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Curso de teoría y problemas Ing. Juan José Aparicio Porres CIPYCA – UMSA Edición 2012

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Titulo Física – Curso de Teoría y Problemas. Editor Mary Carmen Suarez. Autor Juan José Aparicio Porres Colaboradoras Raquela Quispe Leonidas Aspi Jacqueline Chambi Depósito Legal 4-1-156-13

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PROLOGO El presente texto está basado en una recopilación actualizada de la literatura universitaria existente en la materia de FISICA universitaria. Su finalidad consiste en brindar herramientas básicas y generales a los estudiantes de CIPYCA-UMSA, para responder a su ámbito de estudio que lo determina el contenido curricular de dicha carrera.

La Paz, Enero del 2013

AGRADECIMIENTOS ESPECIALES A la carrera de CIPYCA-UMSA. A mi familia. Mary Carmen, Nataly, Nayely e Ian Cuando quieres realmente una cosa, todo el Universo conspira para ayudarte a conseguirla

Paulo Coelho

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CAPITULO 1 INTRODUCCION

El que está acostumbrado a viajar, sabe que siempre es necesario partir algún día.

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Al comienzo, los fenómenos naturales eran atribuidos a dioses locales de los diferentes pueblos antiguos. El ser humano, al intentar explicarlos lógicamente, procede a estudiarlos, dando inicio a la ciencia que estudia los fenómenos naturales que se producen en la naturaleza. Los hombres de ciencia en la antigüedad eran conocidos como filósofos, el momento que proceden a estudiar los fenómenos naturales pasan a separarse de la filosofía y se constituyen en los padres de la ciencia, entre ellas, la física.

Dios

FILÓSOFOS

Fenómenos naturales

En la actualidad, podemos definir la Física, como la ciencia que estudia la materia y la energía, así como todos sus efectos.

1. ¿Y qué es la ciencia?

La ciencia es la investigación metodológica de los fenómenos naturales, que sobre la base de una recopilación de un conjunto de experimentos y conocimientos ordenados y relacionados entre sí, conduce al planteamiento de leyes por determinación y sistematización de las causas. El científico en su investigación realiza los siguientes pasos. a) Observa. b) Organiza sus datos. c) Plantea su teoría. d) Verifica y comprueba la ocurrencia.

Algunos de los científicos que más han aportado a sentar las bases científicas de la Física son: Galileo, Arquímedes, Coulomb, Joule, Faraday, Meyer, los esposos Curie, Einstein, Newton, Roentgen, etc.

Hay hechos sencillos pero que han aportado fantásticos avances, dando origen a las leyes físicas, cuyo conocimiento ha permitido al hombre aprovecharlo en su beneficio

Se cuenta que Newton estaba apoyado al tronco de una plante de manzano cuando cayó una manzana del árbol, este hecho hizo pensar a Newton ¿Cuál era la razón que explicase la caída de la fruta?, esto le hizo descubrir la ley de la gravedad.

Ordenado por el gobernante de turno de su tierra natal, Siracusa, para averiguar si la cantidad de oro que tenia la corona que había mandado hacer a un joyero, era lo que el joyero había recibido de manos del gobernante, con la amenaza de que si no encontraba la manera de comprobarlo perdería la vida, Arquímedes descubrió, en el momento en que se bañaba en una tina, la ley del empuje hidrostático, ley que le permitió calcular la cantidad de oro que tenia la corona.

Mientras Galileo observaba como oscilaba la campana de una iglesia, se puso a pensar en la razón de la oscilación y descubrió la ley del péndulo.

Cuando Meyer practicaba una sangría a un paciente, descubrió una de las leyes pilares de la Física, la Ley de la conservación de la energía, pero Meyer era medico no físico.

Mientras Roentgen realizaba experimentos de rutina, descubre los rayos X llamados así porque ni el mismo sabía lo que había descubierto, murió y no llego a saber de que provenía la energía que había encontrado.

Las leyes naturales se descubren casi siempre en forma casual, las leyes naturales no se inventan, se descubren.

2. Clasificación. La física se clasifica en:

Mecánica. Movimiento de los cuerpos.

Calor. Fenómenos térmicos.

Acústica. Movimiento ondulatorio.

Óptica. Fenómenos con la luz.

Electricidad. Fenómenos eléctricos y magnéticos.

Física moderna. Fenómenos relacionados con el átomo.

Para la carrera del CIPYCA, nos centraremos en Mecánica.

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CAPITULO 2 MAGNITUD Y

UNIDADES Una búsqueda comienza siempre con la suerte del principiante y termina con la prueba del conquistador

Paulo Coelho

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Definimos como magnitud, todo aquello que se puede medir o expresar cuantitativamente. Las magnitudes, las podemos clasificar como:

Físicas. Longitud, masa, velocidad, tiempo.

No físicas. Color, sabor, bondad, belleza.

Física

No Física

También las podemos agrupar en:

Fundamentales. Su característica es que son variables independientes como la masa, longitud, etc.

Derivadas. Su característica es que son variables dependientes como la velocidad o la densidad.

Velocidad = Longitud / Tiempo

Densidad = masa / volumen

Fundamentales

Derivadas

La velocidad tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo.

Las dimensiones de otras magnitudes, tales como fuerza o energía, se escriben en función de magnitudes fundamentales de longitud, tiempo y masa. La suma de dos magnitudes solo tiene sentido si ambas magnitudes utilizan las mismas dimensiones.

Magnitud Símbolo Dimensión

Área Volumen Velocidad Aceleración Fuerza Presión (F/A) Densidad (M/V) Potencia

A V v a F P ρ P

L2 L3 L/T L/T2 ML/T2

M/LT2 M/L3 ML2/T3

M=Masa, L=Longitud y T=Tiempo

1. Potencias de 10. Existen números que están fuera de nuestro cuadro de referencia, ya que resultan: Muy grandes Nro. Muy pequeños Ejemplo: Radio del átomo de hidrogeno

0,000 000 005 cm. Los átomos de una célula

2 000 000 000 000 átomos. Para facilitar su lectura y uso empleamos la numeración de base 10 Ejemplo:

Cualquier número puede expresarse como producto de un número comprendido entre 1 y 10 y la potencia de 10. Ejemplo:

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Regla practica

Contar números a la izquierda nos da el exponente positivo.

4 3 2 1

Contar los números a la derecha nos da exponente negativo.

1 2 3 4 5

Operaciones con potencia de 10 Multiplicación. Dos potencias de la misma base se suman exponentes. Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

División. Dos potencias de la misma base se restan los exponentes. Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Potencias. Se multiplican exponentes. Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Raíz cuadrada. Se divide el exponerte entre 2. Ejemplo:

Suma / resta. Debemos expresar en la misma potencia de 10 para resolver el ejercicio. Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

2. Cifras significativas. De una medida, son los números correctos y el primer número dudoso.

14 14,35 Número dudoso

15 Número correcto

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Cuando vemos un vaso graduado como muestra la figura, podemos tener la certeza de que la graduación llega a 14, Número correcto, pero cuando tratamos de ser más precisos: 14,35, entramos en el número dudoso de 0,35. En Sumas / restas.

2 8 0 7, 5 + 0, 0 6 4 8

8 3, 6 4 5 5 2 5, 3 5

------------------------------- El número con menos decimales es el más exacto y se mantiene, los demás redondeamos:

2 8 0 7, 5 se mantiene + 0, 1 redondeo

8 3, 6 redondeo 5 2 5, 3 redondeo

------------------------------- 3 4 1 6, 5

En Multiplicación / división El resultado obtenido tendrá los decimales del número que en el ejercicio, lleva menos decimales.

3. Redondeo.

Cuando el primer digito suprimido es menor a 5, el último digito se mantiene. Ejemplo:

3, 142 = 3, 14 Menor que 5 Cuando el primer digito es mayor que 5, se aumenta una unidad a la última cifra. Ejemplo:

3,1416 = 3, 142

Mayor que 5 Si es igual que 5 se aumenta una unidad si es impar y no se modifica si es par.

Ejemplos: 51,75 = 51, 8

Impar Igual que 5

51,65 = 51,65 Par Igual que 5

4. Funciones trigonométricas. Dentro de las funciones trigonométricas más utilizadas tenemos la hipotenusa, el seno, coseno y tangente.

Hipotenusa B

-

a

A b C

cos A = sen B sen A = cos B

Ejercicio.

Hipotenusa B

-

8

A C

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En triángulos no rectángulos: B c a A C b

c

c

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Teorema de los senos

Teorema de los cosenos

Ejercicio: B c a A C 40

Por teorema de senos

5. Unidades y conversión. Todas las magnitudes físicas contienen un número y una unidad. Las tres cantidades físicas de fundamentales de la mecánica son longitud, masa y tiempo, cuyas unidades en el sistema internacional son metro, kilogramo y segundo. Cuando estas magnitudes se suman, multiplican o dividen en una ecuación algebraica, la unidad puede tratarse como cualquier otra magnitud algebraica. Por ejemplo: d puede representar una distancia de 5 m, t un tiempo de 2 s, y v una velocidad de 2,5 m/s.

A veces es necesario convertir unidades del Sistema Ingles a Sistema internacional, o convertir unidades dentro del mismo sistema internacional. Para ello usamos el factor de conversión, que tiene siempre como valor 1 y se utiliza para pasar de una magnitud expresada en una unidad de medida a su equivalente en otra unidad de medida. Ejemplo: De pulgada (sistema ingles) a cm (sistema internacional).

Dentro del mismo sistema internacional.

71o

64o

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EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1. El sol posee una masa de 1,99 x 10

30 Kg.

Fundamentalmente el Sol está compuesto de Hidrógeno, con sólo una pequeña cantidad de elementos pesados. El átomo de hidrógeno tiene una masa de 1,67 x 10

-27 Kg.

Estimar el número de átomos de hidrógeno del sol. Si suponemos que la masa del sol está completamente compuesta por átomos de hidrógeno: La masa del sol estará expresada por:

Donde es el producto del número de átomos de hidrogeno por la masa de cada átomo de hidrógeno. Donde:

Ejercicio 2. La cerveza se vende utilizando como envase latas de aluminio. Una lata tiene aproximadamente 25 g de aluminio. Estimar que en Oruro se consumen 3450000 latas de cerveza por carnaval. a) Calcular la masa total de aluminio atribuible al consumo de latas de cerveza. b) Si por cada kilogramo de aluminio acumulado, en un centro de reciclaje se obtiene 7 Bs. ¿Cuál es el valor económico del aluminio acumulado durante el carnaval de Oruro? (a)

(b)

Ejercicio 3. Se estima que un coche utiliza en promedio 9,08 l/día, estimar cuantos litros de gasolina utilizan los 960870 coches que existen en el país durante 1 año y el coste asociado (3,74 Bs/l).

Ejercicio 4. Si de un barril de petróleo se obtiene 73,45 l de gasolina, calcular cuantos barriles de petróleo deben importarse en un año en Bolivia para fabricar la gasolina necesaria. El barril de petróleo cuesta $us 109.

Ejercicio 5. A cada dígito binario lo denominamos bit. Una serie de bits agrupados se denomina palabra y una palabra compuesta por ocho bits se denomina byte. Supongamos que el disco duro de un ordenador tiene una capacidad de 20 gigabytes (giga = 10

9). a) ¿Cuántos

bits puede almacenarse en un disco?. b) Estimar cuántos libros típicos (300 páginas) podrían almacenarse en un disco duro suponiendo que cada letra requiere 8 bits. (Asumir que 8 letras hacen 1 palabra, una línea tiene 10 palabras y una página 60 líneas y 64 bits hace una palabra). (a)

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(b)

Ejercicio 6. Según la etiqueta de un frasco de aderezo de ensalada, el volumen del contenido es de 0,473 litros. Use sólo las conversiones de 1 l = 1000 cc y 1 pulgada = 2,54 cm para expresar dicho volumen en pulgadas cúbicas.

Ejercicio 7. La densidad del plomo es 11,3 g/cm

3 ¿Cuánto

es esto en Kg/metro3?

Ejercicio 8. Un jugador de baloncesto tiene una altura de 6 pies y 10,5 pulgadas ¿Cuál es la altura en centímetros? (considerar 1 pulgada = 2,54 cm y 1 pie = 12 pulgadas).

Ejercicio 9. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. ¿Cuál es la velocidad de un avión supersónico que se mueve con una velocidad triple a la del sonido?. Dar la respuesta en kilómetros por hora y millas por hora (1 milla = 1,61 km).

Entonces:

Ejercicio 10. Un trabajador va a pintar las paredes de un cuarto cuadrado de 6 pies de alto y 10 pies en cada lado. ¿Qué área superficial en metros cuadrados debe cubrir?. Considerar que 1 m es igual a 3,28 pies.

