108522117 04 2 Matrices de Red Analisis Nodal
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U4 (2) – Matrices de Redes Eléctricas
Fundamentos de Ingeniería Eléctrica Posgrado en Ingeniería Eléctrica del Instituto Tecnológico de La Laguna
1
MATRICES DE REDES ELÉCTRICAS (análisis nodal)
INTRODUCCIÓN
En el análisis de circuitos eléctricos es común escoger una técnica de solución
basada en el análisis nodal o análisis de mallas. De estas técnicas surgen las
ecuaciones de la red eléctrica que, cuando se tratan de circuitos de dos o más
nodos o mallas, se obtienen conjuntos de ecuaciones que deben resolverse
simultáneamente; de aquí se derivan las matrices de red del circuito eléctrico.
La técnica de solución llega a ser trascendental cuando la topología del circuito
llega a cambiar. Por ejemplo, se cambia la topología del circuito y se resuelve
usando las leyes de Kirchhoff: leyes de nodos y leyes de mallas
Ecuaciones de circuitos donde los incisos a) y c) serán planteados por mallas y
los incisos b) y d) por nodos.
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2
Mallas: ∑V = 0, se calculan las corrientes de malla.
a)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−++
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
IzIyIx
ZeZcZeZeZeZdZbZd
ZdZdZa
V
V
0
0
201
La solución es:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−++
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
201
0
0 1
V
V
ZeZcZeZeZeZdZbZd
ZdZdZa
IzIyIx
c)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+−
−+++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
IzIwIyIx
ZfZcZfZfZfZeZe
ZeZeZdZbZdZdZdZa
V
V
000
000
2001
La solución es:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+−
−+++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
2001
000
000 1
V
V
ZfZcZfZfZfZeZe
ZeZeZdZbZdZdZdZa
IzIwIyIx
Nodos: ∑I = 0. Solo se cuenta con dos nodos (x e y) y se calculan los
voltajes nodales Vx y Vy. Se cambia la impedancia Z por admitancia Y.
b)
( ) ( )
( )( ) YbVyVxYdYbYaYaVIj
YaVYbVyVxYdYbYa
VyVxYbYdVxVVxYaZb
VyVxZdVx
ZaVVx
−++===−−++=
−++−=−
++−
=
1010
110
Nodo x
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( ) ( )
( )( )VyYeYcYbYbVxYcV
YcVVyYeYcYbYbVx
VVyYcYeVyVxVyYbZc
VVyZeVy
ZbVxVy
+++−==−+++−=
−++−=−
++−
=
2Im20
220
Nodo y
Matricialmente
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−
−++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡VyVx
YeYcYbYbYbYdYbYa
II
m
j
La solución es:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−
−++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
m
j
II
YeYcYbYbYbYdYbYa
VyVx 1
d)
( ) ( )
( )( ) YbVyVxYdYbYaYaVIj
YaVYbVyVxYdYbYa
VyVxYbYdVxVVxYaZb
VyVxZdVx
ZaVVx
−++===−−++=
−++−=−
++−
=
1010
110
Nodo x
( ) ( ) ( )
( )( )VyYfYeYcYbYbVxYcV
YcVVyYfYeYcYbYbVx
VVyYcVyYfYeVxVyYbZc
VVyZfVy
ZeVy
ZbVxVy
++++−==−++++−=
−+++−=−
+++−
=
2Im20
220
Nodo y
Matricialmente
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++−
−++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡VyVx
YfYeYcYbYbYbYdYbYa
II
m
j
La solución es:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++−
−++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
m
j
II
YfYeYcYbYbYbYdYbYa
VyVx 1
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4
Se visualiza que:
• En el análisis de mallas aumenta el orden (grado) del sistema de
ecuaciones cuando se agrega un elemento en paralelo.
• En el análisis nodal, considerando admitancias, el elemento paralelo que
se agrega al circuito se suma a la admitancia propia del nodo donde se
agrega el elemento y el orden del sistema de ecuaciones permanece
igual.
• El análisis nodal maneja menor número de ecuaciones y variables que el
análisis de mallas.
• La numeración de nodos en el circuito eléctrico permite manipular el
conjunto de ecuaciones para facilitar la solución del sistema al realizar
partición de matrices como el usado método reducción de Kron.
• El análisis nodal facilita la manipulación de datos en computadora.
