10sn mat fasikül-5hasankorkmaz-ifl.com/dosyalar/yaptigim-calismalar/10-mat-ad-pol.pdf ·...

kapak sayfası

İ Ç İ N D E K İ L E R

7. ÜNİTE POLİNOMLARPolinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler .................................................................................................. 3 – 4

Polinom Kavramı ....................................................................................................................................... 4 – 9

Polinomlarda İşlemler ............................................................................................................................... 9 – 11

Konu Testleri 1 - 2 - 3 - 4 - 5 ...................................................................................................................... 12 – 26

Polinomlarda Çarpanlara Ayırma .................................................................................................................. 27

Çarpanlara Ayırma .................................................................................................................................... 27 – 34

Konu Testleri 6 - 7 - 8 - 9 ........................................................................................................................... 35 – 40

Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri.................................................................................... 41

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Genişletilmesi ............................................................................ 41 – 45

Konu Testleri 10 - 11 - 12 - 13 .................................................................................................................... 46 – 55

Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ

Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv.

No:15 06800 ODTÜ Teknokent

Ankara / TÜRKİYE

Tel: 0312 292 62 62

www.sebit.com.tr [email protected]

Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik,

mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ.

Basým Tarihi: Haziran / 2016

ISBN Numarası: 978-605-9739-73-3

Sertifika No: 33674

1POLİNOMLAR

Ünite-7

3Raunt

10.7.1. Polinom Kavramı ve Polinomlarla İşlemler

10.7.1.1. Gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom kavramını açıklar.

10.7.1.2. Polinomlarla toplama, çıkarma, çarp-ma ve bölme işlemlerini yapar.

10.7.1.3. Bir p(x) polinomunun q(x) polinomuna bölümünden kalan bulur.

10.7.1.4. Katsayıları tam sayı ve en yüksek dereceli terimin katsayısı 1 olan po-linomların tam sayı sıfırlarının, sabit teriminin çarpanları arasından olaca-ğını örneklerle gösterir.

10.7.2. Polinomlarda Çarpanlara Ayırma

10.7.2.1. Gerçek katsayılı bir polinomu çarpan-larına ayırır.

10.7.3. Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri

10.7.3.1. Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve rasyonel ifadelerin sadeleş-tirilmesi ile ilgili uygulamalar yapar.

10.7.3.2. Polinom ve rasyonel denklemlerle ilgili uygulamalar yapar.

Kazanımlar

POLİNOMLAR

54 Raunt 54

Matematik-10 Ünite-7

POLİNOMLARPolinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemlerPolinom Kavramı

n, n – 1, n – 2, ..., 0 ∈ N ve a0, a1, a2, ... , an ∈ R,

an ≠ 0 olmak üzere;

P(x) = anxn + an–1x

n – 1 + ... + a2x2 + a1x + a0

biçimindeki ifadelere x e baðlý, n inci dereceden bir deðiþkenli polinom denir.

an, an-1, ..., a1, ao reel sayýlarýna polinomun katsayýlarý denir.

Sýfýrdan farklý an reel sayýsýna polinomun baþ katsayýsý denir.

x in en büyük üssü olan n doðal sayýsýna polinomun derecesi denir ve der (P(x)) = n biçiminde

gösterilir.

an.xn, an–1.xn–1,... , a1.x, ao ifadelerinden herbirine polinomun bir terimi denir.

a0 reel sayýsýna sabit terim denir.

Aþaðýdaki tabloyu örneðe uygun biçimde doldurunuz.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

P(x) = –8x5 + 7x4 – 3x3 + 5x2 + 10

polinomu veriliyor.

a) Bu polinomun derecesi kaçtýr?

b) Bu polinomun baþ katsayýsý kaçtýr?

c) Bu polinomun sabit terimi kaçtýr?

d) Bu polinomun katsayýlar toplamý kaçtýr?

Çözüm 1Örnek 1

Alıştırma 1

a) der(P(x)) = 5

b) Baş katsayı: –8

c) Sabit terim: 10

d) Katsayılar toplamı: –8 + 7 – 3 + 5 + 10 = 11

54 54 Raunt


P(x) = 6x.5–x.2x.3 2m2m

m12

++ − ifadesi

m = 12 için polinom olur mu? Neden?m = 3 için polinom olur mu? Neden?m = –4 için polinom olur mu? Neden?

Bu ifadeyi polinom yapan tüm m tamsayý deðerlerini bir A kümesine yazýnýz.

A = {......................................................}

Aþaðýdaki ifadelerden hangileri polinomdur?

a) P(x) = 3x4 – 5x2 + 11

b) Q(x) = x3 – 8x +

c) R(x) = x3 – 7x2 + . x + 4

d) S(x) = x3 –

e) T(x) = 13

f) K(x) = 0

3x.7 x P(x) 17m31m

5

++= −−

ifadesi bir polinom olduðuna göre, bu polinomun derecesi kaçtır?

Çözüm 2Örnek 2

Çözüm 3Örnek 3

Alıştırma 2

P(x), R(x), T(x), K(x) birer polinomdur.

Q(x) ifadesinde x1

in, S(x) ifadesinde ise x in derece-

si doğal sayı olmadığından, bu iki ifade de polinom

belirtmez.

, ( , )x

x N ve x x N1

121/1 1 2

z z= − =−f p

P(x) ifadesi bir polinom ise, içerisindeki tüm terimlerin dereceleri birer doğal sayı olmalıdır. Buradan,

• m 1

50$

−

• 3m – 17 ≥ 0 }

• m – 1 > 0 ⇒ m > 1

• m3

17$

O halde m = 6 olmalıdır. ((m–1), 5 i tam bölmelidir.)

P(x) = x + 7x + 3 = 8x + 3 ⇒ der(P(x)) = 1 olur.

POLİNOMLAR

76 Raunt 76


Sabit Polinom

a ≠ 0 olmak üzere, P(x) = a polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 dýr.

Tablodaki P(x) polinomlarýnýn sabit polinom olabilmesi için a ve b deðerlerini bularak boþ

olan yerlere yazýnýz.

��

��

��

��

Sýfýr Polinomu

P(x) = 0 polinomuna sýfýr polinomu denir.

Sýfýr polinomunun derecesi belirsizdir.

P(x) = (m + 2) . x3 + (n – 3) . x + 8polinomu sabit polinom olduðuna göre, m.n kaçtýr?

P(x) = (a + b – 6)x3 + a – b – 2

polinomu, sýfýr polinomu olduðuna göre, a kaçtýr?

Alıştırma 3

Çözüm 4Örnek 4

Çözüm 5Örnek 5

m + 2 = 0 ve n – 3 = 0 olmalıdır.

m = –2 ve n = 3 olur.

O halde; m.n = –2.3 = –6

a + b – 6 = 0 ve a – b – 2 = 0 olmalıdır.

a + b = 6

+ a – b = 2

2a = 8

a = 4

76 76 Raunt


(2x + 9)

Tablodaki P(x) polinomlarýnýn sýfýr polinomu olabilmesi için a, b ve c deðerlerini bularak

aþaðýdaki boþ olan yerlere yazýnýz.

��

��

��

��

�

Aþaðýdaki tabloyu örneðe uygun biçimde doldurunuz.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� � � �

Tabloya göre;

• Sabit terim ile polinomlarýn x = 0 için aldýðý deðerleri karþýlaþtýrýnýz.

• Katsayýlar toplamý ile polinomlarýn x = 1 için aldýðý deðerleri karþýlaþtýrýnýz.

• Bir polinomda katsayýlar toplamýný ve sabit terimi bulmak için bir yöntem oluþturabilir misiniz?

• Sonuç olarak; verilen polinomda katsayılar toplamı bulunurken x yerine 1 yazılır.

Sabit terimi bulurken x yerine 0 yazılır.

P(3x – 2) = 6x + 5

olduðuna göre, P(x) polinomu nedir?

Alıştırma 4

Alıştırma 5

Çözüm 6Örnek 63x – 2 → x

3x → x + 2

x → x

32+

yazılarak

.Px x

33

22 6

32

5+

− =+

+ff fp p p

P(x) = 2x + 9

POLİNOMLAR

98 Raunt 98


P(x) = 3(x3 + 2x – 1)4 – 5x – 7

polinomunun katsayýlarýnýn toplamý kaçtýr?

P(x) = (2x – 1)7 + (x + 2)7

polinomu düzenlendiðinde elde edilen tek dereceli terimlerin katsayýlarýnýn toplamý kaçtýr?

P(x) bir polinomdur.

P(x + 1) + P(x – 1) = 2x2 + 2x – 2

olduðuna göre, P(x) polinomunun çift dereceli terim-lerinin katsayýlar toplamý kaçtýr?

Çözüm 7Örnek 7

Çözüm 8Örnek 8

Çözüm 9Örnek 9

P(1) = 3(13 + 2.1 – 1)4 – 5.1 – 7

= 3(2)4 – 5 – 7

= 48 – 12

= 36

( ) ( )P P2

1 1+ − değeri soruluyor.

x = 0 ⇒ P(1) + P(–1) = 2.02 + 2.0 – 2

P(1) + P(–1) = –2

( ) ( )P P2

1 122

1+ −

=−

=−

( ) ( )P P2

1 1− − değeri soruluyor.

P(1) = (2.1 – 1)7 + (1 + 2)7

= 1 + 37

P(–1) = (2.(–1) – 1)7 + (–1 + 2)7

= –37 + 1

( ) ( ) ( )P P2

1 12

1 3 3 13

7 77+ −

=+ − − +

=

98 98 Raunt


Polinomlarýn Eþitliði (Özdeþliði)

P(x) ve Q(x) ayný dereceden iki polinom olsun. P(x) ve Q(x) polinomlarýnda eþit dereceli terimlerin

katsayýlarý karþýlýklý olarak birbirine eþit ise bu iki polinom birbirine eþittir.

P(x) ve Q(x) polinomlarýnýn birbirine eþitliði

P(x) = Q(x) biçiminde gösterilir.

Polinomlarda Ýþlemler

Toplama ve Çýkarma Ýþlemleri

Herhangi iki polinom arasýnda toplama veya çýkarma iþlemi yapýlýrken ayný dereceli terimler

arasýnda iþlem yapýlýr.

P(x) = mx2 – 3x + n + 1

Q(x) = –3x + 2n – 5

polinomlarý veriliyor.

Bu iki polinom eþit (özdeþ) olduðuna göre, m + n

toplamý kaçtýr?

P(x) = 2.(3x – 1)5 – 6. (x + 2)2 + 10x – 4

polinomunun sabit terimi kaçtýr?