Entonces

Ejercicio 11. Estime el número de pelotas pingpong que cabrían en un cuarto de 6m x 6m x 3m (sin que se aplasten). Considerar que cada pelota de pingpong tiene de diámetro 0,038m y el volumen de una esfera es 4/3 π r

3

Ejercicio 12. Un auditorio mide 40 m x 20 m x 12 m. La densidad del aire es 1,2 kg/m3. Cuál es el volumen del cuarto en pies cúbicos. Considerar que en 1 m tenemos 3,28 pies.

Entonces:

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Ejercicio 13. En el tiempo en que se está realizando este ejercicio, la deuda nacional de Estados Unidos era de 6 billones de dólares (6x10

12). Si se hicieran pagos a razón

de 1000 $us. por segundo, cuantos años se tardaría en pagar la deuda entera de este país, suponiendo que no haya intereses.

Ejercicio 14. En 12 gramos de carbono existen 6,02 x 10

23

átomos de esta sustancia. Si contáramos 1 átomo por segundo, ¿Cuánto tiempo tardaríamos en contar los átomos de 1 gramo de carbono?. Expresar el resultado en años.

Ejercicio 15. Estime el número de pasos que debe dar una persona que camine los 670 Km de La Paz a Santa Cruz. Podemos estimar que cada paso tiene una longitud de 60 cm.

Ejercicio 16. En otoño del 2002, un grupo de científicos de Los Álamos National Laboratory determino que la masa crítica del neptunio 237 es de unos 60 Kg. La masa crítica de un material fisionable es la cantidad mínima que debe juntarse para iniciar una reacción en cadena. Este elemento tiene una densidad de 19,5 g/cc ¿Qué

radio tendría una esfera de este material que tiene la masa crítica?

Volumen de una esfera:

Ejercicio 17. Un técnico americano llega a Bolivia, donde las señales de tráfico muestran la distancia en kilómetros y los velocímetros están calibrados a Km/h. Si con su vehículo viaja a 55 km/h, ¿a cuánto equivale su velocidad en m/s y millas/hora?

Ejercicio 18. Andy Green es el actual poseedor del récord de velocidad mundial de la tierra, y la primera persona en romper la barrera del sonido sobre la tierra. El 25 de septiembre de 1997 en ThrustSSC alcanzo 1260 Km/hora. Exprese esta velocidad en m/s.

Ejercicio 19. La masa de un átomo de Uranio es 4,0 x 10

-26

Kg. ¿Cuántos átomos de Uranio hay en 8 g de Uranio puro?

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Ejercicio 20. Durante una tormenta cae un total de 3,5 cm de lluvia. ¿Cuánta agua ha caído sobre una hectárea de tierra?.

Ejercicio 21. La atmosfera de la tierra ejerce una presión sobre la superficie terrestre de valor 14,7 libras por pulgada cuadrada de superficie. ¿Cuál es el peso en libras de la atmosfera terrestre? (El radio del la tierra es 6370 Km aproximadamente).

Ejercicio 22. Una pirámide tiene una altura de 481 pies y su base cubre un área de 13 acres. Si el volumen de una pirámide está dado por la expresión V = 1/3 Bh, donde B es el área de la base y h es la altura, encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos (1 acre =43 560 pies

2).

Ejercicio 23. La pirámide descrita contiene aproximadamente 2 millones de bloques de piedra que promedian 2,5 toneladas cada uno. Hállese el peso de esta pirámide en libras.

Ejercicio 24. Si se presume que 70% de la superficie terrestre está cubierta con agua a una profundidad promedio de 2,3 millas, estime la masa de agua de la tierra en kilogramos (asumir radio de la tierra 6,37x10

6m).

Ejercicio 25. ¿Cuántas veces late el corazón de una persona en su vida? ¿Cuántos galones de sangre bombea? (Estime que el corazón bombea 50 cc de sangre en cada latido, late 10

5 veces por día y el tiempo de vida

es 70 años).

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Ejercicio 26. En una carretera departamental de una región rural de La Paz, un auto está viajando a una velocidad de 38 m/s ¿Está excediendo el límite de velocidad de 75 Km/h?

Si, está excediendo el límite permitido. Ejercicio 27. Estime el número promedio de respiraciones que se hace en una vida (70 años), considerando que se respira 10 veces por minuto.

Ejercicio 28. Se ha debatido públicamente con frecuencia cuales son las consecuencias ambientales de usar pañales desechables o pañales reutilizables de tela. Suponga que un bebe, desde que nace y hasta los 2,5 años, usa 3 pañales al día. Estimar cuantos pañales usa en este tiempo.

Ejercicio 29. Una fuente elevada de agua está situada en el centro de una piscina circular. No deseando mojarse los pies el estudiante camina alrededor de la piscina y calcula que su circunferencia es de 15 m. A continuación, el estudiante se para en el borde de la piscina y usa un transportador para medir el ángulo de elevación de la parte alta de la fuente, encuentra que es de 55º ¿Cuál es la altura de la fuente.

o 55

o

r

Ejercicio 30. En un litro hay 1,057 cuartos y 4 cuartos en un galón a) Cuanto litros hay en un galón, b) Un barril equivale a 42 galones, ¿Cuánto metros cúbicos hay en un barril.

Ejercicio 31. Una membrana celular posee un espesor de 7mm ¿Cuántas membranas de este espesor deberían apilarse para conseguir una altura de 1 pulgada?

Ejercicio 32. Para llenar el tanque de agua de un edificio, cuya capacidad es de 7325 litros, se dispone de 3 pilas. La primera vierta 270 l en 2,5 min; la segunda, 80 l en 0,5 min; y la tercera, 250 l en 2 min. Además, el edificio tiene un consumo promedio de 25 l cada 15 s. ¿En cuánto tiempo se llenara el tanque si está vacío cuando se abren las tres pilas y el consumo es permanente? Calculamos el volumen de las 3 pilas

Consumo

Tiempo de llenado:

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CAPITULO 3 VECTORES

No tenía miedo a las dificultades: lo que la asustaba era la obligación de tener que escoger un camino. Escoger un camino significaba abandonar otros.

Paulo Coelho

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Se cuenta que el presidente americano Thomas Jefferson, cuando necesitaba reunirse con una persona que era difícil de encontrar o desconocía su paradero, convocaba a un guía de su confianza, al cual solo le mencionaba el nombre de la persona a ubicar. Su guía, salía con solo esa referencia y en pocos días, encontraba a la persona solicitada por el presidente. De igual manera, si nos pidieran ir a Agua Dulce desde La Paz. La Paz No sabríamos si ir camino a Achacachi, Oruro o Norte de La Paz. Nos dicen 310 Km para llegar a Agua Dulce. Este dato tampoco nos sirve si no tenemos una dirección. ……… La colonia Agua Dulce se encuentra en el municipio de Palos Blancos a 320 Km y se va por la carretera hacia el Norte de La Paz. Algunas cantidades físicas como tiempo, temperatura, masa densidad y otras, se pueden describir con un número y una unidad, a esta conocemos como cantidad escalar: Ejemplo:

23º Centígrados, 57 Kilogramos, 3 horas……… Pero otras cantidades están asociadas a una dirección y no pueden describirse con un solo número, a estas se las conoce como cantidad vectorial. Ejemplo: Desplazamiento, cambio en la posición de un punto A B

1. Tipos de vectores Vectores paralelos: son paralelos si las rectas que lo contienen son paralelas al vector. Vectores concurrentes: se cortan en un solo punto. Vectores no concurrentes: se cortan en más de un punto.

Vectores ortogonales: cuando dos vectores son perpendiculares entre sí. Vectores coplanares: si sus rectas que lo contienen están sobre un mismo plano.

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Vectores no coplanares: se encuentran en diferentes planos.

Igualdad de vectores: son iguales si son paralelas y tienen el mismo sentido y además sus módulos son iguales. Negativo de un vector: tiene el mismo modulo pero de sentido opuesto.

2. Operaciones con vectores. Adición: En cantidades escalares, se suma conforme a reglas comunes del algebra.

2 m3 + 5 m

3 = 7 m

3

1000 m

2 -400 m

2 = 600 m

2

La suma en cantidades vectoriales es diferente. a b 4 3 a) c = a + b c 7 c = 4 + 3 c = 7

a b 4 3 b) c = a + b c 7 c = 4 + (-3) c = 1

a) c = 5 a=3 b=4 La condición es que tenga la forma de un triangulo rectángulo. d)

b=4

60o

a=6

c = R = Vector sumatoria = Vector resultante Dos vectores desplazamiento se suman gráficamente

B

60 A El vector resultante se extiende desde el origen del primer vector al extremo final del segundo. C B A C = A + B

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Obsérvese que C no es igual A + B, a menos que A + B estén en la misma dirección. Una forma equivalente de sumar vectores es el método del paralelogramo, que consiste en desplazar B hasta que coincida su origen con el de A

La diagonal del paralelogramo formada por A y B es igual a C. No existe diferencia en el orden en que sumemos los vectores: A + B = B + A. A

B C B A

Ejercicio. Ud. es parte del comité del encuentro inter sedes de la UMSA. Le dan un mapa con las direcciones a seguir para enterrar un tesoro de una de las competencias. Como el tiempo apremia, y Ud. quiere acabar rápido para incorporarse a los juegos. Las instrucciones son ir al norte 3 Km y luego 4 Km al este ¿A qué distancia y dirección debe ir?.

4 Los vectores del diagrama forman un triangulo rectángulo

3 R = √ a2 + b

2

R = √ 3

2 + 4

2 = 5 Km

cateto opuesto 4

Tan θ = ----------------------- = ------- = 53,1º Cateto adyacente 3

3. Componente de los vectores 15 16

45° 60 30º 19 11

Cuando tenemos la sumatoria de más de un vector,

podemos resolver mediante dos formas: Método Grafico. Se copia los vectores con la misma magnitud y dirección, ubicándolos uno tras otro. Al final, se pone un vector que une el inicio del primer vector con la punta del último vector, a este se lo conoce como vector resultante. R Vector Resultante

Cuando se adicionan 3 o más, su adición es independiente de la forma en que los vectores individuales se agrupan juntos. La exactitud en diagramas es muy limitada y los cálculos con triángulos rectángulos solo sirven con vectores perpendiculares. Para otro tipo de vectores necesitamos usar el método de componentes. Para definir los componentes de un vector, debemos partir del sistema de eje de coordenadas (cartesiano). Cada vector que tiene un ángulo de inclinación debe descomponerse en su componente X y Y. Y (+) X (-) X (+) Y (-) Podemos representar cualquier vector en el plano xy como la suma de un vector paralelo al eje x y uno paralelo al eje y (vectores componentes).

A = Ax + Ay El signo de cada componente estará en función a la dirección del vector en el eje cartesiano: si en el eje Y

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esta hacia arriba será (+), y si esta hacia abajo, será (-). De la misma manera para el eje X. Por tanto, los componentes de un vector pueden ser números positivos o negativos. En nuestro ejemplo, cada vector se descompone: 16 30º 15 11 45º -11 cos 30º 15 cos 60° -16 cos 45 °

Nota. Sobre el eje donde este el ángulo, esta la magnitud del vector por el coseno del ángulo. Luego, se desarrolla una matriz para determinar los componentes de cada vector que compone el sistema.

Fuerza ∑Fx ∑Fy

19 19,0 0,0

15 15 cos 60º = 7,5 15 sen 60º = 13,0

16 -16 cos 45 = -11,3 16 sen 45 = 11,3

11 -11 cos 30 = -9,5 -11 sen 30 = -5,5

Sumatoria 5,7 18,8

Por Pitágoras, hipotenusa:

18.8 R R = 19.6

tan θ = 18.8 /5.7

θ = 73° Al construirse el polígono con 3 o más vectores, puede presentarse en caso que el origen del primer vector coincide con el final del último vector, entonces el vector resultante será.

A B D C

A B R = A + B + C + D = 0 R = 0 D C

4. Vectores unitarios. Un vector unitario es un vector con magnitud 1. Su único fin es direccionar. (-1, 1) (1, 1) ----C Ayj j (-1, -1) (1, -1) i Axi

A = Axi + Ayj En un sistema de coordenadas x-y como el de lado derecho de la figura que nos antecede, podemos definir un vector unitario i que apunte en la dirección (+)X y un vector unitario j que apunte en la dirección (+)Y. Cuando representamos dos vectores A y B en términos de sus componentes, podemos expresar la resultante R usando vectores unitarios como vemos en el ejemplo:

A = Axi + Ayj B = Bxi + Byj

R = A + B

B R = (Axi + Ayj) + (Bxi + Byj) A R = (Axi + Bxi) + (Ayj + Byj) R = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j

Aplicando: A = 4i + 3j B = 2i + 5j

R = A + B R = (4i + 3j) + (2i + 5j)

8j R = (4i + 2i) + (3j + 5j) R = (4 + 2) i + (3 + 5) j R = 6i + 8j

6i

R =√6 2 + 8 2

= 10

Tan θ = 8 /6 = 53° A veces necesitamos considerar situaciones que comprenden el movimiento en tres direcciones componentes. Si los vectores A y B fueran tridimensionales, tendrían componentes X, Y y Z, y los expresaríamos como:

- i +i

-j +j

15

sen 6

0º

16

sen 4

5º

-11

sen 3

0º

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P.

