1 1

Hai phương pháp xác định tham số PID của Ziegler-NicholsZiegler và Nichols đa đưa ra hai phương pháp thực nghiệm để xác định tham số bộ điều khiển PID. Trong khi phương pháp thứ nhất sử dụng dạng mô hình xấp xỉ quán tính bậc nhất có trễ của đối tượng điều khiển:

(2.149)thì phương pháp thứ hai nổi trội hơn ở chỗ hoàn toàn không cần đến mô hình toán học. Tuy nhiên nó có hạn chế là chỉ áp dụng được cho một lớp các đối tượng nhất định.Phương pháp Ziegler - Nichols thứ nhất :

Phương pháp thực nghiệm này có nhiệm vụ xác định các tham số kP, TI, TD cho bộ điều khiển PID trên cơ sở xấp xỉ hàm truyền P(s) của đối tượng thành dạng (2.149), để hệ kín nhanh chóng trở về chế độ xác lập và độ

quá điều chỉnh h không vượt quá một giới hạn cho phép, khoảng 40% so với h∞¿ limt →∞

h(t ), tức là có

|∆ hh∞

|≤ 0,4 (hình 2.101).

Ba tham số L (hằng số thời gian trễ), k (hệ số khuếch đại) và T (hằng số thời gian quán tính) của mô hình xấp xỉ (2.149) có thể được xác định gần đúng từ đồ thị hàm quá độ h(t) của đối tượng. Nếu đối tượng có hàm quá độ dạng như hình 2.102a) mô tả thì từ đồ thị hàm h(t) đó ta đọc ra được ngay

- L là khoảng thời gian đầu ra h(t) chưa có phản ứng ngay với kích thích 1(t) tại đầu vào,

- k là giá trị giới hạn h∞¿ limt →∞

h(t )

- Gọi A là điểm kết thúc khoảng thời gian trễ, tức là điểm trên trục hoành có hoành độ bằng L. Khi đó T là khoảng thời gian cần thiết sau L để tiếp tuyến của h(t) tại A đạt được giá trị k.

Trường hợp hàm quá độ h(t) không có dạng lý tưởng như ở hình 2.102a, song có dạng gần giống là hình chữ S của khâu quán tính bậc 2 hoặc bậc n như hình 2.102b) mô tả, thì ba tham số k, L, T của mô hình (2.149) được xác định xấp xỉ như sau:

- k là giá trị giới hạn h∞¿ limt →∞

h(t )

- Kẻ đường tiếp tuyến của h(t) tại điểm uốn của nó. Khi đó L sẽ là hoành độ giaođiểm của tiếp tuyến với trục hoành và T là khoảng thời gian cần thiết để đường tiếp tuyến đi được từ giá trị 0 tới được giá trị k .

Như vậy ta có thể thấy là để áp dụng được phương pháp xấp xỉ mô hình bậc nhất có trễ, đối tượng đã phải ổn định và ít nhất hàm quá độ của nó phải có dạng hình chữ S.

Sau khi đã có các tham số cho mô hình xấp xỉ (2.149) của đối tượng, Ziegler-Nichols đã đề nghị sử dụng các tham số kP , TI , TD cho bộ điều khiển như sau [12]:

- Nếu chỉ sử dụng bộ điều khiển khuếch đại RS=k P thì chọn k P=TkL

2 2

- Nếu sử dụng bộ PI với R(s)=TkL

- Nếu sử dụng PID có R2) Phương pháp Ziegler ư Nichols thứ hai :Phương pháp thực nghiệm thứ hai này có đặc điểm là không sử dụng mô hình toán học của đối tượng, ngay cả mô hình xấp xỉ gần đúng (2.149). Nội dung của phương pháp thứ hai như sau [12]:ư Thay bộ điều khiển PID trong hệ kín (hình 2.103a) bằng khâu khuếch đại. Sau đótăng hệ số khuếch đại tới giá trị tới hạn kth để hệ kín ở chế độ biên giới ổn định, tức là h(t) có dạng dao động điều hòa (hình 2.103b). Xác định chu kỳ Tth của daođộng.ư Xác định tham số cho bộ điều khiển P, PI hay PID từ kth và Tth như sau:1a) Nếu sử dụng R(s)=kp thì chọn kp =2

kth

b) Nếu sử dụng R(s)= k⎛ 1 ⎞1 + thì chọn k =0,45k và T =0,85T

p ⎜ ⎟ p th I th⎝ TI s ⎠c) Nếu sử dụng PID thì chọn kp =0,6kth , TI =0,5Tth và TD =0,12TthPhương pháp thực nghiệm thứ hai này có một nhược điểm là chỉ áp dụng được cho những đối tượng có được chế độ biên giới ổn định khi hiệu chỉnh hằng số khuếch đạitrong hệ kín.

a) b) h(t)2w ekth

u Đối tượng yđiều khiển 1,5 Tth

1

Hình 2.103: Xác định hằng số khuếch đại tới hạn.

0,5t1 2 3 5 7 9

Phương pháp ChienưHronesưReswickĐây là phương pháp gần giống với phương pháp thứ nhất của ZieglerưNichols, song nó không sử dụng mô hình tham số (2.149) gần đúng dạng quán tính bậc nhất có trễ chođối tượng mà thay vào đó là trực tiếp dạng hàm quá độ h(t) của nó.

h(t)k

U

Hình 2.104: Hàm quá độ đối tượng thích hợp cho phương pháp ChienưHronesưReswick.

