19035028 a Aplicata in Economie

UNIVERSITATEA “DANUBIUS” GALA ŢI DEPARTAMENTUL DE STUDII PENTRU ÎNVÃ ŢĂMÂNT LA

DISTANŢĂ

CĂTĂLIN ANGELO IOAN

MATEMATICĂ APLICATĂ

ÎN ECONOMIE

Anul I, semestrul I

EDITURA FUNDAŢIEI ACADEMICE “DANUBIUS” GALATI 2008

C

S I

D

Cătălin Angelo Ioan, Matematică aplicată în economie, Note de curs Anul I, semestrul I

Copyright © 2009 Universitatea Danubius. Toate drepturile rezervate

CUPRINS

Cuvânt înainte................................................................................................................................... 4 Modulul 1: Algebr ă liniar ă............................................................................................................... 5 1. Matrice şi determinanţi................................................................................................................... 5 2. Sisteme de ecuaţii liniare................................................................................................................ 9 3. Spaţii vectoriale reale...................................................................................................................... 10 4. Aplicaţii liniare................................................................................................................................ 12 5. Aplicaţii multiliniare. Forme pătratice. Vectori şi valori proprii.................................................... 13 Modulul 2: Analiză matematică....................................................................................................... 25 1. Spaţii topologice.............................................................................................................................. 25 2. Diferenţiabilitatea funcţiilor............................................................................................................ 29 3. Serii numerice. Serii de funcţii. Serii de puteri. Dezvoltarea în serie Taylor................................. 32 4. Extremele funcţiilor........................................................................................................................ 37 5. Integrarea funcţiilor......................................................................................................................... 39 Modulul 3: Teoria probabilit ăţilor şi statistică matematică......................................................... 47 1. Elemente de teoria probabilităţilor.................................................................................................. 48 2. Variabile aleatoare. Funcţia de repartiţie. Densitatea de repartiţie................................................. 51 3. Procese stochastice. Lanţuri Markov.............................................................................................. 54 4. Principalele legi de repartiţie.......................................................................................................... 56 2. Elemente de statistică matematică.................................................................................................. 59 Modulul 4: Programare liniar ă........................................................................................................ 66 1. Probleme economice ce conduc la modelul matematic al programării liniare............................... 66 2. Algoritmul simplex primal.............................................................................................................. 67 3. Dualitate în programarea liniară...................................................................................................... 75 4. Reoptimizare şi parametrizare în programarea liniară.................................................................... 78 5. Problema de transport..................................................................................................................... 79 Modulul 5: Matematici financiare ................................................................................................... 86 1. Dobânzi........................................................................................................................................... 87 2. Operaţiuni de scont......................................................................................................................... 90 3. Plăţi eşalonate (rente)...................................................................................................................... 91



CUVÂNT ÎNAINTE

Matematica aplicată în economie este disciplina care îşi propune iniţierea studenţilor din anul I

specializarea Economia comerţului, turismului şi serviciilor, forma de învăţământ ID în studiul matematicii,

însuşirea logicii şi procedurilor specifice acesteia.

Lucrarea are un scop didactic, formativ şi instructiv, iar prin aplicaţiile prezentate este, în acelaşi

timp, şi un ghid practic la îndemâna celor interesaţi, care fac cunoştinţă cu elementele teoretice fundamentale

ale obiectului şi metodei de cercetare a matematicii, cu principiile, procedeele şi instrumentele specifice

utilizate în modelarea realităţilor lumii economice.

Cursul este structurat pe module de studiu, fiecare având un număr de lecţii, iar cunoştinţele sunt

asimilate prin parcurgerea paşilor de învăţare.

Ritmul mediu recomandat de studiu individual este, conform programei analitice, de 2 ore

săptămânal, dar pentru parcurgerea fiecărui modul se recomandă un timp de învăţare propriu acestuia.

Fiecare modul are precizat încă de la început:

obiectivele specifice;

rezultatele aşteptate;

competenţe dobandite ca urmare a parcurgerii modulului;

timpul mediu necesar pentru asimilarea modulului,

iar în final:

rezumate;

concluzii;

exemple ilustrative;

recomandări bibliografice;

teste de autoevaluare;

teme de control (conform cu calendarul disciplinei).

Astfel structutată, materia se parcurge uşor, asigurând pregătirea graduală a studenţilor.



MODULUL 1

ALGEBRĂ LINIAR Ă

Obiectivele specifice modulului: Recapitularea şi reformularea metodelor de calcul a determinanţilor, inversei şi

rangului unei matrice şi rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare; Introducerea noţiunii de spaţiu vectorial ca generalizare a unor mulţimi studiate în

anii anteriori; Introducerea noţiunii de aplicaţie liniară în scopul transportului de structuri de la

aplicaţiile practice la cele teoretice şi invers; Definirea noţiunilor de vector şi valoare proprie.

Rezultatele aşteptate: Însuşirea algoritmilor rapizi de calcul a determinanţilor, inversei şi rangului unei

matrice şi rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare; Folosirea noţiunii de spaţiu vectorial, bază, aplicaţie liniară în structurarea unor

modele matematice; Aplicarea rezultatelor specifice algebrei liniare la rezolvarea unor probleme

economice.

Competenţe dobandite ca urmare a parcurgerii modulului: Deprinderea folosirii spaţiilor vectoriale în structurarea matematică; Realizarea de referate aplicative legate de problematica modulului; Discuţii cu specialişti în domeniu.

Timpul mediu necesar pentru asimilarea modulului : 6 ore

LECŢIA 1

MATRICE ŞI DETERMINAN ŢI Pasul 1 - Noţiuni introductive Pentru început să notăm Nm=1,...,m, m∈N*.

Definiţie Se numeşte matrice de tipul m×n cu coeficienţi reali o funcţie A:Nm×Nn→R, (i,j)→A(i,j) ∈R.

Pentru ca operaţiile şi aplicaţiile matricelor să aibă o exprimare cât mai simplă vom conveni să aranjăm elementele unei matrice sub forma unui tablou:

A=

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

L

LLLL

L

L

sau prescurtat A=( )n,...,1jm,...,1iija

== , A=(aij), i=1,...,m, j=1,...,n (notaţie preferată aici din motive de redactare) sau

simplu A=(aij) dacă domeniile de variaţie ale lui i şi j sunt subînţelese din context. Elementul (ai1 ai2 ... ain)

reprezintă linia “i” a matricei A, i=1,...,m, iar

mj

j2

j1

a

a

a

M coloana “j” a matricei A, j=1,...,n. O matrice cu o linie şi

n coloane se numeşte matrice linie, iar o matrice cu m linii şi o coloană se numeşte matrice coloană. O matrice cu acelaşi număr de linii şi coloane, m=n, se numeşte matrice pătratic ă. Numărul n se numeşte ordinul matricei . Vom nota cu Mmn(R) mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane şi cu Mn(R) mulţimea matricelor pătratice de ordinul n. Considerând o matrice A∈Mn(R), mulţimea ordonată (a11,a22,...,ann) se numeşte diagonala principal ă a matricei, iar mulţimea ordonată (a1n,a2 n-1,...an1) se numeşte diagonala secundară a matricei. Definiţie



Se numeşte aplicaţie de transpunere aplicaţia f:Mmn(R)→Mnm(R), f(A)=A t unde At=(a'ij), i=1,...,n, j=1,...,m iar a'ij=aji ∀i=1,...,n, j=1,...,m, A=(aji), j=1,...,m, i=1,...,n fiind matricea dată. Matricea At se numeşte transpusa lui A. Transpusa unei matrice se obţine prin schimbarea liniilor în coloane sau a coloanelor în linii. Operaţia de transpunere nu păstrează tipul matricelor decât în cazul celor pătratice. Definiţie

Fie A,B∈Mmn(R), A=(aij), B=(bij). Se numeşte suma matricelor A şi B matricea A+B=(cij)∈Mmn(R), cij=aij+bij ∀i=1,...,m, j=1,...,n. Definiţie

Fie α∈R şi A∈Mmn(R), A=(aij). Se numeşte înmulţirea cu scalari a matricei A cu α matricea αA=(cij)∈Mmn(R), cij=αaij ∀i=1,...,m, j=1,...,n. Definiţie

Fie A∈Mmn(R), B∈Mnp(R), A=(aij), B=(bij). Se numeşte produsul matricelor A şi B matricea

AB=(cij)∈Mmp(R), cij=∑=

n

1kkjik ba ∀i=1,...,m, j=1,...,p.

Definiţie Fie A∈Mn(R). Matricea A se numeşte inversabilă dacă ∃B∈Mn(R) astfel încât AB=BA=In.

Definiţie Se numeşte permutare de m elemente (m≥1) o funcţie bijectivă σ:Nm→Nm.

Definiţie Fie A∈Mn(R), A=(aij). Se numeşte determinantul lui A numărul:

det A=∑∈σ

σσσεnS

)n(n)1(1 a...a)(

Definiţii Fie o matrice A∈Mn(R), A=(aij). Fixăm liniile i1,...,ik şi coloanele j1,...,jk în matricea dată.

Determinantul format cu elementele aflate la intersecţia liniilor şi coloanelor fixate se numeşte minor al matricei A şi se notează:

k1

k1

i...i

j...j∆ =

kk1k

k111

jiji

jiji

aa

aa

L

LLL

L

Determinantul obţinut prin eliminarea liniilor şi coloanelor fixate mai sus se numeşte minor complementar lui k1

k1

i...i

j...j∆ şi se notează k1

k1

i...i

j...jδ . Numărul: k1

k1

k1k1k1

k1

i...i

j...j

j...ji...ii...i

j...j )1( δ−=Γ +++++ se numeşte cofactorul

sau complementul lui k1

k1

i...i

j...j∆ .

Pasul 2 - Rezultate esenţiale în calculul determinanţilor

Teoremă (Binet-Cauchy) Fie m,n∈N*, m≤n şi A∈Mmn(R), B∈Mnm(R). Atunci:

∑≤<<≤ nj...j1

j...j

j...jm1

m1

m1B detA det=AB det

Corolar Fie A,B∈Mn(R). Atunci det AB=det A⋅det B. Definiţie

Fie A∈Mmn(R), A=(aij). Fie p∈N* astfel încât 1≤p<m şi r∈N* astfel încât 1≤r<n. Definim patru matrice B∈Mpr(R), C∈Mp,n-r(R), D∈Mm-p,r(R), E∈Mm-p,n-r(R) astfel:

=

=

=

=

++++

+

+

mn1m

n 1p1+r 1p

mr1m

r 1p1 1p

pn1r p

n11r 1

pr1p

r111

aa

aa

E ,

aa

aa

D

,

aa

aa

C ,

aa

aa

B

L

LLL

L

L

LLL

L

L

LLL

L

L

LLL

L

Se spune în acest caz că am parti ţionat matricea A în blocurile B, C, D, E. Vom scrie A=

ED

CB.

Propoziţie



Fie A∈Mn(R) şi B∈Mk(R), C∈Mn-k(R) unde k<n astfel încât A=

C0

0B. Are loc atunci următoarea

egalitate: det A=det B⋅det C

Teoremă (Laplace) Fie A∈Mn(R) şi i1,...,ik linii fixate în matrice. Atunci: det A= ∑

≤<<≤Γ∆

nj...j1

i...i

j...j

i...i

j...jk1

k1

k1

k1

k1

Pasul 3 - Rangul unei matrice

Definiţie

Se numeşte rang al unei matrice, maximul ordinelor minorilor nenuli ai matricei date. Definiţie

Se numesc transformări elementare ale unei matrice următoarele: i) permutarea liniilor sau coloanelor; ii) înmulţirea unei linii (coloane) cu un factor nenul; iii) adunarea a două linii (coloane).

Propoziţie Rangul unei matrice este invariant la transformări elementare.

Propoziţie

Fie A=

C0

0B. Atunci: rang A=rang B+rang C

Corolar

Fie A= .A rang=A rang Atunci .

A00

0A0

00Ak

1=ii

k

2

1

∑

L

LLLL

L

L

Corolar

Fie A=

kk

k222

k11211

A00

AA0

AAA

L

LLLL

L

L

unde Aii, i=1,...,k-1 sunt matrice pătratice de rang egal cu ordinul lor.

Atunci: rang A=∑=

n

1kiiA rang .

Definiţii

O matrice de forma A=

kk

k222

k11211

A00

AA0

AAA

L

LLLL

L

L

unde Aii, i=1,...,k sunt matrice pătratice se numeşte

matrice superior cvasitriunghiulară. Transpusa unei matrice superior cvasitriunghiulare se numeşte matrice inferior cvasitriunghiular ă. O matrice inferior (superior) cvasitriunghiulară cu blocurile Aij=0 ∀i≠j=1,...,k se numeşte matrice cvasidiagonală. O matrice A în care blocurile Aij, i,j=1,...,k sunt matrice de ordin 1 se numeşte matrice superior triunghiular ă, matrice inferior triunghiular ă respectiv matrice diagonală. Dacă matricea Akk este nulă şi nu neapărat pătratică vom spune că A este matrice trapezoidală. Vom numi bloc diagonal principal (sau uneori bloc diagonal) un bloc al matricei care are diagonala principală inclusă în diagonala principală a matricei date. Propoziţie

Determinantul unei matrice cvasidiagonale sau cvasitriunghiulare este egal cu produsul determinanţilor blocurilor diagonale principale.

Pasul 4 - Regula dreptunghiului

Fie deci A=(aij)∈Mmn(R). Fixăm două linii i şi j şi două coloane k şi p în matricea A astfel încât aik≠0. Avem deci:



Vom numi elementul aik≠0 pivot. Înmulţind linia i cu ik

jk

a

a− şi adunând-o la linia j obţinem a'jk=0

unde notăm cu ' elementele transformate. Avem atunci pentru un element oarecare ajp: a'jp=ik

jkipjpik

a

aaaa −.

Regula de obţinere a lui a'jp din ajp se numeşte regula dreptunghiului. Într-adevăr, împrumutând denumiri matriceale, construind dreptunghiul cu diagonala principală (în sensul de mai jos) determinată de pivot şi de elementul supus transformării, obţinem că noul element va fi dat de scăderea produsului elementelor de pe diagonala secundară din produsul celor de pe diagonala principală, rezultatul împărţindu-se la pivot. Cum pivotul este nenul, putem să mai facem o transformare elementară înmulţind linia i cu pivotul. În acest caz, avem: a'jp=aikajp-aipajk. Vom conveni să distingem regulile după cele două moduri de transformare numindu-le regula dreptunghiului cu împăr ţire la pivot, respectiv fără împăr ţire la pivot. Vom prefera însă regula dreptunghiului fără împărţire la pivot din două motive: pe de o parte reduce numărul de calcule, iar pe de alta, reduce erorile de rotunjire ce apar în urma prelucrării cu mijloace de calcul. Din acest motiv, vom spune simplu regula dreptunghiului (specificând explicit faptul că este cu împărţire la pivot atunci când va fi cazul). Pentru determinarea rangului lui A vom proceda astfel: dacă A=0 atunci rang A=0. Dacă A≠0 atunci ∃aij≠0. Dacă i,j≠1 atunci prin permutări de linii şi coloane se poate aduce acest element în colţul din stânga-sus al matricei. Putem deci presupune că a11≠0. Considerându-l pe a11 drept pivot şi aplicând regula dreptunghiului pentru liniile 2,...,m obţinem matricea A1∼A:

A1=

mn3m2m

n33332

n22322

n1131211

'a'a'a0

'a'a'a0

'a'a'a0

'a'a'a'a

L

LLLLL

L

L

L

Procesul se continuă apoi pentru sub-matricea obţinută din A1 prin eliminarea primei linii şi primei coloane obţinându-se în final o matrice Ak∼A (relaţia este tranzitivă):

Ak=

000

000

'a'a0

'a'a'a

knkk

n1k111

LL

LLLLL

LL

LL

LLLLL

LL

unde am notat tot cu ' elementele transformate fără a le confunda însă cu cele din A1. Ultimele linii pot evident lipsi în cazul în care k=m (să mai notăm aici şi faptul că rang A≤minm,n). Conform corolarului 45, avem rang A=rang Ak=rang(a11)+...+ rang(akk)=k deci rangul este egal cu numărul pivo ţilor .

Pasul 5 - Inversabilitatea matricelor Teoremă

Fie A∈Mn(R). A este inversabilă⇔det A≠0. Teoremă

Dacă printr-o succesiune de transformări elementare asupra liniilor (coloanelor) unei matrice A se obţine matricea unitate I atunci considerând aceleaşi transformări aplicate matricii unitate I se obţine matricea inversă A-1. Teoremă

Fie matricea A=

43

21

AA

AA unde A∈Mn(R), A1∈Mk(R), A2∈Mk,n-k(R),

A3∈Mn-k,k(R), A4∈Mn-k,n-k(R), 1≤k≤n-1. Dacă matricele A1, A4, A1-A2A4-1A3 şi A4-A3A1

-1A2 sunt inversabile

atunci A-1=

43

21

BB

BB unde: B1=(A1-A2A4

-1A3)-1, B4=(A4-A3A1

-1A2)-1, B2= -A1

-1A2B4 şi B3= -A4-1A3B1.



LECŢIA 2

SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Pasul 1 - Noţiuni introductive

Definiţii Se numeşte sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute problema determinării numerelor reale

xi∈R astfel încât:

=+++

=+++

mnmn22m11m

1nn1212111

bxa...xaxa

bxa...xaxa

L

unde aij∈R, bi∈R, i=1,...,m, j=1,...,n. Numerele reale aij se numesc coeficienţii sistemului, bi se numesc termenii liberi ai sistemului iar xi - necunoscutele sau variabilele sistemului. Matricea A=(aij)∈Mmn(R) se numeşte matricea sistemului, B=(bi)∈Mm1(R)-matricea termenilor liberi , iar X=(xi)∈Mn1(R)- matricea necunoscutelor. Definim, de asemenea, matricea Ae=(A,B) obţinută prin adăugarea lui B la dreapta matricei A. Matricea Ae se numeşte matricea extinsă a sistemului. Cu aceste notaţii, sistemul de mai sus se scrie şi sub forma AX=B. Dacă B=0 acesta se numeşte sistem omogen. O altă notaţie a unui sistem se obţine

considerând vectorii coloană aj=(a1j a2j ... amj)t, j=1,...,n ai matricei A. Sistemul se va scrie atunci: Bxa

n

1jj

j =∑=

.

Definiţie Considerând un sistem de ecuaţii AX=B se numeşte soluţie a sistemului un vector

X=(x1,...,xn)t∈Mn1(R) ce satisface egalitatea matriceală AX=B.

Definiţii Un sistem care admite soluţie se numeşte sistem compatibil. Dacă soluţia este unică, atunci el se

numeşte sistem compatibil determinat, în caz contrar, numindu-se sistem compatibil nedeterminat. Un sistem care nu are soluţie se numeşte sistem incompatibil. Teoremă (Kronecker-Capelli)

Un sistem este compatibil dacă şi numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei sale extinse. Definiţie

Fiind dat sistemul AX=B numim sistem omogen asociat, sistemul AX=0. Propoziţie

Fie sistemul AX=B şi X0 o soluţie a sa. Atunci, orice soluţie este de forma X=X0+Y unde Y este soluţie a sistemului omogen asociat. Reciproc, pentru orice soluţie Y a sistemului omogen asociat rezultă că X=X0+Y este soluţie a sistemului dat. Teoremă

Fie un sistem omogen AX=0, rang A=r≤n unde A∈Mn(R). Mulţimea soluţiilor sistemului are următoarele proprietăţi:

1) Dacă X1,X2 sunt soluţii atunci X1+X2 este soluţie; 2) Dacă X1 este soluţie şi α∈R atunci αX1 este soluţie; 3) Există n-r soluţii independente X1,...,Xn-r (în sensul că nu se poate obţine una ca o combinaţie liniară

de celelalte - se va studia ulterior conceptul de combinaţie liniară) astfel încât orice soluţie X se poate scrie sub forma: X=α1X1+...+αn-rXn-r cu α1,...,αn-r∈R. Pasul 2 - Metoda lui Gauss

Fie sistemul AX=B cu n ecuaţii şi n necunoscute, iar rang A=n. Fie matricea extinsă Ae. Ideea folosită aici este cea de la determinarea rangului unei matrice. Dacă Ae este supusă transformărilor elementare cu pivoţi numai din A atunci rangurile celor două matrice rămân invariante, compatibilitatea sistemului conservându-se. Ne propunem să analizăm efectul transformărilor elementare asupra soluţiilor sistemului. Astfel, la permutarea a două linii ale lui Ae efectul va fi de permutare a ecuaţiilor sistemului ceea ce evident nu alterează soluţiile. Amplificarea unei linii cu un factor nenul se transpune în amplificarea ecuaţiei respective, iar adunarea a două linii reprezintă adunarea ecuaţiilor corespunzătoare, niciuna din variante nemodificând soluţiile. Transformările elementare aplicate coloanelor modifică în general soluţiile, singurul efect minor apărând la permutarea coloanelor ceea ce duce la renumerotarea variabilelor. Aplicând deci regula dreptunghiului pe linii, sistemul capătă forma:

=

=++=+++

nnnn

2nn2222

1nn1212111

bxa

bxa...xa

bxa...xaxa

L



cu aii≠0, i=1,...,n (deoarece rang A=n). Înlocuind succesiv soluţiile în ecuaţiile de deasupra obţinem:

−=−−−=

=

+ 1,...,1nk ,a

xa...xabx

a

bx

kk

1k1+k knknkk

nn

nn

Pasul 3 - Metoda descompunerii în blocuri Fie sistemul AX=B cu n ecuaţii şi necunoscute iar rang A=n. Partiţionăm matricea A în forma

A=

43

21

AA

AA unde A∈Mn(R), A1∈Mk(R), A2∈Mk,n-k(R), A3∈Mn-k,k(R), A4∈Mn-k,n-k(R), 1≤k≤n-1 iar

matricele A1 şi A4-A3A1-1A2 sunt inversabile. Notăm Y1=(x1,..., xk)

t, Y2=(xk+1,...,xn)t, B1=(b1,...,bk)

t, B2=(bk+1,...,bn)

t. Sistemul se scrie sub forma:

=+=+

22413

12211

BYAYA

BYAYA

Din prima ecuaţie rezultă Y1=A1-1B1-A1

-1A2Y2 şi înlocuind în a doua ecuaţie, obţinem: Y2=(A4-A3A1-

1A2)-1(B2-A3A1

-1B1). Revenind apoi la Y1 se obţine şi expresia acestuia: Y1=A1-1B1-A1

-1A2(A4-A3A1-1A2)

-1(B2-A3A1

-1B1).

LECŢIA 3

SPAŢII VECTORIALE REALE Pasul 1 - Definiţie, reguli de calcul, subspaţii vectoriale

Definiţie Fie câmpul numerelor reale R şi V o mulţime nevidă. V se numeşte spaţiu vectorial real dacă există

o lege de compoziţie internă +:V×V→V şi o lege de compoziţie externă ⋅:R×V→V astfel încât: 1) (x+y)+z=x+(y+z) ∀x,y,z∈V; 2) ∃e∈V astfel încât ∀x∈V⇒e+x=x; 3) ∀x∈V⇒∃x'∈V astfel încât x'+x=e; 4) α(x+y)=αx+αy ∀α∈R ∀x,y∈V; 5) (α+β)x=αx+βx ∀α,β∈R ∀x∈V; 6) (αβ)x=α(βx) ∀α,β∈R ∀x∈V; 7) 1x≠0 ∀x∈V, x≠0.

Vom nota în cele ce urmează V/R faptul că V este spaţiu vectorial peste câmpul R sau, uneori, simplu V. Propoziţie (reguli de calcul)

Fie V/R. Atunci: a) (V,+) este grup cu elementul neutru 0 şi -x elementul opus lui x∈V; b) α(x-y)=αx-αy ∀α∈R ∀x,y∈V; c) (α-β)x=αx-βx ∀α,β∈R ∀x∈V;

d) ∑∑∑∑= ===

α=αn

1i

m

1jji

m

1jj

n

1ii yy ∀m,n∈N* ∀αi∈R, i=1,...,n ∀yj∈V, j=1,...,m;

e) α0=0 ∀α∈R; f) 0x=0 ∀x∈V; g) 1x=x ∀x∈V; h) αx=0⇒α=0 sau x=0; i) α(-x)=(-α)x=-αx ∀α∈R ∀x∈V; j) (-α)(-x)=αx ∀α∈R ∀x∈V; k) x+y=y+x ∀x,y∈V;

l) Fie σ∈Sn (grupul permutărilor de n elemente). Atunci: ∑∑=

σ=

=n

1i)i(

n

1ii xx ∀n∈N* ∀xi∈V, i=1,...,n.

Definiţie Fie V/R şi U⊂V. U se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă operaţiile induse de pe V pe U

conferă lui U o structură de spaţiu vectorial real. Vom nota U<V. Definiţie



Fie V/R şi v1,...,vn∈V, α1,...,αn∈R, n∈N*. Vectorul v=α1v1+...+αnvn se numeşte combinaţie liniară a vectorilor vi, i=1,...,n.

Noţiunea de combinaţie liniară furnizează cea mai largă operaţie complexă care se poate efectua într-un spaţiu vectorial. Teoremă

Fie V/R şi U⊂V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) U este subspaţiu vectorial al lui V; 2) ∀x,y∈U ∀α∈R⇒x+y∈U,αx∈U; 3) ∀α,β∈R ∀x,y∈U⇒αx+βy∈U; 4) ∀n∈N* ∀αi∈R ∀vi∈U, i=1,...,n⇒α1v1+...+αnvn∈U.

Propoziţie Fie V/R şi v1,...,vn∈V, n∈N*. Atunci:

<v1,...,vn>= α1v1+...+αnvnαi∈R, i=1,...,n este un subspaţiu vectorial al lui V şi este cel mai mic (în sensul incluziunii) subspaţiu care conţine pe v1,...,vn. Definiţie

Numim <v1,...,vn> subspaţiul generat de sistemul de vectori v1,...,vn. Propoziţie

Fie V/R şi U1,U2<V. Atunci U1∩U2<V. Propoziţie

Fie V/R şi U1,U2<V. Atunci U1+U2=v+wv∈U1, w∈U2<V. Pasul 2 - Sisteme de generatori, dependenţă liniar ă, baze

Definiţie Fie V/R şi S=v1,...,vn⊂V unde n∈N*. S se numeşte sistem (finit) de generatori pentru V dacă

∀v∈V⇒∃α1,...,αn∈R astfel încât v=α1v1+...+αnvn. V se numeşte spaţiu vectorial finit generat şi vom scrie V=<v1,...,vn>. Teoremă

Fie V/R şi S=v1,...,vn un sistem de generatori al lui V. Fie T=w1,...,wn⊂V şi p≠q∈1,...,n astfel încât

++

≠≤≤=

q=i daca dvcv

p;=i daca bvav

q;p,in,i1 daca v

w

qp

qp

i

i , i= n,1

unde a,b,c,d∈R, ad-bc≠0. În aceste condiţii, T este un sistem de generatori pentru V. Definiţie

Două sisteme de vectori ai unui spaţiu vectorial se numesc sisteme echivalente de vectori dacă generează acelaşi subspaţiu. Propoziţie

Două sisteme de vectori sunt echivalente dacă şi numai dacă vectorii din fiecare sistem sunt combinaţii liniare de vectorii celuilalt sistem. Definiţie

Fie V/R şi S=v1,...,vn⊂V, unde n∈N*. Sistemul de vectori S se numeşte sistem liniar independent (finit) de vectori din V dacă ∀α1,...,αn∈R astfel încât α1v1+...+αnvn=0⇒α1=0,...,αn=0. Vom scrie, pe scurt, ind S. Definiţie

Fie V/R şi S=v1,...,vn⊂V, unde n∈N*. Sistemul de vectori S se numeşte sistem liniar dependent (finit) de vectori din V dacă nu este liniar independent, adică ∃α1,...,αn∈R, nu toţi nuli, astfel încât α1v1+...+αnvn=0. Vom scrie, pe scurt, dep S. Propoziţie

Fie V/R şi S=v1,...,vn⊂V. Atunci dep S⇔∃1≤k≤n, astfel încât vk=∑≠=

αn

ki1i

ii v .

Definiţie Fie V/R. Un sistem de vectori din V se numeşte bază dacă este sistem de generatori şi sistem liniar

independent.

Fie V/R şi B=v1,...,vn⊂V o bază. Fie v∈V, arbitrar. Atunci ∃α1,...,αn∈R astfel încât v=∑=

αn

1iii v .

Sistemul de scalari (α1,...,αn) fiind unic determinat de vectorul v şi baza dată, poartă numele de coordonate



ale vectorului v în baza dată. Vom mai scrie şi vB=(α1,...,αn)t=

α

α

n

1

... unde αi, i=1,...,n sunt coordonatele lui v

în baza B. Dacă adoptăm o astfel de scriere condensată a unui vector, va trebui să considerăm baza ca fiind ordonată, în caz contrar, la o permutare a vectorilor bazei permutându-se şi coordonatele respective.

Fie acum V/R şi o bază B==v1,...,vn⊂V. Fie, de asemenea, vectorii v,w∈V, v=∑=

αn

1iii v ,

w=∑=

βn

1iii v , αi,βi∈R, i= n,1 . Avem: v+w= ∑∑

==

β+αn

1iii

n

1iii vv =∑

=

β+αn

1iiii v)( şi cum toate descompunerile sunt

unice, rezultă că putem scrie formal: (α1,...,αn)t+(β1,...,βn)

t=(α1+β1,...,αn+βn)t. Prin urmare, adunarea a doi

vectori se poate face adunându-i pe coordonate. Analog, pentru α∈R, arbitrar, avem αv= ∑=

ααn

1iii v =

∑=

ααn

1iii v , deci, formal: α(α1,...,αn)

t=(αα1,...,ααn)t, de unde rezultă că înmulţirea unui vector cu un scalar se

face pe coordonate. Din aceste consideraţii, vedem că noţiunea de bază este fundamentală în studiul spaţiilor vectoriale,

deoarece reduce operaţiile definitorii la operaţii algebrice între coordonate. Teoremă

Orice spaţiu vectorial nenul admite o bază. bile. Teoremă

Dacă B este o bază a lui V/R, atunci orice altă bază B' a lui V/R are card B'=card B. Definiţie

Fie V/R. Se numeşte dimensiunea lui V numărul vectorilor unei baze. Vom nota dim V.

LECŢIA 4

APLICA ŢII LINIARE Pasul 1 - Noţiuni introductive

Definiţie Fie V/R şi W/R. O aplicaţie f:V→W se numeşte morfism de spaţii vectoriale sau aplicaţie R-

liniar ă sau, simplu, aplicaţie liniar ă dacă satisface următoarele axiome: 1) f(x+y)=f(x)+f(y) ∀x,y∈V-aditivitatea; 2) f(αx)=αf(x) ∀x∈V ∀α∈R-omogenitatea.

Propoziţie Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci:

1) f(0)=0; 2) f(-v)=-f(v) ∀v∈V.

Propoziţie Fie V/R, W/R şi f:V →W. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) f este aplicaţie liniară; 2) f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) ∀α,β∈R ∀x,y∈V;

3) ∑∑==

α=

α

n

1iii

n

1iii )v(fvf ∀αi∈R ∀vi∈V, i=1,...,n, n≥1.

Din propoziţia de mai sus, se observă, ca şi în cazul subspaţiilor vectoriale, cum verificarea faptului că a aplicaţie este sau nu liniară se reduce la o singură formulă. În aplicaţiile practice, vom folosi punctul 2) de mai sus, urmând ca, în cazul existenţei liniarităţii să aplicăm 3) pentru orice sistem de vectori. Practic, punctul 3) al propoziţiei afirmă faptul că o aplicaţie liniară duce orice combinaţie liniară de vectori în combinaţia liniară a imaginilor acestora.

Pasul 2 - Comportarea aplicaţiilor liniare la opera ţiile cu subspaţii

Propoziţie ]Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Dacă V'<V, W'<W atunci f(V')<W şi f -1(W')<V.

Corolar Fie V/R, W/R, f∈L(V,W). În acest caz, imaginea aplicaţiei liniare Im f<W, iar nucleul acesteia

(kernel (engl.)=nucleu) Ker f=x∈V f(x)=0<V. Propoziţie



Fie V/R, W/R, f∈L(V,W). Atunci: 1) f este injectivă ⇔Ker f=0; 2) f este surjectivă ⇔Im f=W.

Definiţie Fie V/R, W/R. f∈L(V,W) se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale dacă ∃g∈L(W,V) astfel încât

f°g=1W, g°f=1V. Propoziţie

Fie V/R şi V1,V2<V astfel încât V=V1⊕V2. Fie f∈L(V,W), injectivă. Atunci: f(V1⊕V2)=f(V1)⊕f(V2). Teoremă (fundamentală de izomorfism)

Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci V/Ker f≅Im f. Corolar

Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci: dim V=dim Ker f+ dim Im f. Corolar

Fie V/R, W/R şi f∈L(V,W). Atunci: 1) f este injectivă⇒dim V≤dim W; 2) f este surjectivă⇒dim V≥dim W; 3) f este bijectivă⇒dim V=dim W.

Propoziţie Fie V/R, W/R, Z/R. Dacă f,g∈L(V,W) şi h∈L(W,Z) atunci f+g∈L(V,W), αf∈L(V,W) ∀α∈R,

h°g∈L(V,Z). Teoremă

Fie V/R, W/R. Atunci: V≅W⇔dim V=dim W. Corolar

Fie V/R, dim V=n. Avem V≅Rn. Fie acum V/R cu o bază B=e1,...,en şi W/R cu o bază B'=f1,...,fm. Fie T∈L(V,W). Avem

∀i=1,...,n⇒T(ei)∈W şi cum B' este bază în W rezultă că T(ei) se descompune după ea. Avem deci

T(ei)=∑=

m

1jjji fa , aji∈R, i=1,...,n, j=1,...,m. Vom numi matricea ( )

n,...,1im,...,1jjia

== matricea asociată aplicaţiei liniare T

în bazele B şi B'. Vom mai scrie şi [T]BB' de câte ori va fi necesar. Avem astfel:

[T]BB'=

↓↓↓

→

→→

mn2m1m

n22221

n11211

f dupa componenta

...

f dupa componenta

f dupa componenta

a...aa

............

a...aa

a...aa

)e(T

)e(T

)e(T

m

2

1

n21

Fie v∈V. Atunci v=∑=

αn

1iiie cu αi∈R, i=1,...,n. Avem:

T(v)=T(∑=

αn

1iiie )=∑

=α

n

1iii )e(T = ∑ ∑∑∑

= ===

α=α

m

1jj

n

1iiji

m

1jjji

n

1ii fafa

Ţinând seama de convenţia de scriere a unui vector pe coloană avem (T(v))B'=[T]BB'vB.

LECŢIA 5

APLICA ŢII MULTILINIARE. FORME P ĂTRATICE. VECTORI ŞI VALORI PROPRII Pasul 1 - Aplicaţii multiliniare

Definiţie

Fie V1,...,Vn,W spaţii vectoriale peste R. O aplicaţie f:∏=

n

1iiV →W se numeşte aplicaţie n-liniar ă

(aplicaţie multiliniară) dacă este liniară în fiecare argument adică: f(x1,...,xi-1,axi+byi,xi+1,...,xn)=af(x1,...,xi-1,xi,xi+1,...,xn)+bf(x1,...,xi-1,yi,xi+1,...,xn)

∀xk,yk∈Vk, k=1,...,n ∀a,b∈R ∀i=1,...,n. Propoziţie

Ln(V1,...,Vn;W) este un R-spaţiu vectorial împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari ale aplicaţiilor n-liniare. Teoremă

Fie V/R, W/R, Z/R. Atunci: L2(V,W;Z)≅L(V,L (W,Z)).



Corolar Fie V1/R,...,Vn/R,W/R. Atunci:

Ln(V1,...,Vn;W)≅L(V1,L(V2,...,L(Vn-1,L(Vn,W))...)) Teoremă

Fie V/R, W/R şi dim V=n, dim W=m. Atunci: dim L(V;W)=mn. Corolar

Fie V1/R,...,Vn/R,W/R, dim Vi=di, i=1,...,n şi dim W=m. Atunci: dim Ln(V1,...,Vn;W)=d1...dnm

Observaţie Dacă W=R aplicaţiile n-liniare se numesc forme n-liniare . Pentru n=1 se numesc simplu forme

liniare sau funcţionale liniare, iar pentru n=2-forme biliniare . Corolar

Fie V/R. Atunci dim Ln(V;R)=dn unde dim V=d. Fie acum V/R şi B=e1,...,em o bază a lui V. Fie f∈Ln(V;R) o formă n-liniară. Atunci ∀x∈V avem

x=∑=

m

1ii

iex deci:

f(x1,...,xn)= ( ).e,...,efx...x...ex,...,exfm

1i

m

1iii

i

n

i

1

m

1ii

i

n

m

1ii

i

11 n

n1

n1

nn

n

11

1 ∑ ∑∑∑= ===

=

Prin urmare, valoarea formei n-liniare este unic determinată de acţiunea ei asupra bazei spaţiului vectorial. Notând ( )

n1n1 i...iii ae,...,ef = ∈R, obţinem forma generală a lui f:

f(x1,...,xn)=∑ ∑= =

m

1i

m

1i

i

n

i

1i...i1 n

n1

n1x...xa...

Reciproc, orice aplicaţie de forma de mai sus este n-liniară deoarece ∀a,b∈R ∀x,y∈V avem pentru componenta k (1≤k≤n):

=+=+ ∑ ∑∑= ==

m

1i

m

1i

i

n

ppi

1i...i

m

1pn1

1 n

n1

n1x)...byax...(xa......)x,...byax,...,x(f

).x,...y,...,x(bf)x,...x,...,x(af

x...y...xa......bx...x...xa......a

n1n1

m

1i

m

1i

i

npi

1i...i

m

1p

m

1i

m

1i

i

npi

1i...i

m

1p 1 n

n1

n11 n

n1

n1

+

=+ ∑ ∑∑∑ ∑∑= === ==

Definiţie Fie V/R, W/R şi f:V n→W, n≥1. Considerând Sn-grupul permutărilor de n elemente definim aplicaţia:

σf:Vn→W: (σf)(x1,...,xn)=f(xσ(1),...,xσ(n)), σ∈Sn Definiţie

O aplicaţie n-liniară f se numeşte aplicaţie simetrică dacă ∀σ∈Sn⇒σf=f. Definiţie

O aplicaţie n-liniară f se numeşte aplicaţie alternată (aplicaţie antisimetrică) dacă ∀σ∈Sn⇒σf=ε(σ)f (ε(σ) este signatura permutării σ). Teoremă

O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este alternată dacă şi numai dacă: f(x1,...,xi,...,xj,...,xn)=0 ∀xi∈V, i=1,...,n iar xi=xj, i≠j arbitrari. Definiţie

Fie o aplicaţie n-liniară f:Vn→W. Definim aplicaţia de alternare:

Alt:Ln(V;W)→Ln(V;W), Alt(f)= ∑∈σ

σσεnS

f)(!n

1

Alt se numeşte operatorul de alternare. Propoziţie

O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este alternată dacă şi numai dacă Alt(f)=f. Corolar

Operatorul de alternare este involutiv adică Alt °Alt= Alt. Definiţie

Fie o aplicaţie n-liniară f:Vn→W. Definim aplicaţia de simetrizare:

Sim:Ln(V;W)→Ln(V;W), Sim(f)= ∑∈σ

σnS

f!n

1

Sim se numeşte operatorul de simetrizare. Propoziţie

O aplicaţie n-liniară f:Vn→W este simetrică dacă şi numai dacă Sim(f)=f. 24. Corolar

Operatorul de simetrizare este involutiv adică Sim°Sim=Sim.



