Kinematika, put, pomak, brzina, srednja brzina, akceleracija, jednostavna pravocrtna gibanja, grafičko prikazivanje gibanja, analiza gibanja iz zapisa (tipkalo, stroboskop), slobodni pad, hici, dvodimenzionalno gibanje, načelo neovisnosti, kinematika kružnog gibanja

Kinematika

U svakodnevnom životu opažamo tijela u odnosu prema okolini (padanje lišća, let aviona na nebu, njihanje djeteta na ljuljačci,...). Primjećujemo da je tijelo sad na jednom mjestu u prostoru, a zatim na nekom drugom.

Prostor i vrijeme temeljni su pojmovi koje koristimo za opis gibanja tijela. Kako znamo, prostor je trodimenzionalan, a vrijeme teče u jednom smjeru (nažalost uvijek i samo prema budućnosti, prema maturi iz fizike npr.).

Kinematika je područje fizike, odnosno mehanike, koje istražuje gibanje tijela. Pritom zanemaruje uzroke gibanja tj. ne odgovara na pitanje zašto se tijelo giba, već na pitanje kako se tijelo giba.

Budući da je opis gibanja tijela općenito složen, korisno je uvesti određena pojednostavljenja. U prvom redu zanemaruju se dimenzije tijela koje se giba. Misaonim procesom svako tijelo svodimo na točku koju tada nazivamo materijalna točka (Slika 1.).

Slika 1.

auto postaje “materijalna” točka

Gibanja_intro

auxilia.hr

I odabir koordinatnog sustava u kojem će se gibanje promatrati može analizu gibanja pojednostavniti. Ako gledamo gibanja vlaka na pruzi, tada je prikladno koristiti jednodimenzionalni koordinatni sustav, za gibanje kuglice na bilijarskom stolu pogodan je dvodimenzionalni sustav, a za let balona općeniti trodimenzionalni sustav.

Svaki koordinatni sustav zadan je ishodištem i koordinatnom osi (osima). Najčešći su zadaci koji trebaju jednodimenzionalni koordinatni sustav

Gibanje ćemo razmatrati u koordinatnom sustavu čije ishodište definiramo po volji, a koji razapinje prostor unutar kojeg imamo gibanje tijela u vremenu. Takav sustav zvati će se referentni sustav.

Put i pomak

Tijelo pri gibanju opisuje neku putanju (stazu ili trajektoriju). Ako je putanja gibanja ravna, govorimo o pravocrtnom gibanju tijela. Ako putanja nije ravna tada je gibanje krivocrtno.

Tijelo započinje svoje gibanje u početnoj točki P i završava u konačnoj točki K. U tom smislu razlikujemo put i pomak pri gibanju tijela (Slika 2.).

Slika 2.

Put je duljina prijeđene staze. Put pri gibanju tijela označavamo sa s. Mjerna jedinica puta u SI-u je metar, m. Put je skalarna fizikalna veličina. Dovoljan je samo iznos i mjerna jedinica, npr. s=12.11 km.

Pomak je najkraća udaljenost između dviju točaka. Vektorska je veličina, a određuju ga hvatište, iznos, smjer i orijentacija.

7GIB A N J E

jedinica za mjerenje vremena definirana je sekunda. Od 1967. go-

dine trajanje 1 sekunde zasniva se na radu atomskog sata.

U meāunarodnom sustavu nalazi se 7 osnovnih jedinica ( definic-

ije metra i sekunde smo upravo spominjali). Mnoge druge jedin-

ice koje þemo koristiti biti þe moguþe iskazati pomoþu osnovnih

upotrebom aritmetiĀkih operacija.

Gibanje U svakodnevnom životu opažamo tijela u gibanju ( padanje lišþa,

otvaranje i zatvaranje vrata, let zrakoplova na nebu, njihanje dje-

teta na ljuljaĀci, ...). Primjeþujemo da je tijelo sad na jednom mjes-

tu u prostoru, sad na nekom drugom. A što je s mirovanjem? I mi-

rovanje tijela predstavlja gibanje, jer ako tijelo ne mijenja položaj,

zasigurno i njemu prolazi vrijeme, a to je gibanje.

