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172 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
Ası, f n → f puntualmente en X cuando, dados ε > 0 y x ∈ X existe n0 (que depende de ε y de x) tal que n > n0 ⇒ |f n(x) −f (x)| < ε.
Graficamente, en cada recta vertical que pasa por un punto x ∈X queda determinada una sucesion de puntos (x, f 1(x)), . . . , (x, f n(x)), . . .las intersecciones de dicha recta con los graficos de f 1, . . . , f n. Estospuntos convergen a (x, f (x)), la interseccion de la recta vertical conel grafico de f .
Ejemplo 1. La sucesion de funciones f n : R → R, donde f n(x) =x/n converge puntualmente a la funcion f : R → R identicamentenula. En efecto, para cada x, se tiene lım
n→∞(x/n) = 0.
Un tipo de convergencia de funciones, mas fuerte que la con-vergencia puntual, es la convergencia uniforme, que definimos acontinuacion.
Una sucesion de funciones f n : X → R converge uniformemente
a una funcion f : X → R cuando, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N(que depende exclusivamente de ε) tal que n > n0
⇒ |f n(x)
−f (x)
|ε
se cual fuere x ∈ X .
En el plano R2, dado ε > 0, la banda de radio ε alrededor delgrafico de f es el conjunto
F (f ; ε) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ X, f (x) − ε < y < f (x) + ε} .
Decir que f n → f uniformemente en X significa que, para todoε > 0, existe n0 ∈ N tal que el grafico de f n esta contenido en labanda de radio ε alrededor de f para todo n > n0.
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Seccion 1 Convergencia puntual y convergencia uniforme 173
f nf
x
}ε
}ε
Fig. 10 - El grafico de f n esta contenido en la bandaF (f ; ε).
Ejemplo 2. Nunguna banda de radio ε alrededor del eje de abscisas(grafico de la funcion identicamente nula) contiene al grafico de
cualquier funcion f n : R → R, f n = x/n. Luego la sucesion (f n) delEjemplo 1 no converge uniformemente a la funcion identicamentenula. Por otra parte, si X ⊂ R es un conjunto acotado, supongamosque |x| ≤ c para todo x ∈ X , entonces f n → 0 uniformementeen X . En efecto, dado ε > 0, basta tomar n0 > c/ε. Entoncesn > n0 ⇒ |f n(x)| = |x|/n < c/n0 < ε.
Ejemplo 3. La sucesion de funciones continuas f n : [0, 1] → R,f n(x) = xn, converge puntualmente a la funcion discontinua f :[0, 1] → R, f (x) = 0 si 0 ≤ x < 1, f (1) = 1. La convergencia es
uniforme en cada intervalo de la forma [0, 1 − δ ], 0 < δ < 1, perono es uniforme en [0, 1]. Estas dos afirmaciones son consecuencia depropiedades generales (a saber, los Teoremas 1 y 2 de abajo), perose pueden probar facilmente a partir de la definicion. En efecto,si escribimos a = 1 − δ , tenemos 0 < a < 1, luego lım
n→∞an = 0.
Dado ε > 0, sea n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ an < ε. Entoncesn > n0 ⇒ 0 < f n(x) < an < ε para todo x ∈ [0, a]. Por tantof n → 0 uniformemente en el intervalo [0, 1 − δ ]. Por otra parte, sitomamos ε = 1/2 afirmamos que, sea cual fuere n0 ∈ N, existenpuntos x ∈ [0, 1] tales que |f n0(x) − f (x)| ≥ 1/2, o sea, xn0 ≥1/2. Basta observar que lım
x→1−
xn = 1. Luego existe δ > 0 tal que
1 − δ < x < 1 ⇒ xn0 > 1/2. Esto demuestra que f n no convergeuniformemente a f en el intervalo [0, 1].
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174 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
y
= x
y = x
2
y =
x 3
y =
x 4
Fig. 11 - Las funciones f n(x) = xn convergen puntual-
mente en el intervalo [0, 1] a una funcion discontinua.
Ejemplo 4. La sucesion de funciones continuas f n : [0, 1] → R,f n(x) = xn(1
−xn), converge puntualmente a la funcion identica-
mente nula. Esta convergencia no es uniforme. En efecto, para todon ∈ N tenemos f n( n
1/2) = 1/4. Luefo, si ε = 1/4, ninguna fun-
cion f n tiene su grafico contenido en la banda de radio ε alrededorde la funcion 0. Por otra parte, si 0 < δ < 1, tenemos f n → 0 uni-formemente en el intervalo [0, 1 − δ ], pues xn → 0 uniformementeen dicho intervalo y 0 ≤ xn(1 − xn) ≤ xn.