a b

3 3

b >3at

4 4

Phương pháp ChienưHronesưReswick cũng cần giả thiết đối tượng ổn định, hàmquá độ h(t) có dạng hình chữ S (hình 2.104), tức là luôn có đạo hàm không âm:dh(t) = g(t) ≥ 0dtTuy nhiên phương pháp này thích ứng với những đối tượng bậc cao như quán tính bậc nS(s) = k (1 + sT )nvà có hàm quá độ h(t) thỏa mãn:b > 3 (2.150)atrong đó a là hoành độ giao điểm tiếp tuyến của h(t) tại điểm uốn U với trục thời gian(hình 2.104) và b là khoảng thời gian cần thiết để tiếp tuyến đó đi được từ 0 tới giá trịxác lập k = lim h(t) .t→∞Từ dạng hàm quá độ h(t) đối tượng với hai tham số a , b thỏa mãn, ChienưHronesưReswick đã đưa bốn cách xác định tham số bộ điều khiển cho bốn yêu cầu chất lượng khác nhau như sau [12]:ư Tối ưu theo nhiễu (giảm ảnh hưởng nhiễu) và hệ kín không có độ quá điều chỉnh:3ba) Bộ điều khiển P: Chọn kp=

10ak6b

b) Bộ điều khiển PI: Chọn kp =10ak19b

và TI =4a

12a 21ac) Bộ điều khiển PID: Chọn kp =

20ak, TI =5

và TD =50

ư Tối ưu theo nhiễu và hệ kín có độ quá điều chỉnh Ä h không vượt quá 20% so vớih∞ = lim h(t) :t→∞

a) Bộ điều khiển P: Chọn kp =7b10ak7b

23ab) Bộ điều khiển PI: Chọn kp =

10ak6b

và TI =10

21ac) Bộ điều khiển PID: Chọn kp =

5ak, TI =2a và TD =50

ư Tối ưu theo tín hiệu đặt trước (giảm sai lệch bám) và hệ kín không có độ quá điều chỉnh Ä h :

a) Bộ điều khiển P: Chọn kp =3b10ak7b 6b

b) Bộ điều khiển PI: Chọn kp =20ak3b

và TI =5a

c) Bộ điều khiển PID: Chọn kp = 5ak

5 5

, TI =b và TD = .2

i

j

1 1 2 2 m m

j i

6 6

ư Tối ưu theo tín hiệu đặt trước (giảm sai lệch bám) và hệ kín có độ quá điều chỉnhÄ h không vượt quá 20% so với h∞ = lim h(t) :t→∞

a) Bộ điều khiển P: Chọn kp =7b10ak6b

b) Bộ điều khiển PI: Chọn kp =5ak

và TI =b

c) Bộ điều khiển PID: Chọn kp =19b20ak , TI =

27b20 và TD =

47a100

Phương pháp tổng T của Kuhn

Cho đối tượng có hàm truyền (1 + T t s )(1 + T t s ) " (1 + T t s ) S( s) = k 1 2 m eưsT , ( m < n ) (2.151)m m m(1 + T1 s)(1 + T2 s) " (1 + Tn s)

Giả thiết rằng hàm quá độ h(t) của nó có dạng hình chữ S như mô tả ở hình 2.105, vậy thì (2.151) phải thỏa mãn định lý 2.29, tức là các hằng số thời gian ở tử số T t phải đượcgiả thiết là nhỏ hơn hằng số thời gian tương ứng với nó ở mẫu số nếu như đã có sự sắp xếp:

T m . Nói cách khác,

t t t m m mT1 ≥ T2 ≥ " ≥ Tm và

thì cũng phải có

T1 ≥ T2

≥ " ≥ Tn

h(t)T t < T m , T t < T m , " , T t < T m k

AChú ý là các chữ cái t và m trong T t , T mi jkhông có ý nghĩa lũy thừa mà chỉ là ký hiệu nói rằng nó thuộc về đa thức tử số hay mẫu số trong hàm truyền S(s).Gọi A là diện tích bao bởi đường cong h(t)và k = lim h(t) . Vậy thì:t→∞

t

Hình 2.105: Quan hệ giữa diện tích vàtổng các hằng số thời gian.

Định lý 2.37: Giữa diện tích A và các hằng số thời gian T t , T m , T của (2.151) có mốii jquan hệ:n mA = kTể = k( ∑ T m ư ∑ T t + T ) j =1 i= 1 TểChứng minh:

7 7

Theo khái niệm về diện tích A thì∞A = ∫ [k ư h(t)]dt .0

j ij i

8 8

Chuyển hai vế đẳng thức trên sang miền phức nhờ toán tử Laplace và gọi A(s) là ảnhLaplace của A cũng như H(s) là ảnh của h(t), ta có:A(s) = 1 [ k ư H( s) ]s s

Vì A là hằng số nên nó có giới hạn A= lim A . Do đó nếu áp dụng định lý về giới hạnt →∞thứ nhất của toán tử Laplace, sẽ đi đến:A = lim [ k ư H( s) ] = lim k ư S ( s ) s→0 s s→0 sm m m t t t ưsT= k lim (1 + T 1 s )(1 + T 2 s ) " (1 + Tn s ) ư (1 + T 1 s )(1 + T 2 s ) " (1 + Tm s ) e s→ m m m0 s(1 + T1⎡ s)(1 + T2 s) " (1 + Tn s)

ư ưsT ⎤lim ⎢(T m + T m + " + T m ) ư (T t + T t + " + T t ) + 1 e ⎥Suy ra

= k 1 2s→0 ⎢⎣n m

n 1 2 m s

n mA = k( ∑ T m ư ∑ T t + T ) = kTể với Tể = ∑ T m ư ∑ T t + T Sj =1 i

=1j =1

i=1

Định lý 2.35 chỉ rằng T ể có thể dễ dàng được xác định từ hàm quá độ h ( t ) dạng hình chữ S và đi từ 0 của đối tượng ổn định, không dao động, bằng cách ước ượng diện tích A cũng như

k = lim h(t)t→∞

, Tể = A (2.152)k

Trên cơ sở hai giá trị k , T ể đã có của đối tượng, Kuhn đề ra phương pháp tổng Txác định tham số kp , TI , TD cho bộ điều khiển PID sao cho hệ hồi tiếp có quá trình quáđộ ngắn hơn và độ quá điều chỉnh Ä h không vượt quá 25%.Phương pháp tổng T của Kuhn bao gồm hai bước như sau [12]:

1) Xác định k , T ể có thể từ hàm truyền S(s) cho trong (2.151) nhờ định lý 2.35 và công thức (2.152) hoặc bằng thực nghiệm từ hàm quá độ h(t) đi từ 0 và có dạng hình chữ S của đối tượng theo (2.152).