Pasul 2 - Forme liniare În continuare, vom studia câteva aspecte privind formele liniare. Fie deci V/R, dim V=n. O formă liniară este deci o aplicaţie f∈L(V,R) astfel încât dacă B=e1,...,en

este o bază a lui V/R atunci f(x)=∑=

n

1i

iixa unde x=∑

=

n

1ii

iex , f(ei)=ai, i=1,...,n.

Deoarece L(V,R) este un spaţiu vectorial peste R, îl vom nota V* şi-l vom numi dualul spaţiului vectorial V/R. Elementele lui V* se numesc covectori. Din corolarul 10, rezultă că dim V*=dim V=n. Să considerăm acum un sistem de forme liniare pe V: (ei)i=1,...,n unde ei:V→R, ei(ej)=δij, i,j=1,...,n. Se

verifică uşor că ei sunt forme liniare pe V. În plus, dacă: =

== ∑∑==

n

1jj

jiin

1jj

j exe)x(e avem exx =∑=

n

1jj

ij )e(ex

.n,...,1i,xx in

1jij

j ==δ∑=

Propoziţie Fie V/R şi B=e1,...,en o bază a sa. Atunci B*=e1, ...,en unde ei(ej)=δij, i,j=1,...,n este o bază a lui

V*. Observaţie

Baza B* se numeşte baza duală lui B. Se pune acum în mod natural următoarea problemă: cum se schimbă bazele duale în raport cu schimbările de baze din V. Fie deci B1=e1,...,en şi B2=f1,...,fn două baze în V. Fie B1

*=e1,...,en şi

B2*=f1,...,fn bazele duale. Fie T∈V*. Atunci: ∑

=

=n

1i

ii e)e(TT = ∑

=

n

1j

jj f)f(T . Avem: [ ] [ ]

2112 BBBB MTT = . Dar:

[ ] [ ] [ ] tn1B

tn11

BBBtn1

B )f,...,f(T)e,...,e(MT)e,...,e(T=T22121

== − de unde: tn1tn11

BB )f,...,f()e,...,e(M21

=− sau altfel: tn1BB

tn1 )f,...,f(M)e,...,e(21

= . Fie acum: T(ei)=ξi, T(fj)=ωj. Avem

deci: tn1

n1 )e,...,e)(,...,(=T ξξ =

=ξξ tn1BBn1 )f,...,f(M),...,(

21

tn1

n1 )f,...,f)(,...,( ωω de unde rezultă:

(ξ1,...,ξn)21BBM =(ω1, ...,ωn).

Prin urmare, la o transformare de bază în V, vectorii bazei lui V* se transformă după legea de schimbare a coordonatelor din V, iar componentele unui covector se transformă după legea de schimbare a bazei din V.

Pasul 3 - Forme biliniare, forme pătratice

Vom studia acum câteva aspecte caracteristice privind formele biliniare. Am văzut că expresia generală a unei forme biliniare într-o bază B=e1,...,en a lui V/R este:

f(x,y)=∑=

n

1j,i

jiij yxa unde ∑

n

1=ii

iex=x , ∑n

1=jj

jey=y . Dacă vom considera o altă bază B'=f1,...,fn a lui V/R, se

pune în mod natural problema determinării matricei formei în această nouă bază în funcţie de matricea din vechea bază. Notând deci [f]B=(aij), este evident că o formă biliniară se poate scrie f(x,y)=xB

t[f]ByB sau ţinând seama de faptul că f(x,y)∈R, deci transpunerea îl lasă invariant, f(x,y)=yB

t[f]BtxB. Considerând matricea de

trecere MBB' de la baza B la B' avem în baza B': f(x,y)=xB't[f]B'yB'=(MBB'

-1)txBt[f]B'MBB'

-1yB de unde, după identificare, avem: [f]B= (MBB'

-1)t[f]B'MBB'-1 sau altfel [f]B'=MBB'

t[f]BMBB'. Propoziţie

Orice formă biliniară f se poate scrie ca suma unei forme biliniare simetrice cu una alternată: f=Sim(f)+Alt(f). Definiţie

Fie o formă biliniară f:V2→R. Se numeşte forma pătratic ă asociată lui f, aplicaţia: H:V→R, H(x)=f(x,x) ∀x∈V.

Dându-se o formă omogenă de grad 2, adică o aplicaţie H:V→R, H(αx)=α2H(x) ∀x∈V ∀α∈R

definim: g(x,y)=2

1(H(x+y)-H(x)-H(y)) ∀x,y∈V. Avem g(x,x)=H(x) ∀x∈V, deci g este formă biliniară

simetrică, a cărei formă pătratică asociată este H. Vom numi g-forma polară a lui H. Se observă că matricele formei pătratice şi a formei polare sunt identice.

Fie acum în V/R baza B=e1,...,en şi x=∑=

n

1ii

iex ∈V. Fiind dată matricea A=(aij), i,j=1,...,n a unei

forme pătratice H, avem: H(x)=xtAx= ∑=

n

1j,i

jiij xxa de unde detaliat:

H(x)= 2nnn

2222

n1n1

2112

2111 )x(a...)x(axxa2...xxa2)x(a ++++++



La o schimbare de bază în V, avem aceeaşi formulă de transformare a matricei unei forme pătratice ca şi în cazul formelor biliniare. Simetria matricei se păstrează indiferent de baza lui V. Forma polară a lui H este:

g(x,y)=2

1(H(x+y)-H(x)-H(y))=

−−++ ∑∑∑===

n

1j,i

ji

ij

n

1j,i

ji

ij

n

1j,i

jjii

ij yyaxxa)yx)(yx(a2

1=

−−+++ ∑∑∑∑∑∑======

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij

n

1j,i

jiij yyaxxayyaxyayxaxxa

2

1=

+∑∑==

n

1j,i

ji

ij

n

1j,i

ji

ij xyayxa2

1=

+∑=

n

1j,i

ji

jiij yx)aa(2

1=∑

=

n

1j,i

ji

ij yxa = ∑∑≠

==

+n

ji1j,i

ji

ij

n

1i

ii

ii yxayxa .

Prin urmare, forma polară lui H se poate obţine prin procedeul de dedublare care constă în următoarele transformări:

• Expresiile de forma aii(xi)2 se transformă în aiix

iyi; • Expresiile de forma 2aijx

ixj se transformă în aij(xiyj+xjyi) (∀i≠j).

Pasul 4 - Vectori şi valori proprii

Definiţie

Fie V/R. Un subspaţiu W<V se numeşte subspaţiu invariant al lui V faţă de un endomorfism f:V→V dacă f(W)⊂W adică f(x)∈W ∀x∈W. Fie f:V→V şi W<V, invariant prin f. Să considerăm o bază B'=e1,...,ek a lui W şi să o completăm până la o bază B=e1,...,ek, ek+1,...,en a lui V. Avem deci f(B')⊂W de unde f(ei)∈W, i=1,...,k. Fie deci:

k,...,1i ,ea)e(fk

1jjjii ==∑

=

iar ∑=

=n

1jjjss ea)e(f , s=k+1,...,n. Matricea lui f în baza B este:

[f]B=

++

+

nn1+k n

n 1k1+k 1k

kn1+k kkk1k

n11k 1k111

aa00

aa00

aaaa

aaaa

LL

LLLLLL

LL

LL

LLLLLL

LL

Considerând spaţiul Z generat de vectorii ek+1,...,en avem V=W⊕Z. Dacă şi Z este invariant atunci matricea lui f este cvasidiagonală, adică:

[f]B=

++

nn1+k n

n 1k1+k 1k

kk1k

k111

aa00

aa00

00aa

00aa

LL

LLLLLL

LL

LL

LLLLLL

LL

Generalizarea este imediată în sensul că dacă V=V1⊕...⊕Vp iar V1,..., Vp sunt invariate de f atunci matricea lui f în baza B1∪...∪Bp (Bi-bază a lui Vi, i=1,...,p) este cvasidiagonală. Reamintim că operaţiile cu matrice cvasidiagonale se fac ca şi când blocurile diagonale sunt simple elemente. În particular, inversarea unui operator implică inversarea blocurilor. Evident, cu cât ele vor fi mai mici (în sensul dimensiunii acestora) cu atât operaţiile vor fi mai simple. Vom încerca, deci, să determinăm cele mai mici subspaţii invariante ale unui operator. Subspaţiile de dimensiune nulă sunt întotdeauna invariante deoarece f(0)=0⊂0 ştiind că unicul subspaţiu de dimensiune 0 este subspaţiul nul. Cum acesta oricum nu are o bază, el nu prezintă importanţă pentru studiul nostru. Ne vom continua deci discuţia relativ la subspaţiile invariante de dimensiune 1. Fie deci W<V, dim W=1. Atunci, ∀w∈W, w≠0⇒B'=w este bază a lui W. În acest caz, f(B')⊂W implică faptul că ∃λW∈R astfel încât f(w)=λWw. Definiţie

Fie V/R şi f∈L(V). Un vector v∈V-0 se numeşte vector propriu pentru f dacă ∃λ∈R astfel încât f(v)=λv. λ se numeşte valoare proprie a endomorfismului f. Propoziţie

Orice vector propriu corespunde unei singure valori proprii. Propoziţie



Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk∈R, k≥2, valori proprii distincte. Vectorii proprii v1,...,vk, corespunzători acestor valori proprii, sunt liniar independenţi.

Ne punem acum problema determinării concrete a vectorilor proprii. Cu toate că noţiunea de valoare proprie a apărut în procesul definirii vectorilor proprii, algoritmul de determinare a acestora va acţiona exact invers. Vom determina astfel, mai întâi valorile proprii şi apoi vectorii proprii respectivi. Fie deci v≠0 un vector propriu al lui f∈L(V). Există atunci λ∈R astfel încât f(v)=λv=λ1V(v) unde 1V este endomorfismul unitate al lui V. Avem deci: (f-λ1V)(v)=0 de unde v∈Ker(f-λ1V) adică Ker(f-λ1V)≠0. Fie A=[f]B şi I=[1V]B într-o bază oarecare B a lui V. Din cele de mai sus rezultă că rang(A-λI)<n deci det(A-λI)=0. Definiţie

Polinomul P(λ)=det(A-λI) se numeşte polinomul caracteristic al endomorfismului f iar ecuaţia P(λ)=0 se numeşte ecuaţia caracteristică a endomorfismului f. Propoziţie

Polinomul caracteristic este invariant la schimbări de bază. Teoremă

Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk valori proprii distincte. Atunci există o bază B a lui V astfel încât:

[f]B=

λ

λλ

++

nn1+k n

n 1k1+k 1k

kn1+k kk

2n1+k 22

n11+k 11

cc000

cc000

bb00

bb00

bb00

LL

LLLLLLL

LL

LL

LLLLLLL

LL

LL

unde bij∈R, i=1,...,k, j=k+1,...,n şi cpr∈R, p=k+1,...,n, r=k+1,...,n. Corolar

Dacă f are toate valorile proprii distincte, atunci există o bază a lui V în care matricea lui f are forma diagonală. Teoremă

Fie f∈L(V) şi λ o valoare proprie a lui f. Fie mulţimea S(λ)=v∈Vf(v)=λv. Atunci: 1) S(λ) este un subspaţiu vectorial al lui V invariant faţă de f; 2) Dacă d(λ)=dim S(λ) atunci d(λ)=n-rang(A-λI) unde A=[f]B, B-bază arbitrară; 3) Dacă m(λ) este ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ atunci d(λ)≤m(λ).

Observaţie S(λ) se numeşte subspaţiul propriu asociat lui λ.

Definiţie Un endomorfism f∈L(V) se numeşte endomorfism diagonalizabil dacă există o bază B a lui V în

care [f]B este matrice diagonală. Teoremă

Fie f∈L(V) şi λ1,...,λk valori proprii distincte ale lui f. Endomorfismul f este diagonalizabil dacă şi numai dacă d(λi)=m(λi), i=1,...,k. În baza B formată cu vectorii proprii corespunzători valorilor proprii λ1,...,λk avem:

[f]B=

linii )(d

linii )(d

000

000

000

000

k

1

k

k

1

1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

M

LLL

LLLLLLL

LLL

LLLLLLL

LLL

LLLLLLL

LLL

Definiţie Un endomorfism se numeşte endomorfism triangularizabil dacă există o bază în care matricea

acestuia să fie (inferior sau superior) triunghiulară. Teoremă

Un endomorfism f∈L(V) este triangularizabil dacă şi numai dacă polinomul său caracteristic se descompune în factori de gradul I (nu neapărat distincţi). Definiţie

Fie un polinom P=anXn+...+a1X+a0∈R[X] şi o matrice A∈Mm(R). Vom numi polinom de matrice

expresia: P(A)=anAn+...+a1A+a0Im∈Mm(R).



Definiţie O matrice A se spune că este de tip celulă Jordan dacă este de forma:

λ

λλ

λ

=λ

0000

000

010

001

)(A

LLLLL

L

L

L

Definiţie O matrice A se spune că are forma canonică Jordan dacă este de forma:

λ

λ=

)(A0

0)(A

A

k

1

L

LLL

L

unde λ1,...,λk∈R nu neapărat distincte iar A(λi), i=1,...,k sunt celule Jordan. Teoremă (Hamilton-Cayley)

Fie f∈L(V), B o bază a lui V, A=[f]B şi P polinomul caracteristic al lui f. Atunci P(A)=0. Definiţie

Fie f∈L(V). f se numeşte endomorfism nilpotent dacă ∃p∈N* astfel încât fp(x)=0 ∀x∈V. p se numeşte indicele de nilpotenţă dacă este cel mai mic cu această proprietate. Teoremă

Fie V/R, dim V=n. Dacă f∈L(V) este nilpotent, atunci există o bază a lui V astfel încât:

[f]B=

ε

εε

−

00000

0000

0000

0000

1n

2

1

L

L

LLLLLL

L

L

unde εi∈0,1, i=1,...,n-1. Propoziţie

Fie V/R, dim V=n, f∈L(V) şi fie P polinomul său caracteristic. Dacă R este algebric închis iar

P(λ)=(-1)n ( ) ( ) j1 m

j

m

1 ... λ−λλ−λ cu λ1≠...≠λj, m1+...+mj=n notăm Vk=Ker(f-λk1V), k=1,...,j. În aceste condiţii:

1) Vk≠0, k=1,...,j; 2) Vk<V, k=1,...,j; 3) Vk este invariant faţă de f; 4) V=V1⊕...⊕Vj.

Teoremă Fie f∈L(V) cu V/R, dim V=n şi R algebric închis. Atunci există o bază în V în care matricea lui f are

forma canonică Jordan. Teoremă

Fie f∈L(V) cu V/R, dim V=n şi R algebric închis. Dacă [f]B=

[ ]

[ ]

j

1

B

B

f0

0f

L

LLL

L

cu B şi Bk, k= j,1

astfel încât Bk o bază pentru care [ ]kBVk1f λ− are forma din teorema 35, iar B=B1∪...∪Bj, atunci

∀P=anXn+...+a1X+a0∈R[X] avem: P([f]B)=

[ ]

[ ]

)f(P0

0)f(P

j

1

B

B

L

LLL

L

unde:

[ ]

λ

−λλλ

−λλλλ

=−

−

)(P000

)!2d(

)(P

!1

)('P)(P0

)!1d(

)(P

!2

)("P

!1

)('P)(P

)f(P

i

i

i

)2d(

ii

i

i

)1d(

iii

B

i

i

i

L

LLLLL

L

L

λi fiind valoarea proprie corespunzătoare blocului [ ]iBf iar di fiind ordinul lui [ ]

iBf , i=1,...,j.



Pasul 5 - Reducerea formelor pătratice la forma canonică Fie V/R, dim V=n şi o formă pătratică H:V→R, H(x)=xtAx, A∈Mn(R)-simetrică. Ne propunem în

această secţiune să determinăm o bază a lui V, în care matricea formei pătratice să aibă forma diagonală. În acest caz se spune că forma pătratică este adusă la forma normală. Dacă matricea formei pătratice în această nouă bază are pe diagonala principală numai 1 sau –1 spunem că forma este cea canonică. Fie o bază B a lui V şi baza căutată B'. Dacă C este matricea de trecere MBB' atunci

A'=CtAC=

n

1

c0

0c

L

LLL

L

cu ci∈R, i=1,...,n. În această bază avem H(x)=xtA'x=c1(x'1)2+... +cn(x'n)2 şi este

evident că H are cel mai mic număr de termeni. Metoda Gauss

Fie H(x)=∑=

n

1j,i

ji

ij xxa ≠0 unde x=(x1,...,xn)t. Avem două situaţii:

I. ∃i=1,...,n astfel încât aii≠0. După o eventuală renumerotare putem considera a11≠0. În acest caz formăm un pătrat perfect care să includă termenii ce-l conţin pe x1. Astfel:

H(x)= [ ]2n

n1

2

12

n

n1

2

12

1

11

212

11

11

)xa...xa()xa...xa(xa2)x(aa

1 ++++++ +E(x2,...,xn)=11a

1(a11x

1+...+a1nxn)2+E(x2,...,xn)

. Fie transformarea:

>=++

=1i,x

;1i,xa...xay

i

nn1

111i

Avem atunci H(y)=11a

1(y1)2+E(y2,...,yn) unde E este o formă pătratică în y2,...,yn.

II. ∀i=1,...,n avem aii=0. Cum H≠0⇒∃aij≠0. După o eventuală renumerotare putem presupune că a12≠0. Fie transformarea:

>=−=+

=2i,x

;2i,xx

;1i,xx

yi

21

21

i

Înlocuind în expresia lui H obţinem a'11≠0 deci ne reducem la cazul I. Cum E este o formă pătratică în y2,...,yn reluăm consideraţiile anterioare. În final H va avea forma normală: H(x)=b1(z

1)2+...+bk(zk)2 unde x=(z1,...,zn)t în noua bază. Cu transformarea de variabile:

>==

=

ki ,zv

;zbv

...

;zbv

ii

k

k

k

1

1

1

forma H are forma canonică şi devine H(x)=ε1(v1)2+...+εk(v

k)2 unde x=(v1,...,vn)t în această ultimă bază iar εp=sgn(bp)∈-1,1, p=1,...,k. Transformarea generală de coordonate se obţine din compunerea celor succesive de mai sus. Metoda Jacobi Teoremă

Fie H:V→R o formă pătratică reală şi B=e1,...,en o bază a lui V/R. Fie A=(aij) matricea lui H în baza B. Fie, de asemenea:

A i=

ii1i

i111

aa

aa

L

LLL

L

, i=1,...,n

Dacă ∆i=det Ai sunt nenuli atunci există o bază B'=f1,...,fn obţinută din B cu o matrice de trecere triunghiulară în care forma normală a lui H este:

2n

n

1n22

2

121

1

)(...)()(1

)x(H ξ∆

∆++ξ

∆∆

+ξ∆

= −

iar x=(ξ1,...,ξn)t este expresia lui x în noua bază. Definiţii

Fie V un spaţiu vectorial real. • O formă pătratică H:V→R se numeşte formă pozitiv definită dacă H(x)>0 ∀x≠0.



• H se numeşte formă negativ definită dacă H(x)<0 ∀x≠0. • H se numeşte formă semidefinită sau formă nedefinită dacă ∃x1,x2∈V astfel încât H(x1)H(x2)<0. • H se numeşte formă pozitiv semidefinită dacă H(x)≥0 ∀x∈V şi ∃x0∈V-0 astfel încât H(x0)=0. • H se numeşte formă negativ semidefinită dacă H(x)≤0 ∀x∈V şi ∃x0∈V-0 astfel încât H(x0)=0.

Teoremă (de inerţie, Sylvester) Numărul coeficienţilor strict pozitivi, numărul coeficienţilor strict negativi şi rangul unei forme

pătratice în expresia canonică (normală) nu depind de baza aleasă. Definiţie

Diferenţa între numărul termenilor pozitivi şi cel al termenilor negativi din expresia canonică (normală) a unei forme pătratice se numeşte signatura formei pătratice respective. Teoremă

Fie V un spaţiu vectorial real şi H:V→R o formă pătratică. Condiţia necesară şi suficientă ca H să fie pozitiv definită este ca ∆i>0, i=1,...,n. Corolar

Fie V un spaţiu vectorial real şi H:V→R o formă pătratică. Condiţia necesară şi suficientă ca H să fie negativ definită este ca ∆i<0, i=impar, i=1,...,n şi ∆i>0, i=par, i=1,...,n.

REZUMAT

Noţiunea de spaţiu vectorial generalizează dintr-un anumit punct de vedere categoriile matricelor,

cea a polinoamelor, funcţiilor, mulţimilor numerice şi multe altele. Avantajul acestei noţiuni este acela că

permite tratarea unitară a unor concepte, la prima vedere diferite, obţinând rezultate generalizatoare, dar, în

acelaşi timp, permiţând noii structuri adaptarea la noi şi noi provocări ale practicii.

Noţiunea de “bază” este fundamentală şi ea permite simularea unui anumit proces economic (după

transformarea matematică, eminamente necesară) printr-un altul mult mai simplu, reprezentat, de regulă, de

spaţiul aritmetic n-dimensional.

Formele pătratice prezentate în ultima parte a modului au un rol bine conturat în geometria analitică,

dar, în cazul de faţă, se vor dovedi esenţiale în studiul extremelor funcţiilor din modulul următor ceea ce va

permite, în final, determinarea optimului unui proces economic arbitrar.

CONCLUZII

Studiind acest modul aţi dobândit cunoştinţe referitoare la noţiunea de spaţiu vectorial, împreună cu

cele conexe cum ar fi: bază, aplicaţie liniară, formă pătratică.

EXEMPLE ILUSTRATIVE

1. Folosind regula dreptunghiului să se determine rangul următoareI matrice: A=

−−−

−

1977

7115

4312

1531

Soluţie Avem următoarele matrice echivalente: A=

−−−

−

1977

7115

4312

1531

∼

−−−−−−

−

826140

1226140

61370

1531

∼

−−−

28000

0000

61370

1531

∼

−−−

02800

0000

13670

5131

∼

−−−

0000

02800

13670

5131

de unde rang A=3.

2. Folosind regula dreptunghiului să se calculeze următorul determinant: D=

4565

5345

2753

7367

.



Soluţie D=

4565

5345

2753

7367

∼

720120

0620

740170

7367

−−

−∼

720120

740170

0620

7367

−−

−∼

1411200

1418200

0620

7367

−−

−∼

980000

1418200

0620

7367

−−

− de unde: D=-

)182()2(7

)980)(182)(2(723 −−

−−−=-10.

3. Folosind regula dreptunghiului să se inverseze următoarea matrice: A=

351

493

372

.

Soluţie Vom aplica regula dreptunghiului fără împărţire la pivot. Avem deci:

(AI3)=

100

010

001

351

493

372

∼

001

010

100

372

493

351

∼

−−

−−−−

201

310

100

330

560

351

∼

−−

−−−

336

310

950

300

560

701

∼3:

3)6(:

3)6(1:

336

61830

63642

300

060

001

−−

−−

−− de unde: A-1=

−

−−

−−

1123

11

3

53

12

3

7

.

4. Să se studieze compatibilitatea iar în caz afirmativ să se rezolve prin metoda Gauss sistemul:

=++++=+−+=+++

3z)3a(ayx)1a(3

a2zy)1a(ax

az2yx)3a(

, a∈R.

Soluţie Vom nota la permutarea a două coloane a matricei extinse noua ordine a necunoscutelor deasupra acesteia pentru ca în cazul compatibilităţii să le putem recupera corect din sistem.

Avem: Ae=

++−

+

3

a2

a

3aa3a3

11aa

213a

zy x

∼

++−

+

3

a2

a

3a33aa

a11a

3a21

x zy

∼

−+−

−−+−−−

+

2

2

2

2

a3

a3a

a

a3a30

3aaa230

3a21

x zy

. Dacă

a=3

2 atunci rezultă că: rang Ae=rang A=3 iar sistemul devine:

14=17x

23=23x+21z

2=11x+6z+3y

de unde:

119

326y ,

119

23z ,

17

14=x −== . Dacă a≠

3

2 atunci: Ae∼

+−++−

−+−−−

+

9a15a3a

a3a

a

)1a(a00

3aaa230

3a21

x zy

23

2

2

2 de unde se

obţine că a=0 sau a=1⇒rang(Ae)=3≠2=rang(A) deci sistemul este incompatibil iar în caz contrar este

compatibil iar soluţia este: x=)1a(a

9a15a3a2

23

−+−+

, z=)1a(a

18a45a15a18a82

234

−−+−−

,

y=)1a(a

9a54a36a29a162

234

−+−++−

.

5. Fie în R3 mulţimile U1=(a+b,2a-b,a)a,b∈R şi U2=(c+2d,2c+d,-3c-d) c,d∈R. 1) Să se arate că U1<R3 şi U2<R3; 2) Să se determine U1∩U2; 3) Să se arate, folosind definiţia, că U1∩U2<R3. Soluţie 1)Fie x=(a+b,2a-b,a)∈U1 şi y=(a'+b',2a'-b',a')∈U1 şi α,β∈R. Avem αx+βy=α(a+b,2a-b,a)+β(a'+b',2a'-b',a')=(αa+αb,2αa-αb,αa)+(βa'+βb',2βa'-βb',βa')= ((αa+βa')+(αb+βb'),2(αa+βa')-(αb+βb'), (αa+βa'))∈U1 deci U1<R3. Putem proceda însă mult mai simplu. Fie x∈U2. Avem x=(c+2d,2c+d,-3c-d)=(c,2c,-3c)+(2d,d,-d)=c(1,2,-3)+d(2,1,-1). U2 este deci un spaţiu vectorial generat de vectorii (1,2,-3) şi



(2,1,-1). 2)Fie x∈U1∩U2. Atunci ∃a,b,c,d∈R astfel încât x=(a+b,2a-b,a)=(c+2d,2c+d,-3c-d). Din sistemul:

−−=+=−

+=+

dc3a

dc2ba2

d2cba

obţinem în final x=(-3c,0,-c), c∈R. Reciproc, dacă x=(-3c,0,-c), c∈R, considerând a=-c, b=-

2c⇒ x∈U1 iar dacă d=-2c⇒x∈U2 deci x∈U1∩U2. Prin urmare U1∩U2=(-3c,0,-c) c∈R. 3)Fie x=(-3a,0,-a) şi y=(-3b,0,-b) vectori din U1∩U2. Pentru α,β∈R, arbitrari, avem:αx+βy=(-3(αa+βb),0,-(αa+βb))∈U1∩U2 deci U1∩U2<R3. 6. Fie sistemul de vectori S=v1,v2,v3 din R4, unde v1=(1,2,0,3)t, v2=(3,2,1,0)t, v3=(1,1,2,2)t şi V=<S>. Să se cerceteze dacă vectorii w1=(4,4,1,3)t, w2=(2,3,2,5)t, w3=(4,3,3,2)t constituie un sistem de generatori pentru <S>. Soluţie Avem <S>=(a+3b+c,2a+2b+c,b+2c,3a+2c)ta,b, c∈R şi fie S‘=w1,w2,w3. Avem <S‘>=(4d+2e+4f,4d+3e+3f,d+2e+3f,3d+5e+2f)td,e,f∈R. Fie v∈<S>. Atunci v∈<S‘> dacă şi numai dacă există d,e,f∈R astfel încât v=(a+3b+c,2a+2b+c,b+2c,3a+2c)t=(4d+2e+4f,4d+3e+3f,d+2e+3f,3d+5e+2f)t.

Rezultă sistemul:

+=+++=++

++=++++=++

c2a3f2e5d3

c2bf3e2d

cb2a2f3e3d4

cb3af4e2d4

. Avem:

321

334

424

=14 de unde, cum:

∆car=

c2a3253

c2b321

cb2a2334

cb3a424

++

++++

=26(a+3b+c)-34(2a+2b+c)-10(b+2c)+14(3a+2c)=0, rezultă că sistemul este

compatibil determinat. Prin urmare, <S>⊂<S‘>. Analog, se arată că <S‘>⊂<S> deci, în final, <S>=<S‘> adică S‘ reprezintă un sistem de generatori pentru <S>. 7. Fie aplicaţia f:R3→R3, f(x1,x2,x3)=(3x1-x2+x3,2x1+x2,-x1+x3).

1) Să se arate că f este operator liniar; 2) Să se determine Ker f şi Im f; 3) Să se stabilească dacă f este injectivă, surjectivă, bijectivă.

Soluţie 1) Se procedează ca la problema 1 obţinându-se [f]=

−

−

101

012

113

. 2) Fie x=(x1,x2,x3)∈R3 astfel

încât f(x)=0. Avem sistemul:

=+−=+

=+−

0xx

0xx2

0xxx3

31

21

321

de unde x1=x2=x3=0 deci x=0 şi Ker f=0. Fie acum

y=(y1,y2,y3)∈R3 şi ecuaţia f(x)=y. Avem deci sistemul:

=+−=+

=+−

331

221

1321

yxx

yxx2

yxxx3

care este compatibil determinat de

unde rezultă că ∃x∈R3 astfel încât f(x)=y. Prin urmare Im f=R3. 3) Deoarece Ker f=0 rezultă f-injectivă iar faptul că Im f=R3 implică faptul că f este surjectivă, deci, în final, f-bijectivă. 8. Fie operatorul T:R4→R4 a cărui matrice în baza canonică este:

A=

−−−

3021

0200

3021

3021

1) Să se determine valorile şi vectorii proprii ale lui T; 2) Să se studieze dacă T este diagonalizabil iar în caz afirmativ să se determine baza şi forma acestui

operator.

Soluţie 1)Ecuaţia caracteristică este:

λ−λ−

−λ−−−λ−

3021

0200

3021

3021

=0 de unde, dezvoltând după linia a treia,

obţinem: λ2(λ-2)2=0. Valorile proprii sunt deci: λ1=λ2=0 şi λ3=λ4=2. Pentru λ=0 avem:



=

−−−

0

0

0

0

t

z

y

x

3021

0200

3021

3021

de unde x=-2a-3b, y=a, z=0, t=b şi deci v=(-2a-3b,a,0,b)t, a,b∈R-0. Analog,

pentru λ=2 rezultă:

=

−−−−

0

0

0

0

t

z

y

x

1021

0000

3041

3021

de unde: v=(a,-a,b,a)t, a,b∈R-0. 2)Avem subspaţiile

proprii asociate valorilor proprii: S(0)=a(-2,1,0,0)t+b(-3,0,0,1)ta,b∈R deci dim S(0)=2=m(0)-ordinul de multiplicitate al lui λ=0. De asemenea, S(2)=a(1,-1,0,1)t+ b(0,0,1,0)t a,b∈R deci dim S(2)=2= m(2). Operatorul este deci diagonalizabil. Baza în care fenomenul are loc este dată de reuniunea bazelor subspaţiilor proprii, deci B=(-2,1,0,0)t,(-3,0,0,1)t,(1,-1,0,1)t,(0,0,1, 0)t iar forma lui T în această bază este dată de

matricea:

2000

0200

0000

0000

. Se observă pe acest caz concret avantajul enorm al considerării operatorului în

această nouă bază acesta având o expresie foarte simplă. 9. Să se aducă la forma normală, folosind metoda lui Gauss, forma pătratică: H(x)=(x1)2-2x1x2+2x1x3-2x1x4+(x2)2+2x2x3-4x2x4+(x3)2-2(x4)2, x= (x1,x2,x3,x4)∈ R4. Soluţie Avem: H(x)=(x1)2-2(x2-x3+x4)x1+(x2-x3+x4)2-3(x4)2+4x2x3-6x2x4+2x3x4=(x1-x2+x3-x4)2-3((x4)2+2(x2-

3

1x3)x4+(x2-

3

1x3)2)+3(x2)2+2x2x3+

3

1(x3)2=(x1-x2+x3-x4)2-3(x2+x4-

3

1x3)2+3(x2+

3

1x3)2. Prin urmare, cu ξ1=x1-

x2+x3-x4, ξ2=x2+ x4-3

1x3, ξ3=x2+

3

1x3, ξ4=x4 obţinem H(x)=(ξ1)2-3(ξ2)2+3(ξ3)2.

RECOMANDĂRI BIBLIOGRAFICE:

1. Atanasiu, Gh., Munteanu, Gh., Postolache, M., Algebră liniară, geometrie analitică, diferenţială, ecuaţii diferenţiale, Bucureşti, Editura All, 1994;

2. Danko, P., Popov, A., Kogevnikova, T., Exercices et problemes des mathematiques superieures, Editions Mir Moscou, Vol. I, II, 1985;

3. Dragomir, A., Dragomir, P., Structuri algebrice, Timişoara, Editura Facla, 1981; 4. Fadeev, D., Sominsky, I., Recueil d'exercices d'algebre superieure, Mir Moscou, 1980; 5. Ikramov, H. D., Linear Algebra-Problems book, Mir Moscow, 1983; 6. Ioan, C. A., Matematici aplicate în economie, Bucureşti, EDP, 2004; 7. Ioan, C. A., Matematică - I, Galaţi, Editura Sinteze, 2006; 8. Ion, D. I., Niţă, C., Radu, N., Popescu, D., Probleme de algebră, Bucureşti, E.D.P., 1981; 9. Ion ,D. I., Radu, N., Algebră, Bucureşti, Bucureşti, E.D.P., 1991; 10. Kurosh, A., Higher Algebra, Editura Mir Moscow, 1984; 11. Lang, S., Algebra, Addison-Wesley, 1971; 12. Năstăsescu, C., Ţena, M., Andrei, G., Otărăşanu, I., Probleme de structuri algebrice, Bucureşti, Editura

Academiei, 1988; 13. Năstăsescu ,C., Niţă, C., Vraciu, C., Bazele algebrei, vol. I, Bucureşti, Editura Academiei R. S. R., 1986; 14. Proskuriakov, I. V., Problems in Linear Algebra, Mir Moscow, 1978; 15. Purcaru, I., Elemente de algebră şi programare liniară, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, 1982; 16. Spircu, T., Structuri algebrice prin probleme, Bucureşti, Editura Ştinţifică, 1991.

TESTE DE AUTOEVALUARE 1. Fie în R3 subspaţiile: U1=(a+7b,8a-b,5a)ta,b∈R şi U2=(c+-17d,6c+d,4c-d)tc,d∈R. Să se determine U1∩U2.

1. U1∩U2=(-13h,15h,14h)t 2. U1∩U2=(-11h,17h,14h)t 3. U1∩U2=(-14h,19h,11h)t 4. U1∩U2=(-10h,17h,17h)t

2. Fie în R3 vectorii v1=(1,7,1)t, v2=(7,48,3)t, v3=(8,7,α)t, v4=v1+v2, α∈R. Să se determine α∈R astfel încât sistemul de vectori v1,v2,v3,v4 să fie un sistem de generatori pentru R3.

1. α≠-184 3. α≠-188

2. α≠-181 4. α≠-185



3. Fie în R3 vectorii v1=(1,7,1)t, v2=(7,48,3)t, v3=(8,7,β)t, β∈R. Să se determine β∈R astfel încât vectorii v1,v2,v3 să nu fie o bază pentru R3.

1. β=-184 3. β=-188

2. β=-181 4. β=-185

4. Să se determine α∈R astfel încât următoarea aplicaţie să fie liniară: f:R3→R2, f(x1,x2,x3)=(1x1-4x3,8x2+8x3+α-4).

1. α=10 3. α=4

2. α=5 4. α=12

5. Fie forma biliniară B:R2×R2→R, B(x,y)=9x1y1+8x1y2+1x2y1+9x2y2 unde x=(x1,x2), y=(y1,y2)∈R2. Să se determine forma pătratică asociată H.

1. H=9x12+9x1x2+9x2

2 2. H=13x1

2+8x1x2+11x22

3. H=12x12+5x1x2+10x2

2 4. H=10x1

2+7x1x2+13x22

6. Să se aducă la forma canonică, folosind metoda lui Jacobi, forma: H(x)=-3x12-

10x1x2+-18x1x3+1x32.

1. -x12+x2

2-x32

3. -x12-x2

2+x32

2. +x12+x22+x3

2

4. -x12+x22+x3

2 7. Fie în R3 subspaţiile: U1=(a+5b,3a-b,5a)ta,b∈R şi U2=(c+-8d,2c+d,4c-d)tc,d∈R. Să se determine U1∩U2.

5. U1∩U2=(-5h,2h,8h)t 6. U1∩U2=(-4h,1h,5h)t 7. U1∩U2=(-5h,-1h,6h)t 8. U1∩U2=(-7h,3h,3h)t

8. Fie în R3 vectorii v1=(1,6,2)t, v2=(9,53,3)t, v3=(1,4,α)t, v4=v1+v2, α∈R. Să se determine α∈R astfel încât sistemul de vectori v1,v2,v3,v4 să fie un sistem de generatori pentru R3.

2. α≠-28 4. α≠-23

2. α≠-27 4. α≠-20

9. Fie în R3 vectorii v1=(1,6,2)t, v2=(9,53,3)t, v3=(1,4,β)t, β∈R. Să se determine β∈R astfel încât vectorii v1,v2,v3 să nu fie o bază pentru R3.

2. β=-28 4. β=-23

2. β=-27 4. β=-20

10. Să se determine α∈R astfel încât următoarea aplicaţie să fie liniară: f:R3→R2, f(x1,x2,x3)=(3x1-8x3,7x2+3x3+α-7).

2. α=12 4. α=7

2. α=9 4. α=15

11. Fie forma biliniară B:R2×R2→R, B(x,y)=3x1y1+1x1y2+1x2y1+3x2y2 unde x=(x1,x2), y=(y1,y2)∈R2. Să se determine forma pătratică asociată H.

5. H=3x12+2x1x2+3x2

2 6. H=5x1

2+1x1x2+5x22

7. H=6x12+-2x1x2+6x2

2 8. H=6x1

2+0x1x2+7x22

12. Să se aducă la forma canonică, folosind metoda lui Jacobi, forma: H(x)=5x12--

10x1x2+-12x1x3+-1x32.

