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U N I V E R S I D A D D E L A S A L L E
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F a c u l t a d d e I n g e n i e r a C i v i l
B o g o t D . c .
2 0 0 8
A + - 5
-
Vallecilla, Carlos Ramiro Puente pretensado con losa continua sobre apoyos / Carlos
Ramiro Vallecilla. -- Bogot: Universidad de la Salle, 2008. 108 p. : iI.; cm. Incluye bibliografa. ISBN 978-958-9290-83-5 1. Construccin de puentes 2. Puentes de hormign
3. Construcciones de hormign pretensado 1. Tt. 624.37 cd 21 ed. Al159759
CEP-Banco de la Repblica-Biblioteca Luis ngel Arango
ISBN: 958-9290-83-5
Edicin:
Oficina de Medios Audiovisuales y Publicaciones
era 5 N 59A-44
Telfono: 3 48 80 00 ext.: 1224-1225
Director editorial:
Bors Del Campo Marn
Coordinadora editorial:
Sonia Montaa Bermdez
Correccin de estilo:
Nathalia Salamanca Sarmiento
Diseo Cartula:
Adriana Donoso Caldern
Diagramacin:
Marca Registrada Diseo Grfico Ltda.
Impresin:
Imagen Editorial
-
P R E S E N T A C i N
5
C A P T U L O P R I M E R O
D E I N F L U E N C I A D E V I G f \ S C O N T I N U A S M E D I A N T E E L C R O S S
1 . : I W B O D U C C I f \ :
7
1 . 2 . U N E A S D E I N F U J E N C I A D E I N D E T E R M i N / I . D A S M E D I . A N T E " I T C J O C R O S S 8
1 . 3 . E J E , ' v l P L O S i ' . U M R I C O S
1 0
U N E A C ' C I N F L U E N C I A D c :
U S ; C A D A
E N E L C E N I P O
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2 1
C A P T U L O S E G U N D O
l N E A S D E i N F L U E N C I A D E l O S y D E S P L P Z A M E N T O S
E [ \ I S E C C I O N E S D E T E R M I N A D A S D E V I G A S C O N T I N U A S
3 7
2 . 1 ) D E F i N I C O ' 1 E S
3 7
LJ~JEA D E I N F L J E N C I ! , J E J E F L E X ! N O , : e N . . A S c : C C ' J D E J N " .
U N C ' A D ! ' : [ N " L U C ' N C i I D E L A R O T A O N eu E N L A . S : e : : : : C I N U D E U N I ' . V I G A
3 9
C A P T U L O T E R C E R O
E J E M P L O D E L D I S E O D E U I \ i P U E N T E D E 4 L U C E S C O N l O S A
C O N T I N U A S O B R E A P O Y O S P A R A C A R G A V I V A
5 2
P R O C E D I M E ' I T O
5 8
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O B T E N e R LAS3ECI~ITP!CAS D E S E : : : ; C I : ' : r , .
5 8
2 ) E F E G T U A R A V A L U O C A R G A S
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C L C U L O L C S M O V E N T 2 S O E a D O S , - " A C A R G " .
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P R E T E N S A D i \ 2 0 r . . . 1 20~ISDEOADA
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P R O ' l E C - - ; - A O A C : J N T 1 ' U A S C ' e F E A F O Y O S
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6 ) D E C F N R l J f . ; A : : : F L O S : ; 6 , . 9 ! - 1 : 8 D E 7 1
7 )
V E R : : ; C A C l t > . l D E ~OS E S : : U S ; : : Z C S S ' J B R E
' - ' ' ' " ' f , ' r ' : : : ' : > : : : < r . : : : \ j _ J : : ' "
S I V P : E
8 ) C b C U L O c e s M O f , 1 E \ T O S U 4 J t l . O S L A ' B C P ; : : : : ; C L C C : : : ; S ? C : F E L e 4 0 - 9 5 ,
C C : N ' ; : J I : : P . , ' \ N : : O w \ c::::\;n~;jD"C : ; : : : . . . F L E I . T E
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S 0 3 g = , : " ' : ; O - ' : : ) v E L
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E S T R I E ' C S
A O I ( ) ' i C S
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1
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1 5 ) P P O P U E S : : ' ; D E ~q"'YECTCKlA R E C : A D E L O S
1 0 4
B I B L J O G R A F [ A 1 0 7
-
P R E S E N T A C i N
E s s a b i d o q u e l a g r a n r ' i c > C \ l o n t a ,
d e c o n c r e t o e s s u e s c a s a r e s i s t e n c i a a l o s e s f u e r z o s d e
t r a c c i n , e f e c t i v a m e n t e p a r a e s f u e r z o s d e ! o r d e n d e l 1 0 % d e s u r e s i s t e n c i a a l a compre~
e l c o n c r e t o s e E n c o n s e c u e n c i a , h a s i d o u n a n h e i o d e l o s " , , , , , r , i , v r , , - ,
c o n t r a r r e s t a r e s t a d e s v e n t a j a d e l c o n c r e t o r e f o r z a d o , E s e n t o n c e s c u a n d o e l c o n c r e t o
p r e e s f o r z a o o e n c u e n t r a s u y s u c a m p a i d e a l d e a p l i c a c i ' l ,
C o n e s t a t c n i c a c o n s t r u c t i v a s e s o m e t e d e l i b e r a d a m e n t e a l c o n c r e t o a e s f u e r z o s d e
c o m p r e s i n z o n a s e r , d o r d e e l m a t e r i a l s e r f o r z a d o , d e b i d o a
l a s c a r g a s e x t e r l a s , a e s f u e r z o s d e t r a c c i n ,
a c c i n d e
E l p r e c u r s o r d e l c o n c r e t o
: : ; ' Q C V Y ' , r ' i o e l m r i t o d e h a b e r d e s a r r o l l a d o l a d e l
a q u i e n
s e e x p r e s a
t e r i c o e n h a b e r r e c o n o c i d o l a d e l o s a c e r o s d e a l t a
p a r a c o n t r a r r e s t a r p r d i d a s d e f u e r z a d e E n e : e l apor~
c o n s i s t e e n h a b e r ' n t r o d u c i d o e l s i s t e m a d e a n c l a ! e s D a r a l o s c a b l e s d e
p r e e s f u e r z o e n l o s e x t r e m o s d e l a s e s t r u c t u r a s p r e e s f o r z a d a s ,
e l e m e n t a l d e l a ' V Q f ' r w n n m " i . A n
e l i m i r : a r l a s t r a c c i o n e s
a n l i s i s y d i s e o d e l o s p u e r : t e s p r e t e n s a d o s c o n l o s a c o n t i n u a s o o r e a p o y o s ,
E l a u t o r a g r a d e c e m u y a l H e r m a r 1 0 C a r l o s Gao~el G m e z
d e l a U n i v e r s i d a d d e L a p o r s u i n v a ' u a b l e a p o y o e n l a j r ; ;
a s c o m o a l d e c a r l O d e l a F a c u l t a d d e C i v l . ; n , - , , , n ; A m
E l c i v i l L u c a s P r e z A j a g a n c o l a b o r c o n g r a n e s m e r o e n i a y co~
r r e c c i n d e e s t e m a n u s c r i t o ,
R a m i r o V a l l e c i i l a
-
L N E A S D E I N F L U E N C I A D E V I G A S C O N T I N U A S M E D I A N T E
E L M T O D O D E C R O S S
1 . 1 I N T R O D U C C i N
S e d e f i n e : a l i n e a d e i n f t u e n c ' a c o m o l a r e p : - e s e n t a c i n d e l o s v a l o r e s q u e d U U U l d
u n a r e a c c i n , u n a f u e r z a i n t e m a ( a x i a l o o o u n a
d e f o r m a c i n r o : a c i n o rl~~~:~~~~'~d
0C"".~'An d e t e r m i n a d a d e u n a e s t r u c t u r a
c u a n d o u n a c a r g a a i a
s e a l a
d e e s t a .
P a r a l a d e t e r m i n a c i n d e l a , h e a d e i n n u e n c : a d e u n a a c c i n i n t e m a e s n e c e s a r i o d i s
s i l a e s t r u c t u r a e s e s t t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a o i n d e t e r m i n a a a .
E i l e ' c a s o d e e s t r u c t u r a s e s t t i c a : n e n t e d e t e r m i n a d a s , l a o b t e n c i n d e l a s e c u a c i o
r e s q u e l a c o n s t r u c c i n d e l a s l n e a s d e i n f l u e n c i a d e a c c i o n e s i n t e m a s
c n r , n " ' L , n t , . . \ s e l l e v a a c a b o r e c u r r e n d o a l a s c c n d i c i o n e s d e o a l m i n " i " , ; , . .
d e s p l a z a m i e n t o s v i r t u a l e s y e l r e s u l t a d o e s s i e m p r e u n a l n e a r e c t a .
E n e i c a s o d e e s t r u c t u r a s e s t t i c a m e n t e i n d e t e r n ' n a d a s , y p a r a : a c o n s t r u c c i n d e l a s
l n e a s d e i n f l u e n c i a d e a c c i o n e s i n t e m a s ( f u e r z a s o e s n e c e s a r i o r e c u r r i r a d e m s
c i e l a s c o n c i i c i o n e s d e a l a s e c u a c i o n e s d e d e d e f o r m a c i o n e s . E s t e
p r o c e d i m e n t o c o i ' l c i d e c o n e s t a b i e c i d o p o r l o s m t o d o s t r a d i c i o n a l e s d e l a n l i s i s
e s t r u o t u r a l e l s t i c o , E s t o s s o n : e l m t o d o d e l a s f u e r z a s y e l d e l a s d e f o r m a c i o n e s . E s t e
i t i : n o m t o d o i n t r o d u c e c o r n o I n o g n i t a s l a s
l a s o u a l e s s o n o b t e n i d a s
a p a r t i r d e l d e l a e s t r u c t u r a y d e l a s c o n d i c i o n e s d e l a m i s m a . A
s u v e z , l a s s e r o b t e n i d a s m e d l a r t e l a r e s o l u c i n d e u n s i s t e m a d e n
e c u a c i o n e s c o n n o a t r a v s d e u n p r c c e d i m i e n t o d e s u c e s i
v a s , t a l c o m o e l i n t r o d u c i d o p o r C r o s s e n 1 9 3 2 y c o n o c i d o c o r n o e l m t o d o d e l a
d i s t r i b u c i n d e m o m e n t o s .
-
Pus"!:s o"eter-:saao :::on sobre apoyos
Los numerales :Jreserta'l de manera detallada la manera como se obliene la lnea de influencia de acciones internas y empleando el mtodo de
1.2. LNEAS DE INFLUENCIA DE ESTRUCTURAS INDETERMINADAS MEDIANTE EL MTODO DE CROSS
El mtodo de Cross permite calcular la lnea de in~uencia de las fuerzas internas (N,V,M) y de las reacciones en los apoyos en seccin de las vigas continuas. Para el efecto basta con establecer las ecuaciones de los momentos fijos causados por una carga
unta~a sobre un elemento de viga con apoyos A y B, de longitud L y de seccin constante y on sus apoyos.
Para la correcta aplicacin dol mtcdo de es necesario la convencin de DVrYC'~lrw"::;,, para el clculo de los mementos de doble
1 . 2. 1) CONVENCiN DE SIGNOS
Son los momentos que producen traccin en las fibras inferiores de las vigas.
La 1 . reSUTle la convencin de de los momentos flectores que se crr,nlc", para la determinacin de los momentos oe empotrarniento por una carga unitaria que se desplaza a lo constante. Es claro de la grfica que son tracciones en las fibras inferiores,
la lUZ del eemento los momentos fl
de luz L y de seccin ectores que
-) m(-)
-)(m(+)
Figura 1.1. Convencin de signos
1.2.2] DEFINICIONES y NOMENCLATURA
avy,ra(O,,,r'DC' que siguen se han r1QT,n,rln en letra minscula momentos de em",r;icr
-
d e i n f i u e n c i a d e v i g a s c o n t i n u a s r Y : e d i a n t e m t o d o d e
L o s m o m e n t o s
y
I l J t i t . ; U l d t i j s e r e f i e r e n a ' o s m o m e n t o s d e
u n i t a r i a a p l i c a d a e n u n a v i g a d o b l e m e n t e e m p o t r a d a ,
y s e i n d i c a n c o n s u
f i b r a s i n f e r i o r e s y n e g a t i v o s i o r o d u c e t e a c c i o n e s e n l a s
E l m o m e n t o , B d e n e t a e l m o m e n t o d e
q u e s e p r e s e n t a c u a n d o e l
a p o y o A e s t y e l a p o y o B e s t a r t i c u l a d o .