2) Xác định tham số:ư Nếu sử dụng bộ điều khiển PI: Chọn kp = 1

2kT ể và TI =2

ư Nếu sử dụng bộ điều khiển PID: Chọn kp = 1, TI =k

2 T ể 3 và TD =0,167Tể

Phương pháp tối ưu độ lớn

9 9

Yêu cầu chất lượng đối với hệ thống điều khiển kín ở hình 2.107a) có đối tượng S ( s )và bộ điều khiển phải tìm R ( s ) , mô tả bởi hàm truyền tương đương:

10 10

G(s) = SR 1 + SR

là hệ thống luôn phải có được đáp ứng y(t) giống như tín hiệu lệnh được đưa ở đầu vào w(t) tại mọi điểm tần số hoặc ít ra thời gian quá độ để y(t) bám được vào w(t) càng ngắn càng tốt. Nói cách khác, bộ điều khiển lý tưởng R(s) cần phải mang đến cho hệ thống khả năng|G(j ự)| = 1 với mọi ự (2.153)

Nhưng trong thực tế, vì nhiều lý do mà yêu cầu R(s) thỏa mãn (2.153) khó đượcđáp ứng, chẳng hạn như vì hệ thống thực luôn chứa trong nó bản chất quán tính, tính "cưỡng lại lệnh" tác động từ ngoài vào. Song "tính xấu" đó của hệ thống lại được giảm bớt một cách tự nhiên ở chế độ làm việc có tần số lớn, nên người ta thường đã thỏa mãn với bộ điều khiển R(s) khi nó mang lại được cho hệ thống tính chất (2.153) trong một dải tần số rộng lân thuộc cận 0 (hình 2.106b). Dải tần số này càng rộng, hệ sẽ càng đi nhanhvào chế độ xác lập, tức là quá trình quá độ của hệ sẽ càng ngắn.a) b)L( ự)

Càng rộng càng tốtw e u yR(s) S(s) 0

ư20

Hình 2.106: Dải tần số mà ở đó có biên độ hàm đặc tính tần bằng 1, càng rộng càng tốt.

ư40

0,1ực ực 10ực ự

Bộ điều khiển R ( s ) thỏa mãn:|G(j ự)| ≈ 1 (2.154)trong dải tần số thấp có độ rộng lớn được gọi là bộ điều khiển tối ưu độ lớn. Hình 2.106b)là ví dụ minh họa cho nguyên tắc điều khiển tối ưu độ lớn. Bộ điều khiển R ( s ) cần phảiđược chọn sao cho miền tần số của biểu đồ Bode hàm truyền hệ kín G ( s ) thỏa mãn:L( ự) = 20lg |G(j ự)|≈ 0là lớn nhất. Dải tần số này càng lớn, chất lượng hệ kín theo nghĩa (2.154) càng cao.

Một điều cần nói thêm là tên gọi tối ưu độ lớn được dùng ở đây không mang ý nghĩa chặt chẽ về mặt toán học cho một bài toán tối ưu, tức là ở đây không có phiếm hàm đánh giá chất lượng nào được sử dụng do đó cũng không xác định cụ thể là với bộ điều khiển R(s) phiếm hàm đó có giá trị lớn nhất hay không. Thuần túy, tên gọi này chỉ mang tínhđịnh tính rằng dải tần số ự, mà ở đó G(s) thỏa mãn (2.154), càng rộng càng tốt.

R R

R R R

R R R

11 11

Phương pháp tối ưu độ lớn được xây dựng chủ yếu chỉ phục vụ việc chọn tham số bộđiều khiển PID để điều khiển các đối tượng S(s) có hàm truyền dạngư Quán tính bậc nhất: S(s) = k 1 + Tsư Quán tính bậc hai: S ( s ) = k (1 + T1s)(1 + T2s)ư Quán tính bậc ba: S(s) = k (1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3 s)

Tuy nhiên, cho lớp các đối tượng có dạng hàm truyền phức tạp hơn, chẳng hạn như (2.151), ta vẫn có thể sử dụng được phương pháp chọn tham số PID theo tối ưu độ lớn bằng cách xấp xỉ chúng về một trong ba dạng cơ bản trên nhờ phương pháp tổng T củaKuhn hoặc phương pháp tổng các hằng số thời gian nhỏ sẽ được trình bày dưới đây.1) Điều khiển đối tượng quán tính bậc nhất:

Xét hệ kín có sơ đồ khối cho trong hình 2.107a), trong đó: kp ư Bộ điều khiển là khâu tích phân: R(s)=TI s ư Đối tượng là khâu quán tính bậc nhất: S(s)= k 1 + Ts

(2.155) (2.156)

Như vậy sẽ có:ư Hàm truyền hệ kín:

G( s) = k TRs(1 + Ts) + k

với TR= TI kp

ư Hàm truyền hệ hở: kkp k G ( s) = R( s)S( s) = =

(2.157)

h T s(1 + Ts) T s(1 + Ts)I RSuy ra:2|G(j ự)| = k ⇔ | G(j ự)| 2 = k ( k ư T Tự 2 )2 + (ựT )2 k2 + (T 2 ư 2kT T )ự 2 + T 2T 2ự 4và để điều kiện (2.154) được thỏa mãn trong một dải tần số thấp có độ rộng lớn, tất nhiên người ta có thể chọn T R sao cho:

T 2 ư 2kT T = 0 ⇔ T = TI = 2kTkp

a) b) L( ự)w e R(s) u S(s) y

0ư20ư40

Hình 2.107: Điều khiển khâu quán tính bậc nhất ự

n n

12 12

Khi đó hệ kín có biểu đồ Bode cho ở hình 2.107b) với hàm truyền:

2G( s) = k = ự n , trong đó ự = 1 và D = 1 2kTs(1 + Ts) + k s2 + 2Dự s + ự2 n

2T 2

Định lý 2.38: Nếu đối tượng điều khiển là khâu quán tính bậc nhất (2.156), thì bộ điều

khiển tích phân (2.155) với tham sốTI = 2kTkp sẽ là bộ điều khiển tối ưu độ lớn.

