100411_25_Trabajo_Fase 2
-
Upload
angela-florez -
Category
Documents
-
view
212 -
download
0
description
Transcript of 100411_25_Trabajo_Fase 2
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 1/33
TRABAJO COLABORATIVO 2
PRESENTADO A
CLEMENCIA ALAVA VITERI
POR
ANGELA TATIANA FLOREZ
COD. 1023868082
MAYULIS ESTHER SUAREZ
COD. 32876321
OSCAR RANGEL SABOGALCOD.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIEIRIA
BOGOTA D.C.
201
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 2/33
INTRODUCCI!N
Los métodos generales de integración son las técnicas utilizadas para calcular una anti derivada o
integral indefinida de una función. Dentro de estos se pueden encontrar la integración directa, laintegración por sustitución por cambio de variable, la integración por partes y las integraciones
trigonométricas.
Para dar solución a los problemas propuestos se hizo uso de los métodos conocidos y se evaluó cadauna de las integrales teniendo en cuenta lo solicitado.
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 3/33
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
Si el limite existe y es finito, decimos ue la integral impropia es convergente, donde el l!mite es el
valor de la integral. Si el limite no existe, decimos ue la integral impropia es divergente.
"valuar las siguientes integrales impropias#
1.
∫0
1
ln ( x ) dx
¿ ( x ) x−∫ 1
x xdx= xIn ( x )−∫1dx
∫1dx=1 x= x
¿ xIn ( x )− x+c
lim x →0+ ( xIn ( x ) )=(¿ ( x )1
x )=(
1
x
−1
x2 )
¿ lim x →0+ (− x )= lim x →0+(−0 )=0
¿ lim x →0+ (− x )=1∈(1 )−1=−1
¿−1−0
¿−1
2.
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 4/33
∫2
∞1
( x−1)2 dx
¿∫ 1
u21
du=∫ 1
u21
du
¿∫u−2
du= u
−2+1
−2+1=( x−1)−2+1
−2+1
¿− 1
x−1+c
lim x →2+( −1
x−1 )= −1
2−1=−1
lim x →∞+( −1
x−1 )= −1
∞−1=0
¿0− (−1 )
$%
3.
∫−∞
∞
e−5 x
dx
&ntegración por sustitución#
∫ f (g ( x ) ) . g ´ ( x ) dx=∫ f (u ) du,u=g ( x )
u=−5 x : du=−5dx ,dx=(−1
5 )du
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 5/33
¿∫ eu(−1
5 )du
¿∫−e
u
5 du
Se aplica la constante#
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
¿−1
5∫ eu
du
Se utiliza la integral com'n#
∫eudu=e
u
¿−1
5 e
u
(l sustituir#
u=−5 x
¿−1
5 e
(−5 x)
Se simplifica#
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 6/33
¿−e−5 x
5
(dicionando la constante a la solución#
¿−e−5 x
5 +C
)alculando los l!mites#
( F ( x ) )− lim x→ a+¿( F ( x ))
¿
x→b−¿¿f ( x ) dx= F (b )− F (a )=lim
¿
¿
∫a
b
¿
−e−5
5
(¿)=−∞
lim x →−∞
¿
−e−5
5
(¿)=0
lim x→ ∞
¿
¿0−(−∞)
Simplificando#
¿∞
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 7/33
".
∫2
5
4+ x
√ x2−4
dx
∫ 4+ x
√ x2−4
d x
*egla de la suma#
∫ f ( x ) ≠ g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx≠∫ g ( x ) dx
¿∫ 4
√ x2−4
dx+∫ x
√ x2−4
d x
∫ 4
√ x2−4
d x
Se aplica constante
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
4∫ 1
√ x2−4
dx
Por √ b x2−a sustituyo
x=√ a
√ bsec (u)
&ntegración por sustitución
∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f (u ) du,u=g( x )
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 8/33
x=2 sec (u) :dx= 2
cos (u)tan (u ) d u
2 sec (u ) ¿2−4
¿¿¿√ ¿1
¿4∫¿
¿4∫
2
cos (u)tan (u)
√ 4 sec2(u)−4
d u
(plicamos la constante#
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
¿4.2∫
1
cos (u) tan (u)
√ 4 sec2
(u)−4
d u
¿4.2∫
tan (u)cos (u)
√ 4 sec2(u)−4
du
(plicando la propiedad algebraica#(a+b )=a (1+b
a )
4 sec2 (u )−4=4 (4 sec
2 (u )4
−1)