E ! m o m e n t o m * B . l ' . , d o n o t a e l m o m e n t o d e
q u e s e p r e s e n t a c u a n d o e l
a p o y o B e s t e m o o t r a d o y e ! a p o y o A e s t a r t i c u l a d o .
P a r a l a de~erminacin d e l a s o r d e n a d a s d e a s l n e a s d e i n f l u e n c i a e n l O S e j e m p l o s
s e e m p l e u n a d e c l c u l o
e c u a c i o n e s i n d i c a n d e m o m e n t o d e
m A S y
p a r a d i f e r e m e s c a s o s d e a p o y o .
1 . 2 . 3 ) E C U A C I O N E S P A R A L O S M O M E N T O S D E D O B L E E M P O T R A M I E N T O
E a n l i s i s e s t r u c t u r a l s u m i n i s t r a l a s e c u a c i o n e s p a r a l o s m o m e n t o s d e d o b l e
m i e n t o y p o r u n a c a r g a u n i t a r i a , q u e s e d e s p l a z a e n t r e l o s
a o o y o s A y B .
E c u a c i o n e s p a r a m , \ E y m E A
m
A B
(
\
~
. -
~=:.L_---:=l%
~:
L
2
~
"
=
m A S
m
B A
m E A
L
2
F i g u r a 1 . 2 . M o m e n t o s d e e m p o t r a m i e n t o m
A B
y m
B A
L a t a b l a i n d i c a l o s v a l o r e s d e l o s m o m e n t o s m A S y p o r l a
c a r g a u n i t a r i a a p l i c a d a e n p o s i c i o n e s t o m a d a s a r b i t r a r i a m e n t e c a d a d c i m o d e l a l u z A B .
d e l a p o y o A .
1 . 2 . 4 } V I G A E M P O T R A D A E N E L A P O Y O A , A R T I C U L A D A E N E L A P O Y O B
D e l a n l i s i s e s t r u c t u r a l s e c o n o c e l a e x p r e s i n p a r a e l m o m e n t o f i j o m * A S p r o d u c i d o p o r u n a
c a r g a y m v i l e n e l ( A ) c u a n d o e l o t r o e x t r e m o e s t a r t i c u l a d o .
9
-
PU8'lte prete'lsado 8ontnL3 sotre
Esta ecuacin
Ecuacin para m:lB . X
m AS --'---~----'--
Figura 1.3. Momentos de empotramiento m*AS
tabla siguiente indica los valores del mo:nento de
,'. r-----~---r---,---__,--__-----r_-___--___,_--_,_-___,
.....
, .
1 .5) VIGA EMPOTRADA EN EL APOYO B y ARTICULADA EN EL APOYO A
Al que el caso 1 la ecuacin para el momento oe m*
Ecuacin para m~,1A~_.....___----,~........_--IS B)
m" = X(LX) (2L - X)
EA 2L2 mSA
Figura 1.4. Momentos de empotramiento m* SA
La tabla indica vaiores del momentc de "'rY'nr,tr~'rn;orYrr\
1.3. EJEMPLOS NUMRICOS
A continuacin se resuelven algunos mJmricos ei nimo de mostrar la aplicacin del mtodo de Cross en :a determinacin de la I;r,ea de influencia de reaccin en un apoyo, de la fuerza o del momento fector en una seccin deTerMinada de
indeterminadas de seccin constante,
10
-
oretensado 'osa ccrthJ8 sobre apoyos
Esta eCL:acin 8S:
1
(A7-...-----...J---------~ X)\"
m*AB
Figura 1.3. Momentos de empotramiento m*AB
La tabla indica los valores del mO:TIento de
la carga unitaria cada acimo de la luz L. X se mide a
.'1.2.5] VIGA EMPOTRADA EN EL tlPOYO B y ARTICULADA EN EL APOYO A
Al igual que el caso 1 .2.4, ecuacin para el rromento rr* es:
Ecuacin para m~1Arc----____,,__......___ t: B) . X(L X) '")
mEA =---,--'(",L-X)2LkmSA
Figura 1.4. Momentos de empotramiento m* BA
tabla indica los valeres del momento de "n-;nn'fr"w~",n+n
luz L, Xse mide
1.3. EJEMPLOS NUMRICOS
A continuacin rescJelven con el niTlo de mostrar la cacin de! mtodo de Cross en la determinacin la lnea de influencia de la reaocin en un apoyo, de la fuerza cortar~:e o del momerrcc "ector en una seccin dete:rninada de
indeterminadas de seccin constante.
10
-
d e d e v i g a s
m t o d o
E j e m p l o 1 . 1 . P a r a ' a d e 8 m . d e
d e s e c c i n c o n s -
c o n u n a p o y o
y o t r o
A r
x : f
e
B
~
. . l .
. . 1
1 ' " 4 m
4 m
A ) L a d e d e l I l ' o m e n t o
e n e l a p o y o A .
B l L a l n e a d e i n f t u e n c i a d e l a r e a c c i n e n e l a p o y o A .
e ) L a l n e a d e i n f l u e n c i a d e ' a r e a c c i n e n e l a p o y o 8 .
L a l i n e a d e i n n u e n c i a d e i m o m e n t o ~ector e n l a s e c c i n e .
E l L a l i n e a d e i n f l u e n c i a d e l a f J e r z a c o r t a n t e e n l a s e c c i n e .
d e u n m t o d c e l s t i c o t r a d i c i o n a l e s p o s i b l e
m e n t o d e e n e l a p o y o ,
p o r U : l a c a r g a
u b i c a d a a u n a
d i s t a n c i a X d e l a p o y o A . E n l o s n u m e r a l e s
s e s J p o n e q u e e s t a s e c u a c i o n e s
s o n c o n o c i d a s .
A ) L n e a d e i n f l u e n c i a d e l m o m e n t o d e
M
A
P a r a l a d e t e r m i n a c i n d e l a l i n e a d e i n f l u e n c i a d e l 'nomen~o d e e n e l
a p o y o A b a s t a c o n d e l a n l i s i s l a e c u a c i : l d e l m o m e n t o d e Q r Y , , , r > T r Q
: - n i e n t o p o r u n a c a r g a a u n a , j i s t a n c i a X d e l a p o y o D m n n t c ' O r l n
E s t a e c u a c i n e s :
X
; \ 1 = '
. e \ . 2 L
2
l e s v a l o r e s n u m r 1 c o s :
X
r
8 - X ) n 6 - )
1 \ 1 = \ \
e l . 1 2 8
m u e s t r a l o s v a l o r e s d e l a l n e a d e i n f t u e n c i a d e l
m o m e n t o
0 8 l a c a r g a u n i t a r i a e n s e c c i o n e s t o r n a d a s a r b i t r a r i a m e n t e
c a d a 1 r : . d e l a l u z A B .
1 1
-
La figura siguiente indica lOS valores ae la lnea de in~uencia de rrOMen~o posiciones de la carga unitaria oada 1 m, El deos momentos indica trC)r'!""r'n en las fibras superiores de la en el apoyo A.
i----.........................- 8*1
B) Lnea de influencia de rrv."~,,v'V" en el apoyo A,
------- 4m
e 1(/ .1"
Del equilibrio' de la es claro que la reaccin en el apoyo 1\ para vU'::"Y '",1 c;; f,JU,::llvIVI ,,. de'la'crg'ur;taria;es a:
"
....."'..\. ~ .."-" ~ ;{ SR' 1(8 8-X M A'L., l.Y B ,=, A ) -M -R =--+
" "1. A 8 8 Xmedido a partir de apoyo A.
La tabla muestra los valores de ia lnea de influencia oe la e: apoyo A, para OOSIClorlOS oe la carga unitaria en secciones tomadas aroitrariamer:e 1M,
La ios valores dea lnea de infuencia la para
12
-
L n e a s
~ ~ ~: a'~te e l " ' t o d o d e C r o s s
e l
d e i n f l u e n c i a d e l a re&::~ ::~
: = , B ,
D e l e q u i l i b r i o d e l a v i g a A B , s e c o r . c u y e :
M , , ,
~M
B
= 8 R
B
- X + M
A
- R
B
= ~
8
X m e d i d o a d e l a p o y o A .
L a t a b l a s i g u i e n t e m u e s t r a l o s v a l o r e s d e l a l n e a d e i n f l u e n c i a d e l a r e a c c i n e n e l a p o y o
B , o a r a d e a c a r g a u n i t a r i a e n s e c c i o n e s t o m a d a s a r b i t r a r i a m e n t e c a d a 1 m ,
L a f i g u r a s i g u i e n t e i n d i c a l o s v a l o r e s d e l a l n e a d e i n f l u e n c i a d e l a r e a c c i n R
B
, p a r a
' ; ( ' < ; r " , , , , , , , d e l a c a r g a u n i t a r i a c a d a 1 m ,
o
( " ' ) o
o
( " ' ) . , . . .
N < . O l O ( " ' ) ; z ' " C > : ! . ~
N c : o c e . , . . . " < t < O , 0 / /
~ 0 , "-'~'o~/O . o
A~~-O ' .
,'~
~ "~ "~
I
' 8
8 * 1 =!~L
~- L , I . R
B
E s d e in~ers m o s t r a r q u e e n c a d a u n a d e l a s s e c c i o n e s e n q u e h a s i d o d i v i d i d a l a
v i g a , l a s u m a d e l o s v a l o r e s d e l a l n e a d e i r . f u e n e i a d e l a r e a c c i n e n a p o y o A m s l a
r e a c c i n e n e l a p o y o B d e b e s e r i Q t ; a l a l , t a l c o r r o s e i n d i c a e n l a t a b l a
U n e a d e i n f l u e n c i a d e l m o m e n t o f t e c t o r M e e n e l c e n t r o d e l a l u z ,
L a c a r g a u n i t a r i a s e e n c u e n t r a e n e l i n t e r v a l o ( O s X s 4 m ) , X s e m i d e a o a r t i r d e
a p o y o A .
M e
( e "'~
\ . . , I
,
R s
1-~4m--
1 3
-
Puente ()rAt",.n~"rl() con lesa ccntinua apoyos
Del cel tramo
La carga mitaria se encuentra en e intervalo (4 ~ X ~ 8 m).
Del del tramo AC: JlvIc = 4R,\ - M.'1 La tabla muestra los valores de la de influencia momento tlecTor Me'
para OO3ICil:nElS carga unitaria en secciones tomadas arbitrariamente cada 1 m.
,000
0,36 0,:87 0)000 0,531 0,254 0,000
irldica os valores de la lnea de influencia del momento flector en una ubicada a 4 m. del apoyo A, para de la carga unitaria cada 1 m.
E) Lnea de de la fuerza cortante V c en ei oentro
La carga unitaria se encuentra en e1ntervalo (O ~ ~4 m).
Del del trame CB (no se indican momentos):
te B Ve Rt B1--4m--l
14
-
L n e a s
m e d i a n t e e l m t o d o d e C r o s s
L a c a r g a u n i t a r i a s e enciJem~& e - : ; r : 8 " \ : a l o ( 4 m s X s 8 m ) ,
D e l e a u i l i b r i o d e l t r a m o A C ( n o s e i n d i c a n l o s
A
f . .
e
~
R V e
A
1 - - 4 m - - - l
V e = R "
L a t a b l a mues~ra l o s v a l o r e s d e l a l n e a d e i n f l u e n c i a d e l a f u e r z a c o r t a n t e V c
e n u n a s e c c i n u b i c a d a e n e l c e n t r o d e l a l u z A B , p a r a d e l a c a r g a L n i t a r i a e n
s e c c i o n e s t o m a d a s a r b i t r a r i a m e n t e c a d a r n .