Tiếp theo ta bàn về trường hợp đối tượng S ( s ) có dạng:S( s) = k

(2.158)(1 + T1s)(1 + T2s) " (1 + Tns)

Tất nhiên để áp dụng được định lý 2.38 với bộ điều khiển tối ưu độ lớn là khâu tích phân (2.155) thì trước tiên ta phải tìm cách chuyển mô hình (2.158) về dạng xấp xỉ khâu quán tính bậc nhất (2.156).Phương pháp xấp xỉ mô hình (2.158) thành (2.156) sau đây là phương pháp tổng các hằng số thời gian nhỏ. Nó được sử dụng chủ yếu cho các hàm truyền S(s) kiểu (2.158) cóT1 , T2 , … , Tn rất nhỏ. Sử dụng công thức khai triển Vieta cho đa thức mẫu số trong(2.158) đượcS s = k ( ) 1 + (T + T + "

+ T )s + (TT + TT + " )s2 + "

1 2 n 1 2 1 3

Do đó, ở những điểm tần số thấp, tức là khi s nhỏ, ta có thể bỏ qua những thành phầnnbậc cao của s và thu được công thức xấp xỉ (2.156) có T = ∑ Ti . Suy ra:i=1

Định lý 2.39: Nếu đối tượng điều khiển (2.158) có các hằng số thời gian T1 , T2 , … , T nT nrất nhỏ, thì bộ điều khiển tích phân (2.155) với tham số I = 2k ∑ Ti sẽ là bộ điều

khiển tối ưu độ lớn.kp i=1

Ví dụ 2.67: Minh họa định lý 2.39

Giả sử đối tượng điều khiển có dạng

S( s) = 2 (1 + 0,1s)6Vậy thì

k =2 và T = 0,6.

Do đó bộ điều khiển I được sử dụng sẽ có:

1,5

1

0,5

h(t)

2 4 6 8 10 12t14 16 18

13 13

TI = 2,4 ⇒ R( s) = 1 2, 4s Hình 2.108: Minh họa ví dụ 2.67

kR

2

I 1 p 1

14 14

Hình 2.108 là đồ thị hàm quá độ của hệ kín gồm bộ điều khiển I thiết kế được và đối tượng quán tính bậc cao đã cho. S2) Điều khiển đối tượng quán tính bậc hai:

Xét bài toán chọn tham số bộ điều khiển PID cho đối tượng quán tính bậc haiS(s) = k (1 + T1s)(1 + T2s) (2.159)

Khi đó, để hàm truyền hệ hở Gh (s) lại có dạng (2.157), và do đó sẽ sử dụng được định lý2.37, ta chọn bộ điều khiển PI thay vì bộ điều khiển I như đã làm với đối tượng quán tính bậc nhất:

R(s) = kp (1+ 1 ) =TI s

kp (1 + TI s ) TI s

= (1 + TI s ) TRs

, T = TI p

(2.160)

⇒ Gh (s) = R(s)S(s) = k(1 + TI s)TRs(1 + T1s)(1 + T2s) (2.161)

nhằm thực hiện việc bù hằng số thời gian T1 của (2.159), theo nghĩa TI =T1 . Với cách chọn tham số TI này, hàm truyền hệ hở (2.161) trở thành:kGh (s) = TRs(1 + T2s)và nó hoàn toàn giống như (2.157), tức là ta lại có được TR theo định lý 2.37:T T TTR = I = 2kT2 ⇔ kp = I = 1 kpVậy:

2kT2 2kT2

Định lý 2.40: Nếu đối tượng điều khiển là khâu quán tính bậc hai (2.159), thì bộ điều khiển PI (2.160) tối ưu độ lớn phải có các tham số T =T , k = T1 .I 1 p 2kT

Mở rộng ra, nếu đối tượng không phải là khâu quán tính bậc hai mà lại có hàm truyền S ( s ) dạng (2.158) với các hằng số thời gian T2 , T3 , … , Tn rất nhỏ so với T1, thì do nó có thể xấp xỉ bằng: k nS(s) = , trong đó T = ∑ Ti(1 + T1s)(1 + Ts) i=2

nhờ phương pháp tổng các hằng số thời gian nhỏ, ta còn có:

Định lý 2.41: Nếu đối tượng điều khiển (2.158) có một hằng số thời gian T1 lớn vượt trội và các hằng số thời gian còn lại T2 , T3 , … , Tn là rất nhỏ, thì bộ điều khiển PI(2.160) có các tham số T = T , k = T sẽ là bộ điều khiển tối ưu độ lớn.n2k ∑ Tii=2

kR

1 2

15 15

Ví dụ 2.68: Minh họa định lý 2.41

Giả sử đối tượng điều khiển có dạngS(s) = 3(1 + 2s)(1 + 0,1s)5

có k=3 , T1 =2 và T = 0,5

Chọn các tham số cho PI

1,5

1

0,5

h(t)

1 2 3 4 5t6 8 9 10

R(s) = 0,67(1+ 1 )2slà TI = 2 và kp = 0,67

Hình 2.109: Minh họa cho ví dụ 2.68

ta sẽ được chất lượng hệ kín mô tả bởi hàm quá độ của nó ở hình 2.109. S

3) Điều khiển đối tượng quán tính bậc ba:

Tương tự như đã làm với đối tượng là khâu quán tính bậc hai, nếu đối tượng làkhâu quán tính bậc ba có hàm truyền:S(s) = k (1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3 s)

ta sẽ sử dụng bộ điều khiển PID:

(2.162)

với

R(s) = kp (1+ 1 TI s +TD s) =

(1 + TA s )(1 + TA s ) TRs

, T = TI p (2.163)