Znamo da je prostor trodimenzionalan, da vrijeme teĀe u jednom

smjeru (prema buduþnosti) i da tijela svojim gibanjem mijenjaju

položaj u vremenu.

Kako kinematika rješava složene probleme gibanja?

U prvom redu, zanemaruju se dimenzije tijela koje se giba. To znaĀi

da promatrajuþi auto u gibanju s odreāenom brzinom ne vodimo

raĀuna o njegovim dimenzijama (duljini, širini i visini). Misaonim

procesom auto (sa svojom masom) svodimo na toĀku i tijekom

gibanja, auto je za nas materijalna toĀka. To svojstvo pridružujemo

svim tijelima Āije gibanje prouĀavamo.

U matematici smo nauĀili da položaj toĀke opisujemo u nekom

koordinatnom sustavu. Prisjetimo se da je to Kartezijev koordi-

natni sustavi kako prikazuju slike 5 a., b., c.).

Mjerne jedinice i fizikalne veliĀine

Osnovne mjerne jedinice

Oznaka mjerne jedinice

Fizikalna veliĀina

Oznaka fizikalne veliĀine

metar m duljinad (s, a, b,

c, ..)

sekunda s vrijeme t

kilogram kg masa m

amper Ajakost

elektriĀne struje

I

kelvin K temperatura T

mol molkoliĀina

tvarin

kandela cdjakost

svjetlosnog izvora

Ic

Radovi A. Einsteina iz 1905. godine izmijenili su doživljaj pojmova prostora i vremena jer bitnu ulogu za prostor i vrijeme ima brzina svjetlosti. Utjecaj Einsteinove teorije prouĀava relativistiĀka kinematika i njome þemo se baviti u fizici Āetvrtog razreda.

x

x

y

x

y

z

a) jednodimenzionalni sustav

b) dvodimenzionalni sustav

c) trodimenzionalni sustav

Slika 5.Koordinatni sustavi

13GIBANJE

Započnimo primjerom (slika 4.)

Vidimo gibanje pacmana („papalice“) do trenutka dok ga nije uh-

vatio „duh“. Prije toga pacman je na svom putu jeo bobice. Da je

pojeo više bobica, prešao bi i veći put. Ponekad pacman, bježeći

od duha, ne jede bobice, ali svejedno prevaljuje put.

Put je udaljenost što tijelo prijeđe izraženo u metrima. Put pri giba-

nju tijela označujemo sa s. Mjerna jedinica puta u SI jest metar (m).

Put je skalarna fizikalna veličina, što znači da je dovoljan samo

iznos i mjerna jedinica, npr. s = 6.3 km.

Dok hodamo, dok se vozimo ili padamo, sve to radimo i u nekom

smjeru. Promotrimo primjer opisan slikom 5.

Padobranac, iskočivši iz helikoptera, zbog vjetra je odbačen do

nepristupačne točke C. Spasilačke ekipe nalaze se u točki B i

traže od posade helikoptera podatke o smjeru kako bi stigli do

padobranca i pružili mu pomoć.

Kada bi mogli ići smjerom vektora BC, najbrže bi stigli do

unesrećenog padobranca. Međutim, u stvarnosti moraju proći

put s. Vektor BC = d predstavlja pomak spasilačke ekipe.

Slika 4.Pacman

Pomak i putSpomenuli smo da tijelo u gibanju opisuje neku putanju (stazu ili

trajektoriju). Ako je putanja gibanja ravna, govorimo o pravocrtnom

gibanju tijela. Ako putanja nije ravna, tada je gibanje krivocrtno.

Tijelo započinje svoje gibanje u početnoj točki (P) i završava u

konačnoj točki (K). Teorijski, postoji beskonačno putanja koje

povezuju točke P i K, a samo jedna najkraća crta. U tom smislu

razlikujemo put i pomak pri gibanju tijela. Ujedno, razmatrajući

ove pojmove steći ćemo uvid u skalare i vektore.