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 9/33
¿4.2∫
tan (u)cos (u)
√4(4 sec
2 (u )4
−1)du
¿4.2∫tan (u)cos (u )
2√ sec2 (u )−1
du
+sando la identidad# sec2 ( x )=1+tan2( x )
¿4.2∫
tan (u )
cos (u )2√ −1+1+ tan
2 (u )du
(plicamos la constante
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
¿4.21
2∫
tan (u )cos (u)
√ −1+1+ tan2 (u )d u
¿4.21
2∫
tan (u )cos (u )
√ tan2 (u )
du
√ tan2 ( x )=( tan (u )) , tan (u)≥0
¿4.21
2∫
tan (u )cos (u )
√ tan (u ) d u
¿4.21
2∫ 1
cos (u) du
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 10/33
+samos la identidad#
1
cos ( x)=sec ( x)
(plicamos la com'n integral#
tan
sec (u ) du=ln(¿(u )+sec (u ))
∫¿
¿4.21
2 ln (tan (u )+sec (u ) )
Sustituyou=arcsec(
1
2 x )
¿4.21
2 ln ( tan(arcsec( 12 x ))+sec(arcsec( 12 x)))
Simplificamos#
4 ln(√1−
4
x2 x
2 +
x
2 )∫ x
√ x2−4
dx=√ x2−4
∫
x
√ x2−4
d x
&ntegración por sustitución
∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g( x )
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 11/33
u= x2−4 :du=2 xdx,dx=
1
2 x d u
¿∫ x
√ u
1
2 x du
¿∫ 1
2√ udu
(plicamos la constante#
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
¿1
2∫ 1
√ udu
+sando la propiedad#
1
an=a
−n
1
√ u=u
−0.5
¿1
2∫u
−0.5
¿1
2∫u
−0.5du
(plicando#
∫ xa dx= xa+1
a+1, a≠−1
¿1
2
u−0.5+1
−0.5+1
Sustituyo#
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 12/33
u= x2−4
¿1
2
( x2−4)−0.5+1
−0.5+1
Simplifico#
√ x2−4
(√1− 4
x2 x
2 +
x
2)+¿√ x2−4
¿4 ln ¿
(gregamos la constante a la solución#
(√1− 4
x2 x
2 +
x
2)+¿√ x2−4+c
¿4 ln¿
)alculamos los l!mites
f ( x ) dx=fF (b )− F (a )=lim x→ b
−( F ( x ) )−lim x →a
¿+( F ( x ))
∫a
b
¿
(√1− 4
x2 x
2 +
x
2)+¿√ x2−4
4 ln¿¿
lim x→ 2
+¿
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 13/33
(√1− 4
x2 x
2 +
x
2)+¿√ x2−4
4 ln¿
¿lim x→ 5
−¿
¿4 ln( 5+√ 212 )+√ 21−0
Simplificamos#
¿√ 21+4 ln
(5+√ 21
2
)Para resolver diferentes tipos de integrales es indispensable tener en cuenta las propiedades bsicas de las
integrales -integrales inmediatas y las diferentes técnicas y métodos de integración como integración por
sustitución e integración por cambio de variable.
"valuar las siguientes integrales#
.
∫sec
2(√ x)
√ x dx
&ntegración por sustitución
∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g( x )
u=√ x :du= 1
2√ xdxdu=
1
2u dx, dx=2ud u
¿∫ sec2 (u )u
2ud u
∫2 sec2 (u ) du
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 14/33
(plicamos constante
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
¿2∫ sec2 (u )du
Se aplica la regla de integración#
∫ sec2 (u ) du=tan (u )
¿2tan (u )
Sustituyendo#
u=√ x
¿2tan (√ x )
(gregando la constante#
¿2 tan (√ x )+c
6.
∫1
4
1
(1+√ x)dx
&ntegración por sustitución
∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f ( u) du,u=g( x )
u=√ x :du= 1
2√ xdxdu=
1
2u dx,dx=2udu
¿∫ 1
1+u 2udu
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 15/33
∫2− 2
u+1 du
*egla de la suma#
∫ f ( x ) ≠ g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx≠∫ g ( x ) dx
¿∫ 2du−∫ 2
u+1d u
∫2du=2u
∫ 2
u+1du=2 ln (u+1 )
¿2u−2 ln (u+1 )
Sustituyo#
u=√ x
x+1
√ ¿¿2√ x−2 ln ¿
(gregamos la constante a la solución#
x+1√ ¿¿
¿2√ x−2 ln ¿
)alculamos los l!mites
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 16/33
f ( x ) dx=fF (b )− F (a )=lim x→ b
−( F ( x ) )−lim x →a
¿+( F ( x ))
∫a
b
¿
lim x→ 1
+(2√ x−2 ln (√ x+1) )=2−ln (4)
lim x →4
−(2√ x−2 ln (√ x+1 ) )=4−ln (9 )
¿4−ln (9 )−(2−ln (4 ) )
Simplificamos#
¿2+ln (4 )−ln (9 )
7.