TA +TB = TI và TA TB = TI TD

Khi đó, hàm truyền hệ hở sẽ lại trở về dạng (2.157), nếu ta chọnT = T , T = T ⇔ T = T +T , T = T1T 2 A 1 B 2 I 1 2 D T + TSuy raT T T + TTR = I = 2kT3 ⇔ kp = I = 1 2kpVậy:

2kT3 2kT3

Định lý 2.42: Nếu đối tượng điều khiển là khâu quán tính bậc ba (2.162), thì bộ điềuTT T + Tkhiển PID (2.163) với các tham số TI = T1+T2 , TD = 1 2 , k p = 1 2 sẽ là bộ

điều khiển tối ưu độ lớn.T1 + T2

2kT3

Trong trường hợp đối tượng lại có dạng hàm truyền (2.158), nhưng các hằng số thời gian T3 , T4 , … , Tn rất nhỏ so với hai hằng số còn lại T1, T2 thì khi sử dụng phương pháp tổng các hằng số thời gian nhỏ, để xấp xỉ nó về dạng quán tính bậc ba:

16 16

S(s) = k ntrong đó T = ∑ Ti

(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + Ts)

ta sẽ áp dụng được định lý 2.42 vớiTT

T + T

i=3

T I = T 1 + T 2 , T D = 1 2 , k p = 1 2 T1 + T2 n

2k T∑ ii=3Ví dụ 2.69: Minh họa định lý 2.42

Giả sử đối tượng điều khiển có dạng

S(s) = 4 (1 + 5s)(1 + 2s)(1 + 0,1s)4Vậy thì

k=4 , T1 =5 , T2 =2 , T = 0,4

Sử dụng PID (2.163) với

1,5

1

0,5

h(t)

1 2 3 4t5 6 7 8

TI = 7 , TD =1,43 và kp = 2,2Hình 2.110: Minh họa cho ví dụ 2.69

ta sẽ được chất lượng hệ kín mô tả bởi hàm quá độ của nó cho ở hình 2.110. S

Phương pháp tối ưu đối xứng

Có thể thấy ngay được sự hạn chế của phương pháp thiết kế PID tối ưu độ lớn là đối tượng S(s) phải ổn định, hàm quá độ h(t) của nó phải đi từ 0 và có dạng hình chữ S.Phương pháp chọn tham số PID theo nguyên tắc tối ưu đối xứng được xem như là một sự bù đắp cho điều khiếm khuyết trên của tối ưu độ lớn. Trước tiên, ta xét hệ kín cho ở hình 2.111a). Gọi Gh (s)=R(s)S(s) là hàm truyền của hệ hở. Khi đó hệ kín có hàmtruyền

G( s) = Gh ( s ) 1 + Gh ( s)

⇔ Gh (s) = G ( s ) 1 ư G( s)

và, giống như ở phương pháp tối ưu độ lớn, để có |G(jự) |≈1 trong dải tần số thấp thìphải có|Gh (j ự)| >> 1 trong dải tần ự nhỏ (2.164) Hình 2.111b) là biểu đồ Bode mong muốn của hàm truyền hệ hở Gh (s) gồm Lh ( ự)và ϕh ( ự). Dải tần số ự trong biểu đồ Bode được chia ra làm ba vùng:ư Vùng I là vùng tần số thấp. Điều kiện (2.164) được thể hiện rõ nét ở vùng I là hàmđặc tính tần hệ hở Gh (j ự) phải có biên độ rất lớn, hay Lh ( ự) >> 0. Vùng này đạidiện cho chất lượng hệ thống ở chế độ xác lập hoặc tĩnh (tần số nhỏ). Sự ảnh hưởng của nó tới tính động học của hệ kín là có thể bỏ qua.

1

I

17 17

ư Vùng II là vùng tần số trung bình và cao. Vùng này mang thông tin đặc trưng củatính động học hệ kín. Sự ảnh hưởng của vùng này tới tính chất hệ kín ở dải tần số thấp (tĩnh) hoặc rất cao là có thể bỏ qua. Vùng II được đặc trưng bởi điểm tần sốcắt Lh ( ực )= 0 hay |Gh (j ực )|=1. Mong muốn rằng hệ kín không có cấu trúc phứctạp nên hàm Gh (j ự) cũng được giả thiết chỉ có một tần số cắt ực .Đường đồ thị biên độ Bode Lh ( ự) sẽ thay đổi độ nghiêng một giá trị 20db/dec tạiđiểm tần số gẫy ựI của đa thức tử số và ư20db/dec tại điểm tần số gẫy ự1 của đathức mẫu số. Nếu khoảng cách độ nghiêng đủ dài thì đường ϕh ( ự) sẽ thay đổi mộtgiá trị là 900 tại ự và ư900 tại ự1 . Ngoài ra, hệ kín sẽ ổn định nếu tại tần số cắt đóhệ hở có góc pha ϕh ( ực ) lớn hơn ư ð (định lý 2.27). Bởi vậy, tính ổn định hệ kínđược đảm bảo nếu trong vùng I đã có | Gh (j ự)| >>1 và ở vùng II này, xung quanhđiểm tần số cắt, biểu đồ Bode Lh ( ự) có độ dốc là ư20dB/dec cũng như khoảng cáchđộ dốc đó là đủ lớn.ư Vùng III là vùng tần số rất cao. Vùng này mang ít, có thể bỏ qua được, những thông tin về chất lượng kỹ thuật của hệ thống. Để hệ không không bị ảnh hưởng bởi nhiễu tần số rất cao, tức là khi ở tần số rất cao G(s) cần có biên độ rất nhỏ, thìtrong vùng này hàm Gh (j ự) nên có giá trị tiến đến 0.a) b) Lh ( ự) ϕh ( ự)

w e yR(s) S(s) II

I

ựI ực

IIIự1 ự

Hình 2.111: Minh họa tư tưởng thiết kếbộ điều khiển PID tối ưu đối xứng

Có thể thấy ngay được rằng, nếu ký hiệu:ư ư1 ư1T I = ựI 1 , T c = ực , T 1 = ự1

thì hệ hở Gh (s) mong muốn với biểu đồ Bode cho trong hình 2.111b) phải là:G (s) = R(s)S(s) = kh (1 + TI s ) h s2 (1 + sT )1) Điều khiển đối tượng tích phân ư quán tính bậc nhất :

