13

14 MODELIRANJE KRVOTOKA, DISAJNIH ORGANA I HRSKAVICE

U ovoj glavi se izlau osnovne jednaine laminarnog strujanja fluida, a zatim se na osnovu tih jednaina izvode jednaine koje odgovaraju diskretizovanom domenu metodom konanih elemenata. Takoe se opisuje izvoenje jednaina i nain reavanja problema solid-fluid interakcije. Od primera su pokazani modeli strujanja krvi kroz arterije, model stenta unutar femoralne arterije, i strujanje vazduha u disajnim organima. Zatim je dato izvoenje jednaina i nain reavanja mehanikog modela hrskavice kao i nekoliko karakteristinih primera reenja.

14.1 OSNOVNE JEDNAINE LAMINARNOG STRUJANJA FLUIDA

Zakon odranja mase (jednaina kontinuiteta). U mehanici kontinuma veliine koje se posmatraju (kao npr. deformacija, napon u materijalu, brzina taaka materijala, temperatura, gustina) jesu funkcije prostora i vremena. Postoje dva izbora posmatranja promenljive veliine u prostoru. Jedan je Lagraneov opis kod koga se veliina posmatra zajedno sa kretanjem materijalne estice, tj. neka promenljiva f je funkcija materijalnih (poetnih) koordinata

(14.1)gde su ai poetne koordinate materijalne take u trenutku t=0; xi su koordinate u trenutku t, a ui su komponente pomeranja materijalne take, kao to je prikazano na Sl. 14.1. Ovakav nain opisivanja je primenljiv kod kretanja solida jer je tekua vrednost vezana za taku materijala i uzima u obzir prethodna stanja (najee samo poetno stanje), odnosno istoriju promene (v. Gl. 13).

SLIKA 14.1 Definicije koordinata

Drugi nain opisivanja promene fizike veliine je Ojlerov, koji se primenjuje za fluide, kod kojih su relativna pomeranja materijalnih taaka u toku kretanja fluida znaajna. Kod Ojlerovog opisa praktino se posmatra taka u prostoru i veliina vezana za materijalnu taku koja se u datom trenutku nalazi u toj taki prostora. Time se ustvari uvodi prostorno polje fizike veliine f(x1,x2,x3), tj.

(14.2)Ako se primeni osnovni zakon odranja mase, tj. da se masa ne moe ni stvoriti ni unititi, onda dobijamo jednainu kontinuiteta oblika

(14.3)Kako je kontrolna zapremina prostora V proizvoljna, sledi jednaina kontinuiteta u taki,

(14.4)odnosno u razvijenoj formi:

(14.5)gde, kako se vidi, ponovljen indeks znai sabiranje. Ukoliko je fluid nestiljiv, tj.

(14.6)jednaina kontinuiteta ima oblik

(14.7)Navije-Stoksove jednaine. Posmatra se odreena fiksna zapremina fluida u trenutku t kao na Sl. 14.2. Spoljanje sile su predstavljene kao povrinske sile po jedinice povrine i zapreminske sile po jedinici mase.

SLIKA 14.2 Dvodimenzijske definicije zapreminske i povrinske sile

Na osnovu jednaine promene koliine kretanja (drugi Njutnov zakon) dobija se

(14.8)Korienjem jednaine odranja mase (14.4), ova jednaina se svodi na

(14.9)gde konvektivni lan u razvijenom obliku ima izgled,

(14.10)Na osnovu Koijeve teoreme [1] i Gausove teoreme o pretvaranju povrinskog u zapreminski integral, dobija se

(14.11)gde su komponente napona (videti jednainu (13.3)). Dalje se uvode konstitutivne relacije za Njutnov fluid,

(14.12)gde su p pritisak fluida, ( dinamika viskoznost, a tenzor brzine deformacije

(14.13)Kada se jednaine (14.12) i (14.13) zamene u (14.11), dobija se

(14.14)pri emu se podrazumeva sabiranje po ponovljenom indeksu (j=1,2,3).

Poto je kontrolna zapremina prostora V proizvoljna, moe se napisati diferencijalni oblik jednaina balansa sila (14.11) i (14.14),

(14.15)

(14.16)Tri skalarne jednaine (14.16) se uobiajeno zovu Navije-Stoksove jednaine za nestiljiv viskozni fluid.14.2 JEDNAINE KONANIH ELEMENATA

Ovde iznosimo osnovne postavke modeliranja fluida metodom konanih elemenata. Izlaganje se oslanja na izloenu materiju u Gl. 13. Podrazumeva se implicitna formulacija, tj. formulacija u kojoj se uslovi balansa postavljaju za kraj vremenskog koraka integracije.

Meovita formulacija. Jedna od najee zastupljenih metoda reavanja strujanja fluida je meovita (brzine-pritisci, v-p) formulacija [2-10]. U ovoj formulaciji istovremeno se reavanju oba fizika polja od interesa, brzina i pritisak.

Ovde emo pretpostaviti da imamo Njutnov fluid, tako da su jednaine ravnotee oblika (14.15). Pored jednaina ravnotee, moraju biti zadovoljeni granini uslovi koji mogu biti:

- zadate brzine fluida na povrini S1:

(14.17)- zadate povrinske sile na povrini S2:

(14.18)gde su nj komponente jedininog vektora normale na povrinu S2. U poslednjoj jednaini koriena je Koijeva formula (13.4). Naravno, vai uslov da povrine S1 i S2 koje se ne preklapaju ine ukupnu povrinu S,

(14.19)Da bi se dobile jednaine balansa konanog elementa, primenjuje se Galerkinova metoda [3-10]. Polazimo od toga da se brzine vi i pritisak fluida p u polju konanog elementa mogu izraziti korienjem interpolacionih funkcija i vrednosti u vorovima (v. jednainu (13.43)),

(14.20)gde su H( interpolacione funkcije za brzinu fluida, pri emu je (=1,..,M; G( su interpolacione funkcije za pritisak, pri emu (=1,...,N. Ovde M i N predstavljaju broj vorova po elementu za brzinu i pritisak. Dalje, jednaine balansa (14.16) i (14.7) pomnoimo, respektivno, interpolacionim funkcijama i i integralimo po zapremini konanog elementa, tako da dobijamo jednaine:

(14.21)

(14.22)Ako se izvri parcijalna integracija i prevoenje prva dva integrala na desnoj strani (14.21) u povrinske integrale, dobija se umesto (14.21):

(14.23)Kod meovite formulacije v-p (brzina-pritisak) i implicitne integracije, za definisanje veliine pritiska uzimaju se interpolacijske funkcije uvek za red nie nego za brzine. U zavisnosti od broja vorova po elementu i tipa elementa kod v-p meovite formulacije, iskustveno je dobijen broj vorova po elementu (broj interpolacionih funkcija) za brzinu i pritisak; pregled je dat u Tabl. 14.1.

TABELA 14.1 Tip elementa i broja vorova za brzinu i pritisakTip elementaBroj vorova po elementuBroj vorova po elementu za v i p

Brzina vPritisak p

2-D441

994

3-D881

21218

27278

Kada se zamene brzine i pritisak iz jednaine (14.20) u jednaine (14.23) i (14.22), dobija se:

(14.24)gde su , kao i

(14.25)Prethodne jednaine se mogu napisati u matrinom obliku u obliku

(14.26)gde su:

matrica masa

(14.27)matrica konvektivnog lana

(14.28)matrica viskoznog lana

(14.29)matrica gradijenta pritiska

(14.30)vektor zapreminskih sila

(14.31)vektor povrinskih sila

(14.32)ovde su vektori koji sadre komponente x,y,z vorova, respektivno.Poto se u konvektivnom lanu pojavljuju brzine, problem je nelinearan i neophodan je iterativni postupak za reavanje sistema jednaina u vremenskom koraku.Brzina i pritisak na kraju koraka se izraavaju preko tekuih vrednosti i prirataja u iteraciji,

(14.33)gde je m tekui broj iteracije. Takoe se izvod po vremenu iz jednaine (14.24) moe napisati preko Ojlerove eme unapred ("forward"):

(14.34)Kada se izrazi (14.33) i (14.34) zamene u jednaine (14.24) i (14.25), njihov matrini oblik dat jednainom (14.26) postaje [11]:

(14.35)sa matricama koje slede iz ove zamene. Jednaina (14.35) reava se nesimetrinim solverom [10] poto je globalna matrica leve strane ove jednaine nesimetrina usled konvektivnog lana koji je prisutan zbog Ojlerove formulacije fluida. Samim tim reavanje ovakvog sistema namee dvostruko vee memorijske resurse raunara nego to je to recimo sluaj kod reavanja problema modeliranja solida opisanog u Gl. 13, gde se koristi simetrini solver. Generalizacija problema strujanja fluida na sluajeve kada se granice fluida znaajno menjaju izloena je u ref. [11,12].14.3 SOLID-FLUID INTERAKCIJA