Çözüm 10Örnek 10


P(0) = 2.(3.0 – 1)5 – 6.(0 + 2)2 + 10.0 – 4

= 2.(–1)5 – 6 . 4 – 4

= –2 – 24 – 4

= –30

m = 0 ven + 1 = 2n – 5 olmalıdır. (Aynı dereceli terimlerin kat-

sayıları eşittir.)6 = nm + n = 6

POLİNOMLAR

1110 Raunt 1110


P(x) = 3x3 – 4x2 + 7x – 5

Q(x) = 5x2 + 4x + 3


a) P(x) + Q(x) polinomu nedir?

b) P(x) – Q(x) polinomu nedir?

P(x) = x3 – 2x2 – 5x + m

Q(x) = x4 + px3 + nx – 2


P(x) + Q(x) = (m – 1)x4 + 4x3 + ax2 + 6x + b

olduðuna göre, a + b + m + n + p toplamý kaçtýr?

Aþaðýdaki tabloda boþluklarý doldurunuz.

��

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

�

�

�

Tabloya bakarak;• –Q(x) polinomunu yazýnýz.

• P(x) – Q(x) polinomunu yazýnýz.

• P(x) + Q(x) polinomunu yazýnýz.

Alıştırma 6



P(x) = Q(x) = (3x3 – 4x2 + 7x – 5) + (5x2 + 4x + 3)

= 3x3 + x2 + 11x – 2

P(x) – Q(x) = (3x3 – 4x2 + 7x – 5) – (5x2 + 4x + 3)

= 3x3 – 9x2 + 3x – 8

P(x) + Q(x) = (x3 – 2x2 – 5x + m) + (x4 + px3 + nx – 2)

= x4 + (p + 1)x3 – 2x2 + (n – 5)x + m – 2

= (m – 1)x4 + 4x3 + ax2 + 6x + b

m – 1 = 1, p + 1 = 4, –2 = a, n – 5 = 6, m – 2 = b

m = 2 p = 3 n = 11 2 – 2 = b

0 = b

–2 + 0 + 2 + 11 + 3 = 14

1110 1110 Raunt


Polinomlarda Çarpma Ýþlemi

Ýki polinomu çarpmak için birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimiyle ayrý ayrý

çarpýlýr. Çarpýmlardan elde edilen ayný dereceli terimler toplanýr.

Bir Polinomun Bir Sabitle Çarpýmý

Bir P(x) polinomunu bir c reel sayýsýyla çarpmak için, P(x) in her teriminin katsayýsý c ile çarpýlýr.

Örnek

P(x) = 4x2 – 3x + 5 polinomu verilsin.

a) 3.P(x) = 3.(4x2 – 3x + 5)

= 12x2 – 9x + 15 tir.

b) –2.P(x) = –2.(4x2 – 3x + 5)

= –8x2 + 6x – 10 dur.

P(x) = x2 – 3x

Q(x) = x3 + 4

olmak üzere, P(x).Q(x) polinomu nedir?

Çözüm 14Örnek 14P(x) . Q(x) = (x2 – 3x) (x3 + 4)

= x2 . x3 + 4x2 – 3x . x3 – 3x . 4

= x5 + 4x2 – 3x4 – 12x

= x5 – 3x4 + 4x2 – 12x

POLİNOMLAR

1312 Raunt 1312


1Konu Testi

SınavKodu:M101079

1. 16n2n28

xx.3)x(P −+ +=

olduðuna göre, P(x) polinomunun derecesi kaç-týr?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

2. P(x) = (2a – 2)x2 + (b + 4)x + c – 2

polinomu sýfýr polinomu olduðuna göre,

a + b + c toplamı kaçtýr?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

3. P(x + 1) = x2 – x + 3

olduğuna göre, P(x – 1) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

4. P(x) = (x + 1) . (x2 – ax – 1) + 3x – 4

Q(x) = x3 – 4x2 + bx + c


P(x) = Q(x) olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr?

A) 0 B) –1 C) –2 D) –3 E) –4

5. (x – 2) . P(x + 1) = 3x2 – 2x + k

eþitliði veriliyor.

Buna göre, P(2x + 3) polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

6. P(x + 2) + P(x – 2) = 2x + 8

olduðuna göre, P(x) polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr?

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 11

1312 1312 Raunt


7. der(P(x)) = 4 ve der(Q(x)) = 5 olduðuna göre,

P3(x2– 4) . Q(P(x2)) polinomunun derecesi kaç-týr?

A) 66 B) 64 C) 48 D) 38 E) 32

8. x6 + 3x5 – 5x3 + 3x – 1 = (x2 + ax + b)3

olduðuna göre, a . b kaçtýr?

A) 1 B) 0 C) –1 D) –2 E) –3

9. P(x) = x3 – 2x + 3

Q(x) = 4x4 + 2x2 – 3x + 5

olduðuna göre, P(x) . Q(x) polinomunda x2 li terimin katsayýsý kaçtýr?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

10. P(x) = 3x2 + 2x + 1 polinomu veriliyor.

P(x) . Q(x) = 9x3 + mx2 + nx – 1

olduðuna göre, Q(x) polinomunu nedir?

A) 2x–1 B) 3x+1 C) 2x D) 3x E) 3x–1

11. (x – 1) . P(x) = x4 – x3 + ax2 + x – 3

olduðuna göre, P(x) polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

12. P(x) + 2P(–x) = 3x2 + x + 9

olduðuna göre, P(x – 2) polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

POLİNOMLAR

1514 Raunt 1514


Polinomlarda Bölme Ýþlemi

P(x), Q(x), R(x), K(x) birer polinom olsun.

der (P(x)) ≥ der (Q(x))

der (K(x)) < der (Q(x))

P(x) = Q(x) . R(x) + K(x)

ise P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm polinomu R(x), kalan

polinomu K(x) tir.

Bu bölme iþlemi

–

P(x) Q(x)

R(x)

K(x)

biçiminde gösterilir.

Bu bölme iþleminde P(x) e bölünen, Q(x) e bölen, R(x) e bölüm, K(x) e kalan denir.

K(x) = 0 ise P(x), Q(x) e tam bölünüyor denir.

P(x) = Q(x) . R(x) + K(x)

eþitliðine bölme özdeþliði denir.

Bir P(x) polinomunun x2 + 3 ile bölünmesinden elde

edilen bölüm x – 1 ve kalan 2x + 1 olduðuna göre,

P(x) polinomu nedir?

P(x) = x2 – 4x + 8 polinomununun x – 1 e bölümünden

elde edilen bölüm ve kalan nedir?

Bölme iþlemini yaparak tablodaki boþluklarý doldurunuz.

��

��

��

��

��

��

�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

��

��

Alıştırma 6



P(x) = (x2 + 3).(x – 1) + 2x + 1

= x3 – x2 + 3x – 3 + 2x + 1

= x3 – x2 + 5x – 2

x2 – 4x + 8 x – 1

– x2 – x x – 3–––––––––– –3x + 8 B(x) = x – 3

– –3x + 3 K(x) = 5 –––––––– 5

1514 1514 Raunt


P(x) Polinomunun x – a ile Bölümünden Elde Edilen Kalan

x – a birinci dereceden bir polinom olduðundan, P(x) polinomunun x – a ile bölünmesinden elde edilen kalan bir k sabit sayýsýdýr.

P(x) x – a

Q(x)

k–

bölme iþleminden P(x) = (x – a) . Q(x) + k bölüm özdeþliði yazýlabilir.

Bu eþitlikte, x = a yazýlýrsa P(a) = k bulunur.

Buna göre, bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen kalan P(a) dýr.

Alıştırma 7Aþaðýda verilen polinomlarýn baþka bir polinoma bölünmesi ile elde edilen kalaný, bölme iþlemi yapmadan kýsa yoldan örneðe uygun þekilde doldurunuz.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

P(x) = x3 + 5x2 – 4

polinomunun x – 1 ile bölümünden elde edilen kalan

kaçtır?

P(x) = x2 + ax + 7

polinomunun x + 2 ile bölümünden elde edilen kalan

–1 olduðuna göre, a kaçtýr?



P(1) değeri soruluyor.

P(1) = 13 + 5.12 – 4

= 2

P(–2) = –1 dir.

P(–2) = (–2)2 + a.(–2) + 7 = –1

= 4 – 2a + 7 = –1

12 = 2a

a = 6

POLİNOMLAR

1716 Raunt 1716


P(x) = 4x2 + 8x + 3

polinomunun 2x – 1 ile bölümünden kalan kaçtýr?

P(x) = 3x4 + 2x2 – a

polinomunun 2–x ile tam bölünebilmesi için a kaç olmalýdýr?

P(x) Polinomunun x2 – a ile Bölümünden Elde Edilen Kalan

–

P(x) x2 – a

B(x)

K(x)

bölme iþleminden P(x) = (x2 – a) . B(x) + K(x) yazýlabilir.

Bu eþitlikte, her bir x2 yerine a yazýlýrsa K(x) elde edilir.



P21f p değeri soruluyor.

4. 8. 3P21

21

21

2

= + +f f fp p p

= 1 + 4 + 3

= 8

P(�2) = 0 olmalıdır.

P(�2) = 3.(�2)4 + 2.(�2)2 – a = 0

⇒ 12 + 4 – a = 0

a = 16

1716 1716 Raunt


Alıştırma 8

P(x + 1) = 2x2 – ax + 3


P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 8

olduðuna göre, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümün-

den kalan kaçtýr?

Aþaðýda verilen polinomlarýn baþka bir polinoma bölünmesi ile elde edilen kalaný, bölme iþlemi yapmadan kýsa yoldan örneðe uygun þekilde doldurunuz.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 4x – 3

polinomunun x2 + 2 ile bölümünden elde edilen kalan

nedir?



x2 + 2 = 0 ⇒ x2 = –2 olur.

P(x) = x2 . x2 – x2 . x + 2.x2 + 4x – 3

biçiminde yazarsak;

K(x) = (–2)(–2) – (–2)x + 2(–2) + 4x – 3

= 4 + 2x – 4 + 4x – 3

= 6x – 3

P(2) = 8 dır. P(3) = ?

P(x + 1) = 2x2 – ax + 3 ↓ 1

x = 1 ⇒ P(2) = 2.12 – a.1 + 3 = 8

a = –3

P(x + 1) = 2x2 + 3x + 3 ↓ 2

x = 2 ⇒ P(3) = 2.22 + 3.2 + 3

= 17

POLİNOMLAR

1918 Raunt 1918


Bir P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden elde edilen kalan 5, (x + 1) ile bölümünden elde edilen kalan 2 olduðuna göre, P(x) polinomunun (x + 1).(x – 2) ile bölümünden kalan nedir?

Bir P(x) polinomunun Q(x) polinomu ile bölümünden elde edilen bölüm ( x – 1), kalan (2x + 7) dir.Q(x) polinomunun x2 + x + 1 polinomu ile bölümünden kalan 5x – 2 olduðuna göre, P(x) polinomunun (x – 1) . (x2 + x + 1) ile bölümünden elde edilen kalan nedir?

P(x) bir polinomdur. (x + 1) . P(x) = x3 + ax2 – 1

olduðuna göre, P(x) in x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?