(2.165)

Từ (2.165) thấy được, khi đối tượng S(s) có hàm truyền dạng khâu tích phânưquán tính bậc nhất:

p

I 1

c I c 1

T1 I

p I c

18 18

S(s) = k s(1 + T1s)

thì với bộ điều khiển PI:R(s) = k (1+ 1

(2.166)

) (2.167)TI s

hệ hở sẽ có hàm truyền giống như (2.165) là:G (s) = R(s)S(s) = kpk (1 + TI s ) h T s2 (1 + T s) (2.168)Rõ ràng là trong vùng I, hàm Gh (s) theo (2.168) thỏa mãn (2.164). Để ở vùng II, biểu đồ biên độ Bode của Gh (s) có độ nghiêng ư20dB/dec xung quanh điểm tần số cắt ựcthì phải có1ựI =TIvà

1< ự1 =T1

⇒ TI >T1 (2.169)

|Gh (j ựI )| >|Gh (j ực )|=1 > |Gh (j ự1 )| (2.170)

Từ mô hình (2.168) của hệ hở, ta có góc phaϕh ( ự) = arcGh (j ự) = arctan( ựT I )ưarctan( ựT 1 )ưðNhằm nâng cao độ dự trữ ổn định cho hệ kín, các tham số bộ điều khiển cần phải được chọn sao cho tại tần số cắt ực góc pha ϕh ( ực ) là lớn nhất. Điều này dẫn đến:d ϕ h (ự c ) = 0 ⇒ TI ư T 1 = 0dự 1 + (ự T )21

1 + (ự T )2lg(ự ) + lg(ự )⇒ ực =

TI T1

⇒ lg( ực ) = I 1 2

(2.171)

Kết quả (2.171) này nói rằng trong biểu đồ Bode, điểm tần số cắt ực cần phải nằm giữa hai điểm tần số gẫy ựI và ự 1 (hình 2.111b). Đó cũng là lý do tại sao phương pháp có tên là đối xứng.Gọi khoảng cách giữa ựI và ự1 đo trong hệ trục tọa độ biểu đồ Bode là a , ta cólg a = lgự ư lgự = lg TI 1

⇒ a = TI T1 (2.172)

Như vậy, rõ ràng sẽ có (2.169) nếu có a >1. Thay ực cho trong (2.171) vào (2.170), ta sẽcó với (2.168) và (2.172)

|Gh (j ực )| =1 ⇔ k k 1 + (T ự )22 2 1

=1 ⇔ kp =(2.173)

TIực 1 + (T1ực )

kT1 a

Nói cách khác nếu đã có a >1 và (2.173) thì cũng có (2.170).

ự

19 19

Khoảng cách a giữa ựI và ự 1 còn là một đại lượng đặc trưng cho độ quá điều chỉnhÄ h của hệ kín nếu hệ có dao động. Cụ thể là a càng lớn, độ quá điều chỉnh Ä h càng nhỏ.Điều này ta thấy được như sau. Trong vùng II, hàm truyền hệ hở Gh (s) được thay thếgần đúng bằng (xem lại ví dụ 2.59):G h (s) ≈ 1

Tcs(1 + T1s) 1 với T c =c

Khi đó hệ kín sẽ có hàm truyền:G(s) = Gh ( s ) ≈ 1 = 1 1 + Gh ( s) 1 + Tcs + TcT1s2

T1 + 2DTs + (Ts)2

với T = TcT1

và 2D = cT1

⇒ lg2D =lg Tc ư lg T 1 = 1 lg a (vì tính chất đối xứng của ự )

2 4 c4 a⇒ D =2

< 1 nếu 16 > a >1

Vậy trong vùng II, hàm quá độ hệ kín có dạng dao động tắt dần khi 16 > a > 1 . Theo(2.99), độ quá điều chỉnh của hàm quá độ hệ kín sẽ là:⎛ ư ⎞ ⎛ ⎞Äh = exp ⎜ ð D ⎟ = exp ⎜ ưð a ⎟ (2.174)⎜ 1 ư D2 ⎟ ⎜ 4 ư a ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Công thức (2.174) xác nhận điều khẳng định là Ä h nghịch biến với 16 > a >1. Khi a > 16 mô hình xấp xỉ không dao động, song vẫn có độ quá điều chỉnh Ä h phụ thuộc a, do đókhoảng cách a sẽ được lựa chọn từ yêu cầu chất lượng hệ kín về độ quá điều chỉnh.

1,951,5

1

0,5

h(t)1,6

1

0,5

h(t)

a =2 a =4 t t1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8

Hình 2.112: Hàm quá độ hệ kín với bộđiều khiển PI có các tham số được chọn theo nguyên tắc điều khiển tối

ưu đối xứng. Minh

họa ví dụ 2.70

1,31

20 20

0,5 h(t)

1 2 3

a =9 t4 5 6 7 8

I 2 B 2

21 21

Tóm lại, nếu đối tượng là khâu tích phânưquán tính bậc nhất (2.166) thì bộ điềukhiển tối ưu đối xứng sẽ là bộ điều khiển PI (2.167) với các tham số xác định như sau:ư Xác định a từ độ quá điều chỉnh Ä h cần có của hệ kín theo (2.174), hoặc tự chọna > 1 từ yêu cầu chất lượng đề ra. Giá trị a đuợc chọn càng lớn, độ quá điều chỉnh càng nhỏ. Nếu a ≤ 1 , hệ kín sẽ không ổn định.ư Tính TI theo (2.172), tức là TI = aT11ư Tính kp theo (2.173), tức là kp =

kT1 a

Ví dụ 2.70: Xác định tham số tối ưu đối xứng cho bộ điều khiển PIXét đối tượng tích phânưquán tính bậc nhất mô tả bởiS(s) = 2 s(1 + 0,3s) , k=2, T1 =0,3