X ( m )
0 , 0 0 0 0 , 8 2 0
0 , 0 0 0 0 , 0 2 2
1 . 0 0 0 0 , 9 7 8
0 0 0 0
- 0 , 0 2 2
- 0 , 0 8 6
- 0 , 1 8 5 - 0 , 3 ' 3
0 , 6 8 8
0 , 5 3 6
0 , 3 6 7 0 , 0 0 0
i n d i c a l O S v a l o r e s d e l a l n e a d e i n f l u e n c i a d e f u e r z a c o r t a n t e V c
u n a s e c c l o n u b i c a d a a 4 m , d e l a p o y o A p a r a d e l a c a r g a u n i t a r i a c a d a 1 m ,
: : o
c e
( O
: j ) 8 : g o~
o o ~
B
~ I . c I D
c < ' !
r - . A
_ _ _ _ _ _
r - .
.I D : : O
c < ' ! L O c < ' ! ' \ ' " " -
. . - o c i
M _ L . I . V e
o
1 - - - - 1 * 4 - - - ; - - - - - 1 * 4 - - - - i
O b s r v e s e q u e a s u m a d e I c s v a l o r e s d e i a l n e a d e i n f l u e n c i a d e l a f u e r z a c o r t a n t e e n
l a s e c c i n C e s i g u a l a 1 3 . . 1 ) ,
E j e m p l o 1 . 2 . D a r a l a
c o n t i n u a d e d o s i u c e s d e 1 2 m . c / u , d e s e c c i n
i n d i c a d a e n l a l 1 g u r a
s e d e s e a o b t e n e r :
1 2 m - - - - - - - - - - - -
1 2 m ~
1 5
-
Puente ::::X1 losa ccn~i"ua sobre apoyos
A) Lanea de infiuencia de! momento ~ector en B,
8) lnea de in~uencia dea en A
C) La lnea de influencia del momento ~ector en una seccin ubicada a 6 rn del apoyo A D),
La lnea de in~uencia de la fuerza cortante en la seccin D,
Como se mostr en el e: mtodo de Cross supone que todos los nudos de las vigas continuas se encuentran Mediante un proceso de liberacin de cada uno de de distribucin y de transporte de momentos se obtiene la solucin que garantiza el de toda la
A) de in~uencia del momento en B,
:"'a carga unitaria se encuentra en la luz AB,
Para llevar cabo la distribucin de se supone arbitrariamente un momento este ~;",,,,,nl~ -10 t.m; traccin fibras aolicado
en el nudo B, en el tramo AB y se determinan los momentos resultantes en los apoyos el de Cross,
Es de notarse que un momento igual a menos 10 tm tracciones en las finOrl(YC)'" de la viga, de acuerdo con la convencin de establecida en esta
Acontinuacin se indican factores que intervienen en la determinacin de los momentos flectores as como la que resume los clculos correspondientes a la distribucin de momentos,
Factores de
12 IT.nrnQrln arbitrariamentej
K AB = Kuc = 12
=1; Rigdez relativa, 12
. . 3
= ~c =-(1) =0,75 ; Factores de rigidoz KAB 4
(FD)BA = (FD)BC = = 0,50 ; Factores de distribucin.
0,75+0,75
16
-
d e
c o n t : l c u a s m e d i a n t e e l m t o o o d e C r o s s
~-x--~..,
K ' = 0 , 7 5
K ' = 0 , 7 5
50%-~-
L a d i s t r i b u c i n d e m o m e n t o s m u e s t r a q u e e n e l n u d o B , e l t r a m o A B t o m a e l 5 0 % d e l
m o m e n t o p o r u n a c a r g a m v i l u n i t a r i a e n a l u z A B . E n e s t a s c o n d i c i o n e s
l a e c u a o i n p a r a l a l i n e a d e i n n u e t ' c ' a d e l m o m e n t o B , p a r a l a c a r g a a c t u a n d o e n e l t r a m o
A B d e l u z 1 2 m , s e c o n v i e r t e e n :
O 5
' " _X_'''-_~_ _ _
M
B
= - O , 5 m * B A = M
B
= - , . 2 8 8
r C i 0 , . - , A n f i b r a s
L a t a b l a s i g u i e n t e m u e s t r a l o s v a l o r e s d e l m o m e n t o e n e i a p o y e B , M
B
, p a r a
d e l a c a r g a u n i t a r i a m v i l , s u p u e s t a a r b i t r a r i a m e n t e a p l i c a d a c a d a s e x t o d e l a l u z A B ,
E n l a t a b l a p r e c e d e n t e X s e m i d e a d e l a p o y o B .
C e l a s i m e t r a d e l a e s c l a r o q u e l 1 e a d e i n f l u e n c i a d e m o m e n t o M
B
, p a r a
n n s i d o n A S d e l a c a r g a u n i t a : - i a e n t r e l o s a p o y o s B y e s i g u a l a l a o b t e n i d a e n l a t a b l a
m
~
N ~
~
N ~
~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ r o
AVlTN~~~c
i~~~
- - - - - - - 6 * 2 .--~-~-~ - 6 * 2
1 7
-
pretersado conti'lua apoyos
B) Linea de influencia de la reaccin en A
La carga unitaria se encuentra en la luz AB,
Del de tramo AB:
X"\."M =O=12R X+M -R =-L, B A B A 12 12
La tabia muestra los valores de la reaCCin en apoyo A, para pO;3icil::mEls de la carga unitaria mvil en la luz AB, arbitrariamente cada sexto de lauzAB,
La carga unitaria se encuentra en luz BG,
De equilibrio del tra,110 AB:
La tabla muestra los va ores del momento en el apoyo B, 1\1B, para pO:3icilJnElS de la carga unitaria mvil, arbitrariamente aplicada cada sexto de la luz BG,
18
-
U n e a s d e !n~u8ilca v i g a s c o n t i ' l u a s m e d ; a ' l t e e l m t o d o d e C r o s s
L a f i g u r a m u e s t r a l a l n e a d e i n f l u e n c i a d e l a r e a c c i n d e l a p o y o A , p a r a p o
s i c i o n e s d e l a c a r g a t o m a d a s a r b i t r a r i a m e n t e c a d a m ,
r - r - - - , . . . , L O o . . < : t ( V ) ~ < : t . , . . . .
~
o
( J )
o
( J )
o
) - . . 0 ~
o
c i e L I . R , . .
L n e a d e i n f l u e n c i a d e l m o m e n t o f l e c t o r e n u n a s e c c i n u b i c a d a e n e l c e n t r o d e l a
l u z A S O ) ,
1 . 3 . 1 J L A C A R G A U N I T A R I A S E E N C U E N T R A E N E L T R A M O A o ( 6 m : S ; X : : ; ; m ) .
N o t a : X r l i d e a p a r t i r d e l a p o y o B ,
1 M
A C D " \
, ~)
V D
2 : M
D
= O = 6 R , . \ " - l ( X - 6 ) - M
D
- - M
D
= 6 R
A
- ( X - 6 ) .
1 . 3 . 2 ] C A R G A U N I T A R I A S E E N C U E N T R A E N E L T R A M O O S ( O : s ; X : s ; 6 m ) .
A O ~
~
V
o
N o t a : X s e m i d e a
d e l a p o y o B ,
2 :
1 1
D = - M
D
- - = 6 R
A
6 R
A
M
D
1 9
-
Puente pretensado con sobre apoyos
La tabla muestra los valores del momento f!ector Mo en el centro de a luz AB, pa:a pm>lC!
-
U n e a s d e
v i g a s c o n t i n u a s m e j i a n t e e l m t o a o d e C r - o s s
1 . 4 ) l N E A D E I N F L U E N C I A D E L A F U E R Z A C O R T A N T E E N U N A S E C C i N U B I C A D A
E N E L C E N T R O D E L A L U Z A B ( P U N T O D J .
1 . 4 . 1 ] L A C A R G A U N I T A R I A S E E N C U E N T R A U B I C A D A E N E L T R A M O A D
( 6 m s ; X S ; 1 2 m ) .
1 M
A
i X~ D ' U
j '
+
l '6 m
R
A
V D
2 :
= 0 = R - l - V - - v = R - 1
A D D A
L 3 t a b l a s i g u i e n t e m u e s t r a l O S v a l o r e s d e l a f u e r z a c o r t a n t e e n e l c e n t r o d e l a l u z A B .
o a r a d e l a c a r g a u n i t a r i a r r v i l , s u p u e s t a
c m , , - , n t , , , a p l i c a d a c a d a s e x t o
d e l u z A B . X m e d i d o a p a r t i r d e l a p o y o B .
1 . 4 . 2 ] L A C A R G A U N I T A R I A S E E N C U E N T R A U B I C A D A E N E L T R A M O O S ( O s X s 6 ) .
~F = O = R - V - - V - R
" y A D D - A
A D I
f l '
R 6 m V D
A
L a t a b l a s i g u i e n t e m u e s t r a l o s v a l o r e s d e l a f u e r z a c o r t a n t e V D e n e l c e n t r o d e l a l u z A B ,
p a r a d e c a r g a u n i t a r i a m v i l , s u p L i e s t a a p l i c a d a c a d a s e x t o
d e l a l u z A B . X m e d i d o a p a r t i r d e l a p o y o B ,
2 1
-
U r e a s c e i n f t L e n c a d e
m e d i a n t e e l m t o d o d e C r o s s
1 . 4 ) L I N E A D E I N F L U E N C I A D E L A F U E R Z A C O R T A N T E E N U N A S E C C i N U B I C A D A
E N E L C E N T R O D E L A L U Z A a ( P U N T O D J .
1 . 4 . 1 ) L A C A R G A U N I T A R I A S E E N C U E N T R A U B I C A D A E N E L T R A M O A O
( 6 m s X s 1 2 m ) .
1 M
I X - 6 ~
O ' ,
A
I
,
1 )6 m
R
A
V D
= O = R - l - V - V = R - 1
~
A D D A
L a t a b l a e n e l c e n t r o d e l a l u z A B ,
p a r a d e l a c a r g a u n i t a r i a m v i l , s u p u e s t a a p l l C 8 . o a c a d a s e x t o
d e ! a l u z A B . X r e d i d o a p a r t i r d e l a p o y o B ,
1 . 4 . 2 ) L A C A R G A U N I T A R I A S E E N C U E N T R A U B I C A D A E N E L T R A M O O B ( O s X s 6 ) .
~Fy = O = R
A
- V D - V D = R A
A D ~
r
6 m I
R
A
V D
m u e s t r a l o s v a l o r e s d e l a f u e r z a c o r t a n t e e n e
i
c e n t r o d e l a l u z A B ,
p a r a p o s I C i o n e s d e l a c a r g a u n i t a r i a m v i l , s u p u e s t a a r b i t r a r i a m e n t e a o l i c a d a c a d a s e x ' l o
d e l a l u z A B . X m e d i d o a D a r t i r d e ! a p o y o B .
2 1
-
Puer,+e pre:ensado con losa continua sobre apoyos
1.4.3] LA CARGA UNITARIA SE ENCUENTRA UBICADA EN EL TRAMO Be (O:s; X :s; 12).
6m
la. to:bla siguiente muestra los valores de la fuerza cortante VD en el centro de la luz AB" p'r posiciones de la carga unitaria mvil, supuesta arbitrariamente aplicada cada seXto de la luzBe.
,>
" ,
X(m) ..
, 2 4 6 8 10 12
MB 0,000 0,76L ',111 1,125 0,889 0.486 0000 RA "Q,qoo .. -0,064 -0,093 -0,09L -0,074 -0,041 0,000 VD 0,000 -0,064 -0,093 -0,094 -0,074 -0,041 0,000
La grfica siguiente muestra la lnea de in~uencia de la fuerza cortante en una seccin ubicada a 6 m, del apoyo A (seccin O).
C'? o:> o:> 1"- ::::"" "" o o o o o o o o I I I ~ L.!. \J
6*2 6*2
Obsrvese que la suma de los valores de la lnea de in~uencia de la fuerza cortante en la seccin O es igual a 1. (0,594+0,406= 1),
Ejemplo 1.3. En la viga de 4 luces, de seccin constante, mostrada en la figura siguiente, se desea obtener:
A F B G e D E I I
(m) 5,75 5,75 10 10 20 11,5
A) Lnea de in~uencia del momento ~ector en los apoyos B, e y O,
B) Lnea de influencia de la fuerza cortante en el apoyo B, en la luz Be,
e) Lnea de influencia del momento flector en una seccin ubicada en el centro de la luz Be (seccin G),
22
-
d e i n f l u e n C i a v i g a s cOG~'1uas meaE~:S
C r a s s
O b t e n c i n d e l a s c o n s t a n t e s d e l m t o d o d e C r o s s :
i ) ( 1 = 1 s u p u e s t o ) :
, 3 1 0 1 0 , 3 1 0
K = - * - = 6 5 ; 1 < = 1 < , = = 5 ; K = * - = 6 5
A B 4 1 1 , 5 ' " " B e " " C D 2 0 ' 4 1 1 , 5 '
i i ) F a c t o r e s d e d i s t r i o u c i n .
