Skysčių mechanika –hidrostatikos ir hidrodinamikos elementai

Skysčio judėjimo ir mechaninio poveikio charakteristikos:

1) Skysčio tūris, masė ir tankis.2) Skysčio mechaninio poveikio matas – slėgis.3) Skysčio tekėjimą nusako greičio vektorių laukas.4) Skysčio pernešimas – masės srautas.5) Skysčio energija - kinetinė ir potencinė.6) Skysčio klampa – dinaminis klampos koeficientas.7) Skysčio paviršiaus įtempimas.

Skysčių mechanika arba hidromechanika nagrinėja skysčių judėjimo dėsningumus.

Skysčio, kaip mechaninio objekto, savybės:

1) Skysčiai turi tik apibrėžtą tūrį, tačiau neturi apibrėžtos formos.2) Skysčiai kaip ir kietieji kūnai turi masę.3) Skysčiai veikiami išorinio poveikio pasižymi slėgiu.3) Skystis teka.4) Realūs skysčiai pasižymi vidine trintimi, vadinama klampa.5) Skysčiams būdingas laisvasis paviršius.6) Skysčių judėjimas ir mechaninis poveikis pasižymi statiniais irdinaminiais dėsningumais.

Skysčių mechanika

Viena iš svarbiausių skysčio savybių – slėgti sienelės paviršių.Jėga, veikdama skystį, dėl jo takumo persiskirsto per visą skysčio paviršiausveikiamą plotą. Šio poveikio kiekybinė charakteristika vadinama slėgiu.

Slėgis – jėga veikianti paviršiaus ploto vienetą statmena kryptimi.

daleiskim: , iš čia , o

jeigu jėga per visą plotą pasiskirsto tolygiai, tai: iš čia

slėgio matavimo vienetas:

Slėgis yra skaliarinis dydis.

Kai skysčiai slegiami išorine jėga, tai ji į visus skysčio taškus perduodamavienodai. Slėgio nepriklausomumas nuo veikiančios jėgos krypties išreiškiamas

Paskalio dėsniu, kuris teigia, kad nejudančio skysčio kiekviename jo taške slėgisvisomis kryptimis yra vienodas.

Skysčio dinaminis parametras - slėgis

,dSdFp = ,pdSdF = ,∫=

S

pdSF

,pSpdSFS

== ∫ ,SFp =

222

1111

mskgm

mNPa ==

Skysčių mechanika

Inde esančio skysčio slėgis į dugną išreiškiamas:

Skysčio stulpelį slegia ir atmosferos slėgis, todėlsunkio jėga:

Hidrostatikos elementai – hidrostatinis slėgis

,SPp

∆∆

=

SpmgP atm∆+∆=∆

stulpelio skysčio masė: ShVm ∆=∆=∆ ρρ

Tada slėgis:

ghpSPp atm ρ+=

∆∆

=

Kadangi skysčio tankis ir laisvojo kritimo pagreitis duotoje Žemės vietojepastovūs, slėgis skystyje tiesiog proporcingas gyliui.

ghphs ρ= Dydis, vadinamas hidrostatiniu slėgiu.

Skysčių mechanika

Į indą panardintas ritinėlis.Slėgio jėgos, veikiančios į ritinėlio šonus, kompensuosviena kitą.Viršutinį ir apatinį ritinėlio pagrindą veiks hidrostatinė jėga:

Hidrostatikos elementai – Archimedo jėga

Šių jėgų atstojamoji bus lygi jų sumai:

FA vadinama Archimedo keliamoji jėga. Ji nukreipta priešinga laisvojo kritimopagreičio krypčiai.

Archimedo jėgos dydį nusakome dėsniu: į skystį (dujas) panardintą kūną veikiakeliamoji jėga, lygi išstumto skysčio (dujų) sunkiui.

Ritinėlį veikia ir sunkio jėga, nukreipta žemyn. Todėl atstojamoji jėga:

Galimi trys variantai:

Pirmu atveju kūnas plūduriuoja, antru “kybo” skystyje ir trečiu – skęsta.

