1_skupovibvcb

AUDITORNE VJEŽBE #1 | MATEMATIKA 1 | STRUČNI STUDIJ

Ana Šokčević, prof. | [email protected] | Kampus K1-7 | Konz. Uto 10:00 – 12:00 i po dogovoru | of 13

1. SKUPOVI

1.1. Pojam skupova

1.2. Podskup

1.3. Jednakost skupova

1.4. Partitivni skup

1.5. Unija, presjek i diferencija skupova

1.6. Univerzalni skup i komplement skupa

1.7. Kartezijev produkt skupova

2. SKUPOVI BROJEVA

2.1. N

2.2. Z

2.3. Q

2.4. R

2.5. C

1. SKUPOVI

1.1. Pojam skupova

Oznaka skupa: A, B, C, ...

Oznaka elemenata skupa: a, b, c, ...

Činjenicu da neki skup A sadrži elemente a, d zapisujemo:

𝑨 = {𝒂, 𝒅},

a ako želimo reći da je d element skupa A, pišemo

𝒅 ∈ 𝑨,

takodjer možemo i negirati činjenicu, element c nije član skupa A:

𝒄 ∈ 𝑨.

Skup je zadan ako je zadano pravilo ili zakon prema kojemu su jednoznačno određeni svi njegovi elementi.

Primjer: Odredite skup B koji čine svi parni brojevi veći od 5 i manji od 12.

𝐵 = {6,8,10}.

Ovo su takodjer bili i konačni skupovi.

Za razliku od konačnih skupova, imamo beskonačne skupove kod kojih ne možemo odrediti sve elemente:

Skup prirodnih brojeva

𝑁 = {1,2,3, … }.



Skupove shematski prikazujemo Venovim dijagramima:

1.2. Podskup

T podskup od S, 𝑇 ⊆ 𝑆 .

T je podskup od S ako je svaki 𝒙 ∈ 𝑻 element iz S (𝒙 ∈ 𝑺). Skup B je podskup skupa A ako je svaki član skupa B ujedno i član skupa A. Kraće kažemo, B je sadržano u A ili A sadrži B.

Prema pravilu za određivanje podskupa vrijedi - svaki skup je sam sebi podskup.

A⊆A.

Prazan skup je podskup svakog skupa.

1.3. Jednakost skupova

Dva skupa S i T su jednaki ako je 𝑻 ⊆ 𝑺 i 𝑺 ⊆ 𝑻 ; pišemo S=T. Ako nisu jednaki, odnosno vrijedi 𝑻 ⊆ 𝑺 i 𝑺 ≠

𝑻, tada kažemo da je T pravi podskup od S (𝑻 ⊂ 𝑺).

Primjer: Zadani su: 𝐴 = {1,2,5}, 𝐵 = {1,2,3,4,5,6}. Da li je 𝐴 ⊆ 𝐵?

Da.

1.4. Partitivni skup

Partitivni skup od S je skup čiji su elementi svi podskupovi od S (P(S)).

Podskupovi od P(S) katkad se nazivaju familija podskupova od S.



1.5. Unija, presjek i diferencija skupova

Unija skupova A i B

Presjek skupova A i B

Razlika (diferencija) skupova A i B

A \ B= X : X A i XB

B \ A= X : X B i XA



1.6 Univerzalni skup U i komplement skupa 𝐴𝑐

Razlika U i A naziva se komplement podskupa A u skupu U

U\ A

Komplement skupa A u skupu U



ZADACI:

1. Skupove A={ X : 4< X≤ 10} i B={ X: 7< X< 15} prikaži Vennovim dijagramom i odredi A∩ B.

A={ 5, 6, 7, 8, 9, 10} B={ 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

2. A={ X : X∈ N, 2< X< 10} B={ X : X∈ N, 8≤ X≤ 14} A={ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B={ 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} A∪ B={ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

3. A= a, b, c, d, e

B= a, b, e, f

A \ B= c, d

B \ A=f

Konačni i beskonačni skupovi:

Konačni skupovi su oni čiji je broj elemenata jednak nekom prirodnom broju. Broj članova skupa naziva se kardinalni broj.

Primjer: A={ 2, 4, 6, 8} - kardinalni broj skupa A: k(A) = 4

Skup kome je kardinalni broj nula zove se prazan skup.