- , - - = 0 , 5 7
F D
K
\ = 0 , 6 5 + 0 , 5
0 , 5 = = 0 , 4 3
=F D
B e
0 , 6 5 + 0 , 5
i i i ) D i s t r i b u c i n d e m o m e n t o s .
d e l o s m o m e n t o s : s o n l o s m o r r e n t o s q u e
t r a c c i n e n
i v ) P o s i c i o n e s d e l a c a r g a u n i t a r i a .
L a c a r g a l ; n i t a r i a s e e n c u e n t r a e n l a L J z . A B .
S e s u p o n e U 1 m o r n e n t o d e i g u a l a - 1 0 t . m f i b r a s
e n e l n u d o B , e n l a l u z . A a . . A p a r t i r d e l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s d e l a d i s t r i b u c i n d e m o
m e m o s i n d i c a d a e n e l c u a d r o d e c l c u l o
s e
q u e e ' n u d o B r e s i s t e u n
m o m e n t o a
B A '
m
k
m o m e n t o d e u u u u u u p o r u r , a c a ; g a u n i 1 : a r i a e n u n a
d e
s e c c i n c o n s : : a n t e , d e c o n a p o y o s e m p o t r a d o ( B ) y a r t i c u l a o o ( A ) .
s o n l e s m O ' l 1 e n t o s p o r u n a c a r g a u n i t a r i a e l u n a v i o a d e
d e u n a l u z , c o n l o s d o s a p o y o s . A y B o r n n n t m r l n c
L a d i s t r i b u c i n d e m c m e r t o i n d i c a d a e n l o s c l c u l o s s e l l e v a c a D o e m -
n ; c < m r l r . l a p o r e x t r e m o a r t i c u l a d o .
2 3
-
Puente p~etensado cen conh;ua apoyos
3,96
Nota: puesto que se supuso un momento fLo a -10 t m ,Tn:lrY'"nn en las fibras superiores) en el nudo B, del tramo BA es necesario dividir ~odos los resultados de la distrioucin de momentos por 10,
CEngura muestra el momento flector que se genera en une de los apoyos B, e y en funcin de m*AS cuando la carga uritaria se encuentra en la luz AB,
no,",""lur,C' OS rromentos flectores oue producen traccin en las nQr,nrc,," Adems X se mide a del apoyo B.
Ecuacin para el momento m *B.~
-o 396m* = -O 396 * _X_ .. ___--'--'__-', BA , 264,5
Me =O,107m*BA 264,5
La tabla muestra los valores de la lnea de inAuenca oe los momentos fiectores en los apoyos B, e y D para ae la carga unitaria en luz AB tomadas arbitrariameme cada 1 , '1 ,5 m.
24
-
d e i l l l l u e n c i a d e v i g a s c O . 1 t n " a s , e d i a n t e e!"'l~odo
L a c a r g a u n i t a r i a s e e n c u e n t r a e n l a l U Z B e ,
E l c l c u l o s e l l e v a a c a b o e n d o s e t a p a s :
S e s u o o n e u n m o m e n t o d e
o t . m f i b r a s
e n e l n u d o B , e n l a l u z B e y s e e f e c t a l a
d e m o m e n t o s d e a c u e r d o c o n e l
m t o d o d e e r o s s ,
A
. . . l i . .
0 . 6 5
B
: z s :
0 , 5 0
l - x - 3
: z s :
0 , 5 0
D
0 . 6 5
E
~
0 . 5 7
0 , 4 3
0 , 5
0 , 5
1 , 4 2
1 0 - 5
0 , 1 5
- 2 , 5 - 5
0 , 5 4
1 , 5 7
1 . 0 8 - 0 . 5 4
- 0 , 5 4
1 , 5 7
- 0 . 2 7
' - 0 , 5 4
0 , 0 6
! 0 : 1 2 ' 0 , 0 6 - 0 , 0 6
1 - 1 , 5 7
~a m u e s t r a l o s m o m e n t o s e n l o s a p o y o s B , e y o
V U U ' J U V ; : ' p o r u n
o U ; . J U b o l O d e - 1 0 t . m a n t i h o : a r i o - t r a c c i n f i b r a s
, n c c i r ; r O C l e n e l n u d o B ,
e n l a l u z B e .
D
E
S e s u p o n e a h o r a u n m o m e n t o d e d e 1 0 t . m e n n u d o e , e n t r a m o
e B y s e e f e c t a l a d i s t r i b u c i n d e m o m e n t o s ,
L a
m u e s t r a l o s m o m e n t o s e n l O S a p o y o s B , e y o
p o r u n
o U ; . J U e : ; o l U d e O t . m ( h o r a r i o ) e n e l n u d o e n l a l u z B e
-
Puente pretensaoo losa CO'ltlllua sobre apoyos
Es de nOlarse oue el mornento aplicado en el nudo C, en trame CB, tracciones en las fibras por lo tanto para calcular el valor ce las ordenaoas de la lrnea de se le toma como Sumando los de momento y teniendo en cuenta que X se I'lide a B, se ob!ienen las siguientes ecuaciones para las lneas de influencia de los momentos en los apoyos B, C y D
Son los momentos que :raccin en las fibras
,. (20 X)2 ,. z(20-X)MB=-O,604m'D -O,b7tTL , = -O,604X -O,b7X ,
.cu.> '~1:Ia 400 400
2 -'--__-'-=0,034mo\B + 0,1 =O,034X -"-------'-- + 0,1MD 400 400
Donde:
X ffi,O\B = --'------'-- =
400
2(L _X)2 X 2(20-X) L 2 400
La tabla muestra os valores de la lnea de influencia de los momentos flectores los aooyos 8, C y D para de la carga unitaria en la luz BC
tomadas arbitrariamente cada 2 m,
X se mide a partir del apoyo B,
LA CARGA. U'HARIA SE ENCUENTRA EN LA LUZ BC 20
000
0,000
! 0,000 !
La carga unitaria se encuentra en la luz CD,
El clculo de la lnea de influencia de los momentos en los apoyos B, C y D se lleva a cabo en dos
26
-
d e , n f i u e n c i a d e c c n t i n u e s f ; \ e d i a n t e e l m t o d o C ' o s s
S e s u p o n e u n m o m e n t o d e
a - 1 0 t m e l n U d O l j , e n
l a l u z C D y s e
r n 6 t r v i n d e C r o s s ,
S e s u p o n e u n m o m e n t o d e a 1 0 t . m e n n u d o e n l a
l u z C D y s e e f e c t a l a d i s t r i b u c i n d e m o m e n t o s d e a c u e r d o c o n e l r r t o o o d e C r o s s ,
1 0 - 5 , 7
- 4 , 3 - 0 , 3 1
0 , 5 4 - 0 , 0 3
_ - 0 , 2 3 6 , 0 4
" Q , 9 6 _
- 0 , 0 3
6 , 0 4 :
E l r e s u l t a d o p r e c e d e n t e c o i n c i d e c o n l a s c a r a c t e r s t i c a s d e s i m e t r a d e l a c o n t i
n u a ,
S u m a n d o l o s m o m e n t s c a l c u a d o s d e a c u e r d e c o n e l m t o o o d e C r o s s e n c a d a u n o
d e l o s n u d o s d e l a c o n t i n u a , s e o b t i e n e :
A
B " " "
( 0 _ _ -
E
)
1 1 , 5 m
I
1 1 , 5 m
0 , 1 5 l " A s
E
I
" " " )
B ) ' - - - 1
A
1 - - - - i 1 , 5 m
~
0 , 0 3 4 " A .
2 0 m 0 , 1 0 7 " A .
1 1 , 5
S o n
I H l J i - l I I V l k ; l o s m o m e n t o s q u e p r o d u c e n t r a c c i n e n l a s f i b r a s
! ! ! ! l o .
-
d e i n f i u e n c i a d e v i g a s contr~uas ~5J ~:" " l t o d o O r o s s
S e s u p o n e u n m o m e n t o d e i g u a l a - 1 O t . r n e r ; e l n u d o C , e n
l a i u z y s e e f e c t a l a d i s t r i b u c i n d e m o n : e : l t o s d e a c u e r d o c o n e l m t o d o d e C r o s s ,
S e s u p o n e u n m o m e n t o d e a 1 0 t . m e n e l n u d o D , l a
l u z C D y s e e f e c t a l a d i s t r i b u c i n d e m o m e n t o s d e a c u e r d O c o n e l m t o d o d e C r o s s
. ~- ~ - - o 1 2 i
~,~~ I ~,~V 1 : 5 7 1
0 , 5 0 0 , 5 0
1 , 0 8 :2~,1~5_ . . . . - _ . .~- ~10_. .~
- v , v u ,-v.~v .~~- - 0 , 1 2 1 , 0 8 - - 4 , 3 ' - 0 , 3 1
~._ - 0 , 1 2 - - - - 0 , 5 4 - 0 , 0 3
- - - - - 1 , 0 8 --=~ 6 , 0 4
0 , 0 6 !
- 0 , 0 3 ,
6 , 0 4 !
E l r e s u l t a d o p r e c e d e n t e c o n c i d e c o n l a s c a r a c t e r s t i c a s d e s i m e t r a d e l a v i g a c o n t i
n u a ,
S u m a n d o l o s m o m e r t o s c a l c u l a d o s o e a c u e r d e c o n e l d e C r o s s e n u r o
d e c s n u d o s d e l a v i g a
s e o b t i e n e :
A B " " ' "
/
1 1 , 5 m . . . . . ,
E
A _ _ I 3 _ " " " ' )
" , - - - - - - " , v )
~ I
1 1 , 5 m . - {
2 0 m
0 , 0 3 4 " A s 0 , 1 0 7 ~
S o n
I H U n l l V l J b l o s m o m e n t o s q u e p r c d u c e n t r a c c i 6 n e n l a s f i b r a s
-
-
Puente pretensadc een llsa mn:inua sobre a::Joyos
2_-'-__'-- +0034 X (20- X)M B= 0,lS7m-\.B + 0,034m1H = 0,1 400 , 400
M =-0 SOm -O 107 = -O 50 X (20-Xi -O 107 X \20-X) e ) AB , 1Ds;\ , 400 ' 400
i X 2 (20-X)=-0,157mAB - 0,6041Ds,\ = - 0,157-'-----'--- 0,604--'------'MD 400 400
Latabia muestra valores de la lnea influencia de los momentos flectores los apoyos 8, C y O para de la carga unitaria en la luz CD
tomadas arbitrar'amente cada 2 m.
LA. CA.RGA UNiTARIA. SE ENCUENTRA EN LA. LUZ CD X(m)
2 4 6 8 10 12 14 -;6 18 201
o 0,260 OA24 0,504 I 0,5 1 7 0,478 0,399 0.298 0,188 0,083MB
Me O -0,829. -1,348 -1,605. -1,645 -1,518 -1,268 0,9"'-5 -0.59"'- -0,263 O
Mo O -0,363 i -0,788 -1.2231-1,612 1.903 -2,041 -1.9741 -1.647 -1,C07
La carga unitara se encuentra en la luz DE.
De la simetra de es
en los apoyos 8,C y O se obtiene a ecuaciones:
Son los momentos que traccin en las fibras
XM B= -0,034m*AB = -0,034-'------'--"----'
107 X (11,S-X)(23-X). , 264,5
M =-0 396m* =-0 396 X (11,S-X)(23-X). D , AB, 264 S
,
28
-
U n e a s d e i ' i f t u e n c i a v i g a s c o n t i n u a s r r : e d i a : l t e e l [ T , t o d : : J C r o s s
. * _ X ( L - X ) ( 2 L - X )
i J a n d e . m A B - " .
2 L
L a t a b l a [ T , u e s t r a l o s v a l o r e s d e l a l n e a d e i n f l u e n c i a d e l o s m o m e n t o s ~ec-
t a r e s e n l o s a p o y o s B , e y D p a r a d e l a c a r g a u n i t a r i a e n l a l u z A B t o m a d a s
a r b i t r a r i a m e n t e c a d a ~., 1 5 r T . .