2. x12-x2

2-x32

4. x12+x2

2-x32

2. +x12-x22-x3

2

4. x12-x22+x3

2

TEMĂ DE CONTROL

1. Să se calculeze următorul determinant:

0132

02314

2003

1021

2. Să se determine rangul matricei: A=

130000

270000

004200

005100

000043

000012

3. Folosind regula dreptunghiului să se inverseze următoarea matrice:

−−10201

1111

2132

4321

4. Să se studieze compatibilitatea iar în caz afirmativ să se rezolve prin metoda Gauss sistemul:

−=++=++−=++

23z10y5x2

1z3y8x3

1z2y21x4

5. Să se determine dacă mulţimea de mai jos este subspaţiu vectorial al spaţiului aritmetic R2: U=(x,y)∈R2x3+y3=r3, r∈R.

6. Fie în R3 subspaţiile U1=(a+b,5a-b,a)a,b∈R şi U2=(c+2d,2c+d,-3c-d) c,d∈R.Să se determine U1∩U2.

7. Fie în R4 vectorii v1=(1,2,3,4)t, v2=(2,6,1,3)t şi v3=(4,4,7,α)t, α∈R. Să se determine α∈R astfel încât dep(v1,v2,v3). 8. Fie aplicaţia liniară f:R3→R3, f(x1,x2,x3)=(3x1-5x2+x3,7x1+x2,-x1+2x3). Să se determine Ker f şi Im f; 9. Fie aplicaţia B:R2×R2→R, B(x,y)=3x1y1-2x1y2+3x2y1-x2y2 unde x=(x1,x2), y=(y1,y2)∈R2. Să se determine forma pătratică asociată H.

10. Fie forma pătratică H(x)=4(x1)2+6(x2)2+α(x3)2+15x1x2+6x2x3, x=(x1,x2,x3)∈R3. Să se determine cea mai mică valoare întreagă a lui α∈R astfel încât forma să fie pozitiv definită.



MODULUL 2

ANALIZ Ă MATEMATIC Ă

Obiectivele specifice modulului: Introducerea noţiunii de spaţiu topologic; Studiul diferenţiabilităţii funcţiilor; Studiul seriilor numerice şi al seriilor de puteri; Determinarea extremelor funcţiilor; Studiul integralelor improprii, duble şi triple.

Rezultatele aşteptate:

Înţelegerea noţiunilor de bază ale topologiei; Formarea modului de gândire diferenţial; Înţelegerea noţiunii de serie ca simplificare a unor reprezentări funcţionale; Determinarea corectă a maximelor şi/sau minimelor unei funcţii.

Competenţe dobandite ca urmare a parcurgerii modulului:

Deprinderea folosirii noţiunilor topologice cum ar fi: mulţimea deschisă, închisă, punctul de acumulare, compactitatea şi conexitatea;

Calculul derivatelor parţiale şi a diferenţialelor de ordinele I şi II; Dezvoltarea în serie Taylor a unei funcţii; Realizarea de referate aplicative legate de problematica modulului.


LECŢIA 1

SPAŢII TOPOLOGICE Pasul 1 - Elemente de topologie

Definiţie

Fie Rn, n≥1 şi mulţimea T=D⊂Rn∀a=(a1,...,an)∈D⇒∃r>0 astfel încât (a1-r,a1+r)×...×(an-r,an+r)⊂D. Perechea (Rn,T) se numeşte spaţiu topologic, T purtând numele de topologie reală pe Rn. O mulţime D∈T se numeşte mulţime deschisă. Teoremă

Pe Rn au loc următoarele afirmaţii: 1) ∀(Di)i∈I⊂T ⇒U

IiiD

∈

∈T, I-o mulţime oarecare de indecşi;

2) ∀(Di)i=1,...,m⊂T⇒Im

1iiD

=

∈T ∀m∈N*;

3) ∅,Rn∈T. Definiţie

Fie Rn şi X⊂Rn. T'=D∩XD∈T este o topologie pe X şi se numeşte topologia indusă de T pe X.

Definiţie

Fie Rn şi A⊂Rn. O mulţime V⊂Rn se numeşte vecinătate a lui A dacă ∃D∈T astfel încât A⊂D⊂V. Dacă A=x, x∈Rn, atunci V se numeşte vecinătate a punctului x. Propoziţie

Pe Rn o submulţime A⊂Rn este deschisă dacă şi numai dacă este vecinătate pentru orice punct al său. Propoziţie

Mulţimea vecinătăţilor V(x) ale unui punct arbitrar x∈Rn are următoarele proprietăţi: 1) V∈V(x)⇒x∈V;



2) V∈V(x), V⊂U⇒U∈V(x);

3) Vi∈V(x), i= n,1 ⇒In

1iiV

=

∈V(x);

4) V∈V(x)⇒∃U⊂V, U∈V(x) astfel încât U∈V(y) ∀y∈U. Definiţie

Un punct a∈Rn se numeşte punct interior al unei submulţimi A⊂Rn dacă A∈V(a) Definiţie

Fie A⊂Rn. Mulţimea o

A =int A=a∈Rna este punct interior al lui A se numeşte interiorul lui A. Propoziţie

∀A⊂Rn avem: Uo

AD⊂∈

=TD

DA .

Definiţie Un punct a∈Rn se numeşte punct aderent unei submulţimi A⊂Rn dacă ∀V∈V(a)⇒V∩A≠∅.

Definiţie Fie A⊂Rn. Mulţimea A =a∈Rna este punct aderent pentru A se numeşte închiderea (aderenţa)

lui A. Definiţie

O submulţime F⊂Rn se numeşte mulţime închisă dacă Rn-F∈T. Definiţie

Un punct a∈Rn se numeşte punct de acumulare al unei submulţimi A⊂Rn dacă ∀V∈V(a)⇒(V-a)∩A≠∅. Definiţie

Fie A⊂Rn. Mulţimea A’=a∈Xa este punct de acumulare al lui A se numeşte mulţimea derivată (derivata) a lui A. Definiţie

Un punct a∈Rn se numeşte punct izolat al unei submulţimi A⊂Rn dacă nu este punct de acumulare, adică dacă ∃V∈V(a)⇒(V-a)∩A=∅. Definiţie

Fie A⊂Rn. Mulţimea ∂A=Fr A= A ∩ CA se numeşte frontiera lui A. Teoremă

Spaţiul topologic Rn este un spaţiu Hausdorff (spaţiu topologic separat) adică ∀x,y∈Rn, x≠y⇒∃U∈V(x), ∃V∈V(y) astfel încât U∩V=∅. Definiţie

O mulţime C⊂Rn se numeşte compactă dacă ∀(Ui)i∈I⊂T astfel încât C⊂UIi

iU∈

⇒∃J⊂I-finit ă astfel

încât C⊂UJi

iU∈

, adică dacă din orice acoperire cu mulţimi deschise a lui C se poate extrage o subacoperire

finită a acesteia. Definiţie

O mulţime C⊂Rn se numeşte mulţime relativ compactă dacă C este compactă. Definiţie

O mulţime C⊂Rn se numeşte conexă dacă nu există D1,D2∈T astfel încât C⊂D1∪D2, D1∩D2∩C=∅, D1∩C≠∅, D2∩C≠∅.

Pasul 2 - Şiruri în R n

Definiţie

Numim şir pe spaţiul topologic Rn o funcţie f:N→Rn.

Definiţie Fie un şir (an)⊂Rn. Spunem că (an) este şir convergent dacă ∃a∈Rn astfel încât ∀V∈V(a)⇒∃nV∈N

astfel încât an∈V ∀n≥nV. Elementul a∈Rn se numeşte limit ă a şirului (an) şi vom scrie: a=

∞→nlim an

Teoremă Limita unui şir convergent din Rn este unică.

Propoziţie Fie A⊂Rn şi (an)⊂Rn un şir convergent. Dacă ∃n0∈N astfel încât an∈A ∀n≥n0 atunci lim an∈ A .



Propoziţie Dacă A⊂Rn atunci ∀a∈ A ⇒ ∃(an)⊂A astfel încât lim an=a.

Propoziţie Fie R cu topologia reală şi C⊂R. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) C este compactă; 2) ∀(an)⊂C⇒∃(

kna )k∈N un subşir al lui (an) (restricţie a lui (an) la o submulţime a lui N) şi a∈R astfel

încât limkna =a;

3) C este închisă şi mărginită. Teoremă

Şirul (am)=(am1,...,am

n)⊂Rn este convergent dacă şi numai dacă şirurile (am1)⊂R,...,(am

n)⊂R sunt convergente şi în acest caz avem:

lim am=(lim am1,...,lim am

n)

Pasul 3 - Spaţii metrice. Spaţii normate Definiţie

Numim metrică (distanţă) pe Rn o funcţie d:Rn×Rn→R, (x,y)→d(x,y) ∀x,y∈Rn, astfel încât sunt satisfăcute următoarele axiome:

1) d(x,y)=0⇔x=y; 2) d(x,y)=d(y,x) ∀x,y∈Rn; 3) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) ∀x,y,z∈Rn.

Definiţie Considerând o metrică d pe Rn, vom numi perechea (Rn,d) spaţiu metric .

Definiţie Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Mulţimea B (a,r)=x∈Rnd(a,x)≤r, r≥0 se numeşte bila închisă de

centru a şi rază r. Mulţimea B(a,r)=x∈Rnd(a,x)<r, r>0 se numeşte bila deschisă de centru a şi rază r.

Propoziţie Un spaţiu metric (Rn,d) este spaţiu topologic.

Propoziţie Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Atunci ∀a∈Rn ∀r>0⇒B(a,r) este o mulţime deschisă, B (a,r) este o

mulţime închisă iar )r,a(B)r,a(B = .

Propoziţie Fie un spaţiu metric (Rn,d) şi (an)⊂Rn un şir convergent. Atunci lim an este unică.

Propoziţie Fie un spaţiu metric (Rn,d) şi (an)⊂X. Atunci (an) este un şir convergent şi lim an=a∈X dacă şi numai

dacă ∀ε>0⇒ ∃nε∈N astfel încât d(an,a)<ε ∀n≥nε. Definiţie

Fie (Rn,d) un spaţiu metric. Un şir (an)⊂Rn se numeşte şir Cauchy (şir fundamental) dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N astfel încât d(an,am)<ε ∀n,m≥nε. Propoziţie

Fie (Rn,d) un spaţiu metric şi (an)⊂Rn un şir convergent. Atunci (an) este şir Cauchy. Reciproc, nu este în general adevărat, deci se impune următoarea:

Definiţie Un spaţiu metric (Rn,d) se numeşte spaţiu metric complet dacă orice şir Cauchy din Rn este

convergent. Definiţie

Fie un spaţiu metric (Rn,d). O mulţime A⊂Rn se numeşte mulţime mărginit ă dacă ∃a∈Rn ∃r>0 astfel încât A⊂B(a,r).

Definiţie

Fie un spaţiu metric (Rn,d). Un şir (an)⊂Rn se numeşte şir mărginit dacă mulţimea valorilor acestuia este mărginită. Lemă (Cesàro)

Orice şir mărginit din Rn conţine un subşir convergent. Definiţie

Numim normă pe Rn o funcţie ⋅:Rn→R, x→x ∀x∈Rn astfel încât sunt satisfăcute următoarele axiome:

1) x=0⇒x=0; 2) αx=α⋅x ∀x∈Rn ∀α∈R;



3) x+y≤x+y ∀x,y∈Rn. Definiţie

Fiind dată o normă ⋅ pe Rn, perechea (Rn,⋅) se numeşte spaţiu vectorial real n-dimensional normat (sau simplu spaţiu normat). Definiţie

Un spaţiu normat complet se numeşte spaţiu Banach.

Pasul 4 - Limite de funcţii în Rn Definiţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm, n,m≥1 se numeşte funcţie vectorială reală de n variabile reale. Dacă m=1 vom spune pe scurt că f este funcţie de n variabile. Definiţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se spune că are limita y∈Rm într-un punct de acumulare a∈A' dacă ∀V∈V(y)⇒ ∃U∈V(a) astfel încât:

f((U-a)∩A)⊂V Propoziţie

Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→Rm şi a∈A'. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) f are limita y∈Rm în a; 2) ∀(an)⊂A-a astfel încât lim an=a⇒lim f(an)=y; 3) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A-a şi d(x,a)<δε⇒ d(f(x),y)<ε. 4) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A-a şi ax − <δε⇒ y)x(f − <ε.

Corolar Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→Rm şi a∈A'. Funcţia f nu are limită în punctul “a” dacă ∃(an),(bn)⊂A-a cu

lim an=lim bn=a şi fie unul din şirurile (f(an)),(f(bn)) nu este convergent, fie sunt amândouă convergente, dar au limite diferite.

În cazul funcţiilor de mai multe variabile, se poate defini limita unei funcţii după o direcţie astfel: fie f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Ecuaţia unei drepte ce trece prin “a” este:

λ+=

λ+=

nnn

111

vax

vax

L , λ∈R

unde v1,...,vn reprezintă parametrii directori ai dreptei (care dau “înclinarea” dreptei faţă de axele de coordonate). Notând v=(v1,...,vn) putem scrie ecuaţia dreptei succint sub forma: x=a+λv, λ∈R. Definim atunci limita unei funcţii după direcţia dată de dreapta x=a+λv ca fiind:

0lim

→λf(a+λv)

Este evident că dacă o funcţie are limită într-un punct, atunci ea are limită după orice direcţie în acel punct. Reciproc, nu este adevărat.

Fie acum f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Să considerăm mulţimile Ai=xi∈R(x1,...,xi,...,xn)∈A şi să presupunem că ai∈A i ', i=1,...,n. Atunci

ii axlim

→f(x) depinde de variabilele x1,...,xi-1,xi+1,..., xn. Considerând

apoi acelaşi proces obţinem în final o valoare reală notatăax

lim→

σf(x)=nini1i1i axax

lim...lim→→

f(x) unde

σ=

n21 iii

n21

L

L∈Sn (grupul permutărilor de n elemente). Vom numi aceasta limita iterat ă după

permutarea σ a funcţiei f în punctul a. Are loc următoarea:

Propoziţie Fie f:A⊂Rn→R şi a=(a1,...,an)∈A'. Dacă f are limită în “a” şi, în plus, ∃σ∈Sn astfel încât

axlim

→σf(x)

există atunci ax

lim→

σf(x)= ax

lim→

f(x).

Pasul 5 - Continuitatea funcţiilor

Definiţie



O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie continuă în a∈A dacă ∀V∈V(f(a))⇒∃U∈V(a) astfel încât f(U∩A)⊂V. Propoziţie

Fie o aplicaţie f:A⊂Rn→Rm şi a∈A. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) f este continuă în a; 2) ∀(an)⊂A astfel încât lim an=a⇒lim f(an)=f(a); 3) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A şi d(x,a)<δε⇒ d(f(x),f(a))<ε. 4) ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât ∀x∈A şi ax − <δε⇒ )a(f)x(f − <ε.

Definiţie O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie continuă pe A dacă este continuă în orice punct a∈A.

Propoziţie O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm este continuă în a∈A’ ∩A dacă şi numai dacă are limită în a şi

axlim

→f(x)=f(a).

Teoremă Fie o aplicaţie f:Rn→Rm. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) f este continuă pe Rn; 2) ∀D-deschisă în Rm⇒f-1(D)-deschisă în Rm; 3) ∀E-închisă în Rm⇒f-1(E)-închisă în Rn.

Definiţie O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie uniform continuă pe A dacă ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât

∀x,y∈A şi d(x,y)<δε⇒ d(f(x),f(y))<ε. Propoziţie

O funcţie f:A⊂Rn→Rm uniform continuă pe A este continuă pe A. Propoziţie

O funcţie f:A⊂Rn→Rm continuă pe mulţimea compactă A este uniform continuă pe A. Definiţie

O aplicaţie f:A⊂Rn→Rm se numeşte funcţie lipschitziană pe A dacă ∃C>0 astfel încât d(f(x),f(y))≤C⋅d(x,y) ∀x,y∈A. Propoziţie

O funcţie f:A⊂Rn→Rm lipschitziană pe A este uniform continuă pe A. Propoziţie

Fie o aplicaţie liniară f:Rn→Rm. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) f este continuă pe Rn; 2) f este continuă în 0∈Rn; 3) ∃M>0 astfel încât )x(f ≤M x ∀x∈Rn.

Definiţie O aplicaţie f:A⊂Rn→f(A)⊂Rm se numeşte homeomorfism dacă:

1) f este bijectivă; 2) f este continuă pe A şi f -1 este continuă pe f(A). 3)

LECŢIA 2

DIFERENŢIABILITATEA FUNC ŢIILOR Pasul 1 - Derivabilitatea după o direcţie şi cea parţială a funcţiilor Vom considera în cele ce urmează funcţii de forma f:D⊂Rn→R, n≥1, D-deschisă,

(x1,...,xn)→f(x1,...,xn). Vom nota generic x=(x1,...,xn)∈ Rn.

Fie a∈D şi o dreaptă de parametri directori v=(v1,...,vn)∈Rn: x=a+λv, λ∈R. Avem: v

vvax λ+=

şi notând: vλ =α, v

v=w, rezultă: α∈R şi w =1. Putem scrie deci ecuaţia unei drepte sub forma d:

x=a+αw, α∈R, w =1. Deoarece a∈D⇒∃V∈V(a)∈Rn astfel încât a∈V⊂D. Vom alege V ca fiind o bilă

deschisă centrată în a. Fie deci r>0 astfel încât B(a,r)⊂D. Fie x∈D. Avem: ax − = awa −α+ = wα =

α ⋅ w = α . Dacă α∈(-r,r) atunci ax − <r deci x∈B(a,r)⊂D. Definim acum funcţia: g:(-r,r)→R,

g(α)=f(a+αw) ∀α∈(-r,r). Din cele de mai sus, rezultă că definiţia este corectă.



Definiţie Funcţia f se numeşte aplicaţie derivabilă după direcţia w în a∈Rn dacă funcţia

g:(-r,r)→R, g(α)=f(a+αw) este derivabilă în originea 0∈R. Vom numi în acest caz numărul real

dwdf

(a)=g'(0)-derivata după direcţia w în punctul a al lui f.

Pentru n=1 se obţine definiţia clasică a derivatei într-un punct. În Rn avem câteva direcţii “privilegiate” şi anume cele date de vectorii bazei canonice

e1=(1,0,...,0),... ,en=(0,0,...,1). Definiţie

Funcţia f se numeşte aplicaţie derivabilă parţial în punctul a, în raport cu variabila xk, 1≤k≤n, dacă există derivata după direcţia ek adică dacă există:

t

)a,...,a,...,a(f)a,...,ta,...,a(flim)a('f)a(

x

f nk1nk1

0tx

kk

−+==∂∂

→

Numărul real )a(x

f

k∂∂

sau notat uneori )a)(fx

(k∂

∂ sau )a('f

kx se numeşte derivata parţială a lui f

în punctul a în raport cu xk. Definiţie

Vom spune că f este derivabilă parţial în raport cu xk pe D dacă este derivabilă parţial în raport cu xk în orice punct a∈D. Definiţie

Vom spune că f este derivabilă parţial pe D dacă este derivabilă parţial în raport cu orice xk k= n,1 în orice punct a∈D. Definiţie

Dacă f este derivabilă parţial în fiecare punct x∈V unde V∈V(a), a∈D-fixat şi dacă la rândul lor

derivatele parţiale kx

f

∂∂

, k= n,1 , sunt derivabile parţial în a, vom spune că f este derivabilă parţial de ordinul 2

în a. Vom scrie:

)a(xx

f)a))(

x

f(

x(

kj

2

kj ∂∂∂=

∂∂

∂∂

∀j,k= n,1

şi vom spune că kj

2

xx

f

∂∂∂

(a) este derivata parţială de ordinul 2 a lui f în punctul a în raport cu variabilele xj şi

xk. Pentru j=k adoptăm notaţia:

)a(x

f)a))(

x

f(

x( 2

k

2

kk ∂∂=

∂∂

∂∂

∀k= n,1

Definiţie Dacă f este derivabilă parţial de ordinul k, k≥1 în fiecare punct x∈V unde V∈V(a), a∈D-fixat şi dacă

la rândul lor derivatele parţiale de ordinul k: k1 ii

k

x...x

f

∂∂∂

∀i1,...,ik∈1,...,n sunt derivabile parţial în a, vom

spune că f este derivabilă parţial de ordinul (k+1) în a. Vom scrie:

)a)(x...xx

f()a))(

x...x

f(

x(

k1k1 iii

1k

ii

k

i ∂∂∂∂=

∂∂∂

∂∂ +

În cazul mai multor variabile identice vom adopta notaţia:

)a)(x...x

f()a)(

x...x...x...x

f(

k

k

1

1

k1

k

kk

1

11

k1

n

i

n

i

n...n

orin

ii

orin

ii

n...n

∂∂∂=

∂∂∂∂∂ ++

−−

++

4342143421

Teoremă (Schwarz) Dacă f:D→R, D⊂Rn-deschisă admite derivate parţiale de ordinul 2 într-o vecinătate V a lui a∈D şi

dacă pentru 1≤i≠j≤n-fixaţi ji

2

xx

f

∂∂∂

este continuă în a, atunci:

ij

2

xx

f

∂∂∂

(a)=ji

2

xx

f

∂∂∂

(a)



Pasul 2 - Diferenţiabilitatea funcţiilor Definiţie

Fie f:D⊂Rn→Rm, D-deschisă şi a∈D. f se numeşte aplicaţie diferenţiabilă în a dacă ∃T∈L(Rn,Rm) astfel încât

f(x)=f(a)+T(x-a)+ω(x) ax − ∀x∈D

unde ω:D-a→Rm satisface ax

lim→

ω(x)=0. Dacă f este diferenţiabilă în orice punct din D vom spune că f este

diferenţiabilă pe D. Teoremă

Fie o aplicaţie f=(f1,...,fm):D⊂Rn→Rm, D-deschisă şi a∈D. Aplicaţia f este diferenţiabilă în a dacă şi numai dacă aplicaţiile f1,...,fm sunt diferenţiabile în a. În acest caz:

df(a)=(df1(a),...,dfm(a)) Teoremă

Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă. 1) Dacă f este diferenţiabilă în a∈D atunci f este continuă în a; 2) Dacă f este diferenţiabilă în a∈D atunci ∀w∈Rn, w =1 există derivata după direcţia w în a şi avem

dw

df(a)=df(a)(w). În particular, există derivatele parţiale de ordinul I şi avem

kx

f

∂∂

(a)=df(a)(ek),

k= n,1 , unde ek sunt vectorii bazei canonice din Rn; 3) Dacă f∈C1(D) atunci f este diferenţiabilă pe D.

Considerând acum diferenţialele dxi ale variabilelor xi, i=1,...,n după exemplul 3.c, avem: Teoremă

Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct a∈D. Atunci:

∑= ∂

∂=n

1ii

i

)a(dx)a(x

f)a(df

Definiţie Fie o aplicaţie f=(f1,...,fm):D⊂Rn→Rm, D-deschisă şi a∈D. Matricea Jf(a) definită prin:

Jf(a)=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

)a(x

f)a(

x

f

)a(x

f)a(

x

f

n

m

1

m

n

1

1

1

L

LLL

L

se numeşte matricea jacobiană a lui f în punctul a. Dacă m=n vom numi det(Jf(a)) jacobianul sau determinantul funcţional al lui f în a. Vom mai nota:

det(Jf(a))=)x,...,x(D

)f,...,f(D

n1

n1 (a)

Propoziţie Fie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă în a∈D. Atunci ∀w=(w1,...,wn)∈Rn cu w =1 funcţia f

are derivată după direcţia w şi

)a(x

fw...)a(

x

fw)a(

dw

df

n

n

1

1 ∂∂++

∂∂=

Definiţie Vom defini diferenţiala de ordin m a funcţiei f prin egalitatea:

fdxx

fd

mn

1ii

i

m

∂∂= ∑

=

unde suma din paranteză se dezvoltă formal cu ajutorul formulei generalizate a m-nomului şi apoi se aplică derivatele parţiale lui f. Definiţie

Matricea formei pătratice d2f într-un punct a∈D se numeşte hessiana lui f în a şi avem:

Hf(a)=

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

)a(x

f)a(

xx

f

)a(xx

f)a(

x

f

2

n

2

1n

2

n1

2

2

1

2

L

LLL

L



Definiţie Fie o aplicaţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, f∈C1(D) şi a∈D. Numim gradientul lui f în a∈D:

(grad f)(a)=(∇f)(a)=

∂∂

∂∂

)a(x

f),...,a(

x

f

n1

∈Rn

LECŢIA 3

SERII NUMERICE. SERII DE FUNC ŢII. SERII DE PUTERI. DEZVOLTAREA ÎN SERIE TAYLOR

Pasul 1 - Serii numerice În această secţiune vom considera, până la menţiuni contrare, că toate şirurile sunt indexate după N.

Definiţie

Fie un şir (an)⊂R şi şirul (Sn)⊂R definit prin Sn= ∑=

n

0ina , n≥0. Numim serie numerică de termen

general an perechea de şiruri ((an),(Sn)). Vom numi şirul (Sn) şirul sumelor par ţiale ale seriei. Definiţie

O serie ∑∞

=0nna se numeşte serie convergentă dacă şirul sumelor parţiale (Sn) este convergent. O serie

se numeşte serie divergentă dacă nu este convergentă. Definiţie

Dacă seria ∑∞

=0nna este convergentă numim lim Sn-suma seriei şi o vom nota ∑

∞

=0nna .

Propoziţie

Fie o serie ∑∞

=0nna şi m∈N, fixat. Considerând şirul bn=am+n ∀n≥0 seriile ∑

∞

=0nna şi ∑

∞

=0nnb au aceeaşi

natură. Teoremă (Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy)

O serie ∑∞

=0nna este convergentă dacă şi numai dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N astfel încât:

an+1+...+an+m<ε ∀n≥nε ∀m≥1 Corolar

Dacă o serie ∑∞

=0nna este convergentă atunci lim an=0.

Propoziţie

Fie seriile ∑∞

=0nna , ∑

∞

=0nnb şi α,β∈R*. Atunci:

1) Seria ∑∞

=

α0n

na are aceeaşi natură cu seria ∑∞

=0nna , iar dacă ∑

∞

=0nna este convergentă are loc egalitatea

∑∞

=

α0n

na =α∑∞

=0nna ;

2) Dacă seriile ∑∞

=0nna şi ∑

∞

=0nnb sunt convergente atunci şi ∑

∞

=β+α

0nnn )ba( este convergentă şi are loc

egalitatea: ∑∞

=β+α

0nnn )ba( =α∑

∞

=0nna +β∑

∞

=0nnb .

Definiţie

O serie ∑∞

=0nna se numeşte serie absolut convergentă dacă seria ∑

∞

=0nna este convergentă. O serie

convergentă care nu este absolut convergentă se numeşte serie semiconvergentă. Propoziţie

O serie ∑∞

=0nna absolut convergentă este convergentă.

Definiţie



O serie ∑∞

=0nna se numeşte serie necondiţionat convergentă (serie comutativ convergentă) dacă

∀σ:N→N o aplicaţie bijectivă (permutare a mulţimii numerelor naturale) seria ∑∞

=σ

0n)n(a este convergentă.

Teoremă (Criteriul I de comparaţie)

Fie ∑∞

=0nna şi ∑

∞

=0nnb două serii cu termeni pozitivi. Dacă an≤bn ∀n≥0 atunci:

1) ∑∞

=0nnb este convergentă⇒∑

∞

=0nna este convergentă şi ∑

∞

=0nna ≤∑

∞

=0nnb ;

2) ∑∞

=0nna este divergentă⇒∑

∞

=0nnb este divergentă.

Teoremă (Criteriul II de comparaţie)

Fie ∑∞

=0nna şi ∑

∞

=0nnb două serii cu termeni strict pozitivi. Dacă lim

n

n

b

a există şi este nenulă şi finit ă

atunci seriile au aceeaşi natură. Teoremă (Criteriul III de comparaţie)

Fie ∑∞

=0nna şi ∑

∞

=0nnb două serii cu termeni strict pozitivi. Dacă

n

1n

n

1n

b

b

a

a ++ ≤ ∀n≥0 atunci:

1) ∑∞

=0nnb este convergentă⇒∑

∞

=0nna este convergentă;

2) ∑∞

=0nna este divergentă⇒∑

∞

=0nnb este divergentă.

Corolar

Fie ∑∞

=0nna o serie cu termeni strict pozitivi.

1) Dacă ∃r∈(0,1) astfel încât ra

a

n

1n ≤+ ∀n≥0 atunci seria este convergentă;

2) Dacă ∃r∈[1,∞) astfel încât ra

a

n

1n ≥+ ∀n≥0 atunci seria este divergentă.

Teoremă (Criteriul raportului al lui D'Alembert)

Fie ∑∞

=0nna o serie cu termeni nenuli. Dacă L=lim∑

∞

=0nna există atunci:

1) L<1⇒∑∞

=0nna este absolut convergentă;

2) L>1⇒ ∑∞

=0nna este divergentă.

Teoremă (Criteriul radical al lui Cauchy)

Fie ∑∞

=0nna o serie numerică cu elemente nenule. Dacă L=lim n

na există atunci:

1) L<1⇒∑∞


2) L>1⇒ ∑∞


Teoremă (Criteriul Raabe-Duhamel)

Fie ∑∞

=0nna o serie numerică cu elemente nenule. Dacă L=lim n

−

+

1a

a

1n

n există atunci:

1) L>1⇒∑∞


2) L<1 iar seria este numerică cu termeni strict pozitivi⇒∑∞


Teoremă (Criteriul Abel-Dirichlet) Fie (an) şi (bn) două şiruri de numere reale având proprietăţile:

1) lim an=0;



2) ∑∞

=+ −

0nn1n aa este convergentă;

3) Dacă Sn=∑=

n

0iib atunci M= n

0n

Ssup≥

<∞.

În aceste condiţii seria ∑∞

=0nnnba este convergentă.

Teoremă (Leibniz)

Fie (an) un şir de numere reale convergent monoton la 0. Atunci seria alternată ∑∞

=

−0n

nn a)1( este

convergentă. Pasul 2 - Şiruri şi serii de funcţii

Definiţie

Fie D⊂R. Se numeşte şir de funcţii pe D o aplicaţie n∈N→(fn)∈RD. Definiţie

Fie (fn) un şir de funcţii f n:D⊂R→R, n≥0. Vom spune că (fn) este şir de funcţii punctual convergent pe D dacă ∀a∈D⇒∃ba∈R astfel încât ∀ε>0⇒ ∃nε,a∈N cu proprietatea că fn(a)-ba<ε ∀n≥nε,a. Definiţie

Fie (fn) un şir de funcţii f n:D⊂R→R, n≥0. Vom spune că (fn) este şir de funcţii uniform convergent pe D către o funcţie f:D→R dacă ∀ε>0⇒∃nε∈N cu proprietatea că fn(a)-f(a)<ε ∀n≥nε ∀a∈D. Propoziţie

Fie (fn) un şir uniform convergent de funcţii continue fn:[a,b]→R. Atunci f=lim fn este continuă pe [a,b]. Teoremă

Fie (fn) un şir uniform convergent de funcţii continue fn:[a,b]→R. Atunci:

1) lim ∫b

an dx)x(f = ∫

b

an dx)x(flim ;

2) Dacă fn∈C1([a,b]) şi ∃g:[a,b]→R astfel încât fn'UC

→ g atunci f=lim fn este derivabilă pe [a,b] şi (lim fn)'=lim f'n.

Definiţie Fie un şir de funcţii mărginite fn:[a,b]→R, n≥0. Considerând şirul de funcţii (Sn) unde

Sn(x)=∑=

n

0kk )x(f ∀x∈[a,b], n≥0 perechea de şiruri de funcţii ((f n),(Sn)) se numeşte serie de funcţii pe [a,b].

Vom numi (Sn) şir al sumelor parţiale ale seriei de funcţii. Vom nota o serie de funcţii simbolic: ∑∞

=0nnf .

Definiţie

Fie o serie de funcţii ∑∞

=0nnf . Numim mulţime de convergenţă a seriei mulţimea

C=x∈[a,b]∑∞

=0nn )x(f este convergentă.

Definiţie

Considerând mulţimea de convergenţă C putem defini funcţia f:C→R, f(x)=∑∞

=0nn )x(f . Funcţia f se

numeşte suma seriei de funcţii iar ∑∞

=0nnf se numeşte serie punctual convergentă pe C. Dacă în plus şirul

sumelor parţiale (Sn) converge uniform la f pe C spunem că ∑∞

=0nnf este serie uniform convergentă pe C.

Teoremă

Fie ∑∞

=0nnf o serie uniform convergentă pe [a,b] de funcţii continue şi f suma seriei. Atunci:

1) f este continuă pe [a,b];

2) ∫ ∑

∞

=

b

a 0nn dx)x(f =∑∫

∞

=0n

b

an dx)x(f ;



3) Dacă fn∈C1([a,b]), n≥0 iar ∑∞

=0nn 'f este uniform convergentă pe [a,b] atunci f este derivabilă pe [a,b] şi

∑∑∞

=

∞

=

=

0nn

0nn 'f'f .

Teoremă (Weierstrass)

Fie o serie de funcţii ∑∞

=0nnf şi o serie numerică convergentă ∑

∞

=0nna astfel încât fn(x)≤an ∀x∈[a,b]

∀n≥1. Atunci seria ∑∞

=0nnf este uniform convergentă pe [a,b].

Pasul 3 - Serii de puteri

Definiţie

Fie (an)⊂R. Se numeşte serie de puteri centrată în x0∈R seria de funcţii ∑∞

=

−0n

n0n )xx(a . Numerele

reale an se numesc coeficienţii seriei de puteri. Dacă x0=0 vom spune că seria ∑∞

=0n

nnxa este centrată în

origine. Lemă (Abel)

Fie seria de puteri ∑∞

=0n

nnxa şi r∈R* astfel încât şirul (anr

n) este mărginit. Atunci:

1) ∀x∈(-r,r) seria ∑∞

=0n

nnxa este absolut convergentă;

2) ∀0<r'<r seria ∑∞

=0n

nnxa este uniform convergentă pe intervalul compact [-r',r'].

Definiţie

Fie ∑∞

=0n

nnxa o serie de puteri. Numărul real

R=supr∈R+(anrn) este mărginit

se numeşte raza de convergenţă a seriei. Teoremă

Fie ∑∞

=0n

nnxa o serie de puteri şi R raza sa de convergenţă. Atunci:

1) Dacă R∈(0,∞) atunci seria ∑∞

=0n

nnxa este absolut convergentă ∀x∈(-R,R) şi divergentă pentru x∈(-

∞,R)∪(R,∞). Seria este uniform convergentă pe orice interval [-r,r],0<r<R;

2) Dacă R=0 atunci seria ∑∞

=0n

nnxa este convergentă (absolut) numai pentru x=0;

3) Dacă R=∞ atunci seria ∑∞

=0n

nnxa este absolut convergentă pe R. Seria este uniform convergentă pe

orice interval [-r,r],r>0. Teoremă (Cauchy-Hadamard)

Fie seria de puteri ∑∞

=0n

nnxa . Atunci:

R=n

nalim

1

unde vom considera 01 =∞

şi ∞=0

1.

Teoremă

Fie ∑∞

=0n

nnxa o serie de puteri cu raza de convergenţă R şi fie

f:(-R,R)→R, f(x)=∑∞

=0n

nnxa ∀x∈(-R,R). Atunci:



1) Seria ∑∞

=

−

1n

1nnxna are raza de convergenţă R;

2) f este indefinit derivabilă pe (-R,R);

3) f'(x)=∑∞

=

−

1n

1nnxna ∀x∈(-R,R);

4) ∀a,b∈(-R,R)⇒ ∫b

a

dx)x(f =∑∞

= +0n

nn x1n

a.

Pasul 4 - Dezvoltarea în serie Taylor

Definiţie

Fie f:(a,b)→R, derivabilă de ordinul n+1, n≥1 pe (a,b). Numim polinomul Taylor de grad n asociat funcţiei f în punctul x0:

Tn=n

00

)n(

00

0 )xX(!n

)x(f...)xX(

!1

)x('f)x(f −++−+

Observaţie Definind restul de ordin n ca fiind Rn(x)=f(x)-Tn(x) ∀x∈(a,b) avem f(x)=Tn(x)+Rn(x) ∀x∈(a,b) sau

detaliat:

f(x)= n0

0)n(

00

0 )xx(!n

)x(f...)xx(

!1

)x('f)x(f −++−+ +Rn(x) ∀x∈(a,b)

numită formula lui Taylor de ordinul n. Fie I=[x,x0] dacă x<x0 şi I=[x0,x] dacă x0<x. Fie funcţia h:I→R definită prin:

−−−−+−= ∑∑

=+

+

=

k0

n

0k

)k(

1n0

1nk

n

0k

)k(

)xx(!k

)t(f)x(f

)xx(

)tx()tx(

!k

)t(f)t(h

Avem acum h(x0)=h(x)=f(x). Din faptul că f este derivabilă de ordinul n+1 pe (a,b)⊃I rezultă că h

este derivabilă pe o

I şi continuă pe I. Aplicând teorema lui Rolle rezultă că ∃ξ∈o

I (deci x<ξ<x0 sau x0<ξ<x) astfel încât h’(ξ)=0. Calculând h' rezultă:

Rn(x)= 1n0

)1n(

)xx()!1n(

)(f ++

−+

ξ-restul lui Lagrange

iar formula lui Taylor cu restul lui Lagrange este:

f(x)= n0

0)n(

00

0 )xx(!n

)x(f...)xx(

!1

)x('f)x(f −++−+ + 1n

0

)1n(

)xx()!1n(

)(f ++

−+

ξ

∀x∈(a,b), ξ∈(x0,x) (sau (x,x0)). Se pot determina şi alte variante ale restului Rn având astfel:

Rn(x)= 1pnp0

)1n(

)x()xx(p!n

)(f +−+

ξ−−ξ,p≥1-restul lui Schlömlich

de indice p iar formula lui Taylor cu restul lui Schlömlich este:

f(x)= n0

0)n(

00

0 )xx(!n

)x(f...)xx(

!1

)x('f)x(f −++−+ + 1pnp

0

)1n(

)x()xx(p!n

)(f +−+

ξ−−ξ

∀p≥1 ∀x∈(a,b), ξ∈(x0,x) (sau (x,x0)). Se observă că pentru p=n+1 se obţine restul lui Lagrange. De asemenea, pentru p=1 în formula

restului lui Schlömlich avem:

Rn(x)= n0

)1n(

)x)(xx(!n

)(f ξ−−ξ+

-restul lui Cauchy

iar formula lui Taylor cu restul lui Cauchy este:

f(x)= n0

0)n(

00

0 )xx(!n

)x(f...)xx(

!1

)x('f)x(f −++−+ + n

0

)1n(

)x)(xx(!n

)(f ξ−−ξ+

∀x∈(a,b), ξ∈(x0,x) (sau (x,x0)). Dacă 0∈(a,b) atunci din formula lui Taylor cu restul lui Lagrange aplicată în x0=0 avem formula lui Mac Laurin :

1n)1n(

n)n(

2 x)!1n(

)(fx

!n

)0(f...x

!2

)0("fx

!1

)0('f)0(f)x(f +

+

+ξ+++++=

∀x∈(a,b), ξ∈(0,x) (sau (x,0)). Teoremă (Formula lui Taylor)



Fie x0∈Rn şi r>0. Fie de asemenea o funcţie f:B(x0,r)→R, derivabilă de n+1-ori pe B(x0,r). Atunci ∀x∈ B(x0,r)⇒∃α∈(0,1) astfel încât:

∑

∑

∑∑

=

+

=

==

+

++

+−−α+α−

∂∂∂

+

+−−∂∂

∂+

+−−∂∂

∂+−∂∂+=

m

1i,...,i

i

0

ii

0

i

0ii

1n

m

1i,...,i

i

0

ii

0

i

0ii

n

m

1j,i

j

0

ji

0

i

0ji

2m

1i

i

0

i

0i0

1n1

1n1n11

1n1

n1

nn11

n1

)xx)...(xx)(xx)1((x...x

f

)!1n(

1

)xx)...(xx)(x(x...x

f

!n

1

...)xx)(xx)(x(xx

f

2

1)xx)(x(

x

f)x(f)x(f

∀x=(x1,...,xm)∈B(x0,r)⊂Rm iar x0=(x01,...,x0

m)∈Rm, α∈(0,1). Teoremă (de dezvoltare în serie Taylor)

Fie f:(a,b)→R, f∈C∞((a,b)) astfel încât ∃M>0 cu f (n)(x)≤M ∀n∈N ∀x∈(a,b). Seria Taylor:

n0

0n

0)n(

)xx(!n

)x(f −∑∞

=

asociată lui f într-un punct x0∈(a,b) este uniform convergentă pe orice interval compact din (a,b) şi

f(x)= n0

0n

0)n(

)xx(!n

)x(f −∑∞

=

∀x∈(a,b)

LECŢIA 4

EXTREMELE FUNC ŢIILOR Pasul 1 - Extreme locale

Definiţie Fie D⊂Rn, deschisă şi f:D⊂Rn→R. Se numeşte punct de maxim local (punct de minim local) un

punct a∈D astfel încât ∃V∈V(a) cu proprietatea că f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a)) ∀x∈V∩D. f(a)∈R se numeşte maxim local (minim local) al funcţiei f. Definiţie

Fie D⊂Rn, deschisă şi o funcţie f:D⊂Rn→R. Numim punct de maxim (punct de minim) un punct a∈D astfel încât f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a)) ∀x∈D. f(a)∈R se numeşte maxim (minim) al funcţiei f. Observaţie

Vom spune, atunci când nu ne interesează explicit natura unui punct din definiţia 3, că “a” este punct de extrem (global) iar f(a)-extrem (global). Observaţie

Un punct de maxim local (global) al funcţiei f este punct de minim local (global) pentru funcţia -f. Un punct de minim local (global) al funcţiei f este punct de maxim local (global) pentru funcţia –f (fig.126). Definiţie

Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct a∈D. Spunem că “a” este un punct critic (punct staţionar) al lui f dacă df(a)=0. Teoremă (Fermat)

Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct de extrem local a∈D al lui f. Atunci df(a)=0 (a este punct critic al lui f). Corolar

Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă într-un punct de extrem local a∈D al lui f.