Chọn bộ điều khiển PI để điều khiển theo nguyên tắc tối ưu đối xứng

R(s) = kp (1+ 1 ) =kp (1 + TI s )

TI s TI s ta sẽ có các tham số sau được chọn theo (2.172) và (2.173):ư Khi a =2 : kp =1,18 , TI = 0,6ư Khi a =4 : kp =0,83 , TI = 1,2ư Khi a =9 : kp =0,56 , TI = 2,7Hình 2.112 là đồ thị hàm quá độ hệ kín ứng với các tham số bộ điều khiển đã được chọn cho cả ba trường hợp nêu trên. S2) Điều khiển đối tượng tích phân ư quán tính bậc hai :Để điều khiển đối tượng là khâu tích phânưquán tính bậc hai:S(s) = k s(1 + T1s)(1 + T2s)

ta sử dụng bộ điều khiển PID(2.175)

R ( s ) = k p ( 1+ 1 + T D s ) =kp (1 + TA s )(1 + TB s ) (2.176)

có các tham số:TI s TI s

T A + T B = T I , T A T B = T I T D và T A = T 1 (2.177)

vì với nó, hệ hở cũng sẽ có hàm truyền dạng (2.165) và (2.168):G (s)= R(s)S(s)= kpk (1 + TB s ) h T s2 (1 + T s)

= kp ⋅ k (1 + TB s ) T s2 (1 + T s) với

kp =kpTBTI

(2.178)

TB 2 I A B D

22 22

Do hàm truyền (2.178) giống gần như hoàn toàn so với (2.168) của bài toán điều khiển đối tượng tích phânưquán tính bậc nhất (chỉ có một điểm khác biệt duy nhất là k p được thay bởi kp ), nên ta cũng có ngay được các tham số tối ưu đối xứng của bộ điềukhiển PID (2.176):

TB = aT2 và kp =

1kT2 a

Suy ra, các tham số tối ưu đối xứng của bộ điều khiển PID (2.176) sẽ được chọn như sau:ư Chọn TA = T1ư Xác định 4 > a > 1 từ độ quá điều chỉnh Ä h cần có của hệ kín, hoặc chọn a >1 từyêu cầu chất lượng đề ra. Giá trị a đuợc chọn càng lớn, độ quá điều chỉnh càng nhỏ. Để hệ kín không có dao động thì chọn a ≥ 4 . Hệ kín sẽ không ổn định với a ≤ 1. ư Tính T = aT . Từ đó suy ra T =T +T và T = TA TB I ư Tính kp = 1 rồi suy ra kp =

kpTI

kT2 a TBVí dụ 2.71: Thiết kế bộ điều khiển PID tối ưu đối xứngXét đối tượng tích phânưquán tính bậc haiS(s) = 2 s(1 + 3s)(1 + 5s)

1,5

1

0,5

h(t)

Từ

k =2 ; T 1 =3 ; T 2 =5 20 40

60 80 100 120 t

ta có với a =8

k p = 0,04 ; TI = 43 ; TD = 2,8Hình 2.113: Minh họa cho ví dụ 2.71

cho bộ điều khiển PID. Hình 2.113 biểu diễn hàm quá độ hệ kín. S

3) Giảm độ quá điều chỉnh bằng bộ điều khiển tiền xử lý:

Quy tụ chung lại ở phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID tối ưu đối xứng là từ hàm truyền S ( s ) của đối tượng, bộ điều khiển R ( s ) phải được chọn sao cho cùng với nó,hệ hở của hệ thống có hàm truyền

Gh (s) = R(s)S(s) =

trong đó

k(1 + Ts)kpTs2 (1 + T2s)

ư Nếu đối tượng là khâu tích phânưquán tính bậc nhất (2.166) thì:

23 23

kp = k p và T = T I với k p , T I là hai tham số của bộ điều khiển PI (2.167).

h 2 2

24 24

ư Nếu đối tượng là khâu tích phânưquán tính bậc hai (2.175) thì: kpTBkp =TI

và T = T B với k p , T B là hai tham số của bộ điều khiển PID (2.176).

ở cả hai trường hợp này, các tham số của bộ điều khiển tối ưu đối xứng luôn được chọn để hàm truyền hệ hở trở thành:G ( s ) = 1 + aTsa aT s (1 + Ts)

Tham số a được chọn từ yêu cầu chất lượng cần có của hệ kín. Cụ thể là:ư Hệ kín có dao động (tắt dần) khi 16> a >1. Nếu a ≥ 16 hệ kín sẽ không có dao động.ư Hệ kín sẽ không ổn định với a ≤ 1. ư Độ quá điều chỉnh Ä h của hệ kín và a tỷ lệ nghịch với nhau theo (2.174).ư Khi a được chọn càng lớn, vùng I sẽ càng hẹp làm cho miền tần số mà tại đó chất lượng hệ thống được đánh giá theo biên độ hàm đặc tính tần hệ kín |G(j ự)|≈1càng thấp.

Vậy làm thế nào nâng cao được chất lượng hệ thống theo nghĩa mở rộng miền tần số mà ở đó có | G(j ự)|≈1 nhưng lại không làm tăng độ quá điều chỉnh Ä h của hệ kín?. Đểtrả lời ta hãy xác định hàm truyền hệ kínG( s) = Gh ( s ) = 1 + aTs 1 + Gh ( s) 1 + aTs + a aT 2s2 + a aT 3 s3

sẽ thấy nguyên nhân làm tăng độ quá điềuchỉnh Ä h chính là thành phần vi phân có trongđa thức tử số của G(s). Nhận xét này đưa đếnsuy nghĩa là để giảm độ quá điều chỉnh này ta

wM(s)

yGh (s)

nên nối hệ kín với khâu tiền xử lý:

M ( s ) = 1 1 + aTs

Hình 2.114: Giảm độ quá điều chỉnh bằng bộ tiền xử lý.

