1. FUNKTION APPROKSIMOINTI - Jyväskylän yliopisto · Funktion approksimoinnilla tarkoitetaan...
Transcript of 1. FUNKTION APPROKSIMOINTI - Jyväskylän yliopisto · Funktion approksimoinnilla tarkoitetaan...
1. FUNKTION APPROKSIMOINTI
Funktion approksimoinnilla tarkoitetaan funktion arviointia toisella (yksinkertaisemmalla) funktiolla. Syitä tähän ovat:
ë Alkuperäisen funktion arvot ovat vaikeita tai hitaita laskea. Halutaan esimerkiksi korvata alkuperäinen funktio sellaisella funktiolla, jonka arvon määrittämisessätarvitaan vain neljää peruslaskutoimitusta. Tällaisia ovat mm. polynomi- ja murtofunktiot.ë Funktion arvot tunnetaan vain osassa määrittelyjoukon pisteistä, ts. funktion analyyttista lauseketta ei tunneta ollenkaan tai se tunnetaan vain määrittelyjoukon osassa. Esimerkiksi empiirisen eli kokeellisen funktion tapauksessa tunnetaan funktion arvoja yleensä äärellisessä (laskettavissa olevassa) diskreetissä joukossa.
Approksimoivat funktiot voidaan jakaa karkeasti kahteen luokkaan:
1) Approksimoiva funktio saa ennalta annetuissa pisteissä samat arvot kuin approksimoitava funktio. Näin halutaan erityisesti, kun pyritään korvaamaan alkuperäinen funktio helpommin laskettavalla. Menetelmistä mainittakoon interpolointi, jossa pyritään arvioimaan tunnettujen arvojen välisiä arvoja korvaavalla funktiolla, ja ekstrapolointi, jossa pyritään arvioimaan tunnettujen arvojen perusteella muodostetulla korvaavalla funktiolla tunnettujen arvojen ulkopuolelle jääviä arvoja. Mikäli funktiosta tunnetaan myös ensimmäisen tai suuremman kertaluvun derivaattoja, voidaan funktiota approksimoida Taylorin polynomeilla.2) Approksimoiva funktio liittyy jollakin muulla tavalla approksimoitavaan funktioon, esimerkiksi sovitetaan toisen asteen yhtälön parametrit tunnettuun aineistoon siten, että tunnetuissa pisteissä approksimoivan ja approksimoitavan funktion arvojen erotuksien neliöiden summa minimoituu.Tätä menetelmää kutsutaan pienimmän neliösumman käyränsovitukseksi. Eri käyränsovitus-menetelmät soveltuvat hyvin pyrittäessä löytämään funktio, joka kuvaa jotakin fysikaalista tai muuta ilmiötä ja käytettävissä on vain äärellinen otos tai äärellinen määrä mittaustuloksia. Tällöin luopuminen pisteittäisestä osumisesta alkuperäiseen funktioon voidaan perustella sillä, että esim.fysikaalisiin mittauksiin liittyy aina mittausvirhe.
à 1.1 Lineaarinen interpolointi ja ekstrapolointi
Tunnetaan muuttujan arvoja x0 ja x1vastaavat funktion arvot f Hx0L ja f Hx1L. Arvioidaan muuttujan arvojen x0 ja x1 välisiä funktion arvoja korvaamalla funktion f kuvaaja sillä suoralla y, joka kulkee pisteiden Hx0, f Hx0LL ja Hx1, f Hx1LL kautta.
Suoran kulmakerroin on f Hx1L- f Hx0LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx1-x0
, joten saadaa yhtälö
y = f Hx0L + f Hx1L- f Hx0LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx1-x0
Hx- x0LLaskettaessa nyt funktion arvoa pisteessä x` , x0 < x` < x1 , korvataan funktio f HxL x:n suhteen enintään ensimmäistä astetta olevalla lineaarisella interpolaatiopolynomilla pHxL = y. Saadaan likiarvoyhtälö
f Hx`L º pHx`L = f Hx0L + f Hx1L- f Hx0LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx1-x0
Hx` - x0LLikiarvon virheelle voidaan johtaa yhtälö
sHxL = 1ÅÅÅÅ2 Hx- x0L Hx- x1L f '' HtL, jollakin t œD x0, x1@edellyttäen, että funktiolla f on jatkuva toisen kertaluvun derivaatta välillä @x0, x1D. Koska lukua t ei yleensä tunneta, pyritään löytämään f'':lle maksimi välillä D x0, x1@ ja saadaan siten virheelle yläraja. Jos interpolaatiopolynomia käytetään myös funktion f
arvojen approksimointiin välin @x0, x1D ulkopuolella, kutsutaan menetelmää ekstrapoloin-niksi.
à 1.2 Interpolaatiopolynomit
Mikäli approksimoitavan funktion arvoja tunnetaan useammalla kuin kahdella muuttujan arvolla, voidaan approksimointiin käyttää lineaarisen interpolaatiopolynomin ohella korkeampaa astelukua olevia polynomeja. Mikäli funktion arvo tunnetaan n+1:llä muut-tujan arvolla, voidaan muodostaa korkeintaan astetta n oleva interpolaatiopolynomi. Siis jos tunnetaan funktion arvo kolmella muuttujan arvolla, voidaan muodostaa korkeintaan astetta kaksi oleva interpolaatiopolynomi. On kuitenkin syytä huomata, että interpolaa-tiopolynomin asteluvun kasvattaminen ei välttämättä johda parempaan approksimaatiotu-lokseen kuin esimerkiksi interpolaatiosuoran käyttö, vaan pahimmassa tapauksessa johtaa approksimaatiovirheen rajuun kasvuun. Voidaan kuitenkin menetellä siten, että sovelle-taan paloittain esimerkiksi 3. asteen interpolaatiopolynomeja, jolloin approksimoitavan funktion kuvaajan kaarevuus tulee paremmin huomioitua, mutta approksimoivan poly-nomin heilahtelu pysyy kontrolloituna.