Atunci ix

f

∂∂

(a)=0,i=1,...,n.

Teoremă Fie o funcţie f:D⊂Rn→R, D-deschisă, diferenţiabilă de ordinul 2 într-un punct critic a∈D al lui f.

Punctul “a” este un maxim local dacă forma pătratică d2f(a) este negativ definită. Punctul “a” este un minim local dacă forma pătratică d2f(a) este pozitiv definită.

Pasul 2 - Funcţii implicite

Teoremă (a funcţiilor implicite, Goursat)



Fie o funcţie f=(f1,...,fn):D⊂Rm+n→Rn, D-deschisă, n≥1, m≥0, (x1,...,xm,y1,...,yn)→(f1(x1,...,xm,y1,...,yn),...,fn(x1,...,xm,y1,...,yn)) şi

c=(a1,...,am,b1,...,bn)∈D Dacă: f(c)=0; fi∈C1(D), i= n,1 ;

)y,...,y(D

)f,...,f(D

n1

n1 (c)≠0 atunci:

∃W=U×V∈V(c) astfel încât U⊂Rm,V⊂Rn şi ϕ=(ϕ1,...,ϕn):U→V astfel încât bi=ϕi(a1,...,am), i= n,1 iar

fk(x1,...,xm,ϕ1(x1,...,xm),...,ϕn(x1,..., xm))=0, k= n,1 , ∀(x1,...,xm)∈U; ϕk∈C1(U),k= n,1 , iar:

)y,...,y(D

)f,...,f(D)y,...,y,x,y,...,y(D

)f,...,f(D

x

n1

n1

n1ki1k1

n1

i

k +−−=∂∂ϕ

, k= n,1 ,i= m,1 ;

Dacă funcţiile f i∈Cs(D), i= n,1 , s≥1 atunci şi funcţiile ϕi∈Cs(U), i= n,1 . Corolar

Fie o funcţie f=(f1,...,fn):D⊂Rn→Rn, D-deschisă, n≥1 şi a=(a1,...,an)∈D. Dacă: fi∈C1(D), i= n,1 şi

)x,...,x(D

)f,...,f(D

n1

n1 (a)≠0 (f este transformare regulată) atunci:

1) ∃U∈V(a) astfel încât fU:U→f(U) este bijectivă;

2) Considerând aplicaţia inversă f-1:f(U)→U avem f-1k∈C1(f(U)), k= n,1 , iar:

)a()x,...,x(D

)f,...,f(D1

))a(f()y,...,y(D

)f,...,f(D

n1

n1n1

1

n

1

1 =−−

Definiţie Fie funcţiile f i:D⊂Rn→R, D-deschisă, i=1,...,m, m,n≥1. Spunem că funcţiile f i, i=1,...,m sunt în

dependenţă funcţională (sau că sunt dependente funcţional) dacă ∃Φ:E⊂Rm→R astfel încât Φ(f1(x1,...,xn),...,fm(x1,...,xn))=0 ∀(x1,...,xn)∈D. Funcţiile f i, i=1,...,m sunt în independenţă funcţională (sau independente funcţional) dacă nu sunt dependente funcţional. Teoremă

Fie funcţiile f i:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C1(D), i=1,...,m, 1≤m≤n. Funcţiile f i, i=1,...,m sunt dependente funcţional dacă şi numai dacă diferenţialele dfi, i=1,...,m sunt liniar dependente în spaţiul vectorial L(Rn,R). Corolar

Fie funcţiile f i:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C1(D), i=1,..., m, 1≤m≤n. Funcţiile f i, i=1,...,m sunt independente funcţional dacă şi numai dacă diferenţialele dfi, i=1,...,m sunt liniar independente în spaţiul vectorial L(Rn,R). Corolar

Fie funcţiile f i:D⊂Rn→R, D-deschisă, fi∈C1(D), i=1,..., m, 1≤m≤ n. Funcţiile f i, i=1,...,m sunt independente funcţional dacă şi numai dacă rangul matricei jacobiene a funcţiilor f i, i=1,...,m este m. Teoremă (Lagrange)

Fie o funcţie f:D⊂Rn+m→R, D-deschisă, m,n≥1 şi legăturile gk:D→R, gk(x1,...,xn,y1,..., ym)=0, k=1,...,m, diferenţiabile pe D. Dacă un punct (a1,...,an,b1,...,bm)∈D este un punct de extrem local astfel încât

gk(a1,...,an,b1,...,bm)=0, k=1,...,m şi dacă )y,...,y(D

)g,...,g(D

m1

m1 (a1,...,an,b1,...,bm)≠0 atunci există λ1,...,λm∈R şi funcţia

Φ:D→R, Φ=f+λ1g1+...+λmgm astfel încât ix∂

Φ∂(a1,...,an,b1,...,bm)=0, i=1,...,n,

jy∂Φ∂

(a1,...,an,b1,...,bm)=0,

j=1,...,m. Observaţie

Metoda expusă mai sus se numeşte metoda multiplicatorilor lui Lagrange iar numerele λi, i=1,...,m se numesc multiplicatorii lui Lagrange .

LECŢIA 5

INTEGRAREA FUNC ŢIILOR Pasul 1 - Integrala Riemann-Stieltjes

Definiţii



Fie f:[a,b]→R şi ∆=(t0,t1,...,tn) o diviziune a intervalului [a,b] (a=t0<t1<...<tn-1<tn=b). Notăm ∆ =maxtk-tk-1k=1,...,n şi numim norma diviziunii ∆. Numim variaţia lui f pe ∆ numărul

V(f,∆)=∑=

−−n

1k1kk )t(f)t(f . Fie Div mulţimea diviziunilor intervalului [a,b]. Numărul

V(f)=V(f, [a,b])=sup∆∈DivV(f,∆) se numeşte variaţia totală a lui f pe [a,b]. Dacă numărul V(f) este finit atunci f se numeşte funcţie cu variaţie mărginit ă. Teoremă Fie f,g:[a,b]→R.

1) Dacă f este monotonă atunci ea este cu variaţie mărginită şi V(f, [a,b])=f(b)-f(a); 2) Dacă f este cu variaţie mărginită pe [a,b] iar [c,d]⊂[a,b] rezultă că f este cu variaţie mărginită pe [c,d] şi V(f, [c,d])≤V(f,[a,b]);

3) Dacă f este cu variaţie mărginită pe [a,b] iar a≤c≤b rezultă V(f,[a,b])= V(f,[a,c])+V(f,[c,b]); 4) Dacă f şi g sunt cu variaţie mărginită atunci af+bg este cu variaţie mărginită ∀a,b∈R; 5) (Teorema de structură a lui Jordan) Aplicaţia f este cu variaţie mărginită dacă şi numai dacă

∃ϕ,ψ:[a,b]→R, crescătoare astfel încât f=ϕ-ψ. Mai mult, aplicaţiile ϕ şi ψ pot fi considerate pozitive. 6) Dacă f şi g sunt cu variaţie mărginită atunci fg este cu variaţie mărginită; 7) O funcţie f cu variaţie mărginită pe [a,b] este mărginită pe [a,b] (dar nu şi reciproc) şi este integrabilă

Riemann; 8) O funcţie lipschitziană pe [a,b] este cu variaţie mărginită pe [a,b]; 9) O funcţie derivabilă cu derivata mărginită pe [a,b] este cu variaţie mărginită pe [a,b]; 10) Dacă f este derivabilă cu derivata integrabilă pe [a,b] atunci

V(f,[a,b])= ∫b

a

dx)x('f

Definiţie Fie acum f,g:[a,b]→R. Considerăm diviziunea ∆=(t0,t1,...,tn) a lui [a,b] şi punctele ξi∈[ti-1,ti], i=1,...,n.

Fie suma σ(f,g,∆)= ( )∑=

−−ξn

1i1iii )t(g)t(g)(f . Dacă ∃ I∈R astfel încât ∀ε>0⇒∃η>0 astfel încât ∆ <η şi ∀ξi în

∆⇒σ(f,g,∆)-I<ε spunem că f este funcţie integrabilă Riemann-Stieltjes (vom spune pe scurt RS-integrabilă) în raport cu g şi notăm

∫=b

a

fdgI

Teoremă Fie f,g:[a,b]→R. Atunci:

1) Dacă f este continuă şi g este cu variaţie mărginită atunci f este RS-integrabilă în raport cu g şi avem:

∫b

a

fdg ≤supf(x)V(g,[a,b]);

2) Dacă f este RS-integrabilă cu g atunci şi g este RS-integrabilă cu f şi are loc formula de integrare prin păr ţi:

)a(g)a(f)b(g)b(fa

bfggdffdg

b

a

b

a

−==+∫ ∫ ;

3) Dacă f1 şi f2 sunt RS-integrabile cu g şi a,b∈R atunci af1+bf2 este RS-integrabilă cu g şi avem:

dgfbdgfadgbfafb

a

2

b

a

12

b

a

1 ∫∫∫ +=+ ;

4) Dacă f este RS-integrabilă cu g1 şi g2 şi a,b∈R atunci f este RS-integrabilă cu ag1+bg2 şi avem

∫∫∫ +=+b

a

2

b

a

1

b

a

21 fdgbfdga)bgag(fd ;

5) Dacă f este continuă şi g derivabilă cu derivata continuă pe [a,b] atunci f este RS-integrabilă cu g şi

∫ ∫=b

a

b

a

dt'fgfdg (reducerea integralei Riemann-Stieltjes la integrala Riemann);

6) Dacă f este RS-integrabilă pe [a,b] atunci f este RS-integrabilă pe ∀[c,d]⊂[a,b]; 7) Dacă a<c<b şi f este RS-integrabilă cu g pe [a,c] şi [c,b] atunci f este

RS-integrabilă cu g pe [a,b] şi

∫ ∫ ∫+=b

a

c

a

b

c

fdgfdgfdg ;

8) Dacă f este RS-integrabilă cu g pe [a,b] iar h:[c,d]→[a,b] este un homeomorfism crescător (deci h(c)=a, h(d)=b) atunci f°h este RS-integrabilă cu g°h pe [c,d] şi



∫ ∫=b

a

d

c

)hg(d hffdg oo

Pasul 2 - Integrale improprii

Definiţie

Fie a∈R, b∈R şi o funcţie f:[a,b)→R, integrabilă pe orice interval compact [α,β]⊂[a,b). Dacă

byby

lim<→ ∫

y

a

dx)x(f există şi este finită atunci f se numeşte funcţie integrabilă impropriu pe [a,b) şi vom scrie

∫b

a

dx)x(f =byby

lim<→ ∫

y

a

dx)x(f . Vom mai spune că ∫b

a

dx)x(f este integrala improprie a lui f pe [a,b) sau că

∫b

a

dx)x(f este integrală convergentă pe [a,b).

Definiţie Fie a∈R , b∈R şi o funcţie f:(a,b]→R, integrabilă pe orice interval compact [α,β]⊂(a,b]. Dacă

ayay

lim>→ ∫

b

y

dx)x(f există şi este finită atunci f se numeşte funcţie integrabilă impropriu pe (a,b] şi vom scrie

∫b

a

dx)x(f =ayay

lim>→ ∫

b

y


a

dx)x(f este integrala improprie a lui f pe (a,b] sau că

∫b

a

dx)x(f este integrală convergentă pe (a,b].

Definiţie

Fie a,b∈R şi o funcţie f:(a,b)→R, integrabilă pe orice interval compact [α,β]⊂(a,b). Dacă există

c∈(a,b) astfel încât ∫c

a

dx)x(f şi ∫b

c

dx)x(f sunt convergente atunci f se numeşte funcţie integrabilă

impropriu pe (a,b) şi vom scrie ∫b

a

dx)x(f = ∫c

a

dx)x(f + ∫b

c


a

dx)x(f este integrala

improprie a lui f pe (a,b) sau că ∫b

a

dx)x(f este integrală convergentă pe (a,b).

Teoremă (de comparaţie) Fie f,g:[a,b)→R, integrabile pe orice interval compact [α,β]⊂[a,b). Dacă 0≤f(x)≤g(x) ∀x∈[a,b) iar

integrala ∫b

a

dx)x(g este convergentă atunci şi ∫b

a

dx)x(f este convergentă şi avem ∫b

a

dx)x(f ≤ ∫b

a

dx)x(g .

Propoziţie Fie f:[a,b)→R, integrabilă pe orice interval compact [α,β]⊂[a,b). Dacă c∈[a,b) atunci integralele

∫b

a

dx)x(f şi ∫b

c

dx)x(f au aceeaşi natură.

Teoremă (Criteriul integral al lui Cauchy)

Fie a≥0 şi f:[a,∞)→[0,∞) descrescătoare. Atunci ∫∞

a

dx)x(f şi seria[ ]∑

∞

+= 1an

)n(f (unde [a] reprezintă

partea întreagă a lui a∈R+) au aceeaşi natură. Propoziţie

Fie a>0. Atunci:

1) ∫∞

αa x

dx este convergentă pentru α>1 şi divergentă pentru α≤1;

2) ∫ α

a

0 x

dxeste convergentă pentru α<1 şi divergentă pentru α≥1.

Pasul 3 - Integrala curbilinie

Definiţii



O aplicaţie continuă γ=(γ1,...,γn):[a,b]⊂R→Rn se numeşte drum în Rn. Elementul γ(a)∈Rn se numeşte capătul ini ţial al drumului (originea drumului) iar γ(b)∈Rn se numeşte capătul final al drumului (extremitatea drumului). Un drum pentru care γ(a)=γ(b) se numeşte drum închis. Un drum γ=(γ1,...,γn) pentru care aplicaţiile γi∈C1([a,b]), i=1,...,n şi (γ'1(t))2+...+(γ'n(t))2≠0 ∀t∈[a,b] se numeşte drum neted. Un drum neted pentru care aplicaţia γ este injectivă se numeşte drum simplu (drum jordanian ).

Definiţie

Două drumuri netede γ1:[a,b]→Rn şi γ2:[c,d]→Rn se numesc drumuri echivalente şi vom scrie γ1∼γ2 dacă ∃h:[a,b]→[c,d], bijectivă, strict crescătoare şi h∈C1([a,b]) astfel încât γ1=γ2°h. Definiţie

Numim curbă o clasă de echivalenţă de drumuri. Definiţie

Fie γ şi γ':[0,1]→Rn două drumuri pentru care γ(1)=γ'(0). Definim compunerea lor, notată γ∪γ', ca fiind drumul:

(γ∪γ')(t)=

∈−γ

∈γ

1,21

tdaca )1t2('

;21

0, tdaca )t2(

Definiţie Fie un drum γ:[0,1]→Rn. Definim drumul opus lui γ ca fiind drumul

γ-:[0,1]→Rn, γ-(t)=γ(1-t) ∀t∈[0,1]. Definiţie

Fie un drum γ:[0,1]→Rn. Mulţimea Supp(γ)=Im γ=γ(t)t∈[0,1] se numeşte suportul drumului γ. Definiţie

Fie γ:[a,b]⊂R→Rn un drum simplu din Rn şi f:D⊂Rn→R, o funcţie continuă pe Supp(γ)⊂D. Definim integrala curbilinie a lui f pe drumul γ prin:

( ) ( )∫∫ γ++γγγ=γ

b

a

2

n

2

1n1 dt)t('...)t('))t(),...,t((ff

Teoremă Fie a,b,c∈Rn, γ∈D(a,b),γ‘ ∈D(b,c) drumuri simple, f,g:D⊂Rn→R continue pe Supp(γ)∪Supp(γ‘) şi

α,β∈R. Avem următoarele proprietăţi:

1) ∫γ

β+α gf =α ∫γ

f +β ∫γ

g ;

2) ;fff''∫∫∫γγγ∪γ

+=

3) Fie γi, i=1,...,n drumuri astfel încât f este continuă pe Supp(γ1)∪...∪Supp(γn).

.ff atunci = Dacan

1i

n

1=ii

i

∑ ∫∫γ=γ γ

=γ U

Pasul 4 - Funcţiile lui Euler

Teoremă

Fie p,q>0. Integrala improprie

∫−− −=

1

0

1q1p dx)x1(x)q,p(B

este convergentă iar funcţia B:(0,∞)2→R definită mai sus se numeşte funcţia Beta sau integrala euleriană de prima speţă. Teoremă

Fie x>0. Integrala improprie

∫∞

−−=Γ0

t1x dtet)x(

este convergentă iar funcţia Γ:(0,∞)→R se numeşte funcţia Gamma sau integrala euleriană de speţa a doua. Propoziţie



Funcţia Γ are proprietăţile: 1) Γ(x+1)=xΓ(x) ∀x>0 (formula de recurenţă a funcţiei Gamma); 2) Γ(x+n)=x(x+1)...(x+n-1)Γ(x) ∀x>0; 3) Γ(1)=1; 4) Γ(n+1)=n! ∀n∈N.

Propoziţie Funcţia B are următoarele proprietăţi:

1) B(p,q)=B(q,p);

2) ∫

π

−− θθθ=2

0

1q21p2 dcossin2)q,p(B ;

3) pB(p,q+1)=qB(p+1,q) unde p,q>0.

Teoremă Are loc următoarea egalitate:

0>qp,,)qp(

)q()p()q,p(B

+ΓΓΓ=

Propoziţie Funcţia Gamma are următoarele proprietăţi:

1) π=

Γ2

1;

2) π−⋅⋅⋅⋅=

+Γn2

)1n2(...531

2

1n ;

3) )x2(22

1x)x(

1x2Γπ=

+ΓΓ−

∀x>0 (formula lui Legendre);

4) xsin

)x1()x(π

π=−ΓΓ ∀x∈(0,1) (formula complementelor).

Pasul 5 - Integrale multiple

Definiţie

Fie D⊂Rn, n=1,2,3 şi d distanţa determinată de norma euclidiană ⋅2. Se numeşte diametrul lui D numărul: diam(D)=supd(x,y)x,y∈ D dacă D este mărginită şi diam(D)=∞ dacă D nu este mărginită. Definiţie

Fie o mulţime compactă D⊂Rn, n=1,2,3. Se numeşte descompunere a lui D o partiţie cu interioare disjuncte D=D1∪...∪Dm, m≥1, unde Di, i=1,...,m sunt compacte. Vom scrie succint ∆=(D1,...,Dm). Numim norma descompunerii ∆ ca fiind maximul diametrelor Diam(Di), i=1,...,m şi o vom nota ∆. Definiţie

Fie f:D⊂Rn→R, n=1,2,3, D-compactă. Fie de asemenea o descompunere ∆=(D1,...,Dm) a lui D şi

punctele (ξi1,...,ξi

n)∈Di, i=1,...,m. Suma σ(f,ξi1,...,ξi

n)=∑=

ξξm

1i

n

i

1

i ),...,(f m(Di) unde m(Di)=lungimea(Di) dacă

n=1, m(Di)= aria(Di) dacă n=2 şi m(Di)= volumul (Di) dacă n=3 se numeşte sumă Riemann asociată funcţiei f, descompunerii ∆ şi punctelor intermediare (ξi

1,...,ξin), i=1,...,m.

Definiţie Fie f:D⊂Rn→R, n=1,2,3, D-compactă. Dacă există I∈R astfel încât ∀ε>0⇒∃δε>0 astfel încât oricare

ar fi o descompunere ∆=(D1,...,Dm) a lui D cu ∆<δε⇒σ(f,ξi1,...,ξi

n)-I<ε ∀(ξi1,...,ξi

n)∈Di vom spune că f

este integrabilă Riemann pe D iar I se numeşte integrala Riemann a funcţiei f pe D. Vom nota: I=∫D

dx)x(f

dacă n=1 – integrala Riemann deja cunoscută, I= ∫∫D

dxdy)y,x(f dacă n=2 – numită integrală dublă şi

I= ∫∫∫D

dxdydz)z,y,x(f dacă n=3 – numită integrală tripl ă.

Vom prezenta în continuare câteva proprietăţi ale integralelor duble şi a celor triple. Teoremă

1) Fie funcţiile continue ϕ,ψ:[a,b]→R, ϕ≤ψ şi D=(x,y)∈R2ϕ(x)≤y≤ψ(x),a≤x≤b. Dacă f:D→R este continuă pe D atunci:

∫∫D

dxdy)y,x(f = ∫ ∫

ψ

ϕ

b

a

)x(

)x(

dxdy)y,x(f



2) Fie funcţiile continue ϕ,ψ:[a,b]→R, ϕ≤ψ şi D=(x,y)∈R2ϕ(y)≤x≤ψ(y),a≤y≤b. Dacă f:D→R este continuă pe D atunci:

∫∫D

dxdy)y,x(f = ∫ ∫

ψ

ϕ

b

a

)y(

)y(

dydx)y,x(f

Teoremă Fie funcţiile continue ϕ,ψ:[a,b]→R, ϕ≤ψ, domeniul D'=(x,y)∈R2ϕ(y)≤x≤ψ(y), a≤y≤b şi funcţiile

continue α,β:D'→R, α≤β. Fie de asemenea D=(x,y,z)∈R3 α(x,y)≤z≤β(x,y),ϕ(x)≤y≤ψ(x), a≤x≤b. Dacă f:D→R este continuă pe D atunci:

∫∫∫D

dxdydz)z,y,x(f = ∫ ∫ ∫

ψ

ϕ

β

α

b

a

)x(

)x(

)y,x(

)y,x(

dxdydz)z,y,x(f

Teoremă (de schimbare de variabilă în integrala dublă) Fie în R2 un domeniu compact D, cu frontiera o curbă simplă, închisă şi cu tangentă continuă. Dacă

T:D→R2, T(u,v)=(ϕ(u,v),ψ(u,v)) este o transformare regulată (având jacobianul nenul pe D) şi ϕ,ψ∈C2(D) atunci:

∫∫)D(T

dxdy)y,x(f = ∫∫ψϕψϕ

D

dudv)v,u(D

),(D))v,u(),v,u((f

Teoremă (de schimbare de variabilă în integrala triplă) Fie în R3 un domeniu compact D, cu frontiera o suprafaţă simplă, închisă şi cu plan tangent continuu.

Dacă T:D→R3, T(u,v,w)=(ϕ(u,v,w),ψ(u,v,w),χ(u,v,w)) este o transformare regulată (având jacobianul nenul pe D) şi ϕ,ψ,χ∈C 2(D) atunci:

∫∫∫∫∫∫χψϕχψϕ=

D)D(T

dudvdw)w,v,u(D

),,(D))w,v,u(),w,v,u(),w,v,u((fdxdydz)z,y,x(f

Teoremă (Fubini, pentru n=2) Fie în R2 domeniul D=(x,y)∈ R2a≤x≤c, b≤y≤d şi f:D→R, continuă pe D. Atunci:

dydx)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(fd

b

c

a

c

a

d

bD∫ ∫∫ ∫∫∫

=

=

Teoremă (Fubini, pentru n=3) Fie în R3 domeniul D=(x,y,z)∈R3a≤x≤c, b≤y≤d,g≤z≤h şi f:D→R, continuă pe D. Atunci:

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫

==

=

h

g

d

c

b

a

b

a

d

c

h

gD

dzdydx)z,y,x(f...dxdydz)z,y,x(fdxdydz)z,y,x(f

Teoremă (Green-Riemann) Fie D⊂R2 un domeniu compact, simplu în raport cu axele de coordonate, P,Q:D→R, continue pe D

iar y

P

∂∂

şi x

Q

∂∂

există şi sunt continue pe D. Atunci:

dxdyy

P

x

Qdy)y,x(Qdx)y,x(P

DD∫∫∫

∂∂−

∂∂=+

∂

unde∫∂

+D

dy)y,x(Qdx)y,x(P este integrala formei diferenţiale P(x,y)dx+Q(x,y)dy pe drumul ∂D parcurs

astfel încât interiorul acestuia să fie la stânga.

REZUMAT

Noţiunile de mulţime deschisă şi mulţime închisă sunt fundamentale în construcţia obiectelor

specifice analizei matematice. De asemenea, punctul de acumulare este fundamental în definirea limitei unei

funcţii, iar ulterior în definiţia diferenţiabilităţii acesteia. Noţiunile de derivată după o direcţie şi cea

particulară a derivatei parţiale aduc conceptul de “viteză” a unui proces, de multe ori mai importantă decât

procesul în sine.

Seriile numerice reprezintă o extensie a sumelor finite, aplicabile în calcule iterative de dimensiuni

mari. De asemenea, seriile de funcţii şi cele de puteri în special, permit “simularea” unei funcţii printr-un

“polinom de grad infinit” ceea ce înlesneşte ulterior calculul unor mărimi, de multe ori dificile, cum ar fi

diferenţialele sau integralele.



Extremele funcţiilor îşi găsesc o aplicare firească la optimizarea proceselor economice general,e ce

nu permit, de exemplu, aplicarea unor algoritmi specifici (vezi mai târziu algoritmul Simplex).

CONCLUZII

Studiind acest modul aţi dobândit cunoştinţe referitoare la noţiunile de mulţime deschisă, închisă,

punct de acumulare, mulţime compactă sau conexă, derivată după o direcţie, derivată parţială, serie numerică

sau de puteri şi modul de determinare a extremelor funcţiilor.

EXEMPLE ILUSTRATIVE

1. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul I şi II pentru funcţia f:R3→R, f(x,y,z)=x2+exy+xyz4 în punctul (x,y,z)∈R3, verificându-se criteriul lui Schwarz pe acest exemplu concret. Soluţie Avem:

• x

f

∂∂

=2x+yexy+yz4, y

f

∂∂

=xexy+xz4, z

f

∂∂

=4xyz3;

• 2

2

x

f

∂∂

=x∂∂

(x

f

∂∂

)=x∂∂

(2x+yexy+yz4)=2+y2exy;

• yx

f2

∂∂∂

=x∂∂

(y

f

∂∂

)=x∂∂

(xexy+xz4)=(xy+1)exy+z4;

• xy

f2

∂∂∂

=y∂

∂(

x

f

∂∂

)=y∂

∂(2x+yexy+yz4)=(xy+1)exy+z4;

• zx

f2

∂∂∂

=x∂∂

(z

f

∂∂

)=x∂∂

(4xyz3)=4yz3;

• xz

f2

∂∂∂

=z∂

∂(

x

f

∂∂

)=z∂

∂(2x+yexy+yz4)=4yz3;

• 2

2

y

f

∂∂

=y∂

∂(

y

f

∂∂

)=y∂

∂(xexy+xz4)=x2exy;

• zy

f2

∂∂∂

=y∂

∂(

z

f

∂∂

)=y∂

∂(4xyz3)=4xz3;

• yz

f2

∂∂∂

=z∂

∂(

y

f

∂∂

)=z∂

∂(xexy+xz4)=4xz3;

• 2

2

z

f

∂∂

=z∂

∂(

z

f

∂∂

)=z∂

∂(4xyz3)=12xyz2.

2. Să se determine diferenţiala de ordinul I a funcţiei f:R3→R, f(x,y,z)=4xy+exz-5zex în punctul (1,1,1).

Soluţie Avem: df(1,1,1)=x

f

∂∂

(1,1,1)dx+y

f

∂∂

(1,1,1)dy+z

f

∂∂

(1,1,1)dz=(4-4e)dx+4dy-4edz.

3. Fie funcţia f:R3→R, f(x,y,z)=x2+y2-z2+2xy-3xz. Să se calculeze d2f.

Soluţie Avem: d2f=2

2

x

f

∂∂

dx2+2yx

f2

∂∂∂

dxdy+2zx

f2

∂∂∂

dxdz+2

2

y

f

∂∂

dy2+2zy

f2

∂∂∂

dydz+ 2

2

z

f

∂∂

dz2 de unde:

d2f=2dx2+4dxdy-6dxdz+2dy2-2dz2.

4. Să se studieze convergenţa seriei: ∑∞

1=nnn

!n.

Soluţie Aplicăm criteriul D’Alembert şi obţinem lim

n

1n

n

!n)1n(

)!1n(++

+

=limn

n

)1n(

n

+= lim

n

n

1n

1

+=

e

1<1 deci seria

este convergentă. 5. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri:

∑∞

++

1=n

n

2x

nn

nn



Soluţie R=

n

1+n

a

alim

1=

nn

n+n

)1n()1n(

1+n+1+n

lim

1

2

2

+

+++

=1 deci D⊃(-1,1). Pentru x=1 avem seria ∑∞

+1=n2 nn

n+n şi cum lim

n1

nnn+n

2 + =1 rezultă că seria are aceeaşi natură cu seria ∑∞

=1n n

1 care este divergentă. Pentru x=-1 avem

∑∞

+−

1=n2

n

nn

n+n)1( . Fie funcţia f(x)=

xx

x+x2 +

, x>0. Avem: f’(x)=22

22

)xx(x2

)xx3()1x(x2

+−−+−

. Cum limita

numărătorului tinde la -∞ atunci când x→∞ rezultă că pentru x suficient de mare avem f’(x)<0. Considerând

restricţia funcţiei f la N* rezultă că şirul an=nn

n+n2 +

este descrescător pentru n suficient de mare. Seria este

deci convergentă ca urmare a teoremei lui Leibniz. Avem deci D=[-1,1). 6. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei:

f:R2→R, f(x,y)=xy(1-xy)

Soluţie Punctele critice se determină rezolvând sistemul:

=−=∂∂

=−=∂∂

0yx2xy

f

;0xy2yx

f

2

2

de unde

==

02xy)-x(1

;02xy)-y(1. Dacă

1-2xy≠0 atunci x=y=0. Prin urmare, punctele critice sunt: )0,0(2

1xyy)(x, ∪

=∈ 2R . Avem însă

2

2

2

y2x

f −=∂∂

, xy41yx

f2

−=∂∂

∂, 2

2

2

x2y

f −=∂∂

de unde: d2f(a,b)(u,v)=-2b2u2+(1-4ab)uv-2a2v2. Matricea formei

pătratice este:

2

2

2a-2

4ab-12

4ab-12b-

de unde: ∆1=-2b2, ∆2=4

1ab8 −. Dacă a=b=0 avem d2f(0,0)(u,v)=uv şi cu

metoda Gauss: u’=u+v, v’=u-v rezultă d2f(0,0)(u’,v’)= )'v'u(4

1 22 − care este semidefinită. Prin urmare,

punctul (0,0) nu este de extrem fiind deci punct şa. Pentru ab=2

1 avem ∆1<0, ∆2=

4

3 şi deci (a,b) este punct

de maxim local. Punctele de extrem ale funcţiei sunt deci:

=∈2

1xyy)(x, 2

R .

7. Să se calculeze integrala ∫γ

2y unde γ(t)=(t-sin t,1-cos t), t∈[0,π].

Soluţie

∫∫∫∫π

=ππ

γ

===2

0

5s2t

0

5

0

222 sdssin16dt2

tsin8dt

2

tsin2)

2

tsin2(y =

15

128du1u2u16dss)' (cos)scos1(16

1

0

24u=s cos

0

222

=+−=−− ∫∫π

.

RECOMANDĂRI BIBLIOGRAFICE:



19. Dragomir, A., Dragomir, P., Structuri algebrice, Timişoara, Editura Facla, 1981; 20. Fadeev, D., Sominsky, I., Recueil d'exercices d'algebre superieure, Mir Moscou, 1980; 21. Ikramov, H. D., Linear Algebra-Problems book, Mir Moscow, 1983; 22. Ioan, C. A., Matematici aplicate în economie, Bucureşti, EDP, 2004; 23. Ioan, C. A., Matematică - I, Galaţi, Editura Sinteze, 2006;



24. Ion, D. I., Niţă, C., Radu, N., Popescu, D., Probleme de algebră, Bucureşti, E.D.P., 1981; 25. Ion ,D. I., Radu, N., Algebră, Bucureşti, Bucureşti, E.D.P., 1991; 26. Kurosh, A., Higher Algebra, Editura Mir Moscow, 1984; 27. Lang, S., Algebra, Addison-Wesley, 1971; 28. Năstăsescu, C., Ţena, M., Andrei, G., Otărăşanu, I., Probleme de structuri algebrice, Bucureşti, Editura


TESTE DE AUTOEVALUARE 1. Fie mulţimile de numere reale: A=(-1,7] şi B=[2,9). Să se afle „n” cel mai

mic număr întreg al lui o

BA ∩ .

1. n=8 3. n=3

2. n=6 4. n=12

2. Să se calculeze x

f

∂∂

(3,0,6) pentru funcsţia f:R3→R, f(x,y,z)=x6+exy+xy3z3. 1. x

f

∂∂

(3,0,6)=1463

3. x

f

∂∂

(3,0,6)=1467

2.x

f

∂∂

(3,0,6)=1458

4.x

f

∂∂

(3,0,6)=1470

3. Să se determine diferenţiala de ordinul I a funcţiei f:R3→R, f(x,y,z)=8xy+e8xz-6z în punctul (9,9,0).

1. df(9,9,0)=74dx+71dy+69dz 2. df(9,9,0)=72dx+72dy+66dz 3. df(9,9,0)=74dx+68dy+68dz 4. df(9,9,0)=73dx+71dy+72dz


++

1=nhf

db

gnen

cnan unde: a=3, b=7, c=9, d=3,

e=5, f=1, g=9, h=7.

1. convergenta 3. nu are sens

2. divergenta 4. conv & div

5. Mulţimea C de convergenţă a seriei de puteri: ∑∞

++

1=nc

b

dnn

nan(x-8)n unde a=1,

b=6, c=1, d=1 este:

1. C=(9,15) 3. C=(7,9)

2. C=(8,15) 4. C=(12,19)

6. Să se dezvolte în serie Mac Laurin funcţia: f(x)=sin 3x, x∈R. 1. f(x)=x-4,5x3+2,02x5-0,43000001x7+... 2. f(x)=x-6,1100001x3+6,5300002x5-3,6900001x7+... 3. f(x)=x-8,1999998x3+3x5-2,3699999x7+... 4. f(x)=x-5,3600001x3+2,9100001x5-3,77x7+...

7. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei: f:R2→R, f(x,y)=2,5x2+1y2+3xy+4x+3y+9.

1. x=3, y=0,49000001 2. x=1, y=-3 3. x=6,3499999, y=0,31999999 4. x=7,9899998, y=-1,8099999

8. Fie mulţimile de numere reale: A=(-5,3] şi B=[-2,5). Să se afle „n” cel mai

mic număr întreg al lui o

BA ∩ .

1. n=5 3. n=8

2. n=3 4. n=-1

9. Să se calculeze x

f

∂∂

(4,0,1) pentru funcsţia f:R3→R, f(x,y,z)=x5+exy+xy2z8. 1. x

f

∂∂

(4,0,1)=1288

3. x

f

∂∂

(4,0,1)=1290

2.x

f

∂∂

(4,0,1)=1280

4.x

f

∂∂

(4,0,1)=1293

10. Să se determine diferenţiala de ordinul I a funcţiei f:R3→R, f(x,y,z)=6xy+e7xz-9z în punctul (3,5,0).

1. df(3,5,0)=32dx+16dy+13dz 2. df(3,5,0)=30dx+18dy+12dz 3. df(3,5,0)=32dx+15dy+14dz 4. df(3,5,0)=32dx+17dy+17dz


++

1=nhf

db

gnen

cnan unde: a=1, b=6, c=4, d=9,

e=2, f=9, g=6, h=4.

1. nu are sens 3. divergenta

2. convergenta 4. conv & div

12. Mulţimea C de convergenţă a seriei de puteri: ∑∞

++

1=nc

b

dnn

nan(x-2)n unde a=2,

b=5, c=2, d=9 este:

1. C=(2,8) 3. C=(1,3)

2. C=(4,9) 4. C=(7,12)

13. Să se dezvolte în serie Mac Laurin funcţia: f(x)=sin 1x, x∈R. 1. f(x)=x-3,0999999x3+4,73x5-1,4299999x7+... 2. f(x)=x-0,17x3+9,9999998E-3x5-0x7+... 3. f(x)=x-5,46x3+2,9400001x5-3,1700001x7+... 4. f(x)=x-2,6500001x3+2,8499999x5-4,96x7+...

14. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei: f:R2→R, f(x,y)=1,62x2+4y2+5xy+9x+5y+4.

1. x=-45,299999, y=32,59 2. x=-47, y=28,799999 3. x=-43,060001, y=31,790001 4. x=-40,970001, y=31,610001



TEMĂ DE CONTROL

1. Să se calculeze limita şirului din R2: an=

+−+

+−+

6nn

5n,

2n3

5nn322

2

∀n≥1;

2. Să se calculeze 22

33

)0,0()y,x( yx

yx6lim

++

→.

