10 Cuerpos de revolución 10 CUERPOS DE REVOLUCIÓN · PDF file5.2. Relaciona...

10 Cuerpos de revolución

294Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

Esta unidad despertará el interés y la curiosidad por el conocimiento de los elementos de las superficies esféricas, la interpretación de mapas, los cambios horarios y la localización de ciudades en la esfera terrestre. Lo fundamental es que los alumnos reconozcan y sepan desarrollar cuerpos de revolución. Será muy importante que recuerden cómo se calcula el área de un círculo y de un sector circular y

cómo se ha de hallar la longitud de una circunferencia y de un arco.

Los contenidos de cada una se las secciones se presentan como una necesidad de conocerlos para poder resolver un problema de la vida cotidiana. Es preferible que aprendan a deducir las expresiones que permiten calcular áreas y volúmenes.

La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán al alumnado adquirir eficazmente varias competencias al mismo tiempo.

Comunicación lingüística (CL) Es la protagonista de toda la unidad teniendo especial importancia en las secciones: Matemáticas vivas, Geometría en el arte y en la sección Lee y comprende las matemáticas de final del bloque.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrollan a lo largo de toda la unidad, integrarán el conocimiento matemático con otras áreas para obtener conclusiones y enfrentarse a situaciones cotidianas.

Competencia digital (CD)Se integra en los epígrafes Área y volumen de conos y Composición de cuerpos de revolución, así como en la sección Matemáticas en el día a día del inicio de unidad, haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Estará presente en todas aquellas actividades que propongamos para que los alumnos las realicen en grupo, procurando la participación de todos los integrantes. Pondremos especial interés para que aprendan a gestionar un comportamiento de respeto a las diferencias de criterio.

Competencia aprender a aprender (CAA)A lo largo de la unidad se considera la necesidad de que adquieran la capacidad de concentración y que desarrollen el razonamiento ma-temático para describir la realidad. Con el trabajo en equipo aprenderán a comunicar de manera eficaz los resultados de su propio trabajo potenciando así las metas de su aprendizaje.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La capacidad de elegir con criterio propio y llevar adelante acciones necesarias se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío) y en la sección de Matemáticas vivas.

Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)Toda la unidad trata del estudio y comprensión de distintos diseños geométricos. El aprendizaje de las técnicas para hallar los elementos carac-terísticos permitirá que los alumnos adquieran la capacidad de percibir y comprender las producciones del mundo del arte.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 3 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Reconocer cuerpos de revolución y determinar el área y el volumen de cilindros, conos y esferas.❚❚ Identificar cortes de planos y esferas.❚❚ Conocer la esfera terrestre, utilizar husos horarios y manejar coordenadas geográficas. ❚❚ Clasificar y calcular áreas y volúmenes de cuerpos de revolución.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando los cuerpos de revolución.

CUERPOS DE REVOLUCIÓN10

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10Cuerpos de revolución

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionados con la geometría del espacio. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre los cuerpos de revolución, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar los problemas de cuerpos de revolución pueden acceder a las lecciones 1107, 1122, 1136 y 1138 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Cilindros y conosTroncos de conos

1. Reconocer cilindros y conos como cuerpos de revolución. 2. Identificar troncos de cono como cuerpos de revolución.3. Reconocer cuerpos de revolución en diferentes contextos.

1.1. Describe los elementos y propiedades métricas de cilindros y conos.2.1. Conoce los elementos y propiedades métricas de troncos de cono.3.1. Identifica y crea cuerpos de revolución.

2, 3, 5 G14, 6

1, 7, 8

CLCMCTCSCCAACSIEE

Área y volumen de cilindros

4. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas y volúmenes de cilindros.

4.1. Calcula áreas y volúmenes de cilindros.

4.2. Relaciona elementos, áreas y volúmenes de cilindros para resolver problemas.

9-1163-6512-2166-70

CLCMCTCSC CAACSIEE

Área y volumen de conosÁrea y volumen de los troncos de conos

5. Comprender y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas y volúmenes de conos.

6. Deducir la forma adecuada para calcular áreas y volúmenes de troncos de conos.

5.1. Obtiene áreas y volúmenes de conos.5.2. Relaciona elementos, áreas y volúmenes de conos para resolver problemas. 6.1. Calcula áreas y volúmenes de troncos de cono.

22, 71, 7224, 73, 74

23, 75, 78

CLCMCTCDCSC CAACSIEECCEC

EsferasIntersecciones de planos y esferas

7. Reconocer la esfera como cuerpo de revolución.8. Identificar las intersecciones que se obtienen al cortar una esfera por uno o más planos.

7.1. Describe la esfera y sus elementos.

8.1. Reconoce, dibuja y aplica propiedades métricas en semiesferas, casquetes, zonas, cuñas y husos esféricos.

26, 27, 29

25, 2879, 81, 82 Matemáticasvivas 1

CLCMCTCSCCAACSIEECCEC

Área y volumen de esferas

9. Deducir la forma adecuada para hallar el área y el volumen de esferas.

9.1. Calcula área y volumen de esferas, área de husos y volumen de cuñas esféricas.9.2. Relaciona elementos, área y volumen de esferas para resolver problemas.

30, 35, 83, 86Matemáticas vivas 331-34, 36-3880, 84, 85, 87-89

CLCMCTCSCCAACSIEECCEC

Composición de cuerpos de revolución

10. Reconocer cuerpos compuestos por cuerpos de revolución y determinar su área y su volumen.

10.1. Obtiene el área y el volumen de cuerpos compuestos por cuerpos de revolución.

39-4490, 91

CLCMCTCDCSCCAACSIEECCEC

La esfera terrestreElementos de la esfera terrestre

11. Conocer los elementos de la superficie terrestre.

12. Identificar el sistema de coordenadas geográficas.

11.1. Reconoce los elementos de la superficie terrestre.11.2. Identifica husos horarios y determina diferencias horarias.12.1. Reconoce coordenadas geográficas y calcula distancias entre dos puntos de la superficie terrestre.

50-5292, 9645-49 100-10353-6293-95, 97-99104-106

CLCMCTCDCSCCAACSIEECCEC

Coordenadas geográficas

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Área y volumen de cilindros

4. Esferas • Intersecciones de planos y esferas

7. La esfera terrestre • Elementos de la esfera terrestre

8. Coordenadas geográficas

¿Qué tienes que saber? • Cilindros • Conos y troncos de cono • Esferas

AvanzaRazones trigonométricas de un ángulo agudo

Geometría en el arteCuerpos geométricos en la arquitectura

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidadIdeas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Formas naturales

1. Cilindros y conos • Troncos de cono

Vídeo. Área y volumen de un cono3. Área y volumen de conos • Área y volumen de los troncos de

cono

5. Área y volumen de esferas

Vídeo. Área y volumen de un cuerpo de revolución compuesto

6. Composición de cuerpos de revolución

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.esLecciones 1107, 1122, 1136 y 1138 de la web www.mismates.es

Practica+

Comprende y resuelve problemas


Matemáticas vivasAstronomía • Estudio de cuerpos celestes

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Cabezas juntas numeradas de Spencer Kagan

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Sugerencias didácticas

En esta esta unidad los alumnos aprenderán a generar cuerpos de revolución y a calcular sus áreas y volúmenes. Resultará muy atractivo el epígrafe sobre la esfera terrestre. Empezaremos la unidad proponiendo ejercicios en los que tengan que recordar cómo se halla la longitud de una cir-cunferencia y de un arco, así como el cálculo del área de un círculo y de un sector circular. Al terminar la unidad debe-mos asegurarnos de que los alumnos son capaces de calcu-lar áreas y volúmenes de cuerpos de revolución e interpretar las coordenadas de un punto en la esfera terrestre. Será importante que realicen dibujos representativos de activida-des propuestas, y no debería presentar problema el correc-to manejo de la calculadora. Haremos hincapié en que su forma de argumentar y comunicar sea, en todo momento, mediante la utilización del lenguaje matemático adecuado.

Contenido WEB. FORMAS NATURALES

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se explica cómo se utilizan cuerpos de revolución en la naturaleza y en la ingeniería para obtener las figuras más adecuadas a la función que se realiza. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la uni-dad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

El estudio de la naturaleza ha permitido crear estructuras que imitan sus formas y obtienen los mejores resultados para situaciones cotidianas. El uso de conos, cilindros y esferas mejora las condiciones energéticas, acústicas o económicas de un objeto o de una construcción.

Matemáticas en el día a día ][

REPASA LO QUE SABES1. Calcula la longitud de una circunferencia si su radio mide 6 m.

2. ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de 15 cm de longitud?

3. Halla la longitud del arco de una circunferencia cuyo radio mide 10 cm si tiene una amplitud de 30º.

4. Averigua el área de un círculo cuyo diámetro mide 6 m.

5. ¿Cuál es la longitud del radio de un círculo de 1 256 cm2 de área?

6. Calcula el área de un sector circular de 45º de amplitud si su radio mide 8 cm.

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10 CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Los cuerpos de revolución se obtienen al girar una figura plana alrededor de una recta que se denomina eje de giro. Por ejemplo, si impulsas una moneda para hacerla girar, podrás observar que aparentemente se crea una esfera.

La forma esférica aparece con frecuencia en la naturaleza. Dado un cierto volumen, esta forma lo contiene con la mínima superficie y, por tanto, con el menor gasto energético. Las pompas de jabón generadas por la tensión superficial del agua con jabón constituyen un buen ejemplo de esto.

Los cucuruchos de galleta en los que se colocan las bolas de helado, así como muchos de los envases que utilizamos a diario, son también cuerpos de revolución.

IDEAS PREVIAS

❚ Longitud de una

circunferencia y de un arco.

❚ Área de un círculo y de

un sector circular.

mac3e36

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Calcula la longitud de una circunferencia si su radio mide 6 m.

L = 2 ∙ π ⋅ 6 = 37,68 m

2. ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de 15 cm de longitud?

2πr = 15 → r = 2,39 cm

3. Halla la longitud del arco de una circunferencia cuyo radio mide 10 cm si tiene una amplitud de 30º.

L = 2 ⋅ π ⋅10 ⋅30º

360º= 5,23 cm

4. Averigua el área de un círculo cuyo diámetro mide 6 m.

r = 3 → A = π ⋅ 32 = 28,26 m2

5. ¿Cuál es la longitud del radio de un círculo de 1 256 cm2 de área?

πr2 = 1 256 → r = 20 cm

6. Calcula el área de un sector circular de 45º de amplitud si su radio mide 8 cm.

A = π ⋅82 ⋅45º

360º= 25,12 cm2



1. Cilindros y conos

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10Actividades10 Cuerpos de revolución

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Observa los objetos de tu entorno cotidiano y cita tres que sean:

a) Cilindros.

b) Conos.

c) Troncos de cono.

Un cilindro de 20 cm de altura tiene como bases dos círculos de 4 cm de diámetro. Si este cilindro ha sido generado haciendo girar un rectángulo sobre su lado mayor, ¿cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?

Calcula la longitud de la generatriz de un cono de 12 cm de altura cuyo radio mide 3 cm.

¿Qué cuerpo geométrico se obtiene al hacer girar este trapecio sobre el eje vertical? Halla la longitud del lado desconocido del trapecio e indica a qué elemento del cuerpo corresponde.

Fíjate en el triángulo.

a) ¿Cuál es el nombre del cuerpo geométrico que se obtiene cuando el triángulo gira sobre el eje horizontal?

b) Halla la longitud del radio de la base del cuerpo obtenido con el giro del apartado anterior.

c) ¿Cómo se llama el cuerpo geométrico que se obtiene al girar el triángulo sobre el eje vertical?

d) Calcula el área de la base del cuerpo obtenido con el giro del apartado anterior.

Determina las áreas de las bases del tronco de cono que genera un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos miden 8 cm y 10 cm, respectivamente.

Dibuja el cuerpo geométrico que se obtiene al girar el polígono del dibujo sobre el lado AE.

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1. CILINDROS Y CONOSJuanjo ha pasado la tarde fabricando banderines para animar la próxima carrera solidaria de su barrio.

Al hacer girar la varilla en la que ha sujetado una pieza rectangular, ha obtenido lo que parece un cilindro.

Un cilindro recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar un rectángulo sobre un eje paralelo a uno de sus lados.

Un cilindro recto tiene una superficie lateral que es un rectángulo y dos bases que son círculos.

Cuando Juanjo elige otro banderín en el que ha colocado una pieza con la forma de un triángulo rectángulo y lo hace girar, obtiene lo que podría ser un cono.

Un cono recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar un triángulo rectángulo sobre un eje que contiene uno de sus catetos. Uno de sus extremos es el vértice del cono.

Un cono recto tiene una superficie lateral que es un sector circular y una base que es un círculo.

Troncos de conoMaría, la hermana de Juanjo, ha tenido la idea de cortar los triángulos rectángulos antes de pegarlos a la varilla. De este modo, ha obtenido trapecios rectángulos y, al hacer girar un banderín así construido, ha visto como aparecía un tronco de cono.

Un tronco de cono recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar un trapecio rectángulo sobre un eje que contiene el lado perpendicular a sus bases.

Un tronco de cono recto tiene una superficie lateral que es un trapecio circular y dos bases que son círculos.

Aprenderás a… ● Reconocer cilindros, conos y troncos de cono como cuerpos de revolución.

❚ El segmento que genera el cilindro como cuerpo de revolución se llama generatriz, g.

❚ La altura, h, de un cilindro es la distancia entre sus bases.

Recuerda

❚ El segmento que genera el cono como cuerpo de revolución se llama generatriz, g.

❚ La altura, h, de un cono es la distancia entre su vértice y el centro de su base.

Recuerda

❚ El segmento que genera el tronco de cono como cuerpo de revolución se llama generatriz, g.

❚ La altura, h, de un tronco de cono es la distancia entre sus bases.

Recuerda

X

Y

8 cm

12 cm

18 cm

X

Y

6 cm

2 cm

A E

B

C

D

Presta atención

Al cortar un cono recto por un plano paralelo a su base, obtenemos un tronco de cono y un cono más pequeño.

Cono

Troncode cono

Utiliza papel, tijeras y pegamento para construir un cilindro recto y un cono recto.

a) Si cortas el cilindro por dos planos paralelos entre sí, pero no paralelos a las bases, ¿qué cuerpo geométrico obtienes? ¿Es un cuerpo de revolución?

b) Si cortas el cono por un plano que no sea paralelo a la base, ¿qué cuerpo geométrico obtienes? ¿Es un cuerpo de revolución?