Slika 5.Spašavanje unesrećenog

Slika 3.Put i pomak

C B

A

P

K

pomak put

auxilia.hr

Brzina

Dok se vozimo autom brzinomjer pokazuje “koliko brzo vozimo”, npr. 36 km/h. Što to znači? Jasno je da odgovor znamo, ali taj podatak nam zapravo govori da svake sekunde prelazimo 10 m, što dobijemo jednostavnim preračunavanjem.

Ovime saznajemo srednju brzinu gibanja tijela, koja je općenito dana omjerom ukupnog prijeđenog puta i vremena koje je potrebno da se taj put prevali.

Srednja brzina gibanja tijela računa se prema formuli

a uvođenjem

i

dobijemo

Crtica iznad slova v znači da je riječ o srednjoj brzini.

Za gibanje tijela osim iznosa brzine važan je i smjer. Time zaključujemo da je brzina vektorska veličina. Mjerna jedinica za brzinu u SI jest metar u sekundi, m/s.

Što je trenutna brzina?

Trenutna brzina određena je s vrlo kratkim trajanjem vremenskog intervala tijekom kojeg nema promjene u srednjoj brzini gibanja tijela. Napomenimo da je kod krivocrtnih gibanja trenutni smjer vektora brzine određen položajem tangente na krivulju u danoj točki puta (Slika 3.).

Slika 3.

tangenta

11GIB A N J E

Srednja i trenutna brzina ProĀitajmo ponovno uvodni tekst sa str. 4.

Možemo reþi da je uĀenik naveĀer završio s ekipom u kinu. Malo

þemo “zaviriti” u putno raĀunalo auta i prouĀiti 5 minuta njihove

vožnje tog dana.

Podatke za put i vrijeme organizirali smo u (s, t) dijagram.

Koordinate toĀke F jesu (5, 10). ZnaĀi, auto je za 5 minuta prešao

10 kilometara. To nam je dovoljno za izraĀunavanje srednje brzine

auta za 5 minuta gibanja.

Jednostavno,

v = 10 km5 min

= 2 kmmin

= 120 kmh

.

Opþenito, srednja brzina gibanja tijela raĀuna se prema formuli

v = s2 – s1

t2 – t1 (1)

ili, uvoāenjem 's = s2 – s1, te 't = t2 – t1 dobijemo

v = 's't (2)

U našem primjeru t1 = 0; t2 = 5 min, dok s1 = 0 i s2 = 10 km.

s

t

F

Razmislite zašto je 2 km/min = 120 km/h?

Slika 10.(s, t) dijagram

11GIB A N J E

Srednja i trenutna brzina ProĀitajmo ponovno uvodni tekst sa str. 4.

Možemo reþi da je uĀenik naveĀer završio s ekipom u kinu. Malo

þemo “zaviriti” u putno raĀunalo auta i prouĀiti 5 minuta njihove

vožnje tog dana.

Podatke za put i vrijeme organizirali smo u (s, t) dijagram.

Koordinate toĀke F jesu (5, 10). ZnaĀi, auto je za 5 minuta prešao

10 kilometara. To nam je dovoljno za izraĀunavanje srednje brzine

auta za 5 minuta gibanja.

Jednostavno,

v = 10 km5 min

= 2 kmmin

= 120 kmh

.

Opþenito, srednja brzina gibanja tijela raĀuna se prema formuli

v = s2 – s1

t2 – t1 (1)

ili, uvoāenjem 's = s2 – s1, te 't = t2 – t1 dobijemo

v = 's't (2)

U našem primjeru t1 = 0; t2 = 5 min, dok s1 = 0 i s2 = 10 km.

s

t

F

Razmislite zašto je 2 km/min = 120 km/h?

Slika 10.(s, t) dijagram

11GIB A N J E

Srednja i trenutna brzina ProĀitajmo ponovno uvodni tekst sa str. 4.