3. Să se determine diferenţiala de ordinul I a funcţiei f:R3→R, f(x,y,z)=4xy+e2xz-9zex în punctul (1,1,1). 4. Fie funcţia f:R3→R, f(x,y,z)=x2+3y2-z2+2xy-3xz. Să se calculeze d2f.


+−1=n )1n3)(2n6(

1.

6. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri: ∑∞

1=n

n

!n

)x7(

7. Să se dezvolte în serie Mac Laurin funcţia: f(x)=sin 4x, x∈R. 8. Să se dezvolte în serie Mac Laurin funcţia: f(x)=e5x, x∈R. 9. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei: f:R2→R, f(x,y)=x3+y3-6xy+2 10. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei: f:R2→R, f(x,y)=xy(10-xy).

MODULUL 3

TEORIA PROBABILIT ĂŢILOR

Obiectivele specifice modulului: Introducerea noţiunii de probablitate; Studiul schemelor de probabilitate; Studiul indicatorilor numerici ai variabilelor aleatoare; Determinarea regresiei liniare.


Înţelegerea noţiunilor de bază ale teoriei probabilităţilor; Formarea modului de gândire probabilistic; Încadrarea noţiunii de probabilitate în acţiunile previzionale; Determinarea corectă a indicatorilor numerici asociaţi unei variabile aleatoare.

Competenţe dobandite ca urmare a parcurgerii modulului: Deprinderea folosirii noţiunilor probabilistic; Folosirea corectă a schemelor de probabilitate; Calculul indicatorilor numerici asociaţi unei variabile aleatoare.

Timpul mediu necesar pentru asimilarea modulului: 6 ore

LECŢIA 1

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILIT ĂŢILOR

Pasul 1 - Probabilităţi - câmp de evenimente, frecvenţă, probabilitate

Noţiunile de eveniment şi experienţă sunt noţiuni primare. Aşa cum în teoria mulţimilor sunt considerate uneori drept noţiuni primare cele de mulţime şi de element al acesteia, în mod analog vom proceda în această teorie.

Vom sugera aceste două noţiuni pe baza unor exemple. De asemenea, trebuie să facem următoarea remarcă, fără de care teoria probabilităţilor poate părea vulgară. Majoritatea exemplelor şi aplicaţiilor se vor face pe situaţii uşor de înţeles. Astfel, vom prefera exemple privind aruncarea cu zarul sau cu banul, extrageri de bile din urne etc. în locul unor experienţe cu maşini şi utilaje sau altele de acest gen (în fond, oricâte maşini şi utilaje am avea în viaţă, tot în urnă ajungem!) Exemplu



Să considerăm experienţa aruncării cu zarul, gândit ca un cub omogen numerotat pe cele şase feţe de la 1 la 6. Cele de mai jos sunt câteva exemple de evenimente ce pot apare la o aruncare:

• E1:”apare faţa 2”; • E2:”apare una din feţele 2 sau 5”; • E3:”apare o faţă impară”; • E4:”apare una din feţele 1, 3 sau 5”; • E5:”apare faţa 5”; • E6:”apare una din feţele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6”; • E7:”apare faţa 7”; • E8:”apare o faţă pară”; • E9:”apare una din feţele 1, 2 sau 3”

Definiţie Evenimentul care se realizează la fiecare experienţă se numeşte eveniment sigur, iar cel care nu se

realizează niciodată-eveniment imposibil. Astfel, la aruncarea cu zarul, E6 este evenimentul sigur, iar E7 este evenimentul imposibil (este

evident că vom elimina aici cazuri extrem de rare cum ar fi oprirea zarului pe o muchie sau pe un colţ). De asemenea, trebuie să remarcăm că aceste două evenimente constituie într-un anumit sens “extreme” ale experienţelor. Ele se vor gândi ca nişte clase de situaţii notate, fiecare, printr-un singur simbol, aşa cum vom vedea mai departe. Este necesară o atare înţelegere deoarece, spre exemplu şi evenimentul “apare una din feţele 1,2,3,4,5,6 sau 7” este sigur aşa cum evenimentul “apare faţa 8” este şi el imposibil.

Există o teorie generală, aşa-numita teorie a măsurii, care până într-un anumit punct, tratează în mod unitar teoria probabilităţilor, teoria mulţimilor, teoria integralei, teoria ariilor şi volumelor şi altele. Din acest motiv, vom utiliza în prezentarea unor concepte ale teoriei probabilităţilor notaţii din teoria mulţimilor, având grijă însă de interpretarea acestora în sensul primei dintre teoriile de mai sus. În acest sens, vom nota evenimentul sigur cu E şi evenimentul imposibil cu ∅. Definiţie

Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe. Dacă realizarea unui eveniment A∈E implică realizarea unui eveniment B∈E spunem că A implică pe B sau că B este implicat de A şi scriem A⊂B sau B⊃A. Definiţie

Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe şi A,B∈E. Dacă A⊂B şi B⊂A spunem că A este echivalent cu B şi notăm A=B. Definiţie

Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe şi A∈E . Evenimentul care se realizează atunci când nu se realizează A şi care nu se realizează atunci când se realizează A se numeşte

contrarul lui A şi se notează non A, A (notaţie preferată aici) sau Ac. Definiţie

Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe şi A,B∈E. Evenimentul care constă în realizarea fie a lui A, fie a lui B, fie a amândurora (deci a cel puţin unuia dintre evenimente) se numeşte A sau B şi se notează A∪B. Definiţie

Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe şi A,B∈E . Evenimentul care constă în realizarea fie numai a lui A, fie numai a lui B (deci a unuia singur dintre evenimente) se numeşte A sau exclusiv B şi se notează A∆B. Definiţie

Fie E mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe şi A,B∈E . Evenimentul care constă în realizarea atât a lui A cât şi a lui B se numeşte A şi B şi se notează A∩B. Definiţie

Două evenimente A,B∈E pentru care A∩B=∅ (deci nu se pot realiza simultan) se numesc evenimente incompatibile, în caz contrar numindu-se evenimente compatibile. Definiţie

Fie M=P(E), E-mulţime, mulţimea tuturor evenimentelor asociate unei experienţe. O familie nevidă K⊂P(E) finită, se numeşte câmp de evenimente dacă:

1) A∈K⇒ A ∈K; 2) A∈K, B∈K⇒A∪B∈K.

Vom nota (E,K) un câmp de evenimente. În cele ce urmează, vom analiza numai câmpuri finite de evenimente, acestea fiind cele mai întâlnite în aplicaţiile practice. Teoremă

Fie (E,K) un câmp finit de evenimente. Dacă Ai∈K ∀i=1,...,n atunci Un

1iiA

=

∈K.



Teoremă Fie (E,K) un câmp finit de evenimente. Au loc următoarele afirmaţii:

1) E∈K, ∅∈K;

2) ∀A i∈K, i=1,...,n⇒In

1iiA

=

∈K;

3) ∀A,B∈K⇒A-B∈K; 4) ∀A,B∈K⇒A∆B∈K.

Să considerăm acum o experienţă pe care o efectuăm de n ori, la fiecare repetare a ei posibilitatea de realizare a unui anumit eveniment fiind aceeaşi. Dacă evenimentul se realizează de k ori, vom spune că

frecvenţa acestuia este n

k. Vom numi în general frecvenţa unui anumit eveniment A ca fiind:

posibilecazurilor numarul

realizatecazurilor numarulf A =

Definiţie Fie (E,K) un câmp finit de evenimente. Se numeşte probabilitate pe K o funcţie P:K→R+ astfel

încât: 1) P(E)=1; 2) ∀A,B∈K, A∩B=∅⇒P(A∪B)=P(A)+P(B).

Definiţie Numim tripletul (E,K,P) câmp de probabilitate.

Teoremă Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. Atunci:

1. P(∅)=0;

2. ∀A i∈K, Ai∩A j=∅, i,j=1,...,n, i≠j⇒ ∑==

=n

1ii

n

1ii )A(P)A(PU ;

3. P(A )=1-P(A) ∀A∈K; 4. P(A)∈[0,1] ∀A∈K; 5. A⊂B⇒P(A)≤P(B) şi P(B-A)=P(B)-P(A).

Teoremă Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. Atunci:

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) ∀A,B∈K Corolar

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. Atunci are loc proprietatea de subaditivitate finită:

∑==

≤n

1ii

n

1ii )A(P)A(P U ,∀Ai∈K, i=1,...,n.

Corolar Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. Atunci:

P(A∆B)=P(A)+P(B)-2P(A∩B) ∀A,B∈K Definiţie

Fie M=P(E) mulţimea evenimentelor asociate unei experienţe şi I o familie de indici cel mult numărabilă. O submulţime S=Aii∈I⊂P(E), Ai≠∅ se numeşte sistem complet de evenimente (partiţie) a lui E dacă:

1. Ai∩A j=∅ ∀i,j∈I, i≠j; 2. U

IiiA

∈

=E.

Pasul 2 - Probabilităţi condiţionate

Să presupunem că efectuăm un experiment de n ori şi un eveniment A s-a realizat de k ori, k≠0. În

cele k apariţii ale lui A s-a realizat de asemenea de p ori, p≤k, un eveniment B. Avem deci fA=n

k şi fA∩B=

n

p.

Dacă notăm fA(B) frecvenţa lui B în ipoteza că A s-a produs avem fA(B)=k

p=

n

kn

p

=A

BA

f

f ∩ . Aceasta conduce la

o nouă definiţie şi anume: Definiţie

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi A,B∈K,P(A)≠0. Probabilitatea evenimentului B condiţionată de (realizarea lui) A se defineşte ca fiind:



)A(P

)BA(P)AB(P)B(PA

∩==

Propoziţie Probabilitatea condiţionată este o probabilitate pe K.

Definiţie Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. Două evenimente A,B∈K se numesc evenimente

independente dacă P(A∩B)=P(A)P(B). Definiţie

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate. O mulţime finită de evenimente A ii∈I⊂K se numeşte independentă dacă ∀J⊂I implică:

IJj Jj

jj )A(P)A(P∈ ∈

∏=

Teoremă (formula probabilităţii totale) Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi S=A ii∈I⊂K un sistem complet de evenimente cu P(Ai)≠0

∀i∈I (I-cel mult numărabilă). Are loc egalitatea:

∑∈

=Ii

Ai )X(P)A(P)X(Pi

∀X∈K

Teoremă (formula lui Bayes) Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi S=A ii∈I⊂K un sistem complet de evenimente (I-cel mult

numărabilă). Are loc egalitatea:

∑∈

=Ii

Ai

Ak

kX )X(P)A(P

)X(P)A(P)A(P

i

k ∀X∈K ∀Ak∈S

Teoremă (regula de înmulţire a probabilităţilor ) Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi A ii=1,...,n⊂K un sistem de evenimente pentru care

P(A1∩...∩Ak)≠0 ∀k=1,...,n-1. Are loc următoarea egalitate: )A(P)...A(P)A(P)A...A(P nA...A2A1n1 1n11 −∩∩=∩∩

Pasul 3 - Scheme de probabilitate I. Schema bilei neîntoarse (hipergeometrică) Într-o urnă sunt k tipuri de bile şi anume ai bile de culoarea ci, i=1,...,k. Dacă extragem n bile simultan (sau altfel, fără a returna bilele, ceea ce este acelaşi lucru) atunci probabilitatea ca să obţinem bi bile de culoarea ci, i=1,...,k (evident n=b1+...+bk) este:

P=k1

k1

i

i

b...b

a...a

k

1=i

b

a

C

C

++++

∏

Pentru demonstraţie, să remarcăm că la extragerea celor n bile avem n a...a k1C + cazuri posibile. Un grup

de bi bile poate fi ales din cele ai bile în i

i

b

aC moduri. Extragerile bilelor de diferite culori fiind independente,

vom avea în total ∏k

1=i

b

aC i

i cazuri favorabile. Prin urmare, probabilitatea căutată este: P=

k1

k1

i

i

b...b

a...a

k

1=i

b

a

C

C

++++

∏.

II. Schema lui Poisson Fie evenimentele independente A1,...,An cu P(Ai)=pi şi fie qi=1-pi, i=1,...,n. Probabilitatea ca în n

experienţe să se realizeze k dintre ele este: P=coef (xk) din polinomul (p1x+q1)...(pnx+qn)

Pentru demonstraţie, să considerăm evenimentele iA , i=1,...,n pentru care P(iA )=qi. Evenimentul

căutat (realizarea a k evenimente în cele n experienţe) este:

)A...AA...A(

n1n1

n1kk1

i...in,1i,...,i

iiiiU≠≠

=

∪∪∪∪∪ +

şi cum toate evenimentele reuniunii sunt disjuncte două câte două rezultă că probabilitatea este cea de mai sus. Trebuie remarcat că în schema lui Poisson evenimentele A1,...,An nu sunt neapărat legate de situaţii distincte. Este posibil ca să repetăm experienţa pentru acelaşi eveniment cercetat, dar probabilitatea acestuia să se schimbe pe parcursul derulării ei. III. Schema lui Bernoulli (binomială)



Fie un eveniment A cu P(A)=p şi q=1-p. Probabilitatea ca în n experienţe evenimentul A să se producă de k ori este

P= k

nC pkqn-k

Demonstraţia acestui fapt este banală, considerând pur şi simplu în schema lui Poisson A1=...=An şi deci p1=...=pn=p, q1=...=qn=q. În acest caz, coeficientul lui xk din dezvoltarea (px+q)n=(q+px)n este P= kknk

n

kknkn

n pqCpqC −−− = deoarece din formula combinărilor complementare, avem: k

n

kn

n CC =− ∀k=0,...,n.

IV. Schema multinomială Fie evenimentele independente Ai, i=1,...,k cu probabilităţile pi. Probabilitatea ca în n experienţe evenimentul Ai să se realizeze de ai ori, i=1,...,n (a1+...+ak=n) este:

P= k1 a

k

a

1

k1

p...p!a!...a

!n

Pentru demonstraţie, fie A evenimentul căutat. Evenimentul A este reuniunea tuturor n-uplelor de evenimente în care A1 apare de a1 ori,...,Ak apare de ak ori. Probabilitatea unui astfel de eveniment este:

P’= k1 a

k

a

1 p...p . Totalul n-uplelor care se pot forma cu aceste evenimente este de n!. Pentru o distribuţie a evenimentelor în cadrul unui n-uplu, cum nu interesează ordinea de apariţie a evenimentelor vor trebui eliminate permutările de evenimente identice. Acestea sunt în număr de a1!...ak! deci în total reuniunea va

conţine !a!...a

!n

k1

evenimente. Obţinem deci (evenimentele reuniunii fiind incompatibile două câte două)

formula căutată.

LECŢIA 2

VARIABILE ALEATOARE. FUNC ŢIA DE REPARTI ŢIE. DENSITATEA DE REPARTI ŢIE

Pasul 1 – Evenimente elementare. Variabile aleatoare Definiţie

Fie E≠∅ şi K0=P(E). Numim eveniment elementar orice eveniment ω∈K0 astfel încât singurele evenimente din K0 care-l implică sunt ω şi ∅. Vom nota mulţimea evenimentelor elementare cu Ω. Definiţie

Fie Ω mulţimea evenimentelor elementare ale lui K0=P(E). O aplicaţie f:Ω→R, ω→f(ω)∈R se numeşte variabil ă aleatoare. Definiţie

Fie K⊂P(E) un câmp de evenimente. O aplicaţie f:Ω→R se numeşte variabil ă aleatoare în raport cu K dacă ω∈Ωf(ω)<x∈K ∀x∈R.

Definiţie Dacă mulţimea valorilor unei variabile aleatoare este cel mult numărabilă aceasta se numeşte

variabil ă aleatoare discretă, în plus dacă este finită se numeşte variabil ă aleatoare simplă, iar dacă mulţimea valorilor este nenumărabilă se numeşte variabil ă aleatoare continuă. Teoremă

Fie Ω mulţimea evenimentelor elementare ale lui K0=P(E) şi f:Ω→R o aplicaţie care ia valorile distincte vi, i∈I (I-cel mult numărabilă). Fie Ai=f=vi. Mulţimea S=Aii∈I este un sistem complet de evenimente iar f este o variabilă aleatoare în raport cu câmpul K generat de S. Teoremă

Fie Ω mulţimea evenimentelor elementare ale lui K0=P(E) şi f:Ω→R o aplicaţie. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1) f <x∈K ∀x∈R; 2) f ≤x∈K ∀x∈R; 3) f >x∈K ∀x∈R; 4) f ≥x∈K ∀x∈R; 5) a<f<b∈K ∀a,b∈R; 6) a≤f<b∈K ∀a,b∈R; 7) a<f≤b∈K ∀a,b∈R;



8) a≤f≤b∈K ∀a,b∈R. Definiţie

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi f:Ω→R o variabilă aleatoare în raport cu K, discretă, având valorile vii∈I. Fie Ai=ω∈Ωf(ω)=vi şi pi=P(Ai). Şirul (vi,pi)i∈I se numeşte distribu ţia variabilei aleatoare f. Vom nota:

Iii

i

p

v

∈

sau

...p...pp

...v...vv

n21

n21

Deoarece A ii∈I formează un sistem complet de evenimente, avem întotdeauna p1+...+pn+...=1. Definiţie

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi f o variabilă aleatoare în raport cu K. Funcţia F:R→[0,1], F(x)=P(f<x) se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare f. Vom scrie pe scurt F(x)=P(f<x), x∈R. Teoremă

Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete este o funcţie în scară (constantă pe porţiuni). Teoremă

Funcţia de repartiţie F a unei variabile aleatoare f are proprietăţile: 1) F este monoton crescătoare; 2) ;1)x(Flim ,0)x(Flim

xx==

∞→−∞→

3) F este continuă la stânga în orice punct x∈R. Teoremă

Fie o variabilă aleatoare f şi F funcţia sa de repartiţie. Atunci: 1) P(f=x)=F(x+0)-F(x) ∀x∈R; 2) P(f=x)=0⇔F este continuă în x∈R; 3) P(a≤f<b)=F(b)-F(a) ∀a,b∈R; 4) P(a<f<b)=F(b)-F(a+0) ∀a,b∈R; 5) P(a≤f≤b)=F(b+0)-F(a) ∀a,b∈R; 6) P(a<f≤b)=F(b+0)-F(a+0) ∀a,b∈R.

Definiţie Fie o variabilă aleatoare f şi F funcţia sa de repartiţie. Dacă există o funcţie ρ:R→[0,∞), integrabilă

pe R, astfel încât: ∫∞−

ρ=x

dt)t()x(F atunci ρ se numeşte densitatea de repartiţie (sau densitatea de

probabilitate) a variabilei aleatoare f. Teoremă

Fie o variabilă aleatoare f ce admite densitatea de repartiţie ρ. Atunci:

a) P(a≤f<b)= ∫ρb

a

dx)x( ;

b) ∫∞

∞−

ρ dx)x( =1;

c) În orice punct de continuitate al lui ρ, F este derivabilă şi F’(x)=ρ(x); d) Dacă F este derivabilă în orice punct x∈R atunci F are ca densitate de repartiţie pe ρ=F’.

Pasul 2 - Operaţii cu variabile aleatoare

Definiţie

Fie (E,K) un câmp de evenimente şi Ω mulţimea evenimentelor elementare ale lui P(E). O aplicaţie V=(f1,...,fn):Ω→Rn se numeşte vector aleator în raport cu K dacă toate componentele acestuia sunt variabile aleatoare relativ la K. Definiţie

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi V=(f 1,...,fn) un vector aleator. Numim funcţia de repartiţie a vectorului aleator V, aplicaţia F:Rn→R, F(x1,...,xn)=P(f1<x1,...,fn<xn) unde convenim ca:

P(f1<x1,...,fn<xn)= )xf(Pn

1iiiI

=

<

Proprietăţile vectorilor aleatori sunt asemănătoare cu cele ale variabilelor aleatoare şi anume: Teoremă

Fie F funcţia de repartiţie a unui vector aleator V=(f1,...,fn). Atunci: 1) F este crescătoare în raport cu fiecare variabilă xi; 2) Limita parţială a lui F în raport cu fiecare variabilă este: la -∞:0 iar la ∞ aceasta este 1; 3) F este continuă la stânga în raport cu fiecare variabilă.



Definiţie Considerând funcţia de repartiţie F a unui vector aleator V, dacă există o aplicaţie ρ:Rn→[0,∞),

integrabilă pe Rn astfel încât:

F(x1,...,xn)= ∫∫∞−∞−

ρn1 x

nn1

x

1 dt)t,...,t(...dt

atunci ρ se numeşte densitatea de repartiţie a vectorului aleator V. Teoremă

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi f,g variabile aleatoare relativ la K. Atunci f+g, f-g, fg, g

f

(dacă g≠0), fn ∀n∈N*, cf, f+c ∀c∈R, f

1 (dacă f≠0), f sunt de asemenea variabile aleatoare în raport cu K.

Pasul 3 - Indicatori numerici ai variabilelor aleatoare Definiţie

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi f=Iii

i

p

x

∈

o variabilă aleatoare discretă. Vom numi media

variabilei aleatoare f numărul real:

∑∈

=Ii

ii xp)f(M

Definiţie Fie f o variabilă aleatoare, F funcţia sa de repartiţie şi ρ densitatea de repartiţie, dacă aceasta există.

Dacă ∫∞

∞−

)x(xdF este absolut convergentă atunci definim media lui f ca fiind:

M(f)= ∫∞

∞−

)x(xdF

şi cum ρ=F’:

M(f)= ∫∞

∞−

ρ dx)x(x

Definiţie Variabila aleatoare u=f-M(f) se numeşte abaterea lui f.

Teoremă Fie f,f1,...,fn variabile aleatoare în raport cu acelaşi câmp K. Atunci:

1) M(f1+...+fn)=M(f1)+...M(fn) ∀n≥2; 2) M(c)=c ∀c∈R; 3) M(f+c)=M(f)+c ∀c∈R. 4) M(cf)=cM(f) ∀c∈R.

Teoremă

Dacă f şi g sunt două variabile aleatoare independente în raport cu acelaşi câmp K atunci M(fg)=M(f)M(g). Definiţie

Fie f o variabilă aleatoare şi n∈N*. Numim moment de ordin n al lui f numărul: Mn(f)=M(f n)

Definiţie Fie f o variabilă aleatoare şi n∈N*. Numim moment centrat de ordinul n al lui f numărul:

Mn(f)=M(un)=M((f-M(f)) n) Dacă F este funcţia de repartiţie a lui f şi ρ densitatea de repartiţie (dacă există) atunci mărimile de

mai sus devin:

,)x(dF))f(Mx()f(M ,)x(dFx)f(M nnn

n ∫∫∞

∞−

∞

∞−

−==

∫∫∞

∞−

∞

∞−

ρ−=ρ= dx)x())f(Mx()f(M ,dx)x(x)f(M nnn

n

Definiţie Numim dispersia (sau varianţa) unei variabile aleatoare f momentul centrat de ordinul 2 şi o vom

nota D(f). Avem deci:

D(f)=M2(f)=M((f-M(f)) 2)=M(f2+M(f)2-2M(f)f)=M(f 2)-M(f) 2.



Definiţie

Se numeşte abatere medie pătratic ă a unei variabile aleatoare f numărul )f(D)f( =σ .

Definiţie Fie f,g variabile aleatoare în raport cu acelaşi câmp K. Valoarea medie a produsului abaterilor lor se

notează Cfg=Cov(f,g)=M(uv) şi se numeşte corelaţia (sau covarianţa) variabilelor f şi g. Definiţie

Fie f,g variabile aleatoare în raport cu acelaşi câmp K. Dacă Cfg=0 vom spune că f şi g sunt variabile necorelate în caz contrar numindu-se variabile corelate. Definiţie

Fie f,g variabile aleatoare în raport cu acelaşi câmp K. Numim coeficientul de corelaţie al variabilelor f şi g numărul:

)g()f(

Cfg

fg σσ=ρ

dacă σ(f),σ(g)≠0. Teoremă

Coeficientul de corelaţie are următoarele proprietăţi: 1) ρfg∈[-1,1]; 2) ρfg∈-1,1⇒∃a,b,c∈R astfel încât af+bg+c=0; 3) Dacă ∃a,b,c∈R astfel încât a,b≠0 şi af+bg+c=0⇒ρfg∈-1,1.

LECŢIA 3

PROCESE STOCHASTICE. LANŢURI MARKOV

Pasul 1 – Procese stochastice Definiţie

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate şi Ω mulţimea evenimentelor elementare ale lui K0=P(E). O aplicaţie X:R×Ω→R, (t,ω)→X(t,ω)∈R se numeşte proces aleator (proces stochastic).

Procesele stochastice sau lanţurile au semnificaţia unei derulări (nenumărabile în cazul proceselor sau numărabile în cazul lanţurilor ) de variabile aleatoare care la fiecare “moment” t descriu starea sistemului analizat.

Fie acum un sistem complet de evenimente S=A ii∈I⊂K cu I cel mult numărabilă şi câmpul de probabilitate (E,K,P) generat de S. Avem deci K=<S> şi deci Ω=S. Considerând un şir de experimente, definim lanţul: X:N×Ω→R, (n,Ai)→X(n,Ai)=Xn(A i)∈R unde Xn(Ai)=i dacă evenimentul Ai se realizează în experienţa “i”. Fie J=i∈I∃n∈N a.î. P(Xn=i)>0⊂I. Mulţimea J este cel mult numărabilă (fiind inclusă în I – cel mult numărabilă) şi reprezintă mulţimea indicilor evenimentelor care se pot realiza în desfăşurarea procesului. Ea se numeşte mulţimea stărilor lan ţului . Definiţie

Un şir de variabile aleatoare (Xn)n∈N se numeşte lanţ Markov dacă ∀n≥1 ∀i0,...,in∈J are loc: P(Xn=inX0=i0,...,Xn-1=in-1)=P(Xn=inXn-1=in-1)

unde probabilităţile sunt cele condiţionate. Propoziţie

Fie lanţul Markov (Xn)n∈N. Atunci ∀n≥1 ∀p≥0 ∀ik∈J k≥0 avem: P(Xn=in,Xn+1=in+1,...,Xn+p=in+pX0=i0,...,Xn-1=in-1)=

P(Xn=in,Xn+1=in+1,...,Xn+p=in+pXn-1=in-1) Să notăm acum (pi)i∈J probabilităţile evenimentelor Ai în starea 0 (iniţială) şi cu pij(n)=P(Xn=jXn-

1=i) ∀n≥1 – probabilităţile de trecere de la starea “n-1” la starea “n”. Pasul 2 – Lanţuri Markov

Definiţie Un lanţ Markov se numeşte staţionar sau omogen dacă probabilităţile de trecere nu depind de

“timp”. Vom nota deci pij=pij(n) ∀n≥1 şi vom vorbi în cele ce urmează numai de lanţuri Markov staţionare. Datorită faptului că evenimentele (Ai)i∈J formează un sistem complet de evenimente (am restricţionat acest sistem la J⊂I prin înlăturarea acelora ce nu puteau fi “atinse” de procesul considerat) rezultă că ∑

∈Jiip =1, ∑

∈Jjijp =1 ∀i∈J. Considerând matricea M=(pij)i,j∈J (numită matrice de trecere) obţinem



deci că suma elementelor aflate pe fiecare linie a acesteia este egală cu 1 şi în plus toate aceste elemente (fiind probabilităţi) sunt pozitive. O astfel de matrice se mai numeşte şi matrice stochastică. Definiţie

Se numesc probabilit ăţi de trecere în n paşi următoarele probabilităţi notate )n(

ijp definite recurent

prin ecuaţiile Chapman-Kolmogorov:

∈∀≥==

δ=

∑∈

− Jji, 1n ,ppp

pp

p

Jk

)1(kj

)1n(ik

)n(ij

ij

)1(

ij

ij

)0(

ij

unde δij este simbolul lui Kronecker. Propoziţie

Cantitatea )n(

ijp reprezintă probabilitatea ca lanţul Markov să treacă de la starea i la starea j exact în

“n” paşi ∀i,j∈J ∀n≥1. Propoziţie

Pentru orice m,n∈N are loc: ∑∈

+ =Jk

)m(

kj

)n(

ik

)mn(

ij ppp

Definiţie Numim probabilitate absolută a variabilei aleatoare Xn cantitatea: )n(

ip =P(Xn=i) ∀i∈J ∀n∈N

definită prin relaţia: ∑∈

−=Jk

ki

)1n(

k

)n(

i ppp şi care reprezintă probabilitatea ca lanţul Markov să intre în starea “i” în

exact “n” paşi. Se obţine imediat relaţia:

∑∈

=Jk

)n(

jij

)n(

i ppp ∀i∈J ∀n∈N.

Se observă că pentru a cunoaşte diversele probabilităţi ale stărilor trebuie calculată puterea a n-a a matricei de trecere. Ne vom folosi, în acest scop de valorile proprii ale acesteia. Fie deci λ1,...,λs valorile proprii ale lui M. Ne reamintim că un vector propriu v, corespunzător valorii proprii λk, satisfacve condiţiile v≠0 şi Mv=λkv (îl vom mai numi şi vector propriu la dreapta). Analog, un vector propriu la stânga satisface: vtM=λkv

t. Propoziţie

Valorile proprii ale unei matrice stochastice satisfac următoarele relaţii: a) λ=1 este valoare proprie; b) ∀λ o valoare proprie a lui M avem: λ≤1; c) Orice valoare proprie de modul este rădăcină întreagă a unităţii.

d) Dacă matricea M are numai valorii proprii simple, atunci: Mn=∑=

λs

1k k

t

k

t

kk

n

k

vw

wv. ∀n≥1 unde vk sunt

vectorii proprii la dreapta, iar wk cei la stânga corespunzători valorii proprii λk.

LECŢIA 4

PRINCIPALELE LEGI DE REPARTI ŢIE

Pasul 1 – Legea Laplace-Gauss (legea normală)

Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:

2

2

2

)mx(

e2

1)x( σ

−−

πσ=ρ

Vom nota o astfel de lege N(m,σ). Graficul funcţiei ρ este prezentat în figură (m=1 şi σ=1). Avem M(X)=m,σ(X)=σ. Legea stă la baza modelării multor fenomene naturale. Erorile întâmplătoare sau fluctuaţiile rezultatelor unor experienţe satisfac de regulă legi ce pot fi aproximate de legea Laplace-Gauss.



xm

y

O

(x)ρ

Pasul 2 – Legea uniformă Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:

[ ]

∞∈

∈−

−∞∈

=ρ

),b(x daca 0

;b,ax daca ab

1);a,(x daca 0

)x( [a,b]⊂R

Vom nota o astfel de lege U(a,b). Graficul funcţiei ρ este prezentat în figură.

Avem 32

ab)X( ,

2

ba)X(M

−=σ+= .

xa

b-a1___

b

y

O

(x)ρ

Pasul 3 – Legea Cauchy Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:

( ) 0 ,)x(

)x(22

>λµ−+λπ

λ=ρ

Vom nota o astfel de lege C(µ,λ). Graficul funcţiei ρ (λ=1 şi µ=1) este reprezentat în figură. Legea Cauchy nu are momente de nici-un ordin deci nici medie şi nici dispersie. Pasul 4 – Legea Weibull Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:

β

ηγ−−

−β

ηγ−

ηβ=ρ

x1

ex

)x( , x∈[γ,∞), γ≥0

unde β se numeşte parametrul de formă, η-parametrul de scală iar γ-parametrul de locaţie. Vom nota o astfel de lege W(β,η,γ). Avem:

( )

β+Γ−β+Γ⋅η=σ

β+Γη+γ= 1

141)X( ,1

1)X(M 2

unde Γ este funcţia lui Euler. Legea are un rol foarte important în teoria fiabilităţii unui material, în demografie etc.

Pasul 5 – Legea exponenţială Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:

xe)x( λ−λ=ρ , x∈(0,∞), λ>0

Legea exponenţială se obţine din legea Weibull pentru β=1, γ=0 şi renotând λ=η1

. Vom nota o astfel

de lege E(λ). Avem: λ

= 1)X(M ,

λ=σ 1

)X( .



xµ

y

O

(x)ρ

x

y

O γ

(x)ρ

x

y

O

(x)ρ

λ

Pasul 6 – Legea Gamma Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X nenegative având densitatea de repartiţie:

Γ

≤=ρ −− 0> xdaca ex

)p(

a0; xdaca 0

)x( ax1pp , a,p>0.

Pentru p=1 se obţine legea exponenţială. Vom nota legea Γ(a,p). În figură avem graficul funcţiei Γ(2

1,2).

x

y

O

(x)ρ

Pasul 7 – Legea Beta Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X nenegative având densitatea de repartiţie:

∉

∈−βΓαΓβ+αΓ

=ρ−β−α

(0,1) xdaca 0

(0,1); xdaca )x1(x)()(

)()x(

11

, α,β>0

Vom nota B(α,β) şi avem:

1

1)X( ,)X(M

+β+ααβ

β+α=σ

β+αα= . Graficul acestei legi pentru α=2 şi β=3 este dat în figură.

x

y

O 1

(x)ρ

Pasul 8 – Legea Student (cu s grade de libertate) Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:



ρ(x)=2

1s2

s

x1

s2

s

2

1s+

−

+π

Γ

+Γ, s>0

Vom nota t(s) şi avem: M(X)=0, σ(X)=2s

s

− dacă s>2. Graficul legii pentru s=3 este dat în figură.

x

y

O

(x)ρ

Pasul 9– Legea Snedecor-Fisher Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:

ρ(x)=2

ba

12

a2

a

xb

a1x

b

a

2b

2a

2ba

+−−

+

Γ

Γ

+Γ, a,b>0, x∈[0,∞)

Vom nota F(a,b) şi avem:

4>b daca )4b(a

)2ba(2

2b

b=(X) 2,b daca

2b

b)X(M

−−+

−σ≠

−=

Graficul acestei legi, pentru a=10 şi b=12 este dat în figură.

x

y

O

(x)ρ

Pasul 10 – Legea Helmert-Pearson (legea χχχχ2) Este legea de repartiţie a unei variabile aleatoare X având densitatea de repartiţie:

ρ(x)= 2

x1

2

2

ex

22

1 −−ν

ν

νΓ, x∈[0,∞), ν≥0.

Vom nota χ(ν) şi avem: M(X)=ν, σ(x)=2ν. Graficul acestei legi, pentru ν=4 este dat în figură.

x

y

O

(x)ρ

LECŢIA 5

ELEMENTE DE STATISTIC Ă MATEMATIC Ă

Pasul 1 – Frecvenţe, valori medii, momente



Definiţie O mulţime care face obiectul unei analize statistice se numeşte populaţie statistică. Elementele unei

populaţii statistice se numesc unităţi statistice. Cardinalul unei populaţii statistice se numeşte volumul populaţiei. În general, atunci când se efectuează o analiză statistică aceasta studiază anumite caracteristici comune ale unităţilor statistice, caracteristici care pentru a fi analizate prin intermediul statisticii matematice trebuie cuantificate.

Fie acum f o caracteristică ce se cere a fi studiată dintr-o selecţie de volum N. Dacă S=x1,...,xn sunt valorile lui f, acestea pot fi gândite ca valori ale unei variabile aleatoare. Vom mai spune că f este variabil ă statistică. După obţinerea acestor valori se procedează de regulă la o grupare a lor obţinându-se în final o fişă de observaţie de forma:

Valoarea caracteristicii Număr de apariţii x1 n1 ... ... xk nk

unde x1,...,xk sunt distincte. Dacă volumul unei selecţii este mare se recomandă gruparea valorilor după interval astfel: se determină mai întâi un interval (a,b) suficient de mare ca să cuprindă toate valorile caracteristicii studiate. Se împarte apoi acest interval într-un număr de p părţi (a,b)=(a0,a1)∪[a1,a2)∪...∪[ap-

1,ap) (a=a0,b=ap) de preferinţă de lungimi egale. Se obţine în final un tabel de forma celui de mai sus având în locul valorilor xi intervalele considerate. Să notăm acum: I1=(a0,a1) şi Is=[as-1,as), s=2,...,p. Fie ns=card(S∩Is) numărul de valori xi din intervalul Is. Vom numi ns-frecvenţa absolută a intervalului Is.

Raportul νs=N

ns se numeşte frecvenţa relativă (sau simplu frecvenţa) a intervalului Is. Numărul µs=∑=

νs

1ii se

numeşte frecvenţa cumulată corespunzătoare intervalului Is. Avem evident relaţiile:

∑=

p

1iin =N, ∑

=

νp

1ii =1, ν1=µ1≤µ2≤...≤µp-1≤µp=1

Toate aceste mărimi se înregistrează într-un tablou de forma: Intervalul Num ăr de apariţii Frecvenţa Frecvenţa cumulată

I1 n1 νννν1 µµµµ1 ... ... ... ... I p np ννννp µµµµp

În multe cazuri datele statistice se prezintă sub forma unor grafice. Avem astfel: I. Histograma frecvenţelor relative Se construieşte pe fiecare interval Ik câte un dreptunghi ce are ca bază segmentul Ik iar ca înălţime frecvenţele νk.

O

y

xa0 a1

ν1

νp

ν2

a2 ap-1... ap

II. Poligonul frecvenţelor relative Considerând centrul ck al fiecărui interval Ik se formează linia poligonală ce trece prin punctele (ck,νk).

O

y

xa0 a1

c1 c2 cpcp-1

ν1νp-1

νp

ν2

a2 ap-1... ap

III. Poligonul frecvenţelor cumulate (ogiva)



Considerând centrul ck al fiecărui interval Ik se formează linia poligonală ce trece prin punctele (ck,µk).

O

y

xa0 a1

c1 c2 cpcp-1

µ1

µp-1

µp

µ2

a2 ap-1... ap

Definiţie

Fie x1,...,xn valorile unei variabile statistice f şi ν1,...,νn frecvenţele acestora. Mulţimea perechilor (xi,νi)i=1,...,n se numeşte distribu ţia (repartiţia) variabilei statistice f. Vom nota:

ννν

ν= n21

n21

n,...,1ii

i xxxsau

x

L

L

Definiţie

Fie variabila statistică f cu distribuţia: n,...,1ii

ix

=

ν. Se numeşte funcţie de repartiţie a lui f, funcţia:

FN:R→[0,1], FN(x)=∑∈

νIk

k

unde I=kxk<x. Definiţii

Fie variabila statistică f cu distribuţia: n,...,1ii

ix

=

ν. Se numeşte media lui f numărul:

M(f)= ∑∑==

=νn

1iii

n

1iii nx

N

1x

Se numeşte moment de ordin k al lui f numărul:

Mk(f)= ∑∑==

=νn

1ii

k

i

n

1ii

k

i nxN

1x

Se numeşte moment centrat de ordin k al lui f numărul:

Mk(f)= ∑∑==

−=ν−n

1ii

k

i

n

1ii

k

i n))f(Mx(N

1))f(Mx(

Se numeşte dispersia lui f numărul:

D(f)= ∑∑==

−=ν−n

1ii

2

i

n

1ii

2

i n))f(Mx(N

1))f(Mx(

Se numeşte abaterea medie pătratic ă lui f numărul:

σ(f)= )f(D

Se numeşte mediana lui f o valoare xmed pentru care suma frecvenţelor valorilor lui f mai mici decât xmed este egală cu suma frecvenţelor valorilor lui f mai mari ca xmed. Se numeşte dominanta sau moda lui f valoarea lui f cu frecvenţa cea mai mare. O variabilă f cu mai multe dominante se numeşte variabil ă multimodală.