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Investiga

Soluciones de las actividades1 Observa los objetos de tu entorno cotidiano y cita tres que sean:

a) Cilindros.

b) Conos.

c) Troncos de cono.

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) La base de una lámpara de mesa, una cacerola y un jarrón.

b) Un embudo, la punta de un bolígrafo y una copa.

c) La pantalla de una lámpara, un recipiente para bolígrafos y un vaso. 2 Un cilindro de 20 cm de altura tiene como bases dos círculos de 4 cm de diámetro. Si este cilindro ha sido generado ha-

ciendo girar un rectángulo sobre su lado mayor, ¿cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?

El rectángulo ha de tener 20 cm de altura y 2 cm de base.3 Calcula la longitud de la generatriz de un cono de 12 cm de altura cuyo radio mide 3 cm.

g = 122 + 32 = 12,37 cm


La comprensión de las figuras de cilindro y cono como cuer-pos de revolución no presentará problemas, pero estaremos atentos a la comprensión y dibujo de los elementos básicos.

Será importante el reconocimiento de un tronco de cono como el cuerpo generado por un trapecio rectángulo

y como la sección de un cono por un plano paralelo a la base.

El teorema de Pitágoras será clave para la resolución de al-guna de las actividades propuestas.

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4 ¿Qué cuerpo geométrico se obtiene al hacer girar este trapecio sobre el eje vertical? Halla la longitud del lado desconocido del trapecio e indica a qué elemento del cuerpo corresponde.

Se obtiene un tronco de cono.

El lado desconocido mide: a = 122 + 102 = 15,62 cm

Este segmento corresponde a la generatriz del tronco de cono.

5 Fíjate en el triángulo.

a) ¿Cuál es el nombre del cuerpo geométrico que se obtiene cuando el triángulo gira sobre el eje horizontal?

b) Halla la longitud del radio de la base del cuerpo obtenido con el giro del apartado anterior.

c) ¿Cómo se llama el cuerpo geométrico que se obtiene al girar el triángulo sobre el eje vertical?

d) Calcula el área de la base del cuerpo obtenido con el giro del apartado anterior.

a) Se obtiene un cono.

b) El radio del cono mide: r = 62 − 22 = 5,66 cm

c) También se obtiene un cono.

d) Ab = π ⋅ 22 = 12,56 cm2

6 Determina las áreas de las bases del tronco de cono que genera un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos miden 8 cm y 10 cm, respectivamente.

Ab1 = π ⋅ 82 = 200,96 cm2

Ab2 = π ⋅ 102 = 314 cm2 7 Dibuja el cuerpo geométrico que se obtiene al girar el polígono del dibujo sobre el lado AE.

Investiga8 Utiliza papel, tijeras y pegamento para construir un cilindro recto y un cono recto.

a) Si cortas el cilindro por dos planos paralelos entre sí, pero no paralelos a las bases, ¿qué cuerpo geométrico obtienes? ¿Es un cuerpo de revolución?

b) Si cortas el cono por un plano que no sea paralelo a la base, ¿qué cuerpo geométrico obtienes? ¿Es un cuerpo de revolución?

a) Se obtiene un cilindro oblicuo. No es un cuerpo de revolución ya que la altura no coincide con la generatriz.

b) Se obtiene un cono oblicuo. No es un cuerpo de revolución porque la altura no coincide con la generatriz.

X

Y

8 cm

12 cm

18 cm

X

Y

6 cm

2 cm



2. Área y volumen de cilindros

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La altura de un cilindro mide 6 m, y su radio, 3 m. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.

Un rectángulo tiene unas dimensiones de 2 cm × 5 cm. Halla el área del cilindro que se obtiene haciendo girar el rectángulo sobre el lado de 2 cm.

Comprueba si el área anterior coincide con la del cilindro generado al girar el rectángulo sobre el lado de 5 cm.

Calcula el volumen de estos cilindros.

a) b)

15 cm

12 cm

10 cm

8 cm

Averigua los litros de agua que caben en un depósito cilíndrico de 15 m de altura cuyo diámetro es de 10 m.

Halla el volumen del depósito de tinta de un bolígrafo que mide 11 cm de altura y 1 cm de diámetro.

Arturo va a pintar una pared con un rodillo. ¿Cuál es la superficie de pared que abarcará con cada vuelta completa del rodillo?

Un bote de refresco tiene una capacidad de 330 cm3. Si su diámetro mide 6,5 cm, ¿cuál es su altura?

Calcula el área lateral de un cilindro si el diámetro de la base mide 14 cm y su altura es el triple que su radio.

Determina el radio de un cilindro si la longitud de la circunferencia de la base es de 62,8 dm.

Un cilindro tiene un área total de 3 500 dm2. Si el radio de la base mide 17,5 dm, halla la altura del cilindro.

La capacidad de un depósito cilíndrico es de 3 140 m3. ¿Cuánto mide su radio si tiene una altura de 10 m?

Halla el diámetro de un cilindro de 10 m de altura si su volumen es de 1 000 m3.

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2. ÁREA Y VOLUMEN DE CILINDROSÁngela tiene una moto de dos cilindros. Los cilindros de un motor son unas piezas metálicas capaces de resistir las altas temperaturas que se producen por las constantes explosiones del combustible. Estas explosiones originan la fuerza mecánica del motor, que es la que después se transforma en el movimiento de la moto.

¿Cómo puede Ángela hallar el área y el volumen de uno de los cilindros de su moto?

Para determinar el área, primero dibujamos el desarrollo plano de uno de los cilindros.

4 cm

3 cm

3 cm

❚ El área lateral es el área del rectángulo cuya base mide la longitud de las circunferencias de las bases del cilindro.

AL = L ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 4 = 75,36 cm2

❚ El área total es la suma del área lateral y las áreas de los dos círculos.

AT = AL + 2Ab = 75,36 + 2 ⋅ π ⋅ 32 = 75,36 + 56,52 = 131,88 cm2

❚ Calculamos la capacidad del cilindro aplicando el principio de Cavalieri, que nos permite hallar el volumen del cilindro:

V = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 28,26 ⋅ 4 = 113,04 cm3

❚ El área lateral de un cilindro recto, AL, es el área del rectángulo que forma su cara lateral.

AL = L ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h

❚ El área total de un cilindro recto, AT, es la suma del área lateral y las áreas de las dos bases.

AT = AL + 2Ab = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ r2

❚ El volumen de un cilindro recto, V, es el producto del área de la base por la altura.

V = Ab ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h

En tu vida diaria

• Hay motores de un cilindro, como los de las motosierras o algunas motocicletas pequeñas, y los hay de hasta 16 cilindros, como los que equipan algunos coches, autobuses, camiones o aviones.

• La cilindrada de un vehículo es la forma de medir el tamaño de su motor. Se obtiene sumando los volúmenes de unas piezas llamadas pistones que se sitúan en el interior de cada cilindro. Es frecuente hablar, por ejemplo, de un motor de 2 000 cm3 o de su equivalente, un motor de 2 L.

Aprenderás a… ● Deducir la forma más adecuada para obtener el área y el volumen de cilindros.

DESAFÍOUna vela cilíndrica de 15 cm de altura y 6 cm de diámetro se consume a razón de 1 cm cada 40 min. ¿Cuál será el volumen de la parte de la vela que queda después de 4 h encendida?

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Soluciones de las actividades9 La altura de un cilindro mide 6 m, y su radio, 3 m. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.

AL = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 6 = 113,04 m2

AT = 113,04 + 2 ⋅ π ⋅ 32 = 113,04 + 56,52 = 169,56 m2

V = π ⋅ 32 ⋅ 6 = 169,56 m3

10 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 2 cm x 5 cm. Halla el área del cilindro que se obtiene haciendo girar el rectán-gulo sobre el lado de 2 cm.

Comprueba si el área anterior coincide con la del cilindro generado al girar el rectángulo sobre el lado de 5 cm.

Girando sobre el lado de 2 cm: AT = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ π ⋅ 52 = 219,8 cm2

Al girar sobre el lado de 5 cm: AT = 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ π ⋅ 22 = 87,92 cm2

Por tanto, las áreas laterales coinciden pero las totales no.


En este epígrafe los alumnos aprenderán a calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro recto.

Es recomendable que los alumnos no aprendan las fórmu-las de memoria, el cálculo de las áreas lo plantearemos a partir del desarrollo plano del cilindro.

El cálculo del volumen no presentará problemas, pero de-bemos insistir en la utilización correcta de las medidas de capacidad.

También es recomendable que los alumnos realicen las actividades propuestas para superar los posibles inconve-nientes que pueden encontrarse, tanto gráficos como de cálculo numérico.

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11 Calcula el volumen de estos cilindros.

a) b)

15 cm

12 cm

10 cm

8 cm

a) r = 7,5 cm → V = π ⋅ 7,52 ⋅ 12 = 2 119,5 cm3

b) h = 102 − 82 = 6 cm y r = 4 cm → V = π ⋅ 42 ⋅ 6 = 301,44 cm3

12 Averigua los litros de agua que caben en un depósito cilíndrico de 15 m de altura cuyo diámetro es de 10 m.

r = 5 m → V = π ⋅ 52 ⋅ 15 = 1 177,5 m3 = 1 177 500 L13 Halla el volumen del depósito de tinta de un bolígrafo que mide 11 cm de altura y 1 cm de diámetro.

r = 0,5 cm → V = π ⋅ 0,52 ⋅ 11 = 8,64 cm3 14 Arturo va a pintar una pared con un rodillo. ¿Cuál es la superficie de pared que abarca-

rá con cada vuelta completa del rodillo?

La superficie de la pared que abarcará con cada vuelta del rodillo coincide con el área lateral del cilindro.

r = 5 cm → AL = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 25 = 785 cm2

15 Un bote de refresco tiene una capacidad de 330 cm3. Si su diámetro mide 6,5 cm, ¿cuál es su altura?

r = 3,25 cm → 330 = π ⋅ 3,252 ⋅ h → h = 9,95 cm16 Calcula el área lateral de un cilindro si el diámetro de la base mide 14 cm y su altura es el triple que su radio.

r = 7 cm → h = 21 cm → AL = 2 ⋅ π ⋅ 7 ⋅ 21 = 923,16 cm2

17 Determina el radio de un cilindro si la longitud de la circunferencia de la base es de 62,8 dm.

62,8 = 2 ⋅ π ⋅ r → r = 10 dm 18 Un cilindro tiene un área total de 3 500 dm2. Si el radio de la base mide 17,5 dm, halla la altura del cilindro.

3 500 = 2 ⋅ π ⋅ 17,5 ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ 17,52 → h = 14,35 dm 19 La capacidad de un depósito cilíndrico es de 3 140 m3. ¿Cuánto mide su radio si tiene una altura de 10 m?

3 140 = π ⋅ r2 ⋅ h → r = 10 m 20 Calcula el diámetro de un cilindro de 10 m de altura si su volumen es de 1 000 m3.

1 000 = π ⋅ r2 ⋅ 10 → r = 5,64 m → d = 11,28 m

Desafío21 Una vela cilíndrica de 15 cm de altura y 6 cm de diámetro se consume a razón de 1 cm cada 40 min. ¿Cuál será el volumen

de la parte de la vela que queda después de 4 h encendida?

El volumen de la vela es: V = π ⋅ 32 ⋅ 15 = 423,9 cm3

Después de 4 h = 240 min, la altura del cilindro se habrá reducido: 240 : 40 = 6 cm

Entonces la altura de la vela será: 15 − 6 = 9 cm

Luego, su volumen será: V = π ⋅ 32 ⋅ 9 = 254,34 cm3



3. Área y volumen de conos

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Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto de 18 cm de altura cuya base tiene 12 cm de diámetro.

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Los radios de las bases de un tronco de cono recto de 5 dm de altura miden 1 dm y 2 dm, respectivamente. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.

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3. ÁREA Y VOLUMEN DE CONOSSofía y su hermana se han comprado unos helados con forma de cono.

¿Cuál es la superficie que cubre el envoltorio de papel?

¿Qué volumen ocupa el helado en su interior?

Al desenvolver el helado, podemos observar que la superficie lateral corresponde a un sector circular.

❚ El radio del sector tiene la longitud de la generatriz, g.

❚ La amplitud del ángulo que abarca el sector mide: 2πr

❚ Como el círculo completo abarca un ángulo de 2πg, el área lateral es:

AL = πg2 ⋅2πr2πg

= πrg

❚ La medida del envoltorio completo corresponde al área total formada por la del sector circular y la del círculo de la base: AT = πrg + πr2

❚ El volumen que puede contener el envoltorio del helado corresponde al volumen del cono recto, que, como ocurre con la pirámide, coincide con la tercera parte del volumen de un cilindro que tenga la misma base y la misma altura.

❚ El área lateral de un cono recto, AL, es el área del sector circular que forma su cara lateral.

AL = πrg

❚ El área total de un cono recto, AT, es la suma del área lateral y el área de la base.

AT = AL + Ab = πrg + πr2

❚ El volumen de un cono recto, V, es un tercio del producto del área de la base por la altura.

V =Ab ⋅h

3=πr 2 ⋅h

3

Área y volumen de los troncos de cono

❚ El área lateral de un tronco de cono recto, AL, se puede hallar calculando la diferencia entre las áreas laterales de los conos cuyas bases corresponden a las bases del tronco.

❚ El área total de un tronco de cono recto, AT, es la suma del área lateral y las áreas de las bases.

❚ El volumen de un tronco de cono recto, V, se puede calcular hallando la diferencia entre los volúmenes de los conos cuyas bases corresponden a las bases del tronco.

r

r

g

g

h

Aprenderás a… ● Deducir la forma más adecuada para obtener el área y el volumen de conos y troncos de cono.

Podemos calcular el área de un sector circular con la fórmula:

A = πr2 ⋅α

360°

donde r es la longitud del radio del círculo y α es la amplitud del ángulo que abarca el sector circular.

Recuerda

Presta atención

Necesitamos el contenido de tres conos para completar la capacidad de un cilindro con la misma base y altura.

