Državna matura iz matematike Ispitni katalog za nastavnike Rujan 2007. Verzija 1.0 Članovi stručne radne skupine za pripremu ispita iz matematike doc. dr. sc. Željka Milin Šipuš, Prirodoslovno-matematički fakultet-Matematički odjel Sveučilišta u Zagrebu, voditeljica prof. dr. sc. Zvonimir Šikić, Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu Jelena Gusić, prof., XV. gimnazija, Zagreb Jagoda Krajina, prof., Tehnička škola Ruđera Boškovića, Zagreb Dragica Martinović, prof., Ženska opća gimnazija Družbe sestara milosrdnica, Zagreb Josipa Pavlić, prof., Gimnazija Lucijana Vranjanina, Zagreb

1

Opis ispita iz matematike na državnoj maturi Matematika je izborni predmet polaganja na državnoj maturi. Pri kreiranju ispita iz matematike za državnu maturu vodilo se računa o tome da postoji velik broj različitih programa iz matematike. Ispit iz matematike stoga se može polagati na dvije razine zahtjevnosti – na razini A i na razini B. Ispit sadrži zadatke zatvorenog i zadatke otvorenog tipa. Zadaci zatvorenog tipa su zadaci višestrukog izbora. Učenik zaokružuje slovo ispred jednog od četiri ponuđena odgovora. Zadaci otvorenog tipa su zadaci kratkih odgovora i zadaci produljenih odgovora. U zadacima kratkih odogovora, učenik odgovara na postavljeno pitanje, dok u zadacima produljenih odgovora učenik prikazuje postupak rješavanja i odgovara na postavljeno pitanje. Ispit na državnoj maturi iz matematike je jedinstven i njegovo planirano trajanje (bez prekida) opisano je u sljedećoj tablici:

Razina A 180 minuta

Razina B 150 minuta

Pribor Za polaganje državne mature iz matematke pristupnici koriste uobičajeni pribor za pisanje i brisanje (olovka, gumica). Potreban je i geometrijski pribor (trokut ili ravnalo, šestar), kao i džepno računalo (tzv. znanstveni kalkulator). Učenici smiju koristiti i formule predviđene za ispit odabrane razine zahtjevnosti. Opći ciljevi ispita Državnom se maturom ispituju razine znanja i dostignutih kompetencija učenika na kraju srednjoškolskog obrazovanja. Pri tome ispit provjerava koliko učenici znaju:

• koristiti matematički jezik pri čitanju, interpretiranju i rješavanju zadataka • očitavati i interpretirati podatke zadane u analitičkom, tabličnom i grafičkom

obliku ili riječima, te u navedenim oblicima jasno i logično prikazivati dobivene rezultate

• matematički modelirati problemsku situaciju, naći rješenje te provjeriti ispravnost dobivenog rezultata

• prepoznati i koristiti vezu između različitih područja matematike • koristiti različite matematičke tehnike pri rješavanju zadataka • koristiti džepno računalo.

2

Udjeli ispitnih cjelina Udio ispitnih cjelina u ispitu na državnoj maturi iz matematike za razinu A prikazan je u tablici:

Ispitna cjelina Bodovni udio, %

Brojevi i algebra 20 Funkcije 25 Jednadžbe i nejednadžbe 20 Geometrija 25 Modeliranje 10 Ukupno 100

Udio ispitnih cjelina u ispitu na državnoj maturi iz matematike za razinu B prikazan je u tablici:

Ispitna cjelina Bodovni udio, %

Brojevi i algebra 45 Funkcije 10 Jednadžbe i nejednadžbe 15 Geometrija 15 Modeliranje 15 Ukupno 100

Postotni udio pojedine ispitne cjeline odnosi se na postotak ukupnog broja bodova. Moguće odstupanje udjela pojedine cjeline iznosi ±10%.

