1. MathCAD – универсальная система математических расчетов

1.1. Цель работы Изучение основ работы с программой MathCAD. Освоение входного языка

системы. Управление вычислительным процессом. Построение и форматиро-вание графиков. Выполнение символьных операций.

1.2. Основные теоретические сведения

1.2.1. Назначение системы MathCAD Система MathCAD по праву называется современной универсальной массовой мате-

матической системой для всех пользователей. Отличительной чертой интегрированных математических систем MathCAD, разработчиком которых является фирма MathSoft (США), является подготовка документов, в которых объединяются задание исходных данных, математическое описание их обработки и результаты вычислений в виде число-вых данных, таблиц и графиков. В MathCAD удачно решена проблема передачи измене-ний числовых данных по всей цепочке вычислений. Текст документа MathCAD почти ни-чем не отличается от текста научных статей. Графическая среда программы позволяет за-писывать математические формулы в привычном виде. С появлением MathCAD студенты, аспиранты, инженеры и ученые получили в свои руки превосходный инструмент для по-вседневной работы. Для обучения работе с системой фирма MathSoft предлагает набор коротких примеров решения типовых математических задач. Поэтому наряду с электрон-ными книгами по расчетам (BookSampler) и интерфейсу (Desktop Reference) и самоучите-лем (Tutorial) MathCAD содержит множество коротких примеров – шпаргалок (QuickSheet).

MathCAD является полноценным Windows-приложением со встроенными средства-ми обмена и поддерживает технологию OLE. Этот пакет имеет естественный входной язык представления математических зависимостей и инструменты для их набора. Система позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, име-ет чрезвычайно удобный математически интегрированный интерфейс и прекрасные сред-ства научной графики. Встроенный текстовый процессор позволяет оформить текст доку-мента без применения Word. Пользователь создает программу средствами текстового, формульного и графического редактора, а система MathCAD сама составляет программу, которая ранится в ОЗУ, до тех пор, пока не будет сохранена в файле с расширением MCD или RTF. MathCAD предназначен, в частности, для

• проведения расчетов с действительными и комплексными числами; • решения линейных и нелинейных уравнении и систем уравнений; • упрощения, развертывания и группировки выражений; • транспонирования, обращения матриц, вычисления определителя; • построения двумерных и трехмерных графиков; • оформления научно-технических текстов, содержащих сложные формулы; • дифференцирования и интегрирования, аналитического и численного; • проведения статистических расчетов и анализа данных.

1.2.2. Рабочее место системы MathCAD Рабочее пространство MathCAD состоит из строки заголовка, в котором находится

имя документа по умолчанию (Untitled:1), строки меню; панелей инструментов, строки состояния. Настройка рабочего пространства осуществляется командами меню Вид. Окно

2 документа пунктирной линией разделено на две части. Правая часть (непечатаемая) ис-пользуется для сложных вспомогательных расчетов, и ее размер по горизонтали превыша-ет видимую на экране область редактирования. В системе MathCAD можно работать од-новременно с 8-ю документами, переключение между открытыми документами осуществ-ляется с помощью меню Окно. Каждый документ представляется совокупностью облас-тей в виде блоков прямоугольной формы (текстовых, графических, формульных, таблич-ных). MathCAD выполняет обработку блоков в строго определенном порядке: слева на-право и сверху вниз, учитывая и все блоки в правой части документа. Поэтому перекры-тие блоков не допускается. В математическом процессоре MathCAD заложен последова-тельный принцип расчета: значения всех переменных, которые используются в математи-ческом выражении, должны быть определены левее и (или) выше тех выражений, где они используются (за исключением глобальных переменных).

Математические области возникают при щелчке мышью на свободном месте, возни-кающий красный крестик фиксирует место ввода формулы. Текстовые области создаются нажатием кнопки с буквой А на панели инструментов. Области на экране легко можно пе-ретаскивать мышью или меремещать командами меню Правка.

Система Mathcad может работать в двух основных режимах: автоматическом (по умолчанию) и ручном. Чтобы избежать пересчёта результатов на экране при каждом вно-симом изменении, надо отключить команду Математика/Автоматический режим. При отключённом автоматическом режиме для обновления результатов нужно нажимать <F9>. Иногда возникает необходимость отключить вычисление в конкретном формульном бло-ке. Для этого надо на нем щелкнуть и выполнить команду Математика/Отключить вы-ражение. Для прерывания вычислений нажимается < Esc >. Нажатие <F9> возобновляет их.

Указатель мыши используется, чтобы размещать курсор Mathcad в документе. Кур-сор принимает три различные формы: визир (красный крестик), маркер ввода (синяя вер-тикальная черта), выделяющая рамка (прямоугольник или две стороны прямоугольника, охватывающие выражение или его часть). Какая из трех форм будет использована, зависит от того, на каком объекте выполнен щелчок мышью. Выделяющая рамка нажатием кла-виши Стрелка вниз превращается в маркер ввода, который перемещается по выражению с помощью клавиш управления курсором. Маркер ввода нажатием клавиши Стрелка вверх превращается в выделяющую рамку. Все, что попадает в эту рамку, становится операндом следующего выражения.

Чтобы выделить область целиком или несколько областей, надо щёлкнуть рядом с областью, и удерживая нажатой левую кнопку мыши, перемещать мышь до тех пор, пока выделяющий прямоугольник не охватит все области. Выделенные области можно пере-мещать с помощью мыши, копировать и вставлять, удалять, используя команды меню Правка. Истинные размеры областей документа больше кажущихся. Чтобы увидеть ис-тинные размеры надо выполнить команду Правка/Области/Показать области. Если об-ласти перекрываются, можно выделить их и перетащить в разные стороны или выбрать команду Правка/Области/Разделить области.

1.2.3. Входной язык системы MathCAD Система MathCAD обладает специализированным языком программирования сверх-

высокого уровня, ориентированным на математические расчеты. От пользователя MathCAD требует, прежде всего, корректного описания алгоритма решения математиче-ской задачи на входном языке, очень напоминающем общепринятый язык описания мате-матических и научно-технических расчетов.

Алфавит входного языка системы содержит строчные и прописные латинские и гре-ческие буквы, арабские цифры, специальные знаки и слова, которые используются при задании команд. К типам данных MathCAD относятся числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы), данные файлового типа.

3 Числовые константы вводятся с помощью арабских цифр, знака минус и десятич-

ной точки (а не запятой!). Порядок числа вводится умножением мантиссы на 10 в степени, определяющей порядок. Знак умножения (клавиша *) при выводе числа на экран меняется на точку, а операция возведения в степень (клавиша ^) отображается представлением по-рядка в виде надстрочного элемента. Система может работать с десятичными, восьмерич-ными и шестнадцатеричными числами. Последние в конце отмечаются латинскими бук-вами o (octal) или h (hexagonal). Комплексные числа обычно представляются в алгебраи-ческом виде. Перед использованием любых операций с комплексными числами полезно вначале определить i или j как мнимую единицу (т.е. присвоить им значение квадратного корня из -1). При вводе комплексного числа мнимая часть должна быть умножена на мнимую единицу.

Размерные константы – это особый тип констант, который помимо числового зна-чения характеризуется указание на то, к какой физической величине они относятся. Чтобы прикрепить к имени переменной или константе единицу измерения, надо просто умно-жить имя или константу на соответствующую единицу. Нажатием клавиш <Ctrl>+<U> вызывается диалоговое окно Вставить единицы, в котором представлены все доступные в выбранной системе единицы измерения. Проведение расчетов с размерными величина-ми и переменными особенно удобно при решении различных физических задач, когда правильная размерность результата является дополнительным фактором корректности выполненных расчетов.

Переменные это именованные объекты, имеющие некоторое значение, которое мо-жет изменяться по ходу выполнения программы. Идентификаторы (имена переменных и констант) в системе MathCAD должны начинаться обязательно с буквы и могут иметь практически любую длину. Для того чтобы можно было вычислить выражение, зависящее от каких-либо переменных, значения этих переменных должны быть определены. Для оп-ределения (задания) переменной в программе нужно: • ввести имя переменной; • ввести двоеточие ":", что приведёт к появлению знака присваивания ":=" и следующе-

го за ним поля ввода; • напечатать в поле ввода число или выражение; • Mathcad вычислит соответствующее значение и присвоит его имени переменной.

Все переменные и функции, присутствующие во введенном выражении, должны быть определены заранее. В противном случае переменные, значения которых не опреде-лены к моменту вычисления выражения, будут отмечены на экране красным цветом.

Для того чтобы получить числовой результат (значение константы или переменной), нужно ввести соответствующий идентификатор и затем ввести знак равенства "=". После этого Mathcad вычисляет выражение и выводит результат вычислений. Для задания фор-мата числовых данных, модификации и замены шрифтового оформления математических выражений используется команда Математика/Формат числа.

Использование незаданной переменной является ошибкой, которую необходимо ис-править для продолжения вычислений. Переменная в Mathcad может быть: • локальной (знак локального присваивания :=); использование локальной переменной

возможно только в ниже расположенных блоках; • глобальной (знак глобального присваивания ≡); глобальное присваивание может про-

изводиться в любом месте документа. Mathcad, обрабатывая документ, прочитывает его дважды, двигаясь каждый раз сле-

ва направо и сверху вниз. При первом проходе Mathcad выполняет все действия, предпи-санные глобальным оператором присваивания '≡'. При втором проходе Mathcad выполняет все действия, предписанные локальным оператором присваивания ':=', и отображает все необходимые результаты вычислений. Каждое выражение имеет точку привязки. Mathcad использует точки привязки, чтобы определить порядок следования выражений. Чтобы увидеть точки привязки, надо выполнить команду Правка/Области /Показать области.

4 Система Mathcad содержит расширенный набор встроенных элементарных функций.

Функции задаются своим именем и значением аргументов в круглых скобках. В ответ на обращение к ним функции возвращают вычисленные значения (числовое, символьное, матрица или вектор). Аргумент и значение функций могут быть действительными или комплексными числами. Любую из встроенных функций можно поместить в рабочий до-кумент с помощью диалогового окна, вызываемого командой Вставить функцию. Ниже приведён перечень разделов, по которым классифицируются разнообразные функции, встроенные в Mathcad: • бесселевы функции • вероятностные распределения • гиперболические функции • доступ к файлам • задание условий • интегральные преобразования • интерполяция • моделирование или приближение данных • обратные гиперболические функции • обратные тригонометрические функции • округление и усечение • построение гистограмм • работа с векторами и матрицами • работа с комплексными числами • решение уравнений • сортировка • стандартные статистики • тригонометрические функции • экспонента и логарифмы • разрывные функции

Для того чтобы определить в Mathcad пользовательскую функцию, нужно:

• ввести в активный документ имя функции и левую круглую скобку; • ввести через запятую аргументы и завершить ввод правой скобкой; • ввести двоеточие ":", что приведет к появлению знака присваивания ":=" и поля ввода; • ввести в поле ввода выражение.

Функция может задаваться локально или глобально. Все переменные, используемые в выражении в поле ввода, должны быть или определены заранее, или входить в список аргументов. В противном случае переменные, не имеющие значения, будут отмечены красным цветом.

Ранжированные переменные представляют в Mathcad особый класс переменных, которые заменяют управляющие структуры (циклы). Эти переменные имеют ряд фикси-рованных значений чисел, изменяющихся от начального до конечного значения с опреде-ленным шагом. Ранжированная переменная фактически является векторной величиной, занимающей соответствующий объем памяти. И в этом ее отличие от скалярной перемен-ной. Ранжированная переменная целочисленного типа с шагом 1 или –1 создается выра-жением: имя:=НачЗнач..КонЗнач. Здесь символ «..» вводится клавишей <;>. В общем случае используется полное выражение: имя:=НачЗнач,НачЗнач+Шаг..КонЗнач.

Дискретные переменные чаще всего используются при построении графиков функ-ций. Определите дискретный аргумент, пробегающий диапазон значений независимой пе-ременной, по которым нужно построить график функции. Нажмите клавишу @ , чтобы создать область декартова графика. Поместите имя дискретного аргумента в шаблоне на оси Х, а имя функции от дискретного аргумента в шаблоне на оси Y.

