2 F1 pogreške 2006 bijelo -...
Transcript of 2 F1 pogreške 2006 bijelo -...
1
Račun pogrešaka
Vrste pogrešaka:
Slučajne:(osciliraju oko neke vrijednosti, ljudski vid, pravac očitavanja; uvijek prisutne, podliježu statističkoj obradi)
2
Vrste pogrešaka:
Grube:(nepažnja u očitavanju, pogrešno očitana vrijednost; veliko odstupanje od ostalih mjerenih vrijednosti; uočljive i lako se odbacuju)
Vrste pogrešaka:
Sistematske:(mjerni uređaj netočan; podjela skale, nultočka, promjena uređaja ili metode; ne otkrivaju se jednostavno)
3
Osnovne fizikalne veličine u mjerenju:
x: prava vrijednost fizikalne veličine
xi: mjerena vrijednost u nizu mjerenja x1,...xi,...xn
: aritmetička sredina (srednja vrijednost)x
Rezultati mjerenja mogu se prikazati pomoću:
a) linearnih pogrešakab) kvadratičnih pogrešaka
4
a) linearne pogreške
* srednja vrijednost
* ∆xmax maksimalna apsolutna pogreška
* rp relativna pogreška
x
b) kvadratične pogreške
Teoriju kvadratičnih pogrešaka uveo je Johann Carl Friedrich Gauss, (1777–1855),
1809. godine.
5
Teorija kvadratičnih pogrešaka odnosi se na prave pogreške:
i daje vezu s prividnim pogreškama,
∑∑==
Δ−
=n
ii
n
ii xnn
1
2
1
2
1ε
ii xxx −=Δ
ii xx −=ε
Definiramo: Srednje kvadratično odstupanje jednog mjerenja, xi, u odnosu na pravu vrijednost, x, naziva se standardna devijacija jednog mjerenja, s, koja je definirana relacijom:
Pogreška s koristi se u relaciji za relativnu pogrešku, rp:
2
11
22 )(11 ∑∑==
−==n
ii
n
ii xx
nns ε
%100×=Xsrp
6
Definiramo:Kvadratično odstupanje aritmetičke sredine, , u odnosu na pravu vrijednost, x, naziva se: standardna devijacija aritmetičke sredine, σ, koja definirana je izrazom:
i koristi se za prikaz područja mjerene veličine:
X = ± σ
x
22 )( xx −=σ
x
Konačne vrijednosti za s i σ, nakon uvrštavanja veze između εi i Δxi jesu:
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−= ∑
=
n
iixx
ns
1
2
11
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−= ∑
=
n
iixx
nn 1
2
)1(1σ
ns
=σ
7
Prikaz rezultata mjerenja
Mjerenu vrijednost x nalazimo u području:x
xnx1 xi
- σ + σ
%100×=xsrp
x2
relativna pogreška:
σ±= xx
Način na koji mjerimo fizikalne veličine može biti:
A direktno mjerene fizikalne veličine
B indirektno mjerene fizikalne veličine
C fizikalne veličine mjerene u nizu
8
samo za one veličine koje direktno(neposredno) mjerimo, računamo:
, σ i ste prikazujemo rezultate mjerenja na opisan način.
x
A... direktno mjerene veličine
A... direktno mjerene veličine
( - x10)2- x10X10
--------
( - x i)2- xixi
------
( - x1)2- x1x1
∆x2∆xxx
x
x
x
x
x
9
B...indirektno mjerene veličine, F = f(x,y)
Važno:x i y su direktno mjerene veličine(n mjerenja); x1,..xi..xn ; y1,..yi,..yn
Za x i y računamo , σx , sx , , σy isy , kao za slučaj A
x y
B...F = f(x, y)...nastavak
Srednja vrijednost: = f ( , ),
pri čemu simbol f opisuje jednadžbu za zavisno mjerenu veličinu.