9 . 2
- 0 , 0 3 8
0 , 1 1 8
- 0 , 4 3 7
B ) L n e a d e i n f l u e n c i a d e l a f u e r z a c o r t a n t e e n e l a p o y o B , e n l a l u z B e .
P a r a l a c o n s t r u c c i n d e l a l n e a d e I n f l u e n c i a d e l a f u e r z a c o r t a n t e e n e l a p o y o 8 , e n l a
I L . Z B e s e d e b e n c o n s i d e r a r l a s s i a u i e n t e s p o s i c i o n e s d e l a c a r g a u n i t a r i a :
~ c a r g a u n i t a r i a s e e n c u e n t r a e n l a l u z A B .
D e i
d e l t r a m o
s e o b t i e n e : V _ M
B
+ :~vlc
B C
2 0
~ ~
( )
t ~m ~
~ ~
L a t a b l a s i g u i e n t e m u e s t r a l o s v a l o r e s d e l a f u e r z a c o r t a n t e p a r a d e l a
c a r g a u n i t a r i a e n l a l u z A B e n s e c c i o n e s d e l a l u z A B a r b i t r a r i a m e n t e c a d a 1 , 1 5
m . E s d e n o t a r q u e l o s m o m e n t o s M
B
y M e s e i n d i c a n c o n s u
X m e d i d o a p a r t i r d e l a p o y o B .
1 , 5
0 , 0 0 0 !
0 , 0 0 0 !
0 , 0 0 0
L a c a r g a u n i t a r i a s e e n c u e n t r a e n l a l u z B e .
2 9
-
losa CO:l:n:a sobre
La carga unitaria se encuentra en el tramo
Del del tramo BC:
o=o 20V BC -1(20 - X) - MB + Mc =O BC = 20 muestra los valores de la lnea de illfluencia de ia fuerza cortante
para JV,;)ivIVI de la carga unitaria en la luz BC tomadas arbitrariamente cada 2 m.
Los momentos y han sido tomados con su
La carga unitaria se encuentra en la luz CD.
Dei del tramo BC V BC = 20
Me MeCe o)20mt VBC VeD
muestra los valores de la de influencia de la fuerza cortante para rV'\'C'10,,,r,QQ de la carga unitaria en la luz CD tornadas arbi!rariamente cada 2 m.
30
-
d e i n f l u e n c i a d e v i g a s c o n t i n u a s m e d i a r t e m t o d o d e C , o s s
L a c a r g a u n i t a r i a s e e n c u e n t r a e n l a l u z D E ,
D e l e q u i l i b r i o d e l t r a m o
V = M B + M c
B C 2 0
M B M e
C=~)
2 0 m
V
B C
V
C B
L a t a b i a s i g u i e n t e ~uestra l O S v a l o r e s d e l a l n e a d e in~uencia d e l a f u e r z a c o r t a m e
p a r a f - j U C I U U I
d e l a c a r g a u n i t a r i a e n l a l u z D E to~adas arbi~raramen~e c a d a 1 , 1 5 m ,
9 , 2
1 0 , 3 5
~
,
"
0 , 0 3 8 0 , 0 1 9
0 , 0 0 0
0 , 1 1 8
0 , 0 6 1 , 0 , 0 0 0
0 , 0 0 8 , 0 , 0 0 4 0 , 0 0 0
L n e a d e i n f l u e n c i a d e l m o m e n t o e n e l c e n t r o d e l a l u z B e ; : ; , t : 1 L , L , I U I
P a r a l a c o n s t r u c c i n d e l a l n e a d e in~uencia d e ! m o m e n t o e n ! a s e c c i n u b i c a d a e n e l
c e n t r o c e a l U Z B e , s e d e b e n c o n s i d e r a r l a s s i q u i e n t e s d e l a c a r g a u n i t a r i a :
L a c a r g a u n i t a r i a s e e n c u e n t r a e n l a l u z A B ,
M
B
M G
e B G )
1 ~1 0 m
v
B C
V
G B
3 1
-
....~
Puente preter'sscc continua sobre a::cy::;s
Del equilibrio del trarno se obtiene:
2: - MB MG - = = O= 10 V BC - MG 1OV BC La tabla rnuestra los valores del rnornento flector en la para posi~
ciones de la carga unitaria cada 1,15 rn, en la AB,
'La unitaria se encuentra en la
carga un:taria se encuentra en el t:amo BG, O),
Del del trarno obtiene:
carga unitaria se encuentra en el trarno BC, O).
De! equilibrio del tramo GC, se obtiene:
Me MG
Cfr--,-~----'lJ) 10 m t
VGB
-
1
U f l e a s d e i n f i u e n c i a d e v i g a s c o n t i n J a s m e d i a m e ~tooo C r o s s
L a t a b l a m u e s t r a l o s v a l o r e s d e i m o m e n t o f e c t o r e n l a s e c c i n G , p a r a
c i o n e s o e l a c a r g a u n i t a r i a c a a a 2 , 0 ; n , e n l a l u z B C ,
L A C / \ R G A U N T A R A , S E E N C U E N T R A E N L A L U Z B C
r I
r X i
I 4 I 6 I 8 1 8
I M
B
I 0 , 0 0 0
' . 0 0 7 i 1 1 1 , 9 7 4 1 2 , 0 4 1 1 1 , 9 0 3 ! 1 , 6 1 : 1 , 2 2 3 i 0 , 7 8 8 1 0 , 3 6 3
0 . 2 6 3 1 0 , 5 9 4 1 0 , 9 4 5 1 . 2 6 8 ! 1 , 5 1 8 1 : . 6 4 5 I ~ . 6 0 5
e
M "
1 1 , 0 0 0
0 , 9 3 7 I 0 , 8 5 3 I ! 0 , 6 3 9 I 0 , 5 1 9 I 0 , 3 9 8 t 0 , 2 8 1 0 , 1 7 2 I O , O ? ?
I
I
M s I 0 , 0 0 0
0 , 3 6 5 I 0 , 8 8 0 I 1 , 5 4 1 I 2 , 3 4 5 I 3 , 2 9 0 , 2 , 3 7
1
1 1 , 5 8 6 0 , 9 3 2 I 0 , 4 0 ' "
I
L a c a r g a u n i t a r i a s e e n c u e n t r a e n l u Z C D ,
D e l d e l t r a m o B G , s e o b t i e n e :
M
B
M G
e s G )
~ 1 0 m ' t
"'~;:::YUt J / ' , (
- "
~
~'~:;";c-'- ~
V
a c
v
G B
:~lG = = - 1 0 V
B C
+ M
B
- M G - - M G = - l O V
s c
+ M s
L a t a b l a m u e s t r a l o s v a l o r e s d e ! m o m e n t o f 1 e c t o r e n l a s e c c i n G , p a r a
c l o n e s d e a c a r g a u n i t a r i a c a d a 2 , 0 m , e n l a l u z C D ,
L A CARGr~ UNl~I\RI.'" S E E~~CUENF....j'I : : 1 ' - 1 ~A L U Z C D
" 2 1 4
0 , 0 0 0
o
0 , 0 0 0 i
L a c a r g a u:ll~ara s e e n c u e n t r a e n l a l u z D E ,
D e l
o e l t r a m o 8 G , s e o b t i e n e
M M
B
Q
C e G )
f = {1 0 m
V
B C
V
G r J
3 3
-
Puente pre:ensaco ccr. :csa continua sobre a:;oyos
~M ==lOV -M -M -+L,.G BC B~G = lOVBC - M B
C) Lnea de influencia del momento fiector en el apoyo C.
La carga unitaria se encuentra en la luz AB,
Se supone un momento de en a -10 se efecta la distribucin de momer,tos, de la que se quo 01 ,-y;"...",,,,,j'" en el nudo e es igualO, 107 veces el momento en B.
indica las rwri"n",rlc)o de la lnea de influencia del momento cada1,15
m, (U1 O), cuando la carga unitaria se encuentra en la uz ~1c = -0,107 *11,5m
En las dos Siguientes se muestra la lnea de infll,encia de momento en el apoyo e as COnlO la linea de influencia del momento en el apoyo D. Adems se indica la POSIClon de !a lnea de ruedas del camin e 40-95 que produce el mximo momento el apoyo B y el centro de la luz
-
u t ' e a s
i n l u e n c : a d e v i g a s c o n t i n u a s m e d i a n t e m t o d o d e
0 , 0 1 8
D , 0 3 8
0 , 0 5 3
s i
~O066
, 0 , 0 7 3
0 , 0 7 5
0 , 0 7 0
0 , 0 5 6
0 , 0 3 3
I J J
1 - 1 0 9 4 5
i l
8~,645
0 , 5 0 4
1 0 0 5
1~
!
~0.424
!
n~li
1 , 2 2 3
1 - 1 1 , 6 0 5
' , , 6 4 5
~I
H 1 , 9 C 3
; J I
H1 . 5 1 8
1 . 2 6 8
0 9 4 5
~
' "
3 5
-
Puer,te prete"sado con losa continua sobre apoyos
o,3: 1
0,880 1,541 2,345~___--1
3,290
2,37 ""-----1 1 ,586 '.c----+
0,932
o
0,03961 0,0660 0,075 0,081 0,079 0,071 0,057 0,040
021 0, 1
0,462 0,550
0,564 !
0,520 :
0,434 ~
0,323
0,203 0,090
_-..J 0'1
-I'--..J - - - - - --+-_+-- 0'1
- - - - - - ,--+-_~ (11
lb,. :0022" ~ r D O,4~7- - - - i~ t-----T-
I \ 0622 I I S. g',~~____ j-l'-~1P, 0,874 -rr- ~
(J'1 ~0~6~? ::-1'- ,~ al 1 0.389 - - - -~~ :::.:
1,007,1,647--- ~ 1.974 -1'-2,041- - ~s
....
o. 1.903 -1'- ~
N
1.612-
1,223
0,788
0,363
O 0,26 ~Q
0,424 ro 3ro -.o0,504 o..:::l 0,517 e ~ -1'
ro o0..,0,478 ro
-
L N E A S D E I N F L U E N C I A D E L O S G I R O S Y D E S P L A Z A M I E N T O S
E N S E C C I O N E S D E T E R M I N A D A S D E V I G A S C O N T I N U A S
2 . 1 J D E F I N I C I O N E S
A l i g u a l q u e p a r a e l c l c u l o d e l a s l n e a s o e i n f i u e n c i a d e l a s f u e r z a s i ' l t e r n a s o o e a s
r e a c c i o n e s e n s e c c i o n e s d e t e r m i n a d a s d e e s p o s i b l e t a m b i n o b t e n e r l a
l n e a d e i n n u e n c i a d e l a d e f o r m a c i n o d e l a r o t a c i n d e u n a s e c c i n d e u n a v i g a c o n t i n u a ,
E r , e s t e c a s o s e t r a t a d e d e t e r m i n a r l a d e ' ' o r m a c i n ( g i r o o q u e u n a c a r g a
e n u n a s e c c i n d e u n a e s t r u c t u r a . P a r a e l e f e c t o
d e M a x v v e l l m e d i a n t e e l c u a l e s f c l m o s t r a r l a r e l a c i n q u e
e x i s t e e n t r e a d e f o r m a c i n o d u c i d a e n u n a s e c c i n d e t e r m i r l a d a d e u n a e s t r u c t u r a y l a
n o s ; c i n d e ' a c a r g a
2 . 2 ) L N E A D E I N F L U E N C I A D E L A D E F L E X I N 0 u E N L A S E C C i N U D E U N A V I G A
L a l n e a d e i n f i u e n c i a d e l a d e f e x i n e r u n a s e c c r d e t e r m i n a d a u d e u n a e s t r u c t u r a
c u a l q u i e r a e s a l a e l s t ' c a p r o d u c i d a u n a c a r g a p u n t u a l a p l i c a d a e , p u n t o u d e l a
; a FQr.nYf\I~'
E l d e l a s d e f o r m a d o n e s o e M a ' ( \ v e l l e n u n c i a d o
p r e c e d e n t e ,
m o s t r a 0 8 e n ' 8 2 , , s o r r : e t i d a a a c c i n
d e u n a c a r g a e n u n a s e c c i n
X . E s t a c a r g a
u r a de~exin 0 u e n u n a s e c c i n d e t e r m i n a d a u , d e l a m i s m a
-
Puen:e ore:ensaco con cor.tinua sobre apoyos
2.1. en el punto u producido por una carga unitaria en X.