Možemo reþi da je uĀenik naveĀer završio s ekipom u kinu. Malo

þemo “zaviriti” u putno raĀunalo auta i prouĀiti 5 minuta njihove

vožnje tog dana.

Podatke za put i vrijeme organizirali smo u (s, t) dijagram.

Koordinate toĀke F jesu (5, 10). ZnaĀi, auto je za 5 minuta prešao

10 kilometara. To nam je dovoljno za izraĀunavanje srednje brzine

auta za 5 minuta gibanja.

Jednostavno,

v = 10 km5 min

= 2 kmmin

= 120 kmh

.

Opþenito, srednja brzina gibanja tijela raĀuna se prema formuli

v = s2 – s1

t2 – t1 (1)

ili, uvoāenjem 's = s2 – s1, te 't = t2 – t1 dobijemo

v = 's't (2)

U našem primjeru t1 = 0; t2 = 5 min, dok s1 = 0 i s2 = 10 km.

s

t

F

Razmislite zašto je 2 km/min = 120 km/h?

Slika 10.(s, t) dijagram

11GIB A N J E

Srednja i trenutna brzina ProĀitajmo ponovno uvodni tekst sa str. 4.

Možemo reþi da je uĀenik naveĀer završio s ekipom u kinu. Malo

þemo “zaviriti” u putno raĀunalo auta i prouĀiti 5 minuta njihove

vožnje tog dana.

Podatke za put i vrijeme organizirali smo u (s, t) dijagram.

Koordinate toĀke F jesu (5, 10). ZnaĀi, auto je za 5 minuta prešao

10 kilometara. To nam je dovoljno za izraĀunavanje srednje brzine

auta za 5 minuta gibanja.

Jednostavno,

v = 10 km5 min

= 2 kmmin

= 120 kmh

.

Opþenito, srednja brzina gibanja tijela raĀuna se prema formuli

v = s2 – s1

t2 – t1 (1)

ili, uvoāenjem 's = s2 – s1, te 't = t2 – t1 dobijemo

v = 's't (2)

U našem primjeru t1 = 0; t2 = 5 min, dok s1 = 0 i s2 = 10 km.

s

t

F

Razmislite zašto je 2 km/min = 120 km/h?

Slika 10.(s, t) dijagram

12

Akceleracija. Nejednoliko gibanje.

Rekli smo da gibanja tijela dijelimo na pravocrtna i krivocrtna.

Najjednostavniji sluĀaj gibanja tijela jest kada se tijelo giba prav-

ocrtno i pritom ne mijenja iznos, smjer i orijentaciju vektora brzine.

Meāutim, takva gibanja su rijetka pojava. Vrlo je vjerojatno da ti-

jelo tijekom gibanja malo promijeni iznos brzine, odnosno smjer,

Što je trenutna brzina?

I za odreāivanje trenutne brzine (samo v) koristimo jednadžbu

v = 's't ,

samo što vremenski interval treba biti što kraþi. Koliko kratko treba

trajati vremenski interval za odreāivanje trenutne brzine gibanja

tijela?

Trenutna (prava) brzina odreāena je s vrlo kratkim trajanjem vre-

menskog intervala 't za vrijeme kojeg nema promjene u srednjoj

brzini gibanja tijela. Nije moguþe eksperimentalno, a niti misaono,

postiþi 't = 0, a zatim niti matematiĀki izraĀunati v = 's0 = ne-

definirano.

Brzina je vektorska fizikalna veliĀina (v ).

Ako promatramo pravocrtna gibanja, tada se trenutni smjer i ori-

jentacija vektora brzine podudaraju sa smjerom i orijenatacijom

puta. Kod krivocrtnih gibanja trenutni smjer vektora brzine odreāen

je položajem tangente na krivulju u danoj toĀki puta.