1
4
10
f 1
f 2
f 3
Fig. 12
Las consideraciones hechas en esta seccion incluyen a la sumaf =
f n de una serie de funciones f n : X → R. En este importante
caso particular se tiene f = lım sn, sn(x) = f 1(x) + · · ·+ f n(x) para
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Seccion 2 Propiedades de la convergencia uniforme 175
todo n ∈ N y x ∈ X . Ası, decir que la serie
f n converge uniforme-mente significa que la sucesion (sn) converge uniformemente, y esequivalente a afirmar que la sucesion de funciones rn : X → R (“res-tos” de la serie), definidas mediante rn(x) = f n+1(x) +f n+2(x)+ · · ·converge uniformemente a 0. En efectom basta observar que rn =
f − sn.
2. Propiedades de la convergencia uniforme
Teorema 1. Si una sucesi´ on de funciones f n : X → R converge
uniformemente a f : X → R y cada f n es continua en el punto
a ∈ X entonces f es continua en el punto a.
Demostracion: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |f n(x)−f (x)| < ε/3 para todo x ∈ X . Fijemos un numero natural n > n0.Como f n es continua en el punto a, existe δ > 0 tal que x
∈ X ,
|x − a| < δ ⇒ |f n(x) − f n(a)| < ε/3, de donde
|f (x) − f (a)| ≤ 1f n(x) − f (x)| + |f n(x) − f n(a)| + |f n(a) − f (a)|<
ε
3 +
ε
3 +
ε
3 = ε.
Lo que prueba el teorema.
Ejemplo 5. La sucesion de funciones continuas f n(x) = xn nopuede converger uniformemente en [0, 1], pues converge puntual-mente a la funcion discontinua f : [0, 1] → R, f (x) = 0 si 0 ≤x < 1, f (1) = 1. Por otra parte, la sucesion de funciones continuasf n(x) = xn(1 − xn) converge puntualmente a la funcion 0 en el in-tervalo [0, 1], que es continua, sin que esto implique la convergenciauniforme. La misma observacion se puede hacer a proposito de lasucesion de funciones continuas f n : R → R, f n(x) = x/n. De es-to trata el proximo teorema. Antes de demostrarlo, daremos unadefinicion.
Se dice que una sucesion de funciones f n : X → R, converge
mon´ otonamente a f : X → R cuando, para todo x ∈ X , la suce-sion de funciones (f n(x))n∈N es monotona y converge a f (x). Por
ejemplo, las funciones de los Ejemplos 1 y 3 convergen monotona-mente.
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176 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
Es claro que si f n → f monotonamente en X , entonces |f n+1(x)−f (x)| ≤ |f n(x) − f (x)| para todo x ∈ X y todo n ∈ N.
Teorema 2. (Dini). Si la sucesi´ on de funciones continuas f n :X → R converge mon´ otonamente a la funci´ on continua f : X → R
en un conjunto compacto X entonces la convergencia es uniforme.Demostracion: Dado ε > 0, escribimos, para cada n ∈ N, X n ={x ∈ X : |f n(x) − f (x)| ≥ ε}. Como f n y f son continuas, cadaX n es compacto. A su vez, la monotonıa de la convergencia implicaX 1 ⊃ X 2 ⊃ X 3 ⊃ · · · . Finalmente, como lım
n→∞f n(x) = f (x) para
todo x ∈ X , vemos que∞
n=1 X n = ∅. Del Teorema 9, Capıtulo 5,se deduce que algun X n0 (y por tanto todo X n tal que n > n0) esvacıo. Esto significa que n > n0 ⇒ |f n(x)−f (x)| < ε, sea cual fuerex ∈ X .
Ejemplo 6. La sucesion de funciones continuas f n : [0, 1) →
R,f n(x) = xn, converge monotonamente a la funcion (continua) identi-camente nula en el conjunto [0, 1), que no es compacto; sin embargo,la convergencia no es uniforme. En efecto, dado 0 < ε < 1, paratodo n ∈ N existen puntos x ∈ [0, 1) tales que xn > ε, ya quelımx→−1
xn = 1 > ε.
Teorema 3. (Paso al lımite bajo el signo integral). Si la
susesi´ on de funciones integrables f n : [a, b] → R converge uniforme-
mente a f : [a, b] → R entonces f es integrable y
b
a f (x)dx = lımn→∞ b
a f n(x)dx .
En otra palabras: si la convergencia es uniforme, ba
f (x)dx = lımn→∞
ba
f n.
Demostracion: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |f n(x)−f (x)| < ε/4(b − a) para todo x ∈ [a, b]. Fijemos m > n0, como f mes integrable exist una particion P tal que, si indicamos medianteωi, ω′
i las oscilaciones de f y f m, respectivamente, en el intervalo[ti−1, ti] de P , se tiene
ω′i(ti − ti−1) < ε/2. Por otra parte, para
cualesquiera x, y ∈ [ti−1, ti] se tiene:
|f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − f m(y)| + |f m(y) − f m(x)| + |f m(x) − f (x)|< ω′
i + ε
2(b − a) .