để loại bỏ thành phần vi phân này ra khỏi đa thức tử số (hình 2.114).

Vấn đề còn lại là xác định tham số a để hệ mới với hàm truyền G( s) =M(s)G(s) có dải tần số thấp thỏa mãn | G( jự ) | ≈ 1 là rộng nhất, giống như ở phương pháp tối ưu độlớn. Để thực hiện được điều đó, ta đi từ: | G( jự ) | 2 =

1 + a aT 2 (1a ư 2)ự 2 + a2

aT 4 (

a ư 2)ự 4 + a3T 6ự6

và thấy, để có | G( jự ) | ≈ 1 trong miền tần số thấp có độ rộng lớn nhất thì:a =2 ⇒ a = 4Cuối cùng, ta đi đến kết luận:

2

25 25

ư Nếu đối tượng là khâu tích phânưquán tính bậc nhất (2.166) thì1a) Chọn bộ điều khiển PI (2.167) với kp =

b) Chọn bộ tiền xử lý M(s)= 1 1 + 4T1s

2kT1, TI =4T1

ư Nếu đối tượng là khâu tích phânưquán tính bậc hai (2.175) thì:4TT Ta) Chọn bộ điều khiển PID (2.176) với: TI =T1 +4T2 , TD = 1 2 , kp = I

b) Chọn bộ tiền xử lý M(s) = 1 1 + 4T2s

T1 + 4T2 8kT 2

Ví dụ 2.72: Nâng cao chất lượng hệ thống điều khiển tối ưu đối xứng

Xét lại đối tượng đã cho trong ví dụ 2.71. Với a = 4 ta có các tham số tương ứng

TI = 23 , TD = 2,6 , kp=0,0125cho bộ điều khiển PID. Hình 2.115 biểu diễn hàm quá độ h(t) của hệ kín cho hai trường hợp không có và có bộ điều khiển tiền xử lýM(s) = 1 S1 + 20s

1,5h(t)

1,5h(t)

1 1

0,5 Không có bộ tiền xử lý 0,5 Có bộ tiền xử lýt t

20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120

Hình 2.115: Minh họa ví dụ 2.72.

4) Khả năng ứng dụng cho đối tượng tích phân ư quán tính bậc cao :

Với nội dung trình bày ở trên thì phương pháp chọn tham số tối ưu đối xứng cho bộđiều khiển PID chỉ dừng lại ở hai lớp đối tượng:ư Tích phânưquán tính bậc nhất với hàm truyền (2.166)ư Tích phânưquán tính bậc hai với hàm truyền (2.175)Tuy nhiên, nó vẫn có thể áp dụng cho cả lớp đối tượng tích phânư quán tính bậc cao S (s)có hàm truyền

S(s) = k (2.179)s(1 + T1s)(1 + T2s) " (1 + Tns)

n

26 26

nhờ phương pháp tổng các hằng số thời gian nhỏ, đã được áp dụng trong phương pháp tối ưu độ lớn, giúp chuyển hàm truyền (2.179) về một trong hai dạng cơ bản đã xét. Cụ thể là:ư Nếu tất cả các hằng số thời gian T1 , T2 , … , Tn của (2.179) là rất nhỏ thì nó sẽđược xấp xỉ về dạng tích phânư quán tính bậc nhấtnS( s) ≈ k , trong đó T = ∑ T (2.180)s(1 + Ts) i i=1ư Nếu chỉ có một hằng số thời gian lớn vượt trội, chẳng hạn là T 1 , và các hằng số thời gian còn lại T2 , T3 , … , Tn của (2.179) rất nhỏ, thì nó sẽ được xấp xỉ về dạng tích phânư quán tính bậc haiS( s) ≈ k , trong đó n

T = ∑ Ti (2.181)s(1 + T1s)(1 + Ts) i=2

Song một điều cần phải chú ý khi sử dụng phương pháp xấp xỉ hàm truyền nêu trên là sự xấp xỉ đó chỉ thỏa mãn về mặt biên độ (nên nó chủ yếu được áp dụng cho bộ điều khiển tối ưu độ lớn) chứ không xấp xỉ được góc pha, trong khi bộ điều khiển tối ưu đốixứng lại rất để ý đến góc pha ϕh ( ực ) của hệ hở để đảm bảo tính ổn định cho hệ kín. Việcxấp xỉ các hằng số thời gian T1 , T2 , … , Tn cũng như T2 , T3 , … , Tn bởi T nhờ (2.180)hoặc (2.181) đã vô hình chung xấp xỉ quá thô sự thay đổi góc pha từ ưn ð thành ư ð .2 2Điều này rất dễ đưa đến sự vi phạm điều kiện về góc pha ϕh ( ực ) và làm cho hệ kín mấtổn định.

Chọn tham số PID tối ưu theo sai lệch bám

Xét hệ SISO, làm việc theo nguyên lý hồi tiếp, gồm đối tượng S(s) và bộ điều khiểnPID (hoặc PI) như hình 2.116 mô tả. Bài toán có nhiệm vụ xác định các tham số của bộđiều khiển PI, gồm kp , TI trong công thức (2.167) hoặc kp , TI , TD trong (2.176) sao cho tín hiệu ra y ( t ) "bám" được vào tín hiệu lệnh w ( t ) một cách tốt nhất theo nghĩaQ = ║w(t)ưy(t)║2 =║e(t)║2 → min!

Gọi E ( s ) là ảnh Laplace của e ( t ) với cấu trúc (2.125), tức là b + b s + " + b s nư1E(s)= 0 1 n ư1 a0 + a1s + " +

anư1snư1

+ sn w ePID S(s)

n r y

Khi đó, rõ ràng tất cả các tham số bi , ak với di=0,1,…, m , k=0,1,…, n của E(s) là phụthuộc vào bộ tham số kp , TI , TD cần xácđịnh của bộ điều khiển. Hình 2.116: Nhiệm vụ bài toán xác định tham

số tối ưu cho bộ điều khiển PID.