A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk

Donde: R = A + B R = (Axi + Ayj + Azk) + (Bxi + Byj + Bzk) R = (Axi + Bxi) + (Ayj+ Byj) + (Azk + Bzk) R = (Ax + Bx) i + (Ay+ By) j + (Az + Bz) k

R = Rxi + Ryj + Rzk R = √Rx

2 + Ry

2 + Rz

2

Ejercicio: Un cuerpo expresa 3 desplazamientos consecutivos, A1= (6i + 3j - k), A2 = (2i – 2j + 5k) y A3 = (-3i+5j). Encuentre los componentes del desplazamiento resultante y magnitud.

R = A1 + A2 + A3 R = (6+2-3)i + (3-2+5)j + (-1+5+0)k

R = 5i + 6j +4k El desplazamiento resultante tiene componentes Rx=5, Ry=6 y Rz=4. Su magnitud es:

R = 8,77

Ejercicio: Dado los dos desplazamientos

A = i + 3j + 6k y B = 8i + 5j -3k Obtenga la magnitud del desplazamiento 3 A + B

R = 3 A + B R = 3 (i + 3j + 6k) + (8i + 5j -3k) R = (3i + 9j + 18k) + (8i + 5j -3k)

R = (3+8)I + (9+5)j + (18 - 3)k R = 11i + 14j + 15k

El desplazamiento resultante tiene componentes Rx=11, Ry=14 y Rz=15. Su magnitud es:

R = 23,28

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P.

EJERCIOS RESUELTOS Ejercicio 1. Se muestra un vector A cuyo origen es (0,0) y el extremo (5,6). Determinar el módulo y su dirección del vector A.

Ejercicio 2. Se tiene un vector cuyo origen es A (2,2) y el extremo B (5,6). Determinar el módulo y su dirección del vector.

Determinamos los componentes del vector:

Ejercicio 3. Calcular el vector resultante

Reacomodando los vectores, tenemos el siguiente triángulo:

Ejercicio 4. Determinar el módulo resultante y su dirección.

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P.

Vector ΣX ΣY

20 20 cos 37o

15,97 20 sen 37

o

12,03

4 0 4

10 -10 0

24 0 -24

Total 5,97 -11,97

Ejercicio 5. Determinar el módulo resultante y su dirección.

Vector ΣX ΣY

40 40 0

20 0 20

30 -30 0

-50

-50

Total -40 -30

Ejercicio 6. Una topógrafa mide el ancho de un rio recto con el siguiente método: de pie directamente frente a un árbol que está en la margen opuesta, ella camina 100 m a lo largo de la rivera del rio para establecer una línea base; se detiene y mira al árbol, el ángulo desde su línea base al árbol es 35

o ¿Cuál es el ancho del rio?.

Ejercicio 7. Un perro que busca un hueso camina 3,5 m al sur, luego corre 8,2 m a un ángulo de 30º al noreste y finalmente camina 15m al oeste. Gráficamente encuentre el vector resultante del desplazamiento del perro.

Ejercicio 8. Al oír la cascabel de una serpiente Ud. Realiza dos desplazamientos rápido de 1,8 m y 2,4 m. Haga dibujos a escala y también los cálculos respectivos mostrando como dichos desplazamientos podrían dar una resultante de a) 4,2 m ; b) 0,6 m y c) 3,0 m. a)

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b)

c)

Ejercicio 9. Encuentre los componentes horizontal y vertical del desplazamiento de 70 m de Batman que se lanza desde lo alto de un edificio siguiendo la trayectoria que se ilustra.

Los componentes del descenso de Batman son:

Ejercicio 10. Tres finalistas del concurso inter sedes de la UMSA, se colocan en el centro de un campo plano grande. A cada participante se le da un flexómetro, una brújula, una calculadora, una pala y un papel con estos desplazamientos:

- 72 m, 32º al noreste,

- 57 m, 54º al suroeste, - 18 m, al sur

Los desplazamientos conducen al premio del concurso. Dos concursantes comienzan a utilizar su flexómetro de inmediato, pero el ganador primero calcula ¿a dónde debe ir?.

Vector ΣX ΣY

72 72 cos 58o

38,1 72 sen 58

o

61,1

57 -57 cos 36o

-46,1 -57 sen 36

o

-33,5

18 0 -18

Total -8,0 9,6

Ejercicio 11. En 1992, el japonés Akira Matsushima cruzo Estados Unidos con un monociclo, recorriendo 4800 Km en seis semanas. Suponga que, durante ese viaje cruzo una ciudad con calles de una sola dirección. En el centro de la ciudad, Matsushima tuvo que viajar 280 m al norte, 220 m al este, 360 m al norte, 300 m al oeste, 120 m al sur, 60m al este, 40m al sur, 90m al oeste y luego 70 m al norte. En ese punto, se detuvo para

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P.

descansar. Mientras, un cuervo decidió volar la distancia desde el punto de partida al de descanso, que distancia recorrió y en qué dirección.

Para este = +i Para Oeste= -i Para norte = +j Para sur = -j

El recorrido fue: 280 j + 220 i + 360 j – 300 i – 120 j + 60 i – 40 j – 90 i + 70 j Ordenando:

ΣX ΣY

+220 i -300 i +60i -90i

+280j +360j -120j -40j +70j

-110i 550j

Ejercicio 12. Una marinera en un velero pequeño se topa con vientos cambiantes. Navega 2 km al este, 3,5 Km al sureste y luego otro tramo en una dirección desconocida. Su posición final es 5,8 Km al este del punto inicial. Determine la magnitud y dirección del tercer tramo.

En el eje X.

En el eje Y.

Ejercicio 13. El vector A tiene componentes X, Y y Z de 8, 12 y 6 unidades, respectivamente. Calcule la magnitud de A y los ángulos con que A forma con los ejes de coordenadas.

Ejercicio 14. Fuimos de campamento a la Chojlla con dos amigos, Pepe y Lito. Como a los tres nos gusta la privacidad, decidimos no levantar las carpas juntas. La de Pepe esta a 21 m de mi carpa, en dirección de 67º al sureste. La de Lito está a 32 m de mi carpa, en dirección 53º al noreste. ¿Qué distancia hay entre las tiendas de Pepe y Lito?.

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Para Pepe

Para Lito

La diferencia entre los dos puntos es:

Ejercicio 15. Un golfista novato necesita hacer 3 tiros en la cancha para meter la pelota en el hoyo. Los desplazamientos sucesivos son 8 m al norte, 4 m al noreste y 2 m a 30º al suroeste. Si empieza en el mismo punto inicial, un golfista experto podría meter la pelota en el hoyo en que desplazamiento único.

Vector ΣX ΣY

8 0 4

4 4 cos 45o

2,83 4 sen 45

o

2,83

2 -2 sen 30º -1,0

-2 cos 30º -1,73

Total 1,83 5,10

Ejercicio 16. Cuando exploraba una cueva, una espeleóloga inicia en la entrada su recorrido, haciendo las siguientes distancias. Avanza 60 m al norte, 150 m al este, 125 m a un ángulo de 60º al noreste y 200 m al sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva.

Vector ΣX ΣY

60 0 60

150 150 0

125 125 cos 30º 180,3

125 sen 30º 62,5

200 0 -200,0

Total 258,3 -77,50

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Ejercicio 17. Usted tiene hambre y decide visitar su restaurante preferido. Sale de su oficina y baja 10 pisos en el ascensor (cada piso tiene 3 m de altura) y camina 15 m al sur hacia la salida del edificio. Luego camina 0,2 Km al este, da vuelta al norte y camina 0,1 Km hasta la entrada del restaurante. Determine el desplazamiento entre su oficina y el restaurante. Utilice notación de vectores unitarios en su respuesta. 1er desplazamiento -30 k (10 pisos x 3 m) 2do desplazamiento -15 j 3er desplazamiento 200 i (1000 x 0,2) 4to desplazamiento 100 j (1000 x 0,1)

ΣX ΣY ΣZ

+ 200 i -15 j +100 j

-30 k

+200 i +85 j -30 k

Ejercicio 18. Tres cuerdas horizontales tiran de una piedra grande medio enterrada en el suelo, produciendo los vectores de fuerza A, B y C, que se ven en la figura. Obtenga la magnitud y dirección de una cuarta fuerza aplicada a la piedra que haga que el vector sumatoria de las cuatro fuerzas sea 0.

Condición

Entonces:

Vector ΣX ΣY

100 100 cos 30 86,6

100 sen 30 50,0

80 -80 sen 30 -40,0

80 cos 30 69,3

40 -40 cos 53º -24,1

-40 sen 53º -31,9

Total 22,50 87,40

Para D = -22,5 x -87,40

Ejercicio 19. Un hombre que empuja un trapeador por un piso hace que aquel experimente dos desplazamientos. El primero tiene una magnitud de 150 cm y forma un ángulo de 120º con el eje X positivo. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140 cm y está dirigido a un ángulo de 35º respecto al eje positivo. Encuentre la magnitud y dirección del segundo desplazamiento.

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P.

Sabemos que

Por componentes

Calculando B:

Ejercicio 20. Un cohete dispara dos motores simultáneamente. Uno produce un empuje de 725 N directamente hacia adelante, mientras que el otro produce un empuje de 513 N 32,4º arriba de la dirección hacia adelante. Obtenga la magnitud y dirección (relativa de la dirección hacia adelante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete.

Vector ΣX ΣY

725 725 0

513 513 cos 32,4 433,1

513 sen 32,4 274,9

Total 1158,1 274,90

Ejercicio 21. Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura. Use el método de componentes para determinar la magnitud y dirección de su desplazamiento resultante.

Ejercicio 22. Un explorador en las espesas junglas del África ecuatorial sale de la choza. Camina 40 pasos al noreste, 80 pasos 60º al norte del oeste y 50 pasos al sur. Suponga que todos sus pasos tienen la misma longitud. Sálvelo de perderse irremediablemente en la jungla dándole el desplazamiento, calculado con el método de los componentes, que lo llevara de regreso a su choza.

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Juan

J. A

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P.

Vector ΣX ΣY

40 40 cos 45 28,2

40 sen 45 28,2

80 -80 cos 60 -40

80 sen 60 69,3

50 0 -50

Total -11,8 47,5

Ejercicio 23. Un barco zarpa de la isla de Guam y navega 285 Km con rumbo 40º al norte del oeste. ¿Qué rumbo deberá tomar ahora y que distancia deberá navegar para que su desplazamiento resultante sea 115 km directamente al este Guam?

y y

Ejercicio 24. Un oso se mueve 12 m hacia el noreste y 12 m hacia el este. Determinante el desplazamiento del vector resultante y su dirección.

Por la ley de los cosenos

Por la ley de los senos

Entonces: Ejercicio 25. Un vector A tiene el módulo de 8 m y forma un ángulo de 37

o con el eje X, el vector B = (3m)i - (5m)j;

el vector C = (-6m)i + (3m)j . Determinar los siguientes vectores: (a) D = A+C; (b) E = B - A; (c) F = A - 2B + 3C; (d) un vector G tal que G - B = A + 2C + 3G.

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P.

Entonces:

a) D = A + C

+

------------------------------ b) E= B - A

------------------------------

c) F= A – 2B + 3C

+ 3

------------------------------

d) G – B = A + 2C + 3G

------------------------------

Ejercicio 26. Hallar el módulo y la dirección de los siguientes vectores: A = 5i + 3j y B = 10i + 7j. Para A = 5i + 3j.

Para B = 10i + 7j.

Ejercicio 27. Hallar el módulo y la dirección de A, B y C = A + B en los casos (a) A = -4i -7j y B = 3i - 2j; (b) A = 1i - 4J y B = 2i + 6j. a) Para A = -4i - 7j.

Para B = 3i - 2j.

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P.

Para C = A + B

------------------------------

b) Para A = 1i - 4j.

Para B = 2i + 6j.

Para C = A + B

------------------------------

Ejercicio 28. Un excursionista inicia un viaje al caminar primero 25 Km al sureste desde su auto. Se detiene y arma su tienda de campaña para pasar la noche. Al segundo día, camina 40 Km en una dirección 60o al noreste, en cuyo punto descubre una roca grande. Determine los componentes del desplazamiento del excursionista para cada día.

Vector ΣX ΣY

A 17,7 -17,7

B 20,0 34,6

Total 37,7 16,9

Ejercicio 29. Un avión para viajeros frecuentes toma la ruta que se muestra en la figura. Primero vuela desde el origen del sistema de coordenadas a la ciudad A, situada a 175 Km en una dirección 30

o al norte del este. A

continuación, vuela 153 Km 20,0o al oeste del norte a la

ciudad B. Finalmente, vuela 195 Km al oeste a la ciudad C. Encuentre la ubicación de la ciudad C con respecto al punto de partida.

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P.