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Seccion 2 Propiedades de la convergencia uniforme 177
Por tanto, ωi < ω′i + ε/2(b − a). De donde
ωi(ti − ti−1) ≤
ω′i(ti − ti−1) + [ε/2(b − a)]
(ti − ti−1)
< ε/2 + ε/2 = ε .
Esto demuestra que f es integrable. Ademas, ba
f (x)dx − ba
f n(x)dx
=
ba
[f (x) − f n(x)]dx
≤
ba
|f (x) − f n(x)|dx
≤ (b − a)ε
4(b − a) < ε
si n > n0. En consecuencia, lımn
→∞
ba
f n(x)dx =
ba
f (x)dx.
Observacion. Si cada f n es continua la demostracion se simplificaconsiderablemente pues entonces f tambien es continua, y por tantointegrable.
Ejemplo 7. Si una sucesion de funciones integrables f n : [a, b] → R
converge puntualmente a f : [a, b] → R, puede suceder que f no seaintegrable. Por ejemplo, si {r1, r2, . . . , rn, . . .} es una enumeracionde los numeros racionales en [a, b] y definimos f n como la funcionque vale 1 en los puntos r1, r2, . . . , rn y cero en los demas puntos de[a, b], entonces f n converge puntualmente a la funcion f : [a, b] → R
tal que f (x) = 1 s i x ∈ Q ∩ [a, b] y f (x) = 0 s i x es racional.Evidentemente, cada f n es integrable, y sin embargo f no lo es.
Ejemplo 8. Incluso cuando una sucesion de funciones integrablesf n : [a, b] → R converge puntualmente a una funcion integrable
f : [a, b] → R, puede suceder que lımn→∞
ba
f n(x)dx = ba
f (x)dx.
Por ejemplo, para cada n ∈ N, sea f n : [0, 1] → R definida comof n(x) = nxn(1 − xn). Entonces f n(1) = 0 y 0 ≤ f n(x) < nxn si 0 ≤x < 1. Ahora bien, lım
n→∞nxn = 0 si 0 ≤ x < 1. Por tanto f n converge
puntualmente en [0, 1] a la funcion identicamente nula. Ademas 10
f n(x)dx = n2/(n + 1)(2n + 1); por tanto lımn→∞
b0
f n(x)dx = 1/2
y sin embargo 10
f (x)dx = 0.
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178 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
Para que se verifique que la derivada del lımite sea igual al lımitede las derivadas, en vez de suponer que f n converge uniformemen-te, se tiene que postular que la sucesion de las derivadas converjauniformemente.
Teorema 4. (Derivacion termino a termino). Sea (f n) una sucesi´ on de funciones de clase C 1 en el intervalo [a, b]. Si la sucesi´ on
formada por los n´ umeros (f n(c)) converge para alg´ un c ∈ [a, b] y
las derivadas f ′n convergen uniformemente a una funci´ on g en [a, b],entonces (f n) converge uniformemente a una funci´ on f , de clase C 1,
tal que f ′ = g en [a, b]. En resumen: (lım f n)′ = lım f ′n siempre que
las derivadas f ′n converjan uniformemente.
Demostracion: Por el Teorema Fundamental del Calculo, paracada n ∈ N y todo x ∈ [a, b], tenemos f n(x) = f n(c) +
xc
f ′n(t)dt.Si hacemos n
→ ∞, vemos por el Teorema 3, que existe f (x) =
lımn→∞
f n(x) y que f (x) = f (c) + x
c g(t)dt. Ademas, por el Teorema
1, g es continua, luego (de nuevo por el Teorema Fundamental delCalculo) f es derivable y f ′(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b]. Enparticular, f ′ es continua, esto es, f es de clase C 1. Solo nos faltaprobar que la convergencia f n → f es uniforme. Ahora bien,
|f n(x) − f (x)| ≤ |f n(c) − f (c)| +
xc
|f ′n(t) − g(t)|dt .
Como f ′n → g uniformemente, resulta que f n → f uniformemente.
Ejemplo 9. La sucesion de funciones f n(x) = sen(nx)/n conver-ge uniformemente cero en toda la recta. Sin embargo la sucesi onf ′n(x) = cos(nx) no converge, ni tal siquiera puntualmente, enningun intervalo. (Todo intervalo contiene algun numero de la for-ma x = mπ/p, con m, p enteros, luego cos(nx) alcanza infinitasveces los valores 1 y −1.
En el caso de una serie
f n los teoremas anteriores se formulancomo sigue:
1. Si
f n converge uniformemente a f y cada f n es continua en elpunto a entonces f es continua en el punto a.
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Seccion 2 Propiedades de la convergencia uniforme 179
2. Si cada termino f n : X → R es una funcion continua tal quef n(x) ≥ 0 para todo x ∈ X , y la serie
f n converge a una
funcion continua f : X → R en el compacto X , entonces laconvergencia es uniforme.