Presta atención

También podemos calcular el área lateral y el volumen del tronco de cono recto mediante las siguientes fórmulas:

AL = π ⋅ (R + r) ⋅ g

V =π ⋅ R2 + r2 + R ⋅ r( ) ⋅h

3

En el ejercicio resuelto:

AL = π ⋅ (9 + 4) ⋅ 13 = 530,66 m2

V =π ⋅ 92 + 42 + 9 ⋅ 4( ) ⋅12

3=

V = 1 670,48 m3

} Determina el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto cuyo radio mide 4 cm si su altura es de 3 cm.

Solución

EJERCICIO RESUELTO

} Calcula las áreas lateral y total, y el volumen de un tronco de cono recto de 12 m de altura si los radios de las bases miden 4 m y 9 m, respectivamente.

Solución

Para calcular el área lateral, hallamos la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras:

g = 52 + 122 = 13 m

Observamos los triángulos determinados por las generatrices y los radios de las bases y comprobamos que están en posición de Tales.

c

4=c + 13

9→ 9c = 4c + 52

5c = 52 → c = 10,4 m

Por tanto, la generatriz del cono mide:

G = 13 + 10,4 = 23,4 m

El área lateral es: AL = πRG − πrc = π ⋅ 9 ⋅ 23,4 − π ⋅ 4 ⋅ 10,4 = 530,66 m2

El área total es: AT = AL + πR2 + πr2 = 530,66 + π ⋅ 92 + π ⋅ 42 = 835,24 m2

Para hallar el volumen del tronco, consideramos los conos que tienen como bases las del tronco. Aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras, obtenemos la altura de

uno de los conos: h = 10,42 − 42 = 9,6 m

Así, la altura del otro cono es: H = 12 + 9,6 = 21,6 m

El volumen es: V =πR2 ⋅H

3−

πr2 ⋅h

3=π ⋅92 ⋅21,6

3−

π ⋅ 42 ⋅9,6

3= 1670,48 m3

EJERCICIO RESUELTO

4 m

12 m

9 m

c

g

h

G

DESAFÍOHalla la medida de la altura de una tienda india, en forma de cono, sabiendo que el diámetro de la base mide 6 m y que se han utilizado 47,1 m2 de piel de venado para formar la cara lateral.

24

mac3e37


En este epígrafe los alumnos aprenderán a determinar el área lateral, el área total y el volumen de conos y troncos de cono rectos.

Es imprescindible que el alumnado sea capaz de identificar y reconocer los elementos principales de los conos.

El desarrollo plano, en los ejercicios que realicen, les será de gran utilidad para comprender cómo ha de calcularse el área lateral y el área total.

Es importante que relacionen el volumen de un cono con un tercio del volumen de un cilindro que tenga la misma base y altura.

Puede resultar complicado el aprendizaje del cálculo de áreas y volumen de un tronco de cono, para empezar de-bemos realizar alguna actividad en la que traten el tronco como diferencia de dos conos.

El teorema de Tales nos permitirá relacionar la altura de un tronco con la altura del cono.

Vídeo. ÁREA Y VOLUMEN DE UN CONO

En el vídeo se resuelve, paso a paso, el ejercicio resuelto, indican-do cómo calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del pro-cedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como recurso para que los alumnos lo repasen.

303



Soluciones de las actividades22 Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto de 18 cm de altura cuya base tiene 12 cm de diámetro.

g = 182 + 62 = 18,97 cm

AL = π ⋅ 6 ⋅ 18,97 = 357,39 cm2

AT = 357,39 + π ⋅ 62 = 470,43 cm2

V =π ⋅62 ⋅18

3= 678,24 cm3

23 Los radios de las bases de un tronco de cono recto de 5 dm de altura miden 1 dm y 2 dm, respectivamente. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.

g = 52 + 12 = 5,1 dm

AL = π ⋅ (2 + 1) ⋅ 5,1 = 48,04 dm2

AT = 48,04 + π ⋅ 22 + π ⋅ 12 = 63,74 dm2

V =π ⋅ 22 + 12 + 2 ⋅1( ) ⋅5

3= 36,63 dm3

Desafío24 Halla la medida de la altura de una tienda india, en forma de cono, sabiendo que el diámetro de la base mide 6 m y que

se han utilizado 47,1 m2 de piel de venado para formar la cara lateral.

π ⋅ 3 ⋅ g = 47,1 → g = 5 m

Como la altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo: h = 52 − 32 = 4 m



4. Esferas

191


190

Realiza un dibujo que represente cada afirmación referida a una esfera cuyo radio mide 5 cm.

a) Un plano corta la esfera y determina dos semiesferas.

b) La esfera tiene una zona esférica de 4 cm de altura.

c) Un casquete esférico mide 4 cm de altura.

d) La esfera tiene un huso esférico de 30º de amplitud.

e) Una cuña esférica está determinada por un ángulo de 90º.

Explica por qué son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Dos puntos cualesquiera de una superficie esférica pertenecen siempre a una circunferencia máxima.

b) Existe una circunferencia máxima que contiene tres puntos cualesquiera de una superficie esférica.

25

26

Halla la distancia entre dos puntos de una superficie esférica:

a) Si el radio de la esfera mide 20 cm y las rectas que pasan por los puntos y por el centro de la esfera forman un ángulo de 10º.

b) Si el diámetro de la esfera mide 10 cm y las rectas que pasan por los puntos y por el centro de la esfera forman un ángulo de 60º.

c) Si el radio de la esfera mide 16 dm y las rectas que pasan por el centro de la esfera y por los puntos forman un ángulo de 25º.

Un plano que corta a una esfera de 14 cm de radio dista 9 cm de su centro.

a) ¿Cuál es la longitud del radio del círculo determinado por el corte del plano a la esfera?

b) Calcula la altura del casquete esférico determinado por el corte del plano.

27

28

4. ESFERASElisa ha comprado un móvil para colocarlo en su terraza con la idea de que se mueva propulsado por el viento.

Cuando giran las piezas con forma de semicírculo, parece que el móvil está formado por esferas de colores.

Una esfera es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar un semicírculo alrededor de un eje que contiene su diámetro.

❚ Una esfera tiene una sola cara, llamada superficie esférica.

❚ Todos los puntos de la superficie esférica equidistan de un punto fijo, denominado centro de la esfera.

❚ La distancia que separa los puntos de la superficie del centro recibe el nombre de radio de la esfera.

Intersecciones de planos y esferas ❚ Corte de una esfera por un plano que pasa por su centro.

Se obtiene un círculo máximo delimitado por una circunferencia máxima. Cada parte en las que queda dividida la esfera es una semiesfera.

❚ Corte de una esfera por un plano que no pasa por su centro.

Se obtienen dos partes. Cada una de ellas es un casquete esférico.

❚ Corte de una esfera por dos planos paralelos.

Se obtiene una zona esférica formada por la parte de la superficie esférica comprendida entre ambos planos.

❚ Corte de una esfera por dos planos secantes que pasan por su centro.

Se obtiene dos partes. Cada una de ellas es una cuña esférica.

El huso esférico es la parte de la superfie esférica que corresponde a una cuña esférica.

Aprenderás a… ● Reconocer la esfera como cuerpo de revolución.

● Identificar las intersecciones que se obtienen al cortar una esfera por uno o más planos.

Presta atención

La esfera no tiene desarrollo plano.

hr•

} Calcula la distancia entre los puntos A y B de la superficie esférica si el radio de la esfera mide 4 m.

Solución

La distancia entre A y B es igual a la longitud del arco de la circunferencia máxima que los contiene, correspondiente al ángulo de 45º de amplitud:

d (A, B ) = 2π ⋅ 4 ⋅45°

360°= 3,14 m

EJERCICIO RESUELTO

•

••A

B

O45º

Podemos calcular la longitud del arco de una circunferencia aplicando la fórmula:

L = 2πr ⋅α

360°

donde r es la longitud del radio de la circunferencia, y α corresponde a la amplitud del ángulo que determina el arco.

Recuerda

El Atomium, símbolo de la Exposición Universal de Bruselas de 1958, es una estructura formada por esferas. Busca en Internet sus dimensiones y determina la longitud de las circunferencias máximas de cada esfera.

29

Investiga

Soluciones de las actividades25 Realiza un dibujo que represente cada afirmación referida a una esfera cuyo radio mide 5 cm.

a) Un plano corta la esfera y determina dos semiesferas.

b) La esfera tiene una zona esférica de 4 cm de altura.

c) Un casquete esférico mide 4 cm de altura.

d) La esfera tiene un huso esférico de 30º de amplitud.

e) Una cuña esférica está determinada por un ángulo de 90º.


Es importante que los alumnos reconozcan que la esfera no admite desarrollo plano.

Deberán aprender a calcular la distancia entre dos puntos de la superficie esférica, no resultará difícil que entiendan que se trata de calcular la longitud de un arco de circunfe-rencia.

También deben reconocer qué es una semiesfera, un cas-quete esférico, una zona esférica, una cuña y un huso es-férico. Debemos conseguir que sean capaces de expresar verbalmente cómo se obtienen. Será necesario utilizar el teorema de Pitágoras en el cálculo de secciones planas de una esfera.

305



a) c) e)

5 cm

4 cm

5 cm

90º

b) d)

5 cm4 cm

5 cm

30º

26 Explica por qué son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Dos puntos cualesquiera de una superficie esférica pertenecen siempre a una circunferencia máxima.

b) Existe una circunferencia máxima que contiene tres puntos cualesquiera de una superficie esférica.

a) Verdadera, ya que la distancia más corta entre dos puntos es el arco de circunferencia máxima que pasa por ellos.

b) Falsa, porque por tres puntos no alineados siempre es posible construir una circunferencia que pase por todos ellos pero no ha de ser siempre una circunferencia máxima de la esfera que los contiene.

27 Halla la distancia entre dos puntos de una superficie esférica:

a) Si el radio de la esfera mide 20 cm y las rectas que pasan por los puntos y por el centro de la esfera forman un ángulo de 10º.

b) Si el diámetro de la esfera mide 10 cm y las rectas que pasan por los puntos y por el centro de la esfera forman un ángulo de 60º.

c) Si el radio de la esfera mide 16 dm y las rectas que pasan por el centro de la esfera y por los puntos forman un ángulo de 25º.

a) d (A,B ) = 2π ⋅20 ⋅10º

360º= 3,49 cm

b) d (A,B ) = 2π ⋅5 ⋅60º

360º= 5,23 cm

c) d (A,B ) = 2π ⋅16 ⋅25º

360º= 6,98 dm

28 Un plano que corta a una esfera de 14 cm de radio dista 9 cm de su centro.

a) ¿Cuál es la longitud del radio del círculo determinado por el corte del plano a la esfera?

b) Calcula la altura del casquete esférico determinado por el corte del plano.

a) El radio de la esfera, la distancia del centro de la esfera al plano y la longitud del radio del círculo generado por el corte

forman un triángulo rectángulo. Así, aplicando el teorema de Pitágoras: r = 142 − 92 = 10,72 cm

b) h = 14 − 9 = 5 cm

Investiga29 El Atomium, símbolo de la Exposición Universal de Bruselas de 1958, es una estructura formada por esferas. Busca en

Internet sus dimensiones y determina la longitud de las circunferencias máximas de cada esfera.

El diámetro de las esferas mide 18 m.

Entonces la longitud de las circunferencias máximas mide: L = 2 ⋅ π ⋅ 9 = 56,52 m



5. Área y volumen de esferas

193


192

El radio de una esfera mide 2 cm. Calcula su área y su volumen.

Se sumerge una pelota de 22 cm de diámetro en un estanque y flota con la mitad de la superficie dentro del agua.

a) Halla el volumen de la parte de la pelota que se encuentra sumergida.

b) Calcula el área de la parte de la pelota que está fuera del agua.

El área de un balón esférico mide 314 cm2. Averigua la longitud de su radio.

El volumen de una esfera es de 113,04 m3. Determina la longitud de su diámetro.

Calcula la cantidad de material plástico de cada color que se necesita para construir un balón como el de Manuel si cada franja tiene 4 cm de altura.

30

31

32

33

34

Dos planos pasan por el centro de una esfera y forman un ángulo de 90º. Si el radio de la esfera mide 8 cm, halla:

a) El área del huso esférico determinado por los planos.

b) El volumen de la cuña esférica correspondiente a este huso.

¿Qué relación existe entre el volumen de una esfera de radio a y el de otra esfera de radio 3a?

El radio de la base de un cilindro recto mide 6 m, y su altura, 8 m. Calcula la longitud del radio de la esfera que tiene el mismo volumen que este cilindro.

35

36

37

5. ÁREA Y VOLUMEN DE ESFERASArquímedes de Siracusa (ca. 287-212 a. C.), físico, ingeniero y matemático griego, inventor de la polea, la rueda dentada o la palanca, dedicó dos de sus libros a la relación que existe entre los cuerpos de revolución: el cilindro, el cono y la esfera.

Arquímedes demostró que el área de una esfera es igual al cuádruple del área de su círculo máximo. Para ello, imaginó la esfera dentro de un cilindro cuya altura y cuyo diámetro coincidiesen con el de la esfera.

Entonces:

Aesfera = AL = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ 2r = 4πr2

De igual forma, el área de un casquete esférico y de una zona esférica coinciden con el área lateral de un cilindro con la misma altura y el mismo diámetro.

•h r

hr•

Acasquete esférico = 2πrh Azona esférica = 2πrh

El área de una esfera de radio r es: A = 4πr2

Para determinar el volumen de la esfera, Arquímedes demostró que el volumen de una semiesfera coincide con el de un cilindro con la misma altura y el mismo diámetro al que se le resta el volumen de un cono con las mismas dimensiones.

• •

• •

r

r

r

r

r

Vsemiesfera = Vcilindro = Vcono = πr2 ⋅ r −πr2 ⋅ r

3=

2

3πr3

Así pues, el volumen de la esfera es el doble: Vesfera = 2 ⋅2

3πr3 =

4

3πr3

El volumen de una esfera de radio r es: V =4

3πr 3

• r2r

Aprenderás a… ● Deducir la forma más adecuada para hallar el área y el volumen de esferas y cuerpos esféricos.

} Dos planos secantes que forman un ángulo de 30º cortan una esfera cuyo radio mide 5 cm y pasan por su centro. Calcula:

a) El volumen de la cuña esférica determinada por estos planos.

b) El área del huso esférico correspondiente a esta cuña.

Solución

a) El volumen de la cuña esférica es proporcional al volumen de la esfera.

V = Vesfera ⋅30º

360º=

4

3π ⋅53 ⋅

30º

360º= 43,61cm3

b) Del mismo modo, el área del huso esférico es proporcional al área de la esfera.