U ovom odeljku ukratko je opisan postupak reavanja spregnutih problema solida i fluida [13-17]. Problem je spregnut kada fluid izaziva deformisanje solida, koje sa druge strane utie na strujanje fluida. Osnovno pitanje koje se postavlja jeste koji je najbolji nain povezivanja reavanja solida opisanog u Gl. 13 i strujanja fluida. Ovde iznosimo dva koncepta reavanja, tzv. jako i slabo sprezanje.Uvodna razmatranja. U poetnim istraivanjima u reavanju spregnutih problema postavilo se pitanje da li je neophodno menjati ve postojee programe za analizu solida i fluida, odnosno da li je potrebno ponovo pisati solvere za istovremeno reavanje solida i fluida. Pokazalo se da je veoma komplikovano praviti nove solvere koji bi istovremeno reavali solid-fluid interakciju [14-17]. Da bi se uspeno reili interdisciplinarni problemi, zasada se uzimaju programi za CFD (Computational Fluid Dynamics) i CSD (Computational Solid Dynamics) onakvi kakvi jesu, i prave se novi specijalizovani upravljaki programi koji koriste mogunosti oba solvera i upravljaju njihovim reavanjem [18-20].U principu, izdvojili su se sledei pravci u reavanju problema interakcija solid-fluid:

jako sprezanje (kada se sve reava u jednom sistemu jednaina); i

slabo sprezanje (kada se spoljanjim programom upravlja reavanjem posebno problema solida i problema fluida)

Imajui u vidu gore reeno, slabo sprezanje na prvi pogled predstavlja bolju alternativu. Meutim i ovaj prilaz, zbog svojih specifinosti koje se inae ne javljaju u metodi jakog sprezanja, sadri niz problema. Tu se pre svega misli na vremensku integraciju. Naime, zbog razliitosti samih fizikih karakteristika solida i fluida, ne moe se generalno koristiti isti vremenski korak reavanja. Jer, domeni numerike stabilnosti su naravno potpuno razliiti pri reavanju problema solida i problema fluida. Druga tekoa se javlja prilikom transfera podataka izmeu programa CFD i CSD. Razliita diskretizacija dodatno oteava problem, jer je potrebno preneti informacije sa jedne na drugu mreu sa najee razliitom diskretizacijom.

Osnovne jednaine sprezanja. Da bi se bolje razumela priroda sprezanja izmeu fluida i solida, korisno je napisati osnovne jednaine za CSD i CFD posle diskretizacije na domene fluida i solida. Diskretni sistem jednaina za dinamiku solida glasi:

(14.36)gde su: M - konstantna matrica masa; - konstantna matrica priguenja; - matrica krutosti u koja moe zavisiti od pomeranja, - vektor spoljanjih sila; i - su vektori ubrzanja brzine i pomeranja. Jednaina (14.36) moe se napisati u inkrementalnom obliku po vremenu i pritom se vektori ubrzanja i prirataja pomeranja mogu izraziti preko prirataja brzine . Onda jednaina za solid (14.36) dobija oblik

(14.37)gde je vektor sile koji se dobija iz ovako izvedenog inkrementalnog postupka.

Sa druge strane, prema jednaini (14.35), inkrementalne jednaine za fluid mogu da se napiu u obliku

(14.38)gde su i odgovarajue matrice leve strane sistema jednaina za brzinu i pritisak fluida, vf je brzina, je vektor pritiska u vorovima, fv je desna strana za brzinu i fp desna strana za pritisak fluida. Ovde su, radi jednostavnosti izlaganja, izostavljene oznake za iteracije.

Zajedniki stepeni slobode u ovim sistemima jednaina mogu se podeliti na unutranje (koji pripadaju domenima solida i fluida posebno) i na granine (zajedniki za solid i fluid). Naime, ako se indeksima sf oznae stepeni slobode solida koji se nalaze na zajednikim povrinama sa fluidom, a sa fs stepeni slobode fluida koji se nalaze na tim povrinama, onda se sistem jednaina (14.37) za solid moe napisati u obliku

(14.39)gde jesila optereenja od fluida na zajednikim dodirnim povrinama. Slino se moe podeliti sistem jednaina (14.38) kojima se reavaju problemi fluida,

(14.40)Za viskozne fluide imamo da su brzine na dodirnim povrinama jednake, tj. vfs=vsf, dok su kod neviskoznih fluida jednake samo normalne komponente brzina, tj. n(vfs= n(vsf. Sabiranjem sistema jednaina (14.39) i (14.40) dobija se spregnuti sistem jednaina u obliku [11]

(14.41)Za reavanje ovakvog sistema jednaina mogu se primeniti dve metode: tzv. jako i slabo sprezanje, to se izlae u daljem tekstu.Jako sprezanje. Osnovna ideja jakog sprezanja je da se kompletan sistem jednaina reava u jednom koraku. U ovom sluaju se sve veliine i za fluid i za solid menjaju istovremeno. Ova metodologija postaje previe skupa, posebno u sluaju 3D problema. Takoe je vrlo komplikovano reavati solide i fluide sa razliitom diskretizacijom (mreom konanih elemenata). Pored toga, matrice sistema za solid i fluid numeriki su razliite i za vie redova veliine, tako da zbog takve zajednike matrice sistema u optem sluaju moe doi do nestabilnosti reenja (ill-condition). Ovo praktino dovodi u pitanje korienje programa za reavanje odvojenih problema solida i fluida koji su razvijani u dugom vremenskom periodu. Napomenimo da za neke manje 2D probleme ova tehnika moe biti uspeno primenjena.

Slabo sprezanje. Metodologija slabog sprezanja sadri niz prednosti. Pre svega, glavna prednost je korienje ve postojeih programa za reavanje solida i fluida sa vrlo malo izmena. Raunanja veliina kojima se opisuju solid i fluid jesu nezavisna i u posebnim programima, pri emu se granine informacije razmenjuju u svakom vremenskom koraku.

CFD programu za fluide je pri reavanju potrebno proslediti granine uslove za tekuu geometriju dodirnih povrina sa solidom kao i brzine kretanja taaka tih povrina. Ova informacija se naravno dobija od CSD programa za reavanje solida. Sa druge strane, CSD programu se prenose optereenja (pritisni i smiui naponi, odnosno sile) od dejstva fluida na dodirnim povrinama. Ta optereenja se dobijaju korienjem CFD programa. Dakle, imamo interakciju izmeu solvera CFD i CSD. Ova interakcija je prikazana na Sl. 14.3.

U procesu reavanja slabog sprezanja interakcije solid-fluid, neophodna su u principu etiri meusobno povezana programa:

1. CSD solver za reavanje problema solida;

2. CFD solver za reavanje problema fluida i korenje posebne (ALE Arbitrary Lagrangian Eulerian) formulacije za pokretne mree;

3. Generatori mrea konanih elemenata koji su opteg tipa;

4. Glavni upravljaki program za prenos informacija izmeu gore navedenih programa.

SLIKA 14.3 Razmena informacija za reavanje problema solid-fluid interakcije

CSD solver slui za reavanje deformacija konstrukcije (solida). Ovaj program slui za reavanje razliitih problema solida kao to su: male/velike deformacije, materijalni modeli (elastini, elasto-plastini, itd.), kontakt, trenje, mehanika loma, itd. Takoe, tu su razliiti tipovi konstrukcija: 2D, 3D, ljuske, itd. (v. Gl. 13).CFD solver slui za reavanje problema strujanja fluida koji je u interakciji sa solidom. Ovakvim solverima reavaju se razliiti reimi strujanja: vrtlono/bezvrtlono, stiljivo/nestiljivo, viskozno/neviskozno, laminarno/turbulentno, subsonino/transonino/ supersonino, itd. Dodatna specifinost kod CFD solvera je u tome to se mogu reavati i domeni fluida koji se kree. U tom sluaju je neophodno primeniti metode koje reavaju probleme fluida u pokretnoj geometriji, kao to je recimo ALE formulacija [11,12].Generatori mrea slue za korigovanje mrea u domenu fluida koje se menjaju usled deformacije solida. Naime, moe se dogoditi da doe do distorzije mree usled deformacija solida na dodirnim povrinama sa fluidom, tako da je nekad neophodno izvriti i globalno regenerisanje (remeshing) domena fluida. Glavne karakteristike programa za generisanje mrea je da mogu da rade sa proizvoljnom geometrijom. Glavni upravljaki program slui za neophodnu razmenu podataka izmeu CSD i CFD solvera, kao i za upravljanje u toku samog procesa reavanja po vremenskim koracima. Dakle, postupak za povezivanje programa u principu bi bio sledei:

Potrebno je korigovati programe za reavanje solida i fluida na taj nain da glavni upravljaki CSD i CFD programi postanu veliki potprogrami;

Potrebno je program za generisanje mrea pretvoriti u potprogram;

Potrebno je napisati glavni upravljaki program koji kontrolie startovanje i prenosi informacije izmeu potprograma.