Vector ΣX ΣY

A 175 cos 30o

151,6 175 sen 30

o

87,5

B -153 sen 20o

-52,3 153 cos 20

o

143,8

C -195,0 0

Total -95,7 231,3

Ejercicio 30. Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular de radio igual a 5 m. Si avanza por inercia alrededor de la mitad del círculo, encuentre (a) la magnitud del vector del desplazamiento y (b) la distancia que patinó (c) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si él patina alrededor de todo el círculo?.

a) La mitad del círculo, involucra ir de A a B, entonces el diámetro

b) Partimos del perímetro de un círculo.

Como solo patino medio circulo

c) La magnitud del desplazamiento es cero, ya que

parte de A y retorna a A. Ejercicio 31. El carro de una montaña rusa se mueve 200 m horizontalmente, y luego sube 135 m a un ángulo de 30,0

o sobre la horizontal. Luego se desplaza 135 m a un

ángulo de 40,0o hacia abajo. ¿Cuál es el desplazamiento desde su punto de partida?

Vector ΣX ΣY

A 200 0

B 135 cos 30o

116,9 135 sen 30

o

67,5

C 135 cos 40o

103,4 -135 sen 40

o

-86,8

Total 420,3 -19,3

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Ejercicio 32. En un clásico de futbol, el defensor central de Bolívar, toma el balón en su campo de juego, retrocede 10 m y luego 15 m en forma paralela a su arco. En ese punto, lanza un pase de 50 m hacia adelante para su delantero, paralelo a la línea lateral. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento resultante del balón?

Vector ΣX ΣY

A -10 0

B 0 -15

C 50 0

Total 40 -15

Ejercicio 33. La vista aérea de la figura muestra dos personas tirando a una mula terca. Encuentre (a) la fuerza individual que es equivalente a las dos fuerzas que se ilustran, y (b) La fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para que sea cero la fuerza resultante. Las fuerzas se miden en unidades de Newtons (N).

a)

Vector ΣX ΣY

F1 120 cos 60º i 60,0 i

120 sen 60º j 103,9 j

F2 -80 cos 75º i -20,7 i

80 sen 75º j 77,3 j

Total 39,3 i 181,2 j

b)

La fuerza que una tercera persona tendría que ejercer es:

Ejercicio 34. El vector A tiene componentes x, y, y z de 8, 12 y -4 unidades respectivamente. (a) escriba una expresión vectorial para A en notación de vectores unitarios. (b) Obtenga una expresión de vectores unitarios para un vector B de un cuarto de longitud de A que apunte en la misma dirección que A. (c) Obtenga una expresión de vectores unitarios para un vector C tres veces la longitud de A que apunte en la dirección opuesta a la dirección de A. a)

b)

c)

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P.

Ejercicio 35. Una estación de radar localiza un barco que se hunde 17,3 Km y rumbo 136

o en el sentido de giro de

las manecillas del reloj desde el norte. Desde la misma estación, un avión de rescate esta a una distancia horizontal de 19,6 Km, 153

o en el sentido de giro de las

manecillas de un reloj desde el norte, con elevación de 2,2 Km. (a) Escriba el vector de posición para el barco con respecto al avión, representando con i el este, j el norte, y k hacia arriba (b) ¿A que distancia están el avión y el barco?

La posición del vector desde la estación del radar es:

Desde la estación al avión:

a) Para volar a la nave, el avión debe acercarse al

desplazamiento del barco.

-------------------------------------------------

b)

Ejercicio 36. Un controlador de tráfico aéreo observa dos naves en su pantalla de radar. La Primera está a una altitud de 800 m, a una distancia horizontal de 19,2 Km y a 25

o al sur del oeste. La segunda nave está a una altitud

de 1100 m, una distancia horizontal de 17,6 km y a 20o al

sur del oeste. ¿Cuál es la distancia entre los dos aviones? (Ponga el eje x al oeste, el eje y al sur y el eje z vertical).

La posición del primer vector.

La posición del segundo vector

La distancia entre ambos es A2 - A1

-------------------------------------------------

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P.

CAPITULO 4 CINEMATICA

Sed como la fuente que se derrama y no como el tanque que siempre contiene la misma agua.

Paulo Coelho

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P.

La Mecánica estudia el movimiento de los cuerpos. La podemos dividir en dos partes:

o Clásica. Movimiento de los cuerpos (materia).

o Cuántica. Materia, energía. La Cinemática trata de describir los movimientos sin preocuparse de sus causas, estudia las propiedades geométricas del movimiento independiente de las fuerzas aplicadas y de la masa de la partícula. ¿Qué es una partícula? Al estudiar el movimiento de un cuerpo, lo denominamos a este como partícula. Partícula. Cuando sus dimensiones son muy pequeños en comparación con las demás dimensiones que participan en el fenómeno. Movimiento. Una partícula esta en movimiento cuando experimenta un cambio de posición dentro de un sistema de referencia fijo. t2 Y2 (X2, Y2) Y1 t1 (X1,Y1) Relatividad del movimiento. El movimiento de un cuerpo visto por un observador, depende del punto de referencia en el cual se halla situado.

Para el piloto del avión, la bomba cae verticalmente. Para el observador en tierra, la bomba cae formando una curva.

Para el observador del campo, la casa no se mueve. Para el piloto de la nave aeroespacial, la casa se mueve.

Conclusión: Para dos observadores situados en lugares diferentes, un mismo cuerpo se encuentra en movimiento y reposo a la vez.

1. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

Distancia, velocidad y tiempo. Cuando un cuerpo se desplaza con velocidad constante a lo largo de una trayectoria rectilínea, se lo denomina como movimiento rectilíneo uniforme. Uniforme, porque la velocidad es constante en el tiempo. Supongamos, un automóvil a 60 Km/h de velocidad

En 1 hora habrá logrado avanzar 60 Km En 2 horas habrá logrado avanzar 120 Km En 3 horas habrá logrado avanzar 180 Km

Entonces:

d = v * t

Distancia = velocidad x tiempo Solo válido cuando la velocidad es constante

Si hiciéramos un grafico con la velocidad constante, tendríamos un gráfico donde los 60 Km/h es uniforme, y nos muestra una línea constante en el eje Y:

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P.

Si calculamos la distancia, tendremos:

d = v * t

d = 60 Km/h * 5 h

d = 300 Km (idéntico al área del grafico)

En el movimiento uniforme, la grafica (v*t) es una recta paralela al eje del tiempo y que su área bajo dicha línea proporciona la distancia recorrida.

Nota. Usar este triangulo para despejar distancia, velocidad y tiempo.

Que ocurriría si la velocidad no fuera constante, como ocurre en la realidad.

De t=0 a t=1 (1 hora) se tiene v= 30 Km/h De t=1 a t=3 (2 horas) se tiene v= 90 Km/h De t=3 a t=4 (1 hora) se tiene v= 60 Km/h

Para d1 = 30 Km/h * 1 h d1 = 30 Km Para d2 = 90 Km/h * 2 h d1 = 180 Km Para d3 = 60 Km/h * 1 h d1 = 60 Km Entonces:

dtotal = d1 + d2 + d3

dtotal = 30 km + 180 km + 60 km

dtotal = 270 Km

Ejercicio. Un móvil emplea 2 s en recorrer 10 m. Calcular la velocidad.

d v = ------------

t

10 m v = ------------ = 5 m/s 2 s

Ejercicio. Un ciclista recorre con velocidad constante de 30 m/s. Determinar la distancia recorrida luego de 10, 20 y 50 segundos.

t(s) 10 20 50

Para t=10s d1 = 30 m/s * 10 s = 300 m Para t=20s d2 = 30 m/s * 20 s = 600 m Para t=50s d3 = 30 m/s * 50 s = 1500 m

Velocidad Negativa. Si se va de un punto A hasta un punto B y viceversa, se produce lo siguiente: A B

+ 60 Km/h A B

- 60 Km/h

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P.

Tiempo de encuentro. Los dos móviles se encuentran separados una distancia d con velocidades v1 y v2 opuestas en sentido.

d = d1 + d2

d = v1 * t + v2 * t

d = (v1 + v2) t

d

t encuentro = ------------------ v1 + v2 Ejemplo: Dos automóviles, con velocidades constantes se encuentran. Hallar el tiempo de encuentro y distancia del automóvil más lento.

Datos V1 = 25 m/s V2 = 10 m/s d = 980 m

d te = -------------

v1 + v2

980 m te = -----------------------------

25 m/s + 10 m/s

te = 28 s d2 = v2 * t

d2 = 10 m/s * 28 s

d2 = 280 m

Ejercicio. Dos móviles A y B se encuentran separados 0,12 Km, salen simultáneamente al encuentro con velocidad de 20 m/s y 10 m/s. Calcular el tiempo de encuentro.

d

te = ------------- v1 + v2

120 m te = -----------------------------

20 m/s + 10 m/s

te = 4 s

Ejercicio. Dos móviles A y B participan en una carrera de ida y vuelta en una pista de 120 m de largo. Salen simultáneamente al encuentro con velocidad de 20 m/s y 10 m/s. Calcular el tiempo de encuentro.

120 tA = --------- = 20 s 6 20 s – 12 s = 8 s 120 dA = 6 m /s * 8 s tb = --------- = 12 s dA = 48 m 10 Sabemos que el coche B llego al final en 12 s, y que al coche B todavía le resta 8 s para llegar al final, esos 8 s equivalen a 48 m de distancia, teniéndose lo siguiente:

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P.

d

te = ------------- v1 + v2

48 m

te = ----------------------------- 6 m/s + 10 m/s

te = 3 s

El tiempo total de encuentro es los 3 s calculados más los primeros 12 s que hizo el coche B. Entonces el tiempo de encuentro será de 15 s.

Tiempo de alcance. Dos cuerpos 1 y 2 se encuentran separados una distancia d con velocidades v1 y v2 en el mismo sentido, pero v1 > v2.

d1 = d + d2

d = d1 – d2

d = v1 * t – v2 * t

d = (v1 – v2) t

d

t alcance = ------------------- v1 – v2

Ejemplo: Dos automóviles que se mueven con velocidad constante. Hallar el tiempo de encuentro y la distancia que recorre el automóvil más rápido para alcanzar al otro.

Datos V1 = 120 Km/h V2 = 40 Km/h d = 32 Km = 32000 m

D ta = ----------------------

v1 – v2

32 Km ta = ----------------------------------

120 km/h – 40 km/h

ta = 0,4 h Distancia del automóvil más rápido:

d1 = v1 * t

d1 = 120 Km/h * 0,4 h

d1 = 48 Km

Ejercicio. Aquiles trata de atrapar a Pipo, que corre hacia su casa para salvarse. Si ambos perros corren con velocidades constantes. ¿Lograra salvarse Pipo?.

Datos: vp = 7 m/s dp = 49 m va = 10 m/s da = 49+30 = 79 m

dp 49m tp = -------- = ----------- = 7 s vp 7 m/s da 79 m ta = -------- = ------------- = 7,9 s va 10 m/s

Como se puede observar, Pipo hace el recorrido en menos tiempo que Aquiles, por tanto, llega a su casa. ¿Con que velocidad tendría que correr Aquiles para alcanzar a Pipo?

Datos: tp = 7 s da = 79 m

El mínimo tiempo que tendría que hacer Aquiles, es el mismo de Pipo. da 79 m v = --------- = ------------ = 11,3 m/s tp 7 s

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Ejercicio. En el instante que se muestra, los coches tienen velocidades constantes. Si A alcanza a B en 25 s y 50 s después alcanza a C. Hallar la velocidad de A.

Primer encuentro A-B.

Datos. Vb = 20 m/s ta-b = 25 s

d1

ta-b = ------------- va - vb

d1

25 s = -------------------------- va – (20 m/s)

25 s (va – (20 m/s)) = d1

25 s (va) – 25s (20 m/s) = d1

25 s (va) – 500 m = d1 (Ec.1)

Segundo Encuentro.

Datos. Vc = 40 m/s ta-c = 25 s + 50 s = 75 s d2 = d1 + 1000 m

d2

ta-c = ------------- va - vc

d1 + 1000 m

75 s = -------------------------- va – (40 m/s)

75 s (va – (40 m/s)) = d1 + 1000 m

75 s (va) – 75s (40 m/s) = d1 + 1000 m

75 s (va) – 75s (40 m/s) = d1 + 1000 m

75 s (va) – 3000 m = d1 + 1000 m

75 s (va) – 3000 m – 1000 m = d1 (Ec.2)

75 s (va) – 4000 m = d1 (Ec.2)

Igualando la Ec.1 y Ec.2.

25 s (va) – 500 m = 75 s (va) – 4000 m

4000 m – 500 m = 75 s (va) – 25 s (va)

3500 m = 50 s (va)

3500 m ----------------- = va

50 s

70 m/s = va

Tiempo de cruce en direcciones opuestas. Dos cuerpos rígidos 1 y 2, de largo apreciable (trenes, camiones, puentes, túneles), se mueven en direcciones opuestas.

d1 + d2 tcruce = ----------------

v1 + v2 Ejemplo. Un camión de 40 m de largo, marcha a 72 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo

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tardará el camión cruzarse con el tren de 260 m de largo que marcha a 36 km/h en dirección opuesta?