3. Si cada f n : [a, b] → R es integrable y
f n converge uniforme-mente a f : [a, b] → R, entonces f es integrable y
ba
f n(x)dx = b
a f (x)dx.
4. Si cada f n : [a, b] → R es de clase C 1,
f ′n converge uniforme-mente en [a, b] y
f n(c) converge para algun c ∈ [a, b], enton-
ces
f n converge uniformemente a una funcion de clase C 1 y(
f n)′ =
f ′n.
Ejemplo 10. La serie
∞n=0 x2/(1 + x2)n, cuyos terminos son fun-
ciones continuas definidas en toda la recta, converge a la suma 1+ x
2
para todo x = 0. En el punto x = 0 todos los terminos de la serieson nulos, luego la suma es cero. De donde la serie dada convergepuntualmente en toda la recta; sin embargo, la convergencia no esuniforme, pues la suma es una funcion discontinua.
El teorema basico sobre convergencia de series de funciones,enunciado a continuacion, no tiene analogo para sucesiones.
Teorema 5. (Criterio de Weiertrass). Dada la sucesi on de
funciones, f n : X → R, sea
an una serie convergente de n´ umeros
reales an ≥ 0 tales que |f n(x)| ≤ an para todo n ∈ N y xd ∈ X .En estas condicionesm las series
|f n| y
f n son uniformemente
convergentes.
Demostracion: Por el criterio de comparacion, para todo x ∈ X la serie
|f n| (y por tanto la serie
f n) es convergente. Dadoε > 0, existe n0 ∈ N tal que
n>n0
an < ε. Escribiendo
Rn(x) =k>n
|f n(x)| y rn(x) =k>n
f n(x) ,
se tiene inmediatamente que |rn(x)| ≤ Rn(x) ≤ k>n ak < ε paratodo n > n0 luego
|f n| y
f n son uniformemente convergentes.
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180 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
3. Series de potencias
Las funciones mas importantes del Analisis se pueden escribircomo sumas de series de la forma:
f (x) = ∞n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + · · · + an(x − x0)n + · · · .
Estas series, que son la generalizacion natural de los polinomios,se llaman series de potencias .
Para simplificar la notacion, preferimos tratar el caso en quex0 = 0, esto es, series de la forma
∞n=0
anxn = a0 + a1x + · · · + anxn + · · · .
El caso general se reduce a este haciendo el cambio de varia-bles y = x − x0. Ası, los resultados que obtengamos para las series
anxn se pueden adaptar facilmente al caso∞
n=0 an(x − x0)n.
La primera propiedad destacable sobre la serie de potencias∞n=0 an(x − x0)n es que el conjunto de valores de x para los que
esta converge es un intervalo centrado en x0. Dicho intervalo puedeser acotado (abierto, cerrado o semiabierto), igual a R, o simple-mente reducirse a un unico punto. Demostraremos esto en breve;antes veamos un ejemplo que ilustra todas estas posibilidades.
Ejemplo 11. Por el criterio de d’Alembert, la serie
xn/n! con-verge para cualquier valor de x. La serie
[(−1)n/(2n + 1)]x2n
converge si, y solo si, x ∈ [−1, 1]. La serie
[(−1)n/n]xn convergesi x ∈ (−1, 1] y diverge fuera de dicho intervalo. El conjunto depuntos x ∈ R para los que la serie geometrica
xn converge es
el intervalo abierto (−1, 1). Finalmente, la serie
nnxn convergeexclusivamente en el punto x = 0.
Dada una serie de potencias
anxn, la localizacion de los pun-tos x donde esta converge se hace mediante el criterio de Cauchy
(Teorema 6, Capıtulo 4), que pone de manifiesto el compartamientode la sucesion ( n
|an|).
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Seccion 3 Series de potencias 181
Si la sucesion ( n
|an|) no esta acotada entonces la serie
anxn
converge solamente cuando x = 0. En efecto, para todo x = 0 lasucesion de numeros n
|anxn| = |x| n
|an| no esta acotada, ası que
ocurre los mismo con |anxn|, luego el termino general de la serie
anxn no tiende a cero.
Por otro parte, si la sucesion ( n
|an|) esta acotada entonces el
conjunto:
R = {ρ > 0 : n
|an| < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemente grande}
no es vacıo. En realidad, es facil ver que si ρ ∈ R y 0 < x < ρ enton-ces x ∈ R. Luego R es un intervalo del tipo (0, r), (0, r] o (0, +∞),donde r = sup R. El numero r se llama radio de convergencia dela serie
anxn. (Si R no esta acotada convendremos en escribir
r = +
∞).
El radio de convergencia r de la serie de potencias
anxn ve-rifica las siguientes propiedades;
1. Para todo x ∈ (−r, r) la serie
anxn converge absolutamente .En efecto, tomando ρ tal que |x| < ρ < r tenemos n
|an| < 1/ρ,
por consiguiente n
|anxn| = |x| n
|an| < |x|/ρ < 1 para todo
n ∈ N suficientemente grande. Luego, por el criterio de Cauchy,anxn converge absolutamente.