14.4 STRUJANJE KRVI KROZ ARTERIJE

U ovom odeljku modeliranje strujanja fluida primenjuje se na probleme toka krvi kroz velike arterije. Prvo su opisani osnovni fiozioloki parametri karakteristini za strujanje krvi u arterijama kod oveka, a zatim su prikazana neka reenja dobijena numerikim modeliranjem.Uvodna razmatranja o strujanju krvi kod oveka. Uloga cirkulacije krvi kod oveka je da transportuje hranljive supstrate u tkiva, uklanja otpadne proizvode, prenosi hormone i, uopte, da odrava adekvatnu bioloku sredinu u svim tkivnim tenostima za optimalne funkcije elija [22]. Cirkulacija je podeljena na sistemsku i plunu cirkulaciju kao to je prikazano na Sl. 14.4. Sistemska cirkulacija se naziva jo i veliki krvotok ili periferna cirkulacija, poto snadbeva krvlju sva tkiva izuzev plua. Uobiajena podela cirkulatornog sistema je na: arterije, arteriole, kapilare, vene i venule.

SLIKA 14.4 Raspodela krvotoka u razliitim delovima cirkulatornog sistemaArterije prenose krv pod visokim pritiskom u tkiva. Zbog toga arterije imaju jak vaskularni zid a strujanje krvi u njima je sa velikim brzinama.

Arteriole su poslednje male grane arterijskog sistema koje imaju ulogu kontrolnih valvula preko kojih krv dolazi u kapilare. Arteriole imaju debeo miini zid koji je u stanju da potpuno zatvori arteriole ili da ih potpuno dilatira, u zavisnosti od potreba tih tkiva. Kapilari imaju ulogu u razmeni tenosti, hranljivih supstrata, elektrolita, hormona i drugih supstanci. Zbog toga je kapilarni zid veoma tanak i propustljiv (permeabilan) za male molekule.Vene imaju ulogu da transportuju krvi iz tkiva u srce, ali, to je veoma vano, i da pri tome slue kao veliki rezervoar krvi. Pritisak u venskom sistemu je veoma nizak, tako da su venski zidovi tanki, a strujanje sporo. Venule prikupljaju krv iz kapilara i ulivaju se u vee vene. Najvei deo krvi u sistemskoj cirkulaciji smeten je u sistemske vene. Sa Sl. 14.4 moe se videti da je oko 84% itave zapremine krvi u sistemskoj cirkulaciji i to: 64% u venama, 13% u arterijama i 7% u sistemskim arteriolama i kapilarima. U srcu se nalazi oko 7% ukupne zapremine krvi, a u pluima 9%. Kako ista zapremina krvi protie kroz sve segmente cirkulacije kontinualno, brzina krvi je obrnuto proporcionalna povrini preseka. U stanju mirovanja brzina protoka kroz aortu iznosi 33 cm/s, a u kapilarima samo jedan hiljaditi deo ove brzine, ili 0,31 mm/s. Srce pumpa kontinualno krv u aortu pri srednjem pritisku od 100 mmHg (13,3 kPa). To pumpanje je pulzatorno pa tako arterijski pritisak osciluje izmeu sistolnog nivoa od 120 mmHg do dijastolnog od 80 mmHg. Krv protie kroz sistemsku cirkulaciju i pritisak postepeno opada da bi bio priblino 0 mmHg u trenutku kada dosegne do kraja vena, na ulasku u desnu pretkomoru srca.Proseni protok krvi u cirkulaciji odraslog oveka iznosi 5 l/min. On se zove minutni volumen srca, jer je to koliina krvi koju srce ispumpa za jedan minut. Srani ciklus sastoji se iz perioda relaksacije nazvanog dijastola za vreme koga se srce puni krvlju, posle koga sledi period kontrakcije, koji se zove sistola. Krv koja ulazi u arterije izaziva istezanje njihovih zidova i porast pritiska u njima. Kada na kraju sistole leva komora prestane da istiskuje krv i valvule se zatvore, visok pritisak u arterijama za vreme dijastole odrava se zahvaljujui elastinim svojstvima arterija. Postoje dva oblika sranog rada. Prvi, najvei deo sranog rada, troi se na to da se krv prebaci iz podruja niskog venskog u podruje visokog arterijskog pritiska. To je rad potreban za odravanje odnosa zapremina-pritisak, ili spoljanji rad. Drugi, mnogo manji deo rada, troi se za ubrzavanje krvi do one brzine kojom se ona istiskuje kroz valvulu aorte i valvulu pulmonalne arterije. To je kinetika energija srca.Strujanje krvi u srcu i glavnim arterijama. U hemodinamici (dinamici krvi) najee se prouavaju etiri dela arterijskog stabla kao prototipovi, i to: srce i proksimalna aorta, abdominalna aorta, karotidna bifurkacija, i leva koronarna arterija. Ovi krvni sudovi su od posebnog znaaja, pre svega zato to najee podleu bolesti, a sa druge strane reprezentuju strujanje u arterijskom stablu.Pri strujanju krvi u srcu i velikim krvnim sudovima dominantne su inercijalne u odnosu na viskozne sile. Rejnoldsovi brojevi, kao karakteristike brzine strujanja na maksimumu sistole, reda su veliine Re= 4000. Strujanja u aorti i u plunom delu slina su strujanjima ulaznih profila brzina. Moe se smatrati da je oblast sredinog strujanja neviskozni region okruen razvijenim graninim slojevima ka zidu. Pritisci i brzine u kompleksnom strujanju u komorama srca odreuju se iskljuivo analizom 3D strujanja koja ukljuuju kretanja granica. Inae postoje in vitro modeli ovih strujanja razvijeni u laboratorijama [23], dok se in vivo merenja na oveku vre raznim tehnikama, kao to su: kateteri, Doplerov ultrazvuk, magnetna rezonanca, itd. Sve tehnike merenja i prorauna pokazuju prisutnost sekundarnog strujanja (u ravni normalnoj na glavni tok strujanja) u levoj sranoj komori, koje nastaje zbog strujanja iz atrijuma kroz mitralnu valvulu. Kada se pritisak u levoj komori povea iznad 80 mmHg a pritisak desne bude neto iznad 8 mmHg, pritisak u komorama otvara semilunarne zaliske, pa krv odmah pone da izlazi iz komora. Od ukupno istisnute koliine krvi udeo komora je oko 70% u prvoj treini perioda izbacivanja, a preostalih 30% se dogaa u naredne dve treine tog perioda [22]. Aorta je krvni sud koji polazi iz leve srane komore i ima sledee segmente:

bulbus - proirenje poetnog dela neposredno iza aortnih zalistaka iz koga polaze dve koronarne arterije,

ushodni deo koji daje pobone grane,

luk koji nastavlja ushodni deo i pravi krivinu ka levoj strani gde nastavlja kao nishodna grudna aorta, a sa svog konveksnog dela daje tri velike grane za glavu, vrat i gornje ekstremitete,

nishodnu grudnu aortu koja se nastavlja od leve potkljune arterije poslednje grane luka do dijafragme, gde prelazi u trbunu aortu pravei blagu krivinu konveksnu ulevo,

abdominalnu ili trbunu aortu koja je nastavak grudne, ispod dijafragme do bifurkacije na levu i desnu zajedniku bedrenu arteriju za noge. U poetnom delu trbuna aorta daje pobone grane (za jetru, creva i bubrege), celijano stablo, gornju mezenterinu arteriju, i levu i desnu bubrenu arteriju, a u srednjem delu daje donju mezenterinu arteriju. U svom toku pravi krivinu blago konveksnu udesno i prema napred.Na Sl. 14.5 prikazana su reenja za smiui napon modela aorte sa arterijama. Numerika simulacija je uraena sa krutim i deformabilnim zidovima. Osim aorte u model su ukljuene obe koronarne arterije, brachiocephalicus, leva zajednika karotida i subclavian arterija. Smiui napon (shear stress) predstavlja jedan od veoma vanih hemodinamskih parametara za odreivanje zona mogue pojave stenoze i nagomilavanja masnih materija u krvi. Niske vrednosti smiueg napona kao i pojave oscilatornog indeksa smiueg napona ve su dokazani kliniki parametri za procenu opasnih zona za razvoj arteroskleroze [21].

(a) (b)

SLIKA 14.5 Raspored smiueg napona u aorti sa arterijama dobijen modeliranjem metodom konanih elemenata: (a) kruti zidovi, (b) deformabilni zidoviKarotidne arterijske bifurkacije nalaze se sa obe strane u predelu vrata. Ove arterije snadbevaju mozak i lice krvlju. Svaka od dve karotidne arterije rava se na unutranju karotidnu arteriju koja snadbeva mozak i spoljanju koja snadbeva lice krvlju. Arteroskleroza se uglavnom razvija na desnoj grani bifurkacije to izaziva velike probleme kod bolesnika. Rejnoldsov broj je priblino oko 300. Arterije iza bifurkacije su pod uglom od oko 25( u odnosu na osu ulazne arterije. Karotidna arterija je od posebnog interesa jer su kod nje u najveem procentu prisutni razni oblici stenoze. Sama hemodinamika strujanja prilino je kompleksna iz vie razloga. Kompleksnost strujanja proistie zbog ravanja, zatim zbog promene prenika karotide i grana, oscilatornih pulzacija, reverzibilnih strujanja, smiuih napona koji se tu javljaju, itd. Najvei prenik karotidne grane se nalazi odmah iza ravanja na unutranjoj karotidnoj arteriji i naziva se sinus. Upravo u tom delu na spoljanjem zidu se najee javlja arterosklerotini plak [21]. Polje smiueg napona u vrhu sistole za karotidnu arteriju prikazano je na Sl. 14.6.