Cambiando unidades. 72 Km 1 h 1 min 1000 m V1 = ---------- * ------------ * ------------- * ----------- = 20 m/s h 60 min 60 s 1 km 36 Km 1 h 1 min 1000 m V2 = ---------- * ------------ * ------------- * ----------- = 10 m/s h 60 min 60 s 1 km Aplicando la formula.

d1 + d2 tcruce = ----------------

v1 + v2

40 m + 260 m tcruce = --------------------------

20 m/s + 10 m/s

tcruce = 10 s

Ejercicio. Dos trenes corren en sentidos contrarios con velocidades V1 = 36 km/h y V2 = 54 km/h. Una pasajero de V1 nota que el tren 2, demora en pasar por su costado 6 s. ¿Cuál es la longitud del segundo tren?.

Cambiando unidades. 36 Km 1 h 1 min 1000 m V1 = ---------- * ------------ * ------------- * ----------- = 10 m/s h 60 min 60 s 1 km 54 Km 1 h 1 min 1000 m V2 = ---------- * ------------ * ------------- * ----------- = 15 m/s h 60 min 60 s 1 km Aplicando la formula.

d1 + d2 tcruce = ----------------

v1 + v2

d1 + d2 6 s = --------------------------

10 m/s + 15 m/s

d1 + d2 6 s = --------------------------

25 m/s 0

6s (25 m/s) = d1 + d2 d1 = 0, porque el pasajero se encuentra en este tren.

6s (25 m/s) = d2

150 m = d2

Tiempo de cruce en direcciones iguales. Dos cuerpos rígidos 1 y 2, de largo apreciable (trenes, camiones, puentes, túneles), se mueven en direcciones iguales.

d1 + d2 tcruce = ----------------

v1 - v2 Ejemplo. Un camión de 40 m de largo, marcha a 72 km/h por una carretera para a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo invertirá el camión en pasar íntegramente a un tren de 260 m de largo que marcha a 36 km/h en la misma dirección?

72 km/h = 40 m/s 36 km/h = 10 m/s Aplicando la formula.

d1 + d2 tcruce = ----------------

v1 - v2

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40 m + 260 m tcruce = ---------------------------

20 m/s – 10 m/s

tcruce = 30 s

Sonido y Eco. Ejemplo. Un hombre que se encuentra frente a una montaña emite un grito. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s- ¿Después de que intervalo de tiempo escuchara el eco?.

Tiempo que demora el sonido en llegar a la montaña.

d 850 m t = ------- = ---------------- = 2,5 s

v 340 m/s Para el eco, debemos considerar:

tiempo de ida = 2,5 s tiempo de vuelta = 2,5 s

---------- El eco se escucha después de 5,0 s

Ejercicio. Una persona ubicada entre dos montañas emite un grito. Percibe el primer eco a los 3 s y el segundo a los 3,6 s. Sabiendo que la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determinar la distancia entre las montañas.

Ida 1,8 s 1,5 s Vuelta 1,8 s 1,5 s

dA = v * t dA = 340 m/s * 1,8 s dA = 612 m

dB = v * t dB = 340 m/s * 1,5 s dB = 510 m

dT = dA + dB

dT = 612 m + 510 m = 1122 m

Ejercicio. Un auto que tiene un MRU, se mueve en dirección a una montaña con una rapidez constante de 20 m/s, toca bocina y escucha el eco luego de 4 s. Si la rapidez del sonido es 340 m/s. ¿A qué distancia esta la montaña cuando se escucha el eco?

La distancia que recorre el auto en 4 s.

d1 = v * t

d1 = 20 m/s * 4 s

d1 = 80 m Para el sonido (ida y vuelta = x)

d2 = (d1 + x) + x

Reemplazando.

d2 = v * t

(d1 + x) + x = v * t

d1 + 2x = v * t

80 m + 2x = 340 m/s * 4 s

80 m + 2x = 1360 m

2x = 1360 m - 80 m

2x = 1280 m

1280 m x = ----------------------

2

x = 640 m

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Velocidad media Rapidez con que la partícula cambia de posición en un intervalo de tiempo.

Distancia total recorrida vm = ------------------------------------------------

tiempo transcurrido Ejemplo. Un automóvil recorre una distancia de 150 Km y desarrolla, en los primeros 120 Km, una velocidad media de 80 km/h, en tanto que en los últimos 30 km tiene una velocidad media de 60 km/h. a) ¿Cual fue el tiempo total de viaje?

d1 120 km t1 = -------- = ------------------ = 1,5 h

v1 80 km/h

d2 30 km t2 = -------- = ------------------ = 0,5 h

v2 60 km/h

tt = t1 + t2

tt = 1,5 h + 0,5 h = 2 h b) ¿Cual fue la velocidad media del automóvil en el transcurso de tiempo total?

dt = d1 + d2 = 120 km + 30 km = 150 km tt = 2 h

150 km

v m = ------------------ = 75 km/h 2 h

Ejercicio. Un automóvil recorre 10 km en línea recta hacia el este, empleando 0,2 h; luego regresa 6 km en 0,3 horas. Hallar la velocidad media.

tt = t1 + t2

tt = 0,2 h + 0,3 h

tt = 0,5 h

dt = d1 - d2

dt = 10 km – 6 km

dt = 4 km

4 km

vm = ------------------ = 8 km/h (sentido positivo) 0,5 h

Velocidad Instantánea. Es la velocidad que tiene una partícula en cada determinado punto en su trayectoria. Se define como el limite de la relación Δx/Δt cuando Δt se aproxima al valor 0.

Δx dx vx = lim ---------- = --------

Δt 0 Δt dt Este límite se denomina derivada de x respecto a t. Esta pendiente puede ser positiva, negativa o nula; por consiguiente en un movimiento unidimensional la velocidad instantánea puede ser positiva (x creciente) o negativa (x decreciente) o nula (no hay movimiento).

va

vb

vc

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Ejemplo. Una partícula se mueve a lo largo del eje X. Su posición varía con el tiempo de acuerdo a la expresión x = - 4t+2t

2

donde x esta expresado en metros y t en segundos. La grafica ilustra la posición-tiempo de la partícula. Nótese que la partícula se mueve en la dirección x negativa para el primer segundo de movimiento, esta momentáneamente en reposo en el instante t = 1 s, y se mueve en dirección x positiva en los tiempos > 1 s. Determine el desplazamiento de la partícula en los intervalos t = 0 a t = 1 s y t = 1 s a t = 3 s.

En el primer intervalo t inicial = 0 = tA y t final = 1 s = tB Sabemos que la curva responde a la ecuación x = - 4t+2t

2

Δx (A-B) = x final – x inicial = xB - xA

Δx (A-B) = (- 4tB+2tB2)

– (- 4tA+2tA

2)

Δx (A-B) = (- 4*1+2*1

2)

– (- 4*0+2*0

2)

Δx (A-B) = - 2m

En el segundo intervalo t inicial = 1 s = tB y t final = 3 s = tD

Δx (B-D) = (- 4tD+2tD2)

– (- 4tB+2tB

2)

Δx (A-B) = (- 4*3+2*3

2)

– (- 4*1+2*1

2)

Δx (A-B) = 6m + 2m = 8 m

2. Movimiento Rectilíneo Uniformemente

Variado.

Aceleración. Cambio de velocidad en un intervalo de tiempo

empleado.

Ejemplo. Supongamos que un móvil tiene una velocidad de 10 m/s y que después de 12 segundos la velocidad es 70 m/s. ¿Cuál es la aceleración?

Conclusión: Movimiento acelerado

v1 = 10 m/s t1 = 0s

v2 = 70 m/s t2 = 12s

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Ejemplo. Supongamos que un móvil tiene una velocidad inicial de 36 m/s y que después de 5 segundos la velocidad es 6 m/s. ¿Cuál es la aceleración?

Conclusión: Movimiento desacelerado o retardado

Ejercicio. Un móvil describe un movimiento rectilíneo uniforme variado en cierto instante tiene una velocidad de 10 m/s y que después de 5 segundos la velocidad es de 30 m/s. ¿Cuál es la aceleración?

Ejercicio. Un motociclista con una velocidad inicial de 40m/s, acelera a razón de 5m/s

2 en un tiempo de 4s. ¿Cuál es la

velocidad final?

Para aceleración constante. Velocidad final

Distancia recorrida

Velocidad en función de la distancia

Ejemplo. Un automóvil parte desde el reposo al inicio de la primera cuadra de la calle. Incrementa su velocidad a razón 2m/s

2 por cada segundo de tiempo en la segunda

cuadra de la calle mantiene su velocidad constante, y en la tercera cuadra desacelera a razón de 2m/s

2. Determine

el tiempo para recorrer las tres cuadras, sabiendo que cada cuadra mide 100m.

t1 = 0s v1 = 36 m/s

t2 = 5s v2 = 6 m/s

v1 = 10 m/s t1 = 0s

v2 = 30 m/s t2 = 5s

v1 = 40 m/s a = 5 m/s

2

t = 4s

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Tiempo del Tramo A – B

Datos iniciales: , ,

Reemplazando valores:

Determinando la velocidad final del tramo A-B, dato necesario para calcular el tiempo del siguiente tramo.

Reemplazando valores:

Tiempo del tramo B – C

Datos iniciales:

, ,

Reemplazando valores:

Tiempo del Tramo C-D

Datos iniciales:

, ,

Reemplazando valores:

Ordenando en base al exponente:

Por ecuación de 2do grado (x=t):

Factorizando:

Entonces, reemplazando t por x:

v1 = 010

m/s d1= 100 m d2 = 100 m d3 = 100 m

A B C D

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Ejercicio. Un ciclista va con movimiento uniforme a una velocidad de 10 m/s. Al entrar a una pendiente de 1000 m, adquiere una aceleración constante de 0,4 m/s

2. Hallar

el tiempo que demora el ciclista en recorrer dicha pendiente.

Datos iniciales:

, d ,

Reemplazando valores:

Multiplicamos por 5 (para que t

2 sea 1):

Ordenando en base al exponente:

Por ecuación de 2do grado (x=t):

Factorizando:

Entonces, reemplazando t por x:

3. Movimiento de Caída Libre. Un cuerpo está en movimiento de caída libre cuando está sometido a la aceleración de la gravedad de la tierra, comúnmente llamada peso. Todo cuerpo sometido a la gravedad de la tierra es atraído al centro de la misma con una aceleración constante.

Las ecuaciones que usamos son las mismas que para aceleración constante: Velocidad final

Distancia recorrida

Velocidad en función de la distancia

Pero en este caso,

Ejemplo: Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s. Considerar que la gravedad es 10 m/s

2 y se desprecia la resistencia del aire.

a) Calcular la velocidad del cuerpo 2s después.

Datos iniciales:

,

(es negativo por

estar en contra de la gravedad)

s

1000 m

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b) Cuanto tiempo tarda el cuerpo en llegar al punto más elevado.

Datos iniciales:

,

,

c) Altura maxima alcanzada.

Datos iniciales:

,

,

d) A qué velocidad regresa al punto de lanzamiento.

Datos iniciales:

,

,

La aceleración es positiva porque tiene la misma dirección que la gravedad.

e) Cuanto de tiempo tarda en descender.

Datos iniciales:

,

,

Tiempo de ascenso es igual al tiempo de descenso

4. Movimiento de un proyectil. El movimiento de un proyectil se da en un plano vertical y está determinado por la dirección de la velocidad inicial. La gravedad pone como condicionamiento este movimiento vertical, ya que no permite un movimiento lateral. Por tanto, este movimiento es bidimensional (plano xy).

El concepto clave que debemos manejar es que durante todo el movimiento de un proyectil, la aceleración es hacia abajo y tiene una magnitud constante g. Para el movimiento de un proyectil, se empleara las siguientes ecuaciones:

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Estas ecuaciones describen la posición y velocidad del proyectil en cualquier instante t. La distancia del proyectil al origen (la magnitud del vector R) está dada por:

La rapidez del proyectil (magnitud velocidad) es:

La dirección de la velocidad está dada por:

Debemos considerar que las ecuaciones del movimiento del proyectil solo entran en acción cuando dejan la fuerza que produjo el movimiento, por ejemplo, se considera solo cuando el balón deja la mano del lanzador o sale del tubo de la pistola. No son válidas durante el lanzamiento. Ejemplo: Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justo en el borde del precipicio, su velocidad es horizontal con una magnitud de 9,0 m/s. Obtenga la posición, distancia del borde y velocidad de la moto después de 0,50 s.

Primero, Una vez que el acróbata sale del risco, se convierte en un proyectil. Por tanto, en el borde su velocidad es inicial. Segundo, nos planteamos un sistema de coordenadas. Escogemos el origen el borde del risco, donde la moto se convierte en proyectil.