Массив - это имеющая имя совокупность конечного числа числовых или символь-ных элементов, упорядоченных по строкам и столбцам, и имеющих определенные адреса в памяти. Элементы матриц (двумерных массивов) и векторов (одномерных массивов) яв-ляются индексированными переменными, имена которых совпадают с именами матриц. Для присвоения i-ому элементу вектора К некоторого значения, например, К2 := 5 после-довательно нажимаются клавиши: К [2:5. Для присвоения значения элементу матрицы на-пример, К23 := 5 последовательно нажимаются клавиши: К [(2,3):5.

Файловые данные Mathcad – это массивы, которые могут быть записаны в память в виде файла. В ходе создания файла элементы матриц считываются поэлементно слева на-

5 право и сверху вниз. Для создания файла используется функция WRITE (имя файла), а для считывания файла данных функция READ (имя файла).

Системные переменные имеют предопределённые системой начальные значения, которые пользователь при необходимости может переопределить.

Предопределённые математические постоянные: • число π ( клавиши <Ctrl+P>); • системная бесконечность ∝ ( клавиши <Ctrl+Z>); • число е (основание натурального логарифма); • мнимая единица i или j (нужно вводить 1i или 1j, а не i или j); • процент % (равняется 0.01 и предназначен для удобства работы с процентами).

Предопределённые системные постоянные: • TOL = 0.001. Определяет точность вычисления интегралов, производных, а также ре-

шений, возвращаемых блоками решения уравнений. Очень маленькие значения TOL приводят к увеличению времени вычислений, связанных с итеративными процедура-ми; большие значения TOL уменьшают время вычислений за счёт точности.

• ORIGIN = 0. Определяет индекс, с которого начинают нумероваться столбцы и строки в массивах. Чтобы изменить значение по умолчанию, выберите команду Математи-ка/Встроенные переменные. Можно установить значение ORIGIN равным любому целому числу, положительному или отрицательному. Значение ORIGIN будет воздей-ствовать на любой массив в рабочем документе;

• PRNPRECISION = 4. Определяет число значащих цифр числа, записываемых в файл функцией WRITEPRN (может быть целым числом между 1 и 16);

• PRNCOLWIDTH = 8. Определяет ширину столбца в ASCII файле, создаваемом функ-цией WRITEPRN (может быть целым числом между 1 и 132). Подготовка вычислительных блоков в системе Mathcad облегчается благодаря выво-

ду шаблона при задании того или иного оператора. Шаблоны вводятся нажатием соответ-ствующих кнопок на имеющихся панелях инструментов: • Арифметические операторы • Операторы математического анализа • Логические операторы • Векторные и матричные операторы

В составе сложных шаблонов имеются шаблоны для ввода отдельных данных. Они имеют вид черных квадратиков, по которым можно перемещаться клавишей <Tab>.

1.2.4. Символьные вычисления Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выпол-

нения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых и произ-водятся аналитические вычисления. Ядро символьного процессора Mathcad является уп-рощенным вариантом ядра известной системы символьной математики Maple V.

Существуют два способа проведения символьных преобразований выражений: 1. использование символьного знака равенства (вводится сочетанием клавиш Ctrl+=) для

непосредственного получения символьных результатов; этот способ очень похож на проведение численных выкладок и существует только в Mathcad PLUS.

2. использование команд меню Символика; этот способ позволяет более точно управ-лять формой результатов символьных вычислений. Все команды символьного меню работают примерно одинаково. Для выполнения

символьной операции необходимо выделить преобразуемое выражение частично или це-ликом. Для ряда операций достаточно не выделять все выражение, а только указать пере-менную, относительно которой требуется выполнить преобразование. Для этого маркер ввода должен располагаться правее переменной. Затем выбрать соответствующую коман-ду из меню Символика.

6 Mathcad выводит преобразованное выражение в активный документ. В зависимости

от установленного способа расположения результата Mathcad или замещает выделенное выражение, или помещает новое выражение справа или снизу от исходного. Если сим-вольное преобразование не удалось, то новое выражение совпадает со старым. Нужно от-метить, что полученные с использованием команд меню Символика результаты преобра-зований не меняются при внесении изменений в документ.

Команды меню Символика позволяют выполнить следующие вычисления: 1. символьная алгебра (упрощения, раскрытие скобок, разложение на множители, приве-

дение подобных членов, разыскание коэффициентов многочлена, ряды, элементарные дроби, символьные суммы и произведения);

2. символьные действия анализа (производные, интегралы, пределы); 3. символьное решение уравнений (решение уравнений, решение системы уравнений); 4. символьные действия с матрицами (матричная алгебра, транспонирование матрицы,

обращение матрицы, определитель матрицы); 5. символьные преобразования (преобразования Фурье, Лапласа, z-преобразование дос-

тупны только в Mathcad PLUS).

1.2.5. Работа с графикой в Mathcad Программный графический процессор, встроенный в Mathcad, создает графики,

большинство параметров которых задается по умолчанию. Поэтому для построения гра-фика достаточно указать его тип: декартов, полярный, график поверхностей, контурный график, точечный, векторное поле или трехмерная гистограмма.

Для создания декартового графика надо нажрать клавишу @ и заполнить поле ввода для каждой из осей. Для заполнения поля ввода по нему надо щелкнуть. Для одно-временного построения двух и более графиков надо после заполнения шаблона данных для оси Y нажать клавишу с запятой и заполнить появившийся второй шаблон и т.д. Что-бы построить график, надо нажать клавишу <F9>, или щелкнуть за пределами графика.

Для удаления графика надо щелкнуть на графике, чтобы выделить его, и затем на-жать клавиши <Ctrl+X>. Для перемещения графика надо заключить его в пунктирный выделяющий прямоугольник и затем перетащить мышью, или вырезать и вставить график на новое место. Для изменения размера графика надо переместить указатель мыши на правую или нижнюю границу пунктирный рамки. Когда указатель изменит свой вид на двунаправленную стрелку, можно изменить размер графика.

Чтобы изменить границы чисел на осях графика, установленные в Mathcad по умол-чанию, надо щёлкнуть в графике в поле ввода для границ на осях и ввести новые значения для каждой оси в соответствующие поля ввода. Далее нажать клавишу <F9> , чтобы зано-во отобразить график. Для форматирования графика надо дважды щёлкните мышью на графике и выбрать в открывшемся диалоговом окне нужную вкладку. Здесь можно уста-новить линейный или логарифмический масштаб осей, линии сетки с нумерацией или без неё, тип осей, изменить вид линий.

Для создания трехмерной гистограммы используется команда Графи-ка/Трехмерная гистограмма. Затем в единственное поле ввода помещается имя матри-цы, которая будет отображаться в виде гистограммы. Для форматирования гистограммы надо щелкнуть дважды мышью на графике. Появится диалоговое окно, включающее уста-новки просмотра графика и преобразования его в другой тип графика.

1.2.6. Оформление текстовых областей документа Текст в документе может присутствовать в двух формах: в форме текстовых пара-

графов и текстовых областей. Текстовые параграфы более удобны для больших фрагмен-тов текстов, текстовые области удобны для кратких пояснений. Выбор подходящей фор-мы зависит от количества текста и от его желаемого представления. Текстовые области

7 могут иметь произвольную ширину и могут быть расположены в любом месте документа. Текстовые параграфы имеют следующие свойства: • располагаются на всю ширину страницы, • позволяют выравнивать текст по заданному образцу, • позволяют определить отступы для всех строк и для первой строки, • отодвигают соседние области по мере увеличения объёма текста.

Чтобы создать текстовый параграф, надо щелкнуть в строке, где нет других областей и выполнить команду Создать текстовый параграф. Появятся две горизонтальные ли-нии, отмечающие занимаемое параграфом место. Линии будут продолжать охватывать вводимый текст и исчезнут, если щёлкнуть мышью вне текстового параграфа. Нажатие <Enter> приведёт к переходу на новую строку внутри параграфа. Чтобы создать тексто-вую область, надо щёлкнуть в нужном месте и выполнить команду Создать текстовую область. Появится текстовая рамка, которая по мере ввода текста будет увеличиваться.

Для форматирования текстовой области надо щелкнуть в области и выполнить ко-манду Текст/Изменить формат параграфа. Появится диалоговое окно Свойства пара-графа. Для ввода в текстовые комментарии математических выражений надо щелкнуть внутри текста, в который нужно поместить математическую область, и выполнить коман-ду Текст/Внедрить формулы.

Установка параметров страницы при печати документа, его предварительный про-смотр и печать выполняются соответствующими командами меню Файл. Для принуди-тельного перехода на новую страницу надо выполнить команду Вставить разрыв стра-ницы.

1.3. Лабораторное задание

1.3.1. Упражнение 1. Изучение окна программы 1. Запустите MathCAD. Откройте документ Геометрия.mcd из папки

Инф_технологии/MathCAD/Формульные вычисления. Сохраните документ в папке Студент под именем Геометрия_01.mcd. Создайте новый документ MathCAD и со-храните его в папке Студент под именем Отчет_01.mcd.

2. Перейдите в документ Геометрия_01.mcd. Просмотрите документ, используя полосы прокрутки. Установите режим, при котором отображаются области документа. Уста-новите масштаб 200%. Просмотрите формульные блоки. В первом блоке произвольно измените координату точки X1. Просмотрите изменение расстояния d.

3. Выйдите из режима отображения областей и установите масштаб 100%. 4. Установите в первых четырех формульных блоках размерность (cm) для переменных

x1, x2, y1, y2. Удалите блок, в котором выводится значение переменной d. 5. Выделите и переместите блок, в котором выводится расстояние между точками (d). 6. Выведите значение переменной d, значение разности X2-X1. Отключите режим авто-

матических вычислений. Измените значения переменных X1, X2, Y1, Y2. Нажмите <F9>. Включите режим автоматических вычислений.

7. Выполните форматирование текстового комментария в заголовке документа по своему усмотрению. Сохраните и закройте документ.

8. В папке Инф_технологии/MathCAD/Формульные вычисления находятся шесть файлов с примерами расчетов в системе MathCAD. Скопируйте их в папку Студент. Далее, открывая поочередно, просмотрите все приведенные примеры.

8 1.3.2. Упражнение 2. Работа с математическими выражениями

9. Перейдите в документ Отчет_01. Задайте два числа (a, b), используя формат представ-ления чисел с плавающей точкой, например а:=9.345*10-3. Выведите результаты сле-дующих арифметических операций с числами:

10. Задайте константу j как мнимую единицу. Задайте комплексные числа z1 = a + j b, z2 = b + j a. Выведите значения суммы, разности, произведения, частного чисел z1 и z2. Выведите значение модуля и аргумента (в рад и в град) комплексных чисел z1 и z2.

11. Для вычисления значений основных тригонометрических функций задайте веществен-ную положительную размерную константу x, рад. Выведите значения синуса, косину-са, тангенса, котангенса, секанса и косеканса x.

12. Задайте ранжированную переменную r, изменяющуюся от –2 π до +2π с шагом 0,025. 13. Постройте в декартовых координатах на одном рисунке графики двух тригонометри-

ческих функций синуса и косинуса. 14. Задайте квадратную вещественную матрицу размером 4×4. Элементы матрицы - двух-

значные десятичные числа, положительные и отрицательные. Выполните обращение и транспонирование матрицы; выведите ее определитель, максимальное и минимальное значение. Присвойте элементам матрицы в первом столбце соответственно значения 5, -9, 3,-7. Выведите определитель матрицы.

15. Задайте целочисленную ранжированную переменную i, изменяющуюся от 0 до 10 с шагом 1. Выведите сумму и произведение элементов заданного вектора. Выведите таблицу значений вектора и таблицу квадратов значений этого же вектора.