A = Aesfera ⋅30º

360º= 4π ⋅52 ⋅

30º

360º= 26,17 cm3

EJERCICIO RESUELTO

Responde razonadamente:

a) Si un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, ¿cuál de ellos tiene menor área?

b) Si un cubo y una esfera tienen la misma área, ¿cuál de ellos tiene menor volumen?

38

Investiga

Soluciones de las actividades30 El radio de una esfera mide 2 cm. Calcula su área y su volumen.

A = 4 ⋅ π ⋅ 22 = 50,24 cm2

V =4

3⋅ π ⋅23 = 33,49 cm3

31 Se sumerge una pelota de 22 cm de diámetro en un estanque y flota con la mitad de la superficie dentro del agua.

a) Halla el volumen de la parte de la pelota que se encuentra sumergida.

b) Calcula el área de la parte de la pelota que está fuera del agua.

a) Vsemiesfera = 1

2⋅4

3⋅ π ⋅113 = 2786,22 cm3

b) Asemiesfera = 2 ⋅ π ⋅ 112 = 759,88 cm2


Presentaremos a los alumnos la demostración del área de una esfera razonando que coincide con el área lateral del cilindro circunscrito a ella y con altura de igual longitud que el diámetro.

Es importante que entiendan de la misma forma cómo ha de calcularse el área de un casquete y de una zona esférica, coincidiendo de la misma forma con el cilindro con la altura correspondiente.

La obtención del volumen de la esfera podemos ilustrarla con el dibujo de la semiesfera, el cilindro y el cono con las mismas dimensiones de radio y altura.

Para que resulte sencilla la comprensión de cómo ha de calcularse el volumen de una cuña esférica y la obtención del área de un huso esférico se propone realizar el ejercicio resuelto.

307



32 El área de un balón esférico mide 314 cm2. Averigua la longitud de su radio.

314 = 4 ⋅ π ⋅ r2 → r = 5 cm33 El volumen de una esfera es de 113,04 m3. Determina la longitud de su diámetro.

113,4 = 4

3⋅ π ⋅ r3 → r = 3 m

El diámetro mide 6 m.34 Calcula la cantidad de material plástico de cada color que se necesita para construir

un balón como el de Manuel si cada franja tiene 4 cm de altura.

Como las franjas tienen la misma altura, el área de los casquetes esféricos y de las zonas esféricas coincide:

A = 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 4 = 602,88 cm2

Se necesitan 602,88 cm2 de material de cada color.

35 Dos planos pasan por el centro de una esfera y forman un ángulo de 90º. Si el radio de la esfera mide 8 cm, halla:

a) El área del huso esférico determinado por los planos.

b) El volumen de la cuña esférica correspondiente a este huso.

a) A = 4 ⋅ π ⋅82 ⋅90º

360º= 200,96 cm2

b) V =4

3⋅ π ⋅83 ⋅

90º

360º= 535,89 cm3

36 ¿Qué relación existe entre el volumen de una esfera de radio a y el de otra esfera de radio 3a?

V1 =4

3⋅ π ⋅ a3

V2 =4

3⋅ π ⋅ (3a )3 =

4

3⋅ π ⋅27a3 = 27 ⋅

4

3⋅ π ⋅ a3 = 27V1

El volumen de la esfera de radio 3a es 27 veces el de la de radio a.37 El radio de la base de un cilindro recto mide 6 m, y su altura, 8 m. Calcula la longitud del radio de la esfera que tiene el

mismo volumen que este cilindro.

V = π ⋅ 62 ⋅ 8 = 904,32 m3

904,32 = 4

3⋅ π ⋅ r3 → r = 6 m

Investiga38 Responde razonadamente:

a) Si un cubo y una esfera tienen el mismo volumen, ¿cuál de ellos tiene menor área?

b) Si un cubo y una esfera tienen la misma área, ¿cuál de ellos tiene menor volumen?

a) La esfera tiene menor área.

b) El cubo tiene menor volumen.



6. Composición de cuerpos de revolución

195


194

Halla el área y el volumen de cada figura.

a)

• •2 cm 2 cm

2 cm

4 cm

b)

•3 m 2 m

Calcula el área del tapón cuyas medidas aparecen a continuación.

39

40

Halla el área del cristal de este tubo de ensayo. Calcula el volumen que puede contener.

Una fábrica de perfumes dispone de frascos como el de la figura. Halla el volumen de cada envase.

Un juguete está formado por dos conos unidos por la base. ¿Cuál es su volumen?

41

42

43

6. COMPOSICIÓN DE CUERPOS DE REVOLUCIÓNUn tentetieso es un juguete infantil. Puede estar formado por una semiesfera o un casquete esférico en la parte inferior, que contiene una pieza pesada en su interior que actúa como contrapeso. Así, al modificar su posición de equilibrio estable, siempre vuelve a su posición inicial.

Simón y Erica quieren construir un tentetieso con un material de plástico flexible.

¿Qué cantidad de material necesitarán? ¿Cuál es el volumen que podría contener?

El área y el volumen de un cuerpo compuesto por dos o más cuerpos de revolución se hallan sumando las áreas y los volúmenes de los cuerpos que lo forman.

Aprenderás a… ● Obtener el área y el volumen de cuerpos compuestos por cuerpos de revolución.

} Una arandela de acero forma parte de un mecanismo. Calcula el volumen de la pieza representada.

Solución

La pieza está compuesta por un cilindro de cuyo interior

se ha eliminado un cilindro con un radio menor; por tanto:

V = Vcilindro exterior − Vcilindro interior =

V = π ⋅ 52 ⋅ 5 − π ⋅ 3,52 ⋅ 5 =V = 125 π − 61,25 π =V = 63,75π = 200,18 cm3

EJERCICIO RESUELTO

5 cm

10 cm7 cm•

DESAFÍOCrea tu propio tentetieso. Para ello, puedes utilizar una pelota de tenis, una cartulina, un tornillo con dos tuercas y cola blanca. Primero corta la pelota por la mitad e introduce el tornillo con las tuercas enroscadas en la parte de abajo y centrado. Después rellena con la cola blanca hasta cubrir las tuercas (no es necesario llenar toda la semiesfera). Espera 24 horas, tiempo aproximado para que el contrapeso quede fijo. Con cartulina, construye un cilindro cuya base coincida con el círculo máximo de la semiesfera, así como un cono cuyo radio sea 1 cm mayor que el del cilindro. Pega los tres cuerpos y adorna el juguete a tu gusto.

44

mac3e38

Soluciones de las actividades39 Halla el área y el volumen de cada figura.

a) b)

• •2 cm 2 cm

2 cm

4 cm

•3 m 2 m

a) g = 22 + 22 = 2,83 cm b) A = 2 ⋅ π ⋅52 + 2 ⋅ π ⋅22 + π ⋅ 52 − 22( ) = 248,06 m2

A = 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 2,83 + 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 4 = 85,78 cm2 V =1

2⋅4

3⋅ π ⋅53 +

1

2⋅4

3⋅ π ⋅23 = 278,41 m3

V = 2 ⋅π ⋅22 ⋅2

3+ π ⋅22 ⋅ 4 = 66,99 cm3


En este epígrafe se pondrán en práctica los conocimientos adquiridos en los anteriores. Los alumnos suelen desarrollar una actitud muy positiva cuando les proponemos activida-des en las que deban observar figuras para su descomposi-ción en otras más pequeñas.

En el ejercicio de la sección Desafío se propone a los alum-nos la construcción real de un cuerpo compuesto utilizando materiales sencillos. La manipulación del tentetieso pro-puesto puede ayudar a una mejor comprensión de los ejer-cicios propuestos.

Vídeo. ÁREA Y VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN COMPUESTO

En el vídeo se resuelve, paso a paso, el cálculo del área y del volu-men del cuerpo compuesto del ejemplo.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del pro-cedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como recurso para que los alumnos lo repasen.

309



43 Un juguete está formado por dos conos unidos por la base. ¿Cuál es su volumen?

Si h1 y h2 son las alturas de los conos:

h1 + h2 = 32 + 42 = 5 cm

Por semejanza de triángulos:

h1

3=

3

5→ h1 = 1,8 cm

h2

4=

4

5→ h2 = 3,2 cm

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

Entonces: r1 = 32 −1,82 = 2,4 cm = r2 = 42 − 3,22 = 2,4 cm

V =π ⋅2,42 ⋅1,8

3+π ⋅2,42 ⋅3,2

3= 30,14 cm3

42 Una fábrica de perfumes dispone de frascos como el de la figura. Halla el volumen de cada envase.

V = π ⋅32 ⋅12−π ⋅32 ⋅ 4

3= 301,44 cm3

41 Halla el área del cristal de este tubo de ensayo. Calcula el volumen que puede contener.

A = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 12 + 2 ⋅ π ⋅ 32 = 282,6 cm2

V = π ⋅32 ⋅12 +1

2⋅4

3⋅ π ⋅33 = 395,64 cm3

40 Calcula el área del tapón cuyas medidas aparecen a continuación.

A = π ⋅ 42 + 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅8 + π ⋅ 62 − 42( ) + 2 ⋅ π ⋅6 ⋅6 + π ⋅62 == 653,12 cm2



7. La esfera terrestre

197


196

Halla el área de cada uno de los husos horarios de la Tierra y expresa el resultado en notación científica.

Determina la diferencia horaria existente entre dos ciudades situadas sobre dos meridianos que forman un ángulo de 120º.

Fíjate en el mapa de husos horarios e indica qué hora será en estas ciudades cuando en Greenwich sean las 8 h.

a) Helsinki c) El Cairo e) Bombay

b) Río de Janeiro d) Londres f) Bangkok

Un avión tarda 17 h y 30 min en realizar un vuelo desde Madrid a Manila, en Filipinas. Si sale a las 6 h del aeropuerto de Barajas (Madrid), ¿qué hora será en la ciudad de destino cuando aterrice?

Un vuelo de Valencia a Nueva York dura 8 h y 15 min. Si el avión sale a las 14 h, ¿a qué hora aterrizará en el aeropuerto JFK (Nueva York)?

Considera la Tierra como una esfera perfecta y calcula el área y el volumen del planeta sabiendo que el radio mide 6 371 km, aproximadamente. Expresa los resultados en notación científica.

Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Todos los paralelos son circunferencias máximas.

b) Todos los meridianos son circunferencias máximas.

c) El ecuador no tiene su centro en el centro de la esfera terrestre.

d) Un huso horario es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos paralelos.

e) La zona es una parte de la superficie comprendida entre dos paralelos.

45

46

47

48

49

50

51

7. LA ESFERA TERRESTRELa Tierra es un planeta cuya forma se aproxima a la de una esfera, que realiza un doble giro: por un lado, describe un movimiento de traslación alrededor del Sol y, por otro, un movimiento de rotación alrededor de un eje imaginario inclinado unos 23,5º respecto a la órbita del Sol, donde están definidos los puntos llamados polo norte y polo sur.

La esfera terrestre es una maqueta tridimensional en la que aparecen representadas las zonas de tierra, los mares y los accidentes geográficos del planeta Tierra.

Elementos de la esfera terrestre

❚ El eje terrestre es una recta imaginaria sobre la que gira la Tierra. Los extremos de este eje se llaman polos: son el polo norte y el polo sur.

❚ Los paralelos son circunferencias determinadas por los planos perpendiculares al eje terrestre.

❚ La zona es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos paralelos.

❚ El ecuador es una circunferencia de 6 371 km de radio, la de mayor radio sobre la esfera terrestre, que divide a la Tierra en dos hemisferios: el hemisferio norte y el hemisferio sur.

❚ Los meridianos son semicircunferencias máximas, cuyos extremos están situados en los polos.

❚ El meridiano de Greenwich es el meridiano que pasa por el antiguo observatorio de la localidad inglesa del mismo nombre, también denominado meridiano 0. Divide a la Tierra en dos hemisferios: el hemisferio oriental y el hemisferio occidental.

❚ Un antimeridiano es un arco opuesto a un meridiano que completa con él una circunferencia máxima.

❚ Un huso es una parte de la superficie terrestre comprendida entre dos meridianos.

Aprenderás a… ● Reconocer los elementos de la esfera terrestre.

En tu vida diaria

Desde la antigüedad se ha tratado de perfeccionar la disposición de las regiones y accidentes geográficos en la esfera terrestre. Los avances que han tenido lugar en la cartografía han permitido el desarrollo de los transportes, la meteorología o la localización vía satélite.

En tu vida diaria

• Un día es el período de tiempo que transcurre desde que el Sol está sobre el meridiano de un lugar hasta que vuelve a situarse en la misma posición. Por lo tanto, todos los puntos de un meridiano tienen la misma hora solar. • Para establecer el sistema horario, se toma como referencia el meridiano 0. Los relojes indican las 12 h cuando el Sol pasa por este meridiano. Los puntos que se encuentran en los husos situados hacia el oeste marcan, sucesivamente, una hora menos, mientras que los que se encuentran en los husos hacia el este marcan una hora más, también sucesivamente.

} Para unificar los horarios de los distintos territorios de la Tierra, la superficie se ha dividido en 24 husos horarios, según el giro que da el planeta en una hora alrededor de su eje. Calcula la amplitud de cada huso horario.

Solución

Cada 24 horas, la Tierra gira 360º sobre su eje; por tanto, un huso horario tiene una amplitud de: 360º : 24 = 15º

La Tierra gira 15º cada hora alrededor de su eje.

EJERCICIO RESUELTO

Busca en Internet qué es y qué representa una esfera armilar.52

Investiga

Soluciones de las actividades45 Halla el área de cada uno de los husos horarios de la Tierra y expresa el resultado en notación científica.

Cada huso horario tiene una amplitud de 15º y el radio de la Tierra es de 6 371 km.

La superficie de cada huso mide: A = 4 ⋅ π ⋅63712 ⋅15º

360º= 21241912,12 km2 = 2,12 ⋅ 107 km2

46 Determina la diferencia horaria existente entre dos ciudades situadas sobre dos meridianos que forman un ángulo de 120º.

Como cada huso horario tiene una amplitud de 15º, el número de husos entre las dos ciudades es: 120º : 15º = 8

Por tanto, tienen su diferencia horaria es de 8 h.


Es el momento de poner en práctica los conocimientos ad-quiridos de la geografía terrestre en otras asignaturas. Los alumnos reconocerán la importancia que tienen las mate-máticas en otras disciplinas.