ShgF 11

ρ= ShgF 22

ρ=

)()( 122121 hhSghhSgFFFA −−=−=+=

ρρ

PFF A

+=

PFirPFPF AAA

⟨=⟩ ,

Skysčių mechanika

Skysčio tekėjimą nusako greičio vektorių laukas:kuris yra būti skysčio dalelės laiko ir padėties funkcija.

Jeigu greičio vektorių laukas laikui bėgant nesikeičia, skysčio tekėjimą vadinamestacionariuoju.

Skysčio tekėjimas vaizduojamas srovės linijomis,kurių liestinių kryptis sutampa su skysčio daleliųtekėjimo greičio vektoriais, o linijų tankis proporcingasskysčio tekėjimo greičio moduliui.

Uždarame paviršiuje tekantis skystis vaizduojamasvadinamame srovės vamzdelyje

Hidrodinamikos elementai – skysčio judėjimas

Skysčio kaip visumos judėjimą, dėl jo lengvos formos kaitos, vadiname tekėjimu.

),( trfv =

Skysčių mechanika

Hidrodinamikos elementai – tolydumo lygtis

Tekant skysčiui erdvėje iš vienos vietos į kitą pernešamamedžiaga.Medžiagos pernešimui apibūdinti vartojamamasės srauto sąvoka.

Masės srautas – fizikinis dydis, kurio skaitinė vertė lygi per įsivaizduojamopaviršiaus plotą ir per laiko vienetą perneštai masei:

dtvSddm ρ= tada elementarus srautas: ,pilnas:vSddtdmd m

ρ==Φ ∫=ΦS

m vSd ρ

Pritaikykime masės srauto skaičiavimą pro uždarą paviršių. Tam reikia integruotmasės srautą per visą uždarą paviršių. Įtekančio skysčio srautas yra neigiamas, oIštekančio teigiamas. Stacionariai tekant skysčiui, uždaro paviršiaus ribojamametūryje skysčio masė nekinta. T.y. Masės srautas pro uždarą paviršių lygus nuliui.

∫∫ ===ΦSS

m vSdvSd 0 ρρ kadangi: , const=ρ ∫ =S

vSd 0

Kadangi per srovės vamzdelio šonines sieneles masė nepernešama, tai:

02211 =∆+∆− SvSv arba: , o tai reiškia, kad:2211 SvSv ∆=∆ .constSv =∆

- Tolydumo lygtis

Skysčių mechanika

Hidrodinamikos elementai – Bernulio lygtis

Skysčio tūris vamzdelio dalyje BCDE pasislenka įB1C1D1E1. Tūriai ∆V1=∆V2= ∆V.

Tūryje B1C1DE mechaninė energija nesikeičia.Todėl pasislinkus iš BCDE į B1C1D1E1 bendrasenergijos pasikeitimas yra lygus ∆V1 ir ∆V2 tūriuoseesančio skysčio mechaninės energijos skirtumui.

Kinetinės energijos 1 ir 2 padėtyje skirtumui:

Potencinės energijos 1 ir 2 padėtyje skirtumui:

Pilnas energijos pokytis:

,22

21

211

1VvvmWk

∆==ρ

ir ,22

22

222

2VvvmWk

∆==ρ

111 VhgmghWp ∆=∆= ρ ir 222 VhgmghWp ∆=∆= ρ

)()( 112212 pkpk WWWWWWW +−+=−=∆

Skysčių mechanika

Hidrodinamikos elementai – Bernulio lygtis

Pilnutinės mechaninės energijos pokytis:

∆+

∆−

∆+

∆=∆ 1

21

2

22

22VhgVvVhgVvW ρρρρ

Pagal energijos tvermės dėsnį bendras sistemos mechaninės energijos pokytis yralygus išorinių nepotencialinių jėgų atliktam darbui:

222111 SpFirSpF ∆=∆= kadangi jėgos F2 kryptis yra priešinga judėjimui,ji atlieka neigiamą darbą. Tada darbai yra:

VpsSpsFA ∆=∆∆=∆=∆ 1111111 ir , o suma:VpsSpsFA ∆−=∆∆−=∆−=∆ 2222222

WVpVpAAA ∆=∆−∆=∆+∆=∆ 2121 įstatę gauname:

VpVhgVvVpVhgVv∆+∆+

∆=∆+∆+

∆22

22

11

21

22ρρρρ

ir

22

22

11

21

22pghvpghv

++=++ ρρρρ .2

2

constpghv=++ ρρ

Skysčių mechanika

Hidrodinamikos elementai – Bernulio lygtis

Bernulio lygtis bendram atvejui.Jeigu vamzdelis yra horizontaliojepadėtyje:

1 narys vadinamas dinaminiu slėgiu, 2 hidrostatiniu, 3 statiniu slėgiu.

Statinis slėgis yra skysčio slėgis į sienelėspaviršių.

Tekant skysčiui vamzdžiu, susiaurėjimo vietoje jogreitis padidėja, padidėja ir dinaminis slėgis,tačiau pagal lygtį matyti, kad statinis slėgis turisumažėti:

Parinkus atitinkamus matmenis ir išorinį slėgį, statinis slėgis gali pasidarytimažesnis už atmosferinį.

.2

2

constpghv=++ ρρ .

2

2

constpv=+

ρ

Skysčių mechanika

Bernulio lygtis – Ištekančio skysčio greitis

Ištekant skysčiui, jis teka visame inde.Tekančiame skystyje išskiriame „srovėsvamzdelį” (jis pavaizduotas punktyrinelinija).

Skysčio paviršiuje visų dalelių greičiai v0vienodi ir nukreipti žemyn.

Išoriniai slėgiai, veikiantys laisvą paviršių ir ištekantį skystį kiaurymėje, yravienodi ir lygūs p0.

Bernulio lygtis šiai sistemai bus:

Tačiau, kadangi:

Iš Bernulio lygties ištekėjimo greitis yra: Toričelio formulė

0

2

00

20

22pgh

vpghv

++=++ ρρ

ρρ

0vv⟩⟩)(2 0 hhgv −=

Iš Toričelio formulės matosi, ištekančio skysčio pro mažą angą greitis priklausotik nuo aukščių skirtumo, nepriklauso nuo tekėjimo krypties ir yra lygus laisvaikrentančio iš h0-h aukščio kūno greičiui.

Skysčių mechanikaTekančio skysčio reakcijos jėga

Reakcijos jėgos aprašymas paremtas skysčio judesiokiekio tvermės dėsniu: išorinių jėgų, veikiančiųtekančio skysčio daleles išskirtame tūryje, suma yralygi tame tūryje esančio skysčio judesio kiekio kitimogreičiui.

Į uždarą paviršių įtekantis arba iš jo ištekantis masės srautas:

Masės srautas yra skysčio masė, pratekėjusi plotą, per laiko vienetą:Padauginus jį iš greičio, gausime iš tūrio ištekančio ir įtekančio skysčio impulsus:

Ištekančio ir įtekančio į uždarą tūrį pilnų impulsų skirtumas yra lygus uždarą tūrįveikiančių jėgų atstojamajai:

FpvSdvvSvdppSS

=∆=−=− ∫∫ 1111 coscos αραρ

Skysčių mechanikaTekančio skysčio reakcijos jėga

Atstumas nuo kiaurymės iki skysčiopaviršiaus h. Kai indas platus, o anga maža,pagal Bernulio lygtį skysčio tėkmės perkiaurymę greitis:

, o:

Pagal III Niutono dėsnį į čiaupą veikianti reakcijos jėga R bus priešinga skysčiotekėjimo krypčiai ir atliks darbą.

Ši jėga vadinama reaktyviąja jėga.