Pasul 2 – Metode de ajustare a datelor statistice

În general atunci când se culeg date pentru o prelucrare statistică acestea prezintă neregularităţi datorate unor cauze diverse. Să considerăm că în analiza unui fenomen s-au obţinut la diverse momente de timp t1<...<tn frecvenţele ν1,...,νn ale acestuia. Se obţin astfel n puncte (ti,νi), i=1,...,n în R2. Metodele de ajustare constau în determinarea unei curbe care să se apropie cât mai mult de punctele date şi astfel prin studiul acesteia să se poată aprecia direcţia de evoluţie a fenomenului în cauză. Să considerăm deci problema următoare: fiind date punctele Ai(xi,yi), i=1,...,n în R2 să se determine o funcţie f:R→R astfel încât:

∑=

−n

1i

2

ii )y)x(f( =minimă

În particular pentru f(x)=ax+b obţinem:



∑∑

∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑

∑∑

∑

==

=

==

==

==

=

==

=

==

n

1ii

n

1i

2

i

n

1ii

n

1iii

n

1i

2

i

n

1ii

n

1ii

n

1ii

n

1i

2

i

n

1ii

n

1ii

n

1iii

n

1ii

xx

nx

yxx

yx

b ,

xx

nx

xyx

ny

a

Metoda expusă mai sus se numeşte metoda celor mai mici pătrate şi se datorează lui Gauss. În cazul regresiei liniare, se observă că:

a=)X(D

C

xnx

yxnyxXY

n

1i

2

i

2n

1ii

n

1iii

n

1ii

n

1ii

=−

−

∑∑

∑∑∑

==

=== ,

)X(D

C)X(M)Y(M

)X(D

C)X(M)X(D)Y(M

xnx

yxyxxb XYXY

n

1i

2

i

2n

1ii

n

1ii

n

1i

2

i

n

1iii

n

1ii

−=−

=−

−=

∑∑

∑∑∑∑

==

====

Obţinem deci, ecuaţia regresiei liniare:

Y=)X(D

CXY X+)X(D

C)X(M)Y(M XY− =

)X(D

CXY [X-M(X) ]+M(Y)

unde X=(x1,...,xn) şi Y=(y1,...,yn). De asemenea, ecuaţia regresiei se mai poate scrie sub forma:

)X(

)X(MX

)Y()X(

C

)Y(

)Y(MY XY

σ−

σσ=

σ−

sau altfel:

Y-M(Y)= ρXY)X(

)Y(

σσ [X-M(X) ]

Coeficientul de corelaţie furnizează deci informaţii despre panta regresiei liniare. Dacă ρXY>0 (cum σ(X),σ(Y)>0) rezultă că panta este pozitivă, deci regresia este crescătoare, iar dacă ρXY<0 rezultă că regresia este descrescătoare.

Calculând abaterea E=∑=

−n

1i

2

ii )y)x(f( corespunzătoare regresiei liniare, obţinem:

E=n)X(D

C)Y(D)X(D 2

XY−= ( )2

XY

2

XY 1)Y(nD)X(D

)Y(D)X(D)Y(D)X(Dn ρ−=ρ−

.

Prin urmare, atunci când coeficientul de corelaţie este 1 sau -1 rezultă că E=0 ceea ce nu înseamnă altceva decât faptul că între variabile există o dependenţă liniară (rezultat, de altfel, cunoscut). Definiţie

Considerând o funcţie de regresie Y=f(X) se defineşte raportul de corelaţie ca fiind:

ηXY=( )

( )∑

∑

=

=

−

−−

n

1i

2

i

n

1i

2

ii

)Y(My

)x(fy1 ∈[0,1]

Definiţie Coeficientul lui Spearman se defineşte ca:

S=1-)1n(n

)sr(6

2

n

1i

2

ii

−

−∑=

Definiţie Coeficientul lui Kendall se defineşte ca:

K=)1n(n

)MP(2n

1iii

−

−∑=

Pasul 3 – Regresii în mai multe variabile



În cazul mai multor seturi de date X1=(x11,...,x1n),...,Xp=(xp1,...,xpn), Y=(y1,...,yn) se pune, de asemenea, problema unei eventuale corelaţii a lui Y de X1,...,Xp. Ne propunem determinarea constantelor a0,...,ap∈R astfel încât, considerând funcţia de regresie în mai multe variabile:

f(X1,...,Xp)=apXp+...+a1X1+a0

abaterea ∑=

−n

1i

2

ii1pi )y)x,...,x(f( să fie minimă.

Avem deci: F(a0,...,ap)=∑=

−+++n

1i

2

i0i11pip )yaxa...xa( =minimă.

Condiţia necesară de minim este: ka

F

∂∂

=0, k=0,...,p. Avem atunci:

∑=

−+++n

1ii0i11pipki )yaxa...xa(x2 =0 pentru k=p,...,1;

∑=

−+++n

1ii0i11pip )yaxa...xa(2 =0 pentru k=0

de unde:

∑∑∑∑====

=+++n

1ikii

n

1iki0

n

1ii1ki1

n

1ipikip xyxaxxa...xxa , k=p,...,1;

∑∑∑===

=+++n

1ii0

n

1ii11

n

1ipip ynaxa...xa , k=0

Sistemul astfel obţinut are soluţiile:

nxxx

xxxxxx

xxxxxx

nyxx

xxyxxx

xxyxxx

a

1+k-col.p

n

1iki

n

1ii,1p

n

1ipi

n

1ii,1p

n

1ikii,1p

n

1i

2

i,1p

n

1ipii,1p

n

1ipi

n

1ikipi

n

1ii,1ppi

n

1i

2

pi

n

1ii

n

1ii,1p

n

1ipi

n

1ii,1p

n

1ii,1pi

n

1i

2

i,1p

n

1ipii,1p

n

1ipi

n

1ipii

n

1ii,1ppi

n

1i

2

pi

k

LL

LLLLLL

LL

LL

LL

LLLLLL

LL

LL

∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

==−

=

=−

=−

=−

=−

===−

=

==−

=

=−

=−

=−

=−

===−

=

=

, k=0,...,p.

În particular pentru f(X1,X2)=a2X2+a1X1+a0 obţinem:

2xx

xxxx

xxxx

2xy

xxxy

xxxxy

a

n

1ii1

n

1ii2

n

1ii1

n

1i

2

i1

n

1ii2i1

n

1ii2

n

1ii1i2

n

1i

2

i2

n

1ii1

n

1ii

n

1ii1

n

1i

2

i1

n

1ii1i

n

1ii2

n

1ii1i2

n

1ii2i

2

∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

∑∑∑

∑∑∑

==

===

===

==

===

===

= ,

2xx

xxxx

xxxx

2yx

xxyxx

xxyx

a

n

1ii1

n

1ii2

n

1ii1

n

1i

2

i1

n

1ii2i1

n

1ii2

n

1ii1i2

n

1i

2

i2

n

1ii

n

1ii2

n

1ii1

n

1ii1i

n

1ii2i1

n

1ii2

n

1ii2i

n

1i

2

i2

1

∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

∑∑∑

∑∑∑

==

===

===

==

===

===

= ,

2xx

xxxx

xxxx

yxx

xyxxx

xyxxx

a

n

1ii1

n

1ii2

n

1ii1

n

1i

2

i1

n

1ii2i1

n

1ii2

n

1ii1i2

n

1i

2

i2

n

1ii

n

1ii1

n

1ii2

n

1ii1i

n

1i

2

i1

n

1ii2i1

n

1ii2i

n

1ii1i2

n

1i

2

i2

0

∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

==

===

===

===

===

===

=



REZUMAT

Noţiunile de eveniment şi probabilitate sunt fundamentale în cadrul teoriei probabilităţilor.

Probabilitatea extinde conceptul de frecvenţă pentru cazul unui număr infinit de experienţe semnificând şansa

de realizare a unui anumit eveniment în cadrul unei experienţe.

De asemenea, indicatorii numerici asociaţi variabilelor aleatoare modelează numeric aspectele

privind comportarea distribuţiei valorilor acesteia.

Legile de repartiţie simulează procese reale izvorâte din practica statistică de culegere, grupare şi

prelucrare a datelor.

Regresia liniară permite prognoza pe baza datelor existente atunci când datele urmează o traiectorie

de pantî relativ constantă.

CONCLUZII

Studiind acest modul aţi dobândit cunoştinţe referitoare la noţiunile de probabilitate, frecvenţă,

medie, dispersie, corelaţie, coeficient de corelaţie. De asemenea, au fost studiate regresiile liniare şi subliniată

importanţa acestora în cadrul activităţi de prognoză.

EXEMPLE ILUSTRATIVE

1. Un muncitor a lucrat 3 piese. Notând cu A,B,C evenimentele care constau în faptul că prima, a doua respectiv a treia piesă este defectă, să se scrie formal următoarele evenimente: a) nici una din piese nu este defectă; b) cel puţin una este defectă; c) numai una este defectă; d) exact două sunt defecte; e) cel puţin două sunt defecte; f) cel mult două sunt defecte.

Soluţie Vom nota de asemenea evenimentele contrare A =”piesa 1 este bună”, B =”piesa 2 este bună”,

C =”piesa 3 este bună”. Avem atunci:

a) A ∩ B ∩ C ; b) A∪B∪C;

c) (A∩ B ∩ C )∪( A ∩B∩ C )∪( A ∩ B ∩C);

d) (A∩B∩ C )∪(A∩ B ∩C)∪( A ∩B∩C);

e) ( A ∩ B ∩ C )∪(A∩ B ∩ C )∪( A ∩B∩ C )∪( A ∩ B ∩C);

f) A ∪ B ∪ C . 2. Cuvântul “economie” este format din litere izolate scrise pe cartonaşe. Amestecăm aceste cartonaşe şi

extragem apoi pe rând trei dintre ele aşezându-le unul după altul. Care este probabilitatea de a obţine cuvântul “mie”?

Răspuns Fie evenimentele A1=”prima literă extrasă este m”, A2=”a doua literă extrasă este i” şi A3=”a treia literă extrasă este e”. Evenimentul căutat este A1∩A2∩A3. Avem însă P(A1∩A2∩A3)=P(A1)

P(A2A1)P(A3A1∩A2). Avem: P(A1)=8

1, P(A2A1)=

7

1, P(A3A1∩A2)=

6

2=

3

1 de unde P(A1∩

A2∩A3)=0,006 (deci este aproape imposibil să mai obţinem din economie o mie...).

3. Să se arate că funcţia [ ]

∞∪∞∈∈−−

=ρ)(2,,0)(- x,0

;2,0x ,x11)x( este o densitate de repartiţie. Să se determine apoi

funcţia sa de repartiţie.

Soluţie Pentru ca ρ să fie densitate de repartiţie trebuie ca să fie pozitivă iar ∫∞

∞−

ρ dx)x( =1.

Problema se poate face aici în două moduri şi anume funcţia ρ fiind suficient de simplă se poate trasa graficul ei şi apoi pozitivitatea şi integrala pe R se obţin imediat. O a doua cale constă în a face calculele formal (fără suport grafic). Vom alege a doua variantă. Avem deci:



[ )[ ]

∞∈∈−

∈−∞∈

=ρ

),2(x ,0

;2,1x ,x2

;1,0x ,x

);0,(x ,0

)x(

Faptul că ρ este pozitivă este evident. Avem acum ∫∞

∞−

ρ dx)x( = +∫1

0

xdx ∫ −2

1

dx)x2( =1. Funcţia de repartiţie

este: F(x)=∫∞

ρx

-

(t)dt de unde:

• x∈(-∞,0)⇒F(x)=0;

• x∈[0,1)⇒F(x)=2

x=tdt

2x

0∫ ;

• x∈[1,2]⇒F(x)= 12

xx2=t)dt-(2+tdt

2x

1

1

0

−−∫∫ ;

• x∈(2,∞)⇒F(x)=1.

4. Fie variabila aleatoare: X=

02,008,03,04,02,0

43210.

Să se calculeze valoarea medie şi dispersia lui X.

Soluţie Variabila aleatoare fiind simplă vom calcula media cu ajutorul formulei M(X)=∑=

n

1iii vp . Avem

deci: M(X)=0⋅0,2+1⋅0,4+2⋅0,3+3⋅0,08+ 4⋅0,02=1,32. Avem: D(X)=M(X2)-M(X) 2=M((X-M(X)) 2) şi deci două metode:

Metoda 1. Fie X2=

02,008,03,04,02,0

169410 de unde M(X2)=1⋅0,4+ 4⋅0,3+9⋅0,08+16⋅0,02=2,64 iar

M(X) 2=1,322=1,7427 deci D(X)=2,64-1,7424=0,8976. Metoda 2. Avem M((X-M(X))2)=0,8976 în virtutea faptului că:

X-M(X)=

−−02,008,03,04,02,0

68,268,168,032,032,1, iar

(X-M(X)) 2=

02,008,03,04,02,0

1824,78224,24624,01024,07424,1.

RECOMANDĂRI BIBLIOGRAFICE







TESTE DE AUTOEVALUARE 1. La un magazin se găsesc trei tipuri de televizoare de marcă necunoscută. Până în acel moment din 13 televizoare de marca „A” cumpărate au fost corespunzătoare 10, din 12 de marca „B” au funcţionat corect 10 şi din 13 de marca „C” au fost bune 10. O persoană cumpără un televizor fără a o interesa marca. Care este probabilitatea P ca acesta să funcţioneze corect?

1. P=1,8 2. P=1,3099999 3. P=0,79000002 4. P=1,6900001

2. Fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare ξ:

ρ(x)=

≥

<≤+

+−

+<≤−

<

b xdaca 0

;bx2

ba daca

b)-(a

4bx

b)-(a

4

;2

baxa daca

b)-(a

4ax

b)-(a

4a; xdaca 0

22

22

unde a=-8, b=13. Considerând evenimentul:

A=-2,75≤ξ≤7,75 să se calculeze P(A).

1. P(A)=0,83999997 2. P(A)=0,75 3. P(A)=0,64999998 4. P(A)=0,55000001000001


α4321 pppp

edcba unde a=4, b=5, c=4, d=7, e=2, p1=0,1,

p2=0,19, p3=7,9999998E-2, p4=0,43000001, α∈R. Să se calculeze media M(X).

1. M(X)=7,3499999 2. M(X)=5,0799999 3. M(X)=8,96 4. M(X)=12,1


α4321 pppp

edcba unde a=4, b=5, c=4, d=7, e=2, p1=0,1,

p2=0,19, p3=7,9999998E-2, p4=0,43000001, α∈R. Să se calculeze dispersia D(X).

1. D(X)=7,54 2. D(X)=3,6900001 3. D(X)=5,9899998 4. D(X)=5,9299998

5. La un magazin se găsesc trei tipuri de televizoare de marcă necunoscută. Până în acel moment din 14 televizoare de marca „A” cumpărate au fost corespunzătoare 11, din 8 de marca „B” au funcţionat corect 6 şi din 9 de marca „C” au fost bune 6. O persoană cumpără un televizor fără a o interesa marca. Care este probabilitatea P ca acesta să funcţioneze corect?

1. P=1,77 2. P=1,15 3. P=0,73000002 4. P=1,77

6. Fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare ξ:

ρ(x)=

≥

<≤+

+−

+<≤−

<

b xdaca 0

;bx2

ba daca

b)-(a

4bx

b)-(a

4

;2

baxa daca

b)-(a

4ax

b)-(a

4a; xdaca 0

22

22

unde a=-13, b=6. Considerând evenimentul: A=-8,25≤ξ≤1,25 să se calculeze P(A).

1. P(A)=0,55000001 2. P(A)=0,83999997 3. P(A)=0,64999998 4. P(A)=0,75000001


α4321 pppp

edcba

unde a=6, b=4, c=4, d=7, e=3, p1=0,07, p2=0,11, p3=0,33000001, p4=0,13, α∈R. Să se calculeze media M(X).

1. M(X)=10,05 2. M(X)=5,4200001 3. M(X)=6,7600002 4. M(X)=4,1700001


α4321 pppp

edcba

unde a=6, b=4, c=4, d=7, e=3, p1=0,07, p2=0,11, p3=0,33000001, p4=0,13, α∈R. Să se calculeze dispersia D(X).

1. D(X)=2,8399999 2. D(X)=6,71 3. D(X)=4,77 4. D(X)=1,78

TEMĂ DE CONTROL

1. Un muncitor a lucrat 10 piese. Notând cu A1,...,A10 evenimentele care constau în faptul că piesa respectivă este defectă, să se scrie formal următoarele evenimente: a) nici una din piese nu este defectă; b) cel puţin una este defectă; c) numai una este defectă; d) exact două sunt defecte; e) cel puţin două sunt defecte; f) cel mult două sunt defecte.

2. Fie variabila aleatoare ξ cu distribuţia

4,02,03,01,0

621411.

Să se determine funcţia sa de repartiţie şi să se construiască graficul acesteia.


α08,03,04,01,0

653116, α∈R.


4. Fie variabila aleatoare ξ cu distribuţia

5,02,01,02,0

78213214.



Să se determine funcţia sa de repartiţie şi să se construiască graficul acesteia.


α1,04,03,01,0

6131151116, α∈R.


MODULUL 4

PROGRAMARE LINIAR Ă

Obiectivele specifice modulului: Introducerea noţiunii de problemă de programare liniară; Studiul algoritmului Simplex; Studiul problemei duale şi a algoritmului Simplex dual; Studiul problemei de transport.


Însuşirea algoritmului Simplex; Învăţarea modului de obţinere a problemei duale; Însuşirea algoritmului Simplex dual; Reoptimizarea şi parametrizarea unei probleme de programare liniară.

Competenţe dobândite ca urmare a parcurgerii modulului: Deprinderea folosirii corecte a algoritmului Simplex; Deprinderea folosirii corecte a algoritmului Simplex dual; Folosirea corectă a metodelor de reoptimizare şi parametrizare.


LECŢIA 1

PROBLEME ECONOMICE CE CONDUC LA MODELUL MATEMATIC A L

PROGRAMĂRII LINIARE

Pasul 1 - Utilizarea optimă a capacităţii maşinilor Să considerăm o uzină care produce cu ajutorul a m maşini identice n produse distincte. Maşinile au

capacităţi de producţie limitate. Ne punem în mod natural problema utilizării optime a acestora. Pentru aceasta să notăm cu aij procentul din capacitatea maşinii i pentru producerea unei unităţi din produsul j în perioada necesară pentru producerea unei unităţi de produs. De asemenea, să notăm cu xj numărul unităţilor de produs j fabricate în cursul acestei perioade. Considerând de asemenea şi cj beneficiile pe unitatea de produs, obţinem că restricţiile problemei se pun sub forma:

=≥

=≤∑

∑

=

n,1j ,0x

m,1i ,1xa

xc max

j

n

1j

j

ij

n

1=j

j

j

Pasul 2 - Problema regimului alimentar Fie un număr de n alimente disponibile A1,...,An şi C1,...,Cm componentele caracteristice ale acestora (vitamine, substanţe minerale, proteine, calorii etc.). Să notăm cu aij cantitatea de Ci aflată într-o unitate de măsură a lui Aj. Matricea A=(aij) se numeşte matrice de nutriţie. Dacă vom considera x1,...,xn cantităţile de alimente corespunzătoare lui A1,...,An, pentru o perioadă de timp şi pentru un anumit număr de persoane, problema se pune în sensul minimizării cheltuielilor necesare pentru o alimentaţie optimă. Fie deci b1,...,bm cantităţile minime de caracteristică Ci pentru o alimentaţie sănătoasă şi c1,...,cn costul pe unitatea de produs A i. Problema devine:



=≥

=≥∑

∑

=

n,1j ,0x

m,1i ,bxa

xc min

j

i

n

1j

j

ij

n

1=j

j

j

Pasul 3 - Problema de transport Să considerăm m depozite şi n centre de desfacere. Ne propunem determinarea unei strategii de

transport pentru distribuirea unui produs care se află în cantitatea ai în depozitul i şi este cerut în cantitatea bj la centrul de desfacere j. Fie xij cantitatea ce va fi transportată de la depozitul i la centrul j şi cij preţul transportului unei unităţi de produs de la depozitul i la centrul j (presupus independent de cantitatea transportată pe ruta respectivă). Vom presupune de asemenea că toată cantitatea de marfă din depozite va fi

expediată şi că toate cerinţele centrelor vor fi satisfăcute. Pentru aceasta va fi necesar ca ∑∑==

=n

1jj

m

1ii ba .

Cerinţele problemei se scriu sub forma:

==≥

==

==

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n,1j ,m,1i ,0x

n,1j ,bx

m,1i ,ax

xc min

ij

j

m

1i

ij

i

n

1j

ij

m

1i

n

1j

ij

ij

LECŢIA 2

ALGORITMUL SIMPLEX PRIMAL

Pasul 1 - Introducere Din exemplele prezentate mai sus, se poate formula problema generală a programării liniare . Aceasta este:

≤≥≤++++++++

≤++++++++=++++++++

=++++++++≥++++++++

≥++++++++++++++++

++

++

++

+++

++++

++++

++

++

+++

++++

++++

++

++

++

++

++

++

arbitrari x,..., x,0 x ,..., x,0 x ,...,x

bxa...xaxa...xaxa...xa

...



...



...


xc...xcxc...xcxc...xc min(max)

n1pp1kk1

m

n

mn

1p

1p,m

p

mp

1k

1k,m

k

mk

1

1m

1r

n

n,1r

1p

1p,1r

p

p,1r

1k

1k,1r

k

k,1r

1

1,1r

r

n

rn

1p

1p,r

p

rp

1k

1k,r

k

rk

1

1r

1q

n

n,1q

1p

1p,1q

p

p,1q

1k

1k,1q

k

k,1q

1

1,1q

qn

qn1p

1p,qp

qp1k

1k,qk

qk1

1q

1

n

n1

1p

1p,1

p

p1

1k

1k,1

k

k1

1

11

n

n

1p

1p

p

p

1k

1k

k

k

1

1

Notând acum:

c1=

k

1

c

...

c∈M1k(R), c2=

+

p

1k

c

...

c∈M1,p-k(R), c3=

+

n

1p

c

...

c∈M1,n-p(R),

x1=

k

1

x

...

x∈Mk1(R), x2=

+

p

1k

x

...

x∈Mp-k,1(R), x3=

+

n

1p

x

...

x∈Mn-p,1(R),

b1=

q

1

b

...

b∈Mq1(R), b2=

+

r

1q

b

...

b∈Mr-q,1(R), b3=

+

m

1r

b

...

b∈Mm-r,1(R),

A11=

qk1q

k111

a...a

.........

a...a∈Mqk(R), A12=

+

+

qp1k,q

p11k,1

a...a

.........

a...a∈Mq,p-k(R),



A13=

+

+

qn1p,q

n11p,1

a...a

.........

a...a∈Mq,n-p(R), A21=

++

rk1r

k,1q1,1q

a...a

.........

a...a∈Mr-q,k(R),

A22=

+

+++

rp1k,r

p,1q1k,1q

a...a

.........

a...a∈Mr-q,p-k(R),A23=

+

+++

rn1p,r

n,1q1p,1q

a...a

.........

a...a∈Mr-q,n-p(R),

A31=

++

mk1m

k,1r1,1r

a...a

.........

a...a∈Mm-r,k(R), A32=

+

+++

mp1k,m

p,1r1k,1r

a...a

.........

a...a∈Mm-r,p-k(R),

A33=

+

+++

mn1p,m

n,1r1p,1r

a...a

.........

a...a∈Mm-r,n-p(R)

obţinem forma generală a problemei de programare liniară (scrisă matriceal):

≤≥≤++=++≥++

++

arbitrar x,0 x,0x

bxAxAxA

bxAxAxA

bxAxAxA

xcxcxc min(max)

321

3

3

33

2

32

1

31

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

3t

3

2t

2

1t

1

inegalităţile matriceale fiind înţelese pe componente, iar cit reprezintă transpunerea vectorului coloană ci,

i=1,2,3. Funcţia c1tx1+c2

tx2+c3tx3 se numeşte funcţie obiectiv, relaţiile de forma:

ai1x1+...+aikx

k+ai,k+1xk+1+...+aipx

p+ai,p+1xp+1+...+ainx

n R bi unde R este una din relaţiile ≥, =, ≤ se numesc restricţii ale problemei, iar ultimele, condiţii asupra variabilelor.

O soluţie a problemei de programare liniară se numeşte program optim al acesteia.

Definiţie O problemă de programare liniară în care toate restricţiile sunt ecuaţii, iar toate variabilele sunt

nenegative se spune că are forma standard. Din definiţie, obţinem că expresia unui astfel de program este:

≥=0x

bAx

xc (max) min t

unde: c=

n

1

c

...

c∈M1n(R),x=

n

1

x

...

x∈Mn1(R),b=

m

1

b

...

b∈Mm1(R),A=

mn1m

n111

a...a

.........

a...a∈Mmn(R)

Definiţie O problemă de programare liniară se spune că are forma canonică dacă are una din următoarele

forme:

≥≥0x

bAx

xc min t

sau

≥≤0x

bAx

xcmax t

Din definiţiile de mai sus se creează impresia că programele sub forma standard sau cea canonică sunt mai restrictive decât cele în forma generală. Nu este însă adevărat acest lucru, orice program scris sub una din forme putând fi adus cu transformările de mai jos în oricare altă formă. Aceste transformări sunt: • folosind faptul că min f(x)=-max(-f(x)) şi max f(x)=-min(-f(x)) orice problemă de minimizare

(maximizare) se transformă într-una de maximizare (minimizare). • sensul unei inegalităţi, prin înmulţirea cu –1, se schimbă în cel contrar; • fiind dată o inecuaţie de forma: ai1x

1+...+aikxk+ai,k+1x

k+1+...+aipxp+ ai,p+1x

p+1+...+ainxn≤bi, adunând o

variabil ă ecart, yi≥0 ea se transformă într-o ecuaţie: ai1x1+...+aikx


p+ai,p+1

xp+1+...+ainxn+yi=bi;

• fiind dată o inecuaţie de forma: ai1x1+...+aikx

k+ai,k+1xk+1+...+ aipx


n≥bi, scăzând o variabil ă ecart, yi≥0 ea se transformă într-o ecuaţie: ai1x

1+...+aikxk+ai,k+1x

k+1+...+aipxp+ai,p+1

xp+1+...+ainxn-yi=bi;

• orice ecuaţie ai1x1+...+aikx



n=bi se transformă în două inecuaţii:



ai1x1+...+aikx



n≥bi, ai1x

1+...+aikxk+ai,k+1x

k+1+...+aipxp+ai,p+1x

p+1+...+ainxn≤bi

• variabilă nepozitivă x≤0 se transformă prin substituţia x=-x' într-o variabilă nenegativă şi reciproc; • variabilă arbitrară x, prin substituţia x=x'-x”, x',x”≥0, se înlocuieşte cu diferenţa a două variabile

nenegative; Problemele de programare liniară au o interpretare geometrică interesantă. Vom exemplifica aceasta

pentru cazul a două variabile (cazul general impunând definiţii şi noţiuni suplimentare care ar încărca inutil expunerea).

Pasul 2 - Programe de bază Fie o problemă de programare liniară în forma standard:

≥=0x

bAx

xc min t

în care matricea A∈Mmn(R), m<n, rang(A)=m. Vom nota cu ai=(ai1,...,ain), i=1,...,m, vectorul corespunzător liniei i şi cu aj=(a1j,...,amj)

t vectorul corespunzător coloanei j. Observaţie

Un sistem Ax=b, A∈Mmn(R), se poate prezenta într-una din următoarele situaţii: a) m>n (numărul de ecuaţii este mai mare decât cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A

este cel mult egal cu n (obs.1). Dacă rang(A)=n atunci din ecuaţiile ce furnizează rangul se determină valorile unice ale variabilelor x1,...,xn. În acest caz, există, de asemenea, două situaţii:

(1) dacă valorile acestora satisfac şi celelalte ecuaţii ale sistemului rezultă că acesta este compatibil determinat. În acest caz, problema de programare liniară devine banală, funcţia obiectiv fiind determinată prin simpla introducere a valorilor x1,...,xn în expresia c1x

1+...+cnxn;

(2) dacă valorile acestora nu satisfac cel puţin una din celelalte ecuaţii ale sistemului rezultă că acesta este incompatibil şi problema este încheiată (domeniul restricţiilor fiind vid).

b) m=n (numărul de ecuaţii este egal cu cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu m=n (obs.1). Dacă rang(A)=n atunci sistemul este compatibil determinat şi se procedează ca mai sus.

c) m<n (numărul de ecuaţii este mai mic decât cel al necunoscutelor). În acest caz, rangul matricei A este cel mult egal cu m (obs.1). Dacă rang(A)=m atunci din coloanele ce furnizează rangul (corespunzătoare variabilelor principale), se obţine expresia acestora în funcţie de variabilele secundare. Sistemul fiind nedeterminat rezultă o infinitate (∞n-m) de soluţii, care induc o serie de dificultăţi suplimentare. Pe de o parte, valorile arbitrare ale variabilelor secundare trebuie alese astfel încât să fie satisfăcută condiţia de pozitivitate a tuturor variabilelor (problemă practic imposibilă în cazul general), iar pe de altă parte, după înlocuirea în funcţia obiectiv a valorilor variabilelor aceasta trebuie optimizată. Chiar dacă aici dispunem de instrumentarul specific furnizat de analiza matematică, problema nu poate fi rezolvată acceptabil deoarece condiţiile de pozitivitate conduc la o situaţie asemănătoare cu cea de la început, schimbându-se practic doar variabilele.

Din observaţia 6, rezultă că este necesar ca să considerăm m<n, iar, pe de altă parte, condiţia rang(A)=m reprezintă faptul că vectorii ai sunt liniar independenţi (în caz contrar, eliminându-se condiţiile suplimentare; această situaţie apare în practică atunci când informaţiile provin din mai multe compartimente ale unei firme în care atribuţiile se intersectează). Definiţie

Un vector x=(x1,...,xn)t se numeşte soluţie de bază a problemei de programare liniară dacă: (1) x satisface sistemul Ax=b; (2) coloanele matricei A care corespund elementelor nenule ale lui x sunt liniar independente.

Definiţie O soluţie a sistemului Ax=b se numeşte admisibilă (program) dacă toate componentele ei sunt

nenegative. Definiţie

O soluţie de bază, admisibilă se numeşte nedegenerată dacă are toate componentele nenule şi degenerată în caz contrar. Definiţie

O matrice pătrată nesingulară formată cu m coloane ale matricei A se numeşte bază iar componentele vectorului x corespunzătoare coloanelor ce formează baza se numesc variabile de bază (bazice). Componentele lui x ce nu sunt bazice se numesc variabile nebazice.



Vom nota cu B o matrice de bază a lui A, cu xB vectorul coloană format cu variabilele bazice, cu S matricea formată cu acele coloane ce nu sunt în B şi cu xS vectorul coloană format cu variabilele nebazice. Sistemul Ax=b se poate scrie deci sub forma:

BxB+SxS=b Cum B este inversabilă, obţinem:

xB=B-1b-B-1SxS O soluţie de bază se poate obţine pentru xS=0 deci xB=B-1b. Teoremă

Dacă o problemă de programare liniară are un program atunci ea are cel puţin un program de bază. Teoremă

Dacă o problemă de programare liniară are un program optim atunci ea are un program optim de bază. După aceste consideraţii, o metodă de rezolvare a problemelor de programare liniară ar putea consta în următoarele etape:

1) se determină toate matricele inversabile B din A; 2) pentru fiecare din aceste matrice se calculează B-1b şi se cercetează dacă toate componentele

vectorului obţinut sunt nenegative; 3) pentru fiecare din vectorii punctul anterior se calculează cx şi reţin acelea pentru care se obţine

minimul (maximul) acesteia.

Pasul 3 - Metoda simplex Această metodă, elaborată de G.M. Dantzig în anul 1955, are la bază o metodă principial simplă, dar foarte eficientă. Se pleacă cu o bază iniţială şi apoi se înlocuieşte una din coloanele acesteia cu o alta (deci implicit o variabilă de bază schimbă rolul cu una secundară) astfel încât noua matrice să rămână de bază dar soluţia să se apropie de soluţia optimă. Prin această metodă se pot determina toate situaţiile posibile (probleme fără soluţii, optim infinit etc.).

Fie problema de programare liniară:

(1)

≥=0x

bAx

cx min

Să presupunem acum că soluţia de bază xB=B-1b este admisibilă adică xB≥0. O bază B ce verifică o astfel de condiţie se numeşte bază primal admisibil ă. Vom nota cu B mulţimea indicilor j care au proprietatea că aj⊂B şi cu S mulţimea complementară de indici j pentru care aj⊂S. Notând de asemenea

B

x =B-1b, B

jy =B-1aj obţinem, din relaţia: xB=B-1b-B-1SxS.

(2) xB=B

x -∑∈Sj

jB

j xy

Din definiţia lui B-1 se observă că dacă aj este coloana i în matricea B atunci, cu notaţia ei=(δik)k=1,...,m avem yj

B=ei. Pe componente, relaţia (2) se scrie

(3) ∑∈

−=Sj

jB i

B i xxx B

ijy ∀i∈B

Considerând acum cB=(ci)i∈B şi cS=(cj)j∈S funcţia obiectiv se poate scrie sub forma: (4) z=ctx=cB

txB+cStxS

sau altfel:

(5) z=cBt B

x -(cBtB-1S-cS

t)xS

Notând acum B

z =cBt B

x şi ∑∈

==Bi

B

ij

B

j

t

B

B

j yycz ic ∀j=1,...,n, relaţia (5) se poate scrie şi sub forma:

(6) z=B

z -∑∈

−Sj

j

j x)cB

j(z

Teoremă Dacă B este o bază primal admisibilă şi pentru orice j∈S avem zj

B-cj≤0 atunci programul de bază corespunzător bazei B (xB=B-1b, xS=0) este un program optim pentru problema (1). Teoremă

Dacă pentru o bază primal admisibilă B au loc următoarele condiţii: 1) ∃k∈S astfel încât B

kz -ck>0;

2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat atunci programul de bază corespunzător lui B nu este optim. Teoremă

Dacă pentru o bază primal admisibilă B au loc următoarele condiţii:



1) ∃k∈S astfel încât B

kz -ck>0;

2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat; 3) yik≤0 ∀i∈B atunci problema (1) are optimul infinit. Teoremă

Dacă pentru o bază primal admisibilă B au loc următoarele condiţii: 1) ∃k∈S astfel încât B

kz -ck>0;

2) programul de bază xB=B-1b, xS=0 este nedegenerat; 3) ∃i∈B astfel încât yik>0 atunci valoarea maximă pe care o putem atribui lui k0x astfel încât x' să rămână program este dată de:

(8) B

sk

B s

B

ik

B i

i0y y

x

y

xmin

ik

=

∈>B

Observaţie Dacă în teorema 14 atribuim lui k0x valoarea dată de (8) atunci noul program rămâne soluţie de bază.

Aceasta corespunde unei baze B' care se obţine din B prin înlocuirea coloanei as cu coloana ak. Pentru aceasta, să observăm că din (2) rezultă xs=0. Prin urmare, obţinem o nouă soluţie de bază formată din xi, i∈B-s şi xk. Baza B' corespunzătoare acesteia se obţine din B prin înlocuirea coloanei as cu ak. Din faptul că ysk≠0 rezultă că vectorii coloană ai lui B' sunt liniar independenţi. Observaţie

Din faptul că z=B

z -( B

kz -ck)k

0x rezultă că în baza B’, valoarea funcţiei obiectiv devine:

(9) sk

s

k

B

k

B'B

y

x)cz(zz −−=

Dacă există mai mulţi indici k cu proprietatea zk-ck>0 atunci, pentru a obţine cea mai mică valoare a funcţiei obiectiv, ar trebui ales acel indice k pentru care cantitatea ce se scade în (9) să fie maximă. Pentru simplificarea lucrurilor, se alege în practică acel indice ce maximizează expresia zj

B-cj. Lemă (a substituţiei)

Fie B∈Mm(R) o matrice inversabilă şi C∈Mm(R) matricea obţinută din B prin înlocuirea coloanei k cu un vector nenul a∈Mm1(R). Considerând vectorul d=B-1a=(di)i=1,...,m atunci:

• C este inversabilă dacă şi numai dacă dk≠0;

• Dacă dk≠0 atunci C-1=Ik(d)B-1 unde: Ik(d)=

−

−

−

−

+

−

100d

d0...0

.....................

0...1d

d0...0

0...0d

10...0

0...0d

d1...0

.....................

0...0d

d0...1

k coloana

k

m

k

1k

k

k

1k

k

1

.

Observaţie Din lema substituţiei se observă că matricea Ik(d) se obţine prin înlocuirea coloanei k a matricei

unitate cu vectorul coloană respectiv. Determinarea matricei C-1 se poate face, ţinând seama de formulele de mai sus, mai simplu astfel: se scrie matricea B-1=(eij) şi se adaugă în dreapta ei vectorul coloană d. Vom numi elementul dk≠0 – pivot.

Elementul corespondent al lui C-1 se determină astfel: elementele de pe linia pivotului se împart la pivot, iar celelalte elemente (de exemplu e1j) se transformă astfel: se construieşte dreptunghiul a cărui diagonală se sprijină pe pivot şi elementul de transformat. Se înmulţesc elementele situate pe această diagonală



(“principală”) şi se scade produsului elementelor de pe cealaltă diagonală (“secundară”). Rezultatul se împarte la pivot. Prin urmare, dacă C-1=(f ij) avem:

(10) fij=k

ikjkij

d

dede −, i∈1,...,m-k, j∈1,...,m

(11) fkj=k

kj

d

e, j∈1,...,m

Observaţie La înlocuirea variabilei xs cu xk, deci a coloanei s din bază cu coloana k, noile cantităţi rezultate devin,

conform lemei substituţiei (s-au notat cu două bare elementele după transformare):

• B

sk

B

ik

sBB

sk

B iB i

y

yxyxx

−= ∀i∈B-s, iar pentru i=k: B

sk

B skB

y

xx = ;

• B

sk

B

sj

B

ik

B

sk

B

ijB

ij y

yyyyy

−= ∀i∈B-s,

B

sk

B

sjB

sj y

yy = ;

• B

sk

k

B

k

sBB

sk

BB

y

)cz(xyzz

−−= ;

• B

sk

B

sjk

B

k

B

skj

B

j

j

B

j

y

y)cz(y)cz(cz

−−−=− ∀j∈S-k, k

B

k cz − =0.