Tmese ahora la viga de 2.2, sometida a la accin de una carga puntual unitaria en la seccin u de la misma Esta carga una en la seccin x a Del principio de Maxwe!1 es evidente que bXJ = bux'
A:r-~:::c----'-----+=------::-'7\
2.2. X producido po: una carga unitaria ClUlluCtUa
En .~rv,C"","" la lnea de influencia de la deformacin ou en una seccin x
u. de una es igual a la elstica que se obtiene al aplicar una carga unitaria en la seccin u.
Para la determinacin de la lnea de de la defexin de una viga, en una seccin determinada de ia basta con una carga unitaria en la sec
y mediante un mtodc elstico la elstica de a estructura, cual coincide con la lnea de influencia de la deftexin en la seccin especificada.
En eSTas condiciones es de disponer de .as siguientes que representan ecuacin de la de una viga 0Wy,nl,"CY"1"'''''''' apoyada, de seccin constante,
a 15 accin de una carga puntual P, a de! apoyo tal como se indioa en la 2.3.
P=1
------- L -------1-I
2.3. cv-,rnoiirlo a la accin de una carga
38
-
d e i n f l u e n c i a d e l O S g i r o s y d e s p ' a z a r n i e n t o s e n d e t e r r n i n a d a s d e c o n t i n u a s
E l a n l i s i s e s t r u c t u r a l s u m i n i s t r a l a s
e c u a c i o n e s , d e a c u e r d o c o n i n t e r v a l o
e n c o n s i d e r a c i n ,
P b X [ 2 ? ]
0 = - - 2 L ( L - X ) - b - ( L - X r
( O : s ; : s ; a )
6 E I L
0 = L~\U ~~J[2Lb- - ( L - x f ]
C a s : s ; L )
6 E I L
2 . 3 ) L N E A D E I N F L U E N C I A D E L A R O T A C i N S U E N L A S E C C i N U D E U N A V I G A
E n u n c i a d o : l a l n e a d e
d e l a r o t a c i n S t i e n u n a
u d e , m a
e s i g u a l a l a " " U Q l I , - , a
u u u c i d a p o r u n m o m e n t o u n i t a r i o
x
. . . . - ~~-::;; \ ~
~- L
_ - - - - ~M
~ ---~..c_ _ _ _ _
- V X u
2 . 4 . V i o a s o m e t i d a a l a a c c i n d e u n ' l l o m e n t o u n i t a r i o e n e l a p o y o ,
L a s i g u i e n t e e c u a c i n r e p r e s e n t a e l s t i c a d e u n a v i g a d e s e c c i n
, C + a n f o s o m e t i d a a l a a c c i n d e u n m o m e n t o + J e c t o r M e n u n o d e s u s a p o y o s ,
0 = 1 1 X ( 2 L
2
- 3 L X + X 2 ) ; ( O : s ; X : s ; L ) ,
6 E I L
E j e m p l o 2 . 1 . D e t e r m i n a r l a l n e a d e i n f l u e n c i a d e i a d e f i e x i n e n e l c e n t r o d e l a l u z
e ) d e l a v i g a s i m p l e m e n t e i n d i c a d a e n ' a E n o t r a s s e
d e s e a c o n o c e r c u n t o v a l e l a d e f t e x i n e n e l c e n t r o d e l a v i g a p r o d u c i d a p o r u n a
c a r g a p u n t u a l , q u e s e e n t r e l o s a p o y o s A y 8 ,
r----~ 4 m 4 m - - - l
m d u l o d e e l a s t i c i d a d d e l m a t e r i a l : E 2 * 1
3 9
-
Puente pretens3j:J :::cn i083 ccntinua sobre apoyos
Seccin rectangular de O,30O,5C (m).
Por consiguiente: El =2*106 *0,30*0,53 /12= 6250 trrf.
Ecuaciones para la deflexin en cualquier seccin X de la v;ga, producida por una carga puntual, unitaria, aplicada en el centro de la luz AB.
La carga unitaria se encuentra en el intervalo (O s X s 4) .
s: 1*4 X [ , ? ] -5 [T ? ]U = 16 (16-X)-16-(8-Xt =1333*10 X 16 (16-X)-16-(8-Xy6 * 6250 *8 \'
La carga unitaria se encuentra en el intervalo (4 s X s 8) .
() = 1*4(8-X)[48_(8_ X f] .
6 * 6250 * 8
La tabla siguiente muestra los valores de la lnea de influencia de la deflexin en el centro de la viga simplemente apoyada, de seccin constante y de 8 m. de luz.
Comprobacin: de acuerdo con el anlisis estructural cuando la carga unitaria se encuentra en el centro de la luz, la deflexin en ese punto (C) es:
pe 1*83 ()= -= ---= 0,001707 m = 1,707 mm
48El 48 * 6250
Este valor coincide con el obtenido en la lnea de influencia de Oc para X = 4 m.
La grfica siguiente muestra la lnea de influencia de la de~exin Oc (en mm.), para posiciones de la carga unitaria escogidas arbitrariamente cada 2 m.
A f-I----- 8*1 ------11 B
~~ N '" o ("') N~I'-. (01'-. Of'-w o ~_ L{) R g ......- (m)
40
-
L n e a s d e i ' l f l u e n c i a d e l o s g i r o s y d e s p : a z a m i e r t o s e n s e c c i o n e s o e l e r m i n a d a s d e v i g a s c o n t i n u a s
E j e m p l o 2 . 2 . E n c o n t r a r l a l n e a d e i n f t u e n c i a d e l a r o t a c i n 8 , \ e n 8 1 a p o y o A d e l a
d e c o n s t a n t e d e l e l e m o l o a n t e r i o r .
E l d e M a x v v e l i e s t a b l e c e q u e o a r a o b t e n e r l a I n e a d e i n f i u e n c i a d e l a
e n e l a o o y o A , b a s t a c o n a p l i c a r u n m o m e n t o u n i t a r i o e n e s e a p o y o y c a l c u l a r e l s t ' c e .
l a c u a l l a l n e a d e i n f i u e n c i a d e l a 8 A .
E l a n l i s i s e s t r u c t u r a l s u m i n i s t r a l a e c u a c i n p a r a l a e l s t i c a p r o d u c i d a p o r u n momer~:::
M = 1 , e n e l a p o y o A d e l a D a l a e s t u d i o . E s t a e c u a c i n e s d e l a f o r m a :
s . I \ 1 X 2 2
' = 8 , = - - ( 2 L - 3 L X + X ) .U
x
" , ~. 6 E I L
l o s v a l o r e s
s e o b t i e n e :
0 x ' = 8 , =
I X
( 1 2 8 - 2 4 X + X
2
) = 3 , 3 3 3 3 * 1 0 -
6
( 1 2 8 - 2 4 X + X
2
) .
, ,~, . > 6 * 6 2 5 0 * 8
m u e s t r a l o s v a l o r e s d e l a l n e a d e i n f i u e n c i a d e l a r o t a c i n 8 A e n e l
a p o y o
U U U " , U d p o r l a d e u n a c a r g a u n i t a r i a e n s e c c i o n e s t o m a d a s a r b i t r a
r i a m e n t e c a d a 1 m .
e s t r u c t u r a l s e c o n o c e q u e u n m o m e n t o u n i t a r i o e n
e n e l c e n t r o d e l a l u z d e l a v i g a A S u n a d e f l e x i n e n e l c e n t r e d e l a
l u z I G U a l a :
2
X = V L \ 8 \ = M I } = 1 * 8
1 6 * 6 2 5 0 = 0 , 0 0 0 6 4 r a d .
. 1 6 E I
V a l o r q u e c o i n c i d e c o n e i i n d i c a d o e n ! a t a b l a p a r a X 4 m .
L a
m u e s t r a l n e a d e i n f l u e n c i a d e r o t a c i n 8 A d e i a e l s t i c a e n e l
a p o y o A d e l a
b a j o
~10-5RAD
V e r i f i c a c i n : o t r a m a n e r a d e v e r i f i c a r l O S v a l o r e s d e l a l n e a d e I n f l u e n c i a d e l a r o t a c i n
8 A c o n s i s t e e n d e t e r T i i n a r l a r o t a c i n p r o d u c i d a e n e l a p o y o A p o r u n a c a r g a D u n t u a l u n i t a r i a
4 1
-
pretersado con contnua apcyos
apllcaoa en cualquier seccin, As oor si !a carga unitaria se encuentra en X = 2 ;n" la ro~acin en el apoyo A es, de acuerdo con el estructural:
Pal:(L + b)e = ,donde a 2 m y b 6 m, A 6LEI
Sustituyendo los valores numricos:
e = 1* 2 *6(8 + 6) = o00056 , A 6 *8 *6250 '
Valor que coincide con el indicado en la tabla orecedeme para X== 2 m.
Ejemplo 2.3. Obtener la lnea de in4uencia de de~exin en centro la viga de seccin indicada en la siguiente,
e
Datos:
(m). El = 2 * 1 * 0,2 * 2 =900
La lnea de influencia de la oelrleX:On en el centro de la luz de la indicada en la rm:,('crionto equivale a la elstica producida por una carga puntual unitaria, aplicada en el punto e de la viga.
El anisis estructural suministra las siguientes ecuaciones para clculo de la deflexin en X de la viga bajo estudio.
; (O s X s L/2) ,
42
-
L i n e a s o e
_ _ ~,'= s j ' d e s p , a z a m i e n t o s e n s e c c i o n e s d e t e n n i n a d a s , d e v i g a s c o n t i n u a s
p [ 3
6 = - - 5 X - 1 6 ( X
L / 2 ) - 3 I } X ]
; ( L / 2 s X s L ) ,
9 6 E I '
S u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s s e o b t i e n e :
6 =
3 _ 3 r } X ) = 1 ( 5 X
3
- 1 9 2 X ) ; ( O s X s 4 ) ,
9 6 E I 9 6 * 9 0 0
o - p _ [ S X
3
1 6 ( X - L / 2 ) - 3 L
2
X ] = 1 [ S X
3
1 6 ( - 4 ) - 1 9 2 X ] ; (4~Xs8),
9 6 E I 9 6 * 9 0 0
L a t a b l a m u e s t r a l o s v a l o r e s d e l a l n e a d e in~uencia d e l a d e f l e x i n d e l p u n t o
C , u b i c a d o e n e l c e n t r o d e l a ' u z A B d e l a v i g a b a j o e s t u d i o , e s c o q i e r o n a r b i t r a r i a m e n t e
s e c c i o n e s c a d a 1 m .
L a f I g u r a r e p r e s e n t a l a l i n e a d e i n f , u e n c i a d e l a d e f i e x i n e n e c e n t r o d e l a l u z
d e l a A B , E n o t r a s p a l a b r a s : l a g r f i c a r e p r e s e n t a l o s v a l o r e s d e l a d e f l e x i n
e n e l c e n t r o d e l a v i g a C l c u a n d o u n a c a r g a u n i t a r i a s e d e s o l a z a a l o l a r g o d e l a
u z A B , A s p o r c u a n d o l a c a r g a u n i t a r i a s e e n c u e n t r a e n l a s e c c i n X 2 m , ( X
m e d i d o a o a r t i r d e a p o y o A ) , a d e f l e x i n e n e l c e n t r o d e l a l u z e s 3 , 9 8 1 5 m m ,
' I : t 1 0 N N L . . 0
r o o
' I : t ~ . . q - 1 . ( ) N
. . q < O
( O r o o r o ( O
' r o
~ 0 ' ) . . : : - ~ o
C 0 l '
< " B
A~~si- ~" t t .