Izražavanje rezultata na ispitu

Uspjeh na ispitu iz matematike na državnoj maturi iskazivat će se postotkom postignutih bodova u rasponu od 0 do 100% i ocjenom od 1 do 5. Raspon postotaka koji odgovaraju pojedinoj ocjeni odredit će Stručna radna skupina za matematiku nakon provedenog ispita. Rezultati ispita na državnoj maturi koristit će se za sumativno vrednovanje rada učenika. Opis bodovanja i ocjenjivanje U zadacima višestrukoga izbora, svaki ispravno riješen zadatak donosi jedan bod. Neispravni odgovori ne donose negativne bodove.

3

U zadacima kratkih odgovora, svaki ispravno riješen zadatak donosi jedan bod. Ako zadatak traži više kratkih odgovora, svaki donosi jedan bod. U zadacima produljenih odgovora boduje se postavljanje zadatka, postupak i odgovor prema razrađenoj bodovnoj shemi.

4

A RAZINA

5

Udio sadržaja u strukturi maturalnog ispita – A razina

Brojevi i algebra 20%

Funkcije 25%

Jednadžbe i nejednadžbe 20%

Geometrija 25%

Modeliranje 10%

• razlikovati skupove

N Z Q R C , , , ,• elementarno računati

( , , , :+ − ⋅ , korjenovati, potencirati, određivati apsolutne vrijednosti, zaokruživati)

• koristiti postotke i omjere • provoditi operacije s

potencijama i korijenima • znati binomni poučak • znati računati s

algebarskim izrazima i algebarskim razlomcima

• koristiti džepno računalo • računati s jedinicama za

duljinu, površinu, obujam, vrijeme, masu i novac

• poznavati pojam funkcije,

način njezinog zadavanja i operacije s njima ( , , , :+ − ⋅ , kompozicija)

• znati svojstva rasta/ pada, parnosti/ neparnosti i periodičnosti funkcije

• poznavati linearnu funkciju i njezin graf

• poznavati kvadratnu funkciju i njezin graf

• poznavati funkcije apsolutne vrijednosti i drugog korijena i njihove grafove

• poznavati grafove polinoma i racionalnih funkcija

• poznavati eksponencijalnu i logaritamsku funkciju i njihove grafove

• poznavati trigonometrijske funkcije i njihove grafove

• poznavati pojam niza • poznavati pojam derivacije

funkcije

• rješavati linearne

jednadžbe i nejednadžbe • rješavati kvadratne

jednadžbe i nejednadžbe • rješavati jednadžbe i

nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima i s

• rješavati jednostavnije polinomske i racionalne jednadžbe i nejednadžbe

• rješavati eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe

• rješavati trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe

• rješavati sustave gore navedenih jednadžbi i nejednadžbi

Elementarna geometrija: • znati elementarnu geometriju

likova u ravnini • poznavati prizmu, piramidu,

valjak, stožac, kuglu Trigonometrija: • poznavati trigonometriju

pravokutnog trokuta • znati poučak o sinusima i

kosinusima • znati primjenjivati

trigonometriju u planimetriji i stereometriji

Analitička geometrija: • koristiti koordinatni sustav na

pravcu i u ravnini • poznavati pojam vektora,

provoditi operacije s vektorima • poznavati jednadžbu pravca • poznavati pojam i elemente

krivulje drugog reda, njihove jednadžbe i skice

Rješavati zadatke koristeći • brojeve • algebru • geometriju • funkcije • jednadžbe • nejednadžbe • grafički prikaz

ISPIT A

U ZADATCIMA 1.-11. ZAOKRUŽITE JEDAN OD PONUĐENIH ODGOVORA

1. Za kvadratnu jednadžbu 21 4 4 09 3

x x− + = vrijedi tvrdnja:

A. jednadžba ima dva (različita) realna rješenja

B. jednadžba nema realnih rješenja

C. jednadžba ima samo jedno (dvostruko) rješenje

D. jednadžba se ne može riješiti

2.

3 2

2 2

1:1

a aa a

− −

−

+=

− A.

1a

a−

B. 1

aa −

C. 1aa−

D. 1 aa−

3. U jednoj tableti je dobrih bakterija. Dijete od 10 godina smije popiti najviše dvije takve tablete tri puta na dan. Koliko najviše tih dobrih bakterija dijete smije unijeti u organizam u jednom danu?

