2． 2.2 　 　平面与平面平行的判定

1．判定定理：如果一个平面内有两条 直线分别 于另一个平面，那么这两个平面平行．用数学符号表示 .

2．推论：如果一个平面内有两条 直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

用符号表示为 ，.

3． α∥β， a⊂α⇒ .

相交平行

a∥α， b∥α， a⊂β， b⊂β， a∩b＝ A⇒α∥β

a∥c， b∥d， a∩b＝ A， a⊂α， b⊂αc⊂β， d⊂β⇒α∥β

a∥β

相交

本节学习重点：平面与平面平行的判定定理．本节学习难点：平行关系的相互转化．

1．由面面平行的定义知，若 α∥β，则 α与 β无公共点，若 a⊂α，则 a与 β无公共点，从而 a∥β.这样我们可

“ ” “ ”以由 面面平行 得到 线面平行 ．“ ”应用判定定理时，应特别注意 两相交直线 这个条件，

否则如右图 α∩β＝ a， a1∥a， a2∥a ……， ， a1、 a2…

…都与 α平行，但显然 α不与 β平行．

2．判定两平面平行的方法(1)依定义采用反证法．(2)依判定定理通过一平面内有两相交直线与另一平面

平行来判定两平面平行 (线面平行⇒面面平行 )．3．用推论：一个平面内有两条相交直线分别平行于

另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

[例1] 在三棱锥P－ABC中，E、F、G分别在侧棱

PA、PB、PC上，且PEEA＝

PFFB＝

PGGC＝

12，求证平面EFG∥ 平

面ABC.

[分析 ]　要证平面 EFG∥平面 ABC，依据判定定理需在平面 EFG内寻找两条相交直线分别与平面 ABC平行，考虑已知条件的比例关系可产生平行线，故应从比例关系入手先找线线平行关系．

[解析 ]　在△ PAB中，∴EF∥AB，∵EF⊄平面 ABC， AB⊂平面 ABC，∴EF∥平面 ABC，同理 FG∥平面 ABC，∵EF∩FG＝ F，且 EF、 FG⊂平面 EFG，∴平面 EFG∥平面 ABC.

总结评述：欲证“面面平行”，可证“线面平行”；证“线面平行”，可通过证“线线平行”来完成，这是立体几何最常用的化归与转化的思想．

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱

AB、BC、BB1的中点，P、Q、R分别在棱C1D1、A1D1、

A1A上，且D1QQA1

＝ARRA1

＝D1PPC1

＝13 ，求证平面EFG∥ 平面

PQR.

∵E、 F分别为 AB、 BC中点，∴ EF∥AC，

∵A1C1∥AC，∴ PQ∥EF；同理 QR∥FG，

又 PQ∩QR＝ Q， EF∩FG＝ F， PQ， QR⊂平面 P

QR， EF， FG⊂平面 EFG，∴平面 PQR∥平面 EFG.

[点评 ]　应用定理时，一定要把定理的条件找全 .

[例 2] 已知点 S是正三角形 ABC所在平面外的一点，且 SA＝ SB＝ SC， SG为△ SAB边 AB上的高， D、 E、F分别是 AC、 BC、 SC的中点，试判断 SG与平面 DEF

的位置关系，并给予证明．

[分析 1]　观察图形容易看出 SG∥平面 DEF.要证明此结论成立，只须证明 SG与平面 DEF内的一条直线平行．考虑到题设条件中众多的中点，可应用三角形中位线性质．

观察图形可以看出：连结 CG与 DE相交于 H，连结FH， FH就是适合题意的直线．

怎样证明 SG∥FH？只需证明 H是 CG的中点．

[证法 1]　连结 CG交 DE于点 H，∵DE是△ ABC的中位线，∴DE∥AB.

在△ ACG中， D是 AC的中点，且 DH∥AG，∴ H

是 CG的中点．∴FH是△ SCG的中位线，∴FH∥SG.

又 SG⊄平面 DEF， FH⊂平面 DEF，∴SG∥平面 DEF.

[分析 2]　由题设条件中， D、 E、 F都是棱的中点，不难得出 DE∥AB， DF∥SA，从而平面 DEF∥平面 SAB，

又 SG⊂平面 SAB，从而得出 SG∥平面 DEF.

[证法 2]　∵ EF为△ SBC的中位线，∴EF∥SB.

∵EF⊄平面 SAB， SB⊂平面 SAB，∴EF∥平面 SAB.

同理： DF∥平面 SAB， EF∩DF＝ F，∴平面 SAB∥平面 DEF，又∵ SG⊂平面 SAB，∴ SG∥平面 DEF.

[点评 ]　要证面面平行，应先证线线或线面平行，已知面面平行也可以得出线面平行，它们之间可以相互转化．

一、选择题1．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相

平行，则这两个平面的公共点个数(　　 )

A．有限个　 B．无限个　C．没有　 D．没有或无限个[答案 ]　 D

[解析 ]　两平面相交或平行，故选 D.

二、填空题2．直线 a⊂平面 α，直线 b⊂平面 β，且 α∥β，则

a、 b的位置关系为 ______________．[答案 ]　平行或异面

三、解答题

3．如图所示，正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， O为底

面 ABCD的中心， P是 DD1的中点，点 Q在 CC1上．

问：点 Q在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO?

[分析 ]　观察图形特征，要得到平面 D1BQ∥平面 P

AO，由条件不难得知 PQ∥BD1，自然会想到可能 AP∥B

Q，什么时候会有 AP∥BQ呢，考虑这是一个正方体， P

为 DD1的中点，应有 Q也为 CC1的中点，取 CC1的中点 Q

考察获解．

[解析 ]　当 Q为 CC1的中点时，平面 D1BQ∥平面 P

AO.

证明如下：在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中连接 PQ.

∵P， Q分别为 DD1， CC1的中点，

∴PQ綊 CD， CD綊 AB.

∴PQ綊 AB，∴四边形 ABQP是平行四边形，∴PA∥QB.

又∵ QB⊂平面 D1BQ， PA⊄平面 D1BQ，

∴PA∥平面 D1BQ.

同理可得 PO∥平面 D1BQ.

又∵ PA∩PO＝ P，

∴平面 D1BQ∥平面 PAO.