2. Si |x| > r la serie anxn diverge . En efecto, en este caso x /∈ R,
luego no se tiene n |an| < 1/|x| para todo n suficientemente
grande. Esto significa que n
|an| ≥ 1/|x|, y por tanto |anxn| ≥ 1,
para infinitos valores de n. Luego el termino general de la serieanxn no tiende a cero y por tanto la serie diverge.
3. Si x = ±r, en general, no puede afirmarse nada: la serie
anxn
puede ser divergente o convergente, segun los diferentes casos.
4. Si existe L = lımn→∞
n
|an| entonces r = 1/L. (Se sobreentiende
que si L = 0 entonces r = +∞). En efecto, para todo ρ ∈ Rexiste n0
∈N tal que n > n0
⇒ n
|an
|< 1/ρ. Haciendo n
→ ∞obtenemos L ≤ 1/ρ, de donde ρ ≤ 1/L. Se deduce que r =sup R ≤ 1/L. Ahora supongamos, por reduccion al absurdo, quer < 1/L, entonces tomarıamos c tal que r < c < 1/L, de donde
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182 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
L < 1/c. Por la definicion de lımite tendrıamos n
|an| < 1/c
para todo n suficientemente grande, de donde c ∈ R y ası c ≤ r,que es una contradiccion. Luego r = 1/L.
El analisis que acabamos de hacer se puede resumir como sigue:
Teorema 6. Una serie de potencias
anxn, ´ o converge exclusiva-mente cuando x = 0, ´ o existe r, 0 < r ≤ +∞, tal que la serie con-
verge absolutamente en el intervalo abierto (−r, r) y diverge fuera
del intervalo cerrado [−r, r]. En los extremos −r y r la serie puede
converger o diverger. Si existe L = lım n
|an| entonces r = 1/L. El
n´ umero r se llama radio de convergencia de la serie. Adem´ as, se
tiene 0 < ρ < r ⇔ n
|an| < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemente
grande.
Observacion: Del Teorema 7, Capıtulo 4, se deduce que si loscoeficientes an son diferentes de cero y existe lım |an+1|/|an| = L,
entonces el radio de convergencia de la serie
anxn
es r = 1/L.
Teorema 7. Una serie de potencias
anxn converge uniforme-
mente en todo intervalo compacto de la forma [−ρ, ρ], donde 0 <ρ < radio de convergencia.
Demostracion: La serie
anρn es absolutamente convergente y,para todo x ∈ [−ρ, ρ]. se tiene |anxn| ≤ |an|ρn. Del criterio deWeiertrass (Teorema 5) se sigue que la serie
anxn converge uni-
formemente en el intervalo [−ρ, ρ].
Corolario 1. Si r > 0 es el radio de convergencia de la serieanxn, entonces la funcion f : (−r, r) → R, definida mediante
f (x) =
anxn, es continua.
Ejemplo 12. La serie
anxn no es necesariamente uniformementeconvergente en todo el intervalo (−r, r), donde r es el radio de con-vergencia. Esto esta claro en el caso de la serie
xn/n!, que tiene
radio de convergencia infinito, para la cual rn(x) =
k>nxk/k! >
xn+1/(n + 1)! si x es positivo. Dado ε > 0, independiente del nescogido, es imposible que rn(x) < ε para todo x positivo.
Teorema 8. (Integracion termino a termino). Sea r el radio
de convergencia de la serie anxn. Si [α, β ]
⊂(
−r, r) entonces: β
α
anxn
dx =
ann + 1
(β n+1 − αn+1) .
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Seccion 3 Series de potencias 183
Demostracion: La convergencia de
anxn es uniforme en el in-tervalo [α, β ], pues si escribimos ρ = max{|α|, |β |} < r tendremos[α, β ] ⊂ [−ρ, ρ]. Luego, por el Teorema 3, podemos integrar terminoa termino.
Teorema 9. (Derivacion a termino a termino). Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias
anxn. La funci´ on f :
(−r, r) → R, definida como f (x) =
anxn, es derivable y f ′(x) =∞n=1 nanxn−1; adem´ as la serie de potencias f ′(x) tambien tiene
radio de convergencia r.