1.3.3. Упражнение 3. Построение двумерного графика 16. Создайте новый документ и сохраните его в папке Студент под именем График.mcd. 17. Задайте две размерные константы: U=100 В, τ =0,001 с. Определите пользователь-

скую функцию вида h(t) = - U (1- exp{- t/τ}). 18. Для создания таблицы значений функции h (t) надо выполнить дискретизацию аргу-

мента t в диапазоне от нуля до 5τ. Шаг дискретизации Δt определяется числом точек n в указанном интервале, включая граничные точки: Δt=5τ /(n-1). Учитывая это, задайте ранжированную переменную t1, если n=30.

19. Выведите таблицу значений t1 и рядом таблицу значений h(t1)/В. Выделите получен-ные табличные области и выровняйте их по горизонтали.

20. Постройте декартов график h (t1). Сохраните документ.

1.3.4. Упражнение 4. Построение трехмерного графика поверхности 21. Создайте документ и сохраните его в папке Студент под именем График поверхно-

сти.mcd. В этом документе предстоит определить пользовательскую функцию z(x, y)? Далее представить ее матрицей M ординат Z. и построить график трехмерной поверх-ности. Матрица M строится на сетке значений переменных x и y в прямоугольнике, размеры которого задаются константами xmin, xmax, ymin, ymax. Шаг дискретизации по оси X (Δx) определяется числом точек nx, а шаг дискретизации по оси Y (Δy) опре-деляется числом точек ny.

22. Определите пользовательскую функцию z(x, y) = cos(x y) ⋅ sin(x y). 23. Задайте константы xmin = -2π, xmax = 2π, ymin = -π, ymax = π, nx =40, ny =20.

.log,ln,,,,,,,, 1031

3 baababbba

babababa a

+−

⋅−+−

9 24. Задайте целочисленную ранжированную переменную i, изменяющуюся от 0 до (nx –1)

с шагом 1. Задайте целочисленную ранжированную переменную j, изменяющуюся от 0 до (ny – 1) с шагом 1.

25. Определите две переменные: Δx = (xmax – xmin)/( nx-1) и Δy = (ymax – ymin)/( ny-1). 26. Используя поэлементное формирование (индексированные переменные), задайте век-

тор xd в виде: xdi = xmin + i Δx; и вектор yd в виде: ydj = ymin +j Δy. 27. Используя поэлементное формирование матрицы, задайте матрицу M в виде:

Mij = z(xdi, ydj). 28. Выведите матрицу M. Просмотрите ее, используя полосы прокрутки. 29. Создайте трехмерный график поверхности, введите в шаблон данных имя матрицы: M. 30. Установите формат графика поверхности с удалением невидимых линий функцио-

нальной закраской. Увеличьте размер графика и установите использование цветов. Со-храните документ.

31. В папке Инф_технологии/MathCAD/Графики находятся 10 файлов с примерами графических возможностей системы MathCAD. Скопируйте эти файлы в папку Сту-дент. Просмотрите все эти файлы, поочередно, изменяя в каждом из них параметры графиков.

1.3.5. Упражнение 5. Аналитические вычисления 32. Создайте документ и сохраните его в папке Студент под именем Аналитика.mcd. 33. Введите указанные ниже выражения и для каждого их них выполните символьное вы-

числение (команда Evaluate Symbolically). Для правильного выполнения команды вы-ражение должно быть выделено, т.е. охвачено синей рамкой.

34. Используя символьную команду Simplify, упростите следующие математические вы-

ражения:

35. Используя символьную команду Expand Expression, разложите по степеням матема-тические выражения:

1.3.6. Упражнение 6. Решение системы линейных уравнений 36. Откройте документ Отчет_01.mcd. 37. Задайте в матричном виде систему двух уравнений с двумя неизвестными x1 , x2. При

этом используйте матрицу А для задания значений коэффициентов системы, матрицу B для задания свободных членов. Найдите решение системы в виде вектора X:

A10

2

20

1⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B5

3⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= X A 1− B⋅:= X =

38. Измените матрицы А и В так, чтобы исследовать возможность решения уравнений с

комплексными коэффициентами, например:

.1,),ln(),sin(,)ln(,2n

n xdxddxbaxx

dxdx

dxddxdxdxxn ∫∫∫ ∫∑ +

.)cos()sin(,2,)1(

4)1(

6)1(

51

55)),ln(exp( 2222

432 xxba

bbaaxxxxx

xn ++

+⋅⋅+−

−−

+−

−−

+−

⋅

).5sin(,8

)4cos()2cos(43,)(),()( 5 xbababa αα +−++⋅−

10

A10 200i+

0 200i−

0 200i−

0 170i+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= B5 0i+

0 0i+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:= X A 1− B⋅:= X0.037 0.131i+

0.044 0.154i+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

1.3.7. Упражнение 7. Аналитическое решение системы уравнений 39. В документе Отчет_01.mcd необходимо найти решение системы линейных уравнений

в общем виде. Для этого используются ключевое слово given и функция find. Озна-комьтесь с нижеследующим примером и выполните аналогичное задание в документе Отчет_01.mc. Сохраните документ.

Given

x 2y+ a y 4x− b

Find x y,( )→

1.3.8. Упражнение 8. Решение нелинейных уравнений 40. В документе Отчет_01.mcd необходимо определить корень нелинейного уравнения

x + x2 +x1/2 =4.75 с точностью 10-3 , если x0 = 1,5. Для этого введите функцию f(x):= x + x2 +x1/2, далее требуемую точность TOL:= 10-3, по-том начальное значение переменной х:= 1,5. 41. Для решения уравнения с помощью функции root наберите ниже: x1:= root(f(x),x).

После чего выведите на экран значение x1, являющееся приближенным решением за-данного уравнения.

11

1.4. Контрольные вопросы по системе MathCAD 1. Почему система MathCAD считается универсальной массовой математи-

ческой системой? Что требуется от пользователя системы в первую оче-редь?

2. Что является отличительной чертой интегрированных математических систем MathCAD?

3. Из чего состоит рабочее пространство MathCAD и в чем его особенности? 4. Как организована работа с документами в MathCAD? Что представляет

собой каждый документ? 5. Как пользователь управляет процессом вычислений? 6. Какие формы принимает курсор мыши в документе MathCAD? Назовите

приемы управления формой курсора? 7. Перечислите приемы выделения объектов в документе. Работа с выделен-

ными областями. 8. Из чего состоит алфавит входного языка системы? 9. Назовите типы данных MathCAD. 10. Как вводятся вещественные числовые константы? Как представляются

комплексные константы? 11. Как водятся размерные константы и для чего они используются? 12. Что называется переменной в MathCAD? Как задать (определить) пере-

менную в программе? Какие здесь возможны ошибки. Как получить чи-словое значение переменной?

13. Для чего используется команда Математика/Формат числа? 14. Пояснить различие между глобальной и локальной переменной. Как

MathCAD обрабатывает документ? 15. Как пользоваться встроенными функциями системы? Как задать пользова-

тельскую функцию? 16. Для чего предназначены ранжированные переменные в Mathcad? 17. Как задается ранжированная переменная? 18. Что такое массив и как создается массив в системе Mathcad? 19. Что такое файловые данные? 20. Перечислите системные переменные. Как изменить их значение? 21. Назовите правила использования шаблонов при задании оператора. 22. Символьные вычисления в системе Mathcad и порядок их выполнения. 23. Как создается декартов график? 24. Пояснить приемы редактирования и форматирования графика. 25. Как создать трехмерный график поверхности? 26. Как в Mathcad решить систему линейных уравнений?

12

Приложение 1

2. Команды меню

2.1. Меню управления в левом верхнем углу окна приложе-ния

Restore (Восстановить) — раскрыть окно приложения из пиктограммы; Move (Переместить) — переместить окно приложения; Size (Размер) — изменить размер окна приложения; Minimize (Свернуть) — свернуть окно в пиктограмму;

Maximize (Развернуть) — перейти в полноэкранный режим; Close (Закрыть) [Alt-F4] — закрыть окно и закончить работу в приложении; Switch To... (Переключиться в...) [Ctrl-Esc] — раскрыть окно диспетчера программ.

2.2. Меню управления в левом верхнем углу окна докумен-та

Restore (Восстановить) — раскрыть окно документа из пиктограммы; Move (Переместить) — переместить окно документа; Size (Размер) — изменить размер окна документа; Minimize (Свернуть) — свернуть документ в пиктограмму; Maximize (Развернуть) — перейти в полноэкранный режим для документа; Close (Закрыть) [Ctrl-F4] — закрыть окно и закончить работу с документом; Next (Следующий документ) [Ctrl-F6] — активизировать следующий документ.

2.3. Меню File (Файл) New [F7] (Создать) — открыть окно для нового документа; Open... [F5] (Открыть...) — открыть существующий документ;

Save [F6] (Сохранить) — сохранить на диске текущий документ;

Save as... (Сохранить как...) — сохранить на диске текущий документ под новым именем; Export Worksheet... (Экспорт...) — сохранить рабочий документ в формате RTF; Insert... (Вставить документ...) — вставить в документ новый фрагмент с диска; Mail... (Послать почту...) — отправить текущий документ по электронной почте; Close [Ctrl-F4] (Закрыть) — закрыть документ; Open URL... (Интернет...) — открыть документ Mathcad, доступный через Интернет; Get From Notes... (Получить из Notes...) — открыть документ Mathcad, хранящийся в базе данных Lotus

Notes; Save In Notes... (Сохранить в Notes...) — сохранить документ Mathcad в существующей базе данных

Lotus Notes; Save Configuration... (Сохранить конфигурацию...) — записать текущую конфигурацию среды Mathcad

в файл конфигурации; Execute configuration file... (Применить конфигурацию...) — выполнить файл конфигурации; Associate Filename... (Присоединить к файлу...) — связать выделенную переменную с файлом данных; Page Setup... (Параметры страницы...) — установить левый и правый отступы на странице; Print Preview... (Просмотр...) — предварительный просмотр документа перед печатью; Print document... [Ctrl-0] (Печать...) — распечатать документ; Exit [Alt-F4] (Выход) — выйти из среды Mathcad.

2.4. Меню Edit (Правка) Undo Last Edit [Alt-Bkp] (Отменить изменения) — отменить последнее редактирование; Cut [Ctrl-X] (Вырезать) — переместить выделенное в ClipBoard (в Буфер Обменов); Copy [Ctrl-C] (Копировать) — скопировать выделенное в ClipBoard (в Буфер Обменов); Clear (Очистить) — удалить выделенное; Paste [Ctrl-V] (Вставить) — вставить выделенное из ClipBoard (из Буфера Обменов) в документ; Paste Special... (Специальная вставка...) — вставить выделенное из ClipBoard (из Буфера Обменов) в

различном формате (формат Mathcad или BITMAP, например); View Regions (Показать области)-установить подсвеченный режим показа областей; Select All Regions (Выделить все области) — выделить

13 все области в документе;

Separate Regions [Ctrl-S] (Разделить области) — разделить перекрывающиеся области в документе; Horizontal (Горизонтально) — выровнять выделенные области вдоль горизонтальной линии, располо-

женной посередине между верхними краями высшей и низшей из выделенных областей; Vertical (Вертикально) — выровнять выделенные области вдоль вертикальной линии, расположенной

посередине между левыми краями самой правой и самой левой из выделенных областей; Include... (Внедрить документ...) — включить определения переменных и функций из другого рабочего

документа в текущий документ; New (Новая) — создать гипертекстовую ссылку на другой рабочий документ; Erase (Удалить) — удалить все гипертекстовые ссылки, связанные с текущим выделением; Set Lock Area (Область) — определить защищаемую область рабочего документа;

Lock Area... (Закрыть...) — включить защиту области; Unlock Area... (Открыть...) — редактирование защищаемой области;

Ins/Del Blank Lines... (Вст/Удал чистые строки...) — вставить/удалить строку;

Insert Pagebreak (Вставить разрыв страницы) — вставить независимый от форматирования разрыв страниц;

Set Right Margin (Правое поле — Установить) — установить правый отступ; Clear Right Margin (Правое поле — Удалить) — убрать правый отступ; Headers/Footers... (Колонтитулы...) — определить верхние/нижние колонтитулы в документе;

Align Region (Выровнять области) — выровнять выделенные области вдоль горизонтальной линии, распо-ложенной посередине между верхними краями высшей и низшей из выделенных областей (горизонтальное выравнивание), или выровнять выделенные области вдоль вертикальной линии, расположенной посередине между левыми краями самой правой и самой левой из выделенных областей (вертикальное выравнивание);

Find... [Ctrl-F5] (Найти...) — найти заданную текстовую или математическую строку; Replace... [Shift-F5] (Заменить...) — найти и заменить математическую или текстовую строку; Go to Page... (Перейти к странице) — расположить начало указанной страницы на начало рабочего доку-

мента Mathcad.