75.2 10⋅

A. 85.2 10⋅

B. 81.04 10⋅

C. 81.56 10⋅

D. 83.12 10⋅

4. Iracionalno rješenje jednadžbe jednako je: 12427 =−⋅ xx

A. 2log 3

B. 3log 2

C. 3log 4

D. 4log 3

6

ISPIT A

5.

Koja je od nacrtanih funkcija rastuća samo na intervalu [ ]0,5 ?

A.

y

x0 5

B.

y

x0 5

C.

y

x0 5

D.

y

x0

5

6. Ako je loga x s= i , onda je tya =2log =yx

alog

A. 2

s t−

B. st

C. 2ts−

D. 2ts −

7

ISPIT A

7. Apscise istaknutih točaka K, L, M, N, P na slici rješenja su jednadžbe:

PNMLK

0

1

y

x

0.5

−2π −π 2ππ

A. 2sin 1 0x − =

B. 2s in 1 0x + =

C. 2cos 1 0x − =

D. 2cos 1 0x + =

8.

Koji je od ponuđenih vektora okomit na vektor ?

⎯→⎯

AB

A

B

1

10

y

x

A. 3 4i j → →

− −

B. 4 3i j→ →

− −

C. 3 4i j → →

−

D. 4 3i j → →

− +

9. Zadane su funkcije: 2( )5

f xx

=+

i 3( ) 3 1g x x= + .

( )(21)f g =

A. 29

B. 31613

C. 813

D. 349

10. Duljine osnovica trapeza su 10 cm i 3 cm. Udaljenost polovišta dijagonala trapeza je: A. 6.5 cm

B. 5

C. 3.5 cm

D. 3 cm

8

ISPIT A

11. Plin je poskupio 15%. Koliko treba pojeftiniti da bi mu krajnja cijena bila 5.5% veća od cijene prije poskupljenja? A. 7.80%

B. 8.26%

C. 8.96%

D. 9.50%

ODGOVORITE NA ZADATKE OD 12.- 23.

12. Za koji realan broj a sustav 4 33 5

x yx ay

3+ =⎧⎨ + =⎩

nema rješenje?

Odgovor:___________________________

13. Skicirajte skup točaka ravnine zadan jednadžbom 2 2 6 8 9 0x y x y+ + − + = .

x10

1

y

14. Svjetski rekord u trčanju na 100 m je 9.73 s. Koliko je to km/h?

Odgovor:___________________________ km/h

9

ISPIT A

15. Grafovi funkcija f i g su prikazani na slici.

y = f (x)

y = g(x)

(5,0)

(0,6)

(-3,3)

Rješenje nejednadžbe ( ) ( )f x g x≥ je interval ____________________________

16. Broj zapišite u obliku a( 31 2i− + ) bi+ .

Odgovor: ___________________________

17. Odredite domenu funkcije

( )25log 4

( )5

xf x

x−

=+

.

Odgovor: ___________________________

18. Odredite mjeru kuta koji s pozitivnom zrakom x osi zatvara pravac 2 3y x= + .

Odgovor: ______________ ° _____' _____''

19. Metalnu kuglu obujma 36π cm3 treba pretopiti u valjak. Odredite visinu valjka ako je polumjer baze valjka jednak polumjeru kugle.

Odgovor: ___________________________ cm

10

ISPIT A

20. Nacrtajte graf funkcije ( ) 2 4xf x = − .

x10

1

y

21. Usporedno s pravcem x y− + =2 12 0 8 povučene su tangente na elipsu 3 4 . Odredite njihove jednadžbe.

42 2x y+ =

Odgovor: ____________________________

22. Na intervalu [ ]0,5x π∈ riješite nejednadžbu: 2sin cos4 4

x xπ π− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4

.

Odgovor: ____________________________

23. STADION

Posljednji, 25- ti red stadiona može primiti 2048 gledatelja. Svaki prethodni red prima 20 gledatelja manje.

a) Koliko gledatelja prima prvi red stadiona?

Odgovor: ______________________________

b) Koliko je gledatelja na stadionu, ako je popunjen do posljednjeg mjesta?