Pasul 4 - Algoritmul simplex Din cele expuse mai sus, obţinem algoritmul simplex care constă în: 1) Se determină o bază primal admisibilă B (metodă ce va fi expusă ulterior); 2) Se construieşte tabelul simplex astfel:

V.B. V.V.B. x1 ... xj ... xn

... ... ... ... ... ... ... ... ci xi B i

x yi1B ... yij

B ... yinB

... ... ... ... ... ... ... ... cp xp B p

x yp1B ... ypj

B ... ypnB

... ... ... ... ... ... ... ... z B

z z1B-c1 ... zj

B-cj ... znB-cn

c1 ... cj ... cn 3) Completarea tabelului simplex se face în următoarele etape: 3.1) Pe prima linie se trec numele tuturor variabilelor problemei (inclusiv a celor ecart); 3.2) În coloana V.B. (variabile de bază) se introduc numele variabilelor de bază determinate la punctul

1); 3.3) În coloana V.V.B. (valorile variabilelor de bază) se introduc valorile determinate pe baza relaţiei

B

x =B-1b; 3.4) Coloanele x1,...,xj,...,xn se completează cu valorile date de B-1aj, j=1,...,n; 3.5) În stânga tabelului se trec coeficienţii funcţiei obiectiv corespunzători variabilelor de bază; 3.6) În subsolul tabelului se trec coeficienţii funcţiei obiectiv corespunzători tuturor variabilelor; 3.7) Penultima linie se completează astfel:

3.7.1) B

z =∑∈Bi

B

ijyic adică se înmulţesc valorile primei coloane cu valorile coloanei V.V.B. şi se adună

rezultatele (produsul scalar al vectorilor din aceste coloane); 3.7.2) j

B

j cz − =∑∈Bi

B

ijyic -cj ∀j=1,...,n adică se înmulţesc valorile primei coloane cu valorile coloanei xj

şi se adună rezultatele scăzându-se la final valoarea din ultima linie; 3.8) O completare rapidă a coloanelor variabilelor de bază se face astfel: în dreptul liniei şi coloanei

unei variabile de bază se înscrie valoarea 1 în restul coloanei completând cu 0 (inclusiv la zjB-cj).

4) Dacă ∀j=1,...,n avem zjB-cj≤0 atunci programul de bază xB=

B

x , xS=0 este optim. STOP. 5) Dacă există indici j astfel încât să avem zj

B-cj>0 atunci: 5.1) dacă pentru un indice j pentru care zj

B-cj>0 avem yijB≤0 ∀i=1,...,m atunci conform teoremei 13

problema are optim infinit. STOP. 5.2) dacă ∀j=1,...,n astfel încât zj

B-cj>0⇒∃i=1,...,m astfel încât yijB>0 atunci se determină acel indice j

pentru care se obţine maximul expresiei zjB-cj. Dacă există mai mulţi indici cu această proprietate, se

alege unul dintre aceştia (de regulă primul). În acest caz, vectorul coloană ak intră în bază, variabila xk devenind variabilă de bază;



6) Pentru j determinat la 5.2.) se determină variabila ce părăseşte baza cu ajutorul relaţiei:

B

pj

B p

B

ij

B i

i0y y

x

y

xmin

ij

=

∈>

B

. Dacă minimul este atins pentru mai mulţi indici, se alege unul dintre aceştia. Variabila

xp părăseşte baza devenind variabilă secundară; 7) Se înlocuieşte în baza B vectorul ap cu aj determinându-se noua bază B' şi se recalculează cantităţile de la

punctul 3) în noua bază, astfel: 7.1) Se construieşte scheletul tabelului simplex, în care nu se mai trec coeficienţii funcţiei obiectiv; 7.2) În coloana V.B. se înlocuieşte numele variabilei xp cu xj; 7.3) Se marchează (eventual prin încercuire) în vechiul tabel elementul ypj

B care se numeşte pivot; 7.4) Coloanele actualelor variabile de bază se completează ca la punctul 3.8); 7.5) Linia pivotului se împarte la pivot; 7.6) Restul elementelor din noul tabel, se obţin cu ajutorul regulii dreptunghiului care constă în

următoarea formulă de transformare: B

pj

B

ps

B

ij

B

pj

B

isBis y

yyyyy

−= ∀i=1,...,m+1 ∀s=0,...,n, unde am notat pentru

extensia formulei: s

B

s

B

s,1m czy −=+ ∀s=1,...,n, B

B

0,1m zy =+ şi B i

B0i xy = ∀i=1,...,m.

8) Se reia algoritmul de la punctul 4) până la determinarea soluţiei.

yisB y

ijB

+

element de transformat

pivot

-y

psB y

pjB

Problema care se pune acum este determinarea unui program de bază iniţial. Un mod de a face acest

lucru este dat de metoda celor două faze care constă în: 1) Se transformă toate restricţiile în ecuaţii Ax=b cu b≥0 (eventual prin înmulţire cu

(-1)); 2) Se identifică acele variabile care apar numai într-una dintre restricţii şi are coeficient pozitiv. În caz

favorabil, se împarte ecuaţia respectivă la acest coeficient; 3) Se adaugă la fiecare ecuaţie care nu apare la punctul 2) câte o variabil ă artificial ă obţinând vectorul

xa=(x1,a,...,xk,a)t obţinând egalitatea: Ax+I(k)xa=b unde I(k) reprezintă matricea obţinută din cea nulă prin plasarea, pe diagonala principală, de elemente egale cu 1 în liniile corespunzătoare variabilelor artificiale iar b este noul vector al termenilor liberi (după eventualele înmulţiri cu (–1) sau împărţiri la coeficienţi ai restricţiilor ). Se recomandă ca indicii variabilelor artificiale să fie daţi în acord cu numerele de linie ale ecuaţiilor corespondente;

4) Se rezolvă apoi problema de programare liniară:

≥≥=+

++

0 x,0x

bx)k(IAx

)x...xmin(

a

a

a ka 1

.

Din cauza variabilelor izolate şi a celor auxiliare, baza iniţială va fi matricea unitate Im. 5) Completarea primului tabel simplex se va face astfel: 5.1) Pe prima linie se trec numele tuturor variabilelor problemei (inclusiv a celor auxiliare); 5.2) În coloana V.B. se introduc numele variabilelor de bază adică a celor izolate şi a celor auxiliare;

5.3) În coloana V.V.B. se introduc valorile determinate pe baza relaţiei B

x =I-1b=b deci se copie vectorul termenilor liberi;

5.4) Coloanele x1,...,xj,...,xn se completează cu valorile date de I-1aj=aj, j=1,...,n deci cu coloanele coeficienţilor variabilelor respective;

5.5) În prima coloană se trec coeficienţii noii funcţii obiectiv corespunzători variabilelor de bază (1 în dreptul variabilelor auxiliare şi 0 în rest);

5.6) În ultima linie se trec noii coeficienţi ai funcţiei obiectiv corespunzători tuturor variabilelor; 5.7) Penultima linie se completează astfel:

5.7.1) B

z =∑∈Bi

B

ijyic adică se înmulţesc valorile primei coloane cu valorile coloanei V.V.B. şi se adună

rezultatele;



5.7.2) j

B

j cz − =∑∈Bi

B

ijyic -cj ∀j=1,...,n adică se înmulţesc valorile primei coloane cu valorile coloanei xj

şi se adună rezultatele scăzându-se la final valoarea din ultima linie; 5.8) O completare rapidă a coloanelor variabilelor de bază se face astfel: în dreptul liniei şi coloanei

unei variabile de bază se înscrie valoarea 1 în restul coloanei completând cu 0 (inclusiv la zjB-cj).

6) Se aplică algoritmul simplex până la final. Trebuie remarcat că nu se poate obţine la această fază optim infinit deoarece funcţia obiectiv fiind min(x1 a+...+xk a)≥ 0 nu se poate ajunge la -∞ printr-o creştere corespunzătoare a unei variabile;

7) În final, avem următoarele situaţii: 7.1) Dacă min(x1 a+...+xk a)>0 rezultă că problema iniţială nu are programe. Într-adevăr, această valoare

optimă implică faptul că există j=1,...,k astfel încât xj a>0. În acest caz, restricţia j din problema iniţială şi din cea auxiliară sunt incompatibile (implicând după scădere xj a=0-contradicţie);

7.2) Dacă min(x1 a+...+xk a)=0 atunci, cum xi a=0 ∀i=1,..., k rezultă că problema iniţială are programe. Avem însă două situaţii: 7.2.1) toate variabilele auxiliare au ieşit din bază. În acest caz, baza obţinută la problema auxiliară este

bază pentru problema iniţială; 7.2.2) au rămas variabile auxiliare în bază, fiind evident nule. În acest caz, avem din nou două situaţii:

7.2.2.1) dacă pe linia corespunzătoare unei variabile auxiliare, există un element nenul în dreptul unei variabile neauxiliare, se face transformarea cu pivotul respectiv;

7.2.2.2) dacă pe linia corespunzătoare unei variabile auxiliare, toate elementele din dreptul coloanelor variabilelor neauxiliare sunt nule, atunci ecuaţia căreia i s-a ataşat variabila auxiliară este o consecinţă a celorlalte ecuaţii (cazul când rangul matricei A nu era m). În acest caz, linia respectivă a tabelului simplex se elimină, împreună cu variabila auxiliară respectivă.

8) Se trece la a doua fază prin recalcularea tabelului simplex pentru problema iniţială. Astfel: 8.1) Se copie ultimul tabel, mai puţin ultima linie a acestuia; 8.2) Se recalculează ultima linie în raport cu coeficienţii funcţiei obiectiv iniţiale c1,...,cn. 9) Se rezolvă problema cu ajutorul algoritmului simplex. Observaţie

La finalul primei faze, dacă toate variabilele auxiliare au ieşit din bază atunci toate cantităţile j

B

j cz −

din dreptul variabilelor iniţiale sunt nule. Observaţie

Dacă în final nu este nevoie de determinarea lui B-1 atunci, la prima fază, pe măsura ieşirii variabilelor auxiliare din bază acestea se pot elimina din tabel prin tăierea coloanei respective. Dacă variabilele auxiliare nu au fost eliminate din tabelele simplex, la a doua fază, ele nu se mai iau în considerare, la determinarea variabilelor ce intră sau ies din bază. Coloanele respective vor fi calculate cu aceeaşi regulă a dreptunghiului, mai puţin ultimul element care se va înlocui printr-un simbol (o linioară, un asterisc etc.). Observaţie

Dacă variabilele auxiliare nu au fost eliminate din tabelele simplex, la sfârşitul algoritmului, în coloanele corespunzătoare primelor variabile de bază (inclusiv cele izolate) de la prima fază, se va afla B-1. Observaţie

Dacă problema de programare liniară este degenerată, obţinându-se în final soluţii optime care au componente de bază nule, atunci prin investigarea liniei corespunzătoare unei astfel de variabile, ea se poate scoate din bază şi înlocui cu o alta (evident prin satisfacerea condiţiilor specifice). În acest caz, din formula:

sk

s

k

B

k

B'B

y

x)cz(zz −−= cum

s

x =0 rezultă că soluţia obţinută rămâne optimă. Procedând în acest mod până la

efectuarea tuturor schimbărilor posibile se obţine soluţia optimă sub forma unei combinaţii convexe de variabilele respective (combinaţie liniară cu parametri pozitivi şi a căror sumă este 1). Analog se procedează dacă există cantităţi )cz( j

B

j − nule cu j∈S.

Observaţie Dacă funcţia obiectiv este de minim şi toţi coeficienţii acesteia sunt pozitivi atunci nu putem avea

optim infinit (deoarece min≥0). Analog, dacă funcţia obiectiv este de maxim şi toţi coeficienţii acesteia sunt negativi atunci nu putem avea optim infinit (deoarece max≤0).



LECŢIA 3

DUALITATE ÎN PROGRAMAREA LINIAR Ă

Pasul 1 - Introducere Definiţie

Fie problema generală de minim a programării liniare:

(P1)

≤≥≤++=++≥++

++

arbitrar x,0 x,0x

bxAxAxA

bxAxAxA

bxAxAxA

xcxcxc min

321

3

3

33

2

32

1

31

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

3

3

2

2

1

1

Se numeşte problemă duală a acesteia problema:

(D1)

≤≥=++≥++≤++

++

0u ,arbitrar u ,0u

cuAuAuA

cuAuAuA

cuAuAuA

ububub max

321

t

3

3t

33

2t

23

1t

13

t

2

3t

32

2t

22

1t

12

t

1

3t

31

2t

21

1t

11

3t

3

2t

2

1t

1

Definiţie

Fie problema generală de maxim a programării liniare:

(P2)

≤≥≤++=++≥++

++

arbitrar x,0 x,0x

bxAxAxA

bxAxAxA

bxAxAxA

xcxcxc max

321

3

3

33

2

32

1

31

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

3

3

2

2

1

1

Se numeşte problemă duală a acesteia problema:

(D2)

≥≤=++≤++≥++

++

0u ,arbitrar u ,0u

cuAuAuA

cuAuAuA

cuAuAuA

ububub min

321

t

3

3t

33

2t

23

1t

13

t

2

3t

32

2t

22

1t

12

t

1

3t

31

2t

21

1t

11

3t

3

2t

2

1t

1

Observaţie Problemele (P1) şi (P2) se mai numesc şi probleme primale. Este evident că duala problemei duale

este cea primală. Observaţie

Problema duală se obţine din cea primală astfel: 1) problemele de minimizare (maximizare) se transformă în probleme de maximizare (minimizare); 2) termenii liberi ai lui (P) devin coeficienţii funcţiei obiectiv în (D); 3) coeficienţii funcţiei obiectiv din (P) devin termeni liberi în (D); 4) matricea coeficienţilor din (D) este transpusa matricei coeficienţilor din (P); 5) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor concordante în (P) (adică restricţii de forma ≥ în

probleme de minimizare şi de forma ≤ în probleme de maximizare) sunt nenegative; 6) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor neconcordante în (P) (adică restricţii de forma ≤ în

probleme de minimizare şi de forma ≥ în probleme de maximizare) sunt nepozitive; 7) variabilele duale corespunzătoare restricţiilor de tip ecuaţii în (P) sunt arbitrare; 8) variabilelor din (P) nenegative le corespund restricţii în (D) concordante; 9) variabilelor din (P) nepozitive le corespund restricţii în (D) neconcordante; 10) variabilelor din (P) arbitrare le corespund restricţii în (D) de tip ecuaţii.

Să considerăm acum problema de programare liniară în forma standard:



(1)

≥=0x

bAx

xc min t

şi duala acesteia:

(2)

≤arbitraru

cuA

ub maxt

t

Definiţie O bază B a lui A astfel încât: cBB-1A-c≤0 ( j

B

j cz − ≤0 ∀j=1,...,n) se numeşte bază dual admisibilă. O

soluţie x a problemei primale ce corespunde unei baze dual admisibile se numeşte soluţie dual admisibilă. Fie acum cuplul de probleme duale:

(3)

≥≥0x

bAx

xc min t

(4)

≥≤0u

cuA

ub maxt

t

Observaţie Se arată că dacă avem o bază primal şi dual admisibilă B atunci avem programul optim pentru

problema (1): xB=B-1b, xS=0 şi programul optim al problemei (2): uBt=cB

tB-1. Pentru aceste două programe funcţiile obiectiv au valori egale. Într-adevăr, uB

taj=cBtB-1aj=zj

B≤cj de unde rezultă că uBt este soluţie a

problemei duale. Pe de altă parte, dacă x este o soluţie a problemei primale (3), iar u a problemei duale (4), avem: Ax≥b şi cum u≥0⇒utAx≥utb. Pe de altă parte: Atu≤c şi cum x≥0⇒xtAtu≤xtc şi cum cantităţile sunt

scalari, rezultă după transpunere: utAx≤ctx. Obţinem deci că ctx≥utb=btu. Să considerăm acum o soluţie x a

problemei primale şi o soluţie u a celei duale astfel încât ct x =bt u . Dacă x nu ar fi program optim al

problemei primale, atunci ar exista x* astfel încât ctx*<ct x . Dar atunci ctx*<bt u , iar din cele de mai sus avem:

ctx*≥bt u deci contradicţie. Prin urmare, x este program optim al problemei primale. Analog, dacă u nu ar fi

program optim al problemei duale, atunci ar exista u* astfel încât btu*>btu . Dar atunci btu*>ct

x , iar din cele

de mai sus avem: btu*≤ct x deci contradicţie. Prin urmare, u este program optim al problemei duale. În final,

cum valoarea optimă a funcţiei obiectiv este B

z =btuB=uBtb=cB

tB-1b=cBtxB rezultă că funcţiile obiectiv ale

problemelor primală respectiv duală au valori egale. Pasul 2 - Algoritmul simplex dual

În aplicarea algoritmului simplex primal se porneşte de la o bază primal admisibilă şi în urma

înlocuirii succesive a vectorilor din bază se obţine, în final, o bază dual admisibilă. Algoritmul simplex dual constă în procesul invers. Se porneşte cu o bază dual admisibilă şi după un

sistem de calcul oarecum asemănător, se obţine în final o bază primal admisibilă. În cele ce urmează, vom considera perechea de probleme duale:

(P)

≥=0x

bAx

xc min t

, (D)

≤arbitraru

cuA

ub maxt

t

Teoremă (fundamentală a dualităţii ) Fie problemele duale (P) şi (D).

1) Dacă ambele probleme au programe atunci ele au programe optime şi valorile funcţiilor obiectiv coincid;

2) Dacă una din probleme are programe, iar cealaltă nu, atunci cea care are programe are optim infinit. Teoremă

Fie B o bază dual admisibilă astfel încât:

1) ∃k∈B astfel încât kB

x <0; 2) ykj

B≥0 ∀j∈S În acest caz, problema primală nu are programe. Teoremă



Fie B o bază dual admisibilă astfel încât:

1) ∀k∈B astfel încât kB

x <0 ⇒ ∃j∈1,...,n astfel încât ykjB<0;

2) Fie pentru k∈B, s∈S astfel încât B

ks

s

B

s

B

kd

d

B

d

0y y

cz

y

czmin

Bkd

−=

−<

.

În acest caz, înlocuind în baza B coloana k cu coloana s, valoarea funcţiei obiectiv a problemei duale este mai mare sau egală cu cea anterioară.

Din cele de mai sus se pot enunţa acum: Etapele de aplicare a algoritmului simplex dual

Fie x o soluţie dual admisibilă. 1) Fie J=j x j<0; 2) Dacă J=∅ atunci x este soluţie optimă. STOP. 3) Dacă J≠∅ atunci: 3.1) Dacă ∃j∈J astfel încât componentele de rang j ale vectorilor coloană din A ce nu fac parte din bază

sunt pozitive atunci problema primală nu are soluţie. STOP. 3.2) Dacă ∀j∈J componentele de rang j ale vectorilor coloană din A ce nu fac parte din bază au şi valori

negative atunci fie Jj

min∈

x j= x k şi kp

pp

kj

jj

0yJj y

cz

y

czmin

kj

−=

−

<∈

. Vectorul care va părăsi baza va fi ak iar cel

care va intra în bază va fi ap; 4) După transformarea cu pivotul ykp se revine la pasul 1.

Cu ajutorul observaţiei 6, rezultă că la finalul algoritmului simplex dual suntem în măsură să cunoaştem soluţia problemei primale. Ca şi la algoritmul simplex primal se pune problema determinării unei baze dual admisibile. Pentru a face acest lucru vom proceda astfel:

1) Dacă problema este sub formă canonică:

≥≥0x

bAx

xc min t

ea se transformă în

≥−≤

0x

bAx-

xc min t

. Introducând

variabilele ecart, acestea formează o bază a problemei. Dacă în plus, toţi coeficienţii funcţiei obiectiv sunt pozitivi, atunci acestea formează o bază dual admisibilă.

2) Dacă punctul 1) nu are loc (orice problemă poate fi adusă la una din formele de mai sus, însă numărul restricţiilor creşte foarte mult ceea ce este inadmisibil – de exemplu la transformarea egalităţilor în inegalităţi, numărul restricţiilor se dublează), atunci se adaugă o restricţie suplimentară: xn+1+∑

∈Si

ix =M

unde în prealabil s-a determinat o bază B, iar S reprezintă indicii restului coloanelor lui A. Numărul M este ales suficient de mare. Problema care se obţine are următoarea formă:

(5)

≥≥=

=+

+

∈

+ ∑

0 x,0x

bAx

Mxx

xc min

1n

Ii

i1n

t

3) Se determină apoi k∈S astfel încât să avem ( ) k

B

ki

B

iiczczmax −=−

∈S.

4) Considerând baza B’ obţinută din B prin înlocuirea coloanei lui xn+1 cu coloana lui xk se obţine o bază dual admisibilă.

5) În final, există mai multe situaţii: 5.1) Dacă problema (5) nu are programe, atunci nici problema (P) nu are programe; 5.2) Dacă problema (5) are programe atunci există trei variante:

5.2.1) xn+1 rămâne în baza optimă şi atunci restul variabilelor constituie soluţia optimă; 5.2.2) xn+1 nu rămâne în baza optimă, dar valoarea optimă a funcţiei obiectiv depinde de M. În acest

caz, pentru M→∞ rezultă că problema iniţială are optim infinit; 5.2.3) xn+1 nu rămâne în baza optimă, iar valoarea optimă a funcţiei obiectiv nu depinde de M. În acest

caz, se poate obţine soluţia optimă, descrescându-l pe M până în momentul în care una din variabilele de bază ce este funcţie de M devine nulă.

Observaţie Din cauza dificultăţilor de aplicare în determinarea unei baze iniţiale dual admisibile, nu vom aplica

acest algoritm decât în cadrul problemelor de reoptimizare pe care le vom studia mai jos. Observaţie

Problema duală are o interpretare imediată. Dacă în problema primală x are o anumită semnificaţie, din faptul că funcţiile obiectiv ale celor două probleme coincid la optim, rezultă că:



i

i

m

m

1

1

i

n

n

1

1 ub

)ub...ub(

b

)xc...xc( =∂

++∂=∂

++∂, i=1,...,m

Aceasta înseamnă că la modificarea cu o unitate a termenului liber bi (ce poate avea semnificaţie de resursă arbitrară) valoarea funcţiei obiectiv creşte cu cea a variabilei duale ataşate restricţiei “i”. Prin urmare, mărimea valorilor variabilelor duale, dau un indiciu asupra “sensibilităţii” unor restricţii ale problemei primale.

LECŢIA 4

REOPTIMIZARE ŞI PARAMETRIZARE ÎN PROGRAMAREA LINIAR Ă

Pasul 1 - Modificarea termenilor liberi

Să presupunem că termenii liberi ai problemei iniţiale:

≥=0x

bAx

cx min

se modifică în sensul că b se înlocuieşte cu vectorul b’. Din modul de completare a tabelului simplex, am văzut că acesta influenţează numai coloana V.V.B. în care apare vectorul B-1b. Prin urmare, vom modifica ultimul tabel simplex, astfel: 1) toate coloanele tabelului în afara celei a V.V.B. rămân neschimbate; 2) coloana V.V.B. devine B-1b’; 3) funcţia obiectiv se recalculează în funcţie de valorile obţinute la 2).

Cum ultima linie a tabelului rămâne neschimbată rezultă că baza B este dual admisibilă, deci se aplică în continuare algoritmul simplex dual.

Pasul 2 - Modificarea coeficienţilor func ţiei obiectiv Să presupunem că vectorul coeficienţilor funcţiei obiectiv devine c’. Acesta modifică numai ultima

linie a tabelului simplex, care va fi calculată corespunzător. Evident baza rămâne primal admisibilă deci se continuă cu algoritmul simplex primal.

Pasul 3 - Introducerea unei variabile suplimentare Să presupunem acum că introducem o variabilă suplimentară xn+1. În acest caz se ataşează tabelului o

coloană suplimentară corespunzătoare variabilei nou introduse. Cum am obţinut deja o bază primal admisibilă, rezultă că avem două situaţii:

1) dacă zn+1B-cn+1≤0 atunci soluţia optimă rămâne neschimbată;

2) dacă zn+1B-cn+1>0 atunci se aplică agoritmul simplex primal.

Pasul 4 - Modificarea coeficienţilor unei variabile

Să presupunem că vectorul coeficienţilor unei variabile xi se modifică astfel încât ai se schimbă în a’i. Din modul de completare a tabelului simplex, s-a văzut că vectorul ai nu influenţează decât coloana corespunzătoare lui xi. Problema care apare însă este dacă variabila xi era variabilă de bază sau nu. 4.1) Dacă variabila xi nu face parte din bază atunci se recalculează coloana xi cu formula B-1a’i şi cantitatea zi

B-ci aferentă. Se aplică apoi, dacă este cazul, algoritmul simplex primal. 4.2) Dacă variabila xi face parte din bază atunci, pentru simplificare, recomandăm reîntoarcerea la ultimul tabel simplex care nu conţinea variabila xi în bază şi aplicarea punctului 4.1). O altă metodă, aplicabilă îndeosebi situaţiei în care nu sunt cunoscute bazele succesive, constă şi în introducerea unei variabile auxiliare xn+1 având drept coeficienţi componentele vectorului a’ iar xi să fie considerată drept variabilă artificială. Problema se reduce la cea a introducerii unei noi variabile (vezi 3)). Aplicând metoda celor două faze cu funcţia obiectiv min (xi) şi eliminând această variabilă se obţine soluţia optimă.



Pasul 5 - Parametrizare în programarea liniară Problema parametrizării constă în determinarea comportării soluţiei optime atunci când unele din componentele problemei (termeni liberi, coeficienţi ai funcţiei obiectiv, coeficienţi ai variabilelor) depind de parametri. Problema parametrizării se soluţionează, principial, destul de simplu. Astfel se dă o valoare arbitrară parametrului (de exemplu 0) şi se rezolvă problema. La final, se modifică componenta respectivă după metodele reoptimizării. Evident că în funcţie de valorile parametrului se va obţine o soluţie optimă sau alta.

LECŢIA 5

PROBLEMA DE TRANSPORT

Pasul 1 - Introducere Am văzut la prezentarea problemelor de programare liniară că problema de transport în forma

standard are următoarea expresie:

==≥

==

==

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n,1j ,m,1i ,0x

n,1j ,bx

m,1i ,ax

xc min

ij

j

m

1i

ij

i

n

1j

ij

m

1i

n

1j

ij

ij

unde ∑∑==

=n

1jj

m

1ii ba , ai,bj≥0.

În legătură cu această problemă avem câteva situaţii concrete care se reduc însă la problema de mai sus.

Pasul 2 - Problema de transport cu cerere excedentară

==≥

=≤

==

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n,1j ,m,1i ,0x

n,1j ,bx

m,1i ,ax

xc min

ij

j

m

1i

ij

i

n

1j

ij

m

1i

n

1j

ij

ij

unde ∑∑==

≤n

1jj

m

1ii ba , ai,bj≥0.

Prin introducerea variabilelor ecart se poate aduce problema la forma standard. Valorile variabilelor ecart vor fi interpretate ca diferenţă între cantitatea cerută de beneficiar şi cea trimisă efectiv. Considerând un

depozit fictiv cu disponibil de resurse: am+1= ∑∑==

−m

1ii

n

1jj ab obţinem condiţia suplimentară: 1m

n

1j

j,1m ax +=

+ =∑ .

Costurile asociate transporturilor fictive vor fi interpretate după caz fie ca penalităţi stabilite prin contracte cu beneficiarii pentru neonorarea cererilor fie vor fi luate nule în situaţia în care nu există astfel de contracte.

Pasul 3 - Problema de transport cu ofertă excedentară

==≥

==

=≤

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n,1j ,m,1i ,0x

n,1j ,bx

m,1i ,ax

xc min

ij

j

m

1i

ij

i

n

1j

ij

m

1i

n

1j

ij

ij

unde ∑∑==

≥n

1jj

m

1ii ba , ai,bj≥0.

Prin introducerea variabilelor ecart se poate aduce problema la forma standard. Valorile variabilelor ecart vor fi interpretate ca diferenţă între cantitatea oferită de furnizor şi cea trimisă efectiv. Considerând un



beneficiar fictiv cu cerere de resurse: bn+1= ∑∑==

−n

1jj

m

1ii ba obţinem condiţia suplimentară: 1n

m

1i

1n,i bx +=

+ =∑ .

Costurile asociate transporturilor fictive vor fi interpretate după caz fie ca fiind costuri de stocare fie vor fi luate nule.

Pasul 4 - Algoritmul de transport

1) Se construieşte tabelul: c11 c12 ... c1n a1 c21 c22 ... c2n a2 ... ... ... ... ... cm1 cm2 ... cmn am b1 b2 ... bn

Într-un tabel vom numi celulă o pereche de numere (i,j) aflată la intersecţia liniei i cu coloana j din tabel şi ciclu o secvenţă ordonată de celule de forma: (i1,j1), (i1,j2), (i2,j2), (i2,j3),...,(ik,jk), (ik,j1). 2) Se obţine o soluţie iniţială de bază astfel: 2.1) se dă unei variabile de bază oarecare xij valoarea x’ij=minai,bj; 2.2) se înlocuiesc ai şi bj prin ai-x’ ij,respectiv bj-x’ ij şi se suprimă linia i dacă x’ ij=ai sau coloana j dacă

x’ ij=bj (în situaţia în care ai=b j alegându-se una dintre variante); 2.3) în tabelul simplificat astfel se repetă operaţiile anterioare până când se determină soluţia de bază. 2.4) alegerea lui xij se poate face în mai multe moduri:

2.4.1) metoda colţului de Nord-Vest (G.M.Dantzig): alegerea se face în celula din prima linie şi coloană a tabelului redus;

2.4.2) metoda costului minim (H.S.Houthakker): alegerea se face din celula în care este cea mai mică valoare cij.

3) Dacă notăm cu I mulţimea celulelor (i,j) corespunzătoare variabilelor de bază, se rezolvă sistemul: ui+vj=cij, (i,j)∈I prin alegerea arbitrară a unei valori iniţiale pentru una din variabilele ui sau vj. Soluţiile ui' şi vj' se scriu pe marginea tabelului şi se calculează expresiile dij=ui'+vj '-cij pentru (i,j)∉I. Avem două situaţii:

3.1) dacă dij≤0 pentru orice (i,j)∉I rezultă că soluţia (xij) este optimă; 3.2) dacă ∃(i,j)∈I astfel încât dij>0 se calculează dab= ijI)j,i(

dmax∉

şi se determină ciclul format de celula

(a,b) cu alte celule ce corespund variabilelor bazice. 4) Se stabileşte o orientare de parcurs în ciclu şi se marchează celulele ce ocupă un rang par (celula (a,b)

având numărul 1). Fie xcd variabila şi x’ cd valoarea cea mai mică dintre celulele marcate. 5) Se scade această valoare din valorile variabilelor aflate în celule marcate şi se adună la celulele din ciclu

ce au rămas nemarcate. 6) Noua soluţie de bază este formată din variabila xab=x’ cd şi vechile variabile bazice din care se va exclude

xcd. 7) Se repetă operaţiunile anterioare până când toate cantităţile dij devin nepozitive în care caz se obţine

soluţia optimă. REZUMAT

Problemele de programare liniară apar în procesele de modelare matematică. Agoritmul Simplex

oferă o cale relativ rapidă de rezolvare a acestora, spre deosebire de situaţia determinării extremelor funcţiilor

ce poate conduce la rezolvarea unui sistem de ecuaţii neliniare.

Algoritmul simplex dual apare, de regulă, în situaţia reoptimizării şi/sau parametrizării unei

probleme de programare liniară, conducând la obţinerea, de la o soluţie preexistentă, a soluţiei problemei

transformate.

Problema de transport este deosebit de utilă în situaţia alocării unor rute de transport în situaţia în

care cheltuielile de transport sunt suportate de către o singură firmă.

CONCLUZII

Studiind acest modul aţi dobândit cunoştinţe referitoare la programarea liniară. Aţi învăţat algoritmul

Simplex şi modul de aplicare a lui în diferite situaţii generate de restricţii, funcţia obiectiv sau natura

variabilelor. De asemenea, aţi învăţat modaitatea de reoptimizare a unei probleme de programare liniară.



EXEMPLE ILUSTRATIVE

1. Să se rezolve problema de programare liniară:

≥=++

=+−+−=++−

+

0x,x,x,x

6x2x4x

2xxx5x

3xxxx2

x xmin

4321

421

4321

4321

31

Soluţie Avem:

≥=+++

=++−+−=+++−

++

0x,x,x,x,x,x,x

6xx2x4x

2xxxx5x

3xxxxx2

xx xmin

a 3a 2a 14321

a 3421

a 24321

a 14321

a 3a 2a 1

Tabelele simplex pentru prima fază sunt:

VB VVB x1 x2 x3 x4 x1 a x2 a x3 a

1 x1 a 3 2 -1 1 1 1 0 0 1 x2 a 2 -1 5 -1 1 0 1 0 1 x3 a 6 1 4 0 2 0 0 1 z 11 2 8 0 4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

VB VVB x1 x2 x3 x4 x1 a x3 a

x1 a 17/5 9/5 0 4/5 6/5 1 0 x2 2/5 -1/5 1 -1/5 1/5 0 0 x3 a 22/5 9/5 0 4/5 6/5 0 1 z 39/5 18/5 0 8/5 12/5 0 0

VB VVB x1 x2 x3 x4 x3 a

x1 17/9 1 0 4/9 6/9 0 x2 7/9 0 1 -1/9 1/3 0 x3 a 1 0 0 0 0 1 z 1 0 0 0 0 0

Prima fază s-a încheiat, dar funcţia obiectiv nu este nulă. Prin urmare, problema iniţială nu are soluţie. Într-adevăr, dacă adunăm primele două restricţii şi comparăm rezultatul cu cea de-a treia rezultă 5=6 ceea ce este evident o contradicţie.

2. Să se rezolve atât în mod grafic, cât şi cu algoritmul simplex, problema de programare liniară:

≥≥

≤+≤−

+

0x,x

1x

12x3x4

1xx

x34x max

21

1

21

21

21

Soluţie Avem rezolvarea grafică în figura 167:

O x1

x2

31 15/7

8/7

8/3

1

4

x 1

x 2

4+3

)

max(x 1

x 2

4+3

=0



Se observă că avem o infinitate de puncte de optim şi anume cele dispuse pe segmentul determinat de

punctele

7

8,

7

15 şi

3

8,1 .

Forma standard a problemei este:

≥=−

=++=+−

−−

0y,y,y,x,x

1yx

12yx3x4

1yxx

x34x- min

32121

31

221

121

21

Avem acum, prima fază:

≥=+−=++

=+−

0x,y,y,y,x,x

1xyx

12yx3x4

1yxx

xmin

a 332121

a 331

221

121

a 3

Tabelele simplex sunt: VB VVB x1 x2 y1 y2 y3 x3 a

0 y1 1 1 -1 1 0 0 0 0 y2 12 4 3 0 1 0 0 1 x3 a 1 1 0 0 0 -1 1 z 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1

VB VVB x1 x2 y1 y2 y3

y1 0 0 -1 1 0 1 y2 8 0 3 0 1 4 x1 1 1 0 0 0 -1 z 0 0 0 0 0 0

Revenind la problema iniţială, rezultă: VB VVB x1 x2 y1 y2 y3

0 y1 0 0 -1 1 0 1 0 y2 8 0 3 0 1 4 -4 x1 1 1 0 0 0 -1 z -4 0 3 0 0 4 -4 -3 0 0 0


y3 0 0 -1 1 0 1 y2 8 0 7 -4 1 0 x1 1 1 -1 1 0 0 z -4 0 7 -4 0 0


y3 8/7 0 0 3/7 1/7 1 x2 8/7 0 1 -4/7 1/7 0 x1 15/7 1 0 3/7 1/7 0 z -12 0 0 0 -1 0

Am obţinut deci soluţia optimă x1=7

15, x2=

7

8 cu optimul –(-12)=12.

Cum cantitatea zjB-cj corespunzătoare coloanei lui y1 este nulă vom mai face o transformare cu pivotul

3/7. Obţinem: VB VVB x1 x2 y1 y2 y3

y1 8/3 0 0 1 1/3 7/3 x2 8/3 0 1 0 1/3 4/3 x1 1 1 0 0 0 -1 z -12 0 0 0 -1 0



Am obţinut o altă soluţie optimă x1=1, x2=3

8 cu acelaşi optim –(-12)= 12. Dacă încercăm să-l

reintroducem în bază pe y3 obţinem tabelul simplex anterior.

Prin urmare, soluţia optimă este formată din toate punctele segmentului determinat de punctele

7

8,

7

15 şi

3

8,1 . Se ştie că ecuaţia unui segment de capete (x1,y1) şi (x2,y2) este:

−+=−+=

)yy(tyy

)xx(txx

121

121 , t∈[0,1]. În

cazul nostru, obţinem soluţia optimă: x1=7

t815−, x2=

21

t3224+, t∈[0,1], optimul fiind egal cu 12.


≥≥+≥+≥+

+

0x,x

2x2x

6x3x4

3xx3

x2x min

21

21

21

21

21

Soluţie Introducem variabilele ecart y1,y2,y3 pentru a aduce problema la forma standard:

≥=−+=−+

=−++

0y,y,y,x,x

2yx2x

6yx3x4

3yxx3

x2x min

32121

321

221

121

21

Pentru determinarea unei baze iniţiale folosim metoda celor două faze. Fie deci variabilele artificiale x1 a, x2 a , x3 a. Obţinem:

≥=+−+=+−+

=+−+++

0x,x,x,y,y,y,x,x

2xyx2x

6xyx3x4

3xyxx3

xx xmin

a 3a 2a 132121

a 3321

a 2221

a 1121

a 3a 2a 1

Tabelul simplex ataşat acestei probleme este: VB VVB x1 x2 y1 y2 y3 x1 a x2 a x3 a

1 x1 a 3 3 1 -1 0 0 1 0 0 1 x2 a 6 4 3 0 -1 0 0 1 0 1 x3 a 2 1 2 0 0 -1 0 0 1 z 11 8 6 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

Maximul elementelor din penultima linie este 8 iar în coloana lui x1 avem min

1

2,

4

6,

3

3=

3

3 deci pivotul

va fi 3. Următorul tabel simplex este: VB VVB x1 x2 y1 y2 y3 x2 a x3 a

x1 1 1 1/3 -1/3 0 0 0 0 x2 a 2 0 5/3 1/3 0 -1 0 1 x3 a 1 0 5/3 1/3 0 -1 0 1 z 3 0 10/3 5/3 -1 -1 0 0

În ultima linie avem cantităţile 3

10 şi

3

5 care sunt pozitive. Maximul acestora se atinge la

3

10. Rapoartele

dintre valorile variabilelor de bază şi cantităţile din coloana lui x2 conduc la pivotul 3

5 din linia lui x3 a.

Tabelul simplex devine: VB VVB x1 x2 y1 y2 y3 x2 a

x1 4/5 1 0 -2/5 0 1/5 0 x2 a 1 0 0 1 -1 1 1 x2 3/5 0 1 1/5 0 -3/5 0



z 1 0 0 1 -1 1 0 Cum cantităţile pozitive maxime din ultima linie sunt egale, facem o alegere, luându-l de exemplu pe y1.