ZADACI ZA VJEŽBU

1.1. Zadan je skup 𝑠 = {2, {4,5}, 4}. Odredite koje su od sljedećih tvrdnji istinite i zašto?

a) {4,5} ⊂ S

b) {5} ∈ S

c) {{4,5}} ⊂ S

d) 5 ∈ S

e) {5} ∈ S

f) {5} ⊆ S

1.2. Neka je S = {0, 1, 2} . Odredite podskupove skupa S.

1.3. A = {1,2,3,4}, 𝐵 = {2,4,6,8}, 𝐶 = {3,4,5,6}. Odredite:

a) (A ∩ B) ∩ C

b) A ∩ (B ∩ C)

1.4. Zadan je skup 𝑈 = {1,2, … ,8,9} te 𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = {2,4,6,8}, 𝐶 = {3,4,5,6}. Odredite:

a) AC

b) BC

c) (A ∩ C)C

1.5. U = {1,2,3,4,5,6,7,8, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, A = {1,5, a, b, c}, B = {a, b, c, d, e}, C = {5,6, a, e}.

Odredite (𝐴 ∩ 𝐵𝐶)𝐶\𝐶𝐶.



2. SKUPOVI BROJEVA

2.1. N ... prirodni brojevi

Ponovimo:

,....1,,....,3,2,1 nnN

𝑁𝑝𝑎𝑟𝑛𝑖 = {𝑛: 𝑛 = 2𝑘, 𝑘 ∈ 𝑁}

𝑁𝑛𝑒𝑝𝑎𝑟𝑛𝑖 = {𝑛: 𝑛 = 2𝑘 − 1, 𝑘 ∈ 𝑁}

Svojstvo matematičke indukcije:

Neka je 𝐴 ⊆ 𝑁. Ako za skup A vrijedi:

I. BAZA INDUKCIJE: 1 ∈ 𝐴

II. PRETPOSTAVKA INDUKCIJE: ∀𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 + 1 ∈ 𝐴, onda vrijedi

III. KORAK INDUKCIJE: 𝐴 = 𝑁.

Drugim riječima, ako neka tvrdnja vrijedi za 𝑛 = 1 te ako slijedi da je istinita za 𝑛 + 1, onda tvrdnja vrijedi

∀𝑛 ∈ 𝑁.

Primjer A: Dokazati mat indukcijom da ∀𝑛 ∈ 𝑁 vrijedi 5 + 8 + 11 + ⋯ + (3𝑛 + 2) =𝑛(3𝑛+7)

2 .

I. BAZA INDUKCIJE: 𝑧𝑎 𝒏 = 𝟏 → (3 ∙ 1 + 2) =1∙(3∙1+7)

2

5 = 5

II. PRETPOSTAVKA INDUKCIJE: 𝒏 = 𝒌

5 + 8 + 11 + ⋯ + (3𝑘 + 2) =𝑘(3𝑘 + 7)

2

III. KORAK INDUKCIJE: 𝒏 = 𝒌 + 𝟏

5 + 8 + 11 + ⋯ + [3(𝑘 + 1) + 2] =(𝑘+1)[3(𝑘+1)+7]

2

5 + 8 + ⋯ + (3𝑘 + 2) + [3(𝑘 + 1) + 2] =(𝑘 + 1)(3𝑘 + 10)

2

𝑘(3𝑘 + 7)

2+ 3𝑘 + 5 =

(𝑘 + 1)(3𝑘 + 10)

2

3𝑘2 + 13𝑘 + 10

2=

(𝑘 + 1)(3𝑘 + 10)

2

(𝑘 + 1)(3𝑘 + 10)

2=

(𝑘 + 1)(3𝑘 + 10)

2

Primjer B: Dokazati mat indukcijom da ∀𝑛 ∈ 𝑁 vrijedi 12 + 22 + ⋯ + 𝑛2 =𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6 .



Primjer C: Pokažimo metodom mat indukcije da je izraz 𝑛3 + 11𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 djeljiv sa 6. (6|𝑛3 + 11𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 )

I. BAZA INDUKCIJE: 𝒏 = 𝟏

Zadovoljeno!

II. PRETPOSTAVKA INDUKCIJE: 𝒏 = 𝒌

6|𝑘3 + 11𝑘 = 6𝑙, 𝑘, 𝑙 ∈ 𝑁

III. KORAK INDUKCIJE: 𝒏 = 𝒌 + 𝟏

(𝑘 + 1)3 + 11(𝑘 + 1) = 𝑘3+3𝑘2 + 3𝑘 + 1 + 11𝑘 + 11

= 𝑘3 + 11𝑘 + 3𝑘+3𝑘2 + 12

= 6𝑙 + 3(𝑘2 + 𝑘 + 4)

2.2. Z ... cijeli brojevi

Ponovimo:

2 − 3 =? !

,.....,...,1,0,1,...,...., nnZ

ZN

2.3. Q ... racionalni brojevi

Ponovimo:

2 ÷ 3 =? !