Odgovor: ______________________________

11

ISPIT A

Svečana loža stadiona ima 225 mjesta i smještena je unutar 5-tog do 10-tog reda. Svaki njezin red počevši od najnižeg ima pet sjedala više od prethodnoga.

c) Koliko mjesta ima u prvom redu svečane lože?

Odgovor: ________________________________

U ZADATCIMA 24.-26. PRIKAŽITE POSTUPAK RJEŠAVANJA

24. Jednadžba tangente na graf funkcije 2( ) 2 5f x x x k= − + u točki s apscisom px = jednaka je . Odredite p i k. 7 12y x= −

Odgovor: p = __________, k =___________________

25. Zadana je funkcija ( )3 21( ) 2 155

f x x x= + − x .

a) Odredite nultočke funkcije.

Odgovor: ___________________________

b) Odredite (lokalne) ekstreme funkcije. Odgovor: ___________________________

12

ISPIT A

c) Skicirajte graf funkcije.

x10

1

y

26. RAZGOVOR

Dubravka i Ivana komuniciraju elektronskim uređajem dometa 500 m. Dubravka stoji na mjestu, a Ivana hoda kako je prikazano na slici. Koliko metara Ivana može hodati od trenutka uspostavljanja do trenutka prekida komunikacije?

A

688 m

43°24'

IVANA

DUBRAVKA

Odgovor: _______________________________ m

13

A RAZINA

14

= − = +

F O R M U L E

• Kompleksan broj: 2 1, ,i z a bi ,z a bi= − 2 2 ,z a b= + , Ra b∈ • (cos sin )z r iϕ ϕ= + , , ( )1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sin( )z z r r iϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = + + +

( )1 11 2 1 2

2 2cos( ) sin( )z r i

z rϕ ϕ ϕ ϕ= − + − , (cos sin )n nz r n i nϕ ϕ= + ,

2 2cos sin , 0,1,..., 1n n k kz r i k nn n

ϕ π ϕ π⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

−

• m n m na a a +⋅ = , 0)n a−: (m n ma a a= ≠ , 1 ( 0)mma a

a− = ≠ ,

nm n ma a=

• ( )2 2 22a b a ab b± = ± + , ( )3 3 2 23 3a b a a b ab b3± = ± + ±

• 2 2 ( )( )b a b+ , )ab b a b a− = − a b a b a± = ± +∓n n n

a b a a b a b ak n

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3 2 2( )(

• ( ) 1 1... ...1 1

n n n n k k n nb b− +

• Kvadratna jednadžba: 2

21,2

40, 02

b b acax bx c a xa

− ± −+ + = ≠ ⇒ =

• Vièteove formule: 1 2 1 2, b cx x x xa a

+ = − ⋅ =

• Tjeme parabole: 2 4,

2 4b b acTa a

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

• log , logxbb a x a= ⇔ = log b xx

b b x b= =

• log ( ) log logb b bxy x= + y , log log logb b bx x y , ly

= − og logyb bx y x= , loglog

logb

ab

xxa

=

• Površina trokuta: 2

aa vP ⋅= , ( ) ( ) ( ),P s s a s b s c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

2a b cs + +

=

sin2

abP γ= ,

4 o

abcPr

= , uP r s=

• Jednakostraničan trokut: visina: 32

av = , površina: 2 34

aP = , 23or v= , 1

3ur v=

• Površina paralelograma: P a v= ⋅ • Površina trapeza: 2

a cP v+=

• Površina kruga: 2P r π= • Opseg kruga: 2O rπ=

• Površina kružnog isječka: 2

360rP πα

= • Duljina kružnog luka: 180rl πα

=

• Obujam prizme i valjka: V B h= ⋅ , • Oplošje prizme i valjka: 2O B P= +

• Obujam piramide i stošca: 13

V B h= ⋅ , • Oplošje piramide: ,O B P= + stošca: 2O r r sπ π= +

• Obujam kugle: 343

V r π= , • Oplošje kugle: 24O r π=

• U pravokutnom trokutu:

nasuprotna katetasinus kuta =hipotenuza

, priležeća katetakosinus kuta =hipotenuza

, nasuprotna katetatangens kuta =priležeća kateta

• Poučak o sinusima:sin sin sin

a b cα β γ

= = • Poučak o kosinusima: 2 2 2 2 cosc a b ab γ= + −

A RAZINA

15

• 2 2sin cos 1x x+ = , sintg ,cos

xxx

= sin 2 2sin cosx x x= , 2 2cos 2 cos sinx x x= −

( )sin sin cos sin cosx y x y y x± = ± , ( )cos cos cos sin sinx y x y x y± = ∓ , tg tgtg( )1 tg tg

x yx yx y±

± =⋅∓

• Udaljenost točaka 1 2,T T : )( ) (2 21 2 2 1( , )d T T x x= − + 2 1y y−

• Polovište dužine 1 2T T : 1 2 ,2 2

x 1 2x yP + +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

y

• Površina trokuta 1 2 3T T T : ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 212

P x y y x y y x y y= − + − + −

• Vektor 1 2T T⎯⎯→

: 1 2 2 1 2 1 1 2( ) ( )T T a x x i y y j a i a j⎯⎯→

= = − + − = +

• Skalarni umnožak vektora: cosa b a b α⋅ = ⋅⋅ , 1 1 2 2a b a b a b→ →

⋅ = +

• Jednadžba pravca: ( )1 1y y k x x− = − , 2 1

2 1

y ykx x

−=

− • Kut između dvaju pravaca: 2 1

1 21k ktg

k kα −

=+

• Udaljenost točke ( )1 1,T x y i pravca p... 0Ax By C+ + = : 1 1

2 2( , )

Ax By Cd T p

A B

+ +=

+

Krivulja drugog reda

Jednadžba Tangenta u točki krivulje ( 1 1,x y ) Uvjet dodira pravca i krivulje y kx l= +

Kružnica središte

( , )S p q 2 2( ) ( ) 2x p y q− + − = r ( )( ) ( )( ) 2

1 1x p x p y q y q r− + − − = ( )− ( )22 21r k kp q l+ = − +

Elipsa fokusi

1,2 ( ,0)F e±

2 2

2 2 1x ya b

+ = , 2 2e a b= − 2 1 12 2 1x x y y

a b+ = 2 2 2 2a k b l+ =

Hiperbola fokusi

1,2 ( ,0)F e±

2 2

2 2 1x ya b

− = ,

2 2e a bby xa

= +

= ±

2

1 12 2 1x x y y

a b− = 2 2 2 2a k b l− =

Parabola fokus

,02pF ⎛

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1 1y y p x x= + 2 p⎞

2 2y px=

kl=

• Aritmetički niz: 1 ( 1)na a n d= + − ⋅ , 1( )2n nnS a a= +

• Geometrijski niz: 11

n , na a q −= ⋅ 111

n

nqS aq

−=

−

• Geometrijski red: 1 , | | 11

aS qq

= <−

• Derivacija umnoška: ( ) ´´ ´f g f g f g⋅ = ⋅ + ⋅ ; Derivacija kvocijenta: 2´ ´f f g f g

g g

′⎛ ⎞ ⋅ − ⋅=⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Tangenta na graf funkcije f u 1 1( , )T x y : ( ) ( )1 1 1x⋅ − y y f x x′− =

' 0c = ( ) 1,n nx n x −′ = ⋅ 0n ≠ ( )sin cos

• Derivacije:

x x′ = ( )cos sin x′ = − ( ) x 21tg

cosx ′ =

x

B RAZINA Udio sadržaja u strukturi maturalnog ispita – B razina

Brojevi i algebra

45% Funkcije

10% Jednadžbe i nejednadžbe

15% Geometrija

15% Modeliranje

15% • razlikovati skupove

RQZN ,,, • elementarno računati

( , , , :+ − ⋅ , korjenovati, potencirati, određivati apsolutne vrijednosti, zaokruživati)