Prikazana reenja su samo mali segment od znaajnih mogunosti koje numeriko reavanje strujanja krvi kroz arterije prua savremenoj klinikoj praksi. Budui softverski sistemi koji bi se direktno povezivali sa postojeim medicinskim ureajima koji obrauju slike (CT skener, Magnetna Rezonanca, Angiografija, itd.) u sebi bi imali i ovakve vrste simulacija, to e znaajno unaprediti dijagnostiku u medicini.

SLIKA 14.6 Polje smiueg napona u vrhu sistole u karotidnoj arterijskoj bifurkaciji

14.5 MODELIRANJE STENTA, INTERAKCIJA SA KRVOTOKOM ARTERIJA

U ovom odeljku prikazuje se primena solid-fluid interakcije opisana u Od. 14.3 na probleme strujanja krvi kroz arterije, sa modeliranjem deformabilnosti zidova arterija u koje je ugraen stent. Opisan je ukratko model nitinola od koga se stent najee izrauje, a zatim su dati neki primeri reenja numerikog modeliranja. Pojam stenta. U vaskularnoj hirurkoj praksi sve je vea upotreba stentova. Stentovi su iane strukture valjkastog oblika ija je osnovna funkcija da obezbede fizioloke vrednosti veliine poprenog preseka krvnog suda. Primenjuju se kod krvnih sudova kod kojih postoji suenje poprenog preseka koje za posledicu ima smanjenje protoka krvi. Postupak se sastoji u tome da se skupljeni stent pozicionira na mesto suenja krvnog suda, a zatim se stent utisne u zid tako da obezbedi poveanje poprenog preseka krvnog suda. Poto stent ostaje utisnut u zid krvnog suda, znatno su promenjene materijalne karakteristike samog zida u smislu smanjenja njegove elastinosti. Ova injenica je vrlo bitna u hemodinamskom smislu, jer je strujanje krvi pulzativnog karaktera, gde elastinost krvnog suda igra znaajnu ulogu. Zato e i hemodinamske karakteristike zavisiti od mehanikog ponaanja sloene strukture, koju ine stent i zid krvnog suda.U klinikoj praksi su u upotrebi dve vrste stenta. Stentovi od nerajueg elika (baloon expandable stents) i samoirei (self-expandable) stentovi koji se izrauju od nitinola. elini stentovi se utiskuju u zid krvnog suda pomou specijalnih vazdunih balona i imaju slabe elastine karakteristike. Nitinolski stentovi imaju superelastina svojstva. Oni se grade tako da formiraju cilindrinu strukturu, koja se zatim deformie u cilindrini oblik malog prenika tako da se lako unosi u krvni sud. Materijal ima osobinu da se pri oslobaanju vraa u prvobitni oblik (memorijska legura, shape-memory alloy). Zahvaljujui superelastinosti, ovi stentovi obezbeuju dobre elastine karakteristike zida na segmentu gde su ugraeni, a zahvaljujui osobini pamenja oblika za njihovu ugradnju nije potreban vazduni balon ve se oni sami utiskuju u zid irei se na temperaturi krvi.Modeliranje mehanikog odziva legure nitinola nije jednostavno jer nitinol ima superelastino i histerezisno ponaanje. Na Sl. 14.7 prikazana je kriva napon-deformacija nitinola pri ciklinom optereivanju.

SLIKA 14.7 Kriva napon-deformacija nitinola pri ciklinom optereivanju

Uzrok jedinstvenog makroskopskog ponaanja legure nitinola lei u specifinoj mikro- mehanici. Naime, legura nitinola poseduje sposobnost reverzibilne strukturne fazne transformacije, poznate kao martenzitna fazna transformacija izazvana promenama naponskog stanja. Ovo je solid-solid transformacija izmeu kristalne faze vieg reda zvane austenit i kristalne faze nieg reda zvane martenzit [24] (v. Od. 17.1).Pri niim vrednostima napona materijal je u austenitnoj kristalnoj fazi. Tokom poveanja optereenja, kako se poveavaju vrednosti napona u materijalu, pojavljuje se fazna transformacija i to iz austenita u martenzit. Moemo da kaemo da se materijal ponaa kao linearno elastian i u austenitnoj i u martenzitnoj fazi, ali da se u te dve faze razlikuju moduli elastinosti [25,26]. Dok je materijal u austenitnoj fazi, modul elastinosti ima veu vrednost, a kada se nalazi u martenzitnoj fazi ovaj modul ima manju vrednost. Takoe, u austenitnoj fazi kriva rastereenja prati krivu optereenja, dok u martenzitnoj fazi kriva optereenja se razlikuje od krive rastereenja, te na taj nain materijal pokazuje histerezisno ponaanje.Konstitutivni materijalni model nitinola. Kako je ve navedeno, pri odreenom naponskom stanju dolazi do fazne transformacije austenita u martenzit. Zato moemo da uvedemo parametar koji e biti mera fazne transformacije i koji e direktno zavisiti od naponskog stanja. Taj parametar emo oznaiti sa , koji e predstavljati udeo martenzitne frakcije. Takoe, deformaciju moemo razloiti na elastinu i na deformaciju fazne transforamcije. U tom sluaju gradijent deformacije (v. (13.11)) moe se razloiti na sledei nain:

(14.42)gde su i gradijent elastine deformacije i gradijent fazne trasformacije, respektivno. Ova dekompozicija gradijenta deformacije odgovara uobiajenoj elastino-neelastinoj multiplikativnoj dekompoziciji [26].U cilju odreivanja kriterijuma za pojavu fazne transformacije potrebno je da se definie relacija izmeu gradijenta deformacije i veliine stanja. Da bismo to uradili uvodimo levi Koi-Grinov tenzor deformacije (v. (13.14)) [26], definisan kao:

(14.43)gde su i elastini i transformacioni levi Koi-Grinov tenzor, respektivno [27].

Pretpostavljajui da je materijal izotropan usvajamo da Koijev napon i levi Koi-Grinov tenzor deformacije imaju iste glavne pravce (v. (13.17)). Prema tome, napon moemo izraziti u obliku [26]:

(14.44)gde su glavni naponi, a su glavni pravci tenzora . Uvodei logaritamske deformacije (v. (13.17) i (13.18)):

(14.45)iz jednaine (14.43) dobijamo izraz za ukupne logaritamske deformacije kao zbir elastinih i transformacionih deformacija :

(14.46)Deformacije moemo dalje predstaviti kao zbir zapreminske i devijatorskih deformacija (v. (13.23)),

(14.47)Ovde su:

(14.48)Dalje, transformacione deformacije se izraavaju u obliku

(14.49)gde je skalarni parametar koji predstavlja maksimalnu deformaciju dobijenu faznom transformacijom. Takoe, je definisano kao:

(14.50)gde je materijalni parametar, a je:

(14.51)Ovde su , A=1,2,3, glavni devijatorski naponi (v. (13.22) i (13.27)).

Konano, koristei konstitutivne relacije (13.21), dobijamo:

(14.52)i dalje

(14.53)

(14.54)Za definisanje zavisnosti fazne transformacije od naponskog stanja, uvodimo Druker-Prager funkciju [27] oblika

(14.55)gde su T i C materijalne karakteristike. Dalje, parametar razdvajamo na deo koji predstavlja meru fazne austenit-martenzit trasformacije i na deo koji predstavlja meru fazne martenzit-austenit transformacije , tako da je

(14.56)Brzine promene parametara i izraavaju se u obliku:

(14.57)

(14.58)gde su i materijalni parametri, a i su skalarni parametri koji definiu kriterijum poetka fazne trasformacije na osnovu naponskog stanja u materijalu:

(14.59)

(14.60)Ovde su materijalne konstante.

Modeliranje arterije sa stentom. Modeliranje arterije sa stentom u cilju odreivanja mehanikog odziva zida arterije i hemodinamike krvnog toka poinjemo sa generisanjem odgovarajueg modela konanih elemenata. To je sloen model koji se sastoji od solida koji ine zid arterije i stent, i od fluidnog domena koji ini krv. Modeliranje mehanikog ponaanja strukture solida zasniva se na principima mehanike solida, dok se raunski model fluidnog toka zasniva na mehanici fluida. Zajedniko mehaniko ponaanje ova dva domena se usklauje njihovim uzajamnim dejstvom na nain kako je to opisano u Od. 14.4.

