1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta
description
Transcript of 1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta
1.1. Itseisarvo
* luvun etäisyys nollasta
0kun x ,x -
0kun x , x x
E.2. Poista itseisarvot
lausekkeesta
1x
x – 1 ≥ 0
x ≥ 1
1x
1 x 1x-
1 x,1x
2x
E.3. a)
= x2
13 2 xb) = 3x2 + 1
koska
3x2 + 1 ≥ 0 + 1 > 0
1.1.3. Itseisarvofunktio1.1.3. Itseisarvofunktio
E.7. Piirrä funktion kuvaaja1 xy
x 1 xy
-3
-2
-1
0
1
213
112
011
110
211
abs
1.2. Itseisarvoyhtälöt
1) 1)
E.2.
31 x
x +1 = 3 tai x+1 = -3
x = 3 -1 tai x = -3 - 1
x = 2 tai x = -4
xx 21
x - 1 = 2x tai x - 1 = -2x
x - 2x = 1 tai x +2x = 1
-x = 1 tai 3x = 1
x = -1 tai x =1/3
Vastaus: x = 1/3
x 0
2)2)
E.4.
xx 26
x - 6 = 2x tai x - 6 = -2x
x - 2x = 6 tai x +2x = 6
-x = 6 tai 3x = 6 | : 3
x = -6 tai x = 2
Vastaus: x1 = -6, x2 = 2
4)4)
xx 26
(x - 6)2 = (2x)2
x2 – 12x + 36 = 4x2
3x2 + 12x - 36 = 0
x2 + 4x – 12 = 0
Vastaus: x1 = -2, x2 = -6
2
)12(1444 2 x
2
84 x
| 3x + 12 | < 3-3 < 3x + 12 < 3-15 < 3x < -9 -5 < x < -3
E.1. E.2.
| 3x -7 | > 2
3x - 7 > 2 tai 3x - 7 < -2
3x > 9 tai 3x < 5
x > 3 tai x < 5/3
Pisteen P(x,y) etäisyys x- tai y-akselista xy-koodinaatistossa
Etäisyys x-akselista = | y | . Etäisyys y-akselista = | x |
E.1. Mikä on pisteen (4,-5) etäisyys
a) x-akselista b) y-akselista c) origosta?
a) |-5| = 5
|-5| = 5
b) |4| = 4
|4| = 4222 54 d
412 d
41d
c)
Janan pituus yleisesti P1P2 = 212
212 )()( yyxx
E.2. Mikä on pisteiden a) (2,3) ja (5,-1) etäisyys
P1= (x1,y1)
P2= (x2,y2)
22 )31()25( d 25)4(3 22 = 5
Janan keskipiste
E.3. Laske janan keskipisteet, kun päätepistee ovat (4,0) ja (-2,-8)
Pisteiden (x1,y1) ja (x2, y2) välisen janan keskipiste on
)2
,2
( 2121 yyxx
)2
80,
2
24(
= (1, -4)
Tutkiminen, onko piste jollakin yhtälön avulla määritellyllä käyrällä
E.4. Onko piste (3½,4) suoralla y = 2x - 3?
4 = 2 3½ - 34 = 4tosi
V: Piste on suoralla
E.5. Mikä on a, kun piste (2,3) on käyrällä 3x - ay + 6 = 0?
3 2 – 3a + 6 = 06 – 3a + 6 = 0-3a = -12a = 4
2.2 Suora y = kx + b
E.1.
Piirrä suora y = 2x + 4
2.2.1 Suoran piirtäminen
TAPA I
x y .
-1 2 (-1) + 4 = 2
0 4
1 6
y = 2x + 4
TAPA II
Koordinaattiakselien leikkauspisteet:
y-akseli, x = 0: y = 2 0 + 4 = 4
x-akseli, y = 0: 0 = 2x + 4
2x = - 4 x = -2
2.2 Suora y = kx + b
2.2.1 Suoran piirtäminen
12
12
xx
yy
x
yk
x1 ≠ x2
E.3. Määritä pisteiden (1,2) ja (3,8) kautta kulkevan suoran kulmakerroin
313
28
k 331
82
k
KULMAKERROINKULMAKERROIN
E.4. Mikä on suoran kulmakerroin , kun suuntakulma on a) 45° b) - 30 °
a) k = tan 45° = 1b) k = tan -30° = -tan30°=
E.5. Mikä on suoran suuntakulma, kun kulmakerroin on 2tan = 2 63,4
E.6. Mikä on suoran y = 4x + 5 suuntakulma?k = 4tan = 4 76,0
y - yy - y00 = k(x - x = k(x - x00))
missä(x0, y0) suoralla oleva piste ja k suoran kulmakerroin
Jos suoralla ei ole kulmakerrointa, niin suora on y-akselin suuntainen ja sen yhtälö on
x = xx = x00
E.1.