Demostracion: Sea r′ el radio de convergencia de la serie
n≥1 nanxn−1,que converge si, y solo si, x
nanxn−1 =
nanxn converge. Luego
r′ tambien es el radio de convergencia de esta ultima serie. Abrevia-mos la expresion “para todo n suficientemente grande” escribiendo“n ≫ 1”. Si 0 < ρ < r entonces, tomando c con 0 < ρ < c < r, tene-
mos n |an| < 1/c, n ≫ 1. Por otra parte, como lım
n
√ n = 1 entoncesn
√ n < c/ρ, n ≫ 1. Multiplicando las dos ultimas desigualdades se
tiene n
|an| < 1/ρ, n ≫ 1. Por tanto, 0 < ρ < r ⇒ 0 < ρ < r′. Co-
mo es obvio que 0 < ρ < r ′ ⇒ 0 < ρ < r, concluimos que r = r′. Ası,las serie de potencias
n≥0 anxn y
n≥1 nanxn−1 tienen el mismo
radio de convergencia. Dado cualquier x ∈ (−r, r) tomamos ρ talque |x| < ρ < r. Ambos series son uniformemente convergentes en[−ρ, ρ] luego, por el Teorema 4, tenemos f ′(x) =
n≥1 nanxn−1.
Corolario 1. Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias
anxn. La funcion f : (
−r, r)
→ R, definida mediante f (x) =
anxn, es de clase C ∞. Ademas para cualesquiera x ∈ (−r, r) yk ∈ N se tiene
f (k)(x) =n≥k
n(n − 1) · · · (n − k + 1)anxn−k .
En particular, ak = f (k)(0)/k!.
Por tanto, a0 + a1x + · · · + anxn es el polinomio de Taylor deorden n de la funcion f (x) =
anxn en un entorno del punto
x = 0.
Corolario 2. (Unicidad de la representacion en serie de po-tencias). Sean
anxn y
bnxn series de potencias convergentes
en el intervalo (−r, r) y X ⊂ (−r, r) un conjunto que tiene al 0
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184 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
como punto de acumulaci´ on. Si
anxn =
bnxn para todo x ∈ X entonces an = bn para todo n ≥ 0.
En efecto, las hipotesis nos aseguran que las funciones f, g :(
−r, r)
→ R, definidas como f (x) = anxn y g(x) = bnxn,
tienen las mismas derivadas, f (n)(0) = g(n)(0), n = 0, 1, 2, . . .. Luegoan = f (n)(0)/n! = g(n)(0)/n! = bn.
4. Series trigonometricas
Demostraremos ahora, sucintamente, como se pueden definir deforma precisa las funciones trigonometricas sin apelar a la intuiciongeometrica.
Las series de potencias:
c(x) =
∞n=0
(−
1)n
(2n)! x2n
y s(x) =
∞n=0
(−
1)n
(2n + 1)! x2n+1
tienen radio de convergencia inifinita, luego definen funciones c :R → R y s : R → R, ambas de clase C ∞.
Es inmediato que c(0) = 1, s(0) = 0, c(−x) = c(x) y s(−x) =−s(x). Derivando termino a termino, se tiene s′(x) = c(x) y c′(x) =−s(x).
La derivada de la funcion f (x) = c(x)2 + s(x)2 es
2cc′ + 2ss′ = −2cs + 2cs = 0 ,
luego es constante. Como f (0) = 1, concluimos que c(x)2+s(x)2 = 1para todo x ∈ R.
De forma analoga se prueban las formulas de la suma:
s(x + y) = s(x)c(y) + s(y)c(x) ,
yc(x + y) = c(x)c(y)
−s(x)s(y) .
Para esto basta fijar y ∈ R y definir las funciones f (x) =s(x+y)−s(x)c(y)−c(x)s(y) y g(x) = c(x+y)−c(x)c(y)+s(x)s(y).
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Seccion 5 Series de Taylor 187
Si queremos obtener desarrollos finitos podemos escribir, respec-tivamente,
1
1 − x = 1 + x + · · · + xn +
xn+1
1 − x, x = 1,
11 + x
= 1 − x + · · · + (−1)nxn + (−1)n+1x
n+1
1 + x , x = −1,
1
1 + x2 = 1 − x2 + · · · + (−1)nx2n +
(−1)n+1x2n+2
1 + x2 , x ∈ R .
En cada una de estas expresiones el ultimo sumando es el restode la formula de Taylor. En efecto, si llamamos, respectivamente,r, s y t a estos restos vemos facilmente que
lımx→0
r(x)
xn = lım
x→0
s(x)
xn = lım
x→0
t(x)
xn = 0 .
3. Funcion exponencial
La serie∞
n=0 xn/n! converge para todo x ∈ R, luego la funcionf : R → R, definida como f (x) =
∞n=0 xn/n!, es de clase C ∞.
Derivando termino a termino vemos que f ′(x) = f (x). Como f (0) =1, del Teorema 17, Capıtulo 9, se concluye que f (x) = ex para todox ∈ R. Por tanto:
ex = 1 + x + x2
2 +
x3
3! + · · ·
es la serie de Taylor de la funcion exponencial en el punto x = 0.