. _ - - - _ . .~
- - - / \
: : : :
~.~'.~--
( m m )
E j e m p l o 2 . 4 . Ob~ener l a l n e a d e i n f l u e n c i a d e l a d e f o r m a c i n e n e l c e n t r o D ) d e
l a l u z A B d e l a v i g a c o n t i n u a d e d o s d e s e c c i n c o n s t a n t e , mos~rada e n l a
D a t o s :
E = 2 * 1 0
6
S e c c i n :
( m ) ,
E I = 2 1 *
2 = 9 0 0
-
PL.er:te pre,ef1sado ccn con'inua spoyos
m
La lnea de in~uencia de la defexin en el o r0'TO(Orv'nrlo a la elstica producida para aplicacin de una carga en el
Una vez la carga unitaria en el O se a resolver la viga continua de dos luces. Mediante el empleo de un mtooo elstico es oosiole cO'lcluir que el momento en el apoyo B por carga unitaria de 1 l es igual a fibras
La figu:a resume las fuerzas intemas que se generan en la dedos como consecuencia de la apllCalCl)n de la carga unitaria en la seccin D.
0,05
El mtodo de la doble integracin permite obtener ecuacin de la de la continua. Para el erecto basta con obtener las fuerzas y momentos en Lina de las dos luces de la viga, tal como se muestra en la figura
2 m ,1 M 0,30f-~'--1 "'\ M A t '\ B..------~f--~--~~ I
0,425 V 0,05 f--------- X _ .._..-, 1--- X --:
Ecuacin diferencial de la elstica: El d2~ = EIY"= M . dX
-
a e : n f l u e r C i E i : : : ; ' y c l e s p a z a r n i e n t o s s e c c i o n e s d e t e r m i n a d a s d e v i g a s c o n t i n u a s
l r a m o A B .
M t o d o d e l a d o b l e i n t o r < Y " , , , i A n '
E I Y " = M = 0 , 4 2 5 X - l ( X - 2 ) C a )
E I Y ' = f : M d X = 0 , 2 1 2 S X
2
- O , S ( X - 2 ) 2 + e l ( b )
E I Y = f f M d X = 0 , 0 7 0 8 3 3 X
3
- 0 , 1 6 7 ( X - 2 / + e x + e
2
C e )
C o n d i c i o n e s c e b o r d e : X = - - y = X = 4 m - - Y = O .
l a s c o n d i c i o n e s d e b o r d e e n l a ( c ) , s e o b t i e n e :
= 0
e l = - 0 , 8 0 .
C~ y C~ e n l a e c u a c i n ( e ) , s e o b t i e n e e l s t i c a d e l a
e n e l t r a m o A B .
y = _ 1 _
C O
, 0 7 0 8 3 3 X
3
- 0 , 1 6 7 ( X 2 / - 0 , 8 0 X ) .
r T u e s t r a l o s v a , o r e s d e i a l n e a d e : n f i u e n c l a d e l a d e f l e x i n e n e l c e n t r o
d e l a l u z
( O ) s e c c i o n e s t o m a d a s a r b i t r a r i a m e n t e c a d a 0 . 5 m .
T r a n o B C .
M t o d o d e l a d o b i e i n t o r i Y c > , - . . i r . . n
E I Y " = ~I = 0 , 0 5 X 0 , 3 0
( d )
E I Y ' = 0 , 0 2 S X
2
- 0 , 3 0 X + e ,
C e )
E I Y = o
,
0 0 8 3 3 X
3
o
,
1
+ e l x + e
z
( E )
C o n d i c i o n e s d e b o r d e : X = - - y = X = 6 m - - Y = O .
e
l a s c o n d i c i o n e s d e b o r d e e n l a s e o b t i e n e :
2
= O
e l = 0 , 6 0 .
4 5
-
pretensadJ :;::n ,osa oontinua
y en la ecuacin se obtiene la elastlc:a de la estudio,
1 'o y = -(O,070833x" O,lSx- + O,60x),El
La tabla muestra los valores de la deflexin del en el centre de la luz AB, para ,JV'.'''''U' de la carga unitaria, en secciones tomadas arbitrariarrente cada 1 m" en la luz BC,
La muestra la lnea de influencia deflexin D, situado luz AB para posiciones de la carga unitaria cada rr. en la luz AB y luzBC.
Ejemplo 2.5. Obt8'ler la deflexin en una seccin situada a m, de apoyo A de la de luces :ndicada en la figura
camin e 40-95.
Sistema estatlc:o
de la viga,
180
E,e
0,17
1m)
0.45
causada por la lrea de ruecas del
A = 0,535,m2 m" Y, = 0,70 m
Y, =0,32 m
I = 0,060 m4
El = 2 * 1 06 * 0,06 = 120000 tm"
46
-
L n e a s d e : : 3
y d e s p l a z a m i e : l t o s s e c c i o r , e s d e t e r m i n a d a s d e v i g a s c o n t : n u a s
P R O C E D I M I E N T O
) u n a c a r g a u n i t a r i a e n l a s e c c i n F y r e s o l v e r l a
c o n t i n u a ,
d e t e r r r . i n a c n d e l o s m o m e n t o s e n l o s a o o y o s p o r l a o a r g a
u n i t a r i a e n a s e c c ; i r F d e l a v i g a s e ' l e v a c a b o e m p l e a d o u n e l s t i c o
t r a d c i o n a l ,
: J n a v e z e f e c t u a d a s l a s s e o b t i e n e n l o s s i g u i e n t e s m o
m e r : t o s " l e o t o r e s s o b r e a p o y o ,
0 , 2 3 1
C , _ _ _ . . _ _ _
A
d e l o s m o m e n t o s e n l o s a p o y o s , s e o b t i e n e n l a s f u e r z a s c o r t a n
t e s :
1~,5 m 1
0 , 0 0 6
U n a v e z r e s u e l t a l a v i g a , e s p o s i b l e d e t e r m i n a r l a e l s t i o a d e l a m i s m a p o r
e ' m t o C l c d e i a d o b l e i r t e q r a c : n , e l c u a l D a r t e d e e c u a c i n d i f e r e n c i a l d e i a
e , s t i c a ,
a l c o m o s e m L i e s t r a e n
C L i r s O S d e a n l i s i s
l a e c u a c i n d i f e r e n c i a l d e
l a e l s t i c a e s :
d
2
y
E l - - = 1 \ 1 -
" = M , e c u a c i n e n l a q u e :
c L X
2
E ~ m d u o d e e l a s t i c i d a d d e l m a t e r i a l .
i = m o m e n t o c e n t r o : d a l
d e I n e r c i a d e i a r r v , , " , i A n
M r T : o m e n t o f i e c t o r a c t u a n t e e n l a s e c c i n ,
4 7
-
Puente '1r"I"""""1,, cOr' losa scbre apoyos
y = deflexin de la y = feX ). 2) Encontrar la ecuacir de la elstica en cada uno de los tramos que compmen la
continua.
Luz AB,
Ecuacin de la e:stica,
EIY"=M= O,42SX-1(X-S,7S} (a) EIY'=fMdX = O,212SX2 - O,S(X - 5,7St + CI (b)
ElY= ffMdX= O,070833X3 -0,167(X-S,7S/ +C1X+C2 (e) Condiciones de borde: X = O-+ Y = O ; X = 11 ,5 m y=o
las condiciones de borde la ecuacin se obtiene:
=0 =-6,607.
{f}, se obtiene la OIQ0Tlr"=> de la viga en el tramo Be,
y = _1_(O,070833X -O,167(X -5,75)3 -6,607X).
El
Nota: cuando el trmino (X parntesis se vuelve cero de
La tabla muestra los valores de la lnea de influencia de la defiexin en para pO~3ic;l)nE)s de la carga unitaria en la luz cada 2,3 m,
Luz BC,
Ecuacin de elstica,
EIY"= M = 0,OS4X - 0,857 (d) EIY'= O,027X2 O,857X + Ce)
EIY = O,009X3 - O,4285X2 + CX + C2 (E)
-
U : l e a s d e infi~erD" : 3 ~;::s y e 1 d e t e r : ; i n a d a s d e v i g a s c o n t i n u a s
C o n d i c i o n e s d e b o r d e : X = O - Y = O X = 2 0 r o - Y = O .
l a s c o n d i c i o n e s d e b o r d e e n l a ( e ) , s e o b t i e n e :
= O
= 4 , 9 7 ,
C
2
C
1
y G " e n e c u a c i n s e o b t i e n e a e l s t i c a d e l a
e n e l t r a m o B C .
y = _ 1 ( O , 0 0 9 X - 0 , 4 2 8 5 X
2
+ 4 , 9 7 X ) .
L u z C O .
E c u a c i n d e l a e l s t i c a ,
E I Y " = 1 1 = - O , 0 1 5 2 X + 0 , 2 3 1
( g )
E I Y ' = - 0 , 0 0 7 6 X
2
+ 0 2 3 1 X + C
l
( h )
E I Y = - O , 0 0 2 5 3 X
3
+ O , 1 1 5 6 X
2
+ C , X + C
7
( i )
~ -
C o n d i c i o n e s d e b o r d e : X = O - Y = O X = 2 0 r o - Y = O ,
l a s c o n d i c i o n e s d e b c r d e e n l a ( 1 ) , s e o b t i e n e :
= 0 = - 1 , 3 , C
l
e y e n l a e c u a c i n ( i ) , s e o b t i e n e l a d e l a
e n t r a m o C O ,
1 '
Y = - ( O , 0 0 2 5 3 X " ' - 0 , 1 1 5 6 X "
7
1 , 3 X ) .
E l
L a t a b l a m u e s t r a l o s v a l o r e s d e l a l n e a d e d e i a d e f l e x i r , e n F p a r a
d e l a c a r g a unita~a l a l u z c a d a 2 . 0 I T ,
-
Luz DE.
EIY"= M = 0,006X -0,073 G) EIY'=,003X 2 -O,073X +C (k) EIY = O,OOlX 3 - O,0365X 2 + CX + C2 (1)
Condiciones de borde: =O-y =0 ; X=11,5 m - =0
as ccndicio18S de borde en la ecuacin se obtiene:
e 0,2875.
C, y en la DLAiUL'VI se obtiene la de la estudio, en ei tramo DE.
1 ' ?Y = -(O,OOlX" -O,0365X- +O,2875X).
La muestra la lnea de influencia de la deflexin en el punto F de la viga ce seccin constante.
Deformaciones en mm.
De la lnea de influencia de la deformacin vertical en el punto F se concluye que la mxima producida por el la lnea de ruedas del camin C40-95 es:
50
-
L n e a s d e i n i u e n c i a y d e s p l a z a m i e n t o s e n d e t e r m i n a d a s d e v i g a s c o n t i r u a s
p = 7 , 5 ( 0 , 0 0 2 8 + 0 , 0 0 3 6 + 0 , 1 8 1 8 1 + 0 , 1 4 5 3 ) + 5 ( 0 , 0 2 5 8 + 0 , 0 0 2 9 ) = 2 , 6 9 2 m r r ,
M x i m a p o r c a r g a v i v a :
' A 7 . 6 . 6 . 3 . ~Limitacin d e l a s d e f l e x i o n e s d e ' a C u a n d o s e c a l c u l e n
d e f i e x o n e s , e s t a s d e b e n l o s s i g u i e n t e s ItJljUI~llU0,
A . 7 , 6 . 6 . 3 . 1 , - L o s e l e m e n t o s d e e s t r u c t u r a s o c o n t i n u a s d e b e n a i s e r l a r s e
p a r a q u e l a d e b i d a a l a c a r g a v i v a d e s e r v i c i o m s e l n o s e a m a y o r q u e
/ 8 0 0 d e l a l u z , e n p u e n t e s e n r e a s u r b a n a s u s a d o s p o r p e a t o n e s : e n t a l c a s o
l a r e l a c i n n o d e b e s e r m a y o r q u e 1 / 1 0 0 0 ,
A . 7 . 6 . 6 . 3 , 2 . - L a d e f 1 e x i n d e I c s v o l a d i z o s d e b i d a a a c a r g a v i v a d e s e r v i c i o m s i m
p a c t o d e b e s e r m e n o r q u e 1 / 3 0 0 d e ! a d e l d o n d e h a v a t r f i C O
d e o e a t o n e s , c a s o e n e c u a l l a r e l a c i n n o d e b e s e r m a y o r q u e 1 / 3 7 5 " .
L _ 2 0 0 0 0 = 2 0 m m > 2 , 6 9 2 m m
Ol\~X = 1 0 0 0 - 1 0 0 0
,
" T - f ;
-
CAPTULO TERCERO
EJEMPLO DEL DISEO DE UN PUENTE DE 4 LUCES CON LOSA CONTINUA SOBRE APOYOS PARA CARGA VIVA
Se desea disear ia viga de 20 m. y la armadura sobre el apoyo del de 4 luces indicado en la figura
Se criterios de diseo contenidos en el Colombiano de Diseo Ssmico oe Puentes -1995.
