10 ptvt lien hop lopluyenthi.vn

PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang

1

1) Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm 0x hữu tỉ, khi đó

phương trình luôn phân tích thành 0( ) ( ) 0x x P x . Từ đó ta đưa về pt đơn giản hơn.

2) Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị 0x để trong căn là bình phương hoặc lập

phương, hoặc sử dụng máy tính fx để dò nghiệm.

Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:

+ 2 2x y x y x y ; , 0x y x y x y x y

+ 3 3 2 2x y x y x xy y

Dạng 1. Liên hợp theo hai biểu thức chứa căn

Với dạng liên hợp đơn giản này, ta chỉ cần chọn hai biểu thức có căn phù hợp

2 2; , 0; 0x y

x y x y x yx y

Bài 1. Giải phương trình 7

5 1 3 133

xx x

.

ĐKXĐ: 1

5x .

Nhận xét 5 1 (3 13) 2( 7)x x x nên liên hợp ta có

5 1 (3 13) 7

35 1 3 13

x x xPT

x x

7 72

35 1 3 13

x x

x x

7 (1)

2 1(2)

35 1 3 13

x

x x

(2) 5 1 3 13 6x x

Nếu 1x thì VT (1) > 4 16 6; còn nếu 1x thì VT (1) < 4 16 6.

Dễ thấy 1x là nghiệm phương trình (1).

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm 1 1x ; 2 7x .

Bài 2. Giải các phương trình 23 2 1 2 3x x x x


2

HD ĐK

Từ PT ta có: 1

(2 3) 1 03 2 1

x xx x

Vì: 1

13 2 1

xx x

nên pt có nghiệm duy nhất: 3

2x

Bài 3. Giải phương trình 2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x (2) Đs x = 2.

Giải:

Ý tưởng:

Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm 2x nên ta sẽ cố gắng

đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử 2x . Ta có nhận xét rằng:

2 23 5 1 3 3 3 2 2x x x x x và 2 22 3 4 3 2x x x x

Ta đi đến lời giải như sau:

(2) 2 2 2 23 5 1 3 1 2 3 4x x x x x x x

2 22 2

2 4 3 6

2 3 43 5 1 3 1

x x

x x xx x x x

2 22 2

2 32 0

2 3 43 5 1 3 1x

x x xx x x x

Mặt khác, ta có:

2 22 2

2 3

2 3 43 5 1 3 1 x x xx x x x

> 0 với mọi x

Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất


3

Bài 4. Giải phương trình 21 2 2 1 3x x x x

Đk: 1x . Nhận xét: 2 1 3x x nên ta nhân liên hợp

2 2

2

2

2 2

2

2

2

2

1 2 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2

2 1 0

2 1 1 2

2 1 1 2

2 1

2 12 (TMÑK).2

2 0

1

x x x x x x x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x xxx

x xx

Bài tự luyện

Bài 5. Giải phương trình

a) 3

4 1 3 25

xx x

b) 10x 1 3x 5 9x 4 2x 2 .

c) 21 1 4 3 x x x Đs 1

x2

d) A – 2007 Gpt 2 3 2 6 x x x

x 3

e) 2 2 2 23 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x . ĐS: x 2 .

Bài 6. Giải phương trình:

a) 25 2 1 7 10 3x x x x Đs x = 1

a) 1 1 1 2 5x x x x ĐS: x 2 .

HD a) Liên hợp theo 5 2x x ta có: 5 1 2 1 0x x


4

Bài 7. Giải phương trình 2

6 42 4 2 2

4

xx x

x

(16)

Bài 8. **Giải phương trình: 2 23 1 4 3 2x x x x x x

Dạng 2. Liên hợp theo nghiệm 𝐱𝟎

Bài 9. Giải phương trình: 22 4 2 5 1 x x x x

Sử dung ALPHA CALC hoặc nhẩm giá trị để các biểu thức trong căn là bình phương, ta tìm được

x 3 là một nghiệm cua phương trình.