Las definiciones de los elementos de la esfera terrestre no presentarán ninguna dificultad, debemos hacer hincapié en el correcto cálculo de la amplitud de un huso horario.

Será del interés del alumnado las actividades propuestas que hacen referencia a las diferencias horarias.

311



47 Fíjate en el mapa de husos horarios e indica qué hora será en estas ciudades cuando en Greenwich sean las 8 h.

a) Helsinki c) El Cairo e) Bombay

b) Río de Janeiro d) Londres f) Bangkok

a) Las 9 h c) Las 10 h e) Las 13 h

b) Las 5h d) Las 8 h f) Las 15 h48 Un avión tarda 17 h y 30 min en realizar un vuelo desde Madrid a Manila, en Filipinas. Si sale a las 6 h del aeropuerto de

Barajas (Madrid), ¿qué hora será en la ciudad de destino cuando aterrice?

Como hay 7 h de diferencia horaria: 6 h + 17 h 30 min + 7 h = 6 h 30 min del día siguiente49 Un vuelo de Valencia a Nueva York dura 8 h y 15 min. Si el avión sale a las 14 h, ¿a qué hora aterrizará en el aeropuerto

JFK (Nueva York)?

Como hay 6 h de diferencia horaria: 14 h + 8 h 15 min − 6 h = 16 h 15 min50 Considera la Tierra como una esfera perfecta y calcula el área y el volumen del planeta sabiendo que el radio mide

6 371 km, aproximadamente. Expresa los resultados en notación científica.

A = 4 ⋅ π ⋅ 6 3712 = 5,098 ⋅ 108 km2

V =4

3⋅ π ⋅63713 = 1,083 ⋅ 1012 km3

51 Justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Todos los paralelos son circunferencias máximas.

b) Todos los meridianos son circunferencias máximas.

c) El ecuador no tiene su centro en el centro de la esfera terrestre.

d) Un huso horario es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos paralelos.

e) La zona es una parte de la superficie comprendida entre dos paralelos.

a) Falsa, ya que están determinados por planos que son perpendiculares al eje terrestre.

b) Verdadera, los meridianos son circunferencias máximas que pasan por los polos.

c) Falsa, porque el ecuador es una circunferencia máxima y su centro es el centro de la Tierra.

d) Falsa, puesto que un huso es la parte de la superficie terrestre comprendida entre dos meridianos.

e) Verdadera

Investiga52 Busca en Internet qué es y qué representa una esfera armilar.

Una esfera armilar es un modelo de la esfera terrestre utilizado para mostrar el movimiento aparente de las estrellas alre-dedor de la Tierra o el Sol.

La esfera armilar está construida sobre un esqueleto de círculos graduados mostrando el ecuador, la eclíptica, los meridia-nos y los paralelos terrestres.



8. Coordenadas geográficas

Soluciones de las actividades53 Halla la latitud de todos los puntos de la superficie terrestre situados en el ecuador.

Todos los puntos del ecuador tienen latitud 0º.54 Indica cuál es la longitud de todos los lugares situados en el antimeridiano de Greenwich.

Todos estos puntos del ecuador son de longitud 180º.55 ¿Cuál es la latitud del polo norte? ¿Y la del polo sur?

La latitud del polo norte es 90º N. Y la del polo sur es 90º S.56 Indica la coordenada geográfica que comparten dos puntos situados sobre el mismo paralelo.

Comparten la misma latitud.57 ¿Qué coordenada geográfica tienen dos lugares situados en el mismo meridiano?

Tienen la misma longitud.


Para definir las coordenadas geográficas dibujaremos un punto en la esfera terrestre e indicaremos los elementos que intervienen: el meridiano 0, el ecuador, y los ángulos.

Será conveniente que expliquemos la similitud que existe con la representación de un punto en el plano cartesiano.

Los cálculos de distancias entre puntos del mismo meridia-no no presentarán dificultad dado que el problema consiste en calcular la medida de arcos en una circunferencia.

Para calcular distancias entre puntos del mismo paralelo tendremos en cuenta que solo podrán hacerlo, por no ha-ber estudiado aún trigonometría, con puntos que pertenez-can al paralelo de latitud 45º dado que el triángulo que se forma es rectángulo e isósceles. Es muy conveniente realizar los dos ejercicios resueltos de la sección.

199


198

} Halla la distancia entre dos puntos, A(20º O, 45º N) y B(20º O, 55º N), situados en el mismo meridiano.

Solución

•

•

•

A

B

La amplitud del arco entre los dos puntos es:

55º − 45º = 10º

La distancia sobre la superficie terrestre entre A y B es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 10º de amplitud y cuyo radio es, aproximadamente, el radio de la Tierra:

d (A, B ) = 2π ⋅6371⋅10°

360°= 1 111,39 km

EJERCICIO RESUELTO

} Halla la distancia entre dos puntos, A(10º E, 45º N) y B(20º E, 45º N), situados en el mismo paralelo.

Solución

• •

•

A B

La amplitud del arco entre los dos puntos es:

20º − 10º = 10º

La distancia sobre la superficie terrestre entre A y B es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 10º de amplitud y cuyo radio, r, es el del paralelo 45º.

Observamos que, al estar los puntos en este paralelo, la distancia del centro de la Tierra al centro de la circunferencia del casquete también es r; en consecuencia:

r2 + r2 = 6 3712 → r = 4 504,98 km

Luego:

d (A, B ) = 2π ⋅ 4504,98 ⋅10°

360°= 785,87 km

EJERCICIO RESUELTO

Halla la latitud de todos los puntos de la superficie terrestre situados en el ecuador.

Indica cuál es la longitud de todos los lugares situados en el antimeridiano de Greenwich.

¿Cuál es la latitud del polo norte? ¿Y la del polo sur?

Indica la coordenada geográfica que comparten dos puntos situados sobre el mismo paralelo.

¿Qué coordenada geográfica tienen dos lugares situados en el mismo meridiano?

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57

Determina la distancia que separa dos pueblos, P y Q, cuyas coordenadas geográficas son:

P(10º E, 40º N) y Q(10º E, 10º S)

58

Calcula la distancia al ecuador desde Badajoz sobre el meridiano de la ciudad si sus coordenadas geográficas son: (7º O, 39º N)

59

Halla la distancia que separa dos ciudades, P y Q, cuyas coordenadas geográficas son:

P(15º E, 45º S) y Q(30º E, 45º S)

Dos puntos, M y N, situados sobre el ecuador tienen por longitud 15º E y 45º O, respectivamente. Averigua la distancia que hay entre ellos.

60

61

8. COORDENADAS GEOGRÁFICASUn globo terráqueo es una representación de la esfera terrestre que permite, por ejemplo, situar lugares geográficos y calcular la distancia entre ellos.

Salvo en los polos, por cada punto de la Tierra pasan un paralelo y un meridiano.

Así, cualquier punto de la Tierra queda determinado por el meridiano y el paralelo que pasan por él.

Para localizar un lugar en la esfera terrestre se usan dos coordenadas geográficas: la longitud y la latitud.

•

•A Latitud

Ecuador

Longitud

Meridiano cero

❚ La longitud de un punto sobre la superficie terrestre es la amplitud del ángulo formado por el plano que contiene el meridiano que pasa por dicho punto y el plano que contiene el meridiano 0 o meridiano de Greenwich.

Su valor varía de 0º a 180º y hay que añadirle O si está al oeste del meridiano 0 y E si se encuentra al este.

❚ La latitud de un punto sobre la superficie terrestre es la amplitud del arco determinado por el plano que contiene el ecuador y el radio que une dicho punto con el centro de la esfera terrestre.

Su valor varía de 0º a 90º y hay que añadirle N si está al norte del ecuador y S si se encuentra al sur.

Aprenderás a… ● Utilizar las coordenadas geográficas para hallar distancias entre dos puntos de la esfera terrestre.

● Describir localizaciones de lugares de la Tierra.

En tu vida diaria

El antimeridiano del meridiano de Greenwich es el meridiano 180º y coincide con la línea internacional de cambio de fecha. Esta es una línea imaginaria trazada sobre el océano Pacífico que cruza el estrecho de Bering entre Alaska y Siberia.

} Observa el dibujo e indica las coordenadas geográficas del punto P sobre la superficie terrestre.

Solución

El punto P está situado 50º hacia el este del meridiano 0 y 45º hacia el norte del ecuador; por consiguiente, sus coordenadas son: P(50º E, 45º N)

EJERCICIO RESUELTO

Busca en Internet qué lugares son y qué latitud tienen todos los puntos que pertenecen a estos paralelos.

a) Círculo polar ártico

b) Círculo polar antártico

c) Trópico de Cáncer

d) Trópico de Capricornio

62

Investiga

313



58 Determina la distancia que separa dos pueblos, P y Q, cuyas coordenadas geográficas son:

P(10º E, 40º N) y Q(10º E, 10º S)

La amplitud del arco entre los dos puntos es: 40º + 10º = 50º

La distancia sobre la superficie terrestre entre P y Q es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 50º de

amplitud y cuyo radio es el radio de la Tierra: d (P ,Q ) = 2 ⋅ π ⋅6371⋅50º

360º= 5556,93 km

59 Calcula la distancia al ecuador desde Badajoz sobre el meridiano de la ciudad si sus coordenadas geográficas son: (7º O, 39º N)

La amplitud del arco entre Badajoz y el ecuador es: 39º

La distancia es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 39º de amplitud y cuyo radio es el radio de la

Tierra: 2 ⋅ π ⋅6371⋅39º

360º= 4 334,404 km

60 Halla la distancia que separa dos ciudades, P y Q, cuyas coordenadas geográficas son:

P(15º E, 45º S) y Q(30º E, 45º S)

La amplitud del arco entre los dos puntos es: 30º − 15º = 15º

La distancia sobre la superficie terrestre entre P y Q es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 15º de amplitud y cuyo radio, r, es el del paralelo 45º S.

Al estar los puntos en este paralelo, la distancia del centro de la Tierra al centro de la circunferencia del casquete también es r; por tanto: r2 + r2 = 6 3712 → r = 4 504,98 km

Entonces: d (P ,Q ) = 2 ⋅ π ⋅ 4504,98 ⋅15º

360º= 1178,803 km

61 Dos puntos, M y N, situados sobre el ecuador tienen por longitud 15º E y 45º O, respectivamente. Averigua la distancia que hay entre ellos.



Tierra: d (M ,N ) = 2 ⋅ π ⋅6371⋅60º

360º= 6668,31 km

Investiga62 Busca en Internet qué lugares son y qué latitud tienen todos los puntos que pertenecen a estos paralelos.

a) Círculo polar ártico

b) Círculo polar antártico

c) Trópico de Cáncer

d) Trópico de Capricornio

a) Es uno de los cinco paralelos principales terrestres, señala la región ártica del planeta, en la que se encuentra el Polo Norte. Todos sus puntos tienen latitud: 66º 33’ 45” N

b) Es uno de los cinco paralelos principales de la Tierra, indica la zona ocupada por la Antártida y en él se halla el Polo Sur. Todos su puntos tienen latitud: 66° 33’ 45” S

c) Es uno de los paralelos del planeta, está ubicado en el hemisferio norte y señala el límite septentrional de la zona intertropical. Todos sus puntos tienen latitud: 23º 26’ 15” N

d) Es otro de los paralelos principales de la Tierra, se encuentra en el hemisferio sur y señala el límite meridional de la zona intertropical. Todos sus puntos están situados actualmente a una latitud de: 23º 26’ 15” S




En esta sección se destacan los conceptos y procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido al ter-minar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Calcular áreas y volúmenes de cilindros realizando su desarrollo plano.

❚❚ Dibujar correctamente los elementos de un cono, su desarrollo plano y determinar su área y volumen.

❚❚ Hallar áreas y volúmenes de troncos de cono y dibujar su desarrollo plano.

❚❚ Calcular áreas y volúmenes de esferas.

Actividades finalesSoluciones de las actividades63 Los lados de un rectángulo miden 3 cm y 7 cm, respectivamente.

a) Determina las dimensiones del cilindro que genera el rectángulo si se hace que gire sobre un eje que contiene el lado más largo.

b) Halla el volumen del cilindro del apartado anterior.

a) La altura del cilindro medirá 7 cm y el radio de la base medirá 3 cm.

b) V = π ⋅ 32 ⋅ 7 = 197,82 cm3

¿Qué tienes que saber?

200 201

¿QUÉ10 tienes que saber? Actividades Finales 10

Conos y troncos de cono. Áreas y volúmenes

Un cono es generado al hacer girar el triángulo de la figura alrededor del cateto mayor.

Halla el área lateral, el área total y el volumen del cono.

La generatriz y el diámetro de la base de un cono recto miden 12 cm. Halla su área lateral, su área total y su volumen.

Calcula la altura de un cono cuyo volumen es de 2 198 cm3 si el radio de la base mide 10 cm.

Para confeccionar un gorro de brujo con forma de cono, Arturo ha utilizado 2 106,94 cm2 de cartulina negra. Averigua la longitud del diámetro de la base del gorro y su altura sabiendo que la generatriz mide 61 cm.

La altura de un tronco de cono es de 12 cm, y los diámetros de sus bases miden 18 cm y 14 cm, respectivamente. Halla:

a) Su área lateral.

b) Su área total.

c) Su volumen.

Determina la capacidad de una champanera de acero inoxidable que mide 28 cm de altura y cuya base y boca tienen un diámetro, respectivamente, de 18 cm y 26 cm.

Julián utiliza un cubo para recoger la leche cada mañana.

¿Qué cantidad de leche recoge cada vez que llena el cubo?

Calcula el volumen de un cono de 10 cm de altura y 6 cm de radio. Halla el volumen del tronco de cono que se obtiene al cortar el cono anterior por un plano paralelo a la base a 4 cm de distancia del vértice.

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Cilindros. Áreas y volúmenes

Los lados de un rectángulo miden 3 cm y 7 cm, respectivamente.

a) Determina las dimensiones del cilindro que genera el rectángulo si se hace que gire sobre un eje que contiene el lado más largo.

b) Halla el volumen del cilindro del apartado anterior.

Dibuja un cilindro de 8 cm de altura y 6 cm de diámetro. Realiza su desarrollo y calcula:

a) El área lateral.

b) El área total.

c) El volumen.