2.5. Меню Text (Текст) Create Text Region[«] (Создать текстовую область) — создать текстовую область с началом на позиции

курсора; Create Text Band [Ctrl-T] (Создать текстовый параграф) — создать текстовый параграф с первой стро-

кой на местоположении курсора; Embed Math (Внедрить формулы) — создать математическую область внутри текстовой области или

параграфа; Change Font... (Изменить шрифт...) — изменить шрифт для выделенного комментария; Change Paragraph Format... (Изменить формат параграфа...) — изменить способ выравнивания и ле-

вый отступ выделенного параграфа; Change Default Font (Изменить по умолчанию — Шрифт...) — изменить шрифт всего текста, кроме тех

фрагментов, для которых текст изменен командой Изменить шрифт; Paragraph format... (Формат параграфа...) — изменить принятые по умолчанию способ выравнивания и

левый отступ текстовых параграфов; Check Spelling...(Орфография...) — проверка орфографии.

2.6. Меню Math (Математика) Matrices... [Ctrl-M] (Матрицы... ) — создать матрицу или изменить размеры матрицы; Built-in Variables... (Встроенные переменные...) — установить значения встроенных (системных) пере-

менных; Units (Единицы) — работа с единицами измерений:

- Insert Unit... [Ctrl-U] ( Вставить единицы...) — вставить единицы измерений; - Change System of Units (Сменить систему единиц...) — изменение системы единиц; - Dimensional Format... (Формат размерности...) — изменение названий основных единиц измерения;

Insert Function... (Вставить функцию...) — показать прокручивающийся список имеющихся функций; Randomize... (Генератор случайных чисел...) — установить генератор случайных чисел;

Calculate [F9] (Пересчитать) — провести расчеты по «1|»мулам, расположенным на (и ниже/правее) кур-сора.

Calculate Document (Пересчитать все) — провести расчеты по всем формулам документа;

14 Toggle Equation (Отключить выражение) — блокировать вычисление выражения. Система игнорирует

его при вычислениях. Если выражение уже отключено, то выбор этой опции его разблокирует; Highlight Equation (Подсветить выражение ) — изменить цвет выделенного выражения; Automatic Mode (Автоматический режим) — включение/выключение автоматического режима вычис-

лений; SmartMath — включение/выключение функции подсистемы SmartMath; SmartMath Controls — опции управления подсистемой SmartMath: - Live Symbolies — переключатель режима автоматических символьных вычислений; - Optimize — переключатель режима оптимизации численных расчетов; Show SmartMath — просмотр окна с оптимизирующей формулой SmartMath; Numerical Format (Формат числа...) — изменения формата чисел; Font Tag... (Шрифтовая бирка...) — изменить формат отображения чисел; Apply/Modify Font Tag (Шрифтовая бирка...) — изменить свойства шрифта выделенного имени или

всех имен, имеющих ту же шрифтовую бирку; Change to Greek Variable [Ctrl-G] (Греческий шрифт) — заменить выделенную букву на греческую.

2.7. Меню Graphics (Графика) Create X-Y Plot [@] (декартов график) — создать двухмерный график; Create Polar Plot [Ctrl-7] (Полярный график) — создать двухмерный график в полярных координатах; Create Surface Plot [Ctrl-2] (График поверхности) — создать трехмерный график;

Create Contour Plot [Ctrl-5] (Карта линий уровня) — создать контурный график;

Create 3D Scatter Plot (График рассеяния) — создать трехмерную гистограмму; Create Vector Field Plot (Векторное поле) — начертить векторное поле на плоскости; Create 3D Bar Chart (Трехмерная гистограмма) — создать изображение совокупности столбиков в

трехмерном пространстве; Create Picture (Изображение) — создать область для импорта рисунка; X-Y Plot Format... (Формат декартова графика...) — изменить характеристики двухмерного графика; Polar Plot Format... ( Формат полярных графиков...) — изменить характеристики двухмерного графика

в полярных координатах; Surface Plot Format... (Формат ЗD-гpaфикa...) — изменить характеристики трехмерного графика; Contour Plot Format... — изменить характеристики контурного графика; Picture Format... (Формат изображения) — изменить характеристики области для импорта рисунка.

2.8. Локальные меню Graphics Format... (Формат...) — форматирование графика; Crosshair... (Графики...) — уточнение координат точек на графике; Zoom... (Лупа...) — изменение области линий на графике; Title... — название графика; Axis Lables... — название осей графика.

2.9. Меню Symbolic (Символика) Evaluate (Вычислить) — преобразование выражений:

- Evaluate Symbolically [Shift-F9] (Вычислить в символах) — символьное вычисление выражения; - Complex Evaluation (В комплексном виде) — комплексное преобразование выражения; - Floating Point Evaluation (С плавающей запятой...) — численное вычисление выражения; Simplify (Упростить) — упростить выделенное выражение, выполняя арифметические действия, сокра-

щая подобные слагаемые, приводя к общему знаменателю и используя основные тригонометрические тож-дества;

Expand Expression (Разложить по степеням) — раскрытие выражения: (X+Y) • (X-Y), стало X2-Y2; Factor Expression (Разложить на множители) — поиск множителя: было X2-Y2, стало (X+Y) • (X-Y); Collect on Subexpression (Разложить по подвыражению) — собрать слагаемые, подобные выделенному

выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом. Результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного выражения;

Polynomial Coefficients (Полиномиальные коэффициенты) — найти коэффициенты выражения, когда оно записано как полином относительно выделенной переменной или функции;

Differintiate on Variable (Дифференцировать по переменной) — дифференцировать все выражение, со-держащее выделенную переменную по отношению к этой переменной. Остальные переменные рассматри-ваются как константы;

15 Integrate on Variable (Интегрировать по переменной) —интегрировать все выражение, содержащее выде-ленную переменную, по этой переменной; Solve for Variable (Решить относительно переменной) —найти значения выделенной переменной, при которых содержащее ее выражение становится равным нулю. Если выделить переменную в уравнении или неравенстве, эта команда решает уравнение или неравенство относительно данной переменной;

Substitute for Variable (Заменить переменную) — подставить содержимое Буфера Обменов вместо пе-ременной в выражение во всех местах, где она встречается. Для использования этой команды меню сначала скопируйте в Буфер Обменов то, что нужно подставить вместо этой переменной, используя команды Копи-ровать или Вырезать. Затем выделите переменную в каком-либо месте выражения и выберите эту команду меню;

Expand to Series... (Разложить в ряд...) — найти несколько членов разложения выражения в ряд Тэйлора по выделенной переменной. Диалоговое окно позволяет выбрать количество членов разложения; Convert to Partial Fraction (Разложить на элементарные дроби) — разложить на элементарные дроби вы-ражение, которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной;

Matrics Operations (Матричные операции) — работа с матрицами: - Transpose Matrix (Транспонировать) — транспонирование матрицы; - Invert Matrix (Обратить) — инвертирование матрицы; - Determinant of Matrix (Определитель) — вычисление детерминанта (определителя) матрицы;

Transform (Преобразования): - Fourier Transform (Преобразование Фурье) — вычислить преобразование Фурье относительно выде-

ленной переменной; - Inverce Fourier Transform (Обратное преобразование Фурье) — вычислить обратное преобразование

Фурье относительно выделенной переменной. Результат — функция от переменной t; - Laplace Transform (Преобразование Лапласа) — вычислить преобразование Лапласа относительно вы-

деленной переменной. Результат — функция от переменной s; - Inverce Laplace Transform (Обратное преобразование Лапласа) — вычислить обратное преобразова-

ние Лапласа относительно выделенной переменной. Результат — функция от переменной t; - Z Transform (z-преобразование) — вычислить z-пре-образование выражения по отношению к выделен-

ной переменной. Результат — функция от переменной z; - Inverce Z Transform (Обратное z-преобразование) — вычислить обратное z-преобразование относи-

тельно выделенной переменной. Результат — функция от переменной п; Derivation Format... (Расположение результата...) — выбор способа отображения результата символь-

ных преобразований: наличие комментариев и вертикальное либо горизонтальное размещение по отноше-нию к преобразуемому выражению;

Derive in Place (Замещать) — предписывает замещать исходное выражение результатом его символьного преобразования;

Load Symbolic Processor — загрузка символьного процессора.

2.10. Меню Window (Окно) Cascade (Каскад) — расположить окна документов друг под другом так, чтобы были видны заголовки; Tile Horizontal/Vertical (По горизонтали / По вертикали) — расположить окна документов горизон-

тально (вертикально) так, чтобы они не перекрывались; Arrange Icons (Упорядочить значки) — аккуратно разместить пиктограммы рабочих документов вдоль

нижней границы окна приложения; Zoom... (Масштаб...) — изменить масштаб изображения рабочего документа; Refresh [Ctrl-R] (Обновить) — перерисовать экран; Animation (анимация): - Create... (Создать...) — создать анимационный клип; - Playback... (Воспроизвести...) — воспроизвести существующий анимационный клип; Hide Palette (Убрать панель символов) — убрать панель символов. Когда она убрана, эта опция отмече-

на галочкой; Hide Tool Bar (Убрать панель инструментов) — убрать верхнюю панель инструментов; Hide Font Bar (Убрать панель шрифтов) — убрать панель шрифтов; Change Colors... (Изменить цвета...) — изменить цвета; Background Color... (Фон...) — изменить цвет фона окна приложения; Text Color... (Текст...) — изменить цвет шрифта в текстовых областях; Equation Color... (Формулы...) — изменить цвет формул и чертежей; Highlight Color... (Цвет подсвеченного выражения...) — изменить цвет подсвеченных выражений; Annotation Color... (Аннотации...) — изменить цвет всех аннотаций к Электронным Книгам.

16 2.11. Меню Books (Книги)

Open Book... (Открыть книгу...) — открыть Электронную Книгу; History... (Хронология...) — перечислить все просматривавшиеся с момента открытия книги разделы; Search Book... (Искать по книге...) — произвести поиск по всем разделам Электронной Книги; Annotate Book (Аннотировать) — когда эта опция отмечена, Mathcad позволяет сохранить аннотирован-

ную копию Электронной Книги; Annotate Options (Опции аннотирования): - Save Edited Section (Сохранить раздел) — сохранить изменения в открытом в настоящее время разделе

Электронной Книги; - Save All Edits (Сохранить все) — сохранить все изменения, сделанные со времени открытия Электрон-

ной Книги; - View Original Selection ( Раздел в оригинале) — показать оригинальную, неотредактированную, вер-

сию раскрытого в настоящее время раздела; - View Edited Section (Измененный раздел) — показать отредактированную версию раскрытого в на-

стоящее время раздела; - Restore Original Section (Восстановить раздел) — уничтожить аннотированную копию текущего раз-

дела Электронной Книги; - Restore Original Book (Восстановить книгу) — уничтожить аннотированную копию текущей Элек-

тронной Книги; - Highlight Edits (Выделить изменения) — когда эта опция отмечена, Mathcad показывает изменения в

Электронной Книге другим цветом; - List of Books (Список книг) — список установленных Электронных Книг; - Search Book... — поиск в Справке.

