Sid 1-1

Krafter och moment 1

Inledning 1.1

Förståelsen för hur olika typer av krafter påverkar strukturer i vår omgivning är grundläggande för ingenjörsvetenskapen inom byggnadskonsten.

Gravitationskraften är en kraft som en kropp påverkar andra kroppar med i dess omgivning. Två partiklar med massorna m och M attraherar varandra med kraften F enligt Newtons gravitationslag:

2

mMF G

r (1.1)

där r är avståndet mellan partiklarna och 116.673 10G Nm2/kg2. Om vi antar att jorden är

cirkelrund, M står för jordens massa och att partikeln med massan m befinner sig på jordens yta, dvs. r är avståndet från jordens yta till dess medelpunkt, kan vi teckna ett uttryck för tyngdkraften:

F mg (1.2)

där 2 9.81g GM r m/s2. Dvs. alla föremål på jorden påverkas av en tyngdkraft som är

proportionell mot dess massa.

Elastiska krafter uppstår när en kropp är i kontakt med ett elastiskt medium av något slag. Kraftens storlek beror på mediets elastiska deformation. Det enklaste exemplet är en kropp som är fäst i ena ändan av en elastisk fjäder. Fjädern har en viss naturlig längd (l) då den är ospänd.

Om man förlänger fjädern en sträcka strävar den efter att återta sin naturliga längd genom att påverka kroppen med en kraft P :

P k (1.3)

För en ideal fjäder gäller att kraften P kommer att vara direkt proportionell mot förlängningen . Proportionalitetskonstanten k kallas fjäderkonstant eller styvhet.

Andra exempel på kontaktkrafter som uppstår när kroppar är i kontakt är t.ex. en kropp som hänger i en lina eller en kropp som glider eller vilar på ett lutande plan.

I det första exemplet vill tyngdkraften F dra kroppen nedåt men kontaktkraften S i linan håller den kvar. Kroppen på ett lutande plan påverkas av tyngdkraften F nedåt, kontaktkraften Rn vinkelrätt planet och friktionskraften Rf parallellt det lutande planet. Beroende på storleken på friktionen och vinkeln på lutningen kommer kroppen att glida eller vara i vila.

m M F

r

l

P

S Rf

F

F

Rn

Krafter och moment Sid 1-2

En kraft kan vara koncentrerad, s.k. punktkraft, eller fördelad över en viss yta eller volym. Exempel på fördelade krafter är trycket på en yta som utövas på en kropp nedsänkt i en vätska eller gravitationen som påverkar varje liten del av ett materiellt system. Ofta kan man approximera en fördelad kraft som t.ex. gravitationen genom att summera alla fördelade krafter till en punktformig tyngdkraft som angriper i masscentrum av kroppen

Koncentrerade krafter 1.1.1

Innan vi går in och studerar system av krafter är det nödvändigt att undersöka egenskaperna av en enskild punktkraft. Betrakta fästet för en kabel i Figur 1.1

Figur 1.1 Kabelfästet påverkas av en punktkraft P.

En punktkraft har en storlek (P), riktning i rummet och en angreppspunkt (A). En kraft kan i matematiska termer beskrivas som en vektor med komponenter i x och y riktningen:

2 2

cos

sin

x y

x y

x

y

P P

P P P

P P

P P

P

P (1.4)

I fortsättningen kommer vi att använda fet stil, t.ex. P, när vi använder vektorbegreppet för

krafter medan motsvarande skalära storhet, P, avser vektorns belopp P P . En direkt följd av

att krafter kan beskrivas matematiskt som vektorer är att vi kan använda vektoralgebra. Om vi försummar kroppens egen deformation, dvs. vi betraktar en stel (odeformerbar) kropp kan vi definiera ett antal tillåtna elementaroperationer för kraftvektorer:

Två krafter med gemensam angreppspunkt får adderas enligt parallellogramlagen. Omvänt gäller också att krafter får delas upp i komposanter längs två valfri riktningar:

1 2R F F (1.5)

där summan R kallas resultanten till F1 och F2.

x

y

Py

Px

P

R

F2 F1

Krafter och moment Sid 1-3

En kraft kan förskjutas längs sin verkningslinje utan att dess totala verkan på en stel kropp förändras. T.ex. från punkten a till b.

