11Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

E dopo aver derivato...E dopo aver derivato...L’algebra utile a manipolare le derivate L’algebra utile a manipolare le derivate

(almeno per le funzioni razionali!)(almeno per le funzioni razionali!)

Per completare lo studio di funzione è Per completare lo studio di funzione è necessario derivare la sua legge. necessario derivare la sua legge. Esistono regole Esistono regole semplici di derivazionesemplici di derivazione che affronteremo nel corso di analisi, ma che affronteremo nel corso di analisi, ma spesso le difficoltà si incontrano subito spesso le difficoltà si incontrano subito dopo aver derivato e sono difficoltà di dopo aver derivato e sono difficoltà di tipo esclusivamente algebricotipo esclusivamente algebrico. . Proviamo ad affrontarle, a partire dalla Proviamo ad affrontarle, a partire dalla tabella della slide successiva.tabella della slide successiva.

22Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

SimbologiaSimbologiaPer indicare una derivata si possono usare modalità di Per indicare una derivata si possono usare modalità di

scrittura diverse:scrittura diverse:

D f(x)=.....D f(x)=.....

f ’(x) =.......f ’(x) =.......

33Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Alcune derivate...Alcune derivate...(non viene spiegato il significato, ma data (non viene spiegato il significato, ma data

esclusivamente la regola)esclusivamente la regola)

D k = 0 , dove k è una costanteD k = 0 , dove k è una costante

D x = 1D x = 1

D xD x2 2 = 2 x= 2 x

D xD x3 3 = 3 x= 3 x22

D.....= ......D.....= ......

D xD xn n = n x = n x n-1n-1

44Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Algebra delle derivateAlgebra delle derivate

D (f(x) D (f(x) ±± g(x)) = D(f(x)) g(x)) = D(f(x)) ±± D(g(x)) D(g(x))

D (f(x) * g(x)) = D(f(x)) * g(x) + f(x) * D(g(x))D (f(x) * g(x)) = D(f(x)) * g(x) + f(x) * D(g(x))

D (k * f(x)) = k D(f(x))D (k * f(x)) = k D(f(x))

55Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Applichiamo il concetto ad un caso Applichiamo il concetto ad un caso particolareparticolare

66Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Quale algebra?Quale algebra?

L’algebra di cui ci siamo serviti è il L’algebra di cui ci siamo serviti è il raccoglimento a fattore raccoglimento a fattore

La semplificazioneLa semplificazione

Attenzione mai svolgere il quadrato del Attenzione mai svolgere il quadrato del denominatoredenominatore

Abbiamo trovato una nuova frazione e ora dovremo trovare i suoi zeri e il suo segno

77Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Punti di stazionarietàPunti di stazionarietàf’(x)=0 f’(x)=0 ↔ -x↔ -x2 2 -16 = 0 (-16 = 0 (legge annullamento di un rapporto)legge annullamento di un rapporto)

La funzione non ha punti di stazionarietàLa funzione non ha punti di stazionarietà

Crescenza / decrescenzaCrescenza / decrescenza

f ’(x) > 0f ’(x) > 0 ↔ ↔ la frazione è maggiore di zero. Ma il denominatore la frazione è maggiore di zero. Ma il denominatore è un quadrato perfetto, perciò sempre positivo. è un quadrato perfetto, perciò sempre positivo. Tutto dipende dal numeratore. Tutto dipende dal numeratore.

-x-x2 2 -16>0 -16>0 - (x - (x2 +2 +16) >016) >0 ; ; la parentesi è sempre la parentesi è sempre positiva (somma di due numeri positivi), preceduta dal segno positiva (somma di due numeri positivi), preceduta dal segno meno meno il rapporto è sempre negativo il rapporto è sempre negativo