Za generisanje realistinog modela konanih elemenata koristimo angiografske snimke femoralne arterije snimljene pre ugradnje stenta i posle ugradnje stenta (Sl. 14.8).

Mrea konanih elemenata za oba domena sastoji se od 3D osmovornih elemenata. Usvojiemo da zajedniki vorovi konanih elemenata kojima se modeliraju stent i zid arterije imaju ista pomeranja. Takoe, zajedniki vorovi solida i fluida imaju iste brzine.

(a)(b)

SLIKA 14.8 Angiografski snimak femoralne arterije: (a) pre ugradnje stenta, (b) posle ugradnje stenta.U ovom primeru emo koristiti uproeni model tubularnog stenta (Palmaz-Shatsz stent, proizvod firme Johnson and Johnson Company) [28,29]. Na Sl. 14.9a prikazana je uproena geometrija tubularnog stenta. Na osnovu geometrije stenozne arterije (Sl. 14.8a i 14.8b) i na osnovu uproene geometrije tubularnog stenta, generiemo sloen 3D model konanih elemenata prikazan na Sl. 14.9b.Usvojiemo da je stent napravljen od legure nitinola ije je mehaniko ponaanje definisano napred opisanim materijalnim modelom. Materijalne karakteristike legure nitinola su uzete iz literature [27] i date su ispod:

Takoe, usvojiemo da se zid arterije ponaa kao linerano elastini izotropni materijal, sa modulom elastinosti i Poasonovim koeficijentom [8,30].

Za odreivanje odziva mehanikog sistema neophodno je definisati i granine uslove. Granini uslovi koji se odnose na fluid (krv) u ovom primeru su: (a) zadata promena maksimalne brzine fluida u toku jednog sranog ciklusa u poprenom preseku iznad dela krvnog suda gde je ugraen stent (Sl.14.10a), i (b) zadata promena pritiska u fluidu u toku sranog ciklusa u poprenom preseku ispod dela gde je ugraen stent (Sl. 14.10b). Granini uslovi koji se odnose na solid (zid arterije) su takvi da vorovi koji se nalaze u prvom i poslednjem poprenom preseku nemaju pomeranja.

(a) Uproeni tubularni stent (Palmaz-Shatsz stent). , , , , (b) 3D model konanih elemenata

SLIKA 14.9 (a) Uproena geometrija tubularnog stenta, (b) 3D model konanih elemenata

(a)(b)

SLIKA 14.10 Promena (a) maksimalne brzine fluida u toku jednog sranog ciklusa, i (b) pritiska fluida u toku jednog sranog ciklusaKorienjem programa za konane elemente [31] dobijen je mehaniki odziv opisanog modela, za zid arterije sa ugraenim stentom i za krvotok.

Na Sl. 14.11 prikazano je reenje za efektivni (Von-Mises-ov) napon (koji je ekvivalent smiueg napona) [26] u zidu arterije sa stentom, za trenutak sranog ciklusa koji odgovara maksimalnoj vrednosti brzine krvi i maksimalnoj vrednosti pritiska (vrh sistole). Vidi se da se najvei naponi javljaju u zoni u kojoj je ugraen stent. To je zona znatno vee krutosti zato to sam stent ima za nekoliko redova veu krutost od zida krvnog suda. Takoe, u toj zoni je i sam zid krvnog suda zadebljan to mu drastino poveava krutost u odnosu na deo krvnog suda iznad i ispod mesta ugradnje stenta.

Na Sl. 14.12 prikazano je reenje za efektivni napon u stentu, za trenutak sranog ciklusa koji odgovara maksimalnoj vrednosti brzine strujanja krvi i maksimalnoj vrednosti pritiska. Vidi se da se najvei naponi javljaju u zonama poprenih spojeva iane strukture stenta. U tim zonama je struktura krua nego u zonama gde nema poprenih spojeva to za posledicu ima vee vrednosti napona.

SLIKA 14.11 Polje efektivnog napona u zidu arterije sa ugraenim stentom, vrh sistole.

SLIKA 14.12 Polje efektivnog napona u stentu, vrh sistole.Prikazani rezultati ukazuju da je mogue povezati modeliranje sloenih sistema strujanja krvi u arterijama sa stentom sa savremenom klinikom dijagnostikom. Naime, uvid u deformacije i naponsko stanje u zidu i stentu, kao i u raspored brzina i pritisaka krvi, ukljuujui i polje smiueg napona, moe biti od pomoi pri planiranju operacija (prvo se uradi simulacija na raunaru). Takoe, ovakvo modeliranje moe biti od velikog znaaja u optimalnom dizajniranju graftova i anastomoza, i to na pojedinanim sluajevima kod vaskularnih hirurkih intervencija.

14.6 MODELIRANJE STRUJANJA VAZDUHA U RESPIRATORNOM SISTEMU

Jo jedna primena kompjuterskog modeliranja strujanja fluida jeste na strujanje vazduha u respiratornom sistemu. U ovom odeljku se opisuju osnovne fizioloke definicije strujanje vazduha u disajnim organima. Takoe su data i reprezentativna numerika reenja.

Uvodna razmatranja o respiratornom sistemu. Osnovna funkcija respiratornog sistema jeste razmena gasova, pri emu se pod razmenom podrazumeva kretanje kiseonika iz vazduha u krv i kretanje ugljen-dioksida u suprotnom smeru. Plua se sastoje iz mree bronhija koje postaju sve ue, krae i brojnije kako se granaju duboko u pluima. Poto proe kroz nos i farinks, vazduh stie u plua putem traheje, bronhija i bronhiola. Traheja se naziva disajnim putem prve generacije (poluprenika 0,9 cm), a dva glavne bronhije, desna i leva, ine drugu generaciju. Svako dalje grananje daje narednu generaciju disajnih puteva. Pre nego to konano dospe u alveole, vazduh prolazi kroz 20 do 25 generacija disajnih puteva. Na Sl. 14.13 dat je ematski prikaz respiratornog sistema. Poluprenici alveola su oko 150 (m. Kod odraslog oveka ukupna povrina koju zauzimaju alveole je oko 100 m2, to govori o velikoj i razgranatoj mrei za difuznu razmenu gasova. Treba naglasiti da zidovi respiratornog sistema poseduju viskoelastine karakteristike tako da se njihove duine i prenici poveavaju, kao to se i zapremina plua znaajno poveava pri udisanju. Razlikuju se dve faze prilikom disanja: inspiracija - kada dolazi do udisanja, i ekspiracija - kada dolazi do izdisanja.

SLIKA 14.13 ematski prikaz respiratornog sistema

Opis bifurkacije respiratornog sistema. Osnovna karakteristika geometrije respiratornog sistema jeste bifurkacija (ravanje) jedne cevi (prenika d1) u dve manje cevi (prenika d2), kao to je prikazano na Sl. 14.14. Prouavanja mnogih autora dovela su do tipinih karakteristika geometrije bifurkacije [32]: (a) L/d1 ( 3,5; (b) d2/d1 ( 0,79 za generacije od 0-16; (c) odnos povrina 2(d2/d1)2 = 1,20 1,25 za bifurkacije iza tree generacije; (d) ugao ravanja ( se kree u opsegu od 64( do 100(; i (e) aksijalni poluprenik krivine R kree se izmeu 5d1 i 10d1. Za prve tri generacije bifurkacije vai da se povrina poprenog preseka smanjuje, pri emu dolazi na minumum u treoj generaciji. Razvojem modernih CAD sistema mogue je vrlo precizno opisati geometriju brifurkacije korienjem fraktalnih algoritama i teorijom splajnova. Kao posledica kompleksne geometrije i sloenih uslova strujanja fluida (vazduha) koji karakteriu uzastopne bifurkacije, javlja se nekoliko fenomena kao to su: poremeaj aksijalnih profila brzina, helikoidno kretanje i odvajanje strujanja. Tako sloene karakteristike kretanja vazduha doprinose taloenju estica i rasprivanju aerosola u pluima. Upravo zbog toga je bitno poznavati dinamiku strujanja vazduha, koja moe znaajno pomoi ranom otkrivanju mnogih bolesti respiratornog sistema.

SLIKA 14.14 Model bifurkacije respiratornog sistema

Numeriki primeri. Veoma je komplikovano reavati sve generacije istovremeno. Najee se modelira glavna pluna bifurkacija (traheja) i to u fazi maksimalne ekspiracije i maksimalne inspiracije. Jedno od takvih reenja za polje pritiska vazduha u traheji za vreme inspiracije i ekspiracije jprikazano je na Sl. 14.15.

(a) Inspiratorno

(b) EkspiratornoSLIKA 14.15 Polje pritisaka u 3D modelu bifurkacije za stacionarno strujanje

Takoe je od velikog interesa poznavanje aksijalne i radijalne brzine u ravni bifurkacije za stacionarno inspiratorno i ekspiratorno strujanje u preseku gornjeg dela traheje; ova reenja su prikazana na Sl. 14.16 i 14.17.