Slika 11.Smjer vektora brzine kod krivocrtnih gibanja

A

B

tangenta

v1

v2

auxilia.hr

Akceleracija

Prvi vožnji autom ponekad “stišćemo” papučicu gasa, zatim pritišćemo papučicu kočnice, a ujedno ima slučajeva kada “okrećemo” volan. U svim tim aktivnostima dolazi do nekih promjena s vektorom brzine. Stiskanjem gasa povećavamo iznos vektora brzine, kočenjem smanjujemo iznos vektora brzine, a zakretanjem volana mijenjamo smjer vektora brzine.

Za opis takvih promjena vektora brzine uvodimo novu fizikalnu veličinu: akceleraciju.

Srednja akceleracija definira se kao omjer prirasta brzine tijela i vremenskog intervala u kojem je prirast brzine ostvaren, ili matematički

gdje je prirast brzine dan sa .

Mjerna jedinica za srednju akceleraciju je metar po sekundi u sekundi, m/s2, a koju često čitamo “metar u sekundi na kvadrat”. Akceleracija je vektorska veličina.

Prirast brzine može biti pozitivan i u tom slučaju govorimo o ubrzanom gibanju, te negativan pa je riječ o usporenom gibanju. U prvom slučaju akceleracija je pozitivna dok je u drugom negativna. U nekim zahtjevnijim zadacima može doći do nejasnoća jer negativna akceleracija ne mora nužno značiti da tijelo usporava.

Za određivanje trenutne akceleracije vremenski interval tijekom kojeg se mjeri prirast brzine treba biti što kraći.

Jednostavna pravocrtna gibanja

Najjednostavnija pravocrtna gibanja su ona kod kojih je akceleracija konstantna (ponekad i jednaka nuli!). Tako imamo jednoliko pravocrtno gibanje, jednoliko ubrzano i jednoliko

usporeno gibanje.

Kinematičke jednadžbe koje koristimo pri analizi navedenih gibanja glase

13GIB A N J E

ili pak i jedno i drugo. Takva gibanja tada zovemo nejednolikim

gibanjima. Svako krivocrtno gibanje jest nejednoliko gibanje jer

tijelo tijekom gibanja mijenja smjer brzine.

ZakljuĀimo, nejednoliko gibanje jest gibanje tijela tijekom kojeg

ono mijenja svoju brzinu, bilo po iznosu bilo po smjeru ili orijent-

aciji.

Kod pravocrtnih gibanja ne moramo voditi brigu o smjeru i orijent-

aciji vektora brzine jer se on ne mijenja tijekom vremena. Neka

u trenutku t1 tijelo ima brzinu v1, a u nekom drugom trenutku t2

brzinu v2. Tijekom vremenskog intervala 't = t2 – t1 kod nejedno-

likog gibanja imamo prirast brzine

'v = v2 – v1 .

Prirast brzine je znaĀajka nejednolikog gibanja i odreāuje akcele-

raciju.

Srednja akceleracija definira se kao omjer prirasta brzine tijela i

vremenskog intervala za trajanja kojeg je prirast brzine ostvaren,

ili matematiĀki,

a = v2 – v1t2 – t1

= 'v't (3)

Mjerna jedinica za srednju akceleraciju jest metar na sekundu u

sekundi (m/s2).

Nadalje, ako je v2 > v1, tada v2 – v1 > 0, odnosno 'v > 0 - prirast

brzine je pozitivan, te je i srednja akceleracija pozitivna veliĀina. U

takvom sluĀaju radi se o ubrzanom gibanju.

S druge pak strane, ako je v2 < v1 slijedi v2 – v1 < 0, tj. 'v < 0

- prirast brzine je negativan, pa je i srednja akceleracija negativna

veliĀina. U takvom sluĀaju radi se o usporenom gibanju.

Dakle, nejednoliko pravocrtno gibanje može biti ubrzano ili us-

poreno ovisno o tome kakav je prirast brzine.