Halla el área lateral, el área total y el volumen del cilindro dibujado.

10 cm

30 cm

El área lateral de un cilindro de 12 cm de altura mide 301,44 cm2. Halla la longitud de los radios de sus bases.

En una bodega hay un depósito cilíndrico de 10 m de altura. Calcula la longitud de los radios de sus bases sabiendo que tiene una capacidad de 785 m3.

¿Cuántos litros de agua puede contener un bidón de 1,20 m de altura si los diámetros de sus bases miden 60 cm?

Calcula el área total y el volumen de un cilindro si la suma de su radio y de su altura es de 40 cm, y la diferencia, de 12 cm.

Elisa y su madre han comprado la tela para confeccionar un cojín.

Determina cuánto han pagado por la tela.

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Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro cuyo radio mide 8 cm y que tiene una altura de 24 cm.

24 cm

8 cm8 cm

Área lateral: AL = 2 ⋅ π ⋅ 8 ⋅ 24 = 1 205,76 cm2

Área total: AT = 1 205,76 + 2 ⋅ π ⋅ 82 = 1 205,76 + 401,92 = 1 607,68 cm2

Volumen: V = π ⋅ 82 ⋅ 24 = 4 823,04 cm3

CilindrosTen en cuentaUn cilindro recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar un rectángulo sobre un eje paralelo a uno de sus lados.

❚ Área lateral:

AL = L ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h

❚ Área total:

AT = AL + 2Ab = = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ r2

❚ Volumen:

V = Ab ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h

Halla el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono recto del dibujo.

1,5 dm

2 dm

6 dm

2,5 dm

7,5 dm4,5 dm

Área lateral: AL = πRG − πrg = π ⋅ 6 ⋅ 7,5 − π ⋅ 2 ⋅ 2,5 = 125,6 dm2

Área total: AT = AL + πR2 + πr2 = 125,6 + π ⋅ 62 + π ⋅ 22 = 251,2 dm2

Volumen:V =πR2 ⋅H

3−

πr2 ⋅h

3=π ⋅62 ⋅ 4,5

3−

π ⋅22 ⋅1,5

3= 163,28 dm3

Conos y troncos de conoTen en cuentaUn cono recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar un triángulo rectángulo sobre un eje que contiene uno de sus catetos.

❚ Área lateral:

AL = πrg

❚ Área total:

AT = AL + Ab = πrg + πr2

❚ Volumen:

V =

Ab ⋅h

3=

πr 2 ⋅h

3

Un tronco de cono recto es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar un trapecio rectángulo sobre un eje que contiene el lado perpendicular a sus bases.

Calcula el área y el volumen de una esfera cuyo radio mide 8 cm.

Área: A = 4πr2 = 4 ⋅ π ⋅ 82 = 803,84 cm2

Volumen:V =4

3πr3 =

4

3⋅ π ⋅83 = 2 143,57 cm3

EsferasTen en cuentaUna esfera es un cuerpo de revolución que se obtiene cuando se hace girar un semicírculo alrededor de un eje que contiene su diámetro.

❚ Área:

A = 4πr2

❚ Volumen:

V =

4

3πr 3

8 cm•

28 cm

46 cm

315



64 Dibuja un cilindro de 8 cm de altura y 6 cm de diámetro. Realiza su desarrollo y calcula:

a) El área lateral. b) El área total. c) El volumen.

a) AL = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 8 = 150,72 cm2

b) AT = 150,72 + 2 ⋅ π ⋅ 32 = 207,24 cm2

c) V = π ⋅ 32 ⋅ 8 = 226,08 cm3

65 Halla el área lateral, el área total y el volumen del cilindro dibujado.

10 cm

30 cm

AL = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 30 = 942 cm2

AT = 942 + 2 ⋅ π ⋅ 52 = 1 099 cm2

V = π ⋅ 52 ⋅ 30 = 2 355 cm3

66 El área lateral de un cilindro de 12 cm de altura mide 301,44 cm2. Halla la longitud de los radios de sus bases.

301,44 = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ 12 → r = 4 cm67 En una bodega hay un depósito cilíndrico de 10 m de altura. Calcula la longitud de los radios de sus bases sabiendo que

tiene una capacidad de 785 m3.

785 = π ⋅ r2 ⋅ 10 → r = 5 m68 ¿Cuántos litros de agua puede contener un bidón de 1,20 m de altura si los diámetros de sus bases miden 60 cm?

V = π ⋅ 32 ⋅ 12 = 339,12 dm3 = 339,12 L69 Calcula el área total y el volumen de un cilindro si la suma de su radio y de su altura es de 40 cm, y la diferencia, de 12 cm.

r + h = 40

r − h = 12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2r = 52 → r = 26 → h = 14

AT = 2 ⋅ π ⋅ 26 ⋅ 14 + 2 ⋅ π ⋅ 262 = 6 531,2 cm2

V = π ⋅ 262 ⋅ 14 = 29 716,96 cm3 70 Elisa y su madre han comprado la tela para confeccionar un cojín. Determina cuánto han pagado por la tela.

La cantidad de tela necesaria es el área total de un cilindro más los 500 cm2 para las costuras:

2 ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 50 + 2 ⋅ π ⋅ 122 + 500 = 5 172,32 cm2

Como cada metro cuadrado cuesta 10 €, Elisa y su madre han pagado: 0,517 ⋅ 10 = 5,17 €

71 Un cono es generado al hacer girar el triángulo de la figura alrededor del cateto mayor.

Halla el área lateral, el área total y el volumen del cono.

g = 462 + 282 = 53,85 cm

AL = π ⋅ 28 ⋅ 53,85 = 4 734,49 cm2

AT = 4 734,49 + π ⋅ 282 = 7 196,25 cm2

V =π ⋅282 ⋅ 46

3= 37746,99 cm3

28 cm

46 cm



72 La generatriz y el diámetro de la base de un cono recto miden 12 cm. Halla su área lateral, su área total y su volumen.

AL = π ⋅ 6 ⋅ 12 = 226,08 cm2

AT = 226,08 + π ⋅ 62 = 339,12 cm2

h = 122 − 62 = 10,39 cm

V =π ⋅62 ⋅10,39

3= 391,5 cm3

73 Calcula la altura de un cono cuyo volumen es de 2 198 cm3 si el radio de la base mide 10 cm.

2198 =π ⋅102 ⋅h

3→ h = 21 cm

74 Para confeccionar un gorro de brujo con forma de cono, Arturo ha utilizado 2 106,94 cm2 de cartulina negra. Averigua la longitud del diámetro de la base del gorro y su altura sabiendo que la generatriz mide 61 cm.

2 106,94 = π ⋅ r ⋅ 61 → r = 11 cm → El diámetro mide 22 cm.

h = 612 −112 = 60 cm75 La altura de un tronco de cono es de 12 cm, y los diámetros de sus bases miden 18 cm y 14 cm, respectivamente. Halla:

a) Su área lateral. b) Su área total. c) Su volumen.

a) g = 122 + 22 = 12,17 cm c) V =π ⋅ 92 + 72 + 9 ⋅7( ) ⋅12

3= 2024,08 cm3

AL = π ⋅ (9 + 7) ⋅ 12,17 = 611,42 cm2

b) AT = 611,42 + π ⋅ 92 + π ⋅ 72 = 1 019,62 cm2

76 Determina la capacidad de una champanera de acero inoxidable que mide 28 cm de altura y cuya base y boca tienen un diámetro, respectivamente, de 18 cm y 26 cm.

V =π ⋅ 132 + 92 + 13 ⋅9( ) ⋅28

3= 10755,55 cm3

La champanera puede contener 10,75 L.77 Julián utiliza un cubo para recoger la leche cada mañana. ¿Qué

cantidad de leche recoge cada vez que llena el cubo?

Para hallar los radios de las bases:

20π = 2 ⋅ π ⋅ r → r = 10 cm

30π = 2 ⋅ π ⋅ R → R = 15 cm

La altura del cubo mide: h = 302 −52 = 29,58 cm

V =π ⋅ 152 + 102 + 15 ⋅10( ) ⋅29,58

3= 14706,19 cm3

En cada cubo recoge 14,7 L.78 Calcula el volumen de un cono de 10 cm de altura y 6 cm de radio. Halla el volumen del tronco de cono que se obtiene

al cortar el cono anterior por un plano paralelo a la base a 4 cm de distancia del vértice.

V =π ⋅62 ⋅10

3= 376,8 cm3

La altura del tronco de cono que se obtiene mide: h = 10 − 4 = 6 cm

Como los triángulos generados al cortar el cono están en posición de Tales: 4

r=

10

6→ r = 2,4 cm

El volumen del tronco de cono es: V = 376,8−π ⋅2,42 ⋅ 4

3= 352,68 cm3

317



79 Dibuja una esfera, una semiesfera y una cuña esférica.

a) ¿Cuántos ejes de giro tiene cada uno de los cuerpos dibujados?

b) ¿Cuántos planos de simetría poseen estos cuerpos?

a) La esfera tiene infinitos ejes de giro que pasan por su centro. La semiesfera solo tiene un eje de giro que es perpendi-cular a la base y pasa por su centro. La cuña esférica no tiene ejes de giro.

b) La esfera tiene infinitos planos de simetría que pasan por su centro. La semiesfera tiene infinitos planos de simetría que son perpendiculares a la base y que pasan por su centro. La cuña esférica tiene dos planos de simetría que son perpendiculares entre sí.

80 Una fábrica de juguetes comercializa unas bolas magnéticas de 7 mm de diámetro en paquetes de 64 unidades. Con ellas pueden construirse diferentes figuras.

a) Calcula el volumen de material que ocupan las 26 bolas que quedan en la bolsa.

b) Determina la longitud de la pulsera.

a) El volumen de una de las bolas es: V =4

3⋅ π ⋅3,53 = 179,5 mm3

Las 26 bolas ocupan un volumen de : 26 ⋅ 179,5 = 4 667 mm3

b) Como la pulsera tiene 15 bolas, su longitud es de 15 ∙ 7 = 105 mm

202 203

10 Cuerpos de revolución Actividades Finales 10

Calcula la diferencia horaria entre dos ciudades situadas sobre dos meridianos que forman un ángulo de 135º de amplitud.

La milla marina es una unidad de longitud que se emplea en navegación marítima y aérea. Es la distancia que hay entre dos puntos de un meridiano de la superficie terrestre que forman un arco de 1’ de amplitud (una sesentava parte de un grado).

a) Calcula cuántos kilómetros abarca una milla marina.

b) Expresa en kilómetros la distancia recorrida por un velero en una etapa de 310 millas marinas entre dos puertos marítimos.

c) Dos ciudades están separadas por una distancia de 4 625 km. Si un avión ha de cubrir la ruta entre ellas, determina cuántas millas marinas debe recorrer en los trayectos de ida y vuelta.

Dos puntos, A y B, de la superficie terrestre están situados en el mismo paralelo.

• •A B

•

Calcula la distancia que separa estos puntos si sus coordenadas geográficas son:

A(10º E, 60º N) y B(53º E, 60º N)

Un piloto de avión debe decidir la ruta más corta para volar desde la ciudad A hasta la ciudad B, ambas situadas en puntos diametralmente opuestos en el paralelo 45º.

••

¿Qué será más conveniente: realizar una ruta que pase por el polo norte o hacer el viaje volando sobre el paralelo en el que se encuentran las ciudades?

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La esfera terrestre. Coordenadas geográficas

Dibuja una esfera terrestre e indica en ella todos los elementos que conozcas.

Sitúa en un dibujo de la esfera terrestre los siguientes puntos.

a) A(45º E, 0º N)

b) B(30º O, 45º S)

c) C(15º O, 60º S)

d) D(90º E, 30º N)

Indica si es verdadera o falsa cada afirmación y justifica tu respuesta.

a) Todos los puntos de un meridiano tienen la misma longitud.

b) Todos los paralelos tienen el mismo radio.

Dos puntos son antípodas si están diametralmente opuestos en una circunferencia máxima de la superficie terrestre. Averigua:

a) Las antípodas del punto (90º E, 0º N).

b) Las antípodas del punto (45º E, 45º N).

c) El país antípoda de España.

Sabiendo que el radio de la Tierra mide 6 371 km, aproximadamente:

a) Halla cuánto mide el ecuador.

b) Calcula cuántos kilómetros mide un arco de un meridiano de 1º de amplitud.

Dos puntos, P y Q, situados sobre el ecuador tienen una longitud de 30º E y 30º O, respectivamente; averigua la distancia que hay entre ellos.

Las coordenadas geográficas de una ciudad son:

(10º E, 45º N)

Halla la distancia al ecuador medida sobre el meridiano que pasa por dicha ciudad.

Dos ciudades tienen la misma longitud, 10° E, y sus latitudes son 37° 25' N y 22° 35' S, respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre ellas?

Cuando en el huso horario 0 son las 10 h, averigua:

a) La hora que será en el huso 4º E.

b) La hora que tendrán las ciudades situadas en el huso horario 5º O.

María está de vacaciones en Buenos Aires. Ha hablado por teléfono con su hermano Andrés, que vive en París, a las ocho y cuarto de la tarde. ¿Qué hora marcaba el reloj de Andrés en ese momento?

Cerdeña está en el huso 1° E, y Cuba, en el 5° O. Si un avión sale de Cerdeña a las 6 h y el vuelo dura 8 h, ¿cuál será la hora local de llegada a Cuba?

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El área de una semiesfera mide 942 cm2. Determina la longitud de su radio.

Una esfera tiene un diámetro de 20 cm. Halla:

a) El volumen de la esfera.

b) El volumen de una cuña esférica de 40º de amplitud.

El área de una esfera mide 452,16 cm2; ¿cuál es su volumen?

El radio de un cilindro recto de 4 m de altura mide 3 m. Si una esfera tiene el mismo volumen que este cilindro, ¿cuánto mide el diámetro de la esfera?

Una esfera de 5 dm de radio tiene el mismo volumen que un cono recto de 8 dm de altura. ¿Cuánto mide el radio de la base de este cono?

Composición de cuerpos de revolución

En el gimnasio al que acude regularmente Raúl hay mancuernas de distintos pesos, forradas de material plástico antideslizante.

Calcula la cantidad de material antideslizante necesario para forrar la mancuerna que ha elegido Raúl hoy.