Kulmakerroin on 4
suoralla on piste (2, -3).
Mikä on suoran yhtälö?
y - (-3) = 4(x - 2)
y + 3 = 4x - 8
y = 4x - 8 -3
y = 4x - 11
E.2. Mikä on pisteiden (2,-3) ja (5,1) kulkevan suoran yhtälö?
3
4
25
)3(1
12
12
xx
yyk
y – yy – y00 = k(x – x = k(x – x00))
)5(3
41 xy
3
20
3
41 xy
20433 xy
01734 yx
E.1. Missä pisteessä -3x + 4y = 12 leikkaa koordinaattiakselit?
Suoran ja x-akselin leikkauspiste:
y=0:
-3x + 4 0 = 12
-3x = 12 |:(-3)
x = -4
V: (-4,0)
Suoran ja y-akselin leikkauspiste:
x=0:
-3 0 + 4 y = 12
4y = 12 |:4
y = 3
V: (0,3)
Kirjan E.2. – s. 53
Määritä sen suoran yhtälö, joka on suoran 2x – 3y + 5 = 0 suuntainen ja kulkee pisteen (-2, 3) kautta.
2x – 3y + 5 = 0
3
5
3
2
523
xy
xy
))2((3
23 xy
3
4
3
23 xy
4293 xy
01332 yx
TAITAI2x – 3y + c = 0sijoitus-4 – 9 + c = 0 c = 132x – 3y + 13 = 0
E.1. Määritä suoran y = 3x + 4 suuntaisten suorien parvi. y = 3x + c
E.3. Muodosta pisteen (2,3) kautta kulkevien suorien parvi. y – 3 = k(x – 2) tai x = 2 y = kx – 2k + 3 tai x = 2
E.4. Määritä suoran yhtälö, kun se on suoran 2x+ 3y + 4= 0 suuntainen ja se kulkee pisteen (7,-8) kautta 2x + 3y + c = 0 2 7 + 3 (-8) + c = 0 c = 10 V: 2x + 3y + 10 = 0
Etäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorastaEtäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorasta
Suoran yhtälö on oltava yleisessä muodossa ax + by + c = 0 ja olkoon piste (x0,y0)
(a ≠ 0 tai b ≠ 0)
22
00
ba
cbyaxd
E.2. Laske pisteen (1,2) etäisyys suorasta 3x - 4y = 53x – 4y = 53x – 4y – 5 = 0
22 )4(3
52413
d
25
583 2
5
10
E.1. Mikä on pisteen a) (1,2) etäisyys suorasta y = 4?b) (5,6) etäisyys suorasta x = -3?
a) d = | 2 - 4 | = 2a) d = | 2 - 4 | = 2
b)b) d = | 5 – (-3) | = 8d = | 5 – (-3) | = 8
*************
E.1. Tutki suorien y = 3x - 4 , 6x + 2y = 3 ja 6x - 2y + 3 = 0 yhdensuuntaisuutta
y = 3x – 4 k1 = 3
6x + 2y = 3 2y = -6x + 3
y = -3x + 3/2 k2 = .36x - 2y + 3 = 0
-2y = -6x – 3 y = 3x + 3/2 k3 = 3 V: Suorat y = 3x – 4 ja 6x + 2y = 3 ovat yhdensuuntaisia
E.2. E.2. Mikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran yhtälö?
k = 3
y – y0 = k(x – x0)
y – 2 = 3(x – 1)
y – 2 = 3x – 3
y = 3x - 1y = 3x - 1
TAITAIMikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran yhtälö?3x – y + 4 = 0
b
ak 3
1
3
Kuten edellä…
TAI
3x – y + c = 0
3 1 – 2 + c = 0
c = -1
3x – y – 1 = 0
3.1.2. Suorien kohtisuoruus3.1.2. Suorien kohtisuoruus
E.1. Mikä on normaalin kulmakerroin, kun suoran kulmakerroin on a) k = 3 b) -4
3
1Nk 4
1
4
1
Nk
E.2. Tutki suorien L1:y = 2x + 3 , L2:y = ½x - 1 ja L3:y = -½x + 2 kohtisuoruutta.k1 = 2 k2 = ½ k3 = -½L1 L3, koskak1 k3 = 2 (-½)= -1
E.3. Laske pisteen (1,2) kautta kulkevan suoran y = 2x + 3 normaalin yhtälö.k = 2
2
1Nk
y - 2 = -½(x - 1)y – 2 = -½x + ½ y = -½x + 2½
3.1.3 SUORIEN VÄLINEN KULMA3.1.3 SUORIEN VÄLINEN KULMA
21
12
1tan
kk
kk
Olkoon
y = k1x + b1
y = k2x + b2
= suorien välinen kulmaKun < 90, niin
3.2.1 Suorien leikkauspiste
E.1. (t. 220)
Laske suorien x + y + 2 =0, y = 2x + 1 ja x – 2 = 0 rajoittaman kolmion ala.
x + 2x + 1 + 2 = 0 3x = -3 x = -1y = 2 (-1) + 1 = -1
1 2x y
0 2 y x
2x
0 2 y x 2 + y + 2 = 0 y = -4leikkauspiste B = (2, -4)
2x
12xy y = 2 2 + 1 y = 5leikkauspiste C = (2, 5)
A =
E.1. Missä sijaitsevat ne tason pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat epäyhtälön x + y 1
1) x + y = 1
y = -x + 1
3) Valitaan piste suoran yläpuolelta: (1,2)
Sijoitetaan piste yhtälöön:
1 + 2 = 3 ≥ 1, tosi
4) Valitaan piste suoran alapuolelta (0,0)
Sijoitetaan piste yhtälöön:
0 + 0 = 0 ≥ 1, epätosi
5) Vastaus: Epäyhtälö toteutuu suoralla x + y = 1 ja sen yläpuolella
2)
x+y 6x+y = 6 y = -x + 6
Piste yläpuolelta:
(5,5)
5 + 5 = 10 > 6
tosi
Piste alapuolelta:
(0,0)
0 + 0 = 0 > 6
epätosi
x +2y 8 2y = -x + 8 y = -0,5x + 4
Piste yläpuolelta:
(4,5)
4 + 2*5 = 14 > 8
tosi
Piste alapuolelta:
(0,0)
0 + 0 = 0 > 8
epätosi
E.1. Ratkaise yhtälöpari
74
1024
yx
yx | 2
| 1
7 4y x
204y -8x
9x = 27
x = 3
V: x = 3, y = 1
y sijoittamalla
3 + 4y = 7
4y = 7 – 3
4y = 4
y = 1
Tarkistus:
4 3 – 2 1 = 10 ./.
3 + 4 1 = 7 ./.
E.2.
52
1332
174
cba
cba
cba
52
174
cba
cba
1332
174
cba
cba | 1|(-1)
| 1| (-1)
13 c 3b 2a
17c b 4a
52
174
cba
cba
2a - 4b = -4 6a -2b = -12
12- b2 a6
(-3) 4 b4 2a
12- b2 a6
12 12b 6a-
10b = 0 |:10
Sijoittamalla
2a - 4 0 = -4
2a = -4
a= -2
V: a = -2, b = 0 ja c = -9
Ratkaise:
c: 4 (-2) - 0 + c = -17 => c = -9b = 0
ttaarrkkiissttuuss
3.4.3 Yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia3.4.3 Yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia
E.1. (t. 260)
Ratkaise yhtälöryhmät
a)
032
032
xzy
zyx(-1)
032
032
zyx
zyx
V: kaikki (x, y, z), joille x – 2y + z – 3 = 0
b)
0523
04532
zyx
zyx
3
523
4532
zyx
zyx
15639
4532
zyx
zyx
11x = -11z + 11
| :11
x = -z + 1
Sijoitus:
3(-z + 1) + y + 2z = 5
-3z + 3 + y + 2z = 5
y = z + 2
x = 1 – z, y = z +2, z R
V: x = 1 – t, y = 2 + t, z = t, t R
3.4.3 Yhtälöitä enemmän kuin tuntemattomia3.4.3 Yhtälöitä enemmän kuin tuntemattomia
E.1. (t. 264)
Ratkaise yhtälöryhmä
0134
0423
072
06435
zyx
zyx
zyx
zyx Valitaan osaryhmä
0134
0423
072
zyx
zyx
zyx
0423
072
zyx
zyx
0134
0423
zyx
zyx
5x - z + 3 = 0 7x - 5z - 3 = 0
357
35
zx
zx (-5)
35z7x
15 5z25x
-18x = 18
x = -1
z: 5 (-1) – z = -3
z = -2
y: 3 (-1) + y – 2 (-2) – 4 = 0
y = 3
Tutkittava toteuttaako, osaryhmän ratkaisu 4. yhtälön 5x – 3y – 4z + 6 = 0
Sijoitus:
5 (-1) – 3 3 – 4 (-2) + 6 = 0
0 = 0
tosi
V: Yhtälöryhmän ratkaisu x = -1, y = 3, z = -2
*************
4.1 YMPYRÄ4.1 YMPYRÄYhtälö keskipistemuodossa
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 ,
missä keskipiste on (x0,y0) ja säde on r.
P0(x0,y0)
E.1. Mikä on ympyrän yhtälö, kun K = (2,3) ja r = 4 ?
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 42
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 16
E.2. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 3)2 = 4 keskipiste ja säde?(1, 3)r = 2
Yhtälön muodostamisia eri tilanteissaYhtälön muodostamisia eri tilanteissa* Lasketaan annetuista tiedoista keskipiste ja säde.
E.3. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (2,3) ja joka kulkee pisteen (5,-1) kautta?
22 )31()25( r
E.4. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (3,-4) ja joka sivuaa y-akselia?
525
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 52
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 25
r = 3(x – 3)2 + (y – (-4))2 = 32
(x – 3)2 + (y + 4)2 = 9
E.5. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka halkaisijan päätepisteet ovat ´ (1,2) ja (-3,4)?
22 )24()13( d 5220
52
52r
32
42
12
)3(1
0
0
y
x 222 )5()3())1(( yx
5)3()1( 22 yx
4.1.2 Ympyrän yhtälö polynomimuodossa4.1.2 Ympyrän yhtälö polynomimuodossa
x2 + y2 + ax + by + c = 0
E.6. Esitä ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 3 yleisessä muodossa.
x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 3
x2 + y2 – 2x – 4y + 2 = 0
E.7. Mikä on ympyrän x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 keskipiste ja säde?
x2 – 2x + y2 + 4y = 4
x2 – 2x + 1+ y2 +4y + 4 = 4 + 1 + 4
(x – 1)2 + (y + 2)2 = 9
V: K = (1,-2) , r = 3
Yleisen yhtälön xYleisen yhtälön x22 + y + y22 + ax + by + b = 0 kuvaajat + ax + by + b = 0 kuvaajat
E.8. Mikä on yhtälön a) x2 + y2 - 4x + 8y + 20 = 0 b) x2 + y2 - 10x + 12y + 62 = 0 kuvaaja?
a) x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = - 20 + 4 + 16 (x – 2)2 + (y + 4)2 = 0 Kuvaaja piste (2, -4)
b) x2 – 10x + 25 + y2 + 12y + 36 = -62 + 25 + 36 (x – 5)2 +(y + 6)2 = -1 Ei kuvaajaa
E.9. Millä a:n arvoilla yhtälön x2 + y2 + 2x - 4y + a = 0 kuvaaja on ympyrä?
x2 +2x + 1 + y2 – 4y + 4 = -a + 1 + 4(x + 1)2 + (y – 2)2 = - a + 5Ympyrä, jos - a + 5 > 0
a < 5
Suoran ja ympyrän leikkauspisteen laskeminenSuoran ja ympyrän leikkauspisteen laskeminenRatkaistaan suoran ja ympyrän yhtälöiden muodostama yhtälöpari.
E.10. Laske suoran x - y = 4 ja ympyrän x2 + y2 = 16 leikkauspisteet.
16
422 yx
yx
16
422 yx
xy
x2 + (x – 4)2 = 16
x2 + x2 – 8x + 16 = 16
2x2 – 8x = 0
2x(x – 4) = 0
x = 0 tai x – 4 = 0
x = 4
y sijoittamalla:
y = 0 – 4 = -4 y = 4 – 4 = 0
V: (0, -4) ja (4, 0)
E.11. Laske ympyröiden x2 + y2 = 5 ja x2 + y2 - 2x - 6y + 5 = 0 leikkauspisteet.
V: (2,1) , (-1,2)
0562
522
22
yxyx
yx
(-1)
0562
522
22
yxyx
yx
2x + 6y – 5 = 5
2x + 6y = 10
5
106222 yx
yx
5
5322 yx
yx
5)53( 22 yy 525309 22 yyy 0203010 2 yy
0232 yy Ratkaisukaavalla: y1 = 1 y2 = 2
x1 = -3 1 + 5 = 2
x2 = -3 2 + 5 = -1
4.1.3 Ympyrän sekantti ja tangentti4.1.3 Ympyrän sekantti ja tangentti
Sekantti = suora, jolla on ympyrän kanssa kaksi yhteistä pistettä
Tangentti = suora, jolla yksi yhteinen piste ympyrän kanssa
* tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteen kautta kulkevaa sädettä
vastaan
* keskipiste on säteen etäisyydellä tangentista
E.12. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 10 pisteeseen (4,3) piirretyn tangentin yhtälö?
Piste (4, 3) on ympyrällä, sillä(4 – 1)2 + (3 – 2)2 = 10
(x0, y0) = (1, 2)
Ympyrän keskipisteen (1, 2) ja pisteen (4, 3) määräämän suoran kulmakerroin:
3
1
14
23
k 3Tk
tangentin yhtälö:
y - 3 = -3(x – 4)
3x + y – 15 = 0
E.13. Mikä on ympyrän x2 + y2 = 5 sen tangentin yhtälö, joka on suoran y = 2x suuntainen?K = (0, 0) 5r
tangentin yhtälö
y = 2x + c
2x – y + c = 0
5)1(2
010222
c 55
c
55c 5 c
5c V: y = 2x c
E.14. Laske pisteen (0,-5) kautta kulkevien ympyrän x2 + y2 = 5 tangenttien yhtälöt
02 + (-5)2 = 25 > 5, joten piste suoran ulkopuolella
tangentti kulkee pisteen (0, -5) kautta, joten sen yhtälö on
y + 5 = k(x – 0)kx – y – 5 = 0x0, y0 = (0, 0) ja säde 5r
Keskipiste säteen etäisyydellä tangentista:
5)1(
501022
k
k5
1
52
k
155 2 k 555 2 k 5525 2 k
205 2 k 242 kk
2x – y – 5 = 0 -2x – y – 5 = 0 2x + y + 5 = 0
Huippumuotoinen yhtälö, kun paraabelin akseli y-akselin Huippumuotoinen yhtälö, kun paraabelin akseli y-akselin suuntainensuuntainen
Yhtälön y - y0 = a(x - x0)2 kuvaaja on paraabeli, jonka
huippu on pisteessä (x0,y0) ja joka on yhtenevä paraabelin y = ax2 kanssaakseli on y-akselin suuntainen, x = x0
E.1. Esitä huippumuodossa yhtälö paraabelille a) y = x2 + 3 b) y = x2 + 2xa) y – 3 = x2 y – 3 = (x – 0)2
b) y = x2 + 2x y + 1 = x2+ 2x + 1 y + 1 = (x + 1)2
Huipun laskeminenHuipun laskeminenSievennä yhtälö huippumuotoon ja katso siitä huippu.
E.2. Laske paraabelin y = x2 - 4x + 5 huippu y – 5 = x2 – 4xy – 5 + 4 = x2 – 4x + 4y – 1 = (x – 2)2
Huippu pisteessä (2, 1)
Jos paraabeli leikkaa x-akselin, niin huippu voidaan laskea myös paraabelin ja x-akselin leikkauspisteiden avulla:
x0 on leikkauspisteiden keskiarvo
y0 saadaan sijoittamalla paraabelin yhtälöön
Suoran ja paraabelin leikkauspisteen laskeminenSuoran ja paraabelin leikkauspisteen laskeminen
E.3. Laske paraabelin y = x2 - 2x - 3 ja suoran y = x - 5 leikkauspisteet.
32
52 xxy
xy
325 2 xxx
0232 xx
2
13
2
214)3(3 2
x
x1 = 2 , x2 = 1
y sijoittamalla:
y1 = 2 – 5 = -3
y2 = 1 – 5 = -4
V: (2, -3) ja (1, - 4)