Na primjer, volumen kvadra ovisan je o mjerenju veličina a, b i c na način:
V = a · b · cpa je srednja volumena jednaka:
F x y
cbaV ⋅⋅=
10
B...F(x, y)...nastavak
Pogrešku indirektno mjerene veličine, σF ,prikazujemo kao funkciju pogrešaka direktno mjerenih veličina, σF = f(σx , σy ) na slijedeći način:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=22
yxF yF
xF σσσ
B...F(x, y)...nastavak
*Izrazi:
su parcijalne (djelomične) derivacije zavisne veličine F(x, y) po x ili po y, što znači da u prvom članu deriviramo po x a u drugom po y; nezavisnim varijablama (parametrima)* Prikaz rezultata mjerenja je analogan prikazu direktno mjerenih veličina:
yFi
xF
∂∂
∂∂
FFF σ±= %100×=Fs
r Fp
11
C...Račun pogrešaka za fizikalne veličine mjerene u nizu
1. niz x1,1,.. x1,i, .. x1,n ⇒ , σ1, s1
j. niz xj,1,.. xj,i,.. xj,n ⇒ , σj, sj
n. niz xn,1,.. xn,i,.. xn,n ⇒ , σn, sn
Iz gornjih relacija uočavamo: račun pogrešaka izrađuje se za svaki niz posebno. Iz načina mjerenja zaključujemo o tome da li pogreške za nizove računamo direktno ili indirektno.
1x
nxjx
Opća srednja vrijednost (svih nizova) računa se pomoću faktora težine, pi :
Faktore težine pi za neki niz definiramo pomoću najveće standardne devijacije σmax= K i za zadani niz σi na slijedeći način:
pri čemu moramo uočiti da je faktor težine nekog niza pi to veći što je pogreška mjerenja σi tog niza manja.
ni
nniiuk ppp
xpxpxpX
............
1
11
++⋅+⋅+⋅
=
2
2
2
2max
iii
Kpσσ
σ==
C...Račun pogrešaka za fizikalne veličine mjerene u nizu
12
C...račun pogrešaka uz faktore težine, pi
Opću standardnu devijaciju definiramo pomoću faktora težine pi i najveće standardne devijacije, σmax:
Konačni prikaz rezultata mjerenja:
( )niuk ppp ......1
max
++=
σσ
ukXX σ±= %100×=Xsruk
Primjeri za račun pogrešaka(A, B, C)
13
Laboratorijske vježbe
1.Dinamometar i fizikalno njihalo
A) baždarenje dinamometra i određivanje nepoznate mase, F= k⋅Δx- iz nagiba pravca F= k ⋅Δx odrediti konstantu elastičnosti k, k = tg α- ne mjerimo pogreške
1.Dinamometar i fizikalno njihalo B) određivanje volumena tijela nepravilnog oblika (uzgon),-težine tijela u zraku GZr i u tekućini Gtekjednake su:
-razlike težina jednake su uzgonu, Vč ⋅ρtek⋅g, pa je traženi volumen čvrstog tijela jednak:
zrzr xkG Δ⋅= tektek xkG Δ⋅=
( )gxxkV
tek
tekzrč ⋅
Δ−Δ=
ρ
14
1.Dinamometar i fizikalno njihalo B) određivanje volumena tijela nepravilnog oblika (uzgon)
- za svaku tekućinu vršimo jedno mjerenje, pa na taj način dobivamo nezavisne vrijednosti za volumen tijela, mjerenje pogrešaka: A.
1.Dinamometar i fizikalno njihalo
C) Određivanje ubrzanja slobodnog pada, g, fizikalnim njihalom
Računamo pogreške za gj mjerene u nizovima j = 1...n, n=5;- način mjerenja pogrešaka, C: mjerenje fizikalnih veličina u nizu, pri čemu svaki niz ima svoj faktor težine, pj
15
Vježba 1C)...
