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17장 다항식 보간법

17.1 보간법의 소개

17.2 Newton 보간다항식

17.3 Lagrange 보간다항식

17.4 역보간법

17.5 외삽법과 진동

Applied Numerical Methods 장 다항식 보간법

17장 다항식 보간법 (1/2)

White (1999) 보고에 의한 1기압에서 온도(T)에 따른 밀도 (ρ), 점성계수 (µ)와 동점성계수 (v)

T (°C) ρ (kg/m3) µ (N⋅s/m2) v (m2/s)

-4002050

100150200250300400500

1.521.291.201.090.9460.8350.7460.6750.6160.5250.457

1.51 × 10-5

1.71 × 10-5

1.80 × 10-5

1.95 × 10-5

2.17 × 10-5

2.38 × 10-5

2.57 × 10-5

2.75 × 10-5

2.93 × 10-5

3.25 × 10-5

3.55 × 10-5

0.99 × 10-5

1.33 × 10-5

1.50 × 10-5

1.79 × 10-5

2.30 × 10-5

2.85 × 10-5

3.45 × 10-5

4.08 × 10-5

4.75× 10-5

6.20 × 10-5

7.77 × 10-5

17


17장 다항식 보간법 (2/2)

어떻게 원하는 온도에서의 밀도, 점성계수,

그리고 동점성계수를 구할 수 있을까?

→가장 간단한 방법은 인접한 두 점을 잇는 직선을 구한 후,

그 직선 식을 이용하여 원하는 온도에서의 매개변수의

값을 얻는 것이다.

→"선형보간법" (많은 경우에 매우 적절함)이라고 알려진 방법

→데이터가 상당히 큰 곡률을 가지면 오차가 발생

→적절한 추정값을 얻을 수 있는 여러 방법을 검토

17


17.1 보간법의 소개 (1/4)

다항식 보간법

정확한 데이터 점들 사이에 위치한 값을 추정

n 개의 데이터 점을 지나는 유일한 (n – 1)차 다항

식으로 값을 추정

← 두 점을 지나는 유일한 직선 (1차 다항식)

← 세 점을 지나는 유일한 포물선 (2차 다항식)

12321)( −++++= n

n xaxaxaaxf

17


17.1 보간법의 소개 (2/4)

보간다항식의 예: (a) 두 점을 잇는 1차식, (b)세 점을 잇는 포물선, (c) 네 점을 잇는 3차식

17


17.1 보간법의 소개 (3/4)

유의사항: MATLAB은 다항식을 다음과 같이

내림차순으로 표현한다.

다항식 계수의 결정

n 개의 대수 방정식으로 n 개의 계수를 동시에 결정

→ 명료한 방법

nnnn pxpxpxpxf ++++= −−−

12

21

1)(

17


예제 17.1 (1/3)

Q. 표 17.1의 아래쪽에 기재된 세 개의 밀도값을지나는 포물선 의 계수를 구하라.

풀이)

322

1)( pxpxpxf ++=

4570)( 5005250)( 4006160)( 300

33

22

11

.xfx.xfx.xfx

======

322

1

322

1

322

1

)500()500(4570

)400()400(5250

)300()300(6160

ppp.

ppp.

ppp.

++=

++=

++=

=

457.0525.0616.0

1500000,2501400000,1601300000,90

3

2

1

ppp

17


예제 17.1 (2/3)

>> format long

>> A = [90000 300 1; 160000 400 1; 250000 500 1];

>> b = [0.616 0.525 0.457]';

>> p = A\b

p = 0.00000115000000

-0.00171500000000

1.02700000000000

17


예제 17.1 (3/3)

따라서 2차 식은

350°C에서의 밀도를 계산하면

027.1001715.000000115.0)( 2 +−= xxxf

567625.0027.1)350(001715.0)350(00000115.0)350( 2 =+−=f

17


17.1 보간법의 소개 (4/4)

예제 15.1에 나타나는 계수행렬은 특정한 형태의 구조를 가진다.

→ Vandermonde matrix

매우 불량한 조건의 행렬

→ 반올림오차에 매우 민감

다른 방법으로 컴퓨터 실행에 적합한 Newton과 Lagrange다항식을 다룬다.

MATLAB 함수: polyfit과 polyval

데이터 점의 수 > 계수의 수 → 다항식 회귀분석데이터 점의 수 = 계수의 수 → 다항식 보간

=

)()()(

111

3

2

1

3

2

1

323

222

121

xfxfxf

ppp

xxxxxx

17


17.2 Newton 보간다항식 (1/8)

선형보간법닮은꼴 삼각형에서

따라서 Newton 선형보간공식은다음과 같다.