Om två lika stora krafter, men motsatt riktade krafter, F och -F, har gemensam verkningslinje kan dessa adderas med resultanten noll. Omvänt kan två lika stora motriktade krater med gemensam verkningslinje införas utan att totalpåverkan förändras.

Exempel 1.1

Beräkna resultanten (R) av kraften P och T som angriper i punkten B i strukturen i Figur 1.2.

Figur 1.2 Exempel 1.1

Grafisk lösning

Parallellogrammet i Figur 1.3 är konstruerat så

att 1 cm motsvarar 400N. Vinkel fås ur:

6sin60tan 0.866; 40.9

3 6cos60

BD

ADGenom att mäta i figuren kan man approximativt bestämma storlek och riktning

på R: 525 N 49R

Figur 1.3 Exempel 1.1, grafisk lösning

Komposantuppdelning

Genom att dela upp krafterna i x och y komponenter:

800 600cos40.9 346N

600sin 40.9 393N

x x x

x

y y y

y

R F P T

R

R F T

R

a

F b

a

F b

a

F

b

-F

a

F

b

-F

Krafter och moment Sid 1-4

Storlek och riktning fås sedan från:

2 22 2

-1 -1

346 393 524N

393=tan tan 48.6

346

x y

y

x

R R R

R

R

Figur 1.4 Exempel 1.1, komponent-uppdelning

Moment 1.2

Från vardagslivet känner vi igen flera situationer där vi har nytta av en krafts vridförmåga. T.ex. när du skruvar i en skruv eller använder en skiftnyckel.

Figur 1.5 Skiftnyckel utnyttjar kraftmoment när muttern dras åt

Det visar sig i praktiken att produkten av kraften F och distansen d är avgörande för förmågan att dra åt/lossa muttern i Figur 1.5. En dubbelt så stor kraft, 2F, som appliceras på halva avståndet

2d ger alltså samma vridförmåga. Momentet definieras alltså

som:

M Fd (1.6)

där F är kraften och d är avståndet från vridcentrum (0-axeln) vinkelrätt kraftens verkningslinje. Avståndet d kallas också för hävarm. Ett positivt moment strävar efter att vrida kroppen moturs och ett negativt moment medurs. Det finns en enkel tumregel man kan använda för att definiera positiv riktning på momentet:

Ta höger hand och låt tummen peka i den positiva riktningen av momentaxeln (här 0 - axeln) och fingrarna krökta runt axeln. Den positiva momentriktningen sammanfaller med fingrarnas krökning, se Figur 1.6.

Vi har tidigare sagt att det spelar ingen roll om man betraktar verkan av en kraft eller verkan av dess komposanter. Resultatet blir detsamma.

För att detta skall vara korrekt måste också följande princip enligt Varignon's teorem gälla:

En krafts moment med avseende på en viss axel är lika med summan av komposanternas moment.

Figur 1.6 Definition av moment

Krafter och moment Sid 1-5

Exempel 1.2

Vi skall demonstrera Varignon's princip genom att (a) beräkna kraftkomponenternas moment och jämföra det med (b) den totala kraftens moment i Figur 1.7.

Kraftkomponenternas moment

1 1Beräkna

cos 10cos33.7 8.32 N

sin 10sin 33.7 5.55 N

8.32 2 5.55 1 22.19 Nm

x y

x

y

M F y F x

F F

F F

M

alternativt

3 30 20 N; N

13 13 13

30 20 802 1 Nm

13 13 13

x yF F F

M

Totalkraftens moment

Beräkna

4sin 33.7 2.219 m

10 2.219 22.19 Nm

M Fd

d

M

alternativt

4 2 13 m

2 8010 Nm

13 13

d

M

Vi ser att får samma resultat oavsett vilken metod vi väljer. Observera att momentet vrider moturs och är följaktligen positivt.

10 N

1m

1m A

y1

x1

Fx

Fy

d

F

a)

b)

1tan 2 3 33.7

13 2

3

Figur 1.7 Exempel 1.2

Metod b) kan tyckas vara enklare att använda, men speciellt när man har flera krafter är det ofta lättare och mer systematiskt att först dela upp varje kraft i sin respektive x och y-komposant. Hävarmen för respektive komposant fås sedan direkt ur angrepps-punktens koordinater (om momentaxeln går genom origo).