P(2) = 5, P(–1) = 2 dır.P(x) = (x + 1)(x – 2).B(x) + ax + bx = 2 ⇒ P(2) = 2a + b = 5x = –1 ⇒ P(–1) = –a + b = 2Buradan; 2a + b = 5 – –a + b = 2 ––––––––––––––– 3a = 3 ⇒ a = 1 ⇒ b = 3 ⇒ K(x) = x + 3 bulunur.

P(x) = Q(x) . (x – 1) + (2x + 7)Q(x) = (x2 + x + 1).B(x) + 5x – 2P(x) = [(x2 + x + 1).B(x) + 5x – 2] . (x – 1) + (2x + 7) = (x – 1)(x2 + x + 1).B(x) + 5x2 – 5x – 2x + 2 + 2x + 7 = (x – 1)(x2 + x + 1).B(x) + 5x2 – 5x + 9 ⇒ K(x) = 5x2 – 5x + 9

x = –1 ⇒ 0 = (–1)3 + a.(–1)2 – 1 0 = –1 + a – 1 a = 2(x + 1).P(x) = x3 + 2x2 – 1 x3 + 2x2 – 1 x + 1– x3 ± x2 x2 + x – 1 = P(x) x2 – 1 ⇒ P(–1) = –1 – x2 ± x –x – 1 – –x – 1 0

1918 1918 Raunt


2Konu Testi

SınavKodu:M101080

1. P(x) = x2 – 4x – 2m – 3 polinomu veriliyor.

P(x – 2) polinonumun çarpanlarýndan biri x + 1 olduðuna göre, m kaçtýr?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

2. P(x) = x6 – 3x4 + x3 + mx + n polinomunun x2 – 2 ile bölümünden kalan 8x – 2 olduðuna göre, m.n çarpımı kaçtýr?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

3. P(x) = (x + 3) . Q(x) + 2 Q(x) = (x – 4) . T(x) + 5

olduðuna göre, P(x) polinomunun (x – 4) ile bölümünden kalan kaçtýr?

A) 32 B) 35 C) 37 D) 40 E) 42

4. P(x) = x3 – x2 + ax + b

polinomu x2 – 2x + 1 polinomu ile tam bölü-nebildiðine göre, a + b kaçtır?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 1

5. Bir P(x) polinomunun (x + 3) . (x – 2) ile bölümünden kalan 4x – 7 dir.

Buna göre, P(x + 1) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan kaçtýr?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

6. P(x + 1) = (2x2 – 2x + 2) . Q(x – 1) + 1

eþitliðinde P(x) ve Q(x) birer polinomdur.

P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan 7 olduðuna göre, Q(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan kaçtýr?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

POLİNOMLAR

2120 Raunt 2120


7. a ∈ Z olmak üzere, 8–x7xP(x) 1a6a

3 ++= ifadesi

bir polinom belirttiðine göre, bu polinomun de-

recesi en çok kaç olabilir?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

8. P(x) = x3 + 4ax2 + 2x – 5 polinomu veriliyor.

P(x) in sabit terimi ile P(x) in katsayýlar topla-

mýnýn toplamý 10 olduðuna göre, P(x) in x – 2

ile bölümünden kalaný kaçtır?

A) 76 B) 75 C) 72 D) 70 E) 68

9. P(x) = x3 – 4x2 + mx + m + 2 polinomunun x – 2

ile bölümünden kalan k1, x + 1 ile bölümünden

kalan k2 ve 2k1– k2 = 9 ise m kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. (x – 2) P(x) = x3 + 4x2 + ax + 3 eþitliði veriliyor.

Buna göre, P(2) kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 2

29 E) 20

11. P(x) = x3 + mx2 – x + 7 polinomu x + 2 ile tam

bölünebiliyor.

Buna göre, P(x – 1) in sabit terimi kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 427

12. P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan

5 ve x – 1 ile bölümünden kalan 3 olduðuna

göre, P(x) in x2 + x – 2 ile bölümünden kalan

nedir?

A) x32

311

− + B) x32

11+ C) x + 11

D) x – 11 E) x

13. P(x) üçüncü dereceden bir polinomdur.

P(1) = P(–1) = P(2) = 0

P(3) = a . P(–2)

olduðuna göre, a kaçtır?

A) –1 B) 32

− C) 0 D) 1 E) 2

14. P(x – 1) + P(x + 2) = 2x2 + 4x + 4

olduðuna göre, P(x) polinomu nedir?

A) x2 B) x2 – 1 C) x2 + x – 1 D) x2 + 1 E) x2 + x

2120 2120 Raunt


3Konu Testi

SınavKodu:M101081

1. P(x) = 3x4–m + 5xm–4 + 7–m

ifadesi bir polinom olduðuna göre, m kaçtýr?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

2. P(x) = xn–7 + 2 . 3n18

x + + 3

polinomunun derecesi kaçtýr?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

3. P(x) ve Q(x) iki polinomdur.

der[Q(x)] = 4

der[P(x) . Q(x)] = 6

olduðuna göre, der[P(x)] kaçtýr?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

4. P(x) = (a–2)x2 + (b+3)x + 2a – b

polinomu bir sabit polinom olduðuna göre, P(3)

kaçtýr?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8

5. P(3x) polinomunun katsayýlar toplamý 5 tir.

P(x) = x2 – 2x + a

olduðuna göre, a kaçtýr?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 2 E) 5

6. P(x, y) = (a – 1) x2y + (b – 3) xy2 – xy Q(x, y) = 4x2y – 2xy2 + (c + 2) xy

iki deðiþkenli polinomlarý veriliyor. P(x, y) = Q(x, y) olduðuna göre, a + b + c

kaçtýr?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

7. P(x) = x3 + mx2 + 3x – 7

polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan –5

olduðuna göre, m kaçtýr?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 14

8. Bir P(x) polinomunun Q(x + 1) polinomuna bölümün-

den elde edilen bölüm B(x – 1), kalan K(x + 3) tür.

Q(4) = 5

B(2) = 3

K(6) = 1

olduðuna göre, P(3) kaçtýr?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

9. P(x) = (a – 1)x2 + 7x + b

polinomunun x ile bölümünden kalan 3, (x – 1) ile

bölümünden kalan 12 dir.

Buna göre, a + b toplamı kaçtýr?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

POLİNOMLAR

2322 Raunt 2322


10. P(x) ve Q(x) polinomlarýnýn (x + 2) ile bölümün-

den kalanlar sýrasýyla 2 ve 3 olduðuna göre,

aþaðýdaki polinomlardan hangisi daima (x + 2)

ile kalansýz bölünebilir?

A) x P(x + 2) + Q(x) B) x P(x) + 2 Q(x)

C) 2 Q(x) – P(x) D) P(x) – 2 Q(x)

E) 3 P(x) – 2Q(x)

11. Bir P(x) polinomunun (2x – 4) . (3x + 1) ile bölü-

münden elde edilen kalan (6x + 4) tür.

Buna göre, P(x) polinomunun (3x + 1) ile bölü-

münden elde edilen kalan kaçtýr?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

12. P(x) = x7 – 3x5 + x3 + 6x + 3

polinomunun x3 + 2x ile bölümünden elde edi-

len kalan aþaðýdakilerden hangisidir?

A) 10x – 3 B) 16x + 1 C) –16x + 3

D) 14x – 1 E) 14x + 3

13. Bir P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden elde

edilen kalan 3, (x + 3) ile bölümünden elde edilen

kalan –12 dir.

Buna göre, P(x) polinomunun (x – 2) . (x + 3)

ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangi-

sidir?

A) 3x – 7 B) 3x – 4 C) 3x – 3

D) 3x – 1 E) 3x

14. P(x) = 4x3 – 2x2 + ax + b

polinomu (x – 2)2 ile kalansýz bölünebildiðine

göre, a + b toplamı kaçtýr?

A) 40 B) 36 C) 20 D) 16 E) 8

15. P(x) = 2x12 + 3x8 + 1

polinomunun ( ) ile bölümünden kalan

kaçtýr?

A) 2 B) 1 C) – 4 2

D) 4 – 2 E) 7 – 4 2

16. P(x) = x3 + ax2 + bx + 18

polinomu (x2 – 9) ile tam bölünebildiðine göre,

a + b toplamı kaçtýr?

A) –3 B) –6 C) –8 D) –10 E) –11

17. Baþ katsayýsý 3 olan ikinci dereceden bir P(x) po-

linomunda,

olduðuna göre, oraný kaçtýr?

A) –12 B) –9 C) –7 D) –5 E) –1

18. P(x) polinomdur.

P(x – 1) = x4 – 2x3 – x2 + 3x – 1

olduðuna göre, P(x + 1) polinomunun (x – 2) ile

bölümünden elde edilen kalan kaçtýr?

A) –125 B) –121 C) –12

D) 12 E) 123

2322 2322 Raunt


4Konu Testi

SınavKodu:M101082

1. P(x) = x2 6− + 3x2 – 0,2

polinomu veriliyor.

Aþaðýdakilerden hangisi bir polinom deðildir?

A) P(x3 – 1) B) P( x ) C) P(–x)

D) P(–2 x ) E)

2. P(2x – 1) = x2 + 2x

olduðuna göre, P(4x – 3) polinomu aþaðýdakiler-den hangisidir?

A) 4x2 – 3 B) 4x2 C) 4x2 – 1 D) 4x2 – 2x E) 4x2 – x + 1

3. P(2x – 1) = x4 – 2x3 + x2 – 5x + 1

olduðuna göre, P(4x + 1) polinomunun (2x – 1) polinomu ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr?

A) –5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1

4. P(x) = (1 – 3 x) . ( 3 + x – x2)

polinomunun sabit terimi a, baþkatsayýsý b olduðuna göre a . b kaçtýr?

A) –9 B) – 3 C) 0 D) 3 E) 3

5. P(x) = xn–6 + x n 1

18

+

polinomunun derecesi en az kaç olabilir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. P(x) = (1 – x – x2)8

polinomunda tek dereceli terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr?

A) –64 B) –32 C) –4 D) 0 E) 16

7. P(x) bir polinomdur.

P(x – 3) . (x + 1) = x3 + mx + 6

olduðuna göre, P(–4) kaçtýr?

A) –4 B) –2 C) 4 D) 8 E) 12

8. P(Q(x)) = x3 – 3x2 + 4x – 5

polinomu veriliyor.

Q(x) polinomu (x – 2) ile tam bölünebildiðine

göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtýr?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

9. P(x) ve Q(x) birer polinomdur.

P(x) . Q(x + m) = x4 + 3x2 – 4 eþitliði veriliyor.

Q(m) = – 2 olduðuna göre, P(x) polinomunun x

ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 2 E) 3

POLİNOMLAR

2524 Raunt 2524


10.

