1 VI. Systeme mit vielen Freiheitsgraden und ihr Verhalten im Mittel: Wärmelehre...
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1
VI. Systeme mit vielen Freiheitsgraden und ihr Verhalten im Mittel:
WärmelehreVI.1. Gleichgewichtszustände und Zustandsgleichungen
2
VI.1.1. Problemstellung
System
z.B. Gas, Flüssigkeit, Photonen,
Gitterschwingungen,…
Umgebung, z.B. Wärmebad
Randbedingungen (z.B. Wände)
Typische Größe: 1 Mol 6,02·1023 Teilchen NA
NA #12C-Atome in 12 g des Kohlenstoff-Isotops 12C Avogadro-Konstante GAS
3
Beispiel: System von N Massenpunkten Klassische Mechanik
N,,2,1ifürrrFrFrmN
1jjiiji
exii
N 1023 gekoppelte, nichtlineare Differentialgleichungen
• Lösungsversuch beliebig hoffnungslos• Lösung experimentell unüberprüfbar• Datenmenge einer Lösung nicht mal annähernd zu bewältigen• Anfangsbedingungen nicht messbar/einstellbar• Lösung ist chaotisch extrem beschränkte zeitliche Gültigkeit
Folgerung:
• Makroskopische Konzepte sind notwendig• Ziel ist Beschreibung des Systems im statistischen Mittel• Suche vollständige Formulierung mit möglichst wenigen
relevanten makroskopischen Observablen
4
SystemMakro-Observablen
Makroskopische Phänomenologie Wärmelehre / Thermodynamik
Makro-Beschreibung aus wenigen Axiomen der Makro-Physik (eigenständige Theorie)
Statistische PhysikStatistische Auswertung der Mikrophysik
Klassische Mechanik / Quantenmechanik
5GAS
VI.1.2. Grundlegende Begriffe
1. Abgeschlossenes (isoliertes) System: Keinerlei Austausch mit Umwelt (Materie, Energie, Felder, Information,…) Beispiel: Thermoskanne mit Deckel
2. Geschlossenes System: Keinerlei Materie-Austausch mit Umwelt aber z.B. Austausch von Wärme, Volumenarbeit,… Beispiele: Dampfdruckkochtopf,
Zylinder mit beweglichem Kolben3. Offenes System:
Austausch von Materie (Wärme, Arbeit,…) Beispiel: Nicht verschlossener Kochtopf
4. Wärmebad: Unendliches Energiereservoir bei konstanter Temperatur
6
5. Zustandsgrößen/variablenObservablen, die das makroskopische System charakterisieren
Zustandsvariable energiekonjugierte Variable Einheiten
Druck p Volumen V [p]·[V] J
Temperatur T Entropie S [T]·[S] J
Chemisches Potential Teilchenzahl N []·[N] J
: Energie, die System bei Hinzufügen eines Teilchens gewinnt
S kB·ln mit ,,Zahl” der mikroskopischen Realisierungen Maß für die Unbestimmtheit des Mikrozustandes
6. ZustandsgleichungenBeziehungen zwischen (nicht unabhängigen) ZustandsvariablenBeispiel: Ideales Gas p V N kB T
7. ZustandsraumAufgespannt von vollständigem Satz unabhängiger Zustandsgrößen
7GAS
8. Intensive und extensive Zustandsgrößen
System 1
X, Y
System 2
X, Y
System 1 & 2
X, 2Y
X intensiv
Y extensiv
Beispiel: intensive Zustandsgrößen: p, T, extensive Zustandsgrößen: V, S, N, innere Energie
9. Relaxation: Beobachtung Gleichgewichtszustand nach kurzer Relaxationszeit (statistische Durchmischung)
Gas Vakuum
Schieber
Gashomogene
Gasverteilung (Gleichgewicht)
8
10.Quasistatische ProzesseZustandsänderungen, die langsam im Vergleich zur Relaxation ablaufen darstellbar als Folge von Gleichgewichtszuständen Kurve im Zustandsraum
p
V A
B
Kreisprozess
Beispiel: Ideales Gas p V N kB T (p,V)-Zustandsraum
p
V A
B
Quasistatischer Prozess A B
const.