• Los voltajes nodales se obtienen directamente de la solución y así las
corrientes de las ramas se calculan fácilmente.
• En el análisis nodal se puede considerar una fuente como la inyección de
corrientes nodales o fuentes de voltaje.
• La matriz de admitancias del análisis nodal muestra la conectividad entre
nodos de la red eléctrica.
El análisis de redes eléctricas de potencia significa que el circuito eléctrico está
conformado por varios cientos de nodos o mallas que deben ser conformados
en un sistema de ecuaciones. Las ventajas del análisis nodal son apreciadas en
este tipo de circuitos y por ello solo se trata el análisis nodal en redes.
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ANÁLISIS BÁSICO DE REDES ELÉCTRICAS
Los elementos en una red eléctrica son básicamente las fuentes de voltajes y
corrientes, los parámetros como resistencias, inductancias y capacitancias, y
finalmente las cargas como las cargas lineales o no lineales.
La configuración de la red, esto es, la conectividad entre diversos circuitos,
permite solucionar la red a partir de las ecuaciones de red de acuerdo a las
leyes de Kirchhoff.
Las fuentes en una red eléctrica pueden representarse como fuentes
equivalentes de voltaje (de acuerdo a Helmholtz-Thevenin) o como fuente
equivalente de corriente (de acuerdo a Helmholtz-Norton).
Fuente equivalente de voltaje Fuente equivalente de corriente
(equivalente de Thevenin) (equivalente de Norton)
( )
VYoIoIZoV
ZoEo
ZoVEoI
IZoEoV
−=
−=−
=
−=
( )
IZoEoVYoI
YoIo
YoIIoV
VYoIoI
−=
−=−
=
−=
Se recuerdan textualmente la ley de nodos y la ley de mallas mostradas en la
primera figura del documento:
Ley de nodos: “la corriente total que fluye hacia un nodo es cero” o “las
corrientes que entran en un nodo igualan a las corrientes que salen de ese
nodo”.
Ley de mallas: “la suma de voltajes alrededor de una malla cerrada es cero” o
“las fuentes de voltajes en una malla cerrada iguala a la suma de las caídas de
voltajes de la misma malla”.
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FORMULACIÓN NODAL
En este documento se tratarán dos métodos para formar la matriz de red;
matriz de impedancia Zbus o de admitancia Ybus, las cuales son recíprocas. El
primer método tiene que ver con el análisis de la topología de la red
empleando transformaciones lineales y es muy útil computacionalmente, y el
segundo método más fácil y empleado comúnmente que es por inspección.
Formación de matrices de red por transformaciones lineales
La formulación de un modelo matemático es el primer paso en el análisis de
una red eléctrica. Dicho modelo debe describir las características de los
componentes o elementos individuales de la red así como incluir la
interconexión de estos elementos. Como elementos de la red se pueden
mencionar las impedancias o admitancias de la red y las fuentes de voltaje o
corriente.
Los siguientes pasos resumen la formación de la matriz de red:
• La red eléctrica se reemplaza por una estructura geométrica (grafo),
donde los segmentos de línea son los elementos y los vértices o
terminaciones de línea son los nodos o buses.
o Se deben enumerar los elementos y los nodos de forma arbitraria,
incluyendo el nodo de tierra el cual por conveniencia se numera
como nodo 0.
o Se numeran los buses de manera arbitraria, excepto el de tierra
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o Enseguida se numeran los elementos, indicando arbitrariamente la
dirección del flujo de potencia, excepto en los elementos (fuentes)
que tienen conexión con nodo 0 porque se supone que el flujo va
de negativo a positivo; de aquí surge el grafo.
o A partir de este grafo se forma la matriz de conectividad
(incidencia) entre nodos dado por los elementos y la matriz de
impedancia primitiva.
o La matriz de conectividad se forma considerando el nodo de salida
como +1 y el nodo de entrada como -1. Esto se da en una matriz
de nodos vs elementos:
Nodos
Element
0 1 2 3 4
e1 1 -1 0 0 0
e2 1 0 -1 0 0
e3 1 0 0 0 -1
e4 0 0 0 -1 1
e5 0 0 1 -1 0
e6 0 1 -1 0 0
e7 0 0 1 0 -1
Enseguida se elimina la columna del nodo 0
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Nodos
Elem.