1. Seccin longituoina
~li,5m-~--20m------20m----l1,5m~
2. transversal del puente.
1,2 3.65 3.65 1.2
0,17 (m)
3. Dimensiones de la viga nrotcnCOQr'Q
i..B muestra las dimensiones supuestas de la viga pretensada.
-
E ! e m p ! o
C l - e n t e d e 4 l u c e s c o n
c o n t i n u a s o b r e a o o y c s p a r a c a r g a v i v a
_ , e
0 , 3 0
~~------I
0 , 1 4
p , o ?
I
! 0 , 3 5
0 , 8 5
0 , 1 7
0 , 1 4
0 , 1 5
( m )
4 , M a t e r i a l e s ,
'~n~y~+~ d e l a s
R e s i s t e n c i a d e l c o n c r e t o e~ e l m o m e n t o d e l a t r a n s f e r e n c i a :
( = 3
1
5
e l
R e s i s t e n c i a e s p e c i f i c a d a o e l c o n c r e t o a l o s 2 8 d a s :
: ( = 3 5 0
C o n c r e t o d e l a ' o s a ,
r e = 2 4 5
A c e r o d e p r e e s f u e r z o .
S e e s c o g e n a r b i t r a r i a r r e n t e c a b l e s d e
d e
2 5 0 ( k s i ) , d i m e t r o
n o m i n a l 1 , 1 1 r r m , c o n f o r m a d o s D a r 7 a l a l T b r e s .
D a t o s d e l f a b r i c a n t e d e l a c e r o d e l
C a r g a d e r o t u r a : 1 2 2 5 0
C a r g a m x i r l a d e t e n s i o n a m i e n t o = 8 5 8 9 k g .
r e a d e l c a b i e d e 1 / 1 6
N
=
5 . d e l p u e n t e .
C a m i n d e d i s e o : C - 4 0 - 9 5 .
-
r:;retersajo cor: c:::nt;nua sobre
Grupo I! de
Grupo' TOG::JS los cuer.tes y urcancs perler.eajontes a carreteras trcncales, Puentes esenciales ,'as ucbanas, at::e~as y puer.'es que 8::::::0S0 a rrn\!oc',"'C:
Grupo" Puentes
de suelo:
Jbcacn del ouente: p..,=
Puente de cuatro luces.
Tabla A.3.5-2 i Categoras de comportamiento ssmico (CCS) .
Coeficiente de aceleracin Clasificacin por importancia f\ I iI ! tll
p., s 0,09
0,09 < A, s 0. ' 9
CCS-B
ccs-c .
CCS-A
CCS-B I CCS
CCS-B
0,19 < A s 0.29 CCS-C CCS-C CCS-C 0,29
-
= e m p o d e l
: : 8 4 I t . ; c o s c o n l o s a c o n t n u a s o b r e a p o y o s p a r a c a r g a v i v a
P r o c e d i m i e n t o r r n i m o d e a n l i s i s s S f T , i c o :
d e 4 C C S - C : P A S - 1 ,
6 , R e s u m e n d e l p r o c e s o c o n s t r u c t i v o ,
L a s f i g u r a s r e s u m e n e l p r o c e s o c o n s t r u c t i v o ,
S e c u e n c i a o e c o n s t r u c c I n
~ ~ ~
a ) V I g a s p r o o s f o r z a d a s I z a d a s c o m o v i g a s s i m o t e s
E n e s t a e t a p a l a s t r a b a j a n c o m o a p o y a d a s y d e b e n
e s t a r e n c a p a c i d a d d e s o p o r t a r , a d e m s d e s u p r o p i a p e s o , e l p e s o d e l a l o s a c u a n d o
e s t a n o h a
b ) S e f u n d e l a l o s a y e l d i a f r a g m a s o b r e a p o y o
E n e s t a e t a p a l a s v i g a s p r e t e n s a d a s c o m o c o n t i n u a s y d e b e n s o p o r t a r
e l p e s o d e l a c a r g a v i v a r n s e l o e s o d e l a s c a r g a s s o b r e i m p u e s t a s
a s f l t i c a , L a c o n t i n u i d a d s e l o g r a f J n d i e n d o l a l o s a e n f o r m a r y ; n t " n i i t i " o
' o s d i a o r a m a s t r a n s v e r s a l e s q u e s e p r o y e c t a n s o b r e l o s a p c y o s d e l
L a f i g u r a s i g u i e n t e m u e s t r a u n d e t a l l e d e l a a r r T . a d u r a n o t e n s i o n a d a s o b r e a p o y o ,
50~ ~
! I
( m I T ' )
g !
" '
L
5 6
-
Puente pretensado con losa ccntinua scbre a::oyos
Las amplan las definiciones precedentes e indican la manera como se integra la losa del puente con los sobre apoyo para formar una unidad estructura: que em en capacidad de les momentos que se presentan sobre apoyo, debidos a viva ms las cargas sobrElmpuestas
Detalle del diafragma sobre apoyo
Seccin transversal Planta de un diafragma tpico
De la viga en el d'afragma
Nota: en el caso de cables rwc,tcl.,"',r1r"" rectos hacia los apoyos, se acostumbra a revestir las barras de acero tensionado con un material que no adhiera al concreto. Esto con e de disminuir los momentos en los apoyos de as simplemente
56
-
: : j e m p i o
O,S-3~ - : : ; 8 - ' l p u e n t e 4 : u c e s c C l
c o n t i n u a s o b r e a p o y o s p a r a c a r g a v i v a
A r m a d u r a p a r a m o m e n t o p o s i t i v o - d e t a l l e c o n s t r u c t i v o
F i s u r a s u p u e s t a
E s q u e m a d e f a l l a
2 5 ' ( a p r o x . )
A c e r o d e p t S r u f Z O n o a d h r i d o h a c ! a e l 8 ; J O y O ~Dtalja-
7 . E s f u e r z o s e n e l c o n c r e t o e n e t a p a d e s e r ' l i c i o d e a c u e r d o c o n e l
d e D i s e o S s m i c o d e Puer~tes C C D S P - 9 5 .
A . 8 . . 2 . 1 . 2 - C c n c r e t o
E s f u e r z o s t e m p o r a l e s a n t e s d e p r d i d a s c e b i d a s a l f i u j o p l s t i c c y r e t r a c c , n d e I I d \ . . l U d U U .
C o m p r e s i n
~;iemrxos p r e t e n s a d o s
i V 1 i e m b r o s p o s t e n s a d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e r o m o m e n : o d e l a t r a n s f e r e n c i a .
Z o n a a t e n s i n p r e c c M o n m i d a . N o s e e s p e c i f i c a ' ! e s f u e r z o s a d m i s i b l e s t e m p o r a l e s . V e r
n 0 m e r a l A , 8 . 7 . 2 . 1 . 2 . 2 . P a r a e s f u e r z o s a d m i s i b l e s d e s p u s d e p r d i d a s .
R e f u e r z : ) n o a d ' l e r l d o
C u a n d o l o s e s t J e r z o s a t e n s i n c a : c u : a d o s e x c e d a n e s t e v a i : ) f d e b e c o l o c a r s e r e L : e r z o a d h e r i d o
o a r a r e s l s + i r l a f u e r z a t c t a l j e t e r . s i r s o b r e e l c o n c r e t o 0 a l c u l a d a b a j o s u p u e s t o d e
s e c c i n n o
a g i e t a j a .
E l mxir~o e s L : e r z o : e n s i n n o d e b e e x c e d e r 2 , 0 v f c
A . 8 . 7 . 2 . 1 . 2 . 2 - E s f u e r z o s b a j o c a r g a s d e s e r v i c i o d e s p u s d e q u e o c u r r e
r
, l a s p r d i d a s d e p e n d i e n t e s
d e : t : e r n p o .
C c r n p r e s : n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 , 4 0 f c
T e n s : n e n i a z o n a preco~:p:irnida a t e r s i r
P a r a m i e m b r o s 0 0 n r e : u e r z o a d h e r i d o . . . . . . .
P a c a c c r . d ' c i o n e s s e v e r a s d e e x p o s i o i ' l a l a c o r r o s i n . c o r r o l a s z o n a s d e l a c o s t a . . . . . . . . . .
b ; P a r a r r d e m b r : : l s s i : , r e f u e r z o a d ' 1 e . d o
E n c o n s e c u e n c i a :
: : s f u e r z o a d m i s i b l e e n e l c o n c r e t o a c o m p r e s i n d e c u e o c u r r e n l a s p r d i d a s :
- 1 4 0 0 - 1 4 0
E s f u e r z o a d m i s i b l e e n e l c o n c r e t o e n e l i n s t a n t e d e l a t r a n s f e r e n c i a : 5 0
= - 1 8 9 0 V m
2
= - 1 8 9
: : s f J e r z o a d m i s i b l e e n e l c o n c r e t o a t r a c c i n d e s p u s d e q u e o c u r r e f l l a s p r d i d a s :
1 , 6 V ' 3 5 0 3 0
5 7
-
Puente pretensado continua sobre apoyos
PROCEDIMIENTO
1JOBTENER LAS PROPIEDADES GEOMTRICAS DE LA SECCiN.
Las propiedades r10(,rY1,:;:,tn(~Cl" de la seccin que deben obtelerse oara la correcta apiicacin de la frmula de los esfuerzos combinados son:
A de la seccin transversal de la viga.
I ::= Momento centroidal de inercia de 18. seccin.
Yi ::= Distancia entre el centroidal de la seccin y la fibra inferior ms
Distancia entre el centroidai de la seccin y la fbra superior ms o.:v!o.ua.
Por otra parte, la frmula de los esfuerzos combinados por las cargasV'-l,..lvICJVO externas y por la fuerza ce es:
P PeY MY
-
E j e m p l o d i s e n o u n p u e n t e d e 4
c o n l o s a c c r t i n u a a p o y o s p a r a
v i v a
( m )
/ < > - - - ~=I
0 , 1 4 1
0 . 0 7 t
~
0 , 4 7 5
.~
t O , 1 5
E n r . r - . r . . . . r " " l
l a s p r o p i e d a d e s g e o m t r i c a s d e l a s o n :
d e l a s e c c i n r r a n s y e r s a l :
A = 0 , 3 0 * 0 , 1 4 + 0 , 0 6 5 * 0 , 0 7 + 0 , 5 6 * 0 , 1 7 + 0 , 1 4 * 0 , 1 4 + 0 , 4 5 0 , 1 5 = 0 , 2 2 9 m
2
P o s i c i n d e l c e n t r o i d e d e l a s e c c i n s i m p l e :
~ - , - -.-':~~-':"'------'- . _ - ' - - - -
- - = : . 2 . . : ' ~"~
Y = .'::'.:::~-'2.::.~~:'::"':-2~~_--,-_ 0 , 2 2 9
Y = 0 , 3 7 5 m
Y , = 0 , 4 7 5 m
: y r o m e l l t o c e n u o i d a l d e i n e r c i a d e l a s e c c i n
D e l t e o r e m a d e S t e n e r :
1 = .':.'~.'.-'- ' + 0 3 0 * 0 1 4
+ 2 (=.:........::'~+0,5~0,065*0,07 0 , 3 1 1 ' ) +
1 2 ' ,
3 6
1 A 4
-'---~~'~-+0,17*O 5 6 * 0 0 5 5
2
+ 2 (-'.~+O 5 * 0 1 4 * 0 . 1 4 "
+
1 2 " 3 6 ' "
, ~
.~+0,15*0,45x
= 0 , 0 1 7 m
4
1 , 2 ) P r o p i e d a d e s g e o m t r i c a s d e l a s e c c i n c o m p u e s t a ,
P a r a e l c c u i o d e l a s p r o o i e d a d e s d e l a e s n e c e s a r i o t e n e r e n c u e n t a
e i a n c h o d e l a l o s a q u e r e s i s t e l a s solici~acones p o r f l e x i n s o b r e e l p u e n t e e n
s e r v i c i o . A e s t e r e s o e c t o e l C d i a o C o i o m b i a n o d e D i s e o S s m i c o d e P u e n t e s
" A 7 . 6 . 7 . 1 . 1 .-EI31~cho d e p l a c a . e f e c t i v o c o m o d e V i g a T . d e o e