Za odreāivanje trenutne akceleracije (jednako kao i kod trenutne

brzine) vremenski interval 't tijekom kojeg se mjeri prirast brzine

treba biti što kraþi. Tada pišemo

a = 'v't (4)

Akceleracija je vektorska veliĀina (a ).

lat. acceleratio = ubrzanje

Odreāivanje srednje i trenutne akceleracije kod krivocrtnih gibanja znatno je složenije jer zahtijeva poznavanje tzv. više matema-tike. Takve probleme iz tog razloga neþemo razmatrati. Jedini izuzetak uĀiniti þemo kod odreāivanja akceleracije za jednoliko kružno gibanje. Tada se akceleracija pri gibanju tijela javlja zbog promjene smjera brzine.

13GIB A N J E

ili pak i jedno i drugo. Takva gibanja tada zovemo nejednolikim

gibanjima. Svako krivocrtno gibanje jest nejednoliko gibanje jer

tijelo tijekom gibanja mijenja smjer brzine.

ZakljuĀimo, nejednoliko gibanje jest gibanje tijela tijekom kojeg

ono mijenja svoju brzinu, bilo po iznosu bilo po smjeru ili orijent-

aciji.

Kod pravocrtnih gibanja ne moramo voditi brigu o smjeru i orijent-

aciji vektora brzine jer se on ne mijenja tijekom vremena. Neka

u trenutku t1 tijelo ima brzinu v1, a u nekom drugom trenutku t2

brzinu v2. Tijekom vremenskog intervala 't = t2 – t1 kod nejedno-

likog gibanja imamo prirast brzine

'v = v2 – v1 .

Prirast brzine je znaĀajka nejednolikog gibanja i odreāuje akcele-

raciju.

Srednja akceleracija definira se kao omjer prirasta brzine tijela i

vremenskog intervala za trajanja kojeg je prirast brzine ostvaren,

ili matematiĀki,

a = v2 – v1t2 – t1

= 'v't (3)

Mjerna jedinica za srednju akceleraciju jest metar na sekundu u

sekundi (m/s2).

Nadalje, ako je v2 > v1, tada v2 – v1 > 0, odnosno 'v > 0 - prirast

brzine je pozitivan, te je i srednja akceleracija pozitivna veliĀina. U

takvom sluĀaju radi se o ubrzanom gibanju.

S druge pak strane, ako je v2 < v1 slijedi v2 – v1 < 0, tj. 'v < 0

- prirast brzine je negativan, pa je i srednja akceleracija negativna

veliĀina. U takvom sluĀaju radi se o usporenom gibanju.

Dakle, nejednoliko pravocrtno gibanje može biti ubrzano ili us-

poreno ovisno o tome kakav je prirast brzine.

Za odreāivanje trenutne akceleracije (jednako kao i kod trenutne

brzine) vremenski interval 't tijekom kojeg se mjeri prirast brzine

treba biti što kraþi. Tada pišemo

a = 'v't (4)

Akceleracija je vektorska veliĀina (a ).

lat. acceleratio = ubrzanje

Odreāivanje srednje i trenutne akceleracije kod krivocrtnih gibanja znatno je složenije jer zahtijeva poznavanje tzv. više matema-tike. Takve probleme iz tog razloga neþemo razmatrati. Jedini izuzetak uĀiniti þemo kod odreāivanja akceleracije za jednoliko kružno gibanje. Tada se akceleracija pri gibanju tijela javlja zbog promjene smjera brzine.

19GIB A N J E

Izvedimo opþu jednadžbu za prijeāeni put kod jednoliko ubrzanog

pravocrtnog gibanja bez poĀetne brzine pomoþu (v, t) dijagrama.

s = 12 . t . v ,

ako je v0 = 0, tada vrijedi v = at te dobijemo za put

s = 12 at2.

Prijeāeni put kod jednoliko ubrzanog pravocrtnog gibanja raste s

kvadratom proteklog vremena. GrafiĀki prikaz u (s, t) dijagramu

jest parabola.

Povezivanjem formula v = at i s = 12 at2 , dolazimo do još jedne

koja glasi

v2 = 2as.