1 2 3 4
e1 -1 0 0 0
e2 0 -1 0 0
e3 0 0 0 -1
e4 0 0 -1 1
e5 0 1 -1 0
e6 1 -1 0 0
e7 0 1 0 -1
A esta matriz se le conoce como matriz de incidencia y se denota como A
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−
=
10100011011011001000
00100001
A
o La matriz de impedancia primitiva Zprim simplemente se forma como
una matriz diagonal donde el número de elemento es la posición en la
diagonal de la matriz. Existirán elementos fuera de la diagonal si llegara
a existir acoplamientos mutuos entre elementos (impedancias) y esto se
da cuando se conectan alimentadores distintos en paralelo
interconectando los mismos nodos. Cuando esto sucede, a veces por
simplicidad se considera un solo alimentador con su impedancia
modificada por el paralelismo entre líneas.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
7000000060000000500000004000000030000000200000001
7654321
..7..6..5..4..3..2..1
zeze
zeze
zeze
ze
eeeeeee
eeeeeee
Zprim
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Se puede calcular igualmente la matriz de admitancia primitiva Yprim como: 1−= ZprimYprim
o Entonces, para obtener directamente la matriz de red Ybus se usa la
siguiente expresión:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−−+−−−+++−
−+
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−
=
⋅⋅=
743470454507576526
00661
10100011011011001000
00100001
7000000060000000500000004000000030000000200000001
10100011011011001000
00100001
yeyeyeyeyeyeyeyeyeyeyeyeyeyeyeye
yeyeye
Ybus
yeye
yeye
yeye
ye
Ybus
AYprimAYbusT
T
La matriz Zbus se obtiene de la inversa de Ybus 1−= YbusZbus
Formación de matrices de red por inspección
La formulación de la matriz de red Ybus o Zbus se puede obtener mediante la
inspección o visualización de la conectividad que hay entre nodos por medio de
los elementos de red.
A partir de la matriz Ybus resultante de la formulación anterior se visualiza lo
siguiente (esta es la inspección de la red):
o Los elementos diagonales corresponden a la suma de todas las
admitancias que se conectan o inciden en ese nodo.
o ∑≠=
=n
ikkkiii yY
,0,, para i=1,2,…,n
Donde n = número de nodos exceptuando el de referencia y
k=0 contempla admitancia de elementos paralelo (fuentes,
reactores, capacitores, etc).
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o Los elementos fuera de la diagonal dan información de la conectividad
entre nodos (es 0 si no hay conexión) y su valor en la matriz es el
negativo de la admitancia del elemento que interconecta dos nodos (j,k)
y su posición en la matriz corresponde a las coordenadas dadas por
dichos nodos que se interconectan.
o kjkjjkjk
kjkj
YyyY
yY
,,,,
,,
=−=−=
−=
Esta reciprocidad hace que en principio la matriz Ybus sea
una matriz simétrica.
Ejemplo 1
Considerar la siguiente red eléctrica en donde existe información de
acoplamientos mutuos entre líneas paralelas.
Impedancias propias Impedancias mutuas
Elementos Z (pu) Nodos ……………… Elementos Z (pu) Líneas entre nodos
e1 0.6 0 – 1 e1—e4 0.2 (0–1) y (0–1)
e2 0.5 0 – 2 e1—e2 0.1 (0–1) y (0–2)
e3 0.5 2 – 3
e4 0.4 0 – 1
e5 0.2 1 – 3
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1- Formar grafo de la red eléctrica
2- Formar matriz de incidencia por inspección
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−↓→
=
101000111100
01010011
54321
..3..2..1..0
eeeee
elemnodos
A
3- Formar matriz Zprim, con las impedancias mutuas dadas en la tabla
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−−−−−−−
=
2.0000004.0002.0005.0000005.01.002.001.06.0
541,4
321,2
4,12,11
zezeeze
zezeeze
ezeezeze
Zprim
4- Calcular matriz Yprim, con la inversa de Zprim
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
−
−
5000000208.302083.00417.10020002083.000833.24167.000417.104167.00833.2
2.0000004.0002.0005.0000005.01.002.001.06.0 1
1ZprimYprim
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5- Calcular Ybus con: AYprimAYbus T ⋅⋅=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
72520833.42083.052083.00208.8
101001110
010001
5000000208.302083.00417.10020002083.000833.24167.000417.104167.00833.2
101001110
010001
Ybus
Ybus
T
6- Calcular Zbus con: 1−= YbusZbus
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
−
3609.01885.02299.01885.03437.01264.02299.01264.02713.0
72520833.42083.052083.00208.8 1
Zbus
Ejemplo 2
Considere el circuito del ejemplo 1 pero sin las impedancias mutuas. Utilizar el
método de transformación lineal para comparar resultados y después usar el
método de inspección.