Un juguete está formado por nueve aros de madera de 4 cm de altura cada uno. Para poder introducirlos en la varilla vertical, cuyo diámetro mide 3 cm, todos los aros tienen un agujero circular de 2 cm de radio. El aro más pequeño mide 6 cm de diámetro; el siguiente en tamaño, 8 cm; y cada aro sucesivo tiene 2 cm más de diámetro que el anterior. Si la longitud de la varilla vertical es de 42 cm, ¿cuál es el volumen total de la madera necesaria para construir la torre?

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Esferas. Áreas y volúmenes

Dibuja una esfera, una semiesfera y una cuña esférica.

a) ¿Cuántos ejes de giro tiene cada uno de los cuerpos dibujados?

b) ¿Cuántos planos de simetría poseen estos cuerpos?

Una fábrica de juguetes comercializa unas bolas magnéticas de 7 mm de diámetro en paquetes de 64 unidades. Con ellas pueden construirse diferentes figuras.

a) Calcula el volumen de material que ocupan las 26 bolas que quedan en la bolsa.

b) Determina la longitud de la pulsera.

Un plano corta a una esfera de 10 cm de radio.

•

• 8 cm

a) Halla la distancia que separa el plano del centro de la esfera.

b) Calcula la altura del casquete esférico más pequeño de los generados por la intersección del plano.

Calcula la longitud del radio de una esfera que, al ser cortada por un plano que pasa a 8 cm de su centro, genera una circunferencia cuyo radio mide 15 cm.

El diámetro de una esfera mide 14 cm. Calcula:

a) El área de la esfera.

b) El área de un huso esférico de 20º de amplitud.

Averigua la longitud del diámetro de una esfera, sabiendo que su área mide 1 808,64 cm2.

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81 Un plano corta a una esfera de 10 cm de radio.

a) Halla la distancia que separa el plano del centro de la esfera.

b) Calcula la altura del casquete esférico más pequeño de los generados por la intersec-ción del plano.

a) d = 102 − 82 = 6 cmb) h = 10 − 6 = 4 cm

82 Calcula la longitud del radio de una esfera que, al ser cortada por un plano que pasa a 8 cm de su centro, genera una circunferencia cuyo radio mide 15 cm.

r = 152 + 82 = 17 cm83 El diámetro de una esfera mide 14 cm. Calcula:

a) El área de la esfera.

b) El área de un huso esférico de 20º de amplitud.

a) A = 4 ⋅ π ⋅ 72 = 615,44 cm2

b) A = 4 ⋅ π ⋅72 ⋅20º

360º= 34,19 cm2

84 Averigua la longitud del diámetro de una esfera, sabiendo que su área mide 1 808,64 cm2.

1 808,64 = 4 ⋅ π ⋅ r2 → r = 12 cm

El diámetro mide 24 cm.85 El área de una semiesfera mide 942 cm2. Determina la longitud de su radio.

942 = 2 ⋅ π ⋅ r2 → r = 12,25 cm86 Una esfera tiene un diámetro de 20 cm. Halla:

a) El volumen de la esfera.

b) El volumen de una cuña esférica de 40º de amplitud.

a) V = 4

3⋅ π ⋅103 = 4186,67 cm3

b) V = 4

3⋅ π ⋅103 ⋅

40º

360º= 465,19 cm3

87 El área de una esfera mide 452,16 cm2; ¿cuál es su volumen?

452,16 = 4 ⋅ π ⋅ r2 → r = 6 cm

V = 4

3⋅ π ⋅63 = 904,32 cm3

El diámetro mide 6 m.88 El radio de un cilindro recto de 4 m de altura mide 3 m. Si una esfera tiene el mismo volumen que este cilindro, ¿cuánto

mide el diámetro de la esfera?

V = π ⋅ 32 ⋅4 = 113,04 m2

113,04 = 4

3⋅ π ⋅ r3 → r = 3 m

89 Una esfera de 5 dm de radio tiene el mismo volumen que un cono recto de 8 dm de altura. ¿Cuánto mide el radio de la base de este cono?

V = 4

3⋅ π ⋅53 = 523,33 dm3

523,33 = π ⋅ r2 ⋅8

3→ r = 7,91 dm

•

• 8 cm

319



90 En el gimnasio al que acude regularmente Raúl hay mancuernas de distintos pesos, forradas de material plástico antideslizante.

Calcula la cantidad de material antideslizante necesario para fo-rrar la mancuerna que ha elegido Raúl hoy.

A = 2 ⋅ π ⋅ 52 + 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 6 + 2 ⋅ π ⋅ (52 − 22) + 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 16 == 678,24 cm2

91 Un juguete está formado por nueve aros de madera de 4 cm de altura cada uno. Para poder introducirlos en la varilla vertical, cuyo diámetro mide 3 cm, todos los aros tienen un agujero circular de 2 cm de radio. El aro más pequeño mide 6 cm de diámetro; el siguiente en tamaño, 8 cm; y cada aro sucesivo tiene 2 cm más de diámetro que el anterior. Si la longitud de la varilla vertical es de 42 cm, ¿cuál es el volumen total de la madera necesaria para construir la torre?

V = π ⋅ 32 ⋅ 4 + π ⋅ 42 ⋅ 4 + π ⋅ 52 ⋅ 4 + π ⋅ 62 ⋅ 4 + π ⋅ 72 ⋅ 4 + π ⋅ 82 ⋅ 4 + π ⋅ 92 ⋅ 4 + π ⋅ 102 ⋅ 4 + π ⋅ 112 ⋅ 4 − 9 ⋅π ⋅ 22 ⋅ 4 == 5 840,4 cm3

92 Dibuja una esfera terrestre e indica en ella todos los elementos que conozcas.

93 Sitúa en un dibujo de la esfera terrestre los siguientes puntos.

a) A(45º E, 0º N) c) C(15º O, 60º S)

b) B(30º O, 45º S) d) D(90º E, 30º N)

•

•

••

A (45º E, 0º N)

D (90º E, 30º N)

B (30º O, 45º S)

C (15º O, 60º S)

94 Indica si es verdadera o falsa cada afirmación y justifica tu respuesta.

a) Todos los puntos de un meridiano tienen la misma longitud.

b) Todos los paralelos tienen el mismo radio.

a) Verdadera, ya que son puntos de una misma semicircunferencia máxima.

b) Falsa, porque el paralelo de radio máximo es el ecuador y los demás tienen radios distintos, que van disminuyendo según su cercanía a los polos.



95 Dos puntos son antípodas si están diametralmente opuestos en una circunferencia máxima de la superficie terrestre. Ave-rigua:

a) Las antípodas del punto (90º E, 0º N). b) Las antípodas del punto (45º E, 45º N). c) El país antípoda de España.

a) Es el punto (90º O, 0º S). b) El punto (135º O, 135º S). c) Isla del Norte en Nueva Zelanda96 Sabiendo que el radio de la Tierra mide 6 371 km, aproximadamente.

a) Halla cuánto mide el ecuador.

b) Calcula cuántos kilómetros mide un arco de un meridiano de 1º de amplitud.

a) L = 2 ⋅ π ⋅ 6 371 = 40 009,88 km

b) L = 2 ⋅ π ⋅6371⋅1º

360º= 111,14 km

97 Dos puntos, P y Q, situados sobre el ecuador tienen una longitud de 30º E y 30º O, respectivamente; averigua la distancia que hay entre ellos.



Tierra: d (P ,Q ) = 2 ⋅ π ⋅6371⋅60º

360º= 6668,31 km

98 Las coordenadas geográficas de una ciudad son (10º E, 45º N); halla la distancia al ecuador medida sobre el meridiano que pasa por dicha ciudad.

La amplitud del arco que pasa por la ciudad y el ecuador mide 45º.


Tierra: 2 ⋅ π ⋅6371⋅45º

360º= 5001,24 km

99 Dos ciudades tienen la misma longitud, 10°E, y sus latitudes son 37° 25’ N y 22° 35’ S, respectivamente. ¿Cuál es la dis-tancia entre ellas?

La amplitud del arco que pasa por las dos ciudades mide: 37° 25’ + 22° 35’ = 60º


Tierra: 2 ⋅ π ⋅6371⋅60º

360º= 6668,31 km

100 Cuando en el huso horario 0 son las 10 h, averigua:

a) La hora que será en el huso 4º E. b) La hora que tendrán las ciudades situadas en el huso horario 5º O.

a) Serán las 14 h. b) Serán las 5 h.101 María está de vacaciones en Buenos Aires. Ha hablado por teléfono con su hermano Andrés, que vive en París, a las ocho

y cuarto de la tarde. ¿Qué hora marcaba el reloj de Andrés en ese momento?

La diferencia horaria entre las dos ciudades es de 5 h, así que el reloj marcaba la una y cuarto de la madrugada.102 Cerdeña está en el huso 1° E, y Cuba, en el 5° O. Si un avión sale de Cerdeña a las 6 h y el vuelo dura 8 h, ¿cuál será la

hora local de llegada a Cuba?

El avión tiene que recorrer 6 husos horarios. Cuando llegue a Cuba serán las 8 h + 6 h = 14 h en Cerdeña, y la hora local en Cuba será de 6 h menos, por lo que serán las 8 h.

321



103 Calcula la diferencia horaria entre dos ciudades situadas sobre dos meridianos que forman un ángulo de 135º de amplitud.

Un huso horario tiene una amplitud de 15º, así el ángulo de 135º abarca 135º : 15º = 9 husos horarios.

La diferencia horaria entre las dos ciudades es de 9 h.104 La milla marina es una unidad de longitud que se emplea en navegación marítima y aérea. Es la distancia que hay entre

dos puntos de un meridiano de la superficie terrestre que forman un arco de 1’ de amplitud (una sesentava parte de un grado).

a) Calcula cuántos kilómetros abarca una milla marina.

b) Expresa en kilómetros la distancia recorrida por un velero en una etapa de 310 millas marinas entre dos puertos ma-rítimos.

c) Dos ciudades están separadas por una distancia de 4 625 km. Si un avión ha de cubrir la ruta entre ellas, determina cuántas millas marinas debe recorrer en los trayectos de ida y vuelta.

a) 1 milla marina = 2 ⋅ π ⋅6371⋅1’

360 ⋅60’= 1,85 km

b) 310 ⋅ 1,85 = 573,5 km

c) 4 625 : 1,85 = 2 500 millas

El avión debe recorrer 5 000 millas en los trayectos de ida y vuelta.105 Dos puntos, A y B, de la superficie terrestre están situados en el mismo paralelo.

Calcula la distancia que separa estos puntos si sus coordenadas geográficas son:

A(10º E, 60º N) y B(53º E, 60º N)

La amplitud del arco entre los dos puntos es: 53º − 10º = 43º

La distancia sobre la superficie terrestre entre A y B es la longitud del arco correspondiente a un sector circular de 43º de amplitud y cuyo radio, r, es el del paralelo 60º N.

Al estar los puntos en este paralelo, la distancia del centro de la Tierra al centro de la circunferencia del casquete forma un triángulo rectángulo de hipotenusa el radio terrestre. Este triángulo y su simétrico forman un triángulo equilátero pues sus ángulos miden 60º. Entonces: r = 6 371 : 2 = 3 185,5 km

Entonces: d (A,B ) = 2 ⋅ π ⋅3185,5 ⋅43º

360º= 2389,48 km

106 Un piloto de avión debe decidir la ruta más corta para volar desde la ciudad A hasta la ciudad B, ambas situadas en puntos diametralmente opuestos en el paralelo 45º.

¿Qué será más conveniente: realizar una ruta que pase por el polo norte o hacer el viaje volando sobre el paralelo en el que se encuentran las ciudades?

Si realiza la ruta que pasa por el polo norte, ha de recorrer la longitud de un arco de circunferencia cuyo radio es el de la

Tierra y cuya amplitud es 90º: d (A,B ) = 2 ⋅ π ⋅6371⋅90º

360º= 10002,47 km

La amplitud del arco entre las dos ciudades es de 180º.

La distancia sobre la superficie terrestre entre A y B es la longitud del arco correspondiente a una semicircunferencia y cuyo radio, r, es el del paralelo 45º N.

Al estar los puntos en este paralelo, la distancia del centro de la Tierra al centro de la circunferencia del casquete también es r, por tanto: r2 + r2 = 63712 → r = 4 504, 98 km

Entonces: d (A,B ) = 2 ⋅ π ⋅ 4504,98 ⋅180º

360º= 14145,64 km

Comparando ambas rutas, el piloto elegirá la que pasa por el polo norte por ser la más corta.



Matemáticas vivas

Astronomía Sugerencias didácticas

En esta sección se les presenta a los alumnos el Sol, los planetas y los satélites del sistema solar, se pretende que los alumnos tomen conciencia de la forma geométrica que adoptan para así justificar su estudio en esta unidad.

Habrán de analizar e investigar, argumentar, tomar decisiones y comunicar matemáticamente los diversos problemas con los que se van a encontrar.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Argumenta, Comunica, Piensa y razona, Utiliza el lenguaje matemático o Resuelve.

En las actividades de comprensión deberán analizar la fotografía del sistema solar, argumentar la razón de la forma los astros de gran tamaño y comunicar lo que por experiencia propia deduzcan.

En las actividades de relación los alumnos utilizarán la medida de distancias en el universo, el año luz, y tomarán conciencia de las dimensiones que tiene el mundo en que vivimos.

Para terminar, en las actividades de reflexión, resolverán cuestiones donde tendrán que comparar superficies y volúmenes de astros.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Cabezas juntas numeradas, de Spencer Kagan.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos imaginarán que están en el futuro y preparan un viaje al planeta Marte. Formarán grupos de cuatro personas, y se numerarán del 1 al 4, para pensar primero individualmente la resolución del problema y, después, llegar a un acuerdo entre los cuatro. El profesor elegirá un número del 1 al 4 y el alumno que corresponda explicará la solución del equipo al resto de la clase.

10 MATEMÁTICAS VIVAS

204 205

10Astronomía

El Sol, los planetas y los satélites del sistema solar tienen forma esférica.

El universo está en constante evolución y una de las posibles formas que se le atribuye es precisamente la de una esfera.

RELACIONA

Todos los planetas giran alrededor del Sol y los satélites a su vez giran en torno a los planetas.

a. ¿Qué es lo que mantiene invariable la estructura de nuestro sistema solar?