Một cach tư nhiên, ta suy nghi tach ghép phù hợp sao cho phương trình xuất hiện nhân tử x 3 .

Nếu ta liên hợp 2 x 3

x 2 4 xx 2 4 x

với nhau, mặc dù nó xuất hiện nhân tử

x 3 nhưng biểu thức còn lại 22x 5x 1 không xuất hiện x 3 . Hơn nưa, sau khi nhân liên

hợp nó xuất hiện hạng tử x 2 4 x dưới mâu số mà chưa có thể khăng định được âm hay

dương trong tập xac định cua x.

Do đó, ta suy nghi đi tìm hai số , 0 trong hai biểu thức 2 , 4x x để sau khi

nhân lượng liên hợp, cả hai đều xuất hiện 3x . Muốn vậy ta tìm hai số a, b sao cho

Muốn vậy tìm hai số , 0a b sao cho hệ 2 0

4 0

x a

x b

đúng với 3x 1

1

a

b

Từ đó ta thêm bớt để có liên hợp như sau:

Bài giải tham khảo

Điều kiện: 2 x 4 .

22 1 4 1 2 5 3 0x x x x

3 3

3 2 1 02 1 4 1

x xx x

x x


5

1 1

3 2 1 02 1 4 1

x xx x

3

1 12 1 1

2 1 4 1

x

xx x

● Xét pt (1) Với x 2;4 ta có

VT = 2x 1 5 2

VP = 1 1 1

1(3)2 1 4 1 2 1x x x

● Từ 2 , 3 1 vô nghiệm.

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3 .

Bài 10. Giải phương trình 23 1 6 3 14 8 0 1x x x x ( khối B-2010)

Phân tích:

Ta tìm một số 1

63

x x

sao cho 3 1x và 6 x là một số chính phương thỏa mãn phương trình

trên. Dễ thấy 5x thỏa (1). (Ta có thể tìm ra nghiệm x = 5 bằng cách sử dung máy tính fx). Vì vậy ta

đưa phương trình trên về dạng 5 0x f x , vì vậy ta cần làm xuất hiện nhân tử chung 5x từ vế

trái cua phương trình bằng phương phap lien hợp.

Muốn vậy tìm hai số , 0a b sao cho hệ 3 1 0

6 0

x a

b x

đúng với 5x 4

1

a

b

Lời giải:

TXĐ: 1

63

x

2 3 15 51 3 1 4 1 6 3 14 5 0 5 3 1 0

3 1 4 1 6

x xx x x x x x

x x


6

5 0 5

3 13 1 0 *

3 1 4 1 6

x x

xx x

Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với 1

63

x . Vậy 5x là nghiệm duy nhấy

Bài 11. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 2 212 5 3 5x x x

Giải:

Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5

12 5 3 5 03

x x x x

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình

2 22 2

2 2

2 2

4 412 4 3 6 5 3 3 2

12 4 5 3

2 12 3 0 2

12 4 5 3

x xx x x x

x x

x xx x

x x

Do 2 2 2 2

1 1 2 20

12 4 5 3 12 4 5 3

x x

x x x x

5

3x

Từ đó 2 2

2 2 53 0,

312 4 5 3

x xx

x x

nên pt (*) vô nghiệm.

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2.

Bài 12. Giải phương trình 234 2 10 2 9 37 4x 15 33x x x

ĐK: 5x .