2.12. Меню Help (Справка) Index... [F1] (Индекс) — показать все темы Справки; Keyboard... (Клавиатура...) — показать темы по функциональным клавишам; Using Help... (О справке...) — показать инструкции по использованию помощи; QuickSheets... (Шпаргалки...) — открыть собрание шаблонных образцов применения Mathcad в стан-

дартных ситуациях; Technical Support... (Техническая поддержка...) — содержит информацию, помогающую наладить над-

лежащую работу Mathcad; About Mathcad... (О программе...) — показать номер версии.

17

3. Встроенные функции и ключевые слова Обозначения: х и у — вещественные числа; z — вещественное либо комплексное число; т, n, i, j и k — целые числа; v, u и все имена, начинающиеся с v, — векторы; А и В — матрицы либо векторы; М и N — квадратные матрицы; F — вектор-функция; file — либо имя файла, либо файловая переменная, присоединенная к имени файла; ® — функция есть только в версии Mathcad PLUS 6.0. Все углы измеряются в радианах. Многозначные функции и функции с комплексным аргументом всегда

возвращают главное значение. Имена приведенных функций нечувствительны к шрифту, но чувствительны к регистру — их следует пе-

чатать в точности, как они приведены. После имени функции следует читать «возвращает» и далее по тек-сту.

1. acos(z) — арккосинус 2. acosh(z) — гиперболический ареакосинус: обратная функция к гиперболическому косинусу 3. angle(x, у) — угол (в рад) между положительным направлением оси х и радиусом-вектором точки (х, у) 4. APPEND(file) — добавление значения одиночной переменной к существующему файлу file.dat на дис-

ке 5. APPENDPRN(file) — добавление матрицы к существующему файлу file.pm на диске 6. arg(z) — аргумент комплексного числа z (в радианах) 7. asinh(z) — ареасинус: обратная функция к гиперболическому синусу 8. assume — ключевое слово режима автоматических символьных преобразований 9. atan(z) — арктангенс 10. atanh(z) — ареатангенс: обратная функция к гиперболическому тангенсу 11. augment(A, В) — соединение двух матриц; обе матрицы должны иметь одинаковый размер 12. + bulstoer(v, х1, х2, асc,n, F, k, s) — матрица решения системы обыкновенных дифференциальных

уравнений, правая часть которых записана в символьном векторе F с заданными начальными условиями в векторе v на интервале от х1 до х2; используется метод Булирш-Штера с переменным шагом; параметры k и s задают шаг

13. + Bulstoer(v, х1, х2, n, F) — матрица решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых записана в символьном векторе F с заданными начальными условиями в векторе v на интервале от х1 до х2; используется метод Булирш-Штера

14. + bvalfit(vl, v2, х1, х2, xi, F, LI, L2, S) — устанавливает начальные условия для краевой задачи, задан-ной в векторах F, vl и v2 на интервале от х1 до х2, где решение известно в некоторой промежуточной точке xi

15. ceil(x) — наименьшее целое, не превышающее х 16. cfft(A) — быстрое преобразование Фурье массива комплексных чисел А. Возвращает массив такого

же размера, как и его аргумент 17. CFFT(A) — то же, что и в п. 16, но использует другие норму и знак 18. cholesky(M) — треугольное разложение матрицы М методом Холецкого. М = L ( U, где М — симмет-

ричная матрица, L — треугольная матрица. Возвращает L 19. cnorm(x) — интеграл от минус бесконечности до х от функции стандартного нормального распреде-

ления 20. cols(A) — число столбцов в матрице А 21. complex — ключевое слово режима автоматических символьных преобразований (см. рис. 7.9 данной

книги) 22. condl(M) — число обусловленности матрицы, вычисленное в норме L1 23. cond2(M) — число обусловленности матрицы, вычисленное в норме L2 24. conde(M) — число обусловленности матрицы, вычисленное в норме евклидового пространства 25. condi(M) — число обусловленности матрицы, основанное на равномерной норме 26. corr(vx, vy) — коэффициент корреляции двух векторов — vx и vy 27. cos(z) — косинус 28. cosh(z) — гиперболический косинус 29. cot(z) — котангенс 30. coth(z) — гиперболический котангенс 31. csc(z) — косеканс 32. csch(z) — гиперболический косеканс

18 33. csort(A, n) — сортировка матрицы А по столбцу п (перестановка строк по возрастанию значений эле-

ментов в столбце n) 34. cspline(vx, vy) — коэффициенты кубического сплайна, построенного по векторам va и vy 35. cvar(X, Y) — ковариация X и Y 36. diag(v) — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой — вектор v 37. © dbeta(x, s1, s2) — плотность вероятности для Р-распределения 38. dbinom(k, n, p) — биномиальное распределение. Возвращает значение вероятности P(x=k), где k —

случайная величина 39. ® dcauchy(x, I, s) — плотность вероятности для распределения Коши 40. dchisq(x, d) — плотность вероятности для Хи-квад-рат-распределения 41. Ф dexp(x, г) — плотность вероятности для экспоненциального распределения 42. dF(x, dl, d2) — плотность вероятности для распределения Фишера 43.Ф dgamma(x, s) — плотность вероятности для гамма-распределения 44. Ф dgeom(k, p) — то же, что и п. 38, но для геометрического распределения 45. Ф dlnorm(x, ц, о) — плотность вероятности для лог-нормального распределения

46. Ф dlogis(x, I, s) — плотность вероятности для логистического распределения 47.Ф dnbinom(k, n, p) — то же, что и п. 38, но для отрицательного биномиального распределения 48. dnorm(x, y, z) — плотность вероятности для нормального распределение 49. dpois(k, X) — то же, что и п. 38, но для распределения Пуассона 50. dt(x, d) — плотность вероятности для распределения Стьюдента 51. dunif(x, a, b) — плотность вероятности для равномерного распределения 52. Ф dweibull(x, s) — плотность вероятности для распределения Вейбулла 53. eigenvals(M) — собственные значения матрицы 54. eigenvec(M, z) — нормированный собственный вектор матрицы М, соответствующий ее собственному

значению z 55. eigenvecs(M) — матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы М. Порядок

расположения собственных векторов соответствует порядку соб.значений, возвращаемых функцией eigen-vals

56. erf(x) — функция ошибок 57. exp(z) — экспонента 58. expand — ключевое слово режима автоматических символьных преобразований 59. factor — ключевое слово режима автоматических символьных преобразований 60. Find(varl, var2, ...) — значения varl, var2 ,... , доставляющие решение системе уравнений. Число воз-

вращаемых значений равно числу аргументов 61. fft(v) — быстрое преобразование Фурье вещественных чисел, v — вещественный вектор с 2" элемен-

тами, где n — целое число. Возвращает вектор размера 2"-i+l 62. FFT(v) — то же, что и fft(v), но использует другие норму и знак 63. float — ключевое слово режима автоматических символьных преобразований 64 flоог(х) — наибольшее целое число, меньшее или равное х. х должно быть действительным 65. +genfit(vx, vy, vg, F) — вектор, содержащий параметры, которые делают функцию F от х и п парамет-

ров U0 U1... , un-1наилучшим образом аппроксимированную к данным в vx и vy. F является функцией, кото-рая возвращает вектор из п+1 элемента, содержащий f и его частные производные по его п параметрам, vx и vy должны быть того же самого размера, vg — вектор п элементов для приблизительных значений для п параметров

66. geninv(A) — левая обратная к матрице A, L • А=Е, где Е — единичная матрица размером п ( п, L — прямоугольная матрица размером п • m, A — прямоугольная матрица размером m • п)

67. genvals(M, N) — вектор обобщенных собственных значений v; матрицы M: M(x=Vj • N • х. М и N — матрицы с действительными элементами

68. genvecs(M, N) — матрица, содержащая нормированные собственные векторы, отвечающие собствен-ным значениям в v, который в векторе возвращен в genvals. п-й столбец этой матрицы является собственным вектором х, удовлетворяющим собственному значению уравнения М•х=Уд • N • х. Матрицы М и N содер-жат действительные значения

69. Given — ключевое слово, работающее в паре с функциями Find и Minerr 70. hist(iiitervals, data) — гистограмма. Вектор intervals задает границы интервалов в порядке возраста-

ния, data — массив данных. Возвращает вектор той же размерности, что и вектор intervals, и содержит число точек из data, попавших в соответствующий интервал

71.10(x) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка 72. II (х) — модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка 73. icffit(A) — обратное преобразование Фурье, соответствующее cfft. Возвращение массива такого же

размера, как и его аргумент 74. ICFFT(A) — обратное преобразование, соответствующее CFFT. Возвращение массива такого же раз-

мера, как и его аргумент

19 75. identity(n) — единичная квадратная матрица размером п 76. if(cond, х, у) — х, если cond больше 0, иначе у 77. ifft(v) — обратное преобразование Фурье, соответствующее Ж. Берется вектор размером l+2"-i, где п

— целое число. Возвращение действительного вектора размером 2" 78. IFFT(v) — обратное преобразование, соответствующее FFT. Берется вектор размером l+2 n-1, где п —

целое число. Возвращение действительного вектора размером 2° 79. Im(z) — мнимая часть комплексного числа z 80. In(m, х) — модифицированная функция Бесселя первого рода m-го порядка 81. intercept(vx, vy) — коэффициент а линейной регрессии у = а + b • х векторов vx и vy 82. interp(vs, vx, vy, х) — значение сплайна в точке х по исходным векторам vx и vy и по коэффициентам

сплайна vs 83. iwave(v) — обратное преобразование относительно преобразования wave. v — вектор размером 2" 84. J0(x) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка 85. Jl(x) — функция Бесселя первого рода первого порядка 86. Jn(m, х) — функция Бесселя т-го порядка; 0<т<100 87. К0(х) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка 88. К1(х) — модифицированная функция Бесселя первого порядка 89. Кn(m, х) — модифицированная функция Бесселя т-го порядка; 0<m<100 90. Ф ksmooth(vx, vy, b) — n-мерный вектор возвращенных средних vx, вычисленных на основе распре-

деления Гаусса, vx и vy — n-мерные векторы действительных чисел. Полоса пропускания b управляет сгла-живающими окнами

91. last(v) — индекс последнего элемента вектора v 92. lenght(v) — число элементов в векторе v 93. linfit(vx, vy, F) — коэффициенты линейной аппроксимации методом наименьших квадратов по функ-

циям, хранящимся в символьном векторе F; исходные точки хранятся в векторах vx и vy.

94. linterp(vx, vy, x) — значение в точке х линейного интерполяционного многочлена векторов vx и vy 95. literally — ключевое слово режима символьной оптимизации (см. раздел 7.3 данной книги) 96. ln(z) — натуральный логарифм 97.Ф loess(vx, vy, span) — вектор, используемый функцией interp для определения набора многочленов

второй степени, которые наилучшим образом аппроксимируют часть данных из векторов vx и vy. Аргумент span указывает размер части аппроксимируемых данных

98. Ф loess(Mxy, vz, span) — вектор, используемый функцией interp для определения набора многочленов второй степени, которые наилучшим образом аппроксимируют зависимость Z(x, у) по множеству Мху. Зна-чение Z в массиве vz. span указывает размер области, на которой выполняется локальная аппроксимация.

99. log(z) — десятичный логарифм 100. lsolve(M, v) — решение системы линейных алгебраических уравнений вида М • x==v 101. lspline(vx, vy) — коэффициенты линейного сплайна, построенного по векторам vx и vy 102. lu(M) — треугольное разложение матрицы М: Р • M=L • U. L и U — нижняя и верхняя треугольные

матрицы соответственно. Все четыре матрицы квадратные, одного порядка 103. matrix(m, n, f) — матрица, в которой (i,j)-й элемент содержит f(i,j), где i=0, 1, ... m И J=O, 1, ... n 104. max(A) — наибольший элемент в матрице А 105. mean(v) — среднее значение вектора v 106. median(X) — медиана 107. medsmooth(vy, n) — m-мерный вектор, сглаживающий vy методом скользящей медианы, vy — m-

мерный вектор вещественных чисел, n — ширина окна, по которому происходит сглаживание 108. min(A) — наименьший элемент в матрице А 109. Minerr(xl, x2,...) — вектор значений для х1, х2,..., которые приводят к минимальной ошибке в систе-

ме уравнений 110. mod(x, modulus) — остаток от деления х по модулю. Аргументы должны быть действительными.