4. Funcion logaritmo
Como la funcion logaritmo no tiene sentido cuando x = 0, con-sideraremos la funcion log(1 + x), definida para todo x > −1. Pordefinicion, log(1+ x) =
x0 dt/(1 + t). Integrando termino a termino
la serie de Taylor de 1/(1 + x), que acabamos de ver, obtenemos:
log(1 + x) = x − x2
2 +
x3
3 − x4
4 + · · · =
∞n=1
(−1)n+1xn
n ,
la serie de Taylor de log(1 + x), que es convergente en el intervaloabierto (−1, 1), pues su radio de convergencia es 1. Por el Teo-rema de Leibniz (Teorema 3, Capıtulo 4) se tiene que esta serie
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188 Sucesiones y Series de funciones Cap. 12
converge tambien para x = 1 (sin embargo diverge para x = −1).Serıa interesante saber si la funcion f : (−1, 1] → R, definida co-mo f (x) =
n≥1(−1)n+1xn/n, que coincide con log(1 + x) cuando
|x| < 1, tambien coincide con log(1 + x) en el punto x = 1. Estoes verdad, como veremos a continuacion. En efecto, si integramos
termino a termino el desarrollo finito de 1/(1 + x) visto anterior-mente, obtenemos (llegando hasta el orden n en vez de n + 1):
log(1 + x) = x − x2
2 +
x3
3 − · · · + (−1)n
xn
n + rn(x) ,
donde
rn(x) = (−1)n x0
tn
1 + tdt .
Para x = 1, tenemos |rn(x)| ≤ 10
tndt = 1n+1
.Por tanto, lım
n→∞rn(1) = 0. De donde
log 2 = 1 − 1
2 +
1
3 − · · · +
(−1)n
n + · · · .
Esta es una expresion interesante de log 2 como suma de una seriealternada que demuestra que la serie de Taylor
∞n=1(−1)n+1xn/n
representa log(1 + x) en el intervalo (−1, 1].
5. Funcion arctan x
De los cursos de Calculo es conocido que la funcion tan : (−
π
2, π2
)→R es una biyeccion de clase C ∞ con derivada positiva, y que su in-
versa arctan : R → (−π/2, π/2) tiene derivada igual a 1/(1 + x2),para todo x ∈ R. El desarrollo de tan x en serie de Taylor es com-plicado, mientras que el de arctan x es bastante simple; por esopasamos a exponerlo. Tenemos que arctan x =
x0 dt/(1 + t2), para
todo x ∈ R. Cuando |x| < 1, podemos integrar termino a termino eldesarrollo de Taylor de 1/(1 + x2) visto anteriormente, obteniendo:
arctan x = x− x3
3 +
x5
5 −· · ·+(−1)n
x2n+1
2n + 1+· · · =
∞n=0
(−1)n x2n+1
2n + 1.
Este argumento (integracion termino a termino) nos garantiza lavalidez de esta igualdad cuando −1 < x < 1. Sucede que la serie en
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Seccion 5 Ejercicios 189
cuestion tambien converge en los puntos x = 1 y x = −1. Por tanto,es natural esperar que el desarrollo de arctan x en serie de Taylorvalga en todo el intervalo cerrado [−1, 1]. Para ver esto integramosel desarrollo finito de 1/(1 + x2), obteniendo:
arctan x = x − x3
3 + x5
5 − · · · + (−1)n−1 x2n−1
2n − 1 + rn(x) ,
donde rn(x) = (−1)n x0
t2n
1+t2dt.
Para todo x ∈ [−1, 1] tenemos
|rn(x)| ≤ |x|0
t2ndt = |x|2n+1
2n + 1 ≤ 1
2n + 1 ,
luego lımn→∞
rn(x) = 0, por tanto vale la igualdad:
arctan x = ∞n=0
(−1)n x2n+1
2n + 1
para todo x ∈ [−1, 1]. En particular, para x = 1, obtenemos laformula de Leibniz:
π
4 = 1 − 1
3 +
1
5 − 1
7 + · .
5. Ejercicios
Seccion 1: Convergencia puntual y Convergencia uniforme1. Demuestre que la sucesion de funciones f n : [0, +∞) → R,
dadas por f n(x) = xn/(1 + xn) converge puntualmente. De-termine la funcion lımite y demuestre que la convergencia noes uniforme.
2. Pruebe que la sucesion del ejercicio anterior converge uni-formemente en todos los intervalos de la forma [0, 1 − δ ] y[1 + δ, ∞); 0 < δ < 1.
3. Pruebe que la serie ∞n=1 xn(1
−xn) converge cuando x per-
tenece al intervalo (−1, 1]. Ademas la convergencia es unifor-me en todos los intervalos de la forma [−1 + δ, 1 − δ ], donde0 < δ < 1/2.
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190 Sucesiones y series de funciones Cap. 12
4. Pruebe que para que una sucesion de funciones f n : X → R
sea uniformemente convergente es necesario y suficiente que,para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |f m(x) −f n(x)| < ε para cualquier x ∈ X . (Criterio de Cauchy).