Yukarýdaki bölme iþlemine göre, P(x) polino-munun derecesi kaçtýr?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. Bir P(x) polinomu x + 1 ile bölündüðünde 5 kalanýný ve 2x – 1 ile bölündüðünde 2 kalanýný veriyor.

Bu P(x) polinomunun (x + 1) (2x – 1) çarpýmý ile bölümünden elde edilecek kalan aþaðýdaki-lerden hangisidir?

A) –2x + 3 B) x + 4 C) –2x – 5

D) –x – 2 E) x + 1

12. (x – 2) . P(x + 2) = 2x3 + x2 – ax – 5a + 1

olduðuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi

kaçtýr?

A) –2 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

13. 3x3 + 7x2 + kx + 2 = (x + 1) . P(x)

olduðuna göre, P(x) polinomu aþaðýdakilerden

hangisidir?

A) 3x2 + 5x – 2 B) 3x2 – 4x – 2

C) 3x2 + 4x – 2 D) 3x2 – 4x + 2

E) 3x2 + 4x + 2

14. P(x – 1) + P(2x + 1) = 5x2 – x + 12

olduðuna göre, P(x) polinomunun x + 3 ile bö-lümünden kalan kaçtýr?

A) 4 B) 8 C) 10 D) 16 E) 17

15. (x – 1) . P(x + 1) + (x – 2) . P(x + 2) = 2x3 + 3x2 – 5x + a


P(x) polinomunun sabit terimi 0, katsayýlar toplamý 1 olduðuna göre, a kaçtýr?

A) –12 B) –10 C) –9 D) –8 E) –3

16. P(x) ve Q(x) polinomları için

P(–1) = 2 ve Q(–1) = –3

olduğuna göre, x2.P(x)+x.Q(x) polinomunun

x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) –5 B) –3 C) 0 D) 2 E) 5

17. P(x) = (x + 1)3 . (2x + 1)2

polinomunda x4 lü terimin katsayýsý kaçtýr?

A) 12 B) 13 C) 16 D) 20 E) 50

18. P(x) polinomu x2 – 6x – 16 ile bölündüğünde bölüm Q(x), kalan 4x + 3 tür.

P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x – 6).Q(x) B) (x – 6).Q(x) + 4

C) (x –6).Q(x) – 5 D) (x – 8).Q(x) + 3

E) (x –8).Q(x) + 4

2524 2524 Raunt


5Konu Testi

SınavKodu:M101083

1. 4x.2x)x(P 3a1a2

3a ++= ++

+

ifadesinin bir polinom belirtmesi için a tam sayýsý kaç olmalýdýr?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

2. P(x) = xn – 8 + 3n1n4

x +−

+ 5

polinomunun derecesi kaçtýr?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. P(x) = (a – 1) x3 + (b + 2) x2 – (c + 1)x + 4

polinomu veriliyor.

P(1) = 6

P(–1) = 4

olduðuna göre, b kaçtýr?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2

4. (2x + a) . (bx – 1) = 6x2 – 11x + 3

eþitliði her x reel sayýsý için saðlandýðýna göre,

a . b kaçtýr?

A) –9 B) –7 C) –1 D) 7 E) 9

5. P(x) = (3 – a)x3 + (b + 2)x + c – 4

polinomu, sýfýr polinomu olduðuna göre, a + b + c toplamı kaçtýr?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. P(x) = (3x – 2)5 + (x + 2)4 + 9x + 20

polinomunun sabit terimi kaçtýr?

A) –16 B) –12 C) 4 D) 16 E) 20

7. Bir P(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan 4 tür.

Bu P(x) polinomunun derecesi çift olan terim-lerinin katsayýlarýnýn toplamý 6 olduðuna göre, P(x) in katsayýlarý toplamý kaçtýr?

A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2

8. Bir P(x) polinomunun x3 – 2x2 ile bölümünden elde

edilen bölüm Q(x), kalan x2 – 5x + 9 dur.

Buna göre, P(x) polinomunun (x – 2) ile bölü-

münden elde edilen bölüm aþaðýdakilerden

hangisidir?

A) x2 . Q(x) – x

B) x . Q(x) + x + 2

C) x2 . Q(x) + 2x – 1

D) x 2. Q(x) + x – 3

E) x 2. Q(x) + 3

9. Bir P(x) polinomu (x – 2) ile tam bölünebil-

mektedir.

Buna göre, P(x + 2) polinomu aþaðýdakilerden

hangisine tam bölünür?

A) x B) x–1 C) x–2 D) x–3 E) x–4

POLİNOMLAR

PB26 Raunt

10. Aþaðýdaki polinomlardan hangisinin bir

çarpaný (x + 1) deðildir?

A) P(x) = x5 – 3x3 + 4x + 2

B) P(x) = x10 + x5 + x3 + x2

C) P(x) = 7x2 – 5x – 12

D) P(x) = x4 + 1

E) P(x) = x3 + 1

11. P(x) = 27x3 – 9x2 – 3x – 1

polinomun 3x – 1 ile bölümünden kalan

kaçtýr?

A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2

12. P(x) = 2x3 + mx2 + nx – 3

polinomunun çarpanlarýndan ikisi (x – 1) ve (x + 1) olduðuna göre, diðer çarpaný aþaðýdaki-lerden hangisidir?

A) 2x + 1 B) 2x + 3 C) 2x – 1

D) 2x + 5 E) 2x – 3

13. P(x – 1) = x3 – 4x2 + n.x – 3n + 1

polinomu veriliyor.

P(x + 3) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan 6 olduðuna göre, n kaçtýr?

A) –13 B) –12 C) –11 D) –10 E) –9

14. P(x + 2) = (x2 – 2x + 3) . Q(x+1) + 2x – 3


Q(x + 1) polinomunun (x + 3) ile bölümünden

kalan –2 olduðuna göre, P(x) polinomunun

(x + 1) ile bölünmesinden kalan kaçtýr?

A) –12 B) –24 C) –36 D) –45 E) –51

15. P(x) polinomu (x2 – 1) ile bölündüðünde bölüm (x3 – 2x) ve kalan (2x + 8) dir.

P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan kaçtýr?

A) –8 B) –10 C) –12 D) –16 E) –18

16. Bir P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan

7, (x + 3) ile bölümünden kalan –1 dir.

Buna göre, P(x) polinomunun (x2 + 2x – 3) ile

bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisi-

dir?

A) x + 5 B) x – 5 C) 2x D) 2x + 5 E) 2x – 5

17. P(x) = x5 + 2x + 3 polinomunun x2 + 2 ile bölü-

münden kalan aþaðýdakilerden hangisidir?

A) 5x – 4 B) 6x + 3 C) 4x + 9

D) 7x – 1 E) 10x + 7

18. P(x) = x4 – 1 polinomunun x2 – x – 1 ile bölü-

münden kalan aþaðýdakilerden hangisidir?

A) 3x + 1 B) 3x – 1 C) 3x

D) 1 – 2x E) 2x + 1

27PB Raunt


Polinomlarda Çarpanlara AyırmaÇarpanlara AyırmaP(x), A(x), B(x) polinomlarýnýn herbiri sabit polinomlardan farklý üç polinom olsun.

P(x) = A(x) . B(x) ise, A(x) ve B(x) polinomlarýna P(x) in birer çarpaný denir.

P(x) polinomu, herbiri en az birinci dereceden olan birden fazla polinomun çarpýmý olarak yazýlamýyorsa, P(x) polinomuna indirgenemez polinom denir. Baþ katsayýsý 1 olan indirgenemez polinoma asal polinom denir.

Bir polinomu birden fazla polinomun çarpýmý olarak yazmaya bu polinomu çarpanlara ayýrma denir. Çarpanlarýn sýrasý önemli olmamak üzere, her polinom asal polinomlarýn çarpýmý olarak

tek türlü yazýlabilir.

Çözüm 26Örnek 26 P(x) = 2x2 + 9x – 5 polinomunun çarpanları nelerdir?

P(x) = 3x + 4 Q(x) = –5x + 4 R(x) = 4x2 + 1 polinomları çarpanlarına ayrılabilir mi?

P(x) = x2 + 1 Q(x) = x + 7 R(x) = x – 4

polinomları çarpanlarına ayrılabilir mi?



2x2 + 9x – 5 = (2x – 1) (x + 5)

2x –1

x +5

P(x), Q(x), R(x) polinomları birer indirgenemez polinom olduklarından çarpanlarına ayrılamazlar.

P(x), Q(x), R(x) polinomları birer asal polinom oldukla-rından çarpanlarına ayrılamazlar.

POLİNOMLAR

2928 Raunt 2928


Çarpanlara Ayırma Metotları

Polinomlarý çarpanlarýna ayýrmada genel bir kural yoktur. Bir polinomu çarpanlarýna ayýrmak için

aþaðýda vereceðimiz metotlarýn biri veya birkaçý kullanýlabilir.

Ortak Çarpan Parantezine Alma Metodu

Bir polinomun her teriminde ortak bir çarpan varsa, bu metot kullanýlýr. Her terimde ortak olan

çarpan parantezin önüne yazýlýr. Parantezin içine de her terimin ortak çarpana bölünmesinden

elde edilen bölümler yazýlýr.

P(x) . Q(x) + P(x) . R(x) polinomunun her teriminde P(x) ortak çarpaný vardýr. Bu polinomu,

P(x) . Q(x) + P(x) . R(x) = P(x) . [ Q(x) + R(x)]

biçiminde ortak çarpan parantezine alabiliriz.

Örnek

Aþaðýdaki çarpanlara ayýrma iþlemlerini inceleyiniz.

a. 2x3 – 6x2 = 2x2 . x – 2x2 . 3

= 2x2 . (x – 3)

b. a3b2 – ab3 = ab2(a2 – b)

c. (2x – y)3 – 3.(2x – y)2 = (2x – y)2 . [(2x – y) – 3]

= (2x – y)2 . (2x – y – 3)

d. (x + 3)2 – 2x – 6 = (x + 3)2 – 2.(x + 3)

= (x + 3) . (x + 3 – 2)

= (x + 3) . (x + 1)

e. 6x2 y3 – 12x3y2 + 8x4y4

= 2x2y2 . (3y – 6x + 4x2y2)

f. x2.(y + 1) – x(y + 1) + 4(y + 1)

= (y+1) . (x2 – x + 4)

Gruplandýrarak Çarpanlarýna Ayýrma

Verilen polinomun bütün terimlerinde ortak olan bir çarpan bulunmayabilir. Bu durumda terimler,

ortak çarpan parantezine alýnabilecek biçimde gruplandýrýlabilir.

1. a ≠ 0 olmak üzere P(x) = ax + b biçimindeki polinomlarý indirgenemez polinomlardýr.

2. a ≠ 0 olmak üzere, P(x) = ax2 + bx + c polinomu, b2 – 4ac < 0 olduðunda indirgenemez

bir polinomdur. b2 – 4ac ≥ 0 olduðunda çarpanlarýna ayrýlabilir bir polinomdur.