FR

−=

Kai angos skerspjūvio plotas S0, tai per sekundę ištekančio skysčio judesio kiekio pokytis:

Skysčių mechanikaTekančio skysčio reakcijos jėga

Impulsas yra vektorinis dydis.Kai į tūrio elementą įtekančio ir ištekančio skysčioimpulsai yra skirtingų krypčių, tai reiškia, kadimpulsas kinta ir jo kitimas sukelia reakcijos jėgą.

Per skerspjūvį S į čiaupą įtekančio skysčio pervieną sekundę impulsas yra:

Per sekundę iš čiaupo ištekančio skysčio impulso pB vektoriaus kryptis sutampa su vB ir yra statmenas pA. Šių dviejų vektorių skirtumas yra lygus išorinių jėgų atstojamajai – F.

Skaliariškai:

Pagal III Niutono dėsnį į čiaupą veikianti reakcijos jėga R bus priešingos kryptiesir eis per judesio kiekių krypties linijų susikirtimo tašką O.

FR

−=

Skysčių mechanikaSkysčių vidinė trintis

Realūs skysčiai pasižymi klampa, dar vadinamavidine trintimi.

Vidinė trintis susidaro tarp tos pačios medžiagossluoksnių, judančių skirtingais greičiais.

Vidinės trinties jėgos modulis yra proporcingassluoksnių greičio gradiento modulio ir sluoksniųlietimosi ploto sandaugai:

η- vadinamas dinaminės klampos koeficientu. Jis skaitine verte lygus vidinėstrinties jėgai, veikiančiai tarp skysčio sluoksnių, kurių lietimosi plotas lygusvienam kvadratiniam metrui, kai greičio gradientas lygus sekundei minuspirmuoju laipsniu.

η– priklauso nuo skysčio prigimties ir temperatūros.

F

SdzvdF

η=

Skysčių mechanika

Magnuso reiškinys

Skysčių mechanikaSkysčių tekėjimo tipai

Jeigu tekantį skystį galima suskirstyti į vienas kitoatžvilgiu judančius ir tarpusavy nesimaišančiussluoksnius, tokį tekėjimą vadiname laminariniu.

Jeigu tekant skysčiui susidaro sūkuriai ir jissusimaišo, tokį tekėjimą vadiname turbulentiniu.

Tekėjimo pobūdis priklauso nuo nedimensinio dydžio,vadinamo Reinoldso skaičiumi:

Skiriamasis Reinoldso skaičius, skiriantis laminarinį tekėjimą nuo turbulentinio,vadinama kriziniu Reinoldso skaičiumi.

Jis priklauso nuo vamzdžio formos, sienelių šiurkštumo, sutiktų kliūčių formos.

ηρvl

=Re

Skysčių mechanika

Klampaus skysčio tekėjimas apvaliu vamzdžiu

Išskirkime vamzdyje, kuriame stacionariai tekaskystis įsivaizduojamo cilindro tūrį.Stacionarumo sąlyga tūryje yra:

rldrdvrpp πηπ 2)( 2

21 =− Kadangi greitis mažėja nuo centro:drdv

drdv

−=

pertvarkius:

lrpp

drdv

2)( 21

η−

=− rdrlppdv

2)( 21

η−

−=tada greitis: suintegravus:

Crlppdrr

lppv

r

+−

−=−

−= ∫ 221

0

21

4)(

2)(

ηηkonstantą parenkame pagal sąlygą:

( ) 0== Rrv iš to:

221

4)( R

lppC

η−

= tada greitis: )1(4

)()(4

)()( 2

22212221

RrR

lpprR

lpprv −

−=−

−=

ηη

Skysčių mechanika

Klampaus skysčio tekėjimas apvaliu vamzdžiu

Skysčio greitis vamzdžio centre:

221

4)()0( R

lppv

η−

=

)1(4

)()(4

)()( 2

22212221

RrR

lpprR

lpprv −

−=−

−=

ηη

)1()( 2

2

0 Rrvrv −=

Kad gauti pilną srautą, pratekėjusį per skerspjūvio plotą reikia integruoti greitįper visą plotą:

002

02

2

0 21

212)1(2)( SvvRrdr

RrrdrrvQ

RR

==−== ∫∫ πππ

Įstačius v0 į prieš tai išraišką, gauname:

lRppQ

8)( 4

21

ηπ−

=

Įstačius v0 į pradinę išraišką, gauname:

tai per vamzdžio skerspjūvio plotą per vieną sekundępratekėjusio skysčio kiekis (debitas).Vadinama Puazeilio formulė.

Skysčių mechanika

Skysčio paviršiaus įtempis.

Skysčio viduje esančias molekules veikiajėgos iš visų pusių, todėl jos kompensuojaviena kitą.

Skysčio paviršiuje esančias molekules veikia nekompensuotos sąveikos jėgos.Jos yra nukreiptos į skysčio vidų ir paviršiaus liestinės kryptimi siekdamossumažinti paviršiaus plotą.

Šios jėgos vadinamos paviršinės įtempties jėgomis.

Dėl nekompensuotų jėgų (potencialinių jėgų) veikimo paviršinės molekulės turipadidintą potencinės energijos kiekį.

- vadinamas paviršinės įtempties koeficientu, yra lygus laisvojo paviršiaus 1 m2 potencinei energijai. Arba lygus jėgai, veikiančiai skysčio paviršių ribojančio kontūro ilgio vienetą

Skysčių mechanika

Skysčio paviršiaus įtempis.

Pažymėkim jėgą, veikiančią kontūro ilgiovienetą .

Pilna jėga:

Sakykime kontūro viena pusė pasislinko dydžiu atlikdama paviršiauspadidinimo darbą:

Tada pilnas darbas ištempiant paviršių per visą plotą.Kadangi paviršinės įtempties jėgos yra potencialinės, tai darbas, atliktasįveikiant potencialines jėgas yra lygus potencinės energijos pokyčiui:

dSldxdA αα == 2

lF α2=

α

dx

SWp α=

SdSAS

αα == ∫

21 pp WWSA −==α Jeigu prieš tai paviršiaus nebuvo: SWW pp α== ,02

Laisvojo paviršiaus potencinė energija yra lygi darbui, kurį reikiaatlikti, kad sukurti S ploto paviršių.

α

Skysčių mechanika

Menisko susidarymas

Priklausomai su kokiu kitu paviršiumi liečiasi skystis, galimi to susilietimoskirtingi variantai.

Dėl vidinių tarpmolekulinių sąveikos jėgų skirtingų paviršių sąveikos energija galibūti teigiama, neigiama arba lygi nuliui.

Tai lemia reiškinį, vadinamą drėkinimu. Jis vyksta, kai sąveikos energija yrateigiama.

Priklausomai nuo energijos ženklo skiriamos hidrofilinė ir hidrofobinė sąveika.

Abiem atvejais paviršius susilietimo riboje yra iškreivinamas – šis iškreivinimasvadinamas menisku.

Skysčių mechanika

Kapiliariniai reiškiniai

Paviršiaus laisvoji energijavisada siekia minimizuotis.

T.y. sumažinti iki minimumoplotą.

Paviršiaus iškreivinimas sukelia papildomą slėgį, kurio ženklas priklausonuo drėkinimo ar nedrėkinimo.

Paviršinis papildomas slėgis išreiškiamas Laplaso lygtimi:

+=∆

21

11RR

p α

Jeigu skystis kapiliare pakyla iki aukščio h, o nusileidžia.

Kadangi kylant skysčiui susidaro hidrostatinis slėgis, nukreiptas priešinga kryptimi.Jis sustos, kai nusistovės pusiausvyra:

0⟨∆p 0⟨∆p

Rgh αρ 2

= tada pakilimo aukštis bus lygus:gR

hρα2

=