Obţinem: VB VVB x1 x2 y1 y2 y3 x1 6/5 1 0 0 -2/5 3/5 y1 1 0 0 1 -1 1 x2 2/5 0 1 0 -4/5 -4/5 z 0 0 0 0 0 0

Cum în acest caz toate cantităţile din ultima linie sunt nule şi cum valoarea minimă a funcţiei obiectiv pentru faza I este nulă rezultă că am obţinut baza iniţială B=x1,y1,x2. Trecând acum la faza a doua a problemei, obţinem:

VB VVB x1 x2 y1 y2 y3 2 x1 6/5 1 0 0 -2/5 3/5 0 y1 1 0 0 1 -1 1 1 x2 2/5 0 1 0 -4/5 -4/5 z 14/5 0 0 0 -8/5 2/5 2 1 0 0 0

Avem acum pivotul 1 din coloana lui y3: VB VVB x1 x2 y1 y2 y3 x1 3/5 1 0 -3/5 1/5 0 y3 1 0 0 1 -1 1 x2 6/5 0 1 4/5 -8/5 0 z 12/5 0 0 -2/5 -6/5 0

Cum toate cantităţile (exceptând valoarea optimă) din ultima linie sunt nepozitive rezultă că am

determinat chiar programul optim şi anume: x1=5

3, x2=

5

6 iar minimul este

5

12. Se observă că dacă la

eliminarea lui x2 a l-am fi introdus pe y3 în bază, se obţinea mult mai repede soluţia optimă. Nu putem însă determina anterior care schimbare este mai rapidă.






TESTE DE AUTOEVALUARE


≥≥+≤+

+

0y,x

hgyfx

edycx

)byaxmin(

unde:

a=1, b=5, c=6, d=43, e=5, f=9, g=8, h=1.

1. x=0,12, y=9,9999998E-3 2. x=2,3599999, y=2,28 3. x=1,49, y=0,94 4. x=3,24, y=2,0999999




≥≥+≤+

+

0y,x

hgyfx

edycx

)byaxmin(

unde: a=9, b=5, c=5, d=9, e=9, f=6, g=2, h=4.

1. x=1,66, y=1,58 2. x=2,4400001, y=3,4000001 3. x=0,76999998, y=0,41 4. x=3,8299999, y=3,22


≥≥+≤+

+

0y,x

hgyfx

edycx

)byaxmin(

unde: a=5, b=6, c=8, d=9, e=1, f=16, g=4, h=1.

1. x=1,95, y=1,47 2. x=0,07, y=3,9999999E-2 3. x=2,01, y=1,75 4. x=3,49, y=2,1900001

TEMĂ DE CONTROL


≥=−+−=−+−

−≥+−=+−+

−−+

0x,x,x,x

11xx9x4x

3xx5x2x

1xxx3

5xxx3x2

x6xx2 xmax

4321

4321

4321

321

4321

4321


≤≥≥−≤+−

≥+−−

arbitrar x ,0x ,0x

20xx2

2xx

4xxx

x2x max

321

21

31

321

21


≥=++

=+−+−=++−

+

0x,x,x,x

6x2x4x

2xxx5x

3xxxx2

x xmin

4321

421

4321

4321

31

4. Să se rezolve atât în mod grafic, cât şi cu algoritmul simplex, problema de programare liniară:

≥≥

≤+≤−

+

0x,x

1x

12x3x4

1xx

x34x max

21

1

21

21

21


≥≥+≥+≥+

+

0x,x

2x2x

6x3x4

3xx3

x2x min

21

21

21

21

21




≥≤+−−

≥+=++

−

0x,x,x,x

8xxx

5x2x

20x5xx

x2x max

4321

321

42

321

41

7. Capacitatea unui atelier de montaj poate asigura producţia zilnică de 120 de bucăţi pentru articolul A şi de 360 de bucăţi pentru articolul B. În 24 ore serviciul de control tehnic nu poate verifica decât 200 de articole indiferent de tip. Articolele A sunt de patru ori mai scumpe decât cele de tip B. Se cere planificarea producţiei astfel încât venitul atelierului să fie maxim.

MODULUL 5

MATEMATICI FINANCIARE

Obiectivele specifice modulului: Introducerea noţiunilor de dobândă simplă şi compusă. Scadenţe Operaţiuni de scont Anuităţi Împrumuturi


Însuşirea modului de calcul a unei dobânzi. Aprofundarea modului de determinare a anuităţilor. Învăţarea modului de concepere a unui tabel de împrumut.

Competenţe dobândite ca urmare a parcurgerii modulului: Deprinderea folosirii corecte a conceptului de dobândă. Deprinderea folosirii corecte a anuităţilor. Folosirea corectă a metodelor de calcul a împrumuturilor.


LECŢIA 1

DOBÂNZI

Pasul 1 - Dobânda simplă Definiţii

Dobânda este noţiunea de bază cu care se operează în calculele financiare. Ea reprezintă un surplus monetar care se adaugă unei sume plasate sau împrumutate.

Dobânda unitară reprezintă dobânda furnizată de 1 u.m. pe timp de un an şi va fi notată convenţional cu i.

Dobânda procentuală reprezintă dobânda unitară pentru 100 u.m. şi vom conveni să o notăm cu d. Avem deci:

d=100⋅i Definiţie

Dobânda simplă reprezintă dobânda calculată asupra aceleiaşi sume de bani pe toată durata împrumutului. Fie S suma depusă sau împrumutată şi t numărul de ani de împrumut. Dacă D este dobânda simplă, avem:



D=S100

dt=

100

Sdt=Sit

Uneori se practică împrumuturi sau depuneri pe perioade mai mici de un an. Fie deci n numărul de părţi egale în care se împarte un an şi k numărul de părţi pentru care se

calculează dobânda. Avem:

D=n100

Sdk=

n

Sik

Suma totală la sfârşitul perioadei de t ani este:

St=S+D=S+100

Sdt=S

+100

dt1 =S(1+it)

Reciproc, pentru a obţine suma St după t ani va trebui plasată la începutul perioadei de depunere suma:

S=

100dt

1

St

+=

it1

St

+

Fie acum S1,...,Sn sume plasate pe termenele t1,...,tn cu aceeaşi dobândă d. Problema care se pune este de a înlocui aceste sume şi durate printr-o sumă unică S şi o durată unică t astfel încât suma dobânzilor să fie aceeaşi cu cea furnizată de suma S pe durata t. Avem: S1it1+...+Snitn=Sit de unde:

t=S

tSn

1iii∑

=

numită scadenţă comună (dacă se cunoaşte suma depusă) şi:

t=

∑

∑

=

=n

1ii

n

1iii

S

tS

numită scadenţă medie dacă S=∑=

n

1iiS .

Să considerăm acum sumele S1,...,Sn depuse pe duratele t1,...,tn cu dobânzile d1,...,dn. Ne propunem să determinăm dobânda medie d pentru care aceste sume plasate pe aceleaşi durate să furnizeze aceeaşi dobândă totală. Avem:

∑∑==

=n

1i

iin

1i

iii

100

dtS

100

tdS

de unde:

d=

∑

∑

=

=n

1iii

n

1iiii

tS

tdS

numită dobânda medie.

Pasul 2 - Dobânda compusă Definiţie

Dobânda compusă este dobânda obţinută în urma adăugării dobânzii simple la suma plasată iniţial în scopul producerii unei noi dobânzi.

Dacă i este dobânda unitară, vom numi: u=1+i - factorul de fructificare

Avem astfel: S1=S+Si=S(1+i), S2=S1+S1i=S1(1+i)= S(1+i)2. Să presupunem că după n ani avem: Sn=S(1+i)n. Avem: Sn+1=Sn+Sni=Sn(1+i)= S(1+i)n+1 deci prin inducţie matematică rezultă:

Sn=S(1+i)n=Sun ∀n≥0 Dobânda compusă este:

D=Sn-S=S[(1+i)n-1]=S(un-1) Să studiem acum cazul în care n∉N. În această situaţie se poate proceda în două moduri: 1) Se foloseşte formula generală a dobânzii compuse pentru numărul întreg de perioade de timp şi se aplică

formula dobânzii simple pentru partea fracţionară, soluţie numită soluţia raţională. 2) Se foloseşte formula generală a dobânzii compuse atât pentru partea întreagă cât şi pentru partea

fracţionară, soluţie numită soluţia comercială. Să studiem acum fiecare din cele două cazuri:



1) Fie t=n+m

k durata de depunere în care n reprezintă numărul de ani, m-numărul de perioade de timp

egale ale unui an şi k numărul de perioade pe care s-a plasat împrumutul. Avem după n ani: Sn=S(1+i)n iar

în restul de m

k ani avem dobânda simplă la Sn: D=Sni

m

k. Obţinem deci:

St=Sn+D=S(1+i)n+S(1+i)nim

k=S(1+i)n(1+i

m

k)

2) În acest caz funcţia S:[0,∞)→R, S(t)=S(1+i)t ∀t∈[0,∞) fiind continuă pe tot domeniul de definiţie, avem:

St=S m

kn

)i1(+

+ =S m

kn

u+

=Sun m

k

u

În problema dobânzilor compuse, de o importanţă foarte mare este perioada la care se calculează procentul de dobândă. Fie deci dn procentul de dobândă pentru o perioadă de n unităţi de timp şi dm procentul de dobândă pentru o perioadă de m unităţi de timp. Dobânzile se numesc propor ţionale dacă ele produc acelaşi efect în cazul dobânzilor simple. Avem deci pentru o perioadă de mn unităţi de timp dnm dobânda produsă în primul caz şi dmn în cel de-al doilea. Prin urmare: dnm=dmn de unde:

m

n

d

d

m

n =

Observaţie Dobânda corespunzătoare unei perioade de o lună se numeşte dobândă mensuală, pentru o perioadă

de trei luni: dobândă trimestrial ă, pentru şase luni: dobândă semestrială iar pentru o perioadă de un an: dobândă anuală.

Astfel, o dobândă anuală de 100% este proporţională cu una semestrială de 50% şi cu una trimestrială de 25%. În cazul dobânzilor compuse, dobânzile proporţionale nu produc acelaşi efect. Astfel, dacă d1 este

dobânda mensuală iar d12 este dobânda anuală avem după un an: 12

1d 100

d1SS

1

+= ,

+=100

d1SS 12

d12. Cum

12

1

d

d

12

1 = rezultă d12=12d1 de unde:

12

11d 100

d1S

100

d121SS

12

+≤

+=

unde am folosit inegalitatea lui Bernoulli: (1+a)x≥1+xa ∀x≥1 ∀a>-1. În general, fie dn procentul de dobândă pentru o perioadă de n unităţi de timp şi dm procentul de dobândă pentru o perioadă de m unităţi de timp. Dacă [m,n] este cel mai mic multiplu comun al numerelor m

şi n, avem după [ ]

n

n,m perioade Sn=

[ ]n

n,m

n

100

d1S

+ iar după [ ]

m

n,m perioade de timp:Sm=

[ ]m

n,m

m

100

d1S

+ .

Deoarece m

n

d

d

m

n = rezultă dm=n

mdn . Obţinem deci Sm=

[ ]m

n,m

n

n

m

100

d1S

+ . Fie n

m=α. Atunci:

Sm=

[ ]m

n

n

n,m

n

100

d1S

α+ =

[ ]α

α+1

n

n,m

n

100

d1S . Dacă acum m≥n rezultă α≥1 deci, cu inegalitatea Bernoulli:

Snα=

[ ]α

+n

n,m

n

100

d1S ≥

[ ]n

n,m

n

100

d1S

α+ =Smα. De aici: Sn≥Sm. Am obţinut deci următorul rezultat:

Propoziţie Două dobânzi proporţionale produc efecte inverse în raport cu numărul de luni la care se calculează.

Definiţie Două dobânzi se numesc echivalente dacă ele conduc la aceeaşi sumă finală în cazul dobânzii

compuse.

Astfel în cazul general de mai sus, avem:

[ ]n

n,m

n

100

d1S

+ =

[ ]m

n,m

m

100

d1S

+ de unde:

m

n

100

d1

+ =n

m

100

d1

+

sau altfel:



1100

d1

100

dn

m

nm −

+=

În cazul particular n=1 şi m=12 (cu convenţia xx1 = ∀x∈R) rezultă:

1100

d1

100

d12

112 −

+=

Fie acum o sumă S plasată cu dobânda d pe an în două perioade egale. După primul semestru, vom

avea suma S1=S

+200

d1 , iar după a doua: S2=S

2

200

d1

+ . Dobânda rezultată va fi deci:

D=S

SS2 −=

2

200

d1

+ -1=2

2

200

d

200

d2 + de unde:

d’=100D=d+400

d2

Astfel, pentru d=50% obţinem: d’=56,25%. Definiţie

Dobânda d se numeşte dobândă nominală iar d’ se numeşte dobândă reală sau efectivă. Fie deci acum n perioade de timp în care împărţim un an şi d: dobânda nominală iar d’: dobânda

efectivă. Avem: S1=Sn

n100

d1

+ =S

+100

'd1 de unde:

d’=100

−

+ 1n100

d1

n

care reprezintă dobânda efectivă în funcţie de dobânda nominală. De asemenea, din aceeaşi formulă, avem:

d=100n

−+ 1

100

'd1n

care reprezintă dobânda nominală în funcţie de cea efectivă.

LECŢIA 2

OPERAŢIUNI DE SCONT

Pasul 1 - Generalităţi Definiţie

Scontul reprezintă operaţiunea de cumpărare de către o bancă comercială a unei poliţe înainte de termenul limită de scadenţă a acesteia în schimbul unui comision. De asemenea, scontul mai reprezintă şi diminuarea unor datorii atunci când acestea se achită în avans (de exemplu atunci când în cazul unui credit, debitorul achită o rată mai mare decât cea prevăzută).

Pasul 2 - Scontul simplu

Fie suma S0 împrumutată cu dobânda d pe o perioadă de n ani (luni) de la creditorul C1. La momentul n1<n, creditorul C1 doreşte încasarea sumei Sf pe care trebuia să o primească la sfârşitul celor n ani adică Sf=S0(1+nd). În acest caz, el se adresează băncii C2 care îi va rambursa suma din care va scădea o taxă T. Aceasta, va prelua poliţa şi îi va da creditorului C1 suma Sf-T. La momentul de timp n1 poliţa iniţială are o valoare S1 – numită valoare finală la scontare, iar suma de plecare după reţinerea comisionului - Ssc se va numi valoare scontată. Diferenţa S=Sf-Ssc se numeşte taxă de scont (sau simplu, scont).

Să presupunem că banca C2 aplică o dobândă simplă valorii scontate. Fie aceasta „s”. În perioada de scontare, C2 va obţine suma:

Sf=Ssc(1+s(n-n1))

de unde rezultă că scontul este: Ss=Sf-Ssc=Sf-)nn(s1

S

1

f

−+=

)nn(s1

)nn(sS

1

1f

−+−

=



)nn(s1

)nn(s)nd1(S

1

10

−+−+

- numit scont simplu (sau scont simplu raţional).

Relaţia se mai poate scrie şi sub forma:

Ss=( )

2

1

2

11f

)nn(s1

)nn(s1)nn(sS

−−−−−

=2

1

2

2

1

2

f1f

)nn(s1

)nn(sS)nn(sS

−−−−−

şi cum s2 este foarte mic se poate considera că s2(n-

n1)2≈0 de unde: Sc= )nn(sS 1f − = )nn(s)nd1(S 10 −+ - numit scont simplu comercial. Dacă vom calcula

diferenţa Sc-Ss= )nn(sS 1f − -)nn(s1

)nn(sS

1

1f

−+−

=)nn(s1

)nn(sS)nn(sS)nn(sS

1

1f

2

1

2

f1f

−+−−−+−

=)nn(s1

)nn(sS

1

2

1

2

f

−+−

>0

observăm că scontul comercial este mai mare decât cel simplu, avantajând, în mod evident, creditorul C2. Din relaţiile de mai sus, rezultă imediat că valoarea scontată este:

• Ssc=Sf-Ss=Sf-)nn(s1

)nn(sS

1

1f

−+−

=)nn(s1

S

1

f

−+=

)nn(s1

)nd1(S

1

0

−++

în cazul scontului simplu şi

• Ssc=Sf-Ss=Sf- )nn(sS 1f − = ( ))nn(s1S 1f −− = ( ))nn(s1)nd1(S 10 −−+ în cazul scontului comercial.

Se observă că în cazul scontului comercial, durata de scontare n-n1 trebuie să satisfacă condiţia 1-

s(n-n1)>0 adică: n-n1<s

1 altfel obţinând o valoare nepozitivă pentru valoarea scontată (imposibil din punct de

vedere practic). Revenind acum, după n1 ani avem S1=S0(1+n1d) şi Sf=S0(1+nd). Din formulele de mai sus deducem:

• Ssc=)nn(s1

S

1

f

−+=

)nn(s1

)nd1(S

1

0

−++

= ( ))nn(s1)dn1(

)nd1(S

11

1

−+++


• Ssc= ( ))nn(s1S 1f −− = ( ))nn(s1)nd1(S 10 −−+ =( )

dn1

)nn(s1)nd1(S

1

11

+−−+

în cazul scontului comercial

Prin urmare avem:

• Ssc-S1= ( ))nn(s1)dn1(

)nd1(S

11

1

−+++

-S1=( )

( ))nn(s1)dn1(

)nn(s1)dn1()nd1(S

11

111 −++

−++−+= ( ))nn(s1)dn1(

)dsnsd)(nn(S

11

111 −++

−−−


• Ssc-S1=( )

dn1

)nn(s1)nd1(S

1

11

+−−+

-S1=( )

dn1

dn1)nn(s1)nd1(S

1

111 +

−−−−+=

dn1

)ndssd)(nn(S

1

11 +

−−− în cazul scontului comercial.

Pentru a avea deci Ssc<S1 va trebui ca:

• s>dn1

d

1+ în cazul scontului simplu şi

• s>nd1

d

+ în cazul scontului comercial.

Pasul 3 - Scontul compus Fie suma S0 împrumutată cu dobânda d pe o perioadă de n ani (luni) de la creditorul C1. La

momentul n1<n, creditorul C1 doreşte încasarea sumei Sf pe care trebuia să o primească la sfârşitul celor n ani adică Sf=S0(1+d)n. În acest caz, el se adresează băncii C2 care îi va rambursa suma din care va scădea o taxă T. Aceasta, va prelua poliţa şi îi va da creditorului C1 suma Sf-T. La momentul de timp n1 poliţa iniţială are o valoare S1 –valoarea finală la scontare, iar suma de plecare după reţinerea comisionului - Ssc este valoarea scontată. Notăm, de asemenea, S=Sf-Ssc - taxa de scont.

Să presupunem acum că banca C2 aplică o dobândă compusă valorii scontate. Fie aceasta „s”. În perioada de scontare, C2 va obţine suma

Sf=Ssc( ) 1nns1 −+

de unde rezultă că scontul este: Ss=Sf-Ssc=Sf- ( ) 1nnf

s1

S−+

=( )( )( ) 1

1

nn

nn

f

s1

1s1S−

−

+−+

= ( )( )

( ) 1

1

nn

nnn

0

s1

1s1)d1(S−

−

+−++

. Dacă

notăm u=s1

1

+ - numit factor de scont, obţinem: Sr= ( )1nn

f u1S −− = ( )1nnn

0 u1)d1(S −−+ - numit scont compus

(sau scont compus raţional). Considerând dezvoltarea binomială:



( ) ...s2

)1m(mms1s1 2m +−++=+ rezultă că relaţia de mai sus devine (după neglijarea puterilor≥2):

Sc=( )( )( ) 1

1

nn

nn

f

s1

1s1S−

−

+−+

= ( )

+− − 1nnf

s1

11S =

+−−−+−+−

...s2

)1nn)(nn(s)nn(1

11S

2111

f =

−+−

s)nn(1

11S

1

f =

s)nn(1

s)nn(S

1

1f −+

−=

s)nn(1

s)nn()d1(S

1

1

n

0 −+−+

- numit scont compus comercial.

Se observă că scontul compus comercial are acceaşi valoare ca şi scontul simplu raţional. Din relaţiile de mai sus, rezultă imediat că valoarea scontată este:

• Ssc=Sf-Sr=Sf- ( )1nn

f u1S −− = 1nn

f uS − = 1nnn

0 u)d1(S −+ în cazul scontului compus raţional şi

• Ssc=Sf-Sc=Sf-)nn(s1

)nn(sS

1

1f

−+−

=)nn(s1

S

1

f

−+=

)nn(s1

)d1(S

1

n

0

−++

în cazul scontului compus comercial.

Revenind acum, după n1 ani avem S1=S0 ( ) 1nd1+ şi Sf=S0(1+d)n.

Din formulele de mai sus deducem: • Ssc= 1nnn

0 u)d1(S −+ = 11 nnnn

1 u)d1(S −−+ în cazul scontului raţional şi

• Ssc=)nn(s1

)d1(S

1

n0

−++

=)nn(s1

)d1(S

1

nn

11

−++ −

în cazul scontului commercial

LECŢIA 3

PLĂŢI EŞALONATE (RENTE)

Pasul 1 - Generalităţi Definiţii

Prin plată eşalonată sau rentă se înţelege o sumă de bani plătită la intervale de timp egale. Dacă plata este anuală se numeşte anuitate, dacă este semestrială: semestrialitate, trimestrială: trimestrialitate iar lunară: mensualitate.

Rentele se pot face fie în vederea constituirii unor sume numite plăţi de plasament sau plăţi de fructificare , fie pentru rambursarea unor datorii către diverşi creditori în care caz se numesc plăţi de rambursare sau de amortizare.

Plăţile efectuate la începutul perioadei se numesc anticipate iar cele de la sfârşitul perioadei posticipate.

Plăţile mai pot fi temporare atunci când numărul lor este finit, perpetue dacă numărul acestora este infinit şi viagere dacă numărul acestora este finit dar limitat de viaţa persoanei.

De asemenea, plăţile mai pot fi constante sau variabile.

Pasul 2 - Mensualităţi. Anuit ăţi Toate rezultatele prezentate în continuare sunt valabile atât pentru mensualităţi, cât şi pentru anuităţi (cu simpla înlocuire a termenului de lună cu cel de an şi a dobânzilor corespunzătoare). I. Valoarea finală a unui şir de mensualităţi temporare

Fie o perioadă de n luni, dobânzile unitare i1,i2,...,in corespunzătoare lunilor 1,2,...,n şi A1,A2,...,An mensualităţile acestor perioade. Fie, de asemenea, S valoarea finală a acestui şir de mensualităţi şi ε∈[0,1] fracţiunea din an la care se plăteşte mensualitatea. Vom nota cu uk=1+ik – factorul de fructificare

corespunzător dobânzii ik, k= n,1 . A 1

i 1 i 2

ε0 1 2εA 2 . . . . . .

i p i p + 1

p - 1 p + 1pε εA p A p + 1

i n

nn - 1 εA n

Avem:

(1) S=A1u11-εu2u3...un+A2u2

1-εu3...un+...+Apup1-εup+1...un+...+Anun

1-ε În condiţiile mensualităţilor constante, avem: A1=A2=...=An=A de unde: (2) S=A(u1

1-εu2u3...un+u21-εu3...un+...+up

1-εup+1...un+...+un1-ε)

Dacă dobânzile şi mensualităţile sunt constante, avem şi u1=u2=...=un=u de unde:



(3) S=A(un-ε+un-ε-1+...+un-ε-p+...+u1-ε)=Au1-ε

i

1un −

Pentru mensualităţi anticipate, avem ε=0 de unde:

(4) S=Aui

1un −

iar pentru posticipate, ε=1:

(5) S=Ai

1un −

Dacă dobânzile au o tendinţă de variaţie de r% lunar (r>0 – creştere, r<0 – descreştere), atunci avem

up+1=up⋅(1+100

r), p= 1n,0 − de unde:

(6) up=u1⋅(1+100

r)p-1, p= n,1

Să notăm pentru simplificare 1+100

r=s.

Din (1) şi (6) rezultă:

S= ε−−−

=

−ε−− +∑ 11n

1n

1n

1p

1n

1

p

1

11p

1p )su(Asu...su)su(A = )1)(1n(1

1n

1n

1p

)1n(...p)1)(1p(1pn

1p suAsuA ε−−ε−−

=

−+++ε−−ε−+− +∑ =

∑=

ε+−−−−−ε−− n

1p

2

)22p)(1p()1p(

1p

n

12

n)1n(

suAus = ∑=

ε+−ε−+−ε+− n

1p 2

)23p(pp

1

p1n

1

12

n)1n(

su

Aus = ∑

=ε+−

ε−+ε++− n

1p 2

)23p(pp

1

p1n

12

)1n)(2n(

su

Aus .

Avem deci:

(7) S= ∑=

ε+−ε−+ε++− n

1p 2

)23p(pp

1

p1n

12

)1n)(2n(

su

Aus

Dacă mensualităţile sunt constante, avem: A1=A2=...=An=A de unde:

(8) S= ∑=

ε+−ε−+ε++− n

1p 2

)23p(pp

1

1n

12

)1n)(2n(

su

1uAs


(9) S= ∑=

−+

+− n

1p 2

)3p(pp

1

1n

12

)1n)(2n(

su

1uAs


(10) S= ∑=

−

− n

1p 2

)1p(pp

1

n

12

n)1n(

su

1uAs

În cazul constituirii depozitului la k luni de la data formulării problemei, în toate formulele mai sus-menţionate se consideră în loc de n valoarea n-k. Dacă vom considera r=0 avem s=1 şi formulele (9) şi (10) devin (4), respectiv (5). II. Valoarea actuală a unui şir de mensualităţi temporare

Ne interesează acum problema inversă. Pentru constituirea unui şir de mensualităţi ce urmează a fi încasate după o perioadă de k luni de la constituire timp de n luni, care este suma ce trebuie depusă la momentul iniţial ?

Fie vk=ku

1 - factorul de actualizare corespunzător lui uk, k= n,1 .

Avem: 1-vk=1-ku

1=

k

k

u

1u −=

k

k

u

i=ivk. Pentru constituirea sumei S avem S=Sk+1+Sk+2+...+ Sn unde Sp

reprezintă depozitul iniţial constituit pentru retragerea mensualităţii A p. Suma iniţială Sp produce până la

momentul p+ε o sumă totală Ap=Spu1u2...up-1upε de unde: Sp= ε

− p1p21

p

uu...uu

A=Apv1v2...vp-1vp

ε.

Obţinem deci:

(11) S=∑+=

ε−

n

1kpp1p21p vv...vvA

În condiţiile mensualităţilor constante, avem: Ak+1=...=An=A de unde:

(12) S=A∑+=

ε−

n

1kpp1p21 vv...vv



Dacă dobânzile şi mensualităţile sunt constante, avem şi u1=u2=...=un=u de unde:

(13) S=i

v1Av

1v

1vAvvA

kn1k

knk

n

1kp

1p−

−ε+−

ε+

+=

ε+− −=−

−=∑


(14) S=i

v1Av

kn1k

−− −


(15) S=i

v1Av

knk

−−

În cazul plăţilor imediate, avem k=0 şi este normal ca să presupunem că plata este posticipată (deci ε=1) şi suma ce trebuie constituită este:

(16) S=i

v1A

n−

Dacă plata mensualităţilor va fi perpetuă, obţinem din formulele (15) şi (16) trecând la limită pentru n→∞:

(15’) S=i

Av k

respectiv:

(16’) S=i

A

Dacă dobânzile au o tendinţă de variaţie de r% lunar (r>0 – creştere, r<0 – descreştere), atunci avem

up=u1⋅sp-1, p= n,1 de unde: vp=v1s1-p. Din formula (11) rezultă:

(17) S= ∑∑+=

ε+−−

ε+−

+=

ε−−− =n

1kp 2

)22p)(1p(

1p

1p

n

1kp

p1

1

p2

1

1

11p

s

vA)sv(sv...svvA

Dacă mensualităţile sunt constante, avem: Ak+1=...=An=A de unde:

(18) S= ∑+=

ε+−−

ε+−n

1kp 2

)22p)(1p(

1p

1

s

vA


(19) S= ∑+=

−−

−n

1kp 2

)2p)(1p(

1p

1

s

vA


(20) S= ∑+=

−

n

1kp 2

p)1p(

p

1

s

vA

Pasul 3 - Împrumuturi Definiţie

Împrumutul reprezintă o sumă de bani primită în schimbul rambursării ei prin anuităţi (mensualităţi) constante formate din rata curentă (constantă sau nu) numită amortisment şi dobânda asupra restului de plată. Fie deci S suma împrumutată, S1,...,Sn anuităţile succesive, A1,...,An amortismentele succesive, R0,...,Rn resturile de plată după fiecare rată, i1,...,in dobânzile unitare ale împrumutului (în condiţiile unei economii inflaţioniste, dobânzile pot varia chiar lunar) şi n numărul de ani (perioade de timp) pentru rambursare.

Pentru organizarea calculelor, vom întocmi un tabel de forma: Momentul de timp Anuitatea Suma rămasă de plată

0 - R0=S 1 S1=A1+R0i1 R1=R0-A1 2 S2=A2+R1i2 R2=R1-A2 ... ... ... k Sk=Ak+Rk-1ik Rk=Rk-1-Ak

k+1 Sk+1=Ak+1+Rkik+1 Rk+1=Rk-Ak+1 ... ... ... n Sn=An+Rn-1in Rn=Rn-1-An=0

Avem în mod evident S=A1+...+An. De asemenea: Sk+1-Sk=Ak+1-Ak+Rkik+1-Rk-1ik=Ak+1-Ak+Rk-1ik+1-Akik+1-Rk-1ik=



Ak+1-Ak(1+ik+1)+Rk-1(ik+1-ik) Rk=Rk-1-Ak=Rk-2-(Ak-1+Ak)=...=S-(A1+...+Ak), k=1,...,n

Dacă amortismentele sunt constante: A1=...=An=n

S atunci: Rk=S-k

n

S= S

n

kn − de unde:

Sk+1-Sk=n

S-

n

S(1+ik+1)+S

n

1kn +−(ik+1-ik)= S

n

i)1kn(i)kn( k1k +−−− +

Dacă dobânda este constantă i, avem: Sk+1-Sk=-Sn

i deci anuităţile formează o progresie aritmetică

descrescătoare cu raţia -Sn

i.

Dacă anuităţile sunt constante, avem S1=...=Sn de unde: Ak+1=Ak(1+ik+1)-Rk-1(ik+1-ik)

Dacă dobânda este constantă i avem: Ak+1=Ak(1+i) de unde: Ak=A1(1+i)k-1

deci amortismentele formează o progresie geometrică cu raţia 1+i. În cazul anuităţilor constante avem:

[ ]

∑ ∑∑∑

∑ ∑∑∑

=

−

=−

=−

=−

=−

−

=−

=−−−

=

−+−−++

=

−

−−++=−−++==

n

2k

2k

1pp1kk

n

2k1kk

n

2kk1k1

n

2k1kk

2k

1ppk1k1

n

2k1kk2kk1k1

n

1kk

A)ii()ii(S)i1(AA

)ii(AS)i1(AA)ii(R)i1(AAAS

Dacă dobânda este constantă “i” avem: S= ∑=

− ++n

2kk1k1 )i1(AA şi cum An=A1(1+i)n-1 rezultă:

S=A1i

1)i1( n −+ sau altfel: A1=S

1)i1(

in −+

.

Suma totală de plată după p anuităţi este:

Stot=∑=

p

1kkS =∑

=−+

p

1kk1kk )iRA( =∑

=

P

1kkA +∑

=−

p

1kk1k iR =∑

=

P

1kkA +Si1+∑ ∑

=

−

=

−

p

2kk

1k

1rr iAS =S∑

=

p

1kki +

A1+∑ ∑=

−

=

−

p

2k

1k

1rkrk iAA .

Dacă amortismentele sunt egale, avem:

Stot=S∑=

p

1kki +

n

S+∑ ∑

=

−

=

−p

2k

1k

1rkin

S

n

S=S

+−+∑=

p

1kkin

1kn

n

p

Dacă dobânzile sunt constante şi egale cu i, avem:

Stot=S

+−+∑=

p

1k

in

1kn

n

p=S

−+ ∑∑

−

==

pn

1k

n

1k

kkn

i

n

p=

S

+−−−++2

)1pn)(pn(

2

)1n(n

n

i

n

p=

n2

S [2p+i(2np-p2+p)].

La sfârşitul perioadei de plată avem (pentru p=n):

Sfinală=S

++2

1ni1

Suma rămasă de plată după plata a p anuităţi se constituie ca diferenţă între suma totală de plată la sfârşitul perioadei şi cea totală după anuitatea p.

REZUMAT

Problemele de matematici financiare se regăsesc, de regulă, în actvitatea bancară sau în cea a caselor

de asigurări, pensii etc.

Metodele de calcul al dobânzilor (simplă sau compusă) se întrepătrund în practica economică fiind

adaptate sau adaptabile necesităţilor şi exigenţelor firmei.

Calculul anuităţilor (mensualităţilor) apare pregnant astăzi, fiind util oricărui cetăţean, nu numai

economiştilor, pentru determinarea valorii finale a unui depozit depus regulat sau a determinării unei rate de

rambursare periodică sau nu.



Modul de calcul al împrumuturilor este deosebit de util în orice societate ce practică un astfel de

sistem de cumpărare.

CONCLUZII

Studiind acest modul aţi dobândit cunoştinţe referitoare la modul de calcul al dobânzilor, la

determinarea anuităţilor sau mensualităţilor. Aţi învăţat despre dobânda simplă şi cea compusă, despre

împrumuturi cu rate egale sau descrescătoare.

EXEMPLE ILUSTRATIVE

1. O persoană doreşte să cumpere un televizor în valoare actuală de 4.000.000 lei. Ea doreşte să depună la bancă o sumă de bani cu dobândă simplă pentru ca peste 6 luni să poată achiziţiona produsul. Care va fi suma de bani ce trebuie depusă dacă dobânda băncii este de 50% pe an?

Soluţie Avem St=4.000.000 lei, t=0,5 ani, iar i=100

50=0,5. Avem S=

it1

St

+= 3.200.000 lei.

2. O persoană depune la bancă suma de 1.000.000 lei cu dobândă compusă de 50% pe an. Ce sumă va avea persoana după 3 ani şi 7 luni în cazul în care se aplică pentru fracţiunea de an soluţia comercială? Care este dobânda corespunzătoare întregii perioade?

Soluţie Avem S=1.000.000 lei, i=100

50=0,5 şi n=3 ani, m=12 luni iar k=7 luni. Obţinem deci suma totală:

St=Sun m

k

u =4.275.567 lei. Dobânda D=St-S=3.275.567 lei. 3. Fie o dobândă trimestrială de 15%. Să se calculeze dobânda reală corespunzătoare dobânzii nominale

date.

Soluţie Avem d=15 şi n=4. Din formula d’=100

−

+ 1n100

d1

n

⇒ d’=15,87%.

4. Fie o anuitate de 1.000.000 lei pe o perioadă de 3 ani, cu dobânda anuală de 50%, achitabilă la începutul fiecărui an. Dacă plata începe după 1 an care este valoarea finală a şirului de anuităţi constituite?

Soluţie Avem S=1.000.000 lei, n=3, d=50, p=1 iar ε=0. Deoarece u=1+100

d=1,5, din formula S=Au1-

ε

i

1u pn −−

rezultă S=3.750.000 lei.

5. O persoană împrumută de la o bancă suma de 18.000 lei pe o perioadă de 10 ani cu dobândă anuală de 60%. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, lunare, să se întocmească graficul de plată pentru primele 6 luni.

Soluţie Avem S=18.000, n=120, i=12100

60

⋅=0,05. Graficul de plată este următorul:

Momentul de timp Anuitatea Suma rămasă de plată 0 - 18.000 1 1.050 17.850 2 1.042,5 17.700 3 1.035 17.550 4 1.027,5 17.400 5 1.020 17.250 6 1.012,5 17.100




67. Dragomir, A., Dragomir, P., Structuri algebrice, Timişoara, Editura Facla, 1981; 68. Fadeev, D., Sominsky, I., Recueil d'exercices d'algebre superieure, Mir Moscou, 1980; 69. Ikramov, H. D., Linear Algebra-Problems book, Mir Moscow, 1983; 70. Ioan, C. A., Matematici aplicate în economie, Bucureşti, EDP, 2004; 71. Ioan, C. A., Matematică - I, Galaţi, Editura Sinteze, 2006; 72. Ion, D. I., Niţă, C., Radu, N., Popescu, D., Probleme de algebră, Bucureşti, E.D.P., 1981;



73. Ion ,D. I., Radu, N., Algebră, Bucureşti, Bucureşti, E.D.P., 1991; 74. Kurosh, A., Higher Algebra, Editura Mir Moscow, 1984; 75. Lang, S., Algebra, Addison-Wesley, 1971; 76. Năstăsescu, C., Ţena, M., Andrei, G., Otărăşanu, I., Probleme de structuri algebrice, Bucureşti, Editura


TESTE DE AUTOEVALUARE 19. Se depune la bancă suma de 565 RON astfel: pe primii 3 ani cu dobândă simpla de 19%, suma rezultată pe încă 4 ani cu dobândă compusa de 16%. Care este suma S rezultată la sfârşitul celor 7 ani?

1. S=1613 RON 2. S=1606 RON 3. S=1607 RON 4. S=1610 RON

20. O persoană doreşte să constituie un depozit de bani depunând lunar, posticipat, suma de 488 RON cu dobândă anuală de 17%. Care este suma S rezultată după 5 luni?


19. Se depune la bancă suma de 553 RON astfel: pe primii 2 ani cu dobândă compusa de 19%, suma rezultată pe încă 3 ani cu dobândă simpla de 19%. Care este suma S rezultată la sfârşitul celor 5 ani?




19. Se depune la bancă suma de 508 RON astfel: pe primii 3 ani cu dobândă simpla de 17%, suma rezultată pe încă 4 ani cu dobândă compusa de 15%. Care este suma S rezultată la sfârşitul celor 7 ani?




TEMĂ DE CONTROL

1. O persoană depune la bancă suma de 1000 euro cu dobândă compusă (capitalizată) de 50% pe an. Ce sumă va avea persoana după 5 ani ? Care este dobânda corespunzătoare acestei perioade? 2. Considerând dobânda trimestrială d3=10% să se determine dobânzile proporţionale mensuale, semestriale şi anuale. 3. Fie un depozit de 300 euro cu dobânda trimestrială de 5% şi un alt depozit de aceeaşi valoare cu dobânda anuală proporţională. Să se calculeze diferenţa de dobândă între cele două depozite pe o perioadă de 2 ani. 4. Fie o dobândă trimestrială de 12%. Să se calculeze dobânda reală corespunzătoare dobânzii nominale date. 5. Fie o anuitate posticipată de 1500 euro pe o perioadă de 20 ani, cu dobânda anuală de 10%. Dacă plata începe imediat care este valoarea finală a şirului de anuităţi constituite? 6. O persoană doreşte să constituie un depozit de bani astfel încât după o perioadă de 20 ani să poată retrage timp nelimitat suma de 800 euro anual. Dacă dobânda anuală este de 20% iar depunerea se face la începutul fiecărui an, care este suma pe care trebuie să o depună la acest moment? 7. O persoană împrumută de la o bancă suma de 200 euro pe o perioadă de 20 ani cu dobândă anuală de 16%. Dacă rambursarea se face cu amortismente egale, lunare, să se calculeze suma totală de plată până la sfârşitul perioadei.

19035028 a Aplicata in Economie

Documents

Transcript of 19035028 a Aplicata in Economie