(a)(b)

SLIKA 14.16 Aksijalna i radijalna brzina u ravni bifurkacije za stacionarno ekspiratorno strujanje u preseku gornjeg dela traheje: (a) 3D prikaz aksijalne brzine, (b) radijalna brzina (maksimlana brzina 2,36 cm/s)

SLIKA 14.17 Aksijalna i radijalna brzina u ravni bifurkacije za stacionarno ekspiratorno strujanje u preseku gornjeg dela traheje: (a) 3D prikaz aksijalne brzine, (b) radijalna brzina (maksimlana brzina 3,92 cm/s)Modeliranje alveola kao zavretaka plunih bifurkacija od posebnog je interesa za prouavanje taloenja aerosola, plunih bolesti astme, spazma, itd. Trodimenzionalne (3D) strujnice za stacionarno strujanje vazduha unutar alveola prikazane su na Sl. 14.18.

SLIKA 14.18 Prikaz strujnica u 3D modelu alveola14.7 MODELIRANJE HRSKAVICEU ovekom organizmu postoji veliki broj vrsta hrskavice koje reguliu takozvani meki kontakt izmeu kostiju. Tema ovog odeljka jeste nain modeliranja hrskavice. Poto je hrskavica porozna sredina sa solidom i fluidom, radi se o spregnutom problemu polja fizikih veliina. Meutim, osnovne jednaine i sprezanje polja bitno se razlikuju od opisanih u Od. 14.3. Ovde se, pored teorijskih osnova, daje numeriko reenje za diskus kime oveka.

Uvodna razmatranja prouavanja hrskavice. Fenomen deformisanja hrskavice predmet je mnogih eksperimentalnih i teorijskih istraivanja. Mnogi autori [33-40] posmatrali su hrskavicu sa inenjerskog aspekta. Poto se hrskavica posmatra kao porozna sredina kroz koju se kree fluid, osnovni zakon koji definie strujanje je Darsijev zakon. Meutim, u hrskavici se odvijaju i procesi hemijske difuzije, koji se opisuju na razne naine, na primer preko "swelling" pritiska (pritiska naduvanja) [41-44], ili nastajanja elektrinog potencijala [45-48]. Za reavanje ovako spregnutog problema strujanja fluida kroz poroznu deformabilnu sredinu koriene su razne formulacije metode konanih elemenata. Neki autori [49,50] su koristili u-p formulaciju, gde su nepoznate veliine u vorovima konanih elemenata pomeranja solida i pritisak fluida, po analogiji sa problemima u geomehanici. Drugu formulaciju u-w (pomeranja solida i pomeranja fluida) koristili su autori [42,43]. Optija formulacija u-p-q uzima u obzir pomeranja solida, pritisak i brzine fluida [51]. Ova formulacija je pogodnija za analizu zbog optih graninih uslova. Dalje proirenje u-p-q formulacije dato je u radu [52] dodavanjem elektrokinetikog sprezanja, prema u-p-q-( formulaciji, gde je ( elektrini potencijal. Osnovne jednaine strujanja fluida kroz poroznu deformabilnu sredinu. Hrskavica se razmatra kao porozna deformabilna sredina ije su pore ispunjene fluidom. Tekua konfiguracija u trenutku t, kao to je prikazano na Sl. 14.19, oznaena je sa tB, a vektor poloaja materijalne take P je tx. Fizike veliine u materijalnoj taki su: pomeranje solida u, relativna brzina fluida u odnosu na solid (Darsijeva brzina) q, pritisak fluida p, pritisak naduvanja pc, odnosno elektrini potencijal (.

SLIKA 14.19 Konfiguracija tB u trenutku t i veliine u materijalnoj taki P hrskavice posmatrane kao kontinuumDalje se ukratko predstavljaju osnovne jednaine za prethodno opisan spregnuti problem. Polazimo od dinamike jednaine kretanja solida,

(14.61)gde su: (s - napon u fazi solida, n - poroznost, k - matrica permeabilnosti, (s - gustina solida, b zapreminska sila po jedinici mase, q - relativna brzina fluida, - ubrzanje solida. Diferencijalni operator LT je

(14.62)Zatim, diferencijalna jednaina kretanja za fazu fluida je (bez elektrokinetikog sprezanja):

(14.63)gde je p pritisak fluida u porama, (f gustina fluida i je ubrzanje fluida. Iz jednaina (14.61) i (14.63) sledi:

(14.64)gde je ( totalni napon koji se moe izraziti preko lanova (s i p kao

(14.65)i je gustina meavine. Konstantni vektor m definie se kao i oznaava da se doprinos pritiska fluida odnosi samo na normalne napone. Takoe se uzima u obzir da pritisak fluida ima pozitivan znak u pravcu kompresije, kao i da su zateui naponi i deformacije pozitivni. U daljoj analizi koristi se efektivni napon koji se definie kao

(14.66)i koristi se u konstitutivnim relacijama za solid. Relativna brzina fluida (Darsijeva brzina) q definie se kao zapremina fluida koja kroz jedininu povrinu meavine proe u jedinici vremena,

(14.67)Jednaina (14.63) moe se napisati kao

(14.68)Sledea osnovna jednaina je konstitutivna relacija za solid

(14.69)gde je CE elastina konstitutivna matrica skeleta solida, e je ukupna deformacija, and ep je defomacija solida usled delovanja pritiska fluida [50],

(14.70)gde je Ks zapreminski modul materijala solida.

Jednaina kontinutiteta fluida [50] glasi

(14.71)gde su:

(a) brzina zapreminske deformacije:

(14.72)(b) stiljivost zrnaca solida:

(14.73)(c)stiljivost fluida:

(14.74)

gde je Kf zapreminski modul fluida; i

(d) stiljivost materijala solida usled dejstva efektivnog napona :

(14.75)Korienjem elastinog konstitutivnog zakona i jednaina (14.72-75), moe se jednaina kontinuiteta (14.71) napisati kao

(14.76)Procesi hemijske difuzije ili efekti "swelling" pritiska opisuju se jednainama elektrokinetikog sprezanja [45-46]. Naime, kombinacijom Omovog i Darsijevog zakona utvrene su sledee relacije [47]:

(14.77) gde je: j gustina elektrine struje, ( elektrini potencijal, k11 je Darsijeva hidraulina permeabilnost, k22 je elektrina provodnost; i k12 i k21 su elektrokinetiki koeficijenti sprezanja. Takoe se koristi i jednaina kontinuiteta za gustinu struje j,

(14.78)

Jednaine balansa konanog elementa. U ovom odeljku navodi se konaan oblik jednaina balansa konanog elementa, koje se dobijaju transformacijom osnovnih jednaina (14.64), (14.68), (14.76), (14.77) i (14.78) na nain opisan u Od. 13.4 i 14.2. Jednaine balansa konanog elementa su:

(14.79)gde matrice i vektori u ovom sistemu slede iz osnovnih jednaina i postupka transformisanja osnovnih jednaina na oblik jednaina balansa konanog elementa. Analiza vertebralnog dinamikog segmenta. Bol u leima i ostale abnormalnosti kimenog stuba oduvek su predstavljali veliki problem. Oko 80% svih poremeaja u vezi kimenog stuba odnosi se na probleme intervertebralnog diskusa. Gotovo svi ljudi u dobu preko 50 godina susreu se sa problemom bola u leima. Ogroman procenat uzroka tih bolova lei u oteenjima diskusa kimenih prljenova. Osnovna funkcionalna jedinica kimenog stuba jeste tzv. vertebralni dinamiki segment koji se sastoji iz dva susedna prljena, meuprljenskog diskusa, dva intervertebralna (apofizna) zgloba, i ligamenata (prednji i zadnji uzduni ligament, uti i interspinalni ligament) koji ih, zajedno sa diskusom, vrsto povezuju. Intervertebralni diskus sastoji se iz dva dela: spoljneg fibroznog prstena (annulus fibrosus) i unutranjeg elatinoznog dela (nucleus pulposus) koji je funkcionalno znaajniji. Fibrozni prsten sastoji se iz vrstih vezivnih vlakana koje urastaju u prljensko telo i vezuju diskus za prljen. Nucleus pulposus sastoji se iz osnovne supstance i kolagenih vlakana potopljenih u njoj. Osnovnu supstancu ine voda i hidrofilni proteoglikoni koji se sastoje iz proteina i glikozoaminoglikana. Pri naglom poveanju pritiska u diskusu (dizanje tereta), neuobiajenom pokretu, ili ak bez posebnog razloga, moe doi do prskanja perifernog dela anulusa i protruzije diskusa. Istovremeno ili kasnije moe se otvoriti i uzduni ligament sa prolapsom diskusa (hernija diskus). Hernija diskusa prikazana je na Sl. 14.20.

(a)(b)

SLIKA 14.20 Prikaz hernije diskusa: (a) L4-L5 sa kompresijom L5 korena, (b) L5-S1 sa kompresijom S1 korena

Deformisanje lumbarnog dinamikog segmenta pri aksijalnoj kompresiji. Razmatra se mehaniki odziv vertebralnog dinamikog segmenta pod dejstvom konstantnog aksijalnog optereenja. Geometrijski i materijalni podaci dati su na Sl. 14.21.