TT,V
p p p
TT, V+dV
p dp p
Wärmebad (Heizung)
thermischer Kontakt
…Beispiel: Kolben
9
11.Reversible und irreversible Prozesse
N,,2,1ifürrrFrFrmN
1jjiiji
exii
Mikrophysik:
invariant unter Ersetzung t t tMikroskopische Dynamik ist zeitlich umkehrbar (reversibel)!
Makrophysik: Dynamik der Zustandsgrößen kann irreversibel sein
Gas Vakuum
Schieber
Gasirreversibel:
reversibel:
quasi-statisch
Ekin = const.
S wächst
Ekin S
10
VI.1.3. Temperatur (vorläufige, empirische Definition)
Beobachtung: Für alle hinreichend dünne Gase ( NV 0 ) gilt bei gleicher Temperatur T
.constTκN
pVBoyle-Mariotte-Gesetz:
thermischer Kontakt Austausch von Wärmeenergie T1 T2 (im Gleichgewicht)
Gas 1
111 NVp
1
11
N
Vp
Gas 2
222 NVp
2
22
N
Vp
Experimentell:
11
Methoden zur Temperaturmessung:
b) Wärmeausdehnung Quecksilber- / Alkoholthermometer
c) T-abhängiger elektrischer Widerstand Demo-Experiment
Eiswasser0 °C
warmes WasserTemperatur T
Konstantan (Ni, Cu)
Kupfer (Cu) (Cu)Uth = f (T)
d) Thermospannung Thermoelement
e) Wärmestrahlung
Pyrometer
Stefan-Boltzmann-Gesetz
P T4
a) Boyle-Mariotte-Gesetz Gasthermometer
12
Definition: Fixpunkte der Celsius-Skala
Gefrierpunkt von H2O: TF 0 ºC
Siedepunkt von H2O: TS 100 ºCºC Grad Celsius
( bei Normaldruck von 1 atm 1,01325105 Pa 760 Torr )
TC-Skala:
mit dem Gasthermometer
TTC1 FS1001
Hierzu ausgenutzt: Ausdehnung flüssiger / fester Körper
... oder einfacher auf der Quecksilbersäule
13
Definition von TC mit dem Gasthermometer:
const.V const.V
flexibler Schlauch
Gas
p Vρ
z.B. Quecksilber
feste Marke
Vakuum
Höhenadjustierung
Gas0 °C
TC
h
UHeizung
TC
C0pTpΔphgρ C
14
T in ºC
C0C0κ
Tκ0C Tγ1VVTV C bei p,N
const. V bei TC 0 ºC
a)
C0C0κ
Tκ0C Tγ1ppTp C bei V,N const.
p bei TC 0 ºC
b) Gay-Lussac-Gesetz
Experimenteller Befund: C273,15
1 γ
Gasthermometer: V const. 0
0C
0
0C
hhTh
γ1
ppTp
γ1
CT
.constTκN
pVBoyle-Mariotte:
Gasthermometer-Def. von T (T) ist linear in T
15
Definition: Absolute Temperatur T, T 1 K 1
Kelvin
CΔTKΔT)b
0pK0T)a
C
C0C Tγ1pTp bei V const.
Aus Gay-Lussac-Gesetz
folgt: C15,273T0p γ1
C
Folgerung: CT15,273KT C
TTκN
pV
16
Thermische Ausdehnung flüssiger / fester Körper
r
E Bindungspotential im Kristall
Ruhelage (T = 0)
Wärmeschwingung
Abstand benachbarter
Atome
thermische Ausdehnung
Tr
TrTΔTr
r
rΔ
L
LΔTrr
T ≪ T
Tr
Trα
TΔαL
LΔ
Linearer Ausdehnungs-koeffizient 1C1α
Volumenausdehnung:
LLd
VVd3 3LV
TΔγVVd
3αγ linearer Raumausdehnungskoeffizient
17
VI.1.4. Wärme
Zuführung der Wärmemenge Q Temperaturänderung T
Definition (alte Einheit): 1 kcal 1 Kilokalorie ist diejenige Wärmemenge, die benötigt wird, um 1kg Wasser bei Normaldruck von 14,5 ºC auf 15,5 ºC zu erwärmen.
Intuitiv: thermische Energieform
thermischer Kontakt
Wärmebad (Heizung)
TTB .constN
.constV
TQ
18
Umwandlung elektrischer/mechanischer Energie in Wärme:
Dewar
elektrisch
UI
1 kg H2O
Vakuum
°C
ΔQtIUΔW ΔQgmr2πnΔW
mechanisch
°C
Behälter mit Wasserm
ReibungFgmF
r
n Umdrehungen
kJ4,186kWs4,186 kcal1 Wärme-Äquivalente
19
Einige mögliche Wirkungen von Q:
TTB T Q
Wärmebad V const. Wärmebad V const.
BT BTirreversibel
reversibel
TQ W TQ W
reversibel
VerdampfenC100T
Wasser Kondensierenen
C100T
DampfQQ
20
Definition: Spezifische Wärme c eines Materials:
ΔTMcΔQ Masse des Systems
spezifische Wärme
11 KkgJc Tccist .a.i
McC Definition: Wärmekapazität C eines Systems:
1KJC
Definition: Spezifische Molwärme Cmol eines Materials:
molmol McC , Mmol Masse von 1 Mol
Die Anzahl der Moleküle in der Stoffmenge von 1 Mol ist gleich der Anzahl der 12C-Atome in 12 g des Kohlenstoff-Isotops 12C. Diese Zahl lautet: Avogadro-Konstante NA 6,0221023 mol1
21
°C
Messung der spezifischen Wärme:
H2O MW cW
H2O MW cW
Mischungs-Kalorimeter
CD
T1
T2
MK cKMK cK
M2KK TTcMΔQ
Anfang: T2 T1
Ende: T1 T2 TM
Anfang: T2 T1
Ende: T1 T2 TM
1MDWW TTCcM
M2K
1MDWWK TTM
TTCcMc
22
VI.1.5. Das ideale Gas
• Gasteilchen sind annähernd Punktmassen ( N·VTeilchen ≪ V )
• Gasteilchen haben keine Wechselwirkung bis auf elastische Stöße untereinander und mit den Wänden
Folgerung: Ideales Gas ist Grenzfall des unendlich dünnen Gases
nTNNTpV A mit n Anzahl der Mole in V
Definition: Boltzmann-Konstante123
TNpV
B KJ1038054,1kk
Definition: Allgemeine Gaskonstante11
BA KmolJ3166,8kNR
TRnTkNpV B Thermische Zustandsgleichung:
a) Thermische Zustandsgleichung
23
b) Kinetische GastheorieStatistischer Zugang zum idealen Gas:• Bezugssystem Ruhesystem des Gases (Schwerpunktsystem)• Geschwindigkeitsverteilung ist isotrop – keine Raumrichtung ist
ausgezeichnet• Druck entsteht durch elastische Stöße der (fast) punktförmigen
Gasatome mit den Wänden – keine weiteren Wechselwirkungen
Zahl der Stöße während t: VΔtvA
x21 xvN
Impulsübertrag pro Stoß: ΔtvFvm2 xx
Betrachte Atome mit Geschwindigkeitskomponente vx Wand.50% davon haben vx 0 ( auf die Wand zu).
x
tvx
A
m
Druck auf Wand:
x
xx
vV
ΔtvAx2
1Δt
vm2A1 vNp
24
2x2
1
vNvN
VN2
vV
ΔtvAx2
1Δt
vm2A1 mvvNp
x
x
x
xx 2x2
1 mv
kin312
21
312
x212
z212
y212
x21 Evmmvmvmvmv
TkEENpVTkN B23
kinkin32
B
Die Temperatur charakterisiert die mittlere kinetische Energie der ungeordneten Bewegung der Gasatome
Gas wechselwirkungsfrei Innere Energie kinENU
TRnTkNU 23
B23
Kalorische Zustandsgleichung
GAS
25
Bemerkung: z,kiny,kinx,kinkin31 EEEE
Energie verteilt sich gleichmäßig auf f 3 Freiheitsgrade der Bewegung (Translation). Gilt allgemein für beliebig viele Freiheitsgrade (Äquipartitionstheorem):
TRnTkNU 2f
B2f
einatomiges Gas
f = 3 (Translation)
zweiatomiges Gas
f = 3 (Translation) + 2 (Rotation)
3-atomiges Gas
f = 3 (Translation) + 3 (Rotation)
Schwingungsmoden erst bei sehr großen T (QM: )ωTkB
GAS
26
Bemerkung: Innere Energie des PhononengasesSchwingungen der Gitteratome: Phononen
Kristallgitter
φtωcosωAtx
φtωsinAtx
m
Dω
222122
212 AωxAx
VDAAmAωmT 2412
mD
4122
41
Mittlere Energie einer Schwingungsmode:
2212
21 xDVxmT
.constVTE
D
xm
3 Schwingungsrichtungen f 3 (kinetisch) 3 (potentiell) 6
versagt für T 0K QuantenmechanikTRn3TRnTkNU 2
fB2
f
27
Bemerkung: Obige Schreibweise
ist mathematisch unsauber, denn vx ist eine kontinuierliche Größe.
2x2
1
vNvN2
x21 mvmv
x
x
Präzisierung: ρxvx dvx sei Wahrscheinlichkeit für xxx dvv,v
xxxv
NvN vdv
x
x
xxxxx vfvρdvvf
xxx vρdv11
xdv dN
N1
xx vρ d. h. Wahrscheinlichkeitsdichte
28
c) Maxwell-Boltzmann-Verteilung
xv0
2zy,x,v xx vρ
• Bewegung in x, y, z unabhängig
)v(ρ)(vρ)(vρ)v,v,v(ρ zzyyxxzyx
Wir wissen bereits:
• Isotropie der Verteilung,(v)f)v,v,v(ρ zyx zyx ρρρ
• Mittelwert und Breite:
0vvv zyx mTk2
z2y
2x
Bvvv
Wir suchen Wahrscheinlichkeit
für Geschwindigkeit im ,,Volumen”-element dvx dvy dvz um .
zyxzyx dvdvdv)v,v,v(ρ
v
zyx
3
dvdvdvNd
N1
zyx )v,v,v(ρ
29
)v(ρ)(vρ)(vρ)v,v,v(ρ(v)f zzyyxxzyx
)v(ρln)(vρln)(vρln(v)fln zzyyxx
)(vρ)(vρ
v2v2
(v)f(v)f
xx
xxx xv
.constA)(vρ)(vρ
v21
)(vρ
)(vρ
v21
)(vρ)(vρ
v21
(v)f(v)f
v21
zz
zz
xyy
yy
yxx
xx
x
und analog für vy, vz
Lösung: )()( 2z,y,xz,y,xz,y,x
2 Avexp)v(ρ,Avexp(v)f
Normierung:
1)v(ρdv xxx 2xπ
Axx Avexp)v(ρ
Breite:
mTk2
xxxxBv)v(ρdv T2k
mB
A
Tk2mv
Tk2πm
xx B
2x
Bexp)v(ρ Gaußverteilung
30
z,y,xi,exp)v(ρ )( Tk2mv
Tk2πm
iidvdN
N1
B
2i
Bi
Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung
)()( Tk2mv23
Tk2πm
zzyyxxdvdvdvNd
N1
B
2
Bzyx
3
exp)v(ρ)v(ρ)v(ρ
Verteilung im Geschwindigkeitsbetrag v:
zyx
3
zyx
3
dvdvdvNd2
N4π
π2
0dvdvdv
NdN12
π
0dvdN
N1 vvdφsindθ
dφθddvθsinvdvdvdv 2zyx Kugelkoordinaten
)()( Tk2mv223
Tkm
π2
dvdN
N1
B
2
Bexpv
31
zy,x,dv
dN
N
1
zy,x,v0
Gauß-Verteilung
Gauß-Verteilung
σ dv
dN
N
1
v0
v2 Gaußfunktion
v2 Gaußfunktion
σ2v π2
)( 2
2x
x σ2
v
σπ21
dvdN
N1 exp )( 2
2
3 σ2v2
σ1
π2
dvdN
N1 expv
mit rms-Breite (root-mean-square) 2xm
Tk vσ B
root mean square
GAS σ2v̂
32
Verallgemeinerung:
Geschlossenes System im thermischen Gleichgewicht
T
Emikroskopische Energiezustände
E1
E2
E3
E4
E5
E6
Realisie-rungen
q1 1
q2 3q3 1q4 2q5 1q6 1
Besetzungs-zahl
N1 5
N2 8
N3 3
N4 4
N5 0
N6 1
Besetzungswahrscheinlichkeit: Pi = Ni N
Boltzmann-Verteilung (diskret / kontinuierlich)
)( TkE
iK1
i B
iexpqP i
TkE
i )(B
iexpqKmit
)( TkE
αK1
αddP
B
αexpq )( TkE
α B
αexpqαdKmit
33
Beispiele:
1) Ideales Gas: 1v,v,vqvmv,v,vEE zyx2
21
zyx
)( Tk2vm
K1
dvdvdvPd
B
2
zyx
3
exp
Maxwell-Verteilung
2) Ideales Gas: 221 mvvEE
)( Tk2mv2
Kπ4
dvdP
B
2
expv Maxwell-Verteilung
2π
0
π2
0
2 vπ4θsindθdφvvq
3) Isotherme Atmosphäre: 1hqmghhEE
)( Tkmgh
K1
dhdP
Bexp Barometrische Höhenformel
34
d) Mittlere freie Weglänge mittlere Flugstrecke eines Gasteilchens bis zur Kollision mit
einem anderen Gasteilchen
Gasteilchen als harte Kugeln mir
Radius r streuendes Teilchen
Streuung falls Abstand der Mittelpunkte 2 r
Stoß-Wirkungsquerschnitt: πr2σ 2S
35
Stoßwahrscheinlichkeit bei Durchqueren einer dünnen Schicht:
ds
A
Sσ
Streuzentren: VdsAN
Stoßwarscheinlichkeit:
dsV
σN
A
σN SSVdsA
(s)ds: Wahrscheinlichkeit für • freies Durchlaufen der Strecke s• Stoß in der nächsten Schicht ds
sexpds1limsρ VσN
VσN
VσNdss
VσN
0ds
SSSS
0
σNV
SdssρssΛMittlere freie Weglänge:
36
0
σNV
SdssρssΛMittlere freie Weglänge:
charakteristische Stoßzeit ( Zeitskala der Relaxation) Tk8
mπ
σN
V
v
Λτ
BS
Beispiel: Luft ( Stickstoff )
216S cm1045σ
Druck Temperatur
normal: 105 Pa 300 K 70 nm 80 ps
Vakuum: 104 Pa 300 K 70 m 80 ms
Weltall: 1013 Pa 50 K 20·106 km 6·107 s 2
y(Molekülwolken)
37
VI.1.6. Das reale Gas
a) Die Van-der Waals-Gleichung
TRnVp Korrekturen zum idealen Gas • endliches Volumen der Gasmoleküle: V V nb
• Teilchenanziehung
1 Teilchen an Oberfläche: F Teilchen pro Fläche
Oberflächenkraft 2
Zusatzdruck (Binnendruck)
2
2
Vnapp im Inneren des Gasvolumens
Folgerung:
Van-der-Waals-Gleichung: TRnnbVap 2
2
Vn
38
Van-der-Waals-Gleichung:
V
p ideales Gas
Koexistenz Dampf / Flüssigkeit
Übersättigter DampfÜberhitzte
Flüssigkeit
identische Flächen
0dVpΔW Maxwell-Konstruktion
kritischer Punkt ( Vc , pc )
Tc
39
Van-der-Waals-Gleichung:
V
p ideales Gas
Koexistenz Dampf / Flüssigkeit
kritischer Punkt ( Vc , pc )
Tc
Übung: Kritischer Punkt
Aus
folgt
0V
p
V
p
cccc p,T
2
2
p,T
c83
cc
Rb27a8
c
cb27a
c
nRTVp
T
bn3V,p 2
40
b) Aggregatzustände
tägliches Leben:•gasförmige• flüssige Phase, teilweise koexistent• fest
andere Phasen:
• elektromagnetische Plasmen Sonnen, Sternwinde, ... 99 % der Materie im Weltall in diesem Zustand
•Quark-Gluon-Plasma aufgelöste Kernmaterie z.B. Schwerionen-Beschleuniger, Inneres von Neutronensternen, Materie im frühen, heißen Universum
•Fermigase z.B. Elektronengas in Metallen oder Weißen Zwergen, Neutronengas in Neutronensternen
41
Koexistenz Flüssigkeit / Dampf
pS: Sättigungsdampfdruck
Dampf
H2O
pS
V
T = const. Dampf
H2O
pS
Inhalt: 1 Mol
Wasser verdampft
pS = const.
•Gleichgewicht bei Temperatur T
•Sättigungsdampfdruck pS = const.
T(pS) Siedetemperatur
T↗ Ekin↗ mehr Moleküle erbringen Austrittsarbeit pS↗
42
H2O
Endpunkt 1:
Dampf völlig kondensiert
p
V↘ p↗↗
Wasserdampf
p
Endpunkt 2:
Wasser völlig verdampft
V↗ p↘annähernd ideales Gas
43
V
p
T TC
TC
T2
T1
PC
Koexistenz Dampf / Flüssigkeit
PC kritischer Punkt
TC kritische Temperatur
PC kritischer Punkt
TC kritische Temperatur
T
pS
T1 T2 TC
DampfdruckkurveDampfdruckkurve
TR
Λexp
Λ Verdampfungswärmepro Mol
Λ Verdampfungswärmepro Mol
Clausius-Clapeyron-Gleichung: flüssigDampfTdpd VVTΛ S
44
Beispiel: Geysir-Modell
Auffangwanne
1 m
a) Aufheizphase bis zum Sieden. Druck der Wassersäule TSiede 100°C
b) Wasserauswurf durch Sieden Druckabfall Siedeverzug Explosion T 100°C
c) Wasserrückfluss Druckzunahme Sieden endet, da T 100°C Tsiede
d) Neuer Zyklus a)
45
Koexistenz feste Phase / Flüssigkeitanalog: ersetze Sieden durch Schmelzen
Schmelzwärme pro Mol: festflüssigTdpd VVTΛ
Folgerung: Vflüssig Vfest klein großTd
pd
T
p
gasförmig
flüssig
fest
Tripelpunkt: alle drei Phasen koexistieren
46
Phasendiagramme:
T
pnormales Verhaltennormales Verhalten
fest flüssig
gasförmig
Tripelpunkt
Sublimation
Verflüssigung durch Druckerhöhung
VV0dT
dp festfl VV0dT
dp festfl VV0
dT
dp festfl VV0dT
dp festfl
T
panormales Verhaltenanormales Verhalten
festflüssig
gasförmig
z. B. Wasser
47
Gibbsche Phasenregel:
System aus einer Komponente (z.B. H2O)
1-phasige Bereiche Flächen im (p,T)-Diagramm
2-phasige Bereiche Linien im (p,T)-Diagramm
3-phasige Bereiche Punkt im (p,T)-Diagramm
q-phasige Bereiche haben f 3 q Freiheitsgrade im (p,T)-Diagramm
System aus Komponente
q-phasige Bereiche haben f 2 q Freiheitsgrade im (p,T)-Diagr.
48
VI.1.7. Statistische Transportprozesse
Statistische Transportphänomene:• Energietransport Wärmeleitung• Massentransport Diffusion• Impulstransport innere Reibung
Voraussetzung: räumliche Variationen von• Temperatur T Wärmetransport• Dichte bzw. Konzentration Massentransport• Geschwindigkeit Impulstransport
v
49
a) Diffusion
Teilchenstrom Konzentrationsgefälle
Ficksches Gesetz: nDj
vnj
mittlere Teilchenstromdichten #Teilchen pro Volumen
Teilchenanzahl bleibt erhalten
Kontinuitätsgleichung: 0jtn
D Diffusionskonstante 12smD
Diffusionsgleichung: 0nΔDtn
Mikroskopische Theorie
mT
mπ9Tk8
σn1
31 B
SvΛD
50
b) Wärmeleitung Drei Typen:• Leitung ohne Massentransport z.B. in Festkörpern• Elektromagnetische Strahlung (d.h. auch durchs Vakuum)• Leitung mit Massentransport, Konvektion (Flüssigk., Gase)
schwache Heizung
T2
T1
T1 T2
starke Heizung
Bénard-Instabilität:Spontane Strukturbildung
( Selbstorganisation )
Bénard-Zelle ( Konvektionszelle )
51
Wärmeleitung ohne Massentransport (ruhendes Medium fester Form, V const.)
qj
dAdA
dQ Wärmedurchgang pro dt
Def.: Wärmestromdichte :qj
dAjqtdQd
Temperaturgefälle qj
Tλjq
Wärmeleitfähigkeit 11111 smKJmKWλ
Kontinuitätsgleichung: mittT
tQ
V1
qtQ
V1 cρ 0j
spez. WärmeDichte
Wärmeleitungsgleichung: 0TΔρcλ
tT
Temperaturleitwert
52
Spezialfall: Metalle
Freie Leitungselektronen große elektrische Leitfähigkeit
kleine Masse groß große Wärmeleitfähigkeit 2v
Empirischer Befund:Wiedemann-Franz-Gesetz
T.constσ
λ
el
Faustregeln:
tFlüssigkeiρcλ
Gasρcλ
Festkörperρcλ
GastFlüssigkeirNichtleitefester Metall λλλλ
53
Beispiel: Stationäres Temperaturgefälle im dynamischen Gleichgewicht
Eis
T1 = 0°C T2 = 100°CL
Kupferstab(Querschnitt A)
x
T(x)
2
2
x
TT00
t
T
bxaT
xTT LTT
112 Randbedingungen
Wärmefluss: Messe P LTT
xT
q21λAλAjAP
54
c) Wärmestrahlung
Physik IV Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz
4TσAtd
dW
td
dWelektromagnetische Strahlungsleistung (Wärmestrahlung)
A Oberfläche
Stefan-Boltzmann-Konstante
Kirchhoffsches Gesetz: groß Oberfläche ist guter Absorber
42823
4B
2
max KmW1040670400,5c60
kπσσ
Idealer Absorber idealer schwarzer Körper