HATIRLATMA

2928 2928 Raunt


Örnek

Aþaðýdaki çarpanlarýna ayýrma iþlemlerinde gruplandýrma metodu kullanýlmýþtýr. Gruplandýrýlan

terimleri deðiþtirerek ayný sonuca ulaþmaya çalýþýnýz.

a. ab – bx + ax – x2 = (ab – bx) + (ax – x2)

= b.(a – x) + x.(a – x)

= (a – x) . (b + x)

b. x3 + x2 + x + 1 = (x3 + x2) + (x + 1)

= x2 . (x + 1) + 1.(x + 1)

= (x + 1) . (x2 + 1)

c. x3 + 3x2 – 2x – 6 = (x3 + 3x2) – (2x + 6)

= x2.(x + 3) – 2 . (x + 3)

= (x + 3) . (x2 – 2)

d. a2 + b2 – x2 + 2ab = (a2 + 2ab + b2) – x2

= (a + b)2 – x2

= (a + b – x) . (a + b + x)

e. ab2+ 4a2b + 16a + 4b = (ab2 + 4a2b) + (16a + 4b)

= ab(b + 4a) + 4(4a + b)

= (4a + b) . (ab + 4)

Tamkare Özdeþliðinden Faydalanarak Çarpanlara Ayýrma

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

Özdeþliklerinin sað taraflarýna benzeyen üç terimliler, özdeþliðin sol tarafý gibi, tamkare olarak

yazýlabilirler.

Örnek

Aþaðýdaki çarpanlarýna ayýrma iþlemlerini inceleyiniz.

a. x2 + 10x + 25 = x2 + 2 . (x) . (5) + (5)2

= (x + 5)2

b. a2 – 4ab + 4b2 = a2 – 2 . a . (2b) + (2b)2

= (a – 2b)2

c. 9y4 – 12y2 + 4 = (3y2)2 – 2.(3y2) . 2 + 22

= (3y2 – 2)2

POLİNOMLAR

3130 Raunt 3130


d. x2y2 + 8xy + 16 = (xy)2 + 2.(xy) . 4 + 42

= (xy + 4)2

e. x2n + 2xnyn + y2n = (xn)2 + 2.(xn). (yn) + (yn)2

= (xn + yn)2

f. 2

222

)3–(a

)3( )3( . a . 2 – a 3 a32 – a

=+=+

g. 16x2 + 24ax + 9a2 = (4x)2 + 2.(4x).(3a) + (3a)2

= (4x + 3a)2

h. x2 – 0,6.x + 0,09 = x2 – 2 . x . (0,3) + (0,3)2

= (x – 0,3)2

Ýki Kare Farký Özdeþliðinden Faydalanarak Çarpanlarýna Ayýrma

a2 – b2 = (a – b) . (a + b)

özdeþliðinin çarpanlarýna ayýrma iþleminde nasýl kullanýldýðýný, aþaðýdaki örneklerde inceleyiniz.

Örnek

a. x2 – 9 = x2 – 32

= (x – 3) . (x + 3)

b. a4 – 16 = (a2)2 – 42

= (a2 – 4) . (a2 + 4)

= (a2 – 22) . (a2 + 4)

= (a – 2) . (a + 2) . (a2+4)

c. (3x + 1)2 – 4.(x + 3)2 = (3x + 1)2 – [2.(x + 3)]2

= [(3x + 1) – 2.(x + 3)] . [(3x+1) + 2.(x + 3)]

= (3x + 1 – 2x – 6) . (3x + 1 + 2x + 6)

= (x – 5) . (5x + 7)

d.

x)3 (y . x)3 – (y

x)3( – )(y 3x – y

22

22224

+=

=

e.

+

+

=

+

=

22

22

22

44

xx

1.x

x1

.x–x1

xx

1.x–

x

1x–

x

1

f. 5912 – 4092 = (591 – 409) . (591 + 409)

= 182 .1000

= 182 000

3130 3130 Raunt


Ýki Küp Farký ve Ýki Küp Toplamý Özdeþliklerinden Faydalanarak Çarpanlarýna Ayýrma

a3 – b3, a3 + b3 biçimindeki iki terimlileri, özdeþliklerden faydalanarak çarpanlarýna ayýrabiliriz.

a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)

özdeþliklerinin çarpanlarýna ayýrma iþleminde nasýl kullanýldýðýný, aþaðýdaki örneklerde inceleyi-

niz.

Örnek

a. x3 + 1 = x3 + 13

= (x + 1) . (x2 – x + 1)

b. a6 – 27 = (a2)3 – 33

= (a2 – 3) . [(a2)2 + a2 . 3 + 32]

= (a2 – 3) . (a4 + 3a2 + 9)

c.

)25 x. 5 –(x . )5 (x

)5( x 5 x3323

3333

++=

+=+

d. 64a3 – (2a – 1)3 = (4a)3 – (2a – 1)3

= [4a – (2a – 1)] . [(4a)2 + (4a) . (2a–1) + (2a – 1)2]

= (4a – 2a + 1) . (16a2 + 8a2 – 4a + 4a2 – 4a + 1)

= (2a + 1) . (28a2 – 8a + 1)

e. x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3

= (x2 + y2) . (x4 – x2y2 + y4)

x2 + bx + c Biçimindeki Ýkinci Dereceden Üç Terimlinin Çarpanlarýna Ayrýlmasý

x2 + bx + c = (x + m) . (x + n)

biçiminde çarpanlarýna ayrýlmýþ olsun. Eþitliðin sað tarafýný düzenleyip polinomlarýn eþitliðini

kullanýrsak;

x2 + bx + c = x2 + n.x + m.x + m.n

⇒ x2 + bx + c = x2 + (n + m)x + (n . m)

⇒ n + m = b

n . m = c

elde edilir. O hâlde, x2 + bx + c biçiminde baþ katsayýsý 1 olan ikinci dereceden üç terimlileri

çarpanlara ayýrmak için toplamlarý b, çarpýmlarý c olan m ve n gerçek (reel) sayýlarý aranýr. Böyle

m ve n sayýlarý bulunursa;

x2 + bx + c = (x + m) . (x + n)

biçiminde çarpanlarýna ayrýlýr. Eðer, b2 – 4ac < 0 ise bu üç terimli çarpanlara ayrýlamaz.

POLİNOMLAR

3332 Raunt 3332


ax2 + bx + c Biçimindeki Ýkinci Dereceden Üç Terimlilerin Çarpanlarýna Ayrýlmasý

ax2 + bx + c biçimindeki polinomlar b2 – 4.a.c < 0 ise, çarpanlarýna ayrýlamaz. b2 – 4ac ≥ 0 ise,

çarpanlarýna ayrýlýr. Bu nedenle, önce b2 – 4ac nin kontrol edilmesi faydalý olur.

ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarýna ayýrmak için a ve c nin çarpanlarýndan faydalanýlýr. Çarpýmlarý

a olan iki sayý m ve n, çarpýmlarý c olan iki sayý p ve q olsun.

a c ––– ––– m p

n q

Eðer m.q + n.p = b oluyorsa;

ax2 + bx + c = (mx + p) . (nx + q)

biçiminde çarpanlarýna ayrýlýr.

m, n, p, q sayýlarý, m.q + n.p = b olacak biçimde a ve c nin çarpanlarý olan sayýlardan aranýr.

2x2 + 11x + 5 ifadesini çarpanlarý nedir?

4x2 – 17xy + 15y2 ifadesini çarpanları nedir?

Örnek

a. 12x2 – x – 1 = (3x – 1) . (4x + 1) dir.

b. 5a2 – 26a + 5 = (5a – 1) . (a – 5) tir.

c. 6a2 + 17a – 3 = (6a – 1) . (a + 3) tür.

ÖrnekAþaðýdaki çarpanlara ayýrma iþlemlerini inceleyiniz.a. x2 + 4x + 3 = x2 + (3 + 1) . x + 3.1 = (x + 3) . (x + 1)b. x2 – 7x + 10 = x2 + (–5 – 2).x + (–5).(–2) = (x + (–5)) . (x + (–2)) = (x – 5) . (x – 2)c. a2 – 5a – 6 = a2 + (–6 + 1) . a + (–6) . 1 = (a + (–6)) . (a + 1) = (a – 6) . (a + 1)d. x2 – 5x + 9 ifadesinde b2 – 4ac = (–5)2 – 4.1.9 = 25 – 36 = –11 < 0 olduðundan, bu ifade çarpanlara ayrýlamaz.



2x2 + 11x + 5 = (2x + 1) (x + 5)

2x +1

x +5

4x2 – 17xy + 15y2 = (x – 3y) (4x – 5y)

x –3y

4x –5y

3332 3332 Raunt


Terim Ekleyip Çýkararak Çarpanlara Ayýrma

Bazý üç terimlilere uygun bir ifadeyi ekleyip çýkararak iki kare farkýna dönüþebilen bir polinom

elde edilebilir.

x4 + x2 + 1 ifadesinin çarpanlarý nedir?

Aþaðýdaki ifadeleri çarpanlarýna ayýrýnýz.

a) x2 + 5x + 6

b) x2 – 8x + 15

c) x2 – x – 6

d) x2 – 2x – 8

e) 6x2 – 5x + 1

f) 3x2 + 10x + 3

g) mnx2 + (n – m)x – 1



a) (x + 3) (x + 2)

b) (x – 3) (x – 5)

c) (x – 3) (x + 2)

d) (x – 4) (x + 2)

e) (3x – 1) (2x – 1)

f) (3x + 1) (x + 3)

g) (nx – 1) (mx + 1)

x4 + x2 + 1 + x2 – x2 = x4 + 2x2 + 1 – x2

= (x2 + 1)2 – x2

= (x2 + 1 + x) (x2 + 1 – x)

POLİNOMLAR

3534 Raunt 3534

x4 + 4y4 ifadesinin çarpanları nedir?


Aþaðýdaki ifadeleri çarpanlarýna ayýrýnýz.

a) x4 + 64

b) m4 – 3m2 + 1

c) a4 – 15a2 + 9



x4 + 4y4 + 4x2 y2 – 4x2 y2

= (x2 + 2y2)2 – 4x2 y2

= (x2 + 2y2)2 – (2xy)2

= (x2 + 2y2 – 2xy) (x2 + 2y2 + 2xy)

a) x4 + 16x2 + 64 – 16x2 = (x2 + 8)2 – (4x)2

= (x2 + 8 – 4x) (x2 + 8 + 4x)

b) m4 – 3m2 + 1 + m2 – m2 = m4 – 2m2 + 1 – m2

= (m2 – 1)2 – m2 = (m2 – 1 – m) (m2 – 1 + m)

c) a4 – 15a2 + 9 + 9a2 – 9a2 = a4 – 6a2 + 9 – 9a2

= (a2 – 3)2 – (3a)2 = (a2 – 3 – 3a) (a2 – 3 + 3a)

3534 3534 Raunt


6Konu Testi

SınavKodu:M101084

1. 3a – 2b = 5

a . b = 4 olduðuna göre, 9a2 + 4b2 ifadesinin deðeri kaç-

týr?