MaterijalModul elastinostiPuasonov koeficijentPoroznostPermeabilnost

Spongiozna kost1517E60.140.51.0E-10

Kompaktna kost12480E60.280.51.0E-15

Kartilaginozna ploa490E60.400.71.0E-14

Nukleus1.0E50.450.71.0E-13

Anulus8.0E50.450.71.0E-15

SLIKA 14.21 Geometrijski i materijalni podaci za vertebralni dinamiki segmentZapreminski moduli stiljivosti za solid Ks i za fluid Kf veoma su veliki jer se pretpostavlja da su obe faze nestiljive. Zbog osnosimetrinosti problema analizira se jedan presek. Granini uslovi su uslovi osnosimetrinosti za pomeranja solida i brzinu fluida, da nema strujanja izmeu diskusa i kostiju prljena, i da je pritisak na obodu diskusa jednak nuli. Ovde se pretpostavlja da su svi materijali porozni, odnosno da svi materijali imaju permeabilnost. Polja napona prilikom optereenja od 400 N prikazana su na Sl. 14.22. Rezultati za optereenje od 400 N dobijeni su korienjem u-p-q formulacije za razne trenutke vremena dati na Sl. 14.22, a odnose se na neoteeni diskus.

Ovaj primer ukazuje na mogunosti vezane sa korienje komjuterskog modeliranja hrskavice u savremenoj medicinskoj praksi fizikalne medicine. Precizno odreivanje intradiskalnog pritiska, napona oteenih diskusa, koliine vode koja se istiskuje iz hrskavice, samo su neki od veoma relevantnih klinikih pokazatelja koji se teko mogu in vivo meriti kod pacijenata. Upravo numerike simulacije pruaju mogunosti reenja ovih tekoa, uz budue povezivanje u dijagnostike klinike sisteme.

t=1min t=10mint=120min

SLIKA 14.22 Polje napona u toku vremena za konstantnu vrednost optereenja od 200 kPa14.8 PITANJA ZA REKAPITULACIJU14.1 Koje su osnovne jednaine balansa fluida?14.2 U emu je razlika izmeu jednaina ravnotee sila za solid i za fluid?14.3 Na koji nain se dobijaju jednaine balansa konanog elementa za fluid?14.4 Objasniti pojedine matrice i vektore u jednainama balansa konanog elementa za fluid.14.5 Koje se vrste sprezanja koriste za solid-fluid interakciju i u emu je razlika izmeu njih?14.6 Kako u principu treba da bude organizovan softver za modeliranje solid-fluid interakcije u metodi slabog sprezanja?14.7 Koje su fizike veliine fizioloki bitne, a mogu se odrediti kompjuterskim modeliranjem?14.8 Objasniti pojam smiueg napona u strujanju krvi.14.9 Kako se modelira stent u krvnom sudu?14.10 Koje vrste deformacija su sadrane u modelu nitinola?14.11 Opisati numerika reenja modela arterije sa stentom.14.12 Koje su osnovne karakteristike strujanja vazduha u disajnim putevima i koje informacije od interesa za plune bolesti pruaju numerika reenja?14.13 Kojim se modelom opisuje mehaniki odziv hrskavice i koje su osnovne jednaine balansa?14.14 Kako se opisuju efekti hemijskih procesa u krskavici?14.15 Kako se dobijaju jednaine balansa konanog elementa za model hrskavice?

14.9 Literatura1. Koji, M., Slavkovi, R., ivkovi, M., i Grujovi, N. Metod Konanih Elemenata I, Mainski fakultet u Kragujevcu, 1998.

2. Lewis, R.W. and Morgan, K., The Finite Element Method in Heat Transfer Analysis, John Wiley & Sons, 1996.

3. Huebner, K.H., The Finite Element Method, John Wiley & Sons, 1975.

4. Gallagher, R.H., Oden, J.T., Taylor, C. and Zienkiewicz, O.C., Finite Elements in Fluids -Vol. 1, John Wiley &Sons, 1975.

5. Gallagher, R.H., Oden, J.T., Taylor, C. and Zienkiewicz, O.C., Finite Elements in Fluids -Vol. 2, John Wiley &Sons, 1975.

6. Gallagher, R.H., Oden, J.T., Taylor, C. and Zienkiewicz, O.C., Finite Elements in Fluids -Vol. 3, John Wiley &Sons, 1978.

7. Gallagher, R.H., Oden, J.T., Taylor, C. and Zienkiewicz, O.C., Finite Elements in Fluids -Vol. 5, John Wiley &Sons, 1984.

8. Gallagher, R.H., Oden, J.T., Taylor, C. and Zienkiewicz, O.C., Finite Elements in Fluids -Vol. 7, John Wiley &Sons, 1987.

9. Zienkiewicz, O.C., The Finite Element Method, III Edition, McGRAW-HILL, 1977.

10. Koji, M., Filipovi, N., Slavkovi, R., ivkovi, M., Grujovi, N., PAK-F Program za reavanje strujanja viskoznog nestiljivog fluida sa prenosom toplote metodom konanih elemenata, Mainski fakultet Kragujevac, 34000 Kragujevac, Jugoslavija, 1996.

11. Filipovi, N, Doktorska disertacija: Numeriko reavanje spregnutih problema i deformabilnog tela i fluida, Mainski fakultet u Kragujevcu, 1999.

12. Filipovic, N., S. Mijailovic, A. Tsuda, M. Kojic, An implicit algorithm within the arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation for solving incompressible fluid flow with large boundary motions, Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 195, 6347-6361, 2006.13. Pedley, T.J. and Stephanoff, Flow along a channel with a time dependent indentation in one wall: the generation of vorticity waves, J. Fluid Mech., Vol. 160, pp. 337-367, 1985.

14. Ralf, M.E. and Pedley, T.J., Flow in a channel with a moving indentation, J. Fluid Mech., Vol. 88, pp. 87-112, 1988. 15. Lowe, T.W. and Pedley, T.J., Computation o Stokes flow in a channel with a collapsible segment, Journal of Fluids and Structures, Vol. 9, pp. 885-905, 1995.

16. Luo, X.Y. and Pedley, T.J., A numerical simulation of unsteady flow in a two-dimension collapsible channel, J. Fluid Mech., Vol. 314, pp. 191-225, 1996.

17. Cebral, J.R. , Loose Coupling Algorithms for Fluid-Structure Interaction, Dissertation, George Mason University, Virginia, 1996.

18. Wall, W.A. and Ramm, E., Fluid-structure interaction based upon a stabilized (ALE) finite element method, Computational Mechanics, CIMNE, Barcelona, 1998.

19. Sarrrate, J., Huerta, A. and Donea, J., Arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation for fluid-multi rigid bodies interaction problems, Computational Mechanics, CIMNE, Barcelona, 1998.

20. Heil, M., Stokes flow in an elastic tube - A large displacement fluid-structure interaction problem, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1998.21. Filipovic N, Kojic M. Computer simulations of blood flow with mass transport hrough the carotid artery bifurcation. Theoret. Appl. Mech. (Serbian) 31 (1): 1-33, 2004.

22. Guyton, A.C., Medicinska Fiziologija, Medicinska knjiga, Beograd, 1996.

23. Taylor, T.W. and Yamaguchi, T. Realistic three-dimensional left ventricular ejection determined from computational fluid dynamics, Medical Engineering&Physics, 58: 427-437, 1998.

24. F. Auricchio. A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model. International Journal of Plasticity 17, 971-990, 2001.

25. P. R. Barrett, D. Fridline. User Implemented Nitinol Material Model in ANSYS. 2003.

26. Kojic M., K.J. Bathe, Inelastic Analysis of Solids and Structures, Springer, Berlin-Heidelberg, 2005.

27. F Auricchio, R. Taylor. Shape-memory alloys: modelling and numerical simulations of the finite-strain superelastic behavior. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 143, 175-194, 1997.

28. F. Etave, G. Finet, M. Boivin, J.-C. Boyer, G. Rioufol, G. Thollet. Mechanical properties of coronary stents determined by using finite element analysis. Journal of Biomechanics. 34, 1065-1075, 2001.

29. F. Migliavacca, L. Petrini, F. Auricchio, G. Dubini. Deployment of an intravascular stent in coronary stenotic arteries: A computational study. 2003. Summer Bioengineering Conference, June 25-29, Sonesta Beach Resort in Key Biscayne, Florida.

30. C. Lally, F. Dolan, P.J. Prendergast. Cardiovascular stent design and vessel stresses: a finite element analysis. Journal of Biomechanics. 38, 1574-1581, 2005.

31. Kojic M., Slavkovic R., Zivkovic M., Grujovic N., PAK S Finite Element Program for Linear and Non-linear Structural Analysis, Faculty of Mechanical Engineering, University of Kragujevac, 1996.