Isto tako, ako se u razmatranje ukljuĀe i sluĀajevi kod kojih tijelo

veþ ima poĀetnu brzinu v0 z 0 i jednoliko ubrzava, tada se koris-

timo slijedeþim jednadžbama:

v = at + v0

s = 12 at2 + v0t + s0

v2 = v20 + 2as .

Slika 19.IzraĀunavanje puta iz (v, t) dijagrama

Slika 20.(s, t) dijagram jednolikog ubrzanog

gibanja¨s1

¨t ¨t ¨t ¨t

¨s2

¨s4

¨s3

s

t

v

tt

v

s

Grafičko prikazivanje gibanja

Gibanje tijela može se analizirati pomoću (s,t), (v,t) i (a,t) dijagrama.

Recimo gibanje kolica (Slika 4.). Prolaskom kraj “markera” započinje se mjeriti kako udaljenost koju prevaljuju kolica duž pravca tako i vrijeme. Štoperica se uključuje kad kolica prođu pored markera.

Slika 4.

Rezultati mjerenja mogu biti prikazani nekim od dijagrama kakve vidimo na slici 5.

Slika 5.

Pomoću (s,t) dijagrama može se jednostavno izračunati brzina gibanja tijela u slučajevima a) i b) sa slike 5.

Upotrijebimo konkretan primjer (Slika 6.).

Slika 6.

Napomena: dijagrami c) i d) sa slike 5. znatno su složeniji jer brzina gibanja tijela nije konstantna.

Dijagrami koji prikazuju kakva je brzina tijela tijekom vremena gibanja nazivaju se (v,t) dijagrami.

Ako je brzina konstantna tada dijagram izgleda kao na slici 7.

Slika 7.

Ako tijelo ubrzava (iz mirovanja) tada (v,t) dijagram izgleda kao na slici 8.

Slika 8.

Nagib pravca u (v,t) dijagramu numerički je jednak akceleraciji.

(v,t) dijagram može se koristiti za izračunavanje puta koji prelazi tijelo u danom vremenu.

Ponovo, upotrijebimo konkretan primjer.

Neka se auto giba konstantnom brzinom 12 m/s. U tom slučaju (v,t) dijagram prikazuje Slika 9. Koliki je prijeđeni put za prve četiri sekunde gibanja?

Slika 9.

Na još jednom primjeru ponavljamo dosad navedeno. Slika 10. prikazuje (v,t) dijagram nekog jednoliko ubrzanog gibanja. Pomoću danog dijagrama možemo izračunati akceleraciju i prijeđeni put u određenom vremenu. Dakle,

Slika 10.

Dijagrami koji prikazuju kakva je akceleracija tijekom vremena gibanja nazivaju se (a,t) dijagrami. Ako je akceleracija konstantna tada dijagram izgleda kao na slici 11.

Slika 11.

Analiza gibanja iz zapisa (tipkalo, stroboskop)

Električno tipkalo kako vidimo na slici jest standardni dio opreme u laboratoriju fizike. Mnogi su analizu gibanja pomoću tipkala imali još u osnovnoj školi.

Tipkalo ostavlja tragove tj. točkice na papiru svake 1/50 sekunde.

Povlačenjem papirnate trake ispod batića tipkala dobivamo

“snimke” gibanja. Obično je traka zaljepljena za kolica.

Primjeri nekih gibanja dani su slikom 12.

Slika 12.

Slobodni pad

Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje koje izvodi tijelo ispušteno s neke visine bez početne brzine. Sva tijela koja slobodno padaju imaju jednaku akceleraciju zanemari li se otpor zraka.

Mnogobrojnim mjerenjima na raznim mjestima naše planete utvrđena je srednja

vrijednost akceleracije tijela u slobodnom padu i ona iznosi 9.81 m/s2.

Taj iznos zovemo akceleracija slobodnog pada, a oznaka je g. Akceleracija slobodnog pada je vektor sa smjerom prema površini Zemlje (uobičajen slučaj u zadacima).

Budući da je slobodni pad jednoliko ubrzano gibanje možemo koristiti već spomenute formule u kojima ćemo zamijeniti akceleraciju a oznakom g.