En speciellt typ av moment, ett s.k. rent moment (eng. couple) uppstår när man har ett kraftpar av två lika stora motriktade krafter, se Figur 1.8.

Krafter och moment Sid 1-6

Figur 1.8 Rent moment

Momentet med avseende på 0-axeln kan skrivas som:

M F a d Fa Fd (1.7)

dvs. momentets storlek beror endast på avståndet d mellan de motriktade krafternas verkningslinjer. Däremot är resultatet oberoende av sträckan a till axel 0. Det betyder att ett motriktad kraftpar (med kraftsumman lika med 0) genererar ett moment med samma storlek oberoende vilken axel som avses. Därför kan vi representera ett kraftpar med ett rent moment alternativt ersätta kraftparet med ett annat kraftpar någon annanstans i planet så länge momentsumman (Fd ) är lika stor.

Ett exempel på hur rena moment kommer in strukturmekaniken är momentbelastade balkar, se Figur 1.9. Ett kraftpar längst ut i änden av konsolbalken ger upphov till ett rent moment M längs hela balken.

I ett snitt A-A är kommer vi att finna att momentet M belastar balken med en fördelad kraft som kan representeras med ett oändligt antal kraftpar över tvärsnittsytan. Den fördelade kraften (trycket) motsvarar den spänning som uppstår över balktvärsnittet som balanserar momentet.

A

A

M

snitt A-A

F

F

Figur 1.9 Momentbelastad balk

Krafter och moment Sid 1-7

System av krafter och moment 1.3

De flesta system av krafter och moment som påverkar en stel kropp kan man förenkla. Betrakta Figur 1.10.

a1

a2

F1

F2

M1

R

M

Figur 1.10 Reduktion av krafter och moment.

Ett godtyckligt system av n stycken krafter och m stycken moment kan reduceras till en kraftresultant R och en momentresultant M som verkar i en godtycklig punkt 0 genom:

1 2

1

1 1 2 2 1

1 1

n

i

i

n m

i i i

i i

M Fa M F a F a M

R F F F

(1.8)

Observera att F1 och F2 är vektorer som adderas genom att först dela upp krafterna i x och y komponenter innan resultantens komponenter kan beräknas, se avsnitt 1.1.1.

Exempel 1.3

Ersätt krafterna i figur Figur 1.11 med en kraft R och momentresultant M i punkten A.

2 2

-1

4 6 2.5cos30 12.2 kN

2.5sin 30 1.25 kN

12.2 1.25 12.3 kN

1.25=tan 5.9

12.2

5 6 0.7 4 1.2

2.17 1.4 1.25 0.6 16.3 kNm

x

y

R

R

M

R

Svar: Kraften R=12.3 kN med riktning 5.9o från x-axeln. Momentet M=16.3 kNm

RM

Figur 1.11 Exempel 1.3

Krafter och moment Sid 1-8

Övningsuppgifter 1.4

Uppgift 1.1

Bestäm kraftvektorns F komponenter, Fx, Fy.

Svar: 250 N, 433 Nx yF F

Uppgift 1.2

Kraften i linan som sitter mellan punkten A och B är 9 kN. Sträckan

10AC m och sträckan 6BC m. Bestäm linans kraftkomponenter i x och y riktningen om vikten är fäst 3 m från punkten A.

Svar: 7.72 kN, 4.63 kNx yF F

Uppgift 1.3

Bestäm kraftkomposanterna normalt (vinkelrätt), Pn , och tangentiellt (längs

med), Pt , axeln BC .

Svar: 191 N, 58.0 Nn tP P

Tips: Dela först upp P i x och y komposanter. Px och Py delas i sin tur upp i komposanter normalt och

tangentiellt axeln BC . Addera bidragen från Px och Py i normal respektive tangentiell riktning.

Uppgift 1.4

Bestäm kraftkomposanterna normalt,

Pn, och tangentiellt, Pt , axeln OA .

Svar: 6.84 N, 7.30 Nn tP P

Krafter och moment Sid 1-9

Uppgift 1.5

Ersätt kraften i figuren med två krafter F1 och F2 där F1 är riktad längs axeln a-a och F2 har storleken 25 kN. Bestäm kraften F1 till storlek och riktningen på F2 , dvs. vinkeln till den horisontell axeln. Obs! det finns två alternativa lösningar.