∫0
π /2
sen2 ( x ) cos ( x )dx
&ntegración por sustitución#
∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f (u ) du,u=g( x )
u=sin ( x ) :du=cos ( x )dx , dx= 1
cos ( x ) du
¿∫ u2cos ( x )
1
cos ( x )du
¿∫u2du
Se aplica regla de potencia#
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 17/33
∫ xadx=
xa+1
a+1, a≠−1
¿u
2+12+1
Sustituyo#
u=sin ( x )
¿sin
2+1( x)2+1
Simplificamos#
¿sin
3( x)3
Se agrega la constante a la solución#
¿ sin3
( x)3
+c
Se calculan los l!mites#
f ( x ) dx=fF (b )− F (a )=lim x→ b
−( F ( x ) )−lim x →a
¿+( F ( x ))
∫a
b
¿
lim x→ 0
+( sin3 ( x )3 )=0
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 18/33
lim
x →∏
2
+( sin3 ( x )3 )=1
3
¿1
3−0
Simplificamos#
¿1
3
8.
∫ xe( x2−1)
dx
Se aplica la integración por sustitución#
∫ f (g ( x ) ) . g' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g ( x )
u= x2−1 :du=2 xdx ,dx=
1
2 x du
¿∫ xeu 2
2 x du
¿∫ eu
2 du
Se saca la constante#
¿1
2∫ e
udu
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 19/33
Se aplica la regla de la integración#
∫eudu=e
u
¿ 12
eu
Se sustituye en la ecuación#
u= x2−1
¿1
2 e( x2−1)
Se simplifica#
¿ e
x2−1
2
Se agrega la constante a la solución#
¿ e
x2−1
2 +C
"xisten varios métodos para resolver integrales como integración por racionalización, integración por sustitución
trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales.
*esolver las siguientes integrales enunciado claramente la técnica o propiedad utilizada#
$.
∫ 1
( x2+4 x+13)dx
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 20/33
∫ 1
x2+4 x+13
dx
¿∫
1
( x+2 )2+9 dx
Se aplica la integración por sustitución#
∫ f (g ( x ) ) . g' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g ( x )
u= ( x+2 ) :du=1dx ,dx=1du
¿∫ 1
u2+9
1du
¿∫ 1
u2+9
du
Se tiene en cuenta para sustituir#
Parabx2± por x=√ a
√ bu
Se aplica la integración por sustitución#
∫f
(g
( x
) ). g
'
( x
)dx
=∫f (
u)du,u
=g
( x
)
u=3 v :du=3dv
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 21/33
¿∫ 1
(3 v )2+93dv
¿∫ 1
3 v2+3 dv
/eniendo en cuenta#
1
3 v2+3
¿∫ 1
3 ( v2+1 )dv
Por la constante#
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
¿1
3∫ 1
v2+1
dv
+tilizando la integral com'n#
∫ 1
v2
+1
dv=arctan ( v )
¿1
3 arctan(v )
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 22/33
Se sustituye#
v=1
3 u .u=( x+2 )
1
3( x+2)
(¿)
¿1
3 arctan¿
Simplificando#
x+23
arctan(¿)3
¿¿
Se adiciona la constante a la solución#
x+2
3
arctan(¿)3 +C
¿¿
10.
∫ 1
4− x2 dx
Se aplica integración por sustitución#
∫ f (g ( x ) ) g ( x ) dx=∫ f (u )du ,u=g( x)
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 23/33
¿∫ 1
4−(2u ²)2du=∫ 1
2−2u ²du
¿∫ 1
2−
(1−
2u2
2
)
du
¿1
2∫ 1
1−u ² du
¿1
2 arcan!(u)
¿1
2 arcan!(
1
2 x )
¿arcan!( x
2 )2
¿arcan!( x
2 )2
+C
11.
∫ x √ x+1dx
Se aplica la integración por sustitución#
∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f (u ) du,u=g ( x )
u= x+1 :du=1dx , dx=1du
¿∫ x√ u1du
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 24/33
¿∫ x√ udu
u= x+1→ x=u−1
¿∫ (u−1 ) √ u du
"xpandiendo#
(u−1 ) √ u
u
(¿¿ 3
2−√ u)du
¿∫ ¿
(plicando la regla de la suma#
∫ f ( x ) ≠ g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx≠∫g ( x ) dx
¿∫u3
2 du−∫√ udu
∫u
3
2
du=
2u5
2
5
∫u3
2 du
(plicando la regla de la potencia#
∫ x
a
dx=
xa+1
a−1 a≠−1
¿ u
3
2+1
3
2+1
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 25/33
Simplificando#
¿2u
5 /2
5
∫√ u du=2u
3
2
3
∫√ udu
(plicando la regla de la potencia#
∫ x
a
dx=
xa+1
a−1 a≠−1
¿ u
0.5+1
0.5+1
Simplificando#
¿2u
3
2
3
¿2u
5
2
5 −
2u3
2
3
Sustituyendo en la ecuación#
u= x+1
¿ 2( x+1)
5
2
5 −2( x+1)
3
2
3
Se adiciona la constante a la solución#
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 26/33
¿2( x+1)
5
2
5 −
2 ( x+1 )3
2
3 +C
12.