Resumen de datos de impedancias de la red sin impedancias mutuas
Elementos Z (pu) Nodos
e1 0.6 0 – 1
e2 0.5 0 – 2
e3 0.5 2 – 3
e4 0.4 0 – 1
e5 0.2 1 – 3
1- Formar grafo de la red eléctrica
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2- Formar matriz de incidencia por inspección
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−↓→
=
101000111100
01010011
54321
..3..2..1..0
eeeee
elemnodos
A
3- Formar matriz Zprim, con las impedancias mutuas dadas en la tabla
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
=
2.0000004.0000005.0000005.0000006.0
54
32
1
zeze
zeze
ze
Zprim
4- Calcular matriz Yprim, con la inversa de Zprim
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
−
−
5000005.2000002000002000006667.1
2.0000004.0000005.0000005.0000006.0 1
1ZprimYprim
5- Calcular Ybus con: AYprimAYbus T ⋅⋅=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
725240501667.9
101001110
010001
5000005.2000002000002000006667.1
101001110
010001
Ybus
Ybus
T
6- Calcular Zbus con: 1−= YbusZbus
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
−
3056.01528.01667.01528.03264.00833.01667.00833.02.0
725240501667.9 1
Zbus
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MÉTODO POR INSPECCIÓN:
1- Se plasma el gráfico de la red eléctrica con los valores de admitancia de los
elementos de red.
2- Se calculan los elementos de la diagonal de la matriz como:
∑≠=
=n
ikkkiii yY
,0,, para i=1,2,3 con n=3
( ) { {
{ { {
{ { {
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
=++=++=
=++=++=
=+++=++=
00.700.4
1667.9
7250
000.4202
1667.9506667.15.2
3,3
2,2
1,1
2,31,30,33,3
3,21,20,22,2
3,12,10,11,1
2,31,30,3
3,21,20,2
3,12,10,1
YY
YYbus
yyyY
yyyY
yyyY
yyy
yyy
yyy4434421
3- Por inspección se deducen las admitancias que conectan nodos del 1 al 3. El
nodo de referencia no se considera.
Se seguirá el procedimiento completo para verificar la conectividad; una vez
comprendida la metodología, se puede trabajar directamente sobre la matriz
Ybus y la red del sistema.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
−=−=−=−=−=−=−=−==−==−=
252050
00.200.200.500.500
2,31,3
3,21,2
3,12,1
2,32,33,23,23,13,1
1,31,31,21,22,12,1
YYYYYY
Ybus
yYyYyYyYyYyY
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4- Se conforma la matriz Ybus considerando las matrices anteriores obtenidas
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
725240501667.9
3,32,31,3
3,22,21,2
3,12,11,1
YYYYYYYYY
Ybus
Conclusiones
• La existencia de acoplamientos mutuos en una red no permite usar el
método por inspección para formar Ybus. La existencia de acoplamientos
mutuos se hace explícita y es siempre entre diferentes líneas o
alimentadores.
• El método de transformaciones lineales aquí mostrado es ineficiente por
la inversión de Ybus para obtener Zbus.
• El método de transformaciones lineales es aún más poderoso y puede
evitarse el uso de inversión para calcular Zbus, como aquí lo hemos
mostrado. El método versa en la manipulación de la matriz de incidencia
A, de acuerdo a la teoría de grafos aplicada a redes eléctricas.
o Una buena referencia es [Stagg, Computer methods in power
system analysis]
Ejemplo 3
Considere el siguiente sistema de potencia para formar sus matrices de red
Ybus y Zbus. Usar método de inspección.