32. Groteberg, J.B., Pulmonary flow and transport phenomena, Annu. Rev. Fluid Mech., Vol. 26, pp. 529-571, 1994.

33. Burns, M.L., Kaleps, I. and Kazarian, L.E., Analysis of compressive creep behaviour of the vertebral unit subjected to a uniform axial loading using exact parametric solution equations o kelvin-solid models-part I. Human intervertebral joints, J. Biomechanics, Vol. 17. pp.113-130, 1984.

34. Armstrong, C.G. , Lai, W.M and Mow, V.C, An analysis of the unconfined compression of articular cartilage, Journal of Biomechanical Engineering, Vol. 106, pp.165-173, 1984.

35. Simon, B. R., Wu, J. S. S. , Cartlon, M. W. Evans, J.H. and Kazarian, L.E. Structural models for human spinal motion segments based on a poroelastic view of the intervertebral disk, J. Biomech. Eng., Vol. 107 327-335, 1985.

36. Sachs, J.R. and Grodzinsky, A.J. An electromechanically coupled poroelastic medium driven by an applied electric current: surface detection of bulk material properties, PCH, Vol. 11 , 585-614, 1989.

37. Laible, J.P. , Pflaster, D.S. Krag, M.H. Simon, B.R. and Haugh, L.D. A poroelastic-swelling finite element model with application to the intervertebral disc, SPINE, Vol. 18 , 659-670, 1993.

38. Suh, J.K., Li, Z. and Woo, S.L., Dynamic behaviour of a biphasic cartilage model under cyclic compressive loading, J. Biomechanics, Vol. 28, pp. 357-364, 1995.

39. Wu, J.Z., Herzog, W and Epstein, M. Evaluation of the finite element software ABAQUS for biomechanical modelling of biphasic tissues, Journal of Biomechanics, Vol. 31. pp.165-169, 1998.

40. Suh, J. and Bai, S., Finite element formulation of biphasic poroviscoelastic model for articular cartilage, Journal of Biomechanical Engineering,Vol. 120, pp. 195-201, 1998.

41. Lanir, Y., Biorheology and fluid flux in swelling tissues. I. Bicomponent theory for small deformations, including concentration effects, BIORHEOLOGY, 24, pp.173-187, 1987.

42. Simon, B.R. and Gaballa, M.A. Poroelastic element models for the spinal motion segment including ionic swelling, Computational Methods in Bioengineering, ed., R.L. Spilker, B.R. Simon, (Publication of the American Society of Mechanical Engineers, New York) 93-99, 1988.

43. Laible, J.P. , Pflaster, D.S. Krag, M.H. Simon, B.R. and Haugh, L.D. A poroelastic-swelling finite element model with application to the intervertebral disc, SPINE, Vol. 18 , 659-670, 1993.

44. Simon, B.R., Laible, J.P., Pflaster, D. Yuan, Y. and Krag, M.H., A poroelastic finite element formulation including transport and swelling in soft tissue structures, Journal of Biomechanical Engineering, Vol. 118, pp. 1-8, 1996.

45. Frank, E.H. and Grodzinsky, A.J. Cartilage electromechanics-II. A continuum model of cartilage electrokinetics and correlation with experiments, J. Biomechanics, Vol. 20, 629-639, 1987.

46. Frank, E.H. and Grodzinsky, A.J. Cartilage electromechanics-I. Electrokinetic transduction and the effects of electrolyte pH and ionic strength, J. Biomechanics, Vol. 20 615-627, 1987.

47. Grodzinsky, A.J. and Frank, E.H., Electromechanical and physicochemical regulation of cartilage strength and metabolism, Connective tissue matrix, Vol. II, pp.91-126, 1990.

48. Berkenblit, S.I., Quinn, T.M. and Grodzinsky, A.J., Molecular electromechanics of cartilaginous tissues and polyelectrolyte gels, J. Electrostatics, Vol. 12, pp.1-36, 1994.

49. Siriwardane, H.J. and Desai, C.S., Two numerical schemes for nonlinear consolidation, Int. j. numer. methods engng., Vol. 17 405-426, 1981.

50. Lewis, R.W. and Schrefler, B.A., The Finite Element Method in the Deformation and Consolidation of Porous Media, ( J.Wiley&Sons, Chichester, England), 1987.

51. Kojic, M., Filipovic, N., Vulovic, S. and Mijailovic, S. A finite element solution procedure for porous medium with fluid flow and electromechanical coupling, Commun. Numer.Meth. Engng., Vol 14 381-392, 1998.52. Kojic, M., N. Filipovic, S. Mijailovic, A Large Strain Finite Element Analysis of Cartilage Deformation with Electrokinetic Coupling, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Vol 190, pp. 2447-2464, 2001. EMBED Equation.DSMT4

Ovu glavu napisali su Nenad Filipovi, Milo Koji, Boban Stojanovi i Vladimir Rankovi

_1231145620.unknown

_1231145662.unknown

_1231223178.unknown

_1231224355.unknown

_1231263378.unknown

_1231266344.unknown

_1231338076.unknown

_1231396196.unknown

_1231396621.unknown

_1231266371.unknown

_1231266729.unknown

_1231263531.unknown

_1231266314.unknown

_1231263476.unknown

_1231262429.unknown

_1231263043.unknown

_1231263281.unknown

_1231262455.unknown

_1231224719.unknown

_1231225124.unknown

_1231225524.unknown

_1231225059.unknown

_1231224675.unknown

_1231224004.unknown

_1231224273.unknown

_1231224295.unknown

_1231224074.unknown

_1231223925.unknown

_1231223969.unknown

_1231223294.unknown

_1231145679.unknown

_1231145687.unknown

_1231145698.unknown

_1231145703.unknown

_1231145707.unknown

_1231145715.unknown

_1231149226.unknown

_1231149475.unknown

_1231145716.unknown

_1231145724.doc

Kartilaginozna ploa

Nukleus

Anulus

vrsta kompaktna kost

5.25

113.7.5

16.25

29.4

Spongiozna kost

32.2

_1231145710.unknown

_1231145711.unknown

_1231145708.unknown

_1231145705.unknown

_1231145706.unknown

_1231145704.unknown

_1231145700.unknown

_1231145701.unknown

_1231145699.unknown

_1231145694.doc

(

d2

R

L

d1

_1231145696.unknown

_1231145697.unknown

_1231145695.doc

u

q

p

pc

(

u

q

P

tx

tB

_1231145691.unknown

_1231145692.unknown

_1231145688.unknown

_1231145683.unknown

_1231145685.unknown

_1231145686.unknown

_1231145684.unknown

_1231145681.unknown

_1231145682.unknown

_1231145680.unknown

_1231145671.unknown

_1231145675.unknown

_1231145677.unknown

_1231145678.unknown

_1231145676.unknown

_1231145673.unknown

_1231145674.unknown

_1231145672.unknown

_1231145666.unknown

_1231145669.unknown

_1231145670.unknown

_1231145668.unknown

_1231145664.unknown

_1231145665.unknown

_1231145663.unknown

_1231145646.unknown

_1231145654.unknown

_1231145658.unknown

_1231145660.unknown

_1231145661.unknown

_1231145659.unknown

_1231145656.unknown

_1231145657.unknown

_1231145655.unknown

_1231145650.unknown

_1231145652.unknown

_1231145653.unknown

_1231145651.unknown

_1231145648.unknown

_1231145649.unknown

_1231145647.unknown

_1231145635.unknown

_1231145641.doc

CSD

Program za reavanje solida

Optereenja: sile (pritisci i smiui naponi)

Prenoenje optereenja

INTERFEJS

Prenoenje promene geometrije dodirnih povrina

Geometrija dodirnih povrina i brzine kretanja tih povrina

CFD

Program za reavanje fluida

_1231145644.unknown

_1231145645.unknown

_1231145643.unknown

_1231145638.unknown

_1231145640.unknown

_1231145636.unknown

_1231145628.unknown

_1231145631.unknown

_1231145633.unknown

_1231145629.unknown

_1231145626.unknown

_1231145627.unknown

_1231145625.unknown

_1231145588.unknown

_1231145603.unknown

_1231145616.unknown

_1231145618.unknown

_1231145619.unknown

_1231145617.unknown

_1231145613.unknown

_1231145615.unknown

_1231145604.unknown

_1231145592.unknown

_1231145597.unknown

_1231145599.unknown

_1231145593.unknown

_1231145590.unknown

_1231145591.unknown

_1231145589.unknown

_1231145580.unknown

_1231145584.unknown

_1231145586.unknown

_1231145587.unknown

_1231145585.unknown

_1231145582.unknown

_1231145583.doc

n

X2

X1

r

Zapremina u trenutku t

pdS

bdV

_1231145581.unknown

_1231145575.unknown

_1231145578.unknown

_1231145579.unknown

_1231145577.unknown

_1231145573.unknown

_1231145574.doc

x1

x2

a2

a1

Vreme t

Vreme t=0

X3

X2

X1

_1231145572.unknown

_957439354.unknown