Svar:

1

1

28.0 kN, =76.1

8.03 kN, =16.1

F

alternativt

F

Uppgift 1.6

Vilken vinkel skall kraften F anbringas i punkten C så att storleken i riktning

CA är 80% av storleken i riktning BC ?

Svar: 53.0

Uppgift 1.7

Bestäm resultanten R av de två krafterna 8 och 10 kN till storlek och riktning.

Uppgift 1.8

Bestäm kraften T i vajern så att den horisontella komponenten av T blir lika stor men motriktad den horisontella komponenten av kraften i kabeln (2500 N).

Bestäm resultanten av kraften i kabeln (2500 N) och T till storlek och riktning.

Svar:

a) 4700 N

b) 4920 N vertikalt nedåtriktad

T

R

T

2500 N

20 kN

Krafter och moment Sid 1-10

Uppgift 1.9

Bestäm momentet i centrum av kugghjulet (punkt 0) från kraften på kuggen (kraft F med storleken 40 N).

Svar: 0 3.76 Nm (vrider medurs)M

Uppgift 1.10

Chauffören vrider ratten med en kraft på 20 N, se figur. Bestäm momentet i centrum av ratten (punkt 0).

Svar: 0 2.86 Nm (vrider medurs)M

Uppgift 1.11

En man som väger 90 kg står på en liten gångbro vid punkt B. Du skall nu ersätta mannen med två personer en vid punkt A och en vid punkt C. Vad skall personerna väga om effekterna på gångbron (betraktat som en stel kropp) skall vara oförändrade?

Tips1: Summan skall vara 90 kg

Tips2: Momentet vid godtycklig punkt på gångbro skall vara lika stor som mannen vid punkten B orsakar

Svar: 36 kg, 54 kgA Bm m

Krafter och moment Sid 1-11

Uppgift 1.12

Bestäm storlek och avstånd från toppen av stången en kraft P måste ha för att ersätta de båda krafterna i figuren.

Svar: 500 N, 0.4 mP y

Uppgift 1.13

Vid vilken vinkel är momentet runt punkten 0 som störst? Bestäm även momentets storlek vid den vinkeln.

Tips: Momentet är som störst när riktningen på kraften är vinkelrät hävarmen från punkten 0 till angreppspunken på kraften.

Svar:

065.8 , 59.2 Nm (medurs)M

Uppgift 1.14

Ett fartyg har två propellrar som var för sig utvecklar en kraft på 300 kN. Vid manövrering av fartyget har en propeller satts på full gas framåt och den andra på full gas bakåt. Vilken kraft P måste bogseringsbåtarna utveckla för att fartyget skall stå still?

Svar: 51.4 kNP

Uppgift 1.15

Figuren visar en svängdörr sedd uppifrån när två personer samtidigt går igenom den. Personerna påverkar svängdörren med varsin motriktad kraft. Bestäm kraften F storlek om det resulterande momentet vid centrum av

svängdörren 0 15M Nm.

Svar: 9.71 NF

Krafter och moment Sid 1-12

Uppgift 1.16

Figuren visar en fälgkors. Anta att man anbringar kraften på 250 N enligt figuren till höger. Hur stor blir kontaktkrafterna (F) på bulten. Korset överför momenten till bulten via 4 kontaktpunkter.

Svar: 3500 NP

Uppgift 1.17

Ersätt alla 4 krafter och momentet i figuren med en resultant R och ett resulterande moment M i punkten 0. Ange också riktningen på R i förhållande till x axeln.

Svar:

148.3 N, 63.2

273.3 Nm

R

M

Uppgift 1.18

Vilken vinkel (räknat från x-axeln) och storlek skall kraften F ha om resultanten av samtliga krafter är vertikalt uppåtriktad med storleken 100 N.

Svar: 1190 N, 128.2F

Uppgift 1.19

Ersätt alla krafter och momentet i figuren med en resultant R. Ange resultantens storlek och var den angriper längs balken.

Svar: 4 kN nedåt vid 5 mR x

Krafter och moment Sid 1-13

Uppgift 1.20

Ersätt alla krafter och momentet i figuren med en resulterande kraft R och moment M i punkten A.

Svar:

12.23 kN

16.28 kNm (medurs)

R

M