A) 73 B) 72 C) 70 D) 68 E) 66

2. x + y = 5

z – y = 3 olduðuna göre, xz + z2 – xy – zy ifadesinin

deðeri kaçtýr?

A) 26 B) 24 C) 22 D) 20 E) 18

3. x2 + 4y2 = 4xy

olduðuna göre, oraný kaçtýr?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

4. x . y = 3

x2 – y2 = 5 olduðuna göre, x4 + y4 ifadesinin deðeri

kaçtýr?

A) 36 B) 38 C) 40 D) 43 E) 45

5. xx1 3+ = olduðuna göre, ifadesinin

deðeri kaçtýr?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

POLİNOMLAR

3736 Raunt 3736


7Konu Testi

SınavKodu:M101085

1. Ýki sayýnýn toplamý 7, kareleri toplamý 33 oldu-

ðuna göre, bu iki sayýnýn çarpýmý kaçtýr?

A) 8 B) 9 C) 11 D) 12 E) 14

2. a + b = 12

a . b = 6

olduðuna göre, a–2 + b–2 ifadesinin deðeri

kaçtýr?

A) 3

14 B)

311

C) 3

10 D) 3 E) 4

3. x – = a olduðuna göre,

4x2 +

ifadesinin a cinsinden eþiti aþaðýdakilerden

hangisidir?

A) 2a2 – 2 B) 2a2 + 2 C) 4a2 – 2

D) 4a2 E) 4a2 + 4

4. x2 + xy = 6

y2 + xy = –2

olduðuna göre, x + y toplamýnýn pozitif deðeri

kaçtýr?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. 32a1

–a = olduðuna göre,

22

a

1–a

ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr?

A) B) 8 C)

D) E) 6

6. x2 – xy = 24

y2 – xy = 12

olduðuna göre, y nin pozitif deðeri kaçtýr?

A) B) C) 2 D) 3 E) 4

7. a . b = 3

3a + 6b = 14

olduðuna göre, 9a2 + 36b2 ifadesinin deðeri

kaçtýr?

A) 96 B) 88 C) 76 D) 63 E) 25

8. x + y – z = 12

x2 – y2 – z2 + 2yz = 72

olduðuna göre, x kaçtýr?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

9. x3 + y3 = 18

x2 – xy + y2 = 6

olduðuna göre, x.y çarpýmý kaçtýr?

A) 21

B) 1 C) 23

D) 7 E) 25

10.

163

y

1

x

1

41

y1

x1

22=−

=−

olduðuna göre, x + y kaçtýr?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

3736 3736 Raunt


11. x + y = 4

x . y = 2

olduðuna göre, x4 – y4 ifadesinin pozitif deðeri

kaçtýr?

A) 48 B) 48 2 C) 96 D) 96 2 E) 100

12. a3 + 3a2b = 9

b3 + 3ab2 = 18

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

13. x = 666 ve y = 444 olduğuna göre,

(x y) 4xy

(x y) 4xy

–

–2

2 +

+

işleminin sonucu kaçtır?

A) 5 B) 16 C) 25 D) 36 E) 222

14. –mm2

4=

olduğuna göre, mm

422

+ nin değeri kaçtır?

A) 4 B) 12 C) 16 D) 20 E) 25

15. a ve b doğal sayılardır.

a2 – b2 = 7

olduğuna göre, a2 + b2 toplamı kaçtır?

A) 9 B) 16 C) 21 D) 25 E) 36

16. 3a – 2b = 4 ve a.b = 65

olduğuna göre, 9a2 + 4b2 toplamı kaçtır?

A) 14 B) 21 C) 26 D) 28 E) 34

17. x2 – 7x + 4 = 0

olduğuna göre, x

x 162

4 + ifadesinin sonucu kaç-

tır?

A) 16 B) 28 C) 32 D) 41 E) 49

18. xy – x–y = 4

olduðuna göre x2y + x–2y ifadesinin deðeri kaçtýr?

A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22

POLİNOMLAR

3938 Raunt 3938


8Konu Testi

SınavKodu:M101086

1. P(x) = (x – 1)4 – 4(x – 1)3 + 6(x – 1)2 – 4x + 5

polinomunun 25

x = için deðeri kaçtýr?

A) 161

B) 81

C) 41

D) 21

E) 1

2. P(x, y) = x2 – 2x + y2 – 4y

polinomunun alabileceði en küçük deðer

kaçtýr?

A) –4 B) –5 C) –6 D) –7 E) –8

3. x + y = 2

x . y = 2

olduðuna göre, x3 + y3 toplamý kaçtýr?

A) –5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1

4. x3 + 8y3 = 41

x + 2y = 5

olduðuna göre, x . y çarpýmý kaçtýr?

A) –1 B) 1 C) 2 D) 5

14 E) 3

5. (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x – 4 B) x C) x + 3 D) x – 1 E) x – 3

6. x4 + 4 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıda-kilerden hangisidir?

A) x2 – 2x + 2 B) x2 + 2x C) x2 + 2 D) x2 – 2 E) x2 – 2x

7. x4 – 12x2 + 16


A) x2 – 2x – 4 B) x2 + 2x C) x2 + 2x + 2 D) x2 – 4 E) x2 + 4

3938 3938 Raunt


9Konu Testi

SınavKodu:M101087

1. Aþaðýdakilerden hangisi

(5x2 + 11x + 2) . (2x2 – 3x – 9)

ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir?

A) 5x + 1 B) 2x + 3 C) x – 3

D) x + 3 E) x + 2

2. Bir sayının karesi ile 3 katı toplanıyor ve sonuç 10 çıkıyor.

Bu sayının karesi aşağıdakilerden hangisi ola-bilir?

A) 2 B) 9 C) 25 D) 36 E) 49

3. (2x – y – 2)2 – (2x + y + 2)2

ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden

hangisidir?

A) 2x – 1 B) y + 2 C) 2x – y

D) x – y E) y – 2

4. Aþaðýdaki ifadelerden hangisinin bir çarpaný (x + 3) deðildir?

A) 2x2 + 2x – 12 B) 3x3 + 8x2 – 3x

C) 4x2 + 11x – 3 D) 4x2 – 10x – 6

E) x4 + 2x3 – 3x2

5. a(b2 + 1) – b(a2 + 1)

ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıda-kilerden hangisidir?

A) (a + b) (1 – ab) B) (a – b) (ab – 1)

C) (a – b) (ab + 1) D) (a – b) (1 – ab)

E) (a + b) (1 + ab)

6. x(2y – 1) – (2y – x2)


A) x + 1 B) 2y – x C) x + 2

D) x – y E) 1 – x

7. x ve y birer reel sayý olmak üzere,

x2 + y2 – 4x + 6y + 29

ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr?

A) 7 B) 14 C) 16 D) 20 E) 29

8. yx2 – 2mxy – xy2 + 2my2

ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir?

A) x – 2m B) y + m C) x + 2m

D) x + y E) y – m

9. 4x2 + (2m + 6n)x + 3mn

ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir?

A) x + 3n B) mx + n C) 2x + 3n

D) x + m E) 3x + 2n

POLİNOMLAR

4140 Raunt 4140


10. 9 + 16(a2 – b2) – 24a

ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi

aþaðýdaki-lerden hangisidir?

A) (4a – 4b – 3) . (4a + 4b – 3)

B) 16(a – b– 3) . (a + b + 3)

C) 4(a – b – 3) . (a – b + 3)

D) 16(a – b – 3) (a – b + 3)

E) (4a – 4b – 3) . (4a – 4b + 3)

11. (2a – b + c)2 – (a + b – c)2


A) a B) b C) c

D) a + 2b + 2c E) a + b + c

12. x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0

denklemini saðlayan x ve y deðerlerinin çarpýmý

kaçtýr?

A) –6 B) –3 C) 2 D) 3 E) 6

13. x2 + x – 6 = 0 olduðuna göre,

1x1

–x1

+

ifadesinin deðeri kaç olabilir?

A) B) C) 1 D) E) 6

14. (x2 – 2x)2 – 14(x2 – 2x) – 15


A) x + 1 B) x + 2 C) x – 3 D) x – 5 E) x – 4

15. a ve b iki doðal sayýdýr.

a2 – b2 = 24

olduðuna göre, a . b çarpýmýnýn en büyük deðeri

kaçtýr?

A) 21 B) 27 C) 30 D) 35 E) 42

16. a – b = 5

x – y = 3

olduðuna göre, ax – ay – bx + by ifadesinin

deðeri kaçtýr?

A) –20 B) –15 C) 10 D) 15 E) 20

17. (a – b)2 (b – c) – (b – a) (c – b)2

ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi aþaðý-

dakilerden hangisidir?

A) (a – b) (b – c) (a – c) B) (a – b) (b + c) (a – c)

C) (a + b) (b – c) (a – c) D) (a + b) (b + c) (a – c)

E) (a + b) (b + c) (a + c)

18. x3 – y3 = 7 x . y = 2

olduðuna göre, x6 + y6 ifadesinin deðeri kaç-

týr?

A) 28 B) 32 C) 65 D) 96 E) 129

4140 4140 Raunt


Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri

P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x) ≠ 0 olmak üzere, )x(Q)x(P ifadesine rasyonel ifade denir.

Rasyonel ifadeler çok deðiþkenli olabilir.

y)Q(x,y)P(x,

ifadesi iki deðiþkenli; z)y,Q(x,z)y,P(x,

ifadesi, üç deðiþkenli birer rasyonel ifadedir. Ayný

biçimde, Q(y)P(x)

,Q(y)

y)P(x,,

Q(x)y)P(x,

,y)Q(x,

P(x) ifadeleri de birer rasyonel ifadedir.

Rasyonel ifadelerde toplama, çýkarma, çarpma, bölme, sadeleþtirme, geniþletme iþlemleri, reel

sayýlardaki iþlemler gibi yapýlýr.

Rasyonel Ýfadelerin Sadeleþtirilmesi ve Geniþletilmesi

P(x), Q(x) ve R(x) birer polinom olsun.

R(x) . Q(x)R(x) . P(x)

ve)x(Q)x(P

rasyonel ifadeleri birbirine denktir. Yani,

R(x) . Q(x)R(x) . P(x)

)x(Q)x(P

=

tir. Burada, )x(Q)x(P

rasyonel ifadesine R(x) . Q(x)R(x) . P(x) rasyonel ifadesinin sadeleþmiþ (kýsaltýlmýþ)

biçimi, rasyonel ifadesine de rasyonel ifadesinin geniþletilmiþ biçimi denir.