Pt 234 4 9 37 8 4 10 2 4 15 81 0x x x x

2

3 3

4 27 9 8(6 2 )( 3)(4 27) 0

4 10 216 4 9 37 9 37

x xx x

xx x


7

TH 1. 3 0 3x x (TMPT)

TH 2. 3x pt

2

3 3

36 164 27 0

4 10 216 4 9 37 9 37

xxx x

2

3

36 164 27 0

4 10 212 9 37 2

xxx

Do 5x nên 36 16

4.5 27 012 4

VT . Đẳng thức xảy ra 5x

Vậy phương trình có 2 nghiệm là 3 và 5

Bài 13. Giải các phương trình sau:

1) 22 1 3 1 0x x x 2) 3 2 2 2 6x x x

3) 2

2

1 2

1

x x x

x x

4) 9 4 1 3 2 3x x x

5) 22 4 2 5 1x x x x 6) 3

4 1 3 25

xx x


a) 2 32 11 21 3 4 4 x x x

b) 2 22 16 18 1 2 4x x x x ĐS:

32 5131;

7x x

Dạng 3. Đưa về “hệ tạm”

Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C , mà : A B C

ở đây C có thể là hàng số, có thể là biểu thức của x . Ta có thể giải như sau :

A BC A B

A B

, khi đó ta có hệ: 2

A B CA C

A B

Bài 15. Giải phương trình : 2 22 9 2 1 4x x x x x


8

Ta có 2 20 ( 4) 0 2 9 2 1VT x x x x x

Nhân với biểu thức liên hợp với 2 22 9 2 1x x x x ta được

2 22 9 2 1 2x x x x

Kết hợp với pt đã cho, ta có hệ

2 2

2 2

2 9 2 1 2

2 9 2 1 4

x x x x

x x x x x

2 82 2 9 6 0;

7x x x x

Bài 16. *Giải phương trình 2 22 7 10 12 20x x x x x (3)

Giải:

Điều kiện:

2

2

7 10 0

10 20 0

x x

x x

Cũng bằng cach kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình

(3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử 1x .

Ta viết lại như sau:

2 23 2 7 10 1 12 20 2x x x x x x

(4)

Để ý rằng hai phương trình 2 7 10 1 0x x x và 2 12 20 2 0x x x vô nghiệm nên

nhân liên hợp hai vế của (4) ta có:

2 2

18 1 16 1

7 10 1 12 20 2

x x

x x x x x x

2 2

1

9 8(*)

7 10 1 12 20 2

x

x x x x x x

Pt (*)2 28 7 10 9 12 20 10x x x x x

Đến đây ta có hai hướng giải quyết:


9

Hướng 1: bình phương hai vế…

Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau

2 2

2 2

8 7 10 9 12 20 10

2 7 10 12 20

x x x x x

x x x x x

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được:

2

2

515 5 5

5 7 10 4 5 42

15 25 0

xx x x x

x x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 15 5 5

1,2

x x

.

Tự luyện

Bài 17. Giải phương trình 3 24 12 6x x (10)

Bài tự luyện


a) 2 23 1 ( 3) 1x x x x .

b) 4 3 10 3 2x x

c) 2 (2 )(5 ) (2 )(10 )x x x x x

d) 2 22 16 18 1 2 4x x x x

e) 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x


a) 21 4 1 3x x x Đs

10;

2x

b) 21 9 1 4x x x

c) 2 215 3 2 8x x x

d) 2 2 2 23 5 1 2 3 3 3 3 4x x x x x x x Đs x = 2


10


a) 32 3 2 3 6 5 16 0x x

b) 3( 3)(2 5) 6 3 4 4x x x

Bài 21. Giải phương trình :

a) 3 2 4 1 2 3x x x

b) 3 2 31 3 2 3 2x x x

c) 2 32 11 21 3 4 4 0x x x

d) 2 33 1 1x x x

Bài 22. Giải các phương trình sau:

a) 3 3 3x x b) 3 32 1 1x x

c) 22 1 3 1 0x x x d) 9 4 1 3 2 3x x x

e) 1 4 9 16 100x x x x x


a) 235 1 9 2 3 1x x x x

b) 3 2 2 23 8 2 15x x x (1)


a) 3 2

2

31 3 1 5

6

xx x x x

x

b) *3 3 2162 2 27 9 1 1x x x

3. Liên hợp theo hai nghiệm – nghiệm lẻ – liên hợp theo biểu thức chứ biến

Bài 25. Giải phương trình D – 2006 2 3 1 2 1 0x x x

Điều kiện 1

2x

Với sự trợ giúp của máy tính, ta dò được hai nghiệm là x = 1 và 2 2x

Cách 1. Nếu liên hợp theo nghiệm x = 1 ta có


11

Biến đôi và nhân lượng liên hợp để đưa về phương trình tích số

22 1 1 3 2 0x x x

2 1 1 2 1 1 1 2 0

2 1 1

x xx x

x

2 1 1 2 0

2 1 1

xx x

x

2

1 2 02 1 1

x xx

.

Đến đây, việc giải phương trình trong ngoặc bằng cách đặt ẩn phụ 2 1 1t x

Cách 2. Nếu liên hợp theo nghiệm 2 2x . Điều này đòi hỏi kĩ thuật hơn, bởi phương trình không

xuất hiện nhân tử 2 2 0x . Ta phải tìm được biểu thức hệ số nguyên mà có nghiệm 2 2x

Dễ dàng có: 2 2x 2 2 x 2

2 2 x 2 4 2 0x x

Vậy ta sẽ liên hợp làm xuất hiện nhân tử 2 4 2x x

Nhận xét: 2 2 22 1 1 4 2x x x x nên ta sẽ tách liên hợp như sau:

22 1 (1 ) 4 2 0x x x x

2

24 2

4 2 02 1 (1 )

x xx x

x x

2 4 2 0

2 1 (1 ) 1

x x

x x

Ta dễ dàng giải được pt có nghiệm x = 1 và 2 2x

Bài 26. Giải phương trình 3 23 1 8 3x x x


12

Đk: 2 6 2 6

3 3x ,

Sử dung Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm cua phương trình là:

1 20,6180339887...; 1,618033989...x x sau đó gan hai nghiệm này vào hai biến A và B.

Ta thu được kết quả “đẹp” sau: 1, 1A B AB .

Và từ đây, ta có thể dư đoan được 2 1x x chính là nhân tử cua pt!

Trong trường hợp bạn không tìm được hai nghiệm, mà chỉ tìm được một nghiệm 2 1,618033989...x ,

khi đó cần dư đoan 1 5

2x

2 1 5x

22 1 5x

2 1 0x x

Xét 28 3px q x

2 2

2

8 3

8 3

px q x

x px q

2 2 2

2

3 2 8

8 3

p x pqx q

x px q

Đến đây, để xuất hiện nhân tử 2 1x x thì 2 2 2 23 2 8 1p x pqx q a x x

Chọn a = 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó ta thêm bớt:

Bài giải

3 22 1 ( 2) 8 3 0x x x x

23

2

12 1 4 0

8 3 2

x xx x

x x

2

2

41 1 0

8 3 2x x x

x x

Cách 1. 2

41

8 3 2x

x x

2 6 41 0

3 2 62

3

Cách 2. Xét 28 3 2f x x x ta có: 2

3' 1

8 3

xf x

x


13

2

3 2'( ) 0 1

38 3

xf x x

x

Ta có bảng biến thiên:

6 4 6

3f x

kết hợp với

2 6

3x

6 4 60

3f x

2

4 4 2 6 41 1 1 0

3 6 4 68 3 2

3

x xf xx x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1 5

2x

.

Tự luyện

Bài 27. Giải phương trình: 2 21 2 3 1 x x x x

Bài 28. Giải phương trình 3 23 2 4 4 1x x x x x x x

Bài 29. Giải phương trình: 2 22 1 1 3x x x x x

LUYỆN TẬP

Bài 30. Giải phương trình sau 2x x 6 x 2 18

Bài 31. Giải phương trình : 21 1 2 2x x x x (17)

Bài 32. Giải phương trình 2 21 2 2 2x x x x x

10 ptvt lien hop lopluyenthi.vn

Education

Transcript of 10 ptvt lien hop lopluyenthi.vn