Результат имеет такой же знак, как и х.

111. multigrid(M, n) — матрица решения уравнения Пуассона, где решение равно нулю на границах 112. norml(M) — L1 норма матрицы М 113. norm2(M) — L2 норма матрицы М 114. norme(M) — евклидова норма матрицы М 115. normi(M) — неопределенная норма матрицы М 116. optimize — ключевое слово режима символьной оптимизации (см. рис. 7.3 данной книги) 117. Ф pbeta(x, sl, s2) — значение в точке х функции стандартного нормального распределения 118. pbinom(k, n, p) — функция распределения биномиального закона для k успехов в серии n испытаний 119. Ф pcauchy(x, I, s) — значение в точке х функции распределения Коши со шкалой параметров 1 и s 120. pchisq(x, d) — значение в точке х кумулятивного Хи-квадрат-распределения, в котором d — степень

свободы 121. Ф рехр(х, г) — значение в точке х функции экспоненциального распределения

20 122. pF(x, dl, d2) — значение в точке х функции распределения Фишера 123. Ф pgamma(x, s) — значение в точке х функции гамма-распределения 124. Ф pgeom(k, p) — значение в точке х функции геометрического распределения 125. Ф plnorm(x, ц, о) — значение в точке х функции логнормального распределения, в котором ц — ло-

гарифм среднего значения, о>0 — логарифм стандартного отклонения 126.Ф plogis(x, I, s) — значение в точке х функции последовательного распределения. 1 — параметр по-

ложения. s>0 — параметр шкалы 127. Ф pnbinom(k, n, p) — значение в точке х функции отрицательного биномиального распределения, в

котором n<0 и 0<р<=1 128. рnоrm(х, ц, о) — значение в точке х функции нормального распределения со средним значением ц, и

стандартным отклонением о 129. polyroots(v) — корни многочлена степени n, чьи коэффициенты находятся в векторе v, джина ко-

торого равна n +1

130. ppois(k, ?i) — значение в точке k функции распределения Пуассона 131. Ф predict(v, m, n) — прогноз. Вектор, содержащий равноотстоящие предсказанные значения n пе-

ременных, вычисленных по m заданным в массиве v данным 132. pspline(vx, vy) — коэффициенты параболического сплайна, построенного по векторам vx и vy 133. pspline(Mxy, Mz) — вектор вторых производных для данных Мху и Mz. Этот вектор становится

первым аргументом в функции interp. Результирующая поверхность является параболической в границах области, ограниченной хордой Мху

134. pt(x, d) — значение в точке х функции распределения Стьюдента. d — степень свободы. х>0 и d>0 135. punif(x, a, b) — значение в точке х функции равномерного распределения, b и а — границы интерва-

ла. а<Ь 136. Ф pweibull(x, s) — значение в точке х функции распределения Вейбулла. s<0 137. Ф qbeta(p, sl, s2) — квантили обратного бетта-рас-пределения с параметрами формы sl и s2. 0<р<1 и

sl, s2>0 138. qbinom(p, n, q) — количество успешных определений при п-ном количестве испытаний при реше-

нии уравнения Бернулли при условии, что вероятность этого количества успешных определений есть р. q — вероятность успеха при однократном испытании. 0<q<l и 0=<p<=l

139. Ф qcauchy(p, I, q) — квантили обратного распределения Коши со шкалой параметров 1 и s. s>0 и 0<р<1

140. qchisq(p, d) — квантили обратного Хи-квадрат-рас-пределения, при котором d>0, является характе-ристикой степеней свободы. 0<р<1

141. Ф qexp(p, г) — квантили обратного экспоненциального распределения, при котором г>0, определяет частоту. 0<р<1

142. qF(p, dl, d2) — квантили обратного распределения Фишера, в котором dl и d2 — степени свободы. 0^р<1

143. Ф qgamma(p, s) — квантили обратного гамма-распределения» при котором S>0 — параметры фор-мы. 0<р<1

144. Ф qgeom(p, q) — квантили обратного геометрического распределения, q определяет вероятность ус-пеха однократного испытания. 0<р<1 и 0<=q<l

145. Ф qlnorm(p, ц, о) — квантили обратного логнор-мального распределения, при котором (А — лога-рифм среднего числа. о>0 — логарифм стандартного отклонения. 0<р<1

146. Ф qlogis(p, I, s) — квантили обратного последовательного распределения. 1 — параметр положения. s>0 — параметр шкалы. 0<р<1

147. Ф qnbinom(p, n, q) — квантили обратного отрицательного биномиального распределения с разме-ром n и вероятностью ошибки q. 0<q<l и 0<р<1

148. qnorm(p, ц, о) — квантили обратного нормального распределения со средним значением ц и стан-дартным отклонением о. 0<р<1 и о>0

149. qpois(p, К) — квантили обратного распределения Пуассона. k>0 и O<=p<=l 150. qr(A) — разложение матрицы A, A=Q • R, где Q — ортогональная матрица и R — верхняя треуголь-

ная матрица 151. qt(p, d) — квантили обратного распределения Стьюдента. d определяет степени свободы. d>0 и

0<р<1 152. qunif(p, a, b) — квантили обратного равномерного распределения, b и а — конечные значения ин-

тервала. а<Ь и 0<р<1 153. Ф qweibull(p, s) — квантили обратного распределения Вейбулла. s>0 и 0<р<1. 154. rank(A) — ранг матрицы А 155. Ф rbeta(m, sl, s2) — вектор m случайных чисел, имеющих бетта-распределение. sl, s2>0 являются па-

раметрами формы 156. rbinom(m, n, p) — вектор m случайных чисел, имеющих биномиальное распределение. 0<р<1. n —

целое число, удовлетворяющее п>0

21 157. Ф rcauchy(m, I, s) — вектор m случайных чисел, имеющих распределение Коши. 1 и s>0 — парамет-

ры шкалы 158. rchisq(m, d) — вектор m случайных чисел, имеющих Хи-квадрат-распределение. d>О определяет сте-

пени свободы

159. Re(z) — действительная часть комплексного числа 160. READ(file) — присваивание простой переменной значения из файла с именем file.prn 161. READBMP(file) — массив, содержащий черно-белое представление изображения, содержащегося в

файле file 162. READPRN(file) — присваивание матрице значений из файла с именем file.prn 163. READRGB(file) — массив, состоящий из трех под-массивов, которые представляют красную, зеле-

ную и синюю компоненты цветного изображения, находящегося в файле file 164. regress(Mxy, vz, n) — вектор, запрашиваемый функцией interp для вычисления многочлена n-й степе-

ни, который наилучшим образом приближает множества Мху и vz. Мху — матрица m • 2, содержащая коор-динаты х-у. vz — m-мерный вектор, содержащий z координат, соответствующих m точкам, указанным в Мху

165. ге1ах(М1, М2, МЗ, М4, М5, A, U, х) - квадратная матрица решения уравнения Пуассона 166. reverse(v) — перевернутый вектор v 167. Ф rexp(m, r) — вектор m случайных чисел, имеющих экспоненциальное распределение. г>0 является

частотой 168. rF(m, dl, d2) — вектор m случайных чисел, имеющих распределение Фишера, dl, d2>0 определяет

степени свободы 169. Ф rgamma(m, s) — вектор m случайных чисел, имеющих гамма-распределение. s>0 — параметр

формы 170. Ф rgeom(m, p) — вектор m случайных чисел, имеющих геометрическое распределение. 0<р<=1 171. Ф rkadapt(v, xl, х2, асс, n, F, k, s) — матрица, содержащая таблицу значений решения задачи Коши

на интервале от xl до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленных методом Рун-ге-Кутта с переменным шагом. Правые части системы записаны в F, n — число шагов, k и s — размеры шага

172. Ф Rkadapt(v, xl, х2, n, F) — матрица решений методом Рунге-Кутта (с переменным шагом) системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части

которых записаны в символьном векторе F, на интервале от xl до х2; n — число шагов 173. Ф rkfixed(v, xl, х2, n, F) — матрица решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных диффе-

ренциальных уравнений, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от xl до х2; n — фиксированное число шагов

174. Ф rlnorm(m, ц, а) — вектор m случайных чисел, имеющих логарифмическое нормальное распреде-ление, в котором ц — логарифм среднего значения.а>0 — логарифм стандартного отклонения

175. Ф rlogis(m, I, s) — вектор m случайных чисел, имеющих последовательное распределение, в котором 1 — локализационный параметр и s>0 — параметр шкалы

176. Ф rnbinom(m, п, p) — вектор m случайных чисел, имеющих негативное биномиальное распределе-ние. 0<=р<=1. n — целое число, которое удовлетворяет условию n>0

177. rnd(x) — псевдослучайное число в диапазоне от нуля до х 178. rnorm(m, ц, а) — вектор m случайных чисел, имеющих нормальное распределение 179. гооt(ехрг, var) — значение переменной var, при которой выражение exspr равно нулю (в пределах

точности TOL) 180. rows(A) — число строк в матрице А 181. rpois(m, 'k) — вектор m случайных чисел, имеющих распределение Пуассона. Х>0 182. rref(A) — ступенчатый вид матрицы А 183. rsort(A, n) — сортировка матрицы А по строке n (перестановка столбцов по возрастанию значений

элементов в строке n) 184. rt(m, d) — вектор m случайных чисел, имеющих распределение t-Стьюдента. d>0 185. runif(m, a, b) — вектор m случайных чисел, имеющих равномерное распределение, в котором b и а

— границы интервала и а<Ь 186. Ф rweibull(m, s) — вектор m случайных чисел, имеющих распределение Вейбулла, в котором S>0 и

является параметром формы

187. ® sbval(v, xl, x2, F, L, S) — установка начальных условий для краевой задачи, определенной в сим-вольном векторе F, вектор v — начальные условия на интервале xl, x2

188. sec(z) — секанс 189. sech(z) — гиперболический секанс 190. series — ключевое слово режима автоматических символьных преобразований (см. рис, 7.9 данной

книги)

22 191. simplify — ключевое слово режима автоматических символьных преобразований (см. рис. 7.9 данной

книги) 192. sin(z) — синус 193. sinh(z) — гиперболический синус 194. slope(vx, vy) — коэффициент b линейной регрессии у = а + Ь • х векторов vx и vy 195. sort(v) — сортировка элементов вектора v по убыванию 196. stack(A, В) — множество, сформированное путем расположения А над В. Множества А и В должны

иметь одинаковое число столбцов 197. stdev(v) — стандартное отклонение элементов вектора v 198. Ф stiffb(v, xl, x2, асе, n, F, J, k, s) — матрица решений stiff-дифференциального уравнения, записан-

ного в F и функции Якобиана J. v — вектор начальных значений на интервале [xl, x2]; используется метод Bulirsch-Stoer с переменным шагом

199. Ф Stiffb(v, xl, x2, n, F, J) — матрица решений stiff-дифференциального уравнения, записанного в F и функции Якобиана J. v — вектор начальных значений на интервале [xl, x2]; используется метод Bulirsch-Stoer

200. Ф stiffr(v, xl, x2, асе, n, F, J, k,'s) — матрица решений stiff-дифференциального уравнения, записан-ного в F и функции Якобиана J. v — вектор начальных значений на интервале [xl, x2]; используется метод Розен-брока с переменным шагом

201. Ф Stiffr(v, xl, x2, n, F, J) — матрица решений stiff-дифференциального уравнения, записанного в F и функции Якобиана J. v — вектор начальных значений на интервале [xl, x2]; используется метод Розенброка

202. submatrix(A, ir, jr, ic, jc) — блок матрицы А, состоящий из элементов, общих для строк от ir до jr и столбцов от ic до jc. Для того чтобы сохранить порядок строк и (или) столбцов, нужно быть уверенным в том, что ir>jr и ic>jc, в противном случае порядок строк и (или) столбцов будет изменен

203. Ф supsmoot(vx, vy) — n-мерный вектор, сглаживающий зависимость у от х. Значения у и х в векто-рах vy и vx

