kolicina gibanja

70 Materiialna tocka

2.16. KOLICINA GIBANJA I IrvIPULS

Za materijalnu tocku mase m, koja se giba i II nekom trenutku ima brzinu v, produkt

mase i brzine naziva se kolicinom te materijalne tocke za taj trenutak gibanja i oznacuje se sa:

2.16.1

KoliCina gibanja je vektorska velicina, a dimenzija joj je kgm/s=Ns.

Ako je poznat zakon promjene sile po vremenu P = koja djeluje na materijalnu tocku, tada se veliCina Pdt naziva elementanlim sHe i oznacuje sa dS pa je prema tome:

Suma elementarnih impulsa od trenutka tl do trenutka t naziva se . 2 materijalnu tocku za interval vremena llt=t

2 -t

1 i oznacuje se sa:

2 2

- r - r-Sl,2.=jdS=JFdt. 1 I

Elementarni impuls i impuls sile su vektorske velicine dimenzije Ns.

2.17. ZAKON .lMPULSA I KOLICINE GIBANJA

Za materijalnu tocku mase m, na koju djeluje sila P, jednadzba gibanja glasi:

F- - dv d _ dq =ma =m- = -(mv) =-. dt dt dt

2.16.2

sHe na

2.16.3

2.17.1

Vektor mv je kolicina gibanja te materijalne tocke.Prema izrazu 2.17.1 vidi se da je sila

jednaka promjeni kolicine gibanja u jedinici vremena. Aka je sila F = 0, tada nema promjene kolicine a to maci da je ij=konst.

Mnozeci jednadzbu 2.17.1 sa dr, dobiva se:

U obzir izraz 2.16.2, znaci da

2.17.2

Dinamika 71

lz izraza 2.17.2 vidi se da je elementami kolicine gibanja.

Kada sila P djeluje na materijalnu rocku za vrijeme

elementarnih za intenral vrernena od trenutka t,

tada se sumiranjem svih

do trenutka 12 dobije da je:

U ovoj formuli se izraz:

2 2

( dS = J 1

f

=J 1

naziva ukupnim sile koji .Ie djelovao na materijalnu lOcku u intervalu vremena !.1t=t2-t1' uzrokovanim silom F=F(t) i oznacuje se sa 81,2:

Prema tome dobiven je vazan izraz din:::TI.:ke glasi:

2.17.3

Cesto se taj izraz pise u jednostavnijem obliku:

S = 11 ij = m!l v. 2.17.4 Dobiveni izraz 2.17.3 predstavlja zakon i kolicine gibanja.

djeiovanje nl.l materijainu tocku m:rokuJe promjenu

materijalHe tocke. Na drugi nacin moze se kazati da djeiovallje

promjell1lu brzine te locke. Zakon kolicine gibanja i impulsa mogJi smo pisati na siijedeCi nacin:

2

ili m17l + (Pdt = m17o. J k

2.17.5 I

Izraz 2. 17 . 5 pokazu je da: kolicina gibanja matedj aine locke pdje plus jest jednaka koHcini l1akon djeiov<l.ll..ia j.JJJi'HliSiLt.

IzraZavanjem brzine VI i impulsa !I i sile P komponentama pravokumoga

koordinatnog sustava, moze se zakon !colicine gibanja i prikazati skaiarnim jednadzual1Ul koje glase:

;:::: ffl}' -7111' y:.

-mv~ = ~\

-in::::. _ C'

F 2.17.6

72

iIi Jednostavnije:

mil +Sx = mi2

my 1 + Sy = mY2 mil +Sz =m~

Materijalna locka

2.17.7

Kada materijalna tocka vrsi pravocrtno gibanje u smjeru x, a na nju djeluje impuls

S x = S, tada vrijedi jednadzba:

Na materijalnu tocku, koja se giba pravocrmo, dje!uje sila F. Ako se sila mijenja u ovisnosti 0

vremenu, kao sto je prikazano na slici 2.17.1, te treba odrediti impuls iIi promjenu kolicine gibanja

i to samo u intervalu vremena 15.t=t2 -tl' to se racuna izrazom:

" Sl,2 = jdS=mvZ-mv1· 2.17.9

2.17.8

~+ I " ,dt j *";i"f~t2 ~

Siika 2.17.1

Na slici 2.17.1, elementarni impuls u trenutku t, prikazuje uska srafirana elementarna povrsina jednaka dS=Fdt, a ukupni impuls sile S1,2' koji je izrazen sumom svih

elementarnih impulsa od trenutka t1 do trenutka f2' prikazuje povrsina ispod krivulje F=F(t) u tom intervalu vremena.

Dinamika

KOLICIl\IE GIBANJA

Ako je ukupna vanjska sila djelovanja na materijalnu tocku mase m jednak8 nuh.

tada je:

73

2.18.1

a to znaci da je q=konst, odnosno da je:

if2 = ifl = q = konst. 2.18.2

Ako je ukupni impuls u intervalu vremena 15.t=t2 -t1 jednak nuli, tada je promjena

kolicine gibanja jednaka nuli, to jest 15.q=O, a to znaci da je:

') 18.3

Dobivena jednadzba izrazava zakon odrianja kolicine gibaI~ja koji glasi: Za tocku na koju je uimpna vanjska sila jednaka nuli, iii je promatraru interval jednak null, nema promJene tome ni promjcl1e brzine za taj interval vremena.

Kad je £=0, impuls je nula i nema promjene brzine. To tvrdi i zakon inercije, Bez

vanjskog djelovanja nema promjene gibanja. Zakon odrianja koliCine gibanja posebno je vrijedan kadase prosiri na sraz iii sudar dviju

materijalnih tocaka iIi dvaju tijela.


2. 18. 1. RUESENI PRll',1JERI

PRIMJER 2.18.1 teiine G nalazi se na hrapavoj nOjiUOnltaL!lO.l povrSini i krene u pravcu pocetnum VO'

Odredi za vrijeme i na mialjenosti ce se tijelo Z211staviti.

Sile koje djeluju na tijelo za vrijeme gibanja jesu vlastita tdina G, normalni

pritisak podloge N i sila trenja T. Sile GiN djeJuju u smjeru okomitom na pravac gibanja

i nalaze se u ravnoteii. Sila trenja ajeluje u pravcu gibanja, ali je suprotnog smjera od smjera

gibanja jer se suprotstavlja gibanju. Gibanje rijela je u pravcu koji je definiran leao os 'Ii, s ishodistem u pocetnom polozaju tijela.

Kinetilm. lednadzba ravnoteie za os y i jednadzba gibanja za os X glase:

N-G~O a) - T ~ my; b)

gdje je T ~ fN .

lz jednadzbe a) siijedi da je N =G, a zatim iz jednadzbe b) slijedi da je:

.. G .. - fG ~mx ~ -x. g

Kinematika. Diferencijaina jednadzba gibanja tijela glasi:

x~fg·

Postupnom integracijom dobiva se opci izraz za brzinu i poloz~j:

i=-fgt+C

t2 x=-fg-+Ct+D.

2

Konstame C i D se odreduju iz pocetnih uvjeta gibanja tijela. Pocemi uvjeti su da za t=O

jest i x=(), pa su konstante jednake: C==vo i D==O. Uvrsleno U opee izraze slijede leonacni izrazi za brzinu i zakol1 gibanja koji glase:

v = "0

Tijelo ce stati u trenutkl.~ tb kada ce brzina biti jednaka nulL je trenutak:

Dinamika 75

Mjesto zaustavljanja bit ce na udaljenosti x, koja iznosi: 2 2

_ fg 2 _ Vo fg Vo _ Vo x-vt--t -v--------

0"1 2 1 0 fg 2 (jg)2 2fg'

Velicine t1 i X mogu se direktno odrediti kinetikom uz pomoe stavka impulsa i stavka rada.

Koristeci zakon impulsa moze se izracunati trenutak zaustavljanja. Zakon impulsa glasi:

'I ~ f -Tdt~mv)-mvo'

to

Ako se uzme daje to=O, T=fG, m=G/g i '1'1=0, dobiva se:

Trenutak zaustavljanja je:

_.f __ G JGt) - -vo'

g

2 Vo

L~-.

1 fg

KoristeCi stavak rada i energije moze se oarediti prevaljeni pm. Stavak glasi:

iii

Znaci da je:

mv~ -Tx ~E -E ~-----.

kI ko 2 2

2 G Vo

fGx~--g 2

Prevaljeni put do trenutka zaustavljanja iznosi 2

Vo X=--.

2fg

Vidi se da su dobivene vrijednosti jednake ranije izracunanima.


PRIMJER 2.18.2 Tijelo mase m=2kg miruje lila glatkoj ho'rizontalnoj povrnini. Na tijelo odljednom pocne djelovati sUa F=-5cosZtN.

Odredi zakon gibanja, maksimaln1.l koiicinu gibanja, maksimalnu kinetickl.l energiju tijela, i koji je djelovao fia tijelo 00 tremii:ka t=O do trenutka t=./4 sekullde.

Rjesenje. Diferencijalna jednadzba gibanja tijela koja ujedno znaci ubrzanje tijela glasi:

.. F 5cos2t 2 2 X ~ - ~ ---- ~ -2,5cos t m!s .

m 2

Kincmatika. Opee rjesenje diferencijalne jednadzbe gibanja jest:

i ~ - 12 5sin2t + C ~ -1.25sin2t+ C 2 ' , 1

x ~ -2,5cos2t+Ct +D ~ 0,625cos2t+Ct +D. 4

Konstame C i D odrede se iz pocetnih uvjeta gibanja. Pri t=O mora biti:

Xo ~ -0,625 + D ~ 0 io ~ Vo ~ 0 +C ~ 0,

a to znaci da su konstante c=o i D=O,625m.

Trazene velicine jesu: a) Zakon gibanja tijela: x=O,625(cos2t - 1) m. b) lzraz za brzinu tijela: v=-1,25sin2t m/s.

e) Maksimalna kolicina gibanja tijeia: q",,,=mvmax =2·1,25=2,5 kgm/s.

d) Maksimalna kineticka energija rijela:

2

E ~ mvmax ~ 2. 1,252 ~ 15625Nm.

~ 2 2'

e) lmpuls koji je djelovao od ,,=0 do "max:

S1,2 ~ m ",=,,/4 - ml',=o ~ - 2(1,25 - 0) ~ - 2,5Ns,

ili t""iI!&" -1'-:14 1'-

SI;2 ~ f Fdt ~ j -5cos2tdt ~ -'::'(sin":: -sinO) ~ -2,5Ns. 1=0 2 2

Dinamika

PRIMJER 2.18.3 Materijalna wcka tezille G=9,81 N giba se po kruznici u hori:wutalnoj ravnini x-y konstantnom brzirwrn v= 10 m/s. Odredi:

a.lmpuls prijeJaza iz

b. Impnls tock1.l pri pdjelazu iz polozaja A u C(-r;O).

Rjesenje. lmpu!s uzrokuje promjenu kolicine gibanja. Kolicina Slika 2.18. J gibanja materijalne tOcke se mijenja jer se mijenja orijentaeija vektora brzine. Trazeni impulsi jesu:

a. impuls pri prijelazu iz polozaja A u B:

SA,B ~ mvs - mVA ~ (-lOr - lOJ)Ns, SA,B ~ 14,1 Ns.

b. impuis pri prelaw iz polozaja A u C:

~ (-10J -10J) = -20JNs,

PRiMJER 2.18.4 Tijelo tezine G=9,81 N lezi na

hrapavoj odjednom dobije irnpllis

Tijelo mimje i S=4Ns te se

pralinijsk i i zallStavi nakon Sto prijede put x=4m. Odredi koeficijent trenja na dodirnoj povrSini

tijela i podloge.

~ 20Ns.

Siika 2.18,2

77

RjeSenje. Impuls ee uzrokovati gibanje tijela u smjeru djelovanja impulsa. Sila trenja ce se suprotstaviti gibanju te ce se ono zaustaviti kada brzina bude jednaka nuli.

Pocetna se brzina moze odrediti zakonom impulsa i kolicine gibanja, to jest:

iz S=Aq~mv-O~mv je

Prevaljeni put maze se odrediti zakonom promjene kineticke energije i rada vanjskih sila

glasi:

!!:!. (0-o

ili = -Tx ~ -fGx,

prerna [UI!le je:

&2

2xG ----- ~ :'U'i'

2xg 2'4·9.81 -,


PRIMJER 2. 18.5 Biok tezine G=9,81 N miruje na glatkoj horizontainoj podlozi. Na blok pocne

djelovati sila koja se s kako je tJu;",.,,,.,,,u l1a slid 2.18.3.

Odredi koju ce kineticku el1ergiju imati blok u

15. sekundi i koju ce maksimalnu kineticku energiju imati u toku

Rjesenje. Blok ce se gibati u pravcu djelovanja sile.

Da bi se odredila kineticka energija, potrebno je

odrediti brzinu koju je najpovoijnije traziti zakonom

impulsa.

(II) F

20

1

-5

1~ (8)

Slika 2.18.3

U 5. sekundi ce tijelo imati maksimalnu brzinu, jer je do tog trenutka djelovanje sile u

smjeru gibanja. Nakon 5. sekunde brzina ce se smanjivati jer se smjer sile mijenja.

Impuls po definiciji jest: _ It, r

SI,2 - rdt,

a to znaci povrsinu ispod kruyulje F-t od trenutka t} do trenutka tz.

Impuls do 5. i 15. sekunde jest:

S = 20'5 =50Ns . i 5 2 '

Brzina u 15. sekundi i V max jesu:

S15 g 9,81 Vr=15 = - = SI-- = 25-- = 25m/s

m ' G 9,81 S5 9,81

vmax = - = 50-- = 50m/s. m 9,81

Kinelicka energija u 15. sekundi i maksimalna kineticka energija jesu:

mV~5 1'252 E = -- = -- =3125Nm

k15 2 2 '

mv!ax l'5(f Ek",ax = -2- = -2- = 1250Nm.

Dinamika

PRIMJER 2.18.6 Tijelo tezine G=lOON patine sa visine H=lm i zabije se II tlo na dubiull 111= 1 em.

Ako ocijenimo da je sHa otpora tla pri zabijanju tijela kOllstantna, odredi veliCinu te sHe i vrijeme tijela u do.

prodiranja

Rjesenje. U zadatku su tri karakteristicna trenutka. Prvi trenutak je

[, kada je tijelo pusteno da padne. Drugi trenutak je tz kada tijelo

udari u do. Treci trenutak je t, kada se tijelo zaustavi u tlu. Prema

tome, imamo dva vremenska imervaia i karakteristiku gibanja. U

iN ,"",,~, ' . ,,; n 'I:

I Slika 2.18.4

79

prvom intervalu vremena gibanje predstavlja slobodni pad tijela, kada potencijalna energija

prelazi u kineticku energiju. U drugom intervalu vremena gibanje je jednoliko usporeno. kada

kineticka energija i dodatna potencijalna energija vrse rad svladavanja sile otpora tla.

Za prvi interval vremena od trenutka tl do tz vrijedi da je V1+ V2=Ll.Eb iii 2 2

mv? mv, C-(C-GH) = -t--t,

a posta je v, =0, dobije se da je: 2

mvz GH=-2

iii

Za drugi interval vremena od trenutka t2 do t, vrijedi da je

oonosno:

V2 + Ek2 + We= V3+ RIG.

2 mV2

C, +- -Fh = (CI-Gh) +0 . 2 G(H+h) =Fh.

Cijeli se problem moze promatrati kao zabijanje tijela u tio na racun utroska potencijalne

energije tdine tijela. To se maze izraziti jednadzbom V,+Wd=V3 iIi

C-Fh = C-G(H+h).

Sila otpora tia je jednaka:

F = G 1I +h = 100 1 +0,01 = 1O.100N. h 0,01

Vrijeme prodiranja ce se odredili uz pomoc zakona impulsa u drugoj fazi gibanja. U toj

fazl it brzina orZlDl r",'>{lTlf>C' pada s visine H, a na kraju je nula.

lzraz Z2. lInpuls Jest:

iii (G-F)t=O-mj2gH.

IZDOSl:

80 Materijalna tocka

t=Q J2gH =~~ 2H =~ I 2'1 =OOO452~ g F-G F-G g 1O.OOO~ 9,81 ' ~.

2.18.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAV ANJE

2.18.1 MaterUaina tocka mase m giba se pravocrtno pod djelovanjem sile F=20 N. Brzina

tocke u pocetku gibanja bila je vo=10m/s, a pet sekundi kasnije vs=20 m/s.

Odredi masu materijalne tocke i zakon gibanja.

2.18.2 Kugla tdine G=3N giba se konstantnom brzinom vo=5im/s. Na te±iSte kugJe

pocne odjednom djelovati sila F =(2i - 3J) N i djeluje dvije sekunde.

Odredi koju ce brzinu imati kugla na kraju djelovanja sileo

2.18.3 Na materijalnu tocku koja miruje i ima tdinu G=9,81N, odjednom pocne djelovari

sila F=(4i-3J) N. U trenutku t=4s od pocetka gibanja, brzina tocke je v=(3i+4]) mIs, a poloiaj r=(i+4I)m.

Odredi koju ce imati brzinu i polozaj u trenutke t=8 s.

2.18.4 Tramvajski vlak ima pogonska kola tdine G=120kN i dvije prikolice ukupne rdine

2Q=200 kN. Vlak juri u pravcu horizontal nom prugom Drzinom v=42 kID/h. Odredi potrebnu udaljenost i vrijeme da se vlak zaustavi ako se koci sarno pogonskim

kolima. Koeficijent trenja je f=0,3.

2.18.5 Blok tdine G = 10 N giba se' u pravcu na

horizontalnoj hrapavoj povrsini. U rrenutku kadaje biok imao

brzinu v=5m/s na njega pocne u smjeru gibanja djelovati

konstantna sila F. Blok u vremenu ad 10 sekundi od pocetka

djelovanja sile prevali put s=100m. Koeficijent trenja

dodirne povrsine je f=O,1. Slika 2.18.5

Odredi brzinu bloka u 20. sekundi od pocetka djelovanja sile i silu koja je djelovaJa na

njega kroz to vrijeme.

:~~J; .. G Tijelo iTtaSE: E}1=10 kg giba sc no. podlozi konstantnOITl brzinuHl

4 m/s. Na teziste tijela pocne dje]ovati u smjeru gibanja siia F=40 N. Odredi D2 koJem putu 1 Z2 koje vrijemt" c.e Sf" brzina tiJe12 povecad 5 pUt2

2.18.7 Tijelo teiine G=9,81 N miruje na horizontainoj hrapavoj podlozi. Odjednom .Ie na

tijelo djelovao impuls S=4Ns i ono hene li pravcu liZ koeficijent trenja jf=(},OS. UdreGi za kOJe vriJeme 1

energija smanji na polovinu.

put ct prevaiin tijelo do trenutka kad mu se kineticka

Dinamika 81

2.18.8 Metak tdine G=50 N napusta topovsku cijev brzinom 1'=800 mIs, uz srednju silu barutnih plinova ad F=200kN.

Odredi trajanje gibanja metka u cijevi i duzinu cijevi.

2.18.9 Teret rdine

G = 100 N vucen je

uz hrapavu kosinu.

Nagib kosine Je

a= 10°. Sila vuce se

mijenjala u ovisnosti

s vremenom, kako

je pokazano na slici

~~~~~5'~~~~+-~--~~ t b 10 (8)

Slika 2.18.6

2.18.6. Koeficijent trenja na dodirnoj povrsini pri gibanju je f=0,2. Odredi brzinu tereta u desetoj sekundi.

2.18.10 Blok

[eline G=lOON miruje na hrapa-

kosini. Kosi

na je nagnuta pod

kutom a=300. Koeficijent trenja

na dodirnoj povr

sini bioka i kosi-

(N) F

l~~ ------- - - - -

40

I III 0 I

o 5

Slika 2.18.7

ne je f=0,4. Na blok odjednom pocne djelovati sila koja se

kako je pokazano na slici 2.18.7.

Odredi brzinu, prevaljeni put i utroseni rad do 15. sekunde.

2.18.11 Teret tdine

G=50N miruje na

horizontainoj hrapavoj

povrSini. Na tere! je

pocela djelovati sila

koja se mijenjaia s

kazan0 na slici 2. 8.8.

Koefici tent tren.ia na

Uaredl:

DO'Vfsini

a. maksimainu brzinu terel£l,

b. izvrseni rad de 30. sekunde.

Slik~2.188

ie f=O.1.

c. u~~pr!: Hl1PU~:) ~~~Jj: Je Jjt:tOV3.0 n~ ily=::lct 0.0 3h" seKuuae

d. prevaljeni put do 30. sekunde.

! I I I I I

---t

10 15 (al

U ovisnosti s vremenom


2.19. KINETICKI MOMENT MATERIJALNE TOCKE

y

Siika 2. J 9.1

Materijalna tocka mase m giba se u prostoru pod djelovanjem sile F. U promatranom trenutku polo

zaj tocke odreduje radius vektor r i ima brzinu v (vidi sliieu 2.19.1).

Koiicina gibanja tocke je:

q=m17. 2.19.1

U tom trenutku gibanja kineticki moment iii moment kolicine gibanja lla nekl.l tocku prostm:a M, koja miruje iIi se giba, definiran je izrazom:

KM = p xq= 15 xmv,

gdje je polozaj materijalne tocke od tocke M oznacen sa p.

2.19.2

Tocka na koju se racuna kineticki moment moze biti:

a. IshodiSte ~~,pv"umd"'''' koordimlin.oga sustava x,y,z. U tom slucaju je p =f pa je moment kolicine gibanja jednak:

(=rxmv. 2.19.3

b. Proizvoljna tocka A koja se i sarna giba, tako da se maze izraziti apso!utni i reiativni kineticki moment gibanja na tu tocku s izrazima:

Ci. apsolutni moment kolicine gibanja:

itA = 15 x mvaps ' 2.19.4

/3. relativni moment kolicine gibanja:

itA = P x mv I' rei re 2.19.5

gdje je 15 ='1-'1A

Dinamika

2.20. ZAKON MOl\1ENATA

Za materijalnu rocieu mase m, koja se giba u prostom pod djeJovanjem sile F, prema drugom Newtonovu zakonu uvijeie

vrijed i da je Moment te sile moze se racunari na neku nepomicnu tocleu,

koju se moze uzeti ieao ishodiste nepomicnoga koordinatnog

sustava, iIi na neku opeu toeku koja se i sarna giba.

a. Moment na ishodiSte

Moment sile F na ishodiste dan je izrazom:

/vIc = fx F = rx ma.

Deriviranjem izraza 2.19.3 dobiva se:

dKo d ,- en - - - -" - F--- :::: -=- '{l >< mv} = v x mv + r x ma :::: U + r x :::: dt dt

iz toga vrijedi:

83

y

Slika 2.20.1

2.20.1

2.20.2

Taj se izraz naziva ZAKON MOMENATA. On glasi: Derivadja po vremenu kinetickog momenta materijalne tocke jednaka je momentu ukl.lpne sue koja djeluje na tu materijainu tocku. Kineticki moment i moment sile racunani su na ishodiste iIi nepornicnu

tocku O.

b. Moment na tOCKU A koja se i sarna giba Moment sile F na tocku A, koja se takoder giba, dan je izrazom:

MA = 15 x F = p x ma. 2.20.3

Taj izraz moze se prikazati na dva nacina. Jedan nacin .ie da se ukljuci promjena apso!utnog momenta kolicine gibanja mmerijalne tocke po vremenu, a drugi nacin je de. se ukljuci prornjena relativnoga kinetickog momenta. Kineticki se moment U oba slucaja racuna

no. i~lu locku A. Ti izrazi gla;;~.

2.20.4

iii

2.20.5


Jednadzbe 2.20.4 i 2.20.5 izvedene su na slijedeci nacin:

1. Uz oznalee na slici 2.20.1 kineticki moment na tocku A dan je izrazom:

KA = P xmiJ.

Deriviranjem tog izraza po vremenu dobije se:

dK d- d-__ A =----.f xmv+p xma=----.f x dt dt dt

sto znaci da je:

M = A _ dp xmv.

dt dt

Uzimanjem da je f=f>p i v=v + dp dobiJ'e se: A dt'

i konacno:

dp x mv= dt

x m VA + dp x m dp = dp x dt 'dt dt dt

~ dKA dp M =---- X

A dt dt

2.20.6

2.20.4

2 K d b· .. I vk ., v d2f d2 (r:. ~ p) ..

. a a se u rzanJe matenJa ne toe e pnKaze sa a= =aA +arel

1 uvrstI u izraz 2.20.3, dobije se: dt

2 dt

2

MA = = P x ma = p x m(aA +arel) = Ii x ma;, + p x marel'

a posto je:

'K a A~ d (_ _) _ _ ~ -- =- p xmv I =V zxmv ,.+0 x dt dt re re reo

tada se moze konacno pisati:

+p x 2.20.S

A.ko se Locka A. giba konstanmom brzinOL. S10 znaci dc . .I4 aA rada

1..1.0.7 cit

Dinamika 85

Daleje, ako se materijaina tocka A giba konstantnom brzinom VA' a kineticki se moment i moment sile racunaju na tu tocku A, tada je derivacija relativnog momenta kolicine gibanja

materijalne tocke po vremenu jednaka momentu sile. To pokazuje u dinamici ravnopravnost pmstora koji se brzinom l.! smjeru i prostOl'2 koji mHu.je.

Posto se velicine u jednadzbi 2.20.2 mogu prikazati sa:

dKo

d _ d i j :1 dKx .,. dKy .,. dKz -

- = -(r x mV) =- x y =-I+-J+-k dt dt dt

mil dt dt dt

mi my

i j

:1 =MJ+M/+ Mo =fxF= x y

2.20.8

F x Fy FI zJ

to znaci da se vektorskajednadzba 2.20.2 moze prikazati trima skalarnimajednadzbama koje

glase:

dKx = ~[m(Yi -zy)] = F y-F,z =M dtdt z Y x

dKy d [ (. .)] ~ F M -- = - m zx - xz =!:' Z - X = , dtdt x z y 2.20.9

dKz d [ (. .)] F ~ -=-mxy-yx = x-f<y= dtdt )' x

Velicine KX,Ky i Kz prikazuju kineticke momente materijalne tocke, a

velicine Mx,My i Mz prikazuju momente sile na osi x,y i z koje prolaze ishodistem O.

86 Marerijaina tocka

2.20.1. RIJESENI PRIMJERI

PRIMJER 2.20.1 Materijalna tocka mase m ovjesena .Ie za

nerastezijivu nit duzine I i miruje u vertikalnom poloiaju niti. -...."...~+--iio y Ako maSli odklonimo za kut qJ i pustimo slobodno, masa

ce poceti da se giba i to osdlatorno, kao matematicKO u ravnini slike.

Odredi '''''L'Jiaw,ujednadzbu gibanja, ako se tezinu niti i otpor zraka zanemari.

U stanju mirovanja pri kutu qJ ~O, sile koje djeluju

na masu jesu sila So i sila G. One su u ravnotezi, pa se moze

pisari:

U stanju gibanja masa vrsi oscilatorno gibanje po kruznici

radillsa I, i na njll ojelllju sile S i G koje nisll u ravnoteZi. U nekom trenutku maia ce bili otklonjena za kut qJ, imati kutnu

brzinu w ~ <P i kutno ubrzanje e ~ iP (vidi sliku 2.20.3). Za koordinatni sustav kojem je ishodiste u hvatiStu niti, a

ravnina gibanjaje ravnina x-y, bit ce z ~O, i ~O i F z ~O, pa

je

~M k K ~ z 0

Za promatrani trenutak je:

Prema zakonu momenata mora biti odnosno: dt

Gl . d ( [2') G [2 .. - sm<p ~ - m <p ~ - <p . dt g

Znaci da diferencijalna jednadzba gibanja matematickog njihala glasi:

if! + f{ sin<p ~ 0 I

Slika 2.20.2

2.20.3

K:ldz jc t'Jt ).' v~1c; rna!er:, :naze se uzeti da je sinff == ip, pa diferencijalna jednadzta gibz.nj3. glasi:

~0

Jednadibe matematickog njihaia pokazuju da je gibanje oscilatorno.

QLll?t!!lika _____________ _

PRIMJER 2.20.2 KugHca mase m ""zana je za nit Ii knrzi oko vertikame osi po zakunu 1"=I"(t). Nit:; tom

osi zatvara kut (j (viai sliku 2.2004). Aka se zanemare teziua niti i otpOIf zraka, allau,cu .• ,,,

Kuglke.

Rjesenje. Kuglica vrSi kruzno gibanje. lzabran je desni

pravokutni koordinatni sustava x,y,z. PoIoZaj kuglice

odreduje vektor:

Brzina gibanja racuna se izrazom v ~ w x I, gaje je w ~ je:

.. k

x y z

Ortovi 1'0' ~ oznaceni su na slici 2.20.5.

Moment sila na kuglicu, racunan na ishodiste,

jest: - - -Mo ~ I x G ~ + + xGk~

= G (yz - xl) ~ Gr(sin<p r - cos<PI) ~ -GrTo'

Kolicina gibanja kuglice jest:

ij~mv~mr(i)1:'o'

Kineticki moment na ishodiste jest:

::::; I xrfl.rw ro :=: mr2 0)£ -mrz w

Derivacija momenta po vremenu jest:

dl dt

Zalwn momenaLa izzaZavZL vekLorsku

87

~ (jJ k. To znaci da

Slika 2.20.5

88

Ta vektorska jednadzba sadrzava tri algebarske jednadzbe:

-mrze=O -mrzw2 = -Gr = -mgr

mr2 e=O.

Materijalna tocka

Ako se izrazi da je r = lsin~, z = lcos~ i E =ijI, tada se dobivene jednadzbe mogu dati u konacnom izrazu:

siniJ cosiJ ijI = 0 a) Lcos~ <1>2 =g b)

sin2~ ip = 0 c)

Da budu ispunjene jednadzbe a) i c) uz uvjet da f1 *0, mora biti je <I> = konst.

Iz jednadzbe b) dobiva se:

<1>2 = -gI cosfl

iIi da je cosfl =.-L (;;2 '

<p = 0 , !lto znaci da

a to znaci da je polozaj kuglice odreden duzinom niti i iznosom kutne brzine.

Analiza gibanja kuglice mogla se obraditi postupkom D' Alemberta. Tada prvo treba anal izirati vanjske sile i kinematiku gibanja. Za kineticku analizu postupkom D' A!emberta

(reba dodati silu inercije L=LN+Lp i pisati jednadibe ravnoteze za stvorenu dinamicku

ravnote±u. Sile inercije su jednake LN=mrw2 i Lr=mn:. lednadzbe ravnoteze glase:

LXi = LN - S sinil = mr w2 - S sinlJ = 0

Lyl = - =0

LZ = G - S cos{) = o.

lz tih jednadzbi dobije se da mora biti:

mrw2 S = -- = mlw2• e = 0

siniJ '

Dinamika

2.20.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE

2.20.1 Na materijalnu tocku djeiuje centraina sila, to jest

,ila koja uvijek djeluje u smjeru centra elipse O. U polozaju

A, koja je 3 ill od centra elipse, materijalna tocka ima brzinu

vA=4m/s. Odredi koju ce brzinu imati tocka u polozaju E, ako je

udaljenost tocke E od centra elipse 2 m, a centralna sila s

brzinom zatvara kut 0'=45°.

2.20.2 Kuglica mase m, pricvrscena je tankom niti za vrh tankog stapa u tocki C. Kuglica rotira tako da se

nalazi na udaljenosti hA =1 m, i ima brzinu v A =2 m/s. Odjednom se nit pocne namotavati oko stapa pa se

kuglica vrti sve blize stapu. Odredi brzinu kuglice za trenutak kada dode na

udaljenost hB =O.2m od stapa. Te±ina niti i debijina

stapa neka se zanemare.

2.20.3 Teret tdine G visi na niti duzine 1= 1 m. Teret je

maknut iz polozaja ravnoteze i pridrian u polozaju 1, tako da

nit s vertikalnom osi zatvara kut 0'. Ako se teret pusti slobodno, on ce se gibati i doci u polozaj 2, tako da dio niti

stoji vertikalno, a dio, radi oslanjanja na lezaj, dode u

polozaj u kojem nit s vertikalnom osi zatvara kut p. Odredi kut {3 i vrijeme trajanja gibanja kuglice iz poloiaja

1 u polozaj 2.

89

I A !O x

Siika 2.20.7

2.20.8

Slika 2.20.9

90 Materijalna rocka

2.21. ZAKON ,-,'-"-'CLue," Mo.MENTA

Moment kolicine gibanja io materijalne tocke mase m na nepomicnu wcku 0., bit ce nepromjenljiv, ako je moment !l1o od ukupne vanjske sile F na tu istu tocku 0. jednak nuli. To ce biti aka je ukupna sila F nula, iii aka ukupna sila djeluje u smjeru tocke 0..

Ako je ukupna sila nula, znaci da nema promjene gibanja, odnosno ria materijalna tocka

iIi miruje iii se gibajednolikom brzinom u pravcu pa nema potrebe ria se dinamicki analizira. Kada ukupna sila djeluje u smjeru tocke 0., promjena kinetickog momenta je nula:

di __ 0 ~5

dt ' 2.21.1

pa vrijedi zakon odrianja kinetic!cog momenta koji kaie: Karla je moment sile iJ", !roja

tocku, racunan na tocku 0. mill, tada nema m!)mcni.a te na istu tocku

Ako se kineticki moment ne mijenja, znaci da je kineticki moment konstantan vektor za svaki trenutak vremena, pa vrijedi da je:

Sila koja djeluje u smjeru tocke 0 zove se central.na sila, a sarna Locka 0. centar tog gibanja.

Ako je fxv~C, gdje je C kOllstanlan vektor, vektori f i v ostaju u istoj ravnini okomitoj na vektor pa je

t:l.kvo gibanje lnlVninsko gibanje. Za centrainu silu vrijedi (vidi slilm 2.21.1),

rvsina ~rl v1sina j =konst.

U kinematici gibanja planeta oko sunca iii gibanja satelita oko planeta vrijednost:

naziva se sektorska iii plusl.l<t bn:rna.

gibanja planeta.

2.21.2

\t~ Pi <::i

f r I

o / " r / . '" /

Slika 2.21.1

2.21.3

Dinaln~ka

2.22. ZAKON Mo.MENTA IlVi.jP'I.JLSA I KINETICKOG MOMENTA

Mnozenjem jednadzbe zakona momenata sa dt riobivamo:

di ~ M dt = f x F dt ~ d}.7;S. o 0 0

91

2.22.1

U toj jednaazbi diG oznacuje diferencijal momenta kolicine gibanja, a velicina dM: oznacuje moment eiementarnog impulsa.

lntegriranjem te jednadzbe od trenutka tj do trenutka t2 dobije se:

t., 2 2

Jf di ~ fdi ~ i - i ~ !J.i = Jr dMS = !l1s .

o 0 02 01 0 0 01,2

tl 1 1

lz te jednadzbe slijedi zakon momenta impulsa koji glasi: Moment materijamu toclm mrokuje prumjel.lu kmetickog UH"llJ'''U,",''.

Zakon se izraiava formulom:

iii jednostavnije pisano:

na

2.22.2

2.22.3

Treba imati na umu da je i moment impulsa i kineticki moment racunan na istu nepomicnu

tocku 0.. lndeks s kod momenta podsjeca da je to moment ad impulsa.

2.22.1. ruJESENI PRllvl:JER!

PRIMJER 2.22.1 Kugl.ka mase m vezana za nit, giba se po krufnici radins2 r 1 sa konstantnom kutnom brzinom W j po

giatkoj horizontainoj Aka se nit pu,;,,'::i knn cental" kn .. luiu::, se po sye manjoj kr'uiillcL

i koja ce bitt

Siika 2.21.2


RjeSenje. Ukupna vanjska sila koja djeluje na kuglicu je sila niti usmjerena u smjeru centra kmznice po kojoj se giba kuglica. lzabran je koordinatni sustav s ishodistem u centru

kruznice. Moment sile niti na ishodiste je nula pa je: dK

o _ _

- ~M ~o. dt 0

To znaci da kineticki moment mora biti konstantan, to jest:

Ko ~ f x mil ~ mr2wk ~ kanst,

PRIMJER 2.21.2 Polozaj materijaine tocke mase m=lOkg odreduje radius vektor

f~ (t2 i+ti)m.

Odredi: a) Kinematicke elemente gibanja materijaine tocke. b) braze 1:a silu, kQlicinu gibanja, staticki kineticki moment na ishodiSte,

impuls i moment impulsa na ishodiSte za interval vremena f1t ~ '2 - tl .

c) Izracunaj sHu i kolicinu gibanja, te statiCki. i kineticki moment na ishodiSte za trenutak t l =58 i trenutak t 2 =10s.

d) Izracunaj impuls i moment impulsa na ishodiSte koji su djeiovlili u intenralu vremena f1t ~ t2 - tl .

e) Provjeri izraze za F, Mo, 8I ;J. poznatili stavki dinamike.

RjeSenje: a) Elementi giballja jesl.l:

zakon gibanja r= (tzi+tl)m, brzina v=f~(2ti+i)ms-l, ub,zanjt: - ~. "". -"" a ;:;;: r ::. .Lt ms ..

b) TraZelli izrazi jesu: sila p ~ mil ~ 20ikgms-2

kolicina gibanja il ~ mil = (20ti + lOi)kgms-1 ,

Dinamika

staticki moment fi i k1

- - I Mo ~ TxF = [t2 t 0

20 0 oj ~ -20tkNm,

i j k kineticki moment Ko ~fxil= t2 0

20t 10 0

impuls 2 2 2

81;1. = fFdt~ !(-20t k)dt~(-lOt2k)l, 1 1 1

2

moment impulsa M~l;! ~ f M~dt = f (-20tk)dt ~ (-1 1

c) Vriieij!](lsti 1:a trazene trcl1utke.

dj

za trenutak tj = 5 s:

FI = 20i N,

if! =(1001 +10/) kgms- I ,

MI ~-lOOk kgm2s-2,

£.1 ~-250k kgm2s-t,

za trenutak t 2 =lO s:

£2 = zor kgms-2,

il2 =(200i + wi) kgms-I,

M2 ~-200k kgm 2s-2,

£.2 ~-lOoof kgm 2s- I

j rnoment za

10

) i = (200-

!O

! ~[-lOOOf-,

2

I· ]

93

kolicina gibanja

Documents

Transcript of kolicina gibanja