5. Si la sucesion de funciones f n : X → R converge uniforme-mente a f : X → R, pruebe que f esta acotada si, y solo si,existen K > 0 y n0 ∈ N tales que n > n0 ⇒ |f n(x)| ≤ K paratodo x ∈ X .
6. Si la sucesion de funciones f n : X → R es tal que f 1 ≥ f 2 ≥· · · ≥ f n ≥ · · · y f n → 0 uniformemente en X , pruebe que laserie
(−1)nf n converge uniformemente en X .
7. Si |f n(x)| es uniformemente convergente en X , pruebe que
f n(x) tambien lo es.
Seccion 2: Propiedades de la convergencia uniforme
1. Si f n → f y gn → g uniformemente en el conjunto X , pruebeque f n+gn → f +g uniformemente en X . Pruebe tambien quesi f y g estan acotadas entonces f n ·gn → f ·g uniformementeen X . Finalmente, si existe c > 0 tal que |g(x)| ≥ c para todox ∈ X , pruebe que 1/gn → 1/g uniformemente en X .
2. Sea p : R → R un polinomio de grado ≥ 1. Demuestre quela sucesion de funciones f n : R → R, dadas por f n(x) =
p(x) + 1/n, converge uniformemente a p en R; sin embargo(f 2n) no converge uniformemente a p2.
3. Considere la sucesion de funciones f n : [0, 1] → R, dondef n(x) = sen(nx)/
√ n. Pruebe que (f n) converge uniformemen-
te a 0, pero que la sucesion de las derivadas f ′n no convergeen ningun punto del intervalo [0, 1].
4. Demuestre que la sucesion de funciones gn(x) = x + xn/nconverge uniformemente en el intervalo [0, 1] a una funcionderivable g y que la sucesion de derivadas g′n converge pun-tualmente en [0, 1]: sin embargo, g ′ no es igual a lım g′n.
5. Sea g : Y → R uniformemente continua. Si la sucesion defunciones f N : X → R converge uniformemente a f , con
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Seccion 5 Ejercicios 191
f (X ) ⊂ Y y f n(X ) ⊂ Y para todo n ∈ N, pruebe que g◦f n →g◦f uniformemente en X . Analice tambien el caso mas sencillof n ◦ g → f ◦ g.
6. Sean X compacto, U abierto y f : X
→ R continua tal que
f (X ) ⊂ U . Pruebe que si una sucesion de funciones f n : X →R converge uniformemente a f , entonces existe n0 tal quen > n0 ⇒ f n(X ) ⊂ Y .
7. Si una sucesion de funciones continuas f n : X → R es unifor-memente convergente en un conjunto denso D ⊂ X , pruebeque (f n) converge uniformemente en X .
8. La sucesion de funciones f n : [0, 1] → R, f n(x) = nx(1 − x)n,converge, pero no uniformemente. Demuestre que, no obstan-te, se tiene:
10
lımn→∞ f n
= lım
n→∞ 10
f n .
9. Dada una sucesion de funciones f n : X → R, suponga queexiste c ∈ R tal que n
|f n(x)| ≤ c < 1 para todo x ∈ X
y n ∈ N suficientemente grande. Pruebe que |f n| y
f n
convergen uniformemente en X .
10. En el ejercicio anterior suponga que f n(x) = 0 para todon ∈ N y x ∈ X y, en vez de n
|f n(x)| ≤ c < 1, suponga que
|f n+1(x)/f n(x)| ≤ c < 1 para todo x ∈ X y n suficientementegrande. Obtenga la misma conclusion.
Seccion 3: Series de potencias
1. Sea r el radio de convergencia de la serie de potencias
an(x−x0)n. Pruebe que si r ∈ R+ entonces r = 1/L, donde L es elmayor valor de adherencia de la sucesion acotada ( n
|an|).
Por tanto, r = 1/(lım sup n
√ an).
2. Pruebe que si lım n
|an| = L entonces la series de potencias
∞
n=0
anx2n y∞
n=0
anx2n+1
tiene radio de convergencia igual a 1/√
L.
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192 Sucesiones y series de funciones Cap. 12
3. Determine el radio de convergencia de las siguientes series:
an
2
xn,
a√ nxn y
n
logn
n xn .
4. Pruebe que la funcion f : (−r, r) → R
, dada por f (x) =∞
n=0 anxn, donde r es el radio de convergencia de la serie, esuna funcion par (respectivamente, impar) si, y solo si, an = 0para todo n impar (respectivamente, par). (Ver Ejercicio 2.4,Cap. 8).
5. Sea∞
n=0 anxn una serie de potencias cuyos coeficientes estandeterminados por las igualdades a0 = a1 = 1 y an+1 = an +an−1. Demuestre que el radio de convergencia de dicha seriees igual a (−1 +
√ 5)/2.
6. Pruebe que la funcion
f (x) =∞n=0
(−1)n 1
(n!)2
x
2
2n
esta bien definida para todo x ∈ R y que f ′′ + f ′
x + f = 0
para todo x = 0.