204. svd(A) — сингулярное разложение матрицы А размером n • m: A=U • S • V7", где U и V — ортого-нальные матрицы размером m • m и n • n соответственно. S — диагональная матрица, на диагонали сингу-лярные числа матрицы А

205. svds(A) — вектор, содержащий сингулярные числа матрицы А размером m • n, где m£n 206. tan(z) — тангенс 207. tanh(z) — гиперболический тангенс 208. tr(M) — расположенные на главной диагонали элементы квадратной матрицы М (след матрицы) 209. until(выражение 1, выражение 2) — выражение 1, пока выражение 2 отрицательное 210. var(v) — вариация элементов вектора v 211. wave(v) — дискретное волновое преобразование действительных чисел с использованием 4-

коэффициент-ного волнового фильтра Добиши. Вектор v должен содержать 2" действительных значений, где n — целое число

212. WRITE(file) — отдельное значение, записанное в файл данных под именем file 213. WRITEBMP(file) — шкала яркости выходного файла матрицы BMP 214. WRITEPRN(ffle) — вывод матрицы в файл file 215. WRITERGB(Hle) — цветной массив BMP битов, выведенный из массива, образованного путем

слияния трех массивов, дающих красное, зеленое и синее значения, которые формируют массив битов 216. Y0(x) — функции Бесселя второго рода нулевого порядка; х — действительное и положительное

число; m - от 0 до 100

217. Yl(x) — функции Бесселя второго рода первого порядка; х — действительное и положительное чис-ло; m — от 0 до 100

218. Yn(m, x) — m-й порядок функции Бесселя второго рода; х — действительное и положительное чис-ло; m — от 0 до 100

219. S(x, у) — символ Кронекера (1, если х=у, и 0, ес-ли х=\ у; х и у — целочисленные величины) 220. e(i, j, k) — полностью асимметричный тензор размерности три. i, j и k должны быть целыми числами

от 0 до 2 (или между ORIGIN и ORIGIN(2, если ORIGIN=\O). Результат равен 0, если любые два равны, 1 — если три аргумента являются четной перестановкой (О, 1, 2), и минус 1, если три аргумента являются пере-становкой (0, 1,2), кратной 2 и некратной 4

221. Г(z) — гамма-функция 222. Ф(х) — 1, если х>=О, и 0 в противном случае (функция Хевисайда)

23

4. Сообщения об ошибках Это приложение является алфавитным списком диагностических сообщений об ошибках в математиче-

ских выражениях. Они появляются при попытке ввода, обработки или вычисления выражения, в котором Mathcad обнаруживает ошибку. Для описания диагностических сообщений по работе символьного процес-сора см. главу «Символьные вычисления». Если Mathcad находит ошибку при попытке вычисления функции, определенной пользователем, он по-

мечает сообщением об ошибке имя функции, а не ее определение. В этом случае проверьте определение функции, чтобы понять, что вызвало ошибку. Вложенные блоки — ключевое слово Given использовано дважды в строке без последующих Find или

Minerr. Mathcad не разрешает вложенные блоки решения уравнений, хотя можно определить функции через блоки решения уравнений и затем использовать их в других блоках решения уравнений. См. главу «Решение уравнений»; Диапазон недопустим — попытка использования дискретного аргумента внутри блока решения уравне-

ний. Чтобы решать систему уравнений для многих значений параметров, см. раздел «Как лучше искать кор-ни» на стр. 353; Дисбаланс скобок (unmatched parenthesis) — вы ввели или пытались вычислить выражение, содержа-

щее левую скобку без соответствующей ей правой. Исправьте выражение, удалив левую скобку или поста-вив в нужном месте правую; Длинное выражение в символах — результат символьного преобразования настолько длинен, что не

может быть помещен в рабочий документ; Длинный входной список (list too long) — введено слишком много элементов в списке, разделенном за-

пятыми. Это может произойти при попытке вывести на график больше выражений, чем допускается Mathcad, или при попытке создать таблицу с более чем пятьюдесятью элементами; Должен быть диапазон (must be range) — что-либо, не являющееся дискретным аргументом, использовано в месте, где он требуется, например, в качестве индекса для суммирования. Индекс для суммирования рас-полагается под знаком суммы и должен быть предварительно определен как дискретный аргумент; Должна быть квадратной — это сообщение об ошибке отмечает неквадратную матрицу в операции, в ко-торой требуется квадратная, например, при вычислении детерминанта, обращении или возведении матрицы в степень; Должно быть безразмерным (must be dimensionless) — указанное выражение имеет размерность, хотя си-туация требует, чтобы оно было безразмерным. Единицы измерения нельзя использовать для аргументов некоторых функций (например, cos и In) или в показателе степени. Например, выражение co5(lL) является недопустимым; Должно быть вектором (must be vector) — это сообщение отмечает скаляр или матрицу в операции, тре-бующей векторный аргумент; Должно быть вещественным (must be real) — мнимое или комплекснозначное выражение использовано там, где Mathcad требует вещественнозначное выражение. Например, Mathcad требует вещественнозначные аргументы для некоторых встроенных функций и вещественнозначные индексы; Должно быть возрастающим (must be increasing) — вектор, элементы которого не расположены в порядке строгого возрастания, использован в качестве аргумента одной из функций Ispline, pspline, cspline, interp, linterp и hist. Первый аргумент этих функций должен быть вектором со строго возрастающими элементами. ( При этом следует помнить о том, что, если ORIGIN есть О, Mathcad включает в число элементов вектора элемент с нулевым индексом, и если он не определен явно, его значение полагается равным нулю);

Должно быть массивом (must be array) — попытка выполнить операцию, которую можно выполнять только на массиве, со скаляром. Например, можно увидеть это сообщение об ошибке при попытке транспо-нировать число, поскольку в таком контексте операция транспонирования не имеет смысла; Должно быть многомерным массивом — следует использовать матрицу, имеющую более чем одну

строку либо более чем один столбец; Должно быть ненулевым (must be nonzero) — попытка вычислить встроенную функцию от нуля, хотя

для нуля она не определена; Должно быть положительным (must be positive) — это сообщение отмечает чертеж, в котором одна из

границ по оси, использующей логарифмический масштаб, равна нулю или отрицательна. Mathcad может выводить на график вдоль логарифмической оси только положительные значения; Должно быть скаляром (must be scalar) — векторное или матричное выражение использовано там, где

требуется скаляр, например в качестве аргумента функции identity; Должно быть трехмерным вектором (must be 3-vector) — попытка найти векторное произведение от

операндов, не являющихся трехмерными векторами. Векторное произведение определено только для векто-ров с тремя элементами; Должно быть целым (must be integer) — использовано нецелое выражение там, где требуется целое, на-

пример как аргумент функции identity или как индекс, нижний или верхний. (Хотя можно определять дис-

24 кретные аргументы с дробными значениями, например х:=1, 1.1 .. 10 — их нельзя использовать как нижние индексы.); Допустим только один массив (only one array allowed) — попытка ввести более чем один массив в поле

ввода для карты линий уровня. Mathcad в этом случае допускает не более чем один массив, поскольку карта линий уровня может представлять не более чем одну функцию одновременно;

Дублирование (duplicate) — попытка определить одну переменную дважды в одном определении. Это со-общение появляется, когда вы создаете вектор по левую сторону определения и используете одно имя в этом векторе дважды; Индекс вне границ (index out of bounds) — это сообщение помечает индекс, ссылающийся на несущест-вующее значение массива. Такое сообщение можно видеть при использовании отрицательного верхнего или нижнего индекса (или индекса, меньшего, чем ORIGIN, если ORIGIN > 0) либо при использовании верхнего или нижнего индекса для ссылки на элемент массива с номером, большим, чем возможно согласно опреде-лению в документе; Мало нижних индексов (too few subscripts) — для матрицы использован один нижний индекс. Указание на элементы матрицы возможно при помощи двух нижних индексов, разделяемых запятой; Не может быть определено (cannot be denned) — слева от символа определения (:=) помещено неопреде-ляемое выражение. Mathcad допускает следующие виды выражений слева от символа определения:

-Простое имя переменной: х -Имя переменной с нижним индексом: х; -Имя переменной с верхним индексом: x<l> -Матрица имен переменных, порожденная нажатием [Ctri]M. Матрица может содержать лишь простые

имена переменных или имена переменных с нижними индексами -Имя функции с аргументами: j(x, у) -Использование других видов выражений некорректно. Если нужно вычислить результат вместо опреде-

ления переменной, следует поставить знак равенства (=) вместо нажатия двоеточия; Не содержит верхних индексов (cannot take subscript) — верхний индекс использован не для матрицы, а для чего-то другого; Не содержит нижних индексов (cannot take subscript) — нижний индекс использован не для вектора или матрицы, а для чего-то другого; Не является именем (not a name) — число или другая комбинация символов использованы там, где Math-cad требует имя, например как второй аргумент функции root. Примеры того, что не является именем:/(X)) (функция), 3 (число), х + 2 (выражение); Неверная операция с массивом (illegal array operation) — 'попытка применить к вектору или матрице функцию или оператор, которые требуют скалярные аргументы. Например, это сообщение можно видеть при попытке применения функции синус к квадратному корню из матрицы Если же нужно применить опе-ратор или функцию к каждому элементу матрицы, используйте оператор векторизации, как описано в главе «Векторы и матрицы»; Неверное имя функции (illegal function name) — использовано выражение, которое Mathcad интерпрети-рует как функцию, но имя функции неверно. Это сообщение появится, например, в случае использования числа как имени функции: 6(х). Чаще всего оно возникает, если пропущен оператор типа *, что заставляет Mathcad интерпретировать скобки в выражении как признак функции, а не как группирование операций; Неверное употребление ORIGIN (illegal ORIGIN) — ORIGIN определен через нецелое значение или зна-чение с величиной, большей 16 000 000. Это сообщение отмечает первое использование индекса после не-верного употребления ORIGIN; Неверный контекст (illegal context) — оператор или функция использованы в контексте, запрещаемом Mathcad. Например, это сообщение можно видеть в следующих случаях:

-точка с запятой использована где-либо вне корректного определения диапазона. (Точка с запятой в этом случае выводится на экран как многоточие.) Можно использовать точку с запятой только в определении диапазона для дискретного аргумента -функции WRITE или APPEND использованы где-либо вне левой стороны определения. Эти функции не мо-гут применяться в выражениях или в правой части определения -имя существующей функции использовано как имя переменной или имя существующей переменной ис-пользовано как имя функции; Неверный множитель (illegal factor) — в поле ввода единиц в конце выражения, возвращающего числен-ный результат, введено неверное выражение. Допустимы вещественные ненулевые скалярные значения;

Неверный порядок (invalid order) — отмечает попытку вычислить производную с указанным порядом, который не является целым числом от 0 до 5 включительно; Неверный размер вектора (wrong size vector) — это сообщение указывает на функцию преобразования

Фурье, аргумент которой имеет число элементов, отличное от допустимого, fft требует в качестве аргумента вектор с количеством элементов 2°, где п — целое число, большее 1. ifft требует вектор с 1+2" элементами, где n — целое число, большее 0. Если ORIGIN равен нулю, Mathcad автоматически включает элемент с ну-левым индексом как компоненту вектора-аргумента;

25 Некорректная точность аппроксимации (illegal tolerance) — это сообщение отмечает выражение, ис-

пользующее TOL интеграл, или вхождения Root, Find или Minerr, для которых TOL 3> 1 или TOL <^ 0. Для устранения этой ошибки нужно где-либо выше отмеченного выражения установить значение TOL между нулем и единицей;

Неопределенная размерность — выражение с единицами измерения возводится в степень, включаю-щую дискретный аргумент или вектор. Mathcad не может определить размерность результата, который бу-дет изменяться в зависимости от показателя степени. Если выражение имеет размерность, его можно воз-водить только в степень с фиксированным вещественным показателем;