En un tiempo de t=0,50 s

Para determinar la posición:

El valor negativo indica que esta en -y

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Para la distancia que recorrió desde el origen:

La velocidad que tiene

Donde:

El ángulo α del vector velocidad es:

La velocidad está dirigida por debajo de la horizontal.

Ejercicio. Un arquero de futbol profesional, patea el balón de futbol, de modo que este adquiere una velocidad inicial de 30 m/s con un ángulo inicial α0=53º, jugando un partido a nivel del mar, donde la g = 9,8 m/s

2.

a) Calcule la posición del balón, su magnitud y dirección de la velocidad cuando t=2s. b) Determine cuando la pelota alcanza el punto más alto y su altura h en ese punto. c) Obtenga el alcance horizontal R, es decir, la distancia horizontal desde el punto de partida hasta donde la pelota cae al suelo. Para los tres incisos, asuma al balón como si fuese un proyectil.

a) Sabemos que V0=30 m/s, α0=53º y t=2s

Calculando la velocidad.

La rapidez del proyectil (magnitud velocidad) es:

La dirección de la velocidad está dada por:

b) En el punto más alto la velocidad en Y = 0, el balón

sube hasta un momento en que se detiene y tiene que bajar.

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Todo por -1

La altura h = y

c) Cuando el balón cae el suelo, Y=0 y debemos usar un

t2.

Esta es una ecuación cuadrática, tenemos dos resultados: Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Si se fijan es el tiempo t1*2. La subida y la bajada.

En Brasil, las canchas de futbol usan las medidas máximas, que llegan a 120 m y para partidos internacionales, el máximo es 110 m. Así que nuestro arquero tiene un potente saque.

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EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1. Baghera, el tigre del Libro de la Selva, trata de atrapar a Mowgli en la selva, Mowgli corre hacia la aldea de los hombres para salvarse. Si ambos corren con velocidades constantes: 112 Km/h para el tigre Baguera y 40 Km/h para Mowgli. La distancia entre Baghera y Mowgli son 4000 m y de Mowgli a la aldea es de 2100 m. ¿Lograra salvarse Mowgli?. Datos

2100 m Baguera Mowgli Aldea 4000 m

Conclusión: Mowgli hace menos tiempo, por lo que no es alcanzado por Baguera. Entonces, Mowgli logra salvarse. Ejercicio 2. Dos motociclistas (Juan y Evo), participan de una carrera de ida y vuelta a la localidad de Coroico, cuya distancia es de 120000 m. Si las motos parten con velocidades de 60 Km/h y 120 Km/h respectivamente. ¿Después de que tiempo se encuentran?. Datos.

Ejercicio 3. Dos trenes separados 95 Km se aproximan uno al otro por vías paralelas, moviéndose cada uno de ellos a 25 Km/h. Un pájaro vuela de un tren a otro en el espacio que los separa, hasta que se cruzan. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el pájaro si este vuela a 20 Km/h? El tiempo de encuentro entre los trenes es

También sabemos que:

Reemplazando tiempo

Ejercicio 4. Durante una escalada por el Illampu, un gancho para escalar del montañero Carlos Quispe cedió, y precipitó al escalador a una caída de 100 m sobre la nieve. Sorprendentemente sufrió únicamente pocas magulladuras y un tirón en el hombro. ¿Qué velocidad final tenía antes del choque con la nieve?

La Velocidad inicial es cero, por tanto:

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Ejercicio 5. Una liebre y una tortuga compiten en una carrera sobre una pista de 500 m de largo. La tortuga avanza lentamente, en línea recta y de modo uniforme, a una velocidad máxima de 0,3 m/s hacia la línea de meta. La liebre corre a su máxima velocidad de 8 m/s hacia la meta, una distancia de 400 m, y luego se detiene a molestar a la tortuga. ¿Qué tan cerca de la meta puede la liebre dejar que la tortuga se aproxime antes de reanudar la carrera para que no le gane la tortuga?. La distancia que le resta a la liebre es:

Aplicando la formula básica

En ese tiempo la tortuga haría:

Lo máximo que puede permitir la liebre que se acerque a la tortuga es 3,75 m para poder ganarle. Ejercicio 6. Una ciclista va con movimiento uniforme a una velocidad de 80 m/s por la carretera de Achacachi. Al entrar hacia los valles de Sorata, se encuentra con una pendiente de 45 Km de bajada, adquiriendo una aceleración constante de 0,40 m/s

2. Hallar el tiempo que

demora el ciclista en recorrer dicha pendiente. Datos

Organizando la ecuación

Dividiendo entre 1/m

Reemplazando por X

Para que el 1er factor tenga de valor 1, multiplico por 5

Para convertir a una ecuación de 2do grado, utilizamos el segundo factor de la ecuación:

Entonces

Ejercicio 7. Un helicóptero dispara al increíble Hulk desde una altura de 350 m. El hombre verde realiza un salto vertical hacia el helicóptero con una Vo = 300 Km/hr. Considerar que la gravedad es 9,81 m/s

2 y el aire no le

presenta ninguna resistencia. Calcular si el increíble Hulk alcanza el helicóptero.

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Datos

Partimos de la ecuación:

Altura alcanzada por Hulk:

Conclusión: Hulk si alcanza al helicóptero Ejercicio 8. Bruno Rojas, corredor boliviano, recorre 100 m en 10 s; luego da la vuelta y recorre 60 m en 30 s y en dirección al punto desde el cual inició la carrera. ¿Cuál es su velocidad media por el desplazamiento total y el de la velocidad media para toda su trayectoria neta?. Datos:

Desplazamiento neto

Ejercicio 9. Un estudiante de física, contento por la aprobación lanza su cuaderno hacia arriba con una velocidad inicial de 15 m/s. Considerando que su aceleración es 9,81 m/s

2 hacia abajo (despreciamos la

resistencia del aire). Calcular (a) ¿Cuánto tiempo tardara el cuaderno en alcanzar el punto más alto?. (b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?. (c) Suponiendo que el cuaderno es recibido nuevamente por el estudiante que lo lanzo, ¿Cuánto tiempo permanece en el aire?. (a) Datos:

Cuando el cuaderno llega al punto más alto:

Como está subiendo

Tomamos la formula de:

(b)

(c)

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Entonces, para t tenemos dos resultados, el primero cuando se lo lanza:

El segundo cuando se lo recoge:

Ejercicio 10. En el gran premio Bolivia, Gustavo de Rada conduce su coche de carrera por la carretera La Paz – Oruro, cuando ve de pronto a cierta distancia un coche parado y frena hasta detenerse para no chocar con una aceleración de 7 m/s

2 (desaceleración) ¿Cuál la distancia

de frenado de su coche si su velocidad inicial es de 36 m/s?.

Ejercicio 11. Un coche que va a 136 Km/h choca contra una pared rígida de hormigón. Después del impacto, el centro del coche se desplazara hacia adelante algo menos que la mitad de la longitud del coche (0,75 m). ¿Cuál es la aceleración?

Ejercicio 12. Un arquero lanza una flecha que produce un ruido sordo al impactar en el blanco. Si el arquero oye el ruido del impacto exactamente 1 s después del disparo y la velocidad media de la flecha es de 40 m/s, ¿Qué distancia separa el arquero del blanco? Use para la velocidad del sonido el valor de 340 m/s.

Reemplazando

Ejercicio 13. Un puma puede correr a V1 = 80 Km/h, un cóndor puede volar a V2 = 115 Km/h y una trucha puede nadar a V3 = 112 Km/h. Si nos imaginamos que los 3 animales forman un equipo y corren una carrera de

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relevos, cada una recorriendo una distancia d a su velocidad máxima. ¿Cuál sería la velocidad media del equipo? Comparar el resultado obtenido con el promedio de las tres velocidades.

Sabemos que:

También sabemos que:

Calculando la Vm:

La media de las tres velocidades es:

Ejercicio 14. Un cometa que viaja directamente al sol es detectado por primera vez en d1 = 3,0 x 10

12 m respecto

al sol. Exactamente un año después se encuentra en una d2 = 2,1 x 10

12 m. Determinar su desplazamiento y

velocidad media.

Ejercicio 15. Un motociclista que viaja al este cruza un pequeño pueblo del altiplano y acelera apenas pasa el letrero que marca el límite del pueblo. Su aceleración constante es de 4 m/s

2. En t=0, está a 5 m al este del

letrero, moviéndose al este a 15 m/s. Calcule su posición y velocidad en t=2s. Para la posición

Para la velocidad

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Ejercicio 16. Un coche lleva una velocidad de 25 m/s en una zona escolar. Un coche de policía que está parado, arranca cuando el infractor le adelanta y acelera con una velocidad constante de 5 m/s

2. a) ¿Cuánto tiempo tarda

el coche de policía en alcanzar al vehículo infractor?. b) ¿Qué velocidad lleva el coche de policía cuando le alcanza? Para el coche

Para la policía

Como la Vo = 0 para el coche de la policía

Igualando las dos ecuaciones de distancias:

(a) Despejando el tiempo:

(b)

Ejercicio 17. Un avión a reacción aterriza en un portaaviones a 63 m/s. ¿Cuál es la aceleración (supuesta constante) si se detiene en 2 s debido a un cable sujetador que engancha el avión y lo detiene?.

Ejercicio 18. Una persona camina primero a una rapidez constante de 5 m/s a lo largo de una recta de A - B, y luego regresa a lo largo de la línea B - A, a una velocidad de 3 m/s. ¿Cuál es la velocidad promedio en todo el viaje? De A - B

De B - A

Sabemos que d1 = d2

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Ejercicio 19. Julio Verne, en 1865, sugirió enviar una persona a la Luna al disparar una cápsula espacial desde un cañón de 220 m de largo con una velocidad de lanzamiento de 10,97 Km/s. ¿Cuál hubiera sido la aceleración experimentada durante el lanzamiento?

Ejercicio 20. Un avión que aterriza en una pequeña pista del Beni de 70 m de largo. Si su velocidad inicial es de 60 m/s (a) ¿Cuál será la aceleración del avión durante el aterrizaje, supuesta constante? (b) ¿Cuánto tiempo tardara en detenerse con esta aceleración? (a)

Sabemos que la Vf = 0

(b)

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CAPITULO 5 DINAMICA

Un texto anónimo de la tradición dice que cada persona, en su existencia, puede tener dos actitudes: Construir o Plantar. Los constructores pueden demorar años en sus tareas, pero un día terminan aquello que estaban haciendo. Entonces se paran, y quedan limitados por sus propias paredes. La vida pierde el sentido cuando la construcción acaba. Pero existen los que plantan. Estos a veces sufren con las tempestades, las estaciones, y raramente descansan. Pero al contrario que un edificio, el jardín jamás para de crecer, también permite que para él la vida sea una gran aventura. Los jardineros se reconocerán entre sí, porque saben que en la historia de cada planta está el crecimiento de toda la Tierra.

Paulo Coelho

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¿Qué es lo que produce movimiento? Isaac Newton (1642-1727)

3 principios

Leyes de Movimiento Concepto de fuerza.

Para que se mueva un cuerpo, podemos aplicar la fuerza

sobre un cuerpo de dos maneras.

Empujar Jalar

La fuerza es una magnitud vectorial. Tensión Peso El peso de un cuerpo es la fuerza con la que la tierra atrae a dicho cuerpo.

Medición de la fuerza. Unidad de medida = Kilogramo fuerza

1kgf = 9,8 N. Composición de fuerza.

1ra Ley Del Newton En ausencia de la acción de fuerzas, un cuerpo en reposo continuara en reposo, y uno en movimiento se moverá en línea recta y con velocidad constante. El ejemplo del reposo es cuando subimos a un minibús, al mantenerse la velocidad constante de la movilidad, nuestro cuerpo está en reposo ya que no se produce movimiento alguno. En cambio, el ejemplo de uno en movimiento se da cuando un coche choca fuertemente, el chofer sigue en movimiento y sale por la ventana del frente en línea recta. Es fundamental el concepto de equilibrio de una partícula, concepto acorde con la primera ley.

Equilibrio de una partícula.

R = 0

La condición para que una partícula este en equilibrio es que sea nula la resultante. Ejemplo. Una esfera de acero cuyo peso es de 50 Kg de fuerza está suspendida de la cuerda atada en un poste y una persona ejerce una fuerza horizontal desplazándola a la derecha, manteniendo en equilibrio la posición. Calcular la Tensión y la fuerza ejercida por la persona.

F1

F2 Fr = F1 + F2

+ Mismo Sentido

+

F1 Fr = F1 - F2

+ Sentidos Opuestos

+

F2

F1 Fr2 = F1

2 + F2

2

+ Perpendiculares

+

F2

R = F1 + F2 + F3

R = ∑F

R = 0

+

R = F1 + F2 + F3 = 0

+

F1 F2

F3

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FIS

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Juan

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icio

P.