Hici

Hici su složena gibanja sastavljena od jednolikog pravocrtnog gibanja i slobodnog pada. Tijelu se zada početna brzina i time počinje hitac, a ovisno o smjeru vektora početne brzine razlikujemo: vertikalni hitac, horizontalni i kosi hitac (Slika 13.)

Slika 13.

Vertikalni hitac (“gibanje gore i dolje”)

Jednadžbe gibanja za vertikalni hitac prema gore i dolje su:

v = v0 ± g · t

h = v0 · t± 12 · g · t2

v2 = v02 ± 2 · g · h

Primjer vertikalnog hica vidimo na slici 14.

Slika 14.

Horizontalni hitac (“gibanje na stranu”)

Slika 15. prikazuje snimku gibanja dviju loptica ispuštenih u istom trenu i s iste visine. Jedna od loptica pada slobodno dok je druga dobila početnu brzinu u desno i time izvodi horizontalni hitac. U takvom eksperimentu koristi se stroboskob koji “bljesne” deset puta u sekundi čime se može snimiti pozicija svake loptice u danom trenutku.

Slika 15.

Vidljivo je da:

1. obje loptice dolaze na pod u isto vrijeme;

akceleracija svake kuglice je jednaka

2. crvena kuglica se u horizontalnom smjeru

giba stalnom brzinom

Rezultati eksperimenta upućuju da su horizontalni i vertikalni pomaci neovisni jedan o drugome.

Horizontalni hitac crvene loptice sa slike 15. je dvodimenzionalno gibanje koje promatramo u (x,y) koordinatnom sustavu. Gibanje loptice u x-smjeru jest jednoliko pravocrtno, a u y-smjeru imamo slobodni pad.

Za matematički opis horizontalnog hica koristimo načelo neovisnosti gibanja koje glasi:

Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja, giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u nekom vremenskom intervalu, a neovisno o tom gibanju i drugo gibanje u istome vremenskom intervalu.

Istaknimo jednadžbe koje koristimo pri analizi horizontalnog hica:

Kinematika kružnog gibanja

Na slici 16. vidimo primjer jednolikog kružnog gibanja. To znači da tijelo u jednakim vremenskim razmacima prijeđe jednake dijelove kružne putanje.

Slika 16.

Vrijeme za koje tijelo koje se giba po kružnici napravi jedan puni ophod (okret) zove se ophodno vrijeme ili period. Označava se sa T, a mjerna jedinica mu je sekunda, s.

Put kojega tijelo prevali u jednom okretu jednak je opsegu kružnice.

Iz navedenog zaključujemo da se brzina kod jednolikog kružnog gibanja računa prema

i nazivamo ju obodnom ili linearnom brzinom. Mjerna jedinica je m/s.

x = v0 · t

y = 12 · g · t2

vx

= v0

vy

= g · t

v = 2·⇡·rT

Dva pitanja:

1. što može imati konstantan iznos brzine a da stalno mijenja smjer ?

2. što ubrzava prema nečemu, a da se tome nikad ne približi ?

Odgovor: sve što se giba po kružnici !

Pogledajmo sliku 17.

Tijelo se giba po kružnici i

vidimo vektore brzine u dva

bliska položaja i trenutka.

Vektor brzine nalazi se na

tangenti bez obzira na oblik

krivulje. Premda je došlo do Slika 17.

promjene smjera vektora brzine, iznos im se ne mijenja. U ovom slučaju promjena brzine pojavljuje se zbog promjene smjera i vektor ' pokazuje prema središtu kružnice, a time i vektor akceleracije koji je definiran sa

i nazivamo ga vektorom centripetalne akceleracije jer pokazuje prema središtu (centru) kružnice. Mjerna jedinica mu je m/s2.

Iznos vektora centripetalne akceleracije označiti ćemo s acp i računati prema

Spomenimo da pri opisu kružnog gibanja koristimo i fizikalne veličine: frekvenciju i kutnu

brzinu.

�~v

~a = �~v�t

acp = v2

r