∫ 2 x
( x2−3 x−10 ) dx
∫ 2 x
x2−3 x−10
dx
Por la constante#
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
2∫ x
x2−3 x−10
dx
¿2∫ x
( x−3
2 )2
−49
4
dx
Se aplica la integración por sustitución#
∫ f (g ( x ) ) . g' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g ( x )
u=( x−3
2 ) :du=1dx,dx=1du
¿2∫ x
u2−
49
4
1du
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 27/33
¿2∫ x
u2−
49
4
du
/eniendo en cuenta#
u=( x−3
2 )→x=u+ 3
2
¿2∫u+
3
2
u2−49
4
du
(plicando la regla de la suma#
∫ f ( x ) ≠g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx≠∫g ( x ) dx
3
2
u2−49
4
du
∫ u
u2−
49
4
du+∫ ¿
¿2¿
∫ u
u2−
49
4
du=ln(u2−
49
4 )2
∫ u
u2−
49
4
du
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 28/33
Se aplica la integración por sustitución#
∫ f (g ( x ) ) . g' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g ( x )
v=u2−
49
4 : dv=2udu,du=
1
du dv
¿∫ u
v
1
2u dv
¿∫ 1
2v dv
Por la constante#
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
¿1
2∫ 1
v dv
+tilizando la integral com'n#
∫ 1v dv=ln (v )
¿1
2 ln (v )
Sustituyendo#
v=u2−
49
4
¿1
2 ln (u2−
49
4 )
Simplificando#
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 29/33
¿ln(u
2−49
4 )2
∫
3
2
u2−
49
4
du=
3arctan
(
2u
7
)7
∫3
2
u2−49
4
du
Por la constante#
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
¿3
2∫ 1
u2−
49
4
du
Se tiene en cuenta para sustituir#
Parabx2± por x=√ a
√ bu
Se aplica la integración por sustitución#
∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f (u ) du,u=g ( x )
u=72
v :du=72
dv
¿3
2∫ 1
(72 v)2
−49
2
7
2 dv
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 30/33
¿3
2∫ 2
7 (v2−1)dv
Por la constante#
∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx
¿3
2
2
7∫ 1
v2−1
dv
(plicando la propiedad algebraica#
(a−b )=−(−a+b )
v2−1=(−1)(v2+1)
¿3
2
2
7∫ 1
(−1 ) (−v2+1)
dv
Por la constante#
∫a . f ( x ) dx=a .
∫f ( x ) dx
¿3
2
2
7
1
−1∫ 1
−v2+1
dv
+tilizando la integral com'n#
∫ 1
v2+1
dv=arctan ( v )
¿3
2
2
7
1
−1arctan (v )
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 31/33
(l sustituir#
v=1
7 u
1
7
u
2
(¿)
¿3
2
2
7
1
−1arctan ¿
Simplificando#
¿−3arctan
(2
u7 )
7
ln(u2−49
4 )2
−3arcan( 2u
7 )7
¿2¿
(l sustituir#
u=( x−3
2 )
¿2( ln(( x−3
2 )2
−49
4 )2
−
3arctan(2( x−3
2 )7 )
7)
(dicionando la constante#
¿2( ln(( x−3
2 )2
−49
4 )2
−
3arctan( 2( x−3
2 )7 )
7)+C
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 32/33
CONCLUSIONES
Los diferentes métodos propuestos y teóricamente descritos los cuales se encuentran
relacionados con la solución de integrales permiten dar solución y llegar al resultado de lasmismas.
• La integración directa permite aplicar el teorema del clculo directamente teniendo en cuenta
ue se debe conocer de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) en donde la función
es el resultado de la antiderivada.
• "l método de integración del sustitución por cambio de variables permite convertir el problema
a integrar en algo sencillo con una integral o una antiderivada simple.
•
"l método de integración por partes permite elegir lo valores llevndolos a la simplificación.
• "n cuanto a las integrales trigonométricas so auellas en las ue intervienen potencias de seno y
coseno.
7/17/2019 100411_25_Trabajo_Fase 2
http://slidepdf.com/reader/full/10041125trabajofase-2 33/33
REFERENCIAS
0onnet, 1 -2334. Calculo infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y
ciencias experimentales. (licante, "spa5a# +niversidad de (licante.
• 6onzlez, 7. -28 de mayo de 23%2. Aprende integrales – Tema
• *ios, 1. -%9 de abril de 23%3. !ntegral por el m"todo de sustitución.