Calcular F

2da Ley Del Newton Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza neta, F, se produce una aceleración, a, de modo que ambas magnitudes son directamente proporcionales.

Básicamente nos indica que si se ejerce un fuerza grande sobre un cuerpo, la aceleración que se producirá también será grande. En cambio si ejerciera una fuerza pequeña, la aceleración del movimiento producida en el cuerpo también será pequeña.

Aceleración

En unidades

Ejemplo 1 Un cuerpo de masa igual a 2 kg, se desplaza con una aceleración de 6 m/s

2 ¿Cuál es el valor de la resultante de

la fuerzas que actúan sobre el cuerpo?

Ejemplo 2 Si una fuerza resultante de 10 kgf actúa en un cuerpo, produciendo en él una aceleración de 2 m/s

2. ¿Cuál es la

masa del mismo?. Sabemos que 1kgf = 9,8 N. Entonces:

60º

30º

Cos 30º F

P = 50 kgf

T

F

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Juan

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icio

P.

Ejemplo 3. Un balón de futbol que tiene una masa 0,4 Kg se desliza sobre la superficie horizontal de una cancha sin fricción alguna. Dos jugadores que disputan por el balón, patean simultáneamente el mismo, ejerciendo sobre este las fuerzas que se ilustran en la figura. La fuerza F1 tiene una magnitud de 5N y la fuerza F2 tiene una magnitud de 8N determine la magnitud y dirección de la aceleración del balón.

Fuerza

F1

F2

Usando la 2da

Ley de Newton

Fuerza gravitacional y peso Fuerza gravitacional está dirigido hacia el centro de la tierra y su magnitud se denomina peso del cuerpo.

En unidades

Ejemplo. Un estudiante cuya masa es de 70 kg y esta a nivel del mar con una gravedad de 9,8 m/s

2. ¿Cuánto es su peso?

Qué ocurriría si la misma persona se encuentra a lo alto de una montaña cuya gravedad es de 9,77 m/s

2

Ejemplo. Se muestra dos bloques A y B, de masas 2Kg y 3Kg. Sabiendo que no existe rozamiento. Determinar el módulo de la aceleración de los bloques y de la tensión de la cuerda. F1 F2 40 N T 100 N Descomponiendo las fuerzas

60º

F1 = 5N

m = 0,4 kg

F2 = 8N

20º

A 2 Kg

B 3 Kg

a

F1 T F2 T

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P.

Igualando las ecuaciones

Reemplazando valores

Calculando la Tensión de la cuerda

Ejemplo. Un ascensor sube con una aceleración de 3 m/s

2 .En el

techo del ascensor se encuentra suspendido un bloque de 6 kg mediante una cuerda. ¿Determinar el módulo de tensión en la cuerda?

Reemplazando Valores:

Ejemplo. En el sistema mostrado determine el módulo de la aceleración de los bloques a y b de masa de 7 kg y 3kg respectivamente. Desprecie toda fuerza al rota miento y considere que la gravedad es de 10 m/s

2.

Igualando las ecuaciones

Reemplazando valores

A B

6 Kg a

T

W

A B a a

T T

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P.

Calculando la Tensión de la cuerda

3ra Ley de Newton Si dos objetos interactúan, la fuerza F12 ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza F21 ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1.

Acción = Reacción Las fuerzas siempre se presentan en pares.

La fuerza de acción es igual en magnitud a la fuerza de reacción y opuestos en dirección. Actúan sobre objetos diferentes y deben ser del mismo tipo. Ejemplo. En el sistema mostrado, determine el módulo de la fuerza de reacción entre los bloques A y B de masas de 7kg y 3kg

respectivamente. Desprecie toda forma de rozamiento.

Igualando las ecuaciones

Reemplazando valores

Remplazando a

Ejemplo. Dentro de un ascensor se tiene una balanza de resorte que apoya en su piso y sobre ella se encuentra una persona cuya masa es de 80 kg.

¿Cuánto marcara la balanza? Cuando:

F12

F2 F21

A 7 Kg B

3 Kg

F1

100N

F2

40 N

R F2 F1 R

a

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P.

a) La velocidad es constante

Persona en equilibrio R = W b) La aceleración es igual a 0,2 m/s

2 y el ascensor

asciende

c) La aceleración 0,2 m/s

2 y el ascensor desciende.

Tips para solución de problemas. 1. Trazar un diagrama sencillo. 2. Clasificar el problema

Partícula en equilibrio

Partícula la aceleración

3. Aísle el objeto de análisis. Trace un diagrama de cuerpo libre para el objeto.

4. Para sistemas con más de un objeto. Trace diagramas separados con cada objeto.

5. Establezca ejes (X,Y) y encuentre los componentes de las fuerzas.

6. Despeje incógnitas de las ecuaciones de componentes

7. Revise o verifique la consistencia del resultado Ejemplo. Un semáforo cuyo peso es 122 N cuelga de un cable unido a otros 2 cables sujetos a un soporte como muestra la figura. Los cables superiores forman ángulos de 37º y 53º con la horizontal. Estos cables no son tan fuertes como el cable vertical, y se romperán si la tensión de ellos excede 100N. ¿Permanecerá el Semáforo o se caerá?

53º

37º

T1

T2

T3

w

R

W = m * g

a

Con velocidad constante, la a = 0

a

R

W = m * g

R

W = m * g

a

T3

T3

W

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P.

Suponemos que no se rompe, porque está en equilibrio, entonces:

Ahora, descomponiendo las fuerzas:

Fuerza

0

Despejando de la primera ecuación:

Reemplazando en la segunda ecuación:

Ambas Tensiones (1 y 2) son menores a 100 N, por tanto no se rompen. Ejemplo. Qué ocurre si el ángulo de T1 y T2 son iguales

T3

T2

T1

37º

53º

T3

T2

T1

45º

45º

T3

W

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P.

Fuerza

0

Despejando de la primera ecuación:

Reemplazando en la segunda ecuación:

Entonces:

Ambas Tensiones (1 y 2) son menores a 100 N, por tanto no se rompen.

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icio

P.

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1. Determinar el modulo de la aceleración con la que avanza el bloque mostrado en la figura si su masa es 6 Kg.

Primero, graficamos en un eje de coordenadas.

Luego resolvemos el problema:

Ejercicio 2. Determinar la aceleración del bloque. No existe rozamiento (g = 10 m/s

2).

Graficamos

Luego resolvemos:

Ejercicio 3. Determinar el modulo de la aceleración con la que avanza el bloque mostrado en la figura si su masa es 6 Kg.

Graficamos el sistema

Igualando las ecuaciones

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icio

P.

Reemplazando a

Ejercicio 4. Determinar el módulo de la fuerza de interacción entre los bloques, si no existe rozamiento. m1= 6 Kg. y m2= 4 Kg.

Graficamos

Igualando las ecuaciones

Reemplazando a

Ejercicio 5. Si las superficies son lisas. Determinar el módulo de la fuerza de reacción entre los bloques de las masas m2 y m3. Donde: m1= 2 Kg.; m2= 3 Kg.; m3= 5 Kg.

(I)

(II)

(III)

Igualando las ecuaciones (I) y (II).

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P.

(IV) Igualando ecuaciones (IV) y (III).

El módulo de la fuerza de reacción entre los bloques de las masas m2 y m3 es R3, entonces:

OTRO METODO: Aplicando el Método Atwood para determinar la aceleración:

El módulo de la fuerza de reacción entre los bloques de las masas m2 y m3 es R3, entonces:

(Multiplicando por -1)

Ejercicio 6. Calcular la reacción del suelo si al bloque de 12 N de peso y que se encuentra estático, se le presiona con una fuerza F de 15N, tal como muestra la figura.

Graficamos a las fuerzas que interactúan en el sistema.

Ejercicio 7. Calcular el bloque de la fuerza F si el bloque pesa 500 N y el sistema se encuentra en equilibrio.

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icio

P.

Graficamos a las fuerzas que interactúan en el sistema.

Ejercicio 8. Si el sistema se encuentra en reposo, hallar el valor de las reacciones entre los bloques B y C. El peso del bloque A es 80 N, del B es 120 N y del C es 150 N.

Para el bloque A

Para el bloque B.

Para el bloque C

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P.

Ejercicio 9. Tres luchadores profesionales se pelean el mismo cinturón de campeonato cuyo peso es de 0,4 Kg. Vistos desde arriba, aplican al cinturón 3 fuerzas horizontales (ver la figura), donde el cinturón esta en el origen. Las magnitudes de las 3 fuerzas son F1 = 40 N, F2 = 30 N y F3 = 50 N. Obtenga los componentes X y Y de la magnitud y dirección de la aceleración del cinturón.

Fuerza

F1

F2

F3

Usando la 2

da Ley de Newton

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P.

Fuerza de fricción. En reposo

En reposo

N = Fuerza de fricción o rozamiento

Para lograr que un objeto se mueva, debe vencer la fuerza de fricción o rozamiento. Existen dos tipos de fuerzas de rozamiento: a) Fuerza de rozamiento estático que se opone al movimiento del objeto.

b) Fuerza de rozamiento cinético que aparece en cuento el objeto empieza su movimiento.

Ejemplo 1. Supongamos un bloque cuya masa es de 20 kg estimando que la gravedad es 10 m/s

2. Los coeficientes

de fricción entre el bloque y la superficie valen μe = 0,40 y μc = 0,20

a) ¿Calcular la Fuerza de fricción o rozamiento estática que actúa sobre el bloque 8i si ejerce una fuerza de 5 N y comprobamos que el bloque está parado?

En reposo a) ¿Cuál debe ser el mínimo valor de F para que el bloque se mueva?

Fuerza mínima para moverse es > a 80 N b) ¿Cuál debe ser la fuerza para mantener el cuerpo en movimiento?

Ejemplo 2. Un bloque cuya masa es 100 Kg se encuentra en reposo sobre un siendo el ángulo del mismo de 30º.¿Calcular la fuerza de fricción estática?

N

W

μe = 0,40

N = W

F

W

20Kg

5N

F

F = 5N Fe = 5N

W θ W

N

Fe

θ

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P.

a) Calcular la Fuerza N.

b) Calcular Fe

c) Supongan que una persona empuja un bloque hacia abajo y que μe= 0,70. ¿Calcular la fuerza para que el cuerpo descienda?

Necesitamos una fuerza > a 106,2N para mover el bloque

W θ Wx

Fe

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P.

CAPITULO 6 CONSERVACION DE

ENERGIA

La verdadera experiencia de la Libertad es tener lo más importante del mundo sin poseerlo.

Paulo Coelho

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P.

1. Trabajo mecánico. El trabajo que desarrolla una fuerza constante, que forma con el desplazamiento de un Angulo θ, está dado por la siguiente ecuación.

Una fuerza realiza un trabajo sobre un cuerpo cuando actúa sobre otra que tiende a emplear movimiento de dicho cuerpo. El trabajo es una magnitud escalar. 1.1 Influencia de θ. Consideremos que d = 2m y F = 10 N el trabajo dependerá del ángulo θ podemos considerar las siguientes situaciones. a) F actúa en el mismo sentido de desplazamiento.

b) F es perpendicular al desplazamiento.

No realiza trabajo

c) ¿Cuándo la fuerza a es perpendicular de desplazamiento?

1.2. Trabajo de fuerza resultante. También se conoce como trabajo neto o total suma y suma los trabajos que varias fuerzas realizan sobre un mismo cuerpo. Ejemplo: Hormigas sobre una hoja

F1 = 2 N θ = 0º F2 = 4 N θ = 30º

F3 = 2 N θ = 90º F4 = 5 N θ = 180º

a) Calcular el trabajo para cada hormiga cuando d=2m

θ

F

d Θ = 0

F

d Θ =90

F

d Θ =180

F1

F2

F3

F4

30o

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P.

b) Trabajo total

2. Potencia. Para la construcción de una pared, les propusieron 3 albañiles los cuales plantean hacer el trabajo en 1 día, 1 semana y 1 mes. ¿A cuál contratan? La Potencia es la rapidez del trabajo.

El múltiplo muy usado es Kilowats (Kw) = 10

3 Watts

1 Kw = 1000 J/s

Ejemplo 1. Un trabajador sube con velocidad constante un cuerpo de masa de 20 kg hasta una altura de 3 m empleando un tiempo de 10s para efectuar la operación.

a) ¿Cuál es el valor de la fuerza F (considere que la gravedad es 10 m/s

2).

b) Calcular cual es el trabajo. El desplazamiento es en el mismo sentido de la fuerza, por tanto θ=0.

c) Cuál es la potencia

3m

a

a

F

W

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P.

Ejemplo 2. Imagine el mismo cuerpo de masa = 20 Kg y la misma altura 3m, solo que ahora usamos una rampa de 5 m.

a) Calcular la F

La fuerza empleada es menor que en el ejemplo 1.

b) Calcular cual es el trabajo. El desplazamiento es en el mismo sentido de la fuerza, por tanto θ=0.