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16
1- Sistema eléctrico en términos de admitancia
2- Calcular elementos de la diagonal principal de Ybus sumando todas las
admitancias que se conectan a dicho bus y por inspección determinar los
elementos fuera de la diagonal principal de la matriz Ybus.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−=
67.2620000002066.26033.333.3000067.1610000033.31066.261033.30033.301066.1633.3000033.333.366.1610000001015
jYbus
3- Calcular Zbus invirtiendo Ybus
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
== −
0.1065 0.0920 0.0271 0.0452 0.0520 0.0324 0.0216 0.0920 0.1227 0.0362 0.0603 0.0693 0.0432 0.0288 0.0271 0.0362 0.1016 0.0694 0.0573 0.0422 0.0282 0.0452 0.0603 0.0694 0.1157 0.0956 0.0704 0.0469 0.0520 0.0693 0.0573 0.0956 0.1475 0.0810 0.0540 0.0324 0.0432 0.0422 0.0704 0.0810 0.1505 0.1003 0.0216 0.0288 0.0282 0.0469 0.0540 0.1003 0.1336
1YbusZbus
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REDUCCIÓN DE KRON
La reducción de Kron es un método que permite eliminar aquellos nodos de
una red que no tienen inyección o extracción de corrientes. Por ejemplo, los
nodos que tienen inyección o extracción de corrientes son aquellos que tienen
conectados algún tipo de fuente como generadores, SVC, FACTS, etc., o cargas
como motores de inducción, reactores, etc. Los nodos de transferencia o de
paso no tienen inyección de corrientes.
Con la eliminación de nodos y las corrientes inyectadas o extraídas se procede
a calcular los voltajes o corrientes en el caso de fuentes de voltaje.
El método consiste en manipular la expresión algebráica I=Ybus*V para
acomodar en la parte superior del vector I las corrientes en los nodos de
inyección-extracción y en la parte baja los nodos con inyección-extracción de
corrientes cero. Consecuentemente la matriz Ybus debe modificarse y con ello
la red eléctrica.
Sea
( )T
reducida
AreducidaAT
AT
AA
AT
XXAT
XAA
X
AT
X
A
LLMKYbus
VYbusVLLMKVLLMKVI
VLMVMVVL
LVKVIVV
MLLK
II
VYbusI
1
11
10
0
*
−
−−
−
−=
=−=−=
−=→+=
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=
Se sabe que Ybus es una matriz que proporciona información de la
conectividad entre nodos. Entonces se aprovecha esto para formar el circuito
reducido.
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Ejemplo 4
Sea la red del ejemplo 3, pero cambiando las fuentes de voltaje por fuentes de
corrientes, emplear la reducción de Kron para formar una red reducida.
Se cambian fuentes de voltaje por corrientes y las impedancias por
admitancias.
Los nodos 1, 5 y 7 tienen inyección de corrientes. Usando la reducción de Kron
se podrán eliminar los nodos 2, 3, 4 y 6. De esta forma será conveniente
acomodar el vector de corrientes y voltajes como:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
4
3
2
7
5
1
6
4
3
2
7
5
1
*
VVVVVVV
Ybus
IIIIIII
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Se formará la matriz Ybus basandose en el acomodo de los vectores I y V.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−
−−−−
−−
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
====
6
4
3
2
7
5
1
6
4
3
2
7
5
1
*
67.2633.333.30200033.366.261033.3010033.31066.1633.3000
033.333.366.1600102000067.260001000067.160000100015
6432751
6432751
0000
VVVVVVV
j
nodonodonodonodonodonodonodo
nodonodonodonodonodonodonodo
IIII
III
De acuerdo a la partición de matrices: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= X
AT
X
A
VV
MLLK
II
0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
−−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
67.2633.333.3033.366.261033.333.31066.1633.3
033.333.366.16
200001000000010
200000100000010
67.2600067.1600015
jMjL
jLjK
T
Se calcula la nueva matriz Ybus reducida
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
−=
−
−
7,75,71,7
7,55,51,5
7,15,111
1
1
200001000000010
67.2633.333.3033.366.261033.333.31066.1633.3
033.333.366.16
200000100000010
67.2600067.1600015
YYYYYYYYY
jjYbus
jYbus
LLMKYbus
reducida
reducida
Treducida
10.2396 2.4149- 1.1464- 2.4149- 11.0191 1.9329- 1.1464- 1.9329- 8.0800
Se sabe que los elementos de la diagonal principal son la suma de todas las
admitancias conectadas al bus, incluyendo las admitancias a tierra. Entonces:
50007.51464.19329.10800.80,17,15,10,11,1 ≈=−−=→++= yyyyY
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Se deduce que las fuentes mantienen sus admitancias a tierra intactas.
De esto se forma la nueva red de admitancias: