1 Traçado do Diagrama de Bode 2 Formas de gerar o diagrama de Bode Excitação direta do processo...
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1
Traçado do Diagrama de Bode
2
Formas de gerar o diagrama de Bode
Excitação direta do processo com entrada senoidal/cosenoidal.
Substituindo s=jem G(s)
3
Diagrama de Bode pela Função de Transferência
)()(tan)(
)()()(
)()(
1
22
RI
IRiG
IjRiG
4
Gráfico de Bode para Sistema de Primeira Ordem
)(tan)(
11)(
11)(
imaginária parteda real parte Separando1
)(1
)(
1
2222
2222
2222
pKKKG
KiKiG
jKjG
sKsG
5
Diagrama de Bode de sistemas de ordem grande
Propriedades Básicas
)()()()()(
)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln
ou)()()()(
)(
)()()()(
)(:Considere
jGjGjGjG
jGjGjGjGjG
sGsGsGsG
sG
sGsGsGsG
sG
dcba
dcba
dc
ba
dc
ba
6
Escreva a função de transferência em um produto de funções de transferência simples.
Diagrama de Bode de sistemas de ordem grande
77
Diagrama de Bode dos fatores basicos8.1 Ganho K
KL log20)(
0)(
101 1000.1
dB
(rad/s)
20 log | K |
88
8.2 Fatores integral e derivativo 1j
jjG 1)(
)(log201log20)( dBj
L
90)(
)(log20log20)( dBjL
jjG )( 90)(
nj )/1(
nj )(
)(log20)(
1log20)( dBnj
L n
n 90)(
)(log20)(log20)( dBnjL n
n90)(
Ponto da reta 1,0 dBdeclive
Sinais contrarios
99
1010
8.3 Fatores de primeira ordem 1)1( Tj
termo1)1( Tj
)(])(1[log201
1log20)( 2 dBTTj
L
)()( Tarctg
Baixas freq TT 1,1 )(01log20])(1[log20)( 2 dBTL
Declive de 0 dB/dec
TT 1,1 )(log20])(1[log20)( 2 dBTTL Altas freq
Declive de -20dB/dec
modulo
fase
1111
wT
1212
1313
8.4 fator quadratico 2)()(21
1
nnjj
222
2
2)2()1(log20
)()(21
1log20)(nn
nnjj
L
Baixas freq n
n
dBnn
log40log20 2
2
-20log1=0dB
Altas freq
Declive de -40 dB/dec
Declive de 0 dB/dec
22 )(
1
)(
1)(
nnj
jG
1)( jG
1414
Para Para n
1515
ExemploExemplo::
esboçar os Diagramas de Bode do esboçar os Diagramas de Bode do sistema cuja Função de Transferência é:sistema cuja Função de Transferência é:
G s
ss s
100 101002
1616
Em primeiro lugar, reescrevemos Em primeiro lugar, reescrevemos G(s)G(s) como: como:
G s
ss s
10 01 1
0 01 1.
.
Substituindo s por jw:
G jj
j j
10 01 10 01 1..
1717
Observamos que, neste caso, há Observamos que, neste caso, há quatro tipo de termos:quatro tipo de termos:
ganho ganho KK = 10; = 10; um pólo na origem;um pólo na origem; um pólo real em -100;um pólo real em -100; um zero real em -10.um zero real em -10.
1818
10-1
100
101
102
103
104
40
20
0
-20
-40
K = 10
pólo naorigem
pólo realem -100
zero realem -10
soma dasassíntotas
traçadoreal
(rad/s)
dB
1919
10-1
100
101
102
103
104
90o
45o
0o
-45o
-90o
K = 10
pólo naorigem
pólo realem -100
zero realem -10
soma dasassíntotas
traçadoreal
(rad/s)
2020
RessonânciaRessonância Se |G(jw)| um valor de pico para alguma Se |G(jw)| um valor de pico para alguma
frequência wr, wr é denominada frequência wr, wr é denominada frequência de resssonância.frequência de resssonância.
2121
222
2
)2()1(
1)(
nn
jG
222
2
)2()1()(nn
g
)1(4
)21()( 22
2
2
222
n
ng
707.0220
12
12
rM
ressonância
ressonância
para 707.0 Não ocorre ressonância
221 nr
rM cresce diminui Note que
ocorre ressonância na freq que maximiza
2222
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
5
10
15
Pico de ressonância rM x Coeficiente de
amortecimento
rM /dB
2323
Ressonância_ExemploRessonância_Exemplo
Tacoma11.gifPonte de TacomaNos Estados Unidos, em julho de 1940, a Ponte de Tacoma, no Estado de Washington, rompeu-se ao entrar em ressonância com rajadas do vento que sopravam periodicamente na região.
Um som muito intenso pode quebrar vidros, mas isso não é ressonância. Uma taça de vidro que quebra por estar tocando um violino próximo é ressonância.
2424
Nuns casos, como na vibração dos edifícios, das Nuns casos, como na vibração dos edifícios, das hélices ou dos motores, pretende-se construí-los de hélices ou dos motores, pretende-se construí-los de forma a minimizar a amplitude desses movimentos. forma a minimizar a amplitude desses movimentos. Noutros, como no caso do circuito de uma antena, Noutros, como no caso do circuito de uma antena, interessa obter grandes amplitudes de oscilação para interessa obter grandes amplitudes de oscilação para emitir ou captar ondas de uma certa freqüência.emitir ou captar ondas de uma certa freqüência.
tacnarr.mpeg
a radiação eletromagnética do "microondas" tem uma freqüênciaque é a freqüência própria da água.
http://www.feiradeciencias.com.br/sala10/10_T03.asp
2525
SintonizarSintonizar uma emissora significa fazer seu uma emissora significa fazer seu receptor de rádio ou TV entrar receptor de rádio ou TV entrar em em ressonânciaressonância com a onda da emissora. com a onda da emissora. Girando, ou apertando, o botão você modifica, Girando, ou apertando, o botão você modifica, de algum modo, a freqüência natural de de algum modo, a freqüência natural de vibração do circuito eletrônico de seu receptor. vibração do circuito eletrônico de seu receptor. Na ressonância, o receptor "capta" energia da Na ressonância, o receptor "capta" energia da onda de rádio ou TV com eficiência máxima e o onda de rádio ou TV com eficiência máxima e o sinalsinal da emissora é reproduzido pelo receptor. da emissora é reproduzido pelo receptor. As ondas das outras emissoras, com As ondas das outras emissoras, com freqüências diferentes, não estão em freqüências diferentes, não estão em ressonância com o receptor e passam batidas, ressonância com o receptor e passam batidas, sem interagir com ele. sem interagir com ele.
Ressonância_ExemploRessonância_Exemplo
2626
ressonância magnéticaressonância magnética : os núcleos do : os núcleos do átomos de átomos de hidrogêniohidrogênio presentes no corpo presentes no corpo humano que estão sendo alinhados por um humano que estão sendo alinhados por um forte campo magnétido e localizados por uma forte campo magnétido e localizados por uma antena de rádio devidamente sintonizada na antena de rádio devidamente sintonizada na frequência de oscilação destes.frequência de oscilação destes.
2727
Sistemas de fase mínima e de fase não mínima
11 1
1)(
TjTj
jG
1
12 0,
11)( TT
TjTjjG
j¦Ø
¦Ò
T1
1
1T
1
1T
j¦Ø
¦Ò
T1
2828
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Phas
e (d
eg)
Mag
nitu
de (d
B)
-20
-15
-10
-5
0
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Fase não mínima
Sistema de fase mínima
ganho
111
TjTj
111
TjTj
e
2929
Atraso de transporte ou tempo morto
)()(1)( trttc sesRsCsG )()()( jejG )(
1sincos)( jjG
Ângulo de fase
(deg)3.57)()( rade jw
0dB
3030
10-1
100
101
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
图 5-20 传递延迟的相角特性曲线
3131
Example of a Bode Plot of Example of a Bode Plot of a Complex Transfer a Complex Transfer
FunctionFunction
221
222222
22
12
tan
2112
23601
1112
)(
p
p
pp
pr
pp
p
rs
Ic
pp
sp
p
KA
ssK
Ae
sK
sseK
sG
3232
Example ContinuedExample Continued
Ip
p
Ipp
cpr
IIcr
Ic
KKA
KAs
K
1tan1
2tan
2360
1121
:processoverallFor
1tan1111
122
1
222222
122
3333
n
mni i
mj jsT
nn
nn
mm
mmsT
abK
ps
zseK
asasabsbsbepF
d
d
;)(
)(
......)(
1
1
01
1
01
1
Frequency response chart from the system transfer function:
3434
0.1q 10|q||q|
180°
90°
0°
q<0
20
10
0
20log|G(j)|
20dB/dec
argG(j)|
0.1n nn
180°
0°
-180°
argG(j)|
20log(q) 20log(n2)
a>0
||5125ωω 21 aan
|)a|a/(n 5125ωω 22
20log|G(j)|
0.1q 10|q||q| 0.1n nn
40dB/dec
q>0a<0
±45°/dec
40
20
0
3535
e-Td s = e-jTd s
Re
Im
-d
36360.1 0.1 1 -90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
00.1/Td = -5.7deg
1/Td = -57deg
/(2Td) = -90deg
0.1/Td = -18deg
G = 0dB
Td
e-Td s
3737
Padé:
!2384038448821
!2384038448821
!1
2
!1
25432
5432
0
0
2
2
nssssssnssssss
is
is
e
ee
n
nn
n
i
ii
i
s
s
s
0.5 1 1.5 20-1
-0.5
0
0.5
1Step Response of 1'st order Pade
Time (Td)
0 0.5 1 1.5 2-0.5
0
0.5
1
1.5Step Response of 2'nd order Pade
Time (Td)
3838
0.01 0.1 1 10-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
020log|G|=0dB
n=1
n=2
n
de
g
Td
3939
Example of a Pulse TestExample of a Pulse Test
ys
c
Time
4040
Developing a Process Developing a Process Transfer Function from a Transfer Function from a
Pulse TestPulse Test
)()(tan)(
)()()(
)()()()()()()(
)()()()()()()(
sin)()(cos)()(
sin)()(cos)()(
1
22
22
22
00
00
RI
IRA
DCCBDAI
DCDBCAR
dtttcDdtttcC
dtttyBdtttyA
r
ss
4141
Limitations of Transfer Limitations of Transfer Functions Developed from Functions Developed from
Pulse TestsPulse Tests They require an open loop time They require an open loop time
constant to complete.constant to complete. Disturbances can corrupt the Disturbances can corrupt the
results.results. Bode plots developed from pulse Bode plots developed from pulse
tests tend to be noisy near the tests tend to be noisy near the crossover frequency which affects crossover frequency which affects GM and PM calculations.GM and PM calculations.
4242
OverviewOverview Understanding how the frequency of Understanding how the frequency of
inputs affects control performance inputs affects control performance and control loop stability is and control loop stability is important.important.
The analytical aspects of frequency The analytical aspects of frequency response analysis are rarely used response analysis are rarely used industrially.industrially.
4343
Did you try the last two problems Did you try the last two problems in the notes?in the notes?
Can you guess the transfer function for this Bode plot?
)12.0(10)( 2
sssssG
~40dB / decade dropresonant peak
phase advance ~ 90phase lag at resonant peak ~ 180
4444
Did you try the last two problems Did you try the last two problems in the notes?in the notes?
Can you guess the transfer function for this Bode plot?
ses
sG 5
11)(
/180/10110 sradsT don the basis of
-3dB drop~20dB / decade drop