0,,: nZnmn

mQ

QZ

2.4. I ... iracionalni brojevi

Duljina dijagonale kvadrata stranice 1 → √2 !!!

Irac. br. – neperiodični decimalni razlomci s beskonačno mnogo znamenki.

{√2, √3, √6, 𝜋, … }

2.5. R ... realni brojevi

R = Q ∪ I, Q ∩ I = ∅

Prikazivanje realnih brojeva na pravcu omogućuje lakše proučavanje podskupova skupa koje zovemo

intervali.

Neka su ba, i ba .

OTVORENI INTERVAL ba, je skup svih realnih brojeva koji su između a i b : bxaxba :, .



ZATVORENI INTERVAL (SEGMENT) ba, je skup svih realnih brojeva između a i b uključujući i rubne a i b :

bxaxba :, .

2.6. APSOLUTNA VRIJEDNOST REALNOG BROJA

Apsolutna vrijednost realnog broja je funkcija ,0: . Apsolutna vrijednost realnog broja x ( x )

definirana je formulom

0,

0,

xx

xxx

Na primjer: 00 ,

222 ,

xx .

Na slici 1. prikazan je graf fje x

Slika 1: Apsolutna vrijednost x

Za apsolutnu vrijednost vrijedi:

1. rx rxr rrx ,

2. 2xx

Za apsolutne vrijednosti ba, također vrijedi:

1. baba ... nejednakost trokuta

2. baab



3. baba

4. b

a

b

a , za 0b

Primjer A: Zapišite funkciju 112 xxf bez apsolutne vrijednosti te ju prikažite grafički.

2

1, ,

2

1

22112 xxxf xxxf 2112

2

1,2

2

1,22

xx

xx

xf

Primjer B: Nacrtajte graf fje 3)( xxf .

03,3

03,33)(

xx

xxxxf

Slika 2: Graf fje 3)( xxf



Primjer C: Riješite jednadžbu 931 xx .

Jednadžbu treba zapisati bez znaka apsolutne vrijednosti, dakle treba odrediti predznak

izraza unutar apsolutne vrijednosti.

−1

→ ⟨−∞, −1⟩ → ⟦−1, +∞⟩

−𝑥 − 1 = 3𝑥 − 9 𝑥 + 1 = 3𝑥 − 9

−4𝑥 = −8 −2𝑥 = −10

𝑥 = 2 𝑥 = 5

Primjer D: Riješite nejednadžbu 5213 xx

−1

3

⟨−∞, −1

3⟩ [−

1

3, +∞⟩

−3𝑥 − 1 > 2𝑥 + 5 3𝑥 + 1 > 2𝑥 + 5

−5𝑥 > 6 𝑥 > 4

𝑥 < −6

5

𝑥 ∈ ⟨−∞, −6

5⟩ 𝑥 ∈ ⟨4, +∞⟩

Konačno rj (unija): ,45

6,x



3. ZADACI ZA VJEŽBU

3.1. 3

4+

5

36+ ⋯ +

2𝑛+1

𝑛2(𝑛+1)2 = 1 −1

(𝑛+1)2

3.2. −1 + 3 − 5 + ⋯ + (−1)𝑛 ∙ (2𝑛 − 1) = (−1)𝑛 ∙ 𝑛

3.3. 9|4𝑛 + 15𝑛 − 1

3.4. 6|2𝑛3 + 3𝑛2 + 7𝑛

3.5. Nacrtajte graf fje 3225)( xxxf .

Slika 3: Rješenje zadatka

3.6. Riješite jednadžbu 2321 xx . (jednadžba nema rješenja)

3.7. Riješite jednadžbu 312 x . ( 21 x , 62 x )

3.8. Riješite jednadžbu 12

35

x

x. 2,3x

3.9. Riješite nejednadžbu 2332 xx .

3

4,2x

3.10. Riješite nejednadžbu 11 xx . ,0x

3.11. Riješite nejednadžbu 114312 xxx . 1x

3.12. Riješite nejednadžbu 3221 xxxx . x

3.13. Odredite sve realne brojeve x za koje je 112

1 x .

2,

2

3

2

1,0x

3.14. Riješite nejednadžbu 14

2

x. 4\6,2x



3.15. Riješite nejednadžbu 312 xx > 5x .

2

9,x

3.16. Riješite nejednadžbu 22 32 xxxx . 1,1x

3.17. Riješite n nejednadžbu 22 434 xxxx .

2

1,

4

3x

1_skupovibvcb

Documents

Transcript of 1_skupovibvcb