• koristiti postotke i omjere • znati računati s

algebarskim izrazima • koristiti džepno računalo • računati s jedinicama za

duljinu, površinu, obujam, vrijeme, masu i novac

• poznavati pojam funkcije i

način njezinog zadavanja • poznavati linearnu funkciju

i njezin graf • poznavati kvadratnu

funkciju i njezin graf • poznavati eksponencijalnu

i logaritamsku funkciju i njihove grafove

• rješavati linearne

jednadžbe i nejednadžbe • rješavati kvadratne

jednadžbe i nejednadžbe • rješavati jednostavnije

eksponencijalne i logaritamske jednadžbe

• rješavati jednostavnije sustave gore navedenih jednadžbi

• znati elementarnu geometriju

likova u ravnini • poznavati prizmu, piramidu,

valjak, stožac, kuglu • koristiti koordinatni sustav na

pravcu i u ravnini • poznavati jednadžbu pravca

Rješavati zadatke koristeći: • brojeve • algebru • geometriju • funkcije • jednadžbe • nejednadžbe • grafički prikaz

16

ISPIT B

U ZADATCIMA 1.-12. ZAOKRUŽITE JEDAN OD PONUĐENIH ODGOVORA

1. Zajednički dio zatvorenih intervala prikazanih na slici sadrži:

− 32

4

2-5

A. 5 cijelih brojeva

B. 4 cijela broja

C. 3 cijela broja

D. 2 cijela broja

2. Marko je pročitao 2/3, Ana 7/11, Pero 5/6 i Višnja 1/2 iste knjige. Tko je pročitao najviše?

A. Marko

B. Ana

C. Pero

D. Višnja

3. Ako je , tada je b jednako: 2 2O a= + b

A. 22Ob a= +

B. 22

b a= −O

C. 2O a+2

b =

D. 2O a−2

b =

4. Skupu svih rješenja nejednadžbe 3 2 0x− < pripada broj:

A. 2

B. 1

C. −1

D. −2

17

ISPIT B

5. Pravcu na slici pripada točka:

A. ( )1,3− B. ( )3, 1− C. ( )4,3 D. ( )4, 4−

6. 1 1a b

− =

A. a bab−

B. b aab−

C. 1a b−

D. b a−

7. 12.3 sati je:

A. 12 sati i 3 minute

B. 12 sati i 18 minuta

C. 12 sati i 20 minuta

D. 12 sati i 30 minuta

8. log 25 log 4+ =

A. log 29

B. log 21

C. 2

D. 10

18

ISPIT B

9. Računalo gubi na vrijednosti 20% svake godine. Ako je kupljeno za 3500 kn, kolika mu je vrijednost nakon dvije godine?

A. 140 kn

B. 560 kn

C. 2 240 kn

D. 2 800 kn

10. U jednoj tableti je dobrih bakterija. Dijete od 10 godina smije popiti najviše dvije takve tablete tri puta na dan. Koliko najviše tih dobrih bakterija dijete smije unijeti u organizam u jednom danu?

75.2 10⋅

A. 85.2 10⋅

B. 81.04 10⋅

C. 81.56 10⋅

D. 83.12 10⋅

11. Na kojoj je slici prikazan graf funkcije 2( )f x x x= − − ?

A.

0

1

1

y

x

B.

0

1

1

y

x

C.

0

1

1

y

x

D.

0

1

1

y

x

19

ISPIT B

12. Duljine stranica pravokutnog trokuta su 3 cm, 4 cm i 5 cm. Površina tog trokuta iznosi:

A. 6 cm2

B. 10 cm2 C. 12 cm2

D. 30 cm2

ODGOVORITE NA ZADATKE OD 13.- 23.

13. Pomnožite i pojednostavnite 5( 4)(3 2 ).x x− +

Odgovor:_____________________________

14. Riješite sustav jednadžbi 2 3 34 7

x yx y 5

+ =⎧⎨ + =⎩

Odgovor: x = , y =_________ __________

15. Riješite jednadžbu . 210 3 1 0x x− − =

Odgovor: x1 = , x2 =_________________

16. Cijena mandarina proporcionalna je njihovoj masi. Dopunite tablicu:

masa 3 kg 2.5 kg

cijena 13.5 kn 56.25 kn

17. Popunite: 2

23 4 x⎛ ⎞

+ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

18. Izračunajte 3

42

3 5 1 52 5 2−

⋅+ ⋅

⋅.

