeV

•Diferencijalna jednadžba ima oblik

•Diskretizirano:

))(()(2

ErVm

rwf

0)()()( rurwfru

•Uz oznaku

0)(2 22

11

iiiii uwfrO

h

uuu

kod• void schwf_2 (int n, double k,double e, double (*func)(double,double), char b[],double

delta)• {• int i,j,s,m;• double *w,*wf;• double nula;• FILE *p;• p=fopen(b,"w");• nula=bisekcija ( 0.,20., &potencijal2,1.e-10);• printf("nula je %f\n", nula);• w=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double));• wf=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double));• for(i=0;i<n;i++) w[i]=func(e,i*k);• wf[n] = 0.;• wf[0] = 0.;• wf[n-1]= 0.0005*k*k;• wf[1] = -0.4*k*k;• m=0;•

do{

m++;for (i=n-2;i>0;i--){

wf[i]=(2.-k*k*w[i+1])*wf[i+1]-wf[i+2];if (fabs(wf[i])>INFINITY) for(j=n;j>=i;j--) wf[j]/=INFINITY;if(k*i<=nula) {

s=i+1;break;

}}for(i=2;i<=s;i++){

wf[i]=(2.-k*k*w[i-1])*wf[i-1]-wf[i-2];if (fabs(wf[i])>INFINITY) for(j=0;j<=i;j++) wf[j]/=INFINITY;

}

/*popravljanje početnih uvjeta*/if(wf[s-1]<wf[s+1]) {

wf[1]=wf[1]*(1+fabs(wf[s+1]-wf[s-1])/(2.*wf[s]));

wf[n-1]=wf[n-1]*(1-fabs(wf[s+1]-wf[s-1])/(2.*wf[s]));}else{

wf[1]=wf[1]*(1-fabs(wf[s+1]-wf[s-1])/(2.*wf[s]));

wf[n-1]=wf[n-1]*(1+fabs(wf[s+1]-wf[s-1])/(2.*wf[s]));}

}while(fabs(wf[s-1]-wf[s+1])>delta&&m<n);for(i=0;i<=n;i++) fprintf(p,"%20.15g %20.15g\n",i*k,wf[i]);delete(w);delete(wf);fclose(p);

}

•Korak integracije k=0.0001

•Korak integracije k=0.001

•Korak integracije k=0.01

Eksperimentalni potencijal

•Korak integracije k=0.0001

Korak integracije k=0.001

Kraj