Izraz za gj bilo kojeg niza dobijemo iz relacije zaperiodu njihala svakog niza:
Iz svakog niz j računamo srednju vrijednost za gj i standardnu devijaciju za taj niz:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
j
jj g
lT π2 22
2
2
44 −⋅⋅=
⋅= jj
j
jj Tl
Tl
g ππ
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∂∂
= Tjj
jgj T
gσσ2
24
j
jj T
lg
⋅=
π
Vježba 1C)...
Standardnu devijaciju za gj računamo pomoću derivacije po Tj:
sređeno:
3
28
ii
i
Tl
Tg ⋅
−=∂∂ π
2
24
j
jj T
lg
⋅=
π ( )32 24 −⋅−⋅=∂∂
jjj
j TlTg
π
16
Vježba 1C)...
izraz uvrštavamo u standardnu devijacije za g: :
i dobivamo:
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∂∂
= Tii
igi T
gσσ
Tii
igi T
lσ
πσ ⋅
⋅= 3
28
Vježba 1C)...
Konačne vrijednosti za svaki niz prikazujemo:
gjjj gg σ±=
j
gjgj g
sr =
17
Podsjetimo se: duljina li njihala je konstantna za svaki niz pojedinačno.
Prikazani proračun pogrešaka izrađujemo za svaki niz i na kraju prikazujemo opći rezultat pomoću faktora težine.
2.Određivanje gustoće krutih tijela i tekućina
A) određivanje gustoće tekućine; jedno mjerenje za svaku tekućinu.
- ne mjerimo pogreške;Gustoća tekućine je dana izrazom:
t
tt VM
=ρ
v
tvt MM
⋅= ρρ:slijediVVradi vt =
18
2. Određivanje gustoće krutih tijela i tekućina; B) određivanje gustoće krutih tijela
Nakon parcijalnih derivacija, σV možemo prikazati izrazom:
cbaV ⋅⋅=
,222
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∂∂
= cbaV cV
bV
aV σσσσ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
222
cbaV cba
Vσσσ
σ
2. Određivanje gustoće krutih tijela i tekućina
B) određivanje gustoće krutih tijela- srednja vrijednost gustoće:
- standardna devijacija gustoće:
Vm
=ρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∂∂
=2
VVσρσ ρ 2
1VV
−=∂∂ρ, gdje je
pa je:2VVσσρ =
19
3.Određivanje specifičnog toplinskog kapaciteta metala
U gornjem izrazu su mm, mv, cv i tm konstante.Mjerimo samo tv (početnu temperaturu vode) i temperaturu smjese. Vršimo 5 neovisnih mjerenja i računamo pripadne pogreške.
)()(
TtmtTcmc
mm
vvvm −⋅
−⋅=
5A) Određivanje kinematičkog koeficijenta viskoznosti
Jednadžba za kinematički koeficijent viskoznosti:
-direktno mjerimo vrijeme istjecanja tekućine, t, i računamo , σt, st, rp
1261057067,4 −⋅−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅= sm
ttυ
t
20
5A) Određivanje kinematičkog koeficijenta viskoznosti
-pogreška συ= f(σt):
- i konačni izraz za συ je:
62
2
1057067,4, −⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∂∂
=tt
jegdjet t
σσυσυ
1262 1057067,4 −− ⋅⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += sm
t tσσυ
6. Određivanje konstante površinske napetosti
Jednadžba za kontantu površinske napetosti:
- a1, ρ1 i ρ2 su konstante, a direktno mjerimo n1 i n2 , pa je pogreška za veličinu a2 ovisna o pogreškama σn1 i σn2 .Izvedite pogrešku
mN
nnaa
21
1212 ⋅
⋅⋅=ρρ
2aσ
21
Vrste kvadratičnih pogrešaka u pojedinim vježbama
Ba) Ab) B
AAa) -b) B
a) -b) Ac) C
654321
- ne mjerimo pogreškeA direktno mjerene fizikalne veličineB indirektno mjerene fizikalne veličineC fizikalne veličine mjerene u n - nizova