Odgovor: _____________________________

19. Odredite x iz jednadžbe 1

210 0.1x

+= .

Odgovor: x =__________________________

20

ISPIT B

20. Odredite opseg lika sa slike.

7 cm

10 cm

5 cm

Odgovor: _____________________________ cm

21. Putanja lopte opisana je funkcijom 21 2 1100 5

h x x= − + + , gdje je h visina lopte iznad

zemlje u metrima, a x horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja. Odredite visinu najvišeg položaja lopte iznad zemlje.

Odgovor: ______________________________

22. SNIJEG NA ZAVIŽANU Graf prikazuje visinu snijega izmjerenog na Zavižanu tijekom jednog tjedna:

visina snijega (cm)

vrijememjerenja

50

20

ponnedsubpetčetsriuto6:00 6:00 6:006:006:006:006:006:00

pon

a) Kolika je visina snijega izmjerena u nedjelju u 6:00 sati?

Odgovor: _____________ cm

b) Visina snijega je rasla u dva navrata. Koliko je ukupno centimetara snijega napadalo u ta dva navrata? Odgovor: _____________ cm

21

ISPIT B

23. LEDENICA

Veza temperature T u ledenici i vremena t koliko je ledenica uključena zadana je formulom: ( ) 1.2 22T t t= − + . Pri tome je temperatura izražena u °C, a vrijeme u

minutama.

a) Kolika je temperatura u ledenici pola sata nakon uključenja?

Odgovor: _________________________°C

b) Koliko minuta poslije isključenja je temperatura u ledenici bila 0°C?

Odgovor: __________________________ min

U ZADATCIMA 24.-25. RIJEŠITE ZADATAK I PRIKAŽITE POSTUPAK RJEŠAVANJA

24. Zadane su funkcije 2( ) 2 3f x x x= − − i ( ) 1g x x= − − .

a) Prikažite njihove grafove u istom koordinatnom sustavu.

x10

1

y

b) Izračunajte udaljenost sjecišta grafova tih funkcija.

Odgovor: ____________________

22

ISPIT B

25. ZDRAVA PREHRANA

Dnevna potreba odrasle osobe iznosi 5 g ugljikohidrata i 0,9 g bjelančevina po 1 kg težine.

Kilogram hrane A ima 10 g ugljikohidrata i 160 g bjelančevina, dok kilogram hrane B ima 220 g ugljikohidrata i 20 g bjelančevina. Koliko kilograma hrane A i B treba konzumirati da se zadovolje dnevne potrebe ugljikohidrata i bjelančevina osobe koja je teška 50 kg?

Odgovor: Hrane A ____________kg

Hrane B_____________ kg

23

B RAZINA

24

F O R M U L E

• m n m na a a +⋅ =

• : ,m n m na a a −= 0a ≠

• 1 ,mma

a− = 0a ≠

• ( )2 2 22a b a ab b± = ± +

• 2 2 ( )(a b a b a b− = − + )

• Rješenja kvadratne jednadžbe 2 0, 0 :ax bx c a+ + = ≠2

1,24

2b b acx

a− ± −

=

• Tjeme parabole: 2 4,

2 4b b acTa a

⎛ ⎞−− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

• 10 logx a x a , log= ⇔ = log10 10x xx= =

• log( ) log logxy x y , = + log log logx x yy

= − , log logyx y x=

• Površina trokuta: 2

aa vP ⋅=

• Površina paralelograma: P a v= ⋅

• Površina kruga: 2P r π= • Opseg kruga: 2O rπ=

B = površina baze, = površina pobočja, = duljina visine P h

• Obujam prizme i valjka: V B h= ⋅ • Oplošje prizme: P 2O B= +

• Obujam piramide i stošca: 13

V B h= ⋅ • Oplošje piramide: O B P= +

• Obujam kugle: 343

V r π=

• Udaljenost točaka 21 ,TT : )( ) (2 21 2 2 1( , )d T T x x= − + 2 1y y−

• Jednadžba pravca: ( )1 , 1 xxkyy −=−12

12

xxyyk

−−

=

• Uvjet usporednosti pravaca: 1 2k k=