PIENSA Y RAZONA

b. ¿Cuál es la distancia, en kilómetros, que separa la Tierra de la galaxia Andrómeda, situada a 2,5 millones de años luz?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

2

COMPRENDE

Cuando observas los cuerpos celestes, puedes comprobar que los planetas y los satélites son esféricos, pero hay asteroides más pequeños que no lo son.

a. ¿Cuál puede ser la razón de que los astros de gran tamaño tengan todos forma esférica?

¿Cuál puede ser la razón de que los astros de gran tamaño tengan todos forma esférica?

ARGUMENTA

b. ¿Cuál es la forma geométrica que observas cuando diriges la mirada al firmamento? ¿Cómo es su representación en las bóvedas de los planetarios?

COMUNICA

1

REFLEXIONA

En un observatorio astronómico tienen expuestas las medidas del diámetro de los astros del sistema solar.

Responde a las siguientes cuestiones.

a. ¿Cuántas veces es mayor la superficie de la Tierra que la superficie de la Luna?

b. Mercurio es el planeta más pequeño del sistema solar, y Júpiter, el más grande. ¿Cuántas veces contiene el volumen de Júpiter el de Mercurio?

c. ¿Cuántos planetas como Júpiter podría contener la esfera del Sol?¿Cuántos planetas como Júpiter podría contener la esfera del Sol?

RESUELVE

3

TRABAJO

COOPERATIVO

323



Soluciones de las actividades

El Sol, los planetas y los satélites del sistema solar tienen forma esférica.

El universo está en constante evolución y una de las posibles formas que se le atribuye es precisamente la de una esfera.

Comprende1 Cuando observas los cuerpos celestes, puedes comprobar que los planetas y los satélites son esféricos, pero hay asteroides

más pequeños que no lo son.

a) ¿Cuál puede ser la razón de que los astros de gran tamaño tengan todos forma esférica?

b) ¿Cuál es la forma geométrica que observas cuando diriges la mirada al firmamento? ¿Cómo es su representación en las bóvedas de los planetarios?

a) La forma esférica de los grandes cuerpos celestes se debe a la gravedad. Cualquier objeto crea a su alrededor un cam-po gravitatorio que actúa concentrando la masa del cuerpo. La distribución esférica de la materia es la única forma geométrica que hace que toda la materia del planeta se sitúe lo más cerca posible del centro. Los planetas no son per-fectamente esféricos porque ellos también giran. La fuerza de rotación actúa contra la gravedad y causa que muchos planetas se abulten más alrededor de sus ecuadores.

b) Cuando miramos al firmamento vemos el universo como una semiesfera.

Un planetario consta de una pantalla en forma de cúpula semiesférica donde se proyectan las estrellas y planetas que se observan desde distintos lugares de La Tierra y en diferentes épocas del año.

Relaciona2 Todos los planetas giran alrededor del Sol y los satélites a su vez giran en torno a los planetas.

a) ¿Qué es lo que mantiene invariable la estructura de nuestro sistema solar?

b) ¿Cuál es la distancia, en kilómetros, que separa la Tierra de la galaxia Andrómeda, situada a 2,5 millones de años luz?

a) La estructura de nuestro sistema solar se mantiene invariante debido a la gravedad. El campo gravitatorio de los pla-netas atrae a sus satélites mientras se desplazan en su órbita, y el campo gravitatorio del Sol atrae a los planetas con sus satélites. El sol a su vez se desplaza en el entorno de la galaxia (Vía Láctea) con todo el conjunto del sistema solar.

b) Calculamos los segundos que tiene un año: 365 ∙ 24 ∙ 3 600 = 31 536 000 s

Los kilómetros recorridos en un año luz son: 300 000 ⋅ 31 536 000 = 9,46 ∙ 1012 km

La distancia a Andrómeda en kilómetros es: 2,5 ⋅ 106 ⋅ 9,46 ∙ 1012 = 2,365 ∙ 1019 km

Reflexiona3 En un observatorio astronómico tienen expuestas las medidas del diámetro de los astros del sistema solar.



Responde a las siguientes cuestiones.

a) ¿Cuántas veces es mayor la superficie de la Tierra que la superficie de la Luna?

b) Mercurio es el planeta más pequeño del sistema solar, y Júpiter, el más grande. ¿Cuántas veces contiene el volumen de Júpiter el de Mercurio?

c) ¿Cuántos planetas como Júpiter podría contener la esfera del Sol?

a) Superficie de la Tierra: 4 ⋅ π ⋅ 6 3712 = 5,098 ⋅ 108 km2

Superficie de la Luna: 4 ⋅ π ⋅ 1 7382 = 3,79 ⋅ 107 km2

5,098 ⋅ 108 : 3,79 ⋅ 107 = 13,45

Por tanto, la Tierra tiene una superficie, aproximadamente, 13 veces y media mayor que la Luna.

b) Volumen de Mercurio: 4

3⋅ π ⋅24393 = 6,074 ⋅1010 km3

Volumen de Júpiter: 4

3⋅ π ⋅714923 = 1,53 ⋅1015 km3

1,53 ⋅ 1015 : 6,074 ⋅ 1010 = 25 189,33

Luego, el volumen de Júpiter contiene, aproximadamente, 25 200 veces el de Mercurio.

c) Volumen del Sol: 4

3⋅ π ⋅6960003 = 1,41⋅1018 km3

1,41 ⋅ 1018 : 1,53 ⋅ 1015 = 921,57

Así, la esfera del Sol podría contener 921 planetas como Júpiter.

Trabajo cooperativo

La distancia que hay que recorrer es: 1 408 + 1 327 + 274 = 3 009 millones de km

Para realizar el viaje se dispone de: 90 ⋅ 24 = 2 160 h

Por tanto, la velocidad media del viaje ha de ser: 3009000000

2160= 1393055,56 km/h

Para realizar el viaje de la Tierra a Saturno son necesarios: 1408000000

1393055,56= 1010,73 h = 42 días 2 h 38 min 24 s

Para realizarlo de Saturno a Marte se tarda: 1327000000

1393055,56= 952,58 h = 39 días 16 h 34 min 48 s

Y para regresar a la Tierra desde Marte se necesitan: 274 000000

1393055,56= 196,69 h = 8 días 4 h 41 min 24 s

325




206

AVANZA Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados del triángulo rectángulo que lo contenga. Las razones trigonométricas fundamentales de un ángulo son:

❚ seno de α: sen α =cateto opuesto al ángulo

hipotenusa=c

a seno de α: sen α =

cateto opuesto al ángulo

hipotenusa=c

a

❚ coseno de α: cos α =cateto contiguo al ángulo

hipotenusa=b

a coseno de α: cos α =

cateto contiguo al ángulo

hipotenusa=b

a

❚ tangente de α: tg α =cateto opuesto al ángulo

cateto contiguo al ángulo=c

btangente de α: tg α =

cateto opuesto al ángulo

cateto contiguo al ángulo=c

b

Por ejemplo, las razones trigonométricas de los ángulos agudos de este triángulo son:

sen α = 3

5 cos α =

4

5 tg α =

3

4

sen β = 4

5 cos β =

3

5 tg β =

4

3

A1. Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos lados miden 5 cm, 12 cm y 13 cm, respectivamente.

Las esferas, los cilindros y los conos han sido fuente de inspiración en el mundo del arte y la arquitectura.

Las cúpulas de los templos religiosos y los grandes edificios y hasta los iglúes esquimales han tenido en cuenta, a lo largo de la historia de la humanidad, esta forma y estructura matemática para determinar la estabilidad, la resistencia de los materiales, las condiciones acústicas, así como la temperatura y la luminosidad.

La arquitectura del siglo XX está dominada por el funcionalismo, también llamado racionalismo, que más que ser un estilo arquitectónico es un movimiento caracterizado por la utilización de formas simples con volúmenes elementales, como el cubo, el cilindro, el cono y la esfera. Los arquitectos más importantes de este movimiento fueron Le Corbusier (1887-1965), Mies van der Rohe (1886-1969) y Walter Gropius (1883-1969).

El funcionalismo está vinculado al progreso técnico; por tanto, son imprescindibles los aportes contemporáneos de la técnica, como el hormigón, el acero, los cables de fibra óptica y el vidrio.

El edificio residencial Torres Blancas, concebido por el arquitecto Sáenz de Oíza (1918-2000), fue terminado en 1968. y por él le concedieron el premio a la Excelencia Europea en 1974. El arquitecto español se basó en las ideas funcionalistas de Le Corbusier.

G1. Fíjate en la fotografía del edifi cio. ¿Qué cuerpos geométricos puedes reconocer?

G2. Calcula la superfi cie del aparcamiento del edifi cio, sabiendo que tiene forma de corona circular rodeando la torre. El radio de la circunferencia interior de la corona mide 17,6 m, y el exterior, 30,6 m.

GEOMETRÍA EN EL ARTE Cuerpos geométricos en la arquitectura

4

53

α

β

b

ac

α


En esta sección se introducen las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente, de un ángulo agudo.

Son conceptos muy sencillos de entender por el alumnado si los presentamos de forma gráfica.

Se puede realizar también alguna actividad donde tengan que hallar un ángulo conocida una razón trigonométrica, de esta forma los alumnos aprenderán otra de las ventajas que nos proporciona el manejo correcto de la calculadora.


A1. Halla las razones trigonométricas de los ángulos agu-dos del triángulo rectángulo cuyos lados miden 5 cm, 12 cm y 13 cm, respectivamente.

sen α = 12

13 cos α =

5

13 tg α =

12

5

sen β = 5

13 cos β =

12

13 tg β =

5

12

Geometría en el arte. Cuerpos geométricos en la arquitecturaSugerencias didácticas

En esta sección los alumnos aprenderán las bases de la arquitectura utilizada en el siglo xx, el funcionalismo, movimiento que utiliza formas simples con volúmenes elementales. Reconocerán que esta corriente arquitectónica está estrechamente ligada al progreso técnico y tecnológico.

Se propone que los alumnos comiencen leyendo el texto para entender la justificación de este movimiento arquitectónico así como conocer los nombres de los arquitectos que lo llevaron a cabo.

A continuación, cada alumno deberá encontrar elementos geométricos en la fotografía del edificio Torres Blancas y calcular, con los datos que se proporcionan, la superficie del aparcamiento del edificio.


G1. Fíjate en la fotografía del edificio. ¿Qué cuerpos geométricos puedes reconocer?

Cilindros y prismas rectos de base cuadrangular.

G2. Calcula la superficie del aparcamiento del edificio, sabiendo que tiene forma de corona circular rodeando la torre. El radio de la circunferencia interior de la corona mide 17,6 m, y el exterior, 30,6 m.

A = π ∙ 30,62 − π ∙ 17,62 = 1 967,52 m2

Avanza. Razones trigonométricas de un ángulo agudo



1. Calcula el área total de un cilindro que tiene por diámetro de la base 16 cm y cuya altura es el doble que el radio.

r = 8 cm → h = 16 cm

AT = 2 ⋅ π ⋅ 8 ⋅ 16 + 2 ⋅ π ⋅ 82 = 1 205,76 cm2

2. La generatriz de un cono mide 52 cm y el diámetro de su base mide 14 cm, calcula:

a) El área total del cono.

b) Su volumen.

a) AT = π ⋅ 7 ⋅ 52 + π ⋅ 72 = 1 296,82 cm2

b) h = 522 −72 = 51,53 cm → V =π ⋅72 ⋅51,53

3= 2642,8 cm3

3. Determina el área total de un tronco de cono de 5 dm de altura si los radios de sus bases miden 10 dm y 14 dm, respec-tivamente.

g = 52 + 22 = 5,39 dm

AT = π ⋅ (5 + 2) ⋅ 5,39 + π ⋅ 52 + π ⋅ 22 = 209,53 dm2

4. Un balón de 30 cm de radio está sumergido hasta la mitad flotando en una piscina. Calcula:

a) La superficie total del balón.

b) El volumen del balón que está sumergido.

a) AT = 4 ⋅ π ⋅ 302 = 11 304 cm2

b) V =2

3⋅ π ⋅302 = 1884 cm3

5. Dos ciudades tienen la misma longitud, 10° O, y sus latitudes son 38° N y 25° S respectivamente, ¿cuál es la distancia entre ellas?


La distancia sobre la superficie terrestre entre las dos ciudades es la longitud del arco correspondiente a un sector circular

de 63º de amplitud y cuyo radio es el radio de la Tierra: 2 ⋅ π ⋅6371⋅63º

360º= 7001,73 km

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

327



1. El diámetro de la base de un cilindro recto mide 10 cm y su área lateral mide 628 cm². Calcula:

a) Su altura.

b) Su volumen.

a) 628 = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ h → h = 20 cm

b) V = π ⋅ 52 ⋅ 20 = 1 570 cm3

2. Un cono de 30 cm de altura es cortado por un plano, paralelo a su base, que dista 15 cm de ella dividiendo el cuerpo en un cono más pequeño y un tronco de cono. Si el radio de la base del cono inicial mide 20 cm, calcula el volumen del tronco de cono.

Como los triángulos generados al cortar el cono están en posición de Tales: 30

20=

15

r→ r = 10 cm

El volumen del tronco de cono es: V =π ⋅ 202 + 102 + 20 ⋅10( ) ⋅15

3= 10990 cm3

3. Calcula el volumen de un cilindro recto que tiene 125,6 m² de área total si el radio de su base mide 2 m.

125,6 = 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ h + 2 ⋅ π ⋅ 22 → h = 8 m

V = π ⋅ 22 ⋅ 8 = 100,48 m3

4. En una piscina de 10 m de ancho, 12 m de largo y 1,60 m de profundidad metemos 6 balones de 30 cm de radio que-dando sumergidos hasta la mitad. Calcula.

a) La cantidad de agua que ha perdido la piscina al introducir los balones.

b) Los centímetros que ha descendido el nivel de la piscina.

a) La cantidad de agua coincide con el volumen ocupado por la parte sumergida de los balones:

6 ⋅2

3⋅ π ⋅303 = 339120 cm3 = 339,12 L

b) 1 000 ⋅ 1 200 ⋅ h = 339 120 → h = 0,28 cm

5. Dos ciudades situadas en el ecuador distan 2 250 km. Indica razonadamente cuál es su diferencia horaria.

Un huso horario tiene una amplitud de 15º. Por tanto, un huso en el ecuador abarca: 2 ⋅ π ⋅6371⋅15º

360º= 1667,078 km

2 250 : 1 667,087 = 1,35

La diferencia horaria entre las dos ciudades es de 1 h.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

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