Не определено (undefindet) — показанное в негативном изображении имя функции или переменной не оп-ределено. Чтобы его определить, введите имя переменной с последующим двоеточием (:) и выражение или число, ее определяющее. Это сообщение часто означает, что для определения переменной использован знак равенства (=) вместо двоеточия. Для создания определения следует использовать двоеточие. Если использу-ется знак равенства, Mathcad считает, что нужно вычислить значение переменной. Это сообщение также появляется при некорректном использовании переменной в глобальном определении. Если переменная ис-пользуется в правой части глобального определения, она должна быть определена глобально выше него. Если используется локально определенная переменная или переменная, глобальное определение которой находится ниже места ее использования, Mathcad отмечает, что переменная не определена. Сообщение «не определено» часто указывает на то, что где-то выше в рабочем документе содержится ошибка. Если опреде-ление некорректно, то ниже в документе любые выражения, зависящие от этого определения, показываются в негативном изображении; Неправильный диапазон (illegal range) —дискретный аргумент определен неправильно. При определении диапазона следует использовать одну из следующих форм записи: Rval:=nl .. п2 Rval:=nl, n2 .. п2 Это набирается нажатием клавиш Rval:nl;n2 и Rval:nl,n2;n2 соответственно. В определении диапазона до-пустимо использовать максимум одну запятую и одну точку с запятой. Если используется вторая форма записи, величина п2 должна лежать между значениями п\ и п3, но не равняться п\;

Нескалярная величина (no scalar value) — вектор или выражение, содержащее дискретный аргумент, ис-пользуются там, где требуется скалярная величина. Например, можно увидеть это сообщение при попытке ввести равенство вида х := /, если / — дискретный аргумент. Нельзя определить один дискретный аргумент через другой непосредственно, для этого следует использовать выражения, подобные xi. Данная ошибка часто возникает при построении графиков, если ввести в поле ввода имя вектора х вместо xi; Несовместимые единицы (incompatible units) — отмечает выражение, в котором складываются, вычита-ются или выполняются иные операции с выражениями, имеющими различную размерность. Например, это сообщение об ошибке можно видеть при попытке: -сложить или вычесть два выражения, имеющие различную размерность, например 3 кг + 5 сек -создать вектор, матрицу или таблицу, в которой не все элементы имеют одинаковую размерность

-создать чертеж, в котором два выражения, имеющие различную размерность, откладываются по одной оси;

Несовпадение размеров массивов (array size mismatch) — попытка произвести операцию с векторами или матрицами, размеры которых не подходят для этой операции. Многие операции требуют, чтобы их вектор-ные аргументы были одного размера, например произведение или функции linterp и со/г. Сложение и вычи-тание векторов и матриц тоже требуют соответствия размерности. Умножение матриц требует, чтобы коли-чество столбцов первой матрицы совпадало с количеством строк второй; Нет соответствующего Given (no matching Given) — это сообщение указывает на функции Find или Min-err без соответствующего им слова Given. Каждый блок решения уравнений, начинающийся со слова Given, должен оканчиваться словом Find или Minerr; Неуместная запятая (misplased comma) — запятая использована там, где ее не должно быть. Можно ис-пользовать запятую в одном из следующих случаев:

-для разделения аргументов функций -для разделения первых двух элементов диапазона в определении дискретного аргумента -для разделения величин, откладываемых на чертеже вдоль одной оси -для разделения элементов в таблице ввода -для разделения нижних индексов элемента матрицы. Использование запятой для любых других целей в Mathcad недопустимо; Особенность — попытка вычислить функцию или выполнить операцию с недопустимым значением. На-

пример, это сообщение можно видеть при делении на ноль или попытке обратить вырожденную матрицу (с нулевым определителем); Отсутствует сходимость — Mathcad не способен вычислить результат интегрирования, дифференциро-

вания, функции root, Find или Minerr с требуемой точностью. Для дополнительной информации см. описа-ния соответствующих операторов и функций;

26 Ошибка в блоке (error in solve block) — можно видеть это сообщение при вычислении пользователь-

ской функции, выражаемой через блок решения уравнений, содержащий ошибку. Для устранения данной ошибки устраните ошибку в блоке решения уравнений. (Если использовать блок решения уравнений непо-средственно, не определяя через него функцию, можно получить детализированное диагностическое сооб-щение.);

Ошибка в константе (error in constant) — Mathcad интерпретирует указанное выражение как некоррект-ную константу. Mathcad воспринимает все начинающееся с цифры как константу. Если ввести цифру и не-посредственно за ней несколько букв, Mathcad интерпретирует это как некорректную константу. Полный список всех возможных корректных форм констант приведен в разделе «Окончания чисел» приложения; Ошибка в списке (error in list) — указанная функция содержит некорректный список аргументов. Пра-вильное определение функции начинается таким образом: цх, у, z ...) := Список аргументов в скобках может состоять из одного или нескольких имен, разделенных запятой. Лю-бой другой вид списка неправилен. Это сообщение об ошибках появляется также, если создан недо-пустимый список в другом контексте, например в списке выражений для оси ординат графика;

Ошибка области определения (domain error) — попытка вычислить значение функции, имеющей аргу-мент, выходящий за область определения. Например, попытка вычислить 1п(0). Ошибка файла (file error) — система столкнулась с ошибкой при чтении файла с помощью функции READ или READPRN. См. главу «Файлы данных», где описаны допустимые форматы файлов данных; Переполнение стека определений (definition stack overflow) — использовано слишком мнот о вложенных функций; Переполнение стека (stack overflow^ — вычисление выражения привело к переполнение внутреннего сте-ка Mathcad. Это может быть результа 'ом слишком сложного выражения или рекурсивного с пределения функции; Переполнение (overflow) — попытка вычислить выражение, которое превосходит наибольшее число, кото-рое может быть представлено Mathcad (примерно 10307). Это может случиться не только когда велик сам по себе конечный результат, но и в случае превышения этого предела любым промежуточным результатом;

Потеряны значащие цифры (significance lost) — это сообщение отмечает попытку вывести функцию от величины, которая лежит за пределами диапазона, где зна чение функции может быть вычислено точно. На-пример, оно появится при попытке вычислить sin (10100) . Поскольку величина sin (IQi00) зависит от совер-шенно определенных цифр числа IQi00, то любое значение, которое Mathcad сможет вернуть, не будет иметь значащих цифр. Вместо возвращения результата, точность которого не обоснована, Mathcad выдает данное сообщение; Прервано (interrupted) — вы прервали Mathcad нажатием клавиши [Esc] при выполнении вычислений. Для пересчета помеченного выражения щелкните мышью на выражении и нажмите [F9]; Пропущенный знак операции (missing operator) — в выражении или уравнении пропущен один из знаков операции; Пропущенный операнд (missing operand) — в выражении пропущен один из операндов. Например, это сообщение можно видеть при вводе знака плюс без ввода слагаемых и последующем нажатии знака равен-ства. Mathcad показывает поле ввода (маленький прямоугольник) на месте пропущенного операнда; Размерность в невещественной степени — выражение с единицами измерений возведено в комплексно-знач-ную или мнимую степень. Если выражение имеет размерность, оно может быть возведено только в ве-щест-веннозначную степень, иначе Mathcad не может определить единицы, в которых выражен результат; Решение не найдено (did not find solution) — Mathcad не нашел решения системы уравнений. Чтобы блок решения уравнений выдал в качестве решения приближающий результат, используйте функцию Minerr вме-сто функции Find. Подробнее см. главу «Решение уравнений»; Слишком большое выражение (equation too large) — для вычисления в Mathcad введено слишком боль-шое выражение. Разделите выражение на два или более подвыражений; Слишком большой нижний индекс (subscript too large) — попытка использовать нижний индекс, превы-шающий пределы, допускаемые Mathcad; Слишком велико, чтобы отобразить (too large to display) — попытка вывести вектор или матрицу разме-ра больше, чем допускается Mathcad;

Слишком мало аргументов (too few arguments) — указанное выражение содержит функцию со слишком малым количеством аргументов. Для встроенных функций число аргументов фиксировано; см. главу «Встроенные функции». Для функций пользователя число параметров зависит от определения, сделанного в рабочем документе; Слишком мало ограничений (too few constraints) — это сообщение указывает на Find или Given с количе-ством ограничений, меньшим числа переменных. Добавьте несущественные ограничения или уменьшите число переменных, относительно которых ищется решение. Подробнее см. главу «Решение уравнений»; Слишком мало элементов (too few elements) — это сообщение указывает на преобразование Фурье, куби-ческий сплайн или функцию линейной интерполяции, применяемую для вектора со слишком малым количе-

27 ством компонентов. Преобразование Фурье и обратное к нему требуют как минимум четыре элемента век-тора; Слишком много аргументов (too many arguments) — указанное выражение содержит функцию со слиш-ком малым количеством аргументов. Для встроенных функций число аргументов фиксировано; см. главу «Встроенные функции». Для функций пользователя число параметров зависит от определения, сделанного в рабочем документе; Слишком много индексов (too many subscripts) — использовано два или более нижних индекса для век-тора либо три или более индекса для матрицы; Слишком много ограничений (too many constraints) — в блоке решения уравнений используются более пятидесяти ограничений; Слишком много точек (too many points) — попытка вывести на график точек больше, чем Mathcad может обработать для одного графика;

Слишком много файлов — открыто слишком много файлов с использованием таких функций доступа к файлам, как WRITEPRN, READPRN, или других функций этого типа. Одновременно таким образом может быть открыто не более 30 файлов. Выберите команду Присоединить к файлу из меню Файл, введите имя од ной из используемых файловых переменных и нажмите «Отсоединить»; Только символьный оператор — попытка получить численный результат у выражения, которое должно быть вычислено только символьно. Некоторые операторы должны вычисляться только символьно, как опи-сано в главе 17 «Символьные вычисления»; Файл не найден (file not found) — система не нашла файла данных, указанного в качестве параметра для функции READ или READPRN, либо для импорта в графическую область.

5. Алфавитный указатель англоязычных сообщений об ошиб-ках

array size mismatch — несоответствие размера массива. cannot be defined — не может быть определено cannot take subscript — не содержит верхних (нижних) индексов definition stack overflow — переполнение стека определений did not find solution — решение не найдено dimension to поп real power — размерность массива — не целое число domain error — ошибка области определения duplicate — дублирование equation too large — слишком большое выражение error in constant — ошибка в константе error in list — ошибка в списке error in solve block — ошибка в блоке file error — ошибка файла file not found — файл не найден illegal array operation — неверная операция с массивом illegal coatext — неверный контекст illegal factor — неверный множитель illegal function name — неверное имя функции illegal OMGIN — не-верное употребление ORIGIN illegal range — неправильный диапазон illegal tolerance — некорректная точность аппроксимации incompatible units — несовместимые единицы index out of bounds — индекс вне границ interrupted — прервано invalid order — неверный порядок list too long — длинный входной список misplased comma — неуместная запятая missing operand — пропущенный операнд missing operator — пропущенный знак операции must be 3-vector — должно быть трехмерным вектором must be array — должно быть массивом must be dimensionless — должно быть безразмерным must be increasing — должно быть возрастающим must be integer — должно быть целым

28 must be nonzero — должно быть ненулевым must be positive — должно быть положительным must be range — должен быть диапазон must be real — должно быть вещественным must be scalar — должно быть скаляром must be vector — должно быть вектором nested solve block — следующий блок решения no matching Given — нет соответствующего Given по scalar value — нескалярная величина not a name — не является именем not converging — не конвертируется only one array allowed — допустим только один массив overflow — переполнение significance lost — потеряны значащие цифры singularity — деление на нуль stack overflow — переполнение стека subscript too large — слишком большой нижний индекс too few arguments — слишком мало аргументов too few constraints — слишком мало ограничений too few elements — слишком мало элементов too few subscripts — мало нижних индексов too large to display — слишком велико, чтобы отобразить too many arguments — слишком много аргументов too many constraints — слишком много ограничений too many points — слишком много точек too many subscripts — слишком много индексов undefindet — не определено unmatched parenthesis — дисбаланс скобок wrong size vector — неверный размер вектора