Son iguales los trabajos pero los desplazamientos son diferentes. Ejemplo 3. El motor de una bomba eleva 3,6m

3 de agua hasta una

altura de 40m cada hora. Determine potencia del motor en watts, asumir que la gravedad es 10 m/s

2.

El desplazamiento del agua, es en el mismo sentido de la fuerza, por tanto θ=0.

Sabemos que 1m

3=1000 litros, donde 1 litro=1Kg.

También 1 hora=3600 s, reemplazando:

3. Energía 3.1. Energía Cinética Es la capacidad de un cuerpo que posee de realizar un trabajo debido a su movimiento.

Ejemplo 1. Calcule la energía cinética asociada a un automóvil de 1000 Kg con una rapidez de 20 m/s

5m

α

3 m

α

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P.

Si un cuerpo en movimiento pasa por un punto A con energía cinética A y llega un Punto B con energía cinética B la variación energía cinética que el cuerpo experimenta será igual al trabajo total realizado sobre él, y se expresa como:

Ejemplo 2. Un cuerpo de masa de 2 Kg pasa por A con una velocidad VA de 3 m/s a) Si al pasar B su velocidad Vb es igual a 4 m/s.

¿Cuánto es el trabajo total?

3.2. Energía potencial gravitacional Si un cuerpo de masa m se sitúa a una altura h arriba de un nivel de referencia, este cuerpo posee una energía gravitacional con respecto a este nivel, y se expresa por

Ejemplo 1. Un niño que se encuentra en la azotea de un edificio cuya altura es 8 m, deja caer un cuerpo de masa igual a 10 kg. a) ¿Cuál es la energía potencial gravitacional del cuerpo

en lo alto del edificio?

b) ¿Cuál es la energía potencial gravitacional del cuerpo

al pasar un punto B, situado a una altura de 2 m por arriba del suelo?

A B

m = 2 Kg

VA = 3 m/s VB = 4 m/s

h

m

h = 8 m

m = 10kg

A B

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P.

c) Cuánto vale el trabajo realizado por el peso del

cuerpo en el desplazamiento desde A hasta B.

Ejemplo 2. Calcule la cantidad de energía potencial gravitacional de una roca de 2 toneladas de masa en una altura de 200 m sobre la superficie terrestre, asumir la gravedad es 10 m/s

2.

3.3. Energía potencial elástica. Un cuerpo unido a su resorte de constante elástica k y con una deformación x. posee una energía potencial elástica dada por la ecuación.

La k no es constante, es distinta para cada resorte.

Ejemplo 1. Supóngase que para comprimir una distancia x = 30 cm el resorte de la figura fuese necesario ejercer una fuerza de 15 N. a) ¿Cuál es la constante elástica del resorte?

b) Considere que XA es igual a 20 cm y XB es igual 10 cm.

¿Cuál es el valor energía potencial elástica del cuerpo en A y en B?

c) ¿Qué trabajo realiza el resorte para empujar el

cuerpo de A hasta B?

4. Conservación de la energía. Las fuerzas cuyo trabajo no depende de la trayectoria se denominan fuerzas conservativas. El trabajo realizado por una fuerza conservativa entre dos puntos A y B, no depende de la trayectoria que el cuerpo sigue para ir de A y B, y siempre está dada por la expresión.

h = 200 m

m = 2000kg = 2 toneladas

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P.

Las fuerzas cuyo trabajo es dependiente del camino recorrido se denomina fuerzas disipativas o fuerzas no conservativas en esa caso no existe energía potencial. La suma de la energía cinética más la suma de la energía potencial del cuerpo en un punto dado se denomina energía mecánica total del cuerpo y se representa de la siguiente manera.

A B La energía se mantiene

Ejemplo. Suponga que el cuerpo mostrado tenga en A una energía potencial EPA =20 J, y una energía cinética ECA = 10J. a) ¿Cuál es la energía mecánica total en el cuerpo A?

b) Al pasar por el punto M, el cuerpo posee una energía potencial = 13 J. ¿Cuál es la energía cinética en ese punto?

c) Al llegar al punto B el cuerpo posee una energía

cinética de 25 J. ¿Cuál es su energía Potencial?

Bola de nieve

A

M

B

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P.

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1. Un pequeño motor mueve un ascensor que eleva una carga de ladrillos de peso 800 N a una altura de 10 m en 20 s. ¿Cuál es la potencia mínima que debe suministrar el motor? Θ = 0, entonces cos θ = 1, por tanto:

Ejercicio 2. Una mujer que pesa 500 N, preocupada por su peso se sube a una báscula que contiene un resorte rígido como muestra la figura. En equilibrio, el resorte se comprime 1,0 cm bajo su peso. Calcule la constante de la fuerza del resorte y el trabajo total efectuado sobre él durante la compresión.

Entonces:

Ejercicio 3. Cada uno de los dos motores de reacción de un Boeing 767 desarrolla un empuje (fuerza hacia adelante sobre el avión) de 44300 libras. Cuando el avión está volando a 900 Km/h, ¿Cuántos caballos de potencia desarrolla cada motor? Considerar que 1 hp (caballo de fuerza) = 746 watts y g = 9,8 m/s

2.

Calculando el peso

1 libra = 0,4536 Kg

Calculando la velocidad

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P.

Ejercicio 4. Una botella de 0,350 Kg de masa cae desde un estante que esta 1,75 m por encima del suelo. Determinar la energía potencial del sistema tierra-botella.

Ejercicio 5. En la terraza de un edificio de 12 m de altura, un niño jugando futbol golpea el balón con una velocidad inicial de 16 m/s, con un ángulo de tiro de 60º por encima de la horizontal de la terraza. Despreciando la resistencia del aire, determinar la altura por encima del edificio que alcanza el balón.

Considerando

Entonces:

Ejercicio 6. Un balón de futbol es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 45 Km/hr. ¿Qué altura alcanzara? Ep Ec Final

Inicial

Diferencia

Calculando la velocidad

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P.

Reemplazando hf

Ejercicio 7. Una muchacha en bicicleta que circula por una carretera horizontal a 15 m/s deja de pedalear cuando comienza a subir una cuesta inclinada de 3º de pendiente. Ignorando las fuerzas de rozamiento ¿Qué distancia recorrerá antes de detenerse? Ep Ec

Final

Inicial

Diferencia

Reemplazando

Ejercicio 8. Un gato ha cazado un ratón y decide arrastrarlo hasta la habitación para que la dueña de la casa pueda admirar su acción cuando despierte. Para arrastrar el ratón por la alfombra a velocidad constante V basta aplicar una fuerza horizontal constante de 3N. Si la fuerza del gato le permite realizar este trabajo con una potencia de 6 w, (a) ¿Cuál es la velocidad V? (b) ¿Qué trabajo realizo en 4 s?

a)

b)

Ejercicio 9. Un camión de masa 3000 Kg se carga en un buque mediante una grúa que ejerce una fuerza ascendente de 31 kN (kilo newtons) sobre el camión. Esta fuerza, que es suficientemente grande para vencer la fuerza de gravedad y empezar a levantar el camión, se aplica a lo largo de una distancia de de 2m. Determinar (a) el trabajo realizado por la grúa y (b) el trabajo realizado por la gravedad.

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P.

a)

b)

Ejercicio 10. Un cuerpo de 5 Kg. Es elevado por una fuerza igual al peso del cuerpo. El cuerpo se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 2 m/s. (a) ¿Cuál es la potencia de la fuerza?. (b) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza en 4 s?.

a)

b)

F

W

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P.

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P.

CAPITULO 7 MECANICA DE FLUIDOS

La vida es como una gran carrera ciclista, cuya es cumplir la Leyenda personal. A la salida estamos juntos, compartiendo camadería y entusiasmo. Pero a medida que la carrera se desarrolla, la alegría inicial da lugar a los verdaderos desafíos: el cansancio, la monotonía, las dudas en cuanto a la propia capacidad. Nos damos cuenta de que algunos amigos desistieron del desafío; todavía están corriendo, pero simplemente porque no pueden parar en medio de una carretera. Son numerosos, pedalean al lado del coche de apoyo, conversan entre ellos, y cumplen una obligación. Acabamos por distanciarnos de ellos, y entonces nos vemos obligados a enfrentarnos a la soledad a sorpresas en las curvas desconocidas, a problemas con la bicicleta. Finalmente nos preguntamos si vale tanto esfuerzo. Si vale la pena. Simplemente es no rendirse.

Paulo Coelho

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P.

La mecánica de Fluidos se divide en:

Estática – Fluido en reposo.

Dinámica – Fluido en movimiento. Fluido, se lo define como un conjunto de moléculas dispuestas al azar y unidas por débiles fuerzas de cohesión, así como por fuerzas del recipiente que lo alberga.

1. Presión. Presión es fuerza por unidad de área.

Ejemplo 1. Se tiene un tanque de agua inflable cuyas dimensiones son de 5 m de largo por 3 m de ancho y 0,3 m de altura. a) Encuentro el peso del agua del tanque.

Sabemos que la densidad del agua es:

Sabemos que

b) Encuentra la presión ejercida del estanque sobre el piso.

c) Que pasaría si el estanque se coloca sobre una tarima sostenida por 4 patas. Cada pata tiene un área de sección transversal de 4 cm de radio. Suponer mismo peso. Determinar la P ejercida al piso.

La presión de las patas es mayor que la del estanque puesto directamente en el suelo.

2. Variación de la presión con la profundidad. Ecuación fundamental de la hidrostática:

Donde:

= Presión atmosférica. = densidad = gravedad Profundidad

Unidades

1 mm Hg = 133 N/m2

1 atm = 1,01 x 105 N/m

2

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Ejemplo 2. Un tanque de 12 m de profundidad se encuentra totalmente llena de agua. a) Cual es la presión en el fondo del tanque. Datos = 1000 Kg/m

3

9,81 m/s2

12 m = 1,01 x 10

5 N/m

2

Vasos comunicantes Pa

Pa

hA

A

B

hB

Este concepto se utiliza para nivel en agua en una manguera, por ejemplo: También en tanques de agua

Principio de Pascal.

FA

FB

El incremento de presión de un punto de un líquido en equilibrio, se transmite íntegramente a todos los puntos de dicho líquido. Este principio sirve para la prensa hidráulica.

Ejemplo 3. En un elevador de autos de un taller mecánico, se ejerce una fuerza sobre un pequeño embolo de sección transversal circular cuyo radio es 4 cm. Esta presión se transmite por medio de un liquido a un embolo de radio igual a 12 cm. ¿Qué fuerza se debe ejercer para levantar un minibús que pesa 12000 N?.

3. Principio de Arquímedes. Todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje vertical hacia arriba, igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo.

E

W

Tres situaciones:

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P.

a) E < W Empuje menor al Peso Resultante de fuerzas hacia abajo , el cuerpo se hundirá. Ejemplo: una piedra. b) E = W Empuje igual al Peso. Resultante nula, cuerpo en reposo. Ejemplo: un submarino. c) E > W Empuje mayor al Peso. Resultante de fuerzas hacia arriba, el cuerpo sube.

Sabemos que:

Ejemplo 4. Sabemos que la densidad del oro es 19,3 x 10

3

Kg/m3. Se nos pide determinar si una corona fue hecha

de oro. La báscula en el aire indica un peso de 7,84 N y 6,84 N en el agua. T1 T1 E

W W En el aire

En el agua

Sabemos que:

Determinar la densidad

Mucho menor que la densidad del oro que es 19,3 x 10

3

Kg/m3.

4. Dinámica de Fluidos. Existen dos formas de flujo:

Estable o laminar.

Turbulento. La viscosidad se emplea para caracterizar un grado de fricción interna en el fluido. El flujo ideal tiene las siguientes características:

No viscoso.

Estable.

Incompresible.

Irrotacional.

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P.

Ecuación de continuidad para fluidos.

El producto del área y la rapidez del fluido en todos los puntos a lo largo de un tubo, es constante para un fluido incompresible (caudal Q). Ejemplo 5. Cada segundo, 5525 m

3 de agua caen sobre el

borde de 670 metros de ancho de las cataratas de Niágara. El agua tienes unos 2 m de profundidad cuando llega al borde. ¿Cuál es la rapidez (velocidad) en ese instante?

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ina100

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FIS

ICA

de

Juan

J. A

par

icio

P.

BIBLIOGRAFIA Gómez Flores J. J. Física, teoría y problemas. Editores Gómez, Perú. 2007. Pérez Terrel W. Teoría y problemas selectos de física y como resolverlos. Grupo Editorial Megabyte, Perú.2008. Máximo A. y Alvarenga B. Física General con experimentos sencillos. Oxford University Press. México.2002. Sears Y. y Zemansky F. Física Universitaria – Volumen 1. Ed. Educación Pearson. México, s.f. Serway R. y Jewett J. Física para ciencias e ingeniería – Volumen 1.Ed Thomson. México 2005 Tipler P. Física para la ciencia y tecnología – Volumen 1 y 2. Editorial Reverte. S.f.