여기서 f1(x) = 1차 보간다항식

간격이 작을수록 → 보다 나은 근사값

12

12

1

11 )()()()(xx

xfxfxx

xfxf−−

=−−

)()()()()( 112

1211 xx

xxxfxfxfxf −

−−

+=

선형보간법의 도식적 표현

17


예제 17.2 (선형보간법)

Q. 선형보간법을 이용하여 자연로그 ln2의 값을 추정하라. 먼저 보간법으로 과 사이에서 추정하고, 그 다음에 더 작은 간격인 과 사이에서추정하라. 참고로 이다.

풀이) x1 = 1과 x2 = 6에 대하여

x1 = 1과 x2 = 4에 대하여

백분율 상대오차는 각각 48.3%와 33.3%이다.

01ln = 791759.16ln =1ln )386294.1(4ln =

6931472.02ln =

3583519.0)12(16

0791759.10)2(1 =−−

−+=f

4620981.0)12(14

0386294.10)2(1 =−−

−+=f

17



2차 보간법세 개의 데이터 점

2차 다항식 = 포물선→ Taylor 급수전개와 유사함

→ 두 점 x1 과 x2를 잇는 직선의 기울기

→ 2차 곡률

→ 2차 도함수의 유한제차분근사와 매우 유사

식 (4.27) 참조

))(()()( 2131212 xxxxbxxbbxf −−+−+=

)( 11 xfb =

12

122

)()(xx

xfxfb−−

=

13

12

12

23

23

3

)()()()(

xxxx

xfxfxx

xfxf

b−

−−

−−−

=

17


예제 17.3 (2차 보간법)

Q. 예제 17.2에 사용된 세 점과 2차 Newton 다항식을이용하여 ln2의 값을 추정하라.

풀이)

→추정 값이 갖는 백분율 상대오차는 18.4%이다.

1.791759)( 61.386294)( 40)( 1

33

22

11

======

xfxxfxxfx

01 =b 4620981.014

0386294.12 =

−−

=b

0518731.016

4620981.046

386294.1791759.1

3 −=−

−−−

=b

)4)(1(0518731.0)1(4620981.00)(2 −−−−+= xxxxf5658444.0)2(2 =f

17



Newton 보간다항식의 일반적인 형태

n 개의 데이터 점에 (n – 1)차 다항식을

접합시키는 것으로 일반화할 수 있다.

n 개의 데이터 점 을

이용하여 계수 을 계산한다.

)())(()()( 1211211 −− −−−++−+= nnn xxxxxxbxxbbxf

)](,[,)],(,[)],(,[ 2211 nn xfxxfxxfx

nbbb ,,, 21

],,,,[

],,[],[

)(

121

1233

122

11

xxxxfb

xxxfbxxfb

xfb

nnn

−=

===

17



여기서 괄호로 표시된 함수는 유한제차분을 나타낸다.

1차 유한제차분

2차 유한제차분

(n-1)차 유한제차분

다음과 같은 일반적인 Newton 보간다항식을 얻을 수 있다.

ji

jiji xx

xfxfxxf

−

−=

)()(],[

ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

−

−=

],[],[],,[

1

12121121

],,,[],,,[],,,,[xx

xxxfxxxfxxxxfn

nnnnnn −

−= −−−

−

],,,,[)())((],,[))((],[)()()(

121121

1232112111

xxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf

nnn

n

−−

−

−−−++−−+−+=

17



데이터 점들이 등간격일 필요가 없고, 수평축의 좌표값이

올림차순일 필요도 없다.

고차 차분이 저차 차분의 차이에 의해 계산되어지는

순환적인 시스템이다.

17


예제 17.4 (Newton 보간다항식) (1/3)

Q. 3차 Newton 보간다항식으로 ln2의 값을 추정하라. 사용되는 네 개의 데이터 점은 x1 = 1, x2 = 4, x3 =

6, 그리고 x4 = 5, [f(x4) = 1.609438]이다.

풀이)

1차 제차분을 계산하면

))()(())(()()( 32142131213 xxxxxxbxxxxbxxbbxf −−−+−−+−+=

4620981.014

0386294.1],[ 12 =−

−=xxf

2027326.046

386294.1791759.1],[ 23 =−−

=xxf

1823216.065

791759.1609438.1],[ 34 =−−

=xxf

17





05187311.016

4620981.02027326.0],,[ 123 −=−−

=xxxf

02041100.045

2027326.01823216.0],,[ 234 −=−−

=xxxf

007865529.015

)05187311.0(02041100.0],,,[ 1234 =−−−−

=xxxxf

17



그러므로 제차분표를 구성하면 다음과 같다.

→

xi f(xi) First Second Third

1465

01.3862941.7917591.609438

0.46209810.20273260.1823216

-0.05187311-0.02041100

0.007865529

)6)(4)(1(007865529.0 )4)(1(05187311.0)1(4620981.00)(3

−−−+−−−−+=

xxxxxxxf

6287686.0)2(3 =f

17



[Newton 보간다항식을 실행하는 M-파일]

function yint = Newint(x,y,xx)

% Newint(x,y,xx)

% Newton interpolation uses an (n-1)-order Newtoninterpolating

% polynomial based on n data points (x,y) to determine yint atxx.

% input

% x = independent variable

% y = dependent variable

% xx = value of independent variable for interpolation

% output

% yint = interpolated value of dependent variable

17




% compute a difference table

n = length(x);

if length(y) ~=n, error ('x and y must be same length'); end

b = zeros(n,n);

% assign dependent variables to the first column of b

b(:,1) = y(:); % (:) ensures that y is a column vector

for j = 2:n

for i=1:n-j+1

b(i,j) = (b(i+1,j-1)-b(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));

end

end

17




% use the finite divided differences to interpolate

xt = 1;

yint = b(1,1);

for j = 1:n-1

xt = xt.*(xx-x(j));

yint = yint + b(1,j+1)*xt;

end

17



>> format long

>> x =[1 4 6 5]';

>> y = log(x);

>> Newint(x,y,2) % ln 2의 값을 추정

ans =

0.62876857890841

17



>> xx=[1 2 3 4 5 6]'; % 6개 점에서의 값을 추정

>> format short

>> Newint(x,y,xx)

ans =

0

0.6288

1.0751

1.3863

1.6094

1.7918

>> Newint(x,y,2) % ln 2의 값을 추정

ans =

0.6288

17


17.3 Lagrange 보간다항식 (1/6)

직선으로 연결하고자 하는 두 값의 가중평균으로선형 보간다항식을 만들어 보자.

여기서 L은 직선에 대한 가중계수이다.L1은 x1에서 1이며, x2에서는 0이다.→

L2는 x2에서 1이며, x1에서는 0이다.→

따라서

:선형 Lagrange 보간다항식

)()()( 2211 xfLxfLxf +=

21

21 xx

xxL−−

=

12

12 xx

xxL−−

=

)()()( 212

11

21

21 xf

xxxxxf

xxxxxf

−−

+−−

=

17



Lagrange 보간다항식의 근본 원리에 대한 시각적 표현으로 1차식의 경우를나타낸다. 두 항의 합은 두 점을 연결하는 유일한 직선이다.

17



세 점에 대해 확장 → 2차 Lagrange 보간다항식

각 포물선은 세 점 중 한 점을 지나고 나머지 점에서는

0이다.

세 포물선의 합은 세 점을 지나는 유일한 포물선이다.

)())((

))(()(

))(())((

)())((

))(()( 3

2313

212

3212

311

3121

322 xf

xxxxxxxxxf

xxxxxxxx

xfxxxx

xxxxxf

−−−−

+−−−−

+−−−−

=

17



고차 Lagrange 다항식으로 일반화하면

여기서

n = 데이터 점의 수

∑=

− =n

iiin xfxLxf

11 )()()(

∏≠= −

−=

n

ijj ji

ji xx

xxxL

1)(

17


예제 17.5 (Lagrange 보간다항식)

Q. 다음에 주어지는 데이터를 사용하여 1차와 2차 Lagrange 보간다항식으로 T = 15 °C 에서의 모터오일의 밀도를 계산하라.

풀이) 1차 Lagrange 다항식:

2차 Lagrange 다항식:

212.0)( 40800.0)( 2085.3)( 0

33

22

11

======

xfxxfxxfx

5625.1800.002001585.3

2002015)(1 =

−−

+−−

=xf

3316875.1212.0)2040)(040()2015)(015(

800.0)4020)(020()4015)(015(85.3

)400)(200()4015)(2015()(2

=−−−−

+

−−−−

+−−−−

=xf

17



[Lagrange 보간다항식을 실행하는 M-파일]

function yint = Lagrange(x,y,xx)

% Lagrange(x,y,xx)

% Lagrange interpolation uses an (n-1)-order Lagrange interpolating

% polynomial based on n data points (x,y) to determine yint at xx.

% input

% x = independent variable

% y = dependent variable

% xx = value of independent variable for interpolation

% output

% yint = interpolated value of dependent variable

17



[Lagrange 보간다항식을 실행하는 M-파일]

n = length(x);

if length(y) ~=n, error ('x and y must be same length'); end

s = 0;

for i = 1:n

product = y(i);

for j = 1:n

if i ~= j

product = product * (xx-x(j))/(x(i)-x(j));

end

end

s = s + product;

end

yint = s;

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>> format long;

T = [-40 0 20 50]';

d = [1.52 1.29 1.2 1.09]';

density = Lagrange(T,d,15)

density =

1.22112847222222

17


17.4 역보간법 (1/2)

주어진 자료를 이용하여 f(x) = 0.3에 해당되는 x값은 어떻게 구하는가?

→ f(x) = 1/x ∴ x = 1/0.3 = 0.3333

→ 역보간법: 주어진 f(x)의 값에 해당하는 x값을 구하는 문제

→ 수평축이 부등간격이 됨(많은 점들이 촘촘히 위치하고 몇 개가 동떨어짐)

→ 진동현상을 초래할 위험이 큼! (다항식 접합에 불량 조건을 갖는 경우)

x 1 2 3 4 5 6 7f(x) 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0.1429

f(x) →새로운 x 0.1429 0.1667 0.2 0.25 0.3333 0.5 1x →새로운 f(x) 7 6 5 4 3 2 1

17


17.4 역보간법 (2/2)

극복하는 다른 방법

- 일반적으로 등간격으로 주어지는 x에 대해구해진 다항식 fn(x)을 이용

→ 근을 구하는 문제(5장 또는 6장 참조)

세 점 (2, 0.5), (3, 0.3333), 그리고 (4, 0.25)에 대해2차 보간다항식은 다음과 같으므로

→

→

(참고로 정해는 3.333)

08333.1375.0041667.0)( 22 +−= xxxf

08333.1375.0041667.03.0 2 +−= xx

295842.3704158.5

)041667.0(278333.0)041667.0(4)375.0(375.0 2

=−−±

=x

17


17.5 외삽법과 진동 (1/2)

외삽법주어진 기본 점들의 밖에 위치한 x에 대해 f(x)의 값을 추정하는 과정이다.

실제 곡선은 예측값으로부터 쉽게 벗어날 수 있으므로,

외삽을 수행할 경우 매우 주의하여야 한다.

외삽법을 이용한예측이 발산하는경우의 예시

17


예제 17.6 (외삽법의 위험성) (1/3)

Q. 다음 표는 1920년부터 2000년까지의 미국의 인구를 백만 명

단위로 나타낸 것이다.

처음 8개의 점(1920년에서 1990년까지)에 대하여 7차 다항식을

접합시켜라. 이 다항식과 외삽법을 이용하여 2000년의 인구를

예측하고 실제 값과 비교하라.

년도 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

인구 106.46 123.08 132.12 152.27 180.67 205.05 227.23 249.46 281.42

17


예제 17.6 (외삽법의 위험성) (2/3)

>> t = [1920:10:1990];

>> pop = [106.46 123.08 132.12 152.27 180.67 205.05 227.23 249.46];

>> p = polyfit(t, pop, 7);

Warning: Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points

or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.

17


예제 17.6 (외삽법의 위험성) (3/3)

>> ts = (t-1955)/35;

>> p = polyfit(ts, pop, 7)

p =

Columns 1 through 8

-61.9393 -32.9356 147.0977 38.1565 -115.3518 6.4156 101.6934 166.3235

>> p2000 = polyval(p, (2000-1955)/35)

p2000 =

175.0800

>> tt=linspace(1920,2000);

>> pp = polyval(p, (tt-1955)/35);

>> plot(t,pop,'o',tt,pp)

17


17.5 외삽법과 진동 (2/2)

진동

"더 많으면 더 좋은가"?

→ 다항식 보간법에서는 절대로 그렇지 않다.

→ 고차 다항식은 반올림오차에 민감 하여매우 불량한 조건이 되기 쉽다.

17


예제 17.7 (고차 다항식보간법의 위험성) (1/3)

Q. 1901년에 Carl Runge는 아래의 간단한 함수로 고차 다항식보간법의

위험성을 보였다.

이 함수는 Runge 함수라고 불린다. 구간 [-1, 1]에서 등간격으로 5개와

11개로 데이터가 주어질 때 polyfit 함수와 polyval 함수를 사용하여

4차와 10차 다항식으로 접합시켜 예측한 값을 실제 값과 그림으로

비교하라.

22511)(

xxf

+=

17



>> x = linspace(-1,1,5); y = 1./(1+25*x.^2);

xx = linspace(-1,1);

>> p = polyfit(x,y,4); y4 = polyval(p,xx);

yr = 1./(1+25*xx.^2);

plot(x,y,'o',xx,y4,xx,yr,'--') % 4차 보간다항식 결과 그래프

>> x = linspace(-1,1,11); y = 1./(1+25*x.^2);

p = polyfit(x,y,10); y10 = polyval(p,xx);

plot(x,y,'o',xx,y10,xx,yr,'--') % 10차 보간다항식 결과 그래프

17



접합은 특히 구간의 양 끝 에서 더욱 나빠지게 된다.

고차 다항식이 필요한 상황도 있지만 보통의 경우에는 고차다항식의 사용을 피해야 한다. 대부분의 공학과 과학 문제에서 이 장에서 설명한 형태의 저차 다항식은 데이터의 곡선 형상을 진동 없이 표현하는데 효과적으로 사용할 수 있다.

17

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