Ýþlemlerin tanýmlý olmasý için Q(x) ≠ 0 ve R(x) ≠ 0 olmasý gerektiðine dikkat ediniz.

3 4x x

1 3x 2x2

2

+−

+−

rasyonel ifadesi nedir?

Çözüm 35Örnek 352x2 – 3x + 1 = (2x – 1)(x – 1)

2x –1

x –1

x2 – 4x + 3 = (x – 3) (x – 1)

x –3

x –1

( ) ( )( ) ( )

x xx x

xx

3 12 1 1

32 1

− −− −

=−−

POLİNOMLAR

4342 Raunt 4342


Rasyonel Ýfadelerin Toplamý ve Farký

Q(x)P(x)

ve)x(B)x(A

birer rasyonel ifade olmak üzere;

Q(x).B(x)B(x).P(x)Q(x).A(x)

Q(x)P(x)

B(x)A(x)

Q(x) . B(x)B(x) . P(x) Q(x) . A(x)

Q(x)P(x)

B(x)A(x)

−=−

+=+

tir. Rasyonel ifadeleri toplarken aþaðýdaki sýra izlenebilir.

1. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarý çarpanlarýna ayrýlýr.2. Pay ve payda arasýnda varsa sadeleþtirmeler yapýlýr.3. Rasyonel ifadelerin paydalarýndaki polinomlarýn EKOK u bulunur.4. Paydalarý eþit olan rasyonel ifadelerin paylarý toplanýp paya, ortak payda da paydaya

yazýlýr.Rasyonel ifadelerde çýkarma iþleminde de ayný sýra izlenir.

4 3x x

1 x

1x

x22 −−

−−

−

iþlemini sonucu nedir?

Rasyonel Ýfadelerin Çarpýmý ve Bölümü

Q(x)P(x)

ve)x(B)x(A

birer rasyonel ifade olmak üzere,

P(x).B(x)Q(x).A(x)

P(x)Q(x)

.B(x)A(x)

Q(x)P(x)

: B(x)A(x)

Q(x) . B(x) P(x) . A(x)

Q(x)P(x)

. B(x)A(x)

==

=

tir. Rasyonel ifadeleri çarparken aþaðýdaki sýra izlenebilir.1. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarý çarpanlarýna ayrýlýr.2. Pay ve payda arasýnda varsa, sadeleþtirmeler yapýlýr.3. Paylarýn çarpýmý pay, paydalarýn çarpýmý payda olarak yazýlýr.4. Yapýlabilen sadeleþtirmeler yapýlýr. Ýki rasyonel ifadeyi bölerken, birinci rasyonel ifade aynen býrakýlýr, ikinci rasyonel ifade ters

çevrilerek, birinci rasyonel ifade ile çarpýlýr.


( 1) ( 1) ( 4) ( 1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x xx

x xx

x x xx x x x

x x xx

1

1 1 44 2 1

1 1 42 1

( ) ( )x x4 12 2

− +−

− +−

− + −− − + −

=− + −

− −

− −

4342 4342 Raunt


2xx

2x3x .

3x2x

1 2x x2

2

2

2

−−

+−

−+

++

ifadesinin sonucu nedir?

Aþaðýdaki rasyonel ifadeleri sadeleþtiriniz.

a. 3–x2–x

5–x4–x

6x5–x

2x3–x2

2

2

2+

+

+

b. 4–x6

x–25:

2–x–x6

5–x9–x2 2

2

2

c. =+

498–499

14992

3

Rasyonel Ýfadenin Basit Kesirlerin Toplamı Olarak Yazılması

a, b, c, A, B ∈ R; n ∈ N+ ve ax2 + bx + c indirgenemez polinom olmak üzere, n)bax(

A

+ ve

( )ax bx c

Ax Bn2 + +

+ biçimindeki rasyonel kesirlere basit kesir denir.

ax2 + bx + c polinomunda b2 – 4ac < 0 ise polinom indirgenmez (çarpanlarýna ayrýlamaz) olduðunu biliyorsunuz. b2 – 4ac ≥ 0 ise, bu ifade birinci dereceden iki çarpanýn çarpýmý olarak yazýlabilir.

Bu tanýma göre,

10x4x

3–x5,

9x

4,

)2x3(

1,

1–x3

5222 ++++

rasyonel kesirleri birer basit kesirdir.

Payýnýn derecesi paydasýnýn derecesinden küçük olan reel katsayýlý bir deðiþkenli her rasyonel ifade basit kesirlerin toplamý olarak bir türlü yazýlabilir. Rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamý olarak yazmak ilerideki konularda bir çok zorluðu ortadan kaldýracaktýr.

)x(Q)x(P

rasyonel ifadesini basit kesirlere ayýrmak için þu yolu izleyiniz:

P(x) polinomunun derecesi Q(x) in derecesinden daha büyük veya eþitse önce P(x) i Q(x) e bölüp bölüm kýsmýný ayýrýnýz.



( ) ( )( ) ( )

.( ) ( )( ) ( )

x xx x

x xx x

xx

3 11 1

2 12 1

31

+ −+ +

− +− −

=++

a. ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2x xx x

x xx x

xx x

xx

2 32 1

3 15 1

31 5

32 6

− −− −

+− +− +

=−

− + −=

−−

=

b. ( ) ( )( ) ( )

:( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

.( ) ( )

. ( )x xx x

xx x

x xx x

x xx

x

3 2 2 12 1 5

2 3 25 5

3 2 2 12 1 5

5 52 3 2

52

− ++ −

−− +

=− ++ −

− +−

=−+

c. ( ) ( ) . ( )

499 498

499 1 499 499 1

499 498

500 499 498500

2

2

2

2

−

+ − +=

−

−=

POLİNOMLAR

4544 Raunt 4544


P(x) Q(x)

K(x)

B(x)

Bu bölme iþlemine göre, )x(Q)x(K

)x(B)x(Q)x(P

+= yazýlabilir.

Bu eþitlikte K(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçüktür. Q(x) çarpanlarýna ayýrýlýr. Her bir

çarpan bir kesrin paydasý olacak biçimde basit kesirlerin toplamý olarak yazýlýr.

Eðer, der (P(x)) < der (Q(x)) ise bölme iþlemi yapýlmadan iþleme devam edilir.

Aþaðýdaki bazý rasyonel ifadelerin, basit kesirlerin toplamý olarak nasýl yazýldýklarýna dikkat

ediniz.

edxcx

CBxbax

A

)edxcx(.)bax(

)x(K

dcxC

)bax(

Bbax

A

)dcx(.)bax(

)x(K

dcxB

baxA

)dcx(.)bax()x(K

22

22

++

++

+=

+++

++

++

+=

++

++

+=

++

Bunlara benzer özdeþlikler yazýlarak; A, B, C,…. katsayýlarý bulunur.

Örnek

12–xx

1–x52 +

kesrini basit kesirlerin toplamý olarak yazmaya çalışalım.

x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3) tür. Payýn derecesi paydanýn derecesinden küçük olduðundan bölme

iþlemi yapmadan basit kesirlerin toplamý olarak yazabiliriz.

3–xB

4xA

)3–x(.)4x(1–x5

12–xx

1–x52

++

=+

=+

olur.

Eþitliðin sað tarafýnda paydalarý eþitlersek;

)3–x()4x()4x(.B)3–x(.A

)3–x()4x(1–x5

+++=

+

elde edilir.Bu eþitlikte paydalar eþit olduðundan paylar da eþittir.

5x – 1 = A . (x – 3) + B . (x + 4)

olur. Bu eþitliðin sað tarafýný x in kuvvetlerine göre düzenlersek;

5x – 1 = (A + B) . x + (–3A + 4B)

olur.

4544 4544 Raunt


Aþaðýdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamý biçimi nedir?

a) =5–x4–x

17–x2

b) ( ) ( )x x

x1 1

6+ −

+=

Polinomlarýn eþitliðinden ayný dereceli terimlerin katsayýlarýný eþitleyerek A ve B yi bulalým.

=+

=+

1–B4A3–

5BA

=

=⇒

2B

3A bulunur.

Buna göre, 3–x

24x

3

12–xx

1–x52

++

=+

olur.


a) ( ) ( )x x

xx

Ax

B5 1

175 1− +

−=

−+

+

x – 17 = A.(x + 1) + B(x – 5)

x = –1 ⇒ –18 = –6B

3 = B

x = 5 ⇒ –12 = 6.A

–2 = A

( ) ( )x x

xx x5 1

175

21

3− +

−=

−−

++

b) ( ) ( )x x

xx

Ax

B1 1

61 1+ −

+=

++

−

x + 6 = A(x – 1) + B(x + 1)

x = 1 ⇒ 7 = 2B

B27

=

x = –1 ⇒ 5 = –2A

A25

− =

( ) ( )x x

xx x1 1

61

25

127

+ −+

=+

−+

−

POLİNOMLAR

4746 Raunt 4746


10Konu Testi

SınavKodu:M101088

1. :x x

x

x x

x

12

9

4

32

2

2− −−

−−

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden han-gisidir?

A) 1 B) x + 3 C) x – 3 D) x – 4 E) x

2. 1–x

x2x.

x1

1x3

2 +

++

ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden han-gisidir?

A) x4x +

B) 1–xx

C) 1–x2x +

D) 1x

x+

E) x + 1

3.

xx

yxy2x.

y–x

xy–x2

22

22

2

+

++


A) x + y B) C)

D) E)

4. 2

223

22

33

y xy

xy y x x :

y2x2

yx

+

++

−

−


A) B) x C) D) E)

5.

1–x1–x

1x1–x 32

++


A) x B) x + 1 C) x(x + 1)

D) x(x+2) E) x(x – 1)

6. x

x x

x x

x x

1

2 1

3 2

4 42

2

2

2

−

+ −+

− +

− +

ifadesinin en sade biçimi aþadakilerden hangi-

sidir?

A) 1 B) 1xx+ C) 1–x

1 D) x

2 E) 3

4746 4746 Raunt


7. 1883 . 1884 – 1882 . 1885

iþleminin sonucu kaçtýr?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

8. x2 + y2 = –2xy

olduðuna göre, 2

2

2

2

4x

3y

3y

4x + ifadesinin deðeri

kaçtýr?

A) 2 B) 1225

C) 3 D) 4 E) 5

9. x2x

1x2:

4–x4x3

2–x–x622

2

++

+

ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden

hangisidir?

A) x – 1 B) x + 1 C) x D) x – 2 E) x + 2

10.

6–xx

10–mxx2

2

++

ifadesi sadeleþebilir bir rasyonel kesir olduðuna göre, m reel sayýsýnýn alabileceði deðerlerin çarpýmý kaçtýr?

A) –4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0

11. a – b = 3 olduðuna göre,

4–b4b–a

b2a2–b–a22

22

++

ifadesinin deðeri kaçtýr?

A) 4 B) 3 C) 1 D) 1 E) 53

12. 4 a

M

1 aK

4 a5a

2a32 −

+−

=+−

+

olduðuna göre, K + M toplamý kaçtýr?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

POLİNOMLAR

4948 Raunt 4948


11Konu Testi

SınavKodu:M101089

1. x4 – x4–8x

64x2

++

ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden

hangisidir?

A) x – 1 B) x + 1 C) x + 8 D) x2 E) 1

2. 1)x–(x.1)–(x . 1)(x

1–xx–x23

235

+++


hangisidir?

A) 1 B) 1x1+ C) x+1 D) 1–x

1 E) x–1

3. 6x4

x–1)2x(.2)2x( 22

+++++

ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakil-erden hangisidir?

A) B) C) 1

D) E)

4. y–x

y2–xy2–

xy–y

y

xy–x

x 2

2

3

2

3+


hangisidir?

A) x–y B) 2x – y C) y–x2yx +

D) xy

y–x E) x

5.

1:

–x

xx

164

2

2+

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) x B) –x 41

C) x + 4

D) x1 E)

–xx

44+

6. 2–2–2–

1–1–

)yx(

1.

y–x

y–x

+

ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir?

A) x–y B) x2y C) xy2

D) x2y + xy2 E)

7. 1–x

4–x2–

x1

–1x

32+


hangisidir?

A) 1–x

22 B) )1x(x

2+ C) 1x

2+

D) 1–x

12

E) x–x

12

8. )4x(.)3–x(

mx4–x3 2

++

ifadesi sadeleþebilen bir kesir olduðuna göre,

m nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?

A) –47 B) –64 C) –79 D) –80 E) –82

4948 4948 Raunt


9. :1–

–

–

x

x

x x

x

1

1

13 2

2

+ +> H.(x + 1)

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakiler-den hangisidir?

A) –

xx

11

+ B)

x 11+

C) x – 1

D) x +1 E) (x + 1)2

10. 2–x

b4x

2

8–x2x

ax52

++

=+

+

olduðuna göre, a + b kaçtýr?

A) 17 B) 13 C) 11 D) 8 E) 3

11. 5ba

b–ab3a4–b–a

222 =

++

olduðuna göre, a . (a – 4) kaçtýr?

A) 5 B) 4 C) –4 D) –5 E) –8

12. 1–x

2

x

1

x

1x1

32=++

eþitliðine göre, x3 kaçtýr?

A) –1 B) 1 C) 81

D) 271

E) 641

13. –

x x

x x x

3 2

22

3 2

+ +

+ +

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden han-gisidir?

A) xx

23

++

B) xx

13

++

C) –

xx x

112

++

D) –x

x x1

12

++

E) –

xx x

212

++

14. 4 –

a

aa

a2 1

11

++


A) 2 B) 1 C) a D) a

a2 1+ E)

a1

15. 2

:–

–

x x

x xx 1

2

3

++


A) –

xx

21

+ B)

xx

2+ C)

xx

21

++

D) 2 –xx

23

+ E)

xx

22 3

++

16. ( ) ( )

–

– – – –

a b bc abc

a b c a b c

2

2 22 2

2 2

+

+


A) –a c8

B) ( )–a c b

4 C)

2( )–abca b

D) 4.( )–c a

b E)

–a bc4

17. –

–

a ab b

a b

27 36 12

27 122 2

2 2

+


A) a – 2b B) 3a – b C) 3a – 2b

D) 3 –a ba b

23 2+

E) 3 –a ba b2+

POLİNOMLAR

5150 Raunt 5150


12Konu Testi

SınavKodu:M101090

1. a ≠ 1 olmak üzere,

a

a

5 6+ =

olduğuna göre, a a+ kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2. 4–x

mx3–x2

2 +

ifadesi sadeleþtirilebilir kesir olduðuna göre,

m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr?

A) –8 B) –6 C) 8 D) 10 E) 14

3. x ≠ y

ax + = + ay

olduðuna göre, a nýn x ve y cinsinden ifadesi

aþaðýdakilerden hangisidir?

)

y1

x1

(xy1

E)1–y1

D)

1–x1

C)y1

–x1

B)y1

x1

A)

+−

+

4.

22

x

1 y

xy1

1 :

xy1

xy

y1

x

−

−

−

−


A) –x B) –xy C) y D) x E) xy

5. 2–x

B1x

A

2–x–x

7–x–2

++

=

olduðuna göre, x2 + Ax + B ifadesinin çarpan-

larýndan biri aþaðdakilerden hangisidir?

A) 2x – 3 B) x + 4 C) x – 3

D) x + 1 E) x – 1

6. xx 2

3 8+−

=

olduğuna göre, ( )( )

xx

22

922

− +−

işleminin so-

nucu kaçtır?

A) 30 B) 34 C) 38 D) 46 E) 52

5150 5150 Raunt


7.

3 2x x

1 x x .

3 4x x

x :

1 x

xx2

2

23

2

−−++

+−−+


hangisidir?

A) 1 B) x C) x + 1 D) x

x1+

E) x1

8. (32 + 1) (34 + 1) (38 + 1) = x

olduğuna göre, 316 nın x türünden değeri aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) 4x B) 8x C) 4x + 1

D) 8x + 1 E) 16x

9. 4 3x x

2 x x .

4 x

x

2 x 2 x

2

2

2 −−

−−

−−

+−

iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir?

2 x1 x

E) 1 x1 x

D)

2 x1 x

C) 1x1– x

B) 2 x1 x

A)

+−

−+

++

+−+

10. –b2 + a2 – 2b – 1

ifadesinin rasyonel katsayılı çarpanlarının top-lamı aşağıdakilerden hangisidir?

A) a B) 2a C) a + b D) b E) 2b

11. 4007 – 4006

4007 12

3 +

ifadesinin eşiti kaçtır?

A) 2004 B) 4008 C) 8008

D) 8016 E) 8080

12. ax – by + bx – ay = 12

a + b = 2

olduðuna göre, x2 – 2xy + y2 ifadesinin deðeri kaçtýr?

A) 48 B) 39 C) 36 D) 28 E) 25

POLİNOMLAR

5352 Raunt 5352


13. 2x4x

baxx

12x7x2

2

++

=++

++

olduðuna göre, a + b kaçtýr?

A) –1 B) 1 C) 11 D) 12 E) 15

14. 1 x

x .

x

1

x

1

x

2 n

2nn1n +

++

−−

iþleminin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden

hangisidir?

A) 1 B) x + 1 C) 2x – 1

D) x E) x2

15. a + = 6

b + = 18

olduðuna göre, kaçtýr?

A) B) C) 1 D) 2 E) 3

16.

nx2x

mx–x2

2

++

+

kesrinin sadeleþtirilmiþ biçimi olduðuna göre, m + n kaçtýr?

A) –35 B) –27 C) –21 D) 35 E) 56

17. 6 3x

2 2y .

y y x xy

2y 2x xy x2

2

+−−

−+−

−−+

ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?

32

)E x)D

2 x1y

)C 4 x2 x

)B 1 x

y x )A

−

−−

+−

−+

18. :–

– –

x x

x

x

x

1

1

1

14 2 6

4

+ +


A) –x 11

B) x 1

1+

C) x

x1+

D) –xx

1 E)

–xx

11

+

5352 5352 Raunt


13Konu Testi

SınavKodu:M101091

1. 94

1625

35+ −

işleminin sonucu kaçtır?

)A127− )B

125− )C

125

)D21 )E

127

2.

iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir?

A) a + 1 B) a + 2 C) a + 3

D) a – 1 E) a – 2

3. x – 5 = 4y olduðuna göre,

(x – 4y)x – 20y


A) –25 B) 5 C) 10 D) 15 E) 25

4. 35x2x

74x2 ++

−−

ifadesinin basit kesirlere ayrýlmýþ biçimi aþa-

ðýdakilerden hangisidir?

1 x3

3x2

2)A

++

+ 3 2x2

1x

1)B

+−

+

1 x2

3x21x

)C+

−++

3 2x1

1 x

3)D

+−

+

1 x3

3 x2

2)E

+−

+

5. xx

21

4+ =

olduğuna göre, 4xx

122

+f p ifadesinin değeri kaçtır?

A) 8 B) 12 C) 14 D) 16 E) 20

6. 216 – 1 sayısı aşağıdakilerden hangisine tam

olarak bölünemez?

A) 3 B) 5 C) 32 D) 51 E) 257

POLİNOMLAR

5554 Raunt 5554


7. 1–x

2:

1x2–x

1–x2x

2

++

+


hangisidir?

A) x B) x2 + 2 C) x2

D) x2+1 E) x+1

8. x3 + 3xy2 = 234

y3 + 3x2y = 109

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

9. x – 5y – z = 0 olduðuna göre,

22

22

z)–(y–x

z–y)–(x


A) B) C) 1 D) E)

10. 2–x

B

4x

A

8–x2x

2x72

++

=+

+

olduðuna göre, A + B toplamý kaçtýr?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

11. 1

1

:– –

– –

–

–

x x

x x

x

x x1 2

4 5

4

5

2

2

2

2


A) x

x 2+ B) –1 C) –xx

2 D) 1 E)

–xx

22

+

12. a b

a ba b

a b2 2

3 3 2 2

−− −

−−


A) a ba b

−+ B)

aba b− C)

a b1−+

D) a bab+

E) a bab−+

5554 5554 Raunt


13.

1–x)xx2–x)(3x(

)x(Q

x2xx

23xx .

2 x x

) x (x P(x)

23

234

2

2

33

++=

++

+−

−−

−=

olduðuna göre,

Q(x)P(x) ifadesi aþaðýdakilerden

hangisine eþittir?

1 E) 1 xD)

xC) 2 x1) (x

B) 3 x

1) (x A)

23

+

−+

+−

14. 1– –

– –

a b a b

a b a b 12 2

2 2 2 2

+

+

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden han-gisidir?

A) a – 1 B) 1 – a C) b – 1

D) 1 – b E) 1

15. 4x2 + y2 – 4x + 8y + 26

ifadesinin en küçük deðeri için x . y çarpımı kaçtýr?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 8

16. 4x2 + y2 + 4x + 2y + 4xy – 3

ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden

hangisidir?

A) 2x + y + 1 B) 2x + y – 3

C) 2x + y – 1 D) 2x – y – 3

E) x + y + 1

17.

a1

1

1 ab

ba

.

a

1

b

1b1

a1

33−

++

−

−

ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?

1 aab

)A− a 1

ba )B

22

− baba

)C+

a 1ba

)D2

− 1 aba

)E2

+

POLİNOMLAR

PB56 Raunt

NOT :

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

10sn mat fasikül-5hasankorkmaz-ifl.com/dosyalar/yaptigim-calismalar/10-mat-ad-pol.pdf ·...

Documents

Transcript of 10sn mat fasikül-5hasankorkmaz-ifl.com/dosyalar/yaptigim-calismalar/10-mat-ad-pol.pdf ·...