2 MAA12teksti.nb
à 1.3 Esimerkkejä
ü Esimerkki 1.
Funktiosta f tunnetaan seuraavan taulukon mukaiset arvot:
x 1 2 3f HxL 0.7 0.9 1.4
Määritetään lineaarisella interpoloinnilla f H1.5L ja f H2.5L. Kannattaa huomata, että interpo-laatiosuoran yhtälön muodostaminen ei ole välttämätöntä, vaan voidaan käyttää verrantoa:
0.9-0.7ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2-1 =Dy
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1.5-1 , josta Dy = 0.1, joten f H1.5L = 0.7+ 0.1= 0.8
1.4-0.9ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3-2 =Dy
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2.5-2 , josta Dy = 0.25, joten f H2.5L = 0.9+ 0.25= 1.15.
ü Esimerkki 2.
Tutkitaan funktion f HxL = ln x arvoja välillä @3, 6D käyttäen pisteiden H3, ln 3L ja H6, ln 6L kautta kulkevaa interpolaatiosuoraa. Suoran yhtälö on
y = ln 3+ ln 6-ln 3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ6-3 Hx- 3L = ln 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 Hx- 3L + ln 3 = ln 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 x+ ln 1.5
Plot @8Log@xD, Log @2Dê 3 ∗ x + [email protected] D<, 8x, 2, 7 <D
3 4 5 6 7
0.8
1.2
1.4
1.6
1.8
2
xˆ 3.5 4 4.5 5 5.5
yˆ 1.2141 1.3297 1.4452 1.5607 1.6762
f HxˆL 1.2528 1.3863 1.5041 1.6094 1.7047
» yˆ − f HxˆL » 0.0387 0.0566 0.0589 0.0487 0.0285
Koska f '' HxL = - 1ÅÅÅÅÅÅx2 , joka tarkasteluvälillä jatkuva, saadaan interpolaatiosuoran virheeksi
sHxL = 1ÅÅÅÅ2 Hx- 3L Hx- 6L H- 1ÅÅÅÅÅt2 L jollakin t œD 3, 6@.
Lausekkeeseen liittyvän paraabelin Hx- 3L Hx- 6L = x2 - 9 x+ 18 arvot ovat tarkasteluvä-lillä D 3, 6@ negatiivisia ja huippu on kohdassa x = 4.5, joten
MAA12teksti.nb 3
» Hx- 3L Hx- 6L » § » H4.5- 3L H4.5- 6L » = 9ÅÅÅÅ4 . Lisäksi » f '' HxL » = » - 1ÅÅÅÅÅÅx2 » < 1ÅÅÅÅ9 , kun x œD 3, 6@. Absoluuttiselle virheelle pätee siis
» sHxL » < 1ÅÅÅÅ2 ÿ 9ÅÅÅÅ4 ÿ 1ÅÅÅÅ9 = 1ÅÅÅÅ8 = 0.125, kun x œD 3, 6@.
ü Tehtävä 1.
Määritä lineaarisella interpoloinnilla f H0.65L ja f H2.20L, kun funktiosta tiedetään
x 0 1 3f HxL 3.1000 2.4679 2.1001
Ratkaisu:
Verrantoa apuna käyttäen saadaan
2.4679-3.1000ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1-0 =Dy
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ0.65-0 , josta Dy º -0.4109, joten f H0.65L º f H0L - 0.4109= 3.1000- 0.4109= 2.6891 ja
2.1001-2.4679ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3-1 =Dy
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2.20-1 , josta Dy º -0.2207, joten
f H2.20L º f H1L - 0.2207= 2.4679- 0.2207= 2.2472.
ü Tehtävä 2.
f H35L = 1.544 ja f H45L = 1.653. Muodosta interpolaatiosuoran yhtälö ja käytä sitä funk-tion arvon approksimointiin muuttujan arvoilla 39 ja 42.
Ratkaisu:
y = f Hx0L + f Hx1L- f Hx0LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx1-x0
Hx- x0L = 1.544+ 1.653-1.544ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ45-35 Hx- 35L = 0.0109 x+ 1.1625, joten
f H39L º 0.0109ÿ39+ 1.1625= 1.5876 ja f H42L º 0.0109ÿ42+ 1.1625= 1.6203.
ü Tehtävä 3.
Muodosta funktionf HxL = è!!!x interpolaatiosuora välillä @1, 4D, approksimoi sen avulla
funktion arvoa muuttujan arvoilla 2.8 ja 3.4 ja vertaa laskimen antamiin arvoihin. Määrää lisäksi interpolaatiosuoran virhekaavan avulla arvio interpoloinnin virheelle.
Ratkaisu:
y = f Hx0L + f Hx1L- f Hx0LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx1-x0
Hx- x0L = è!!!1 +
è!!!!4-
è!!!!1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4-1 Hx- 1L = 1ÅÅÅÅ3 x+ 2ÅÅÅÅ3
xˆ 2.8 3.4
yˆ 1.6 1.8
f HxˆL 1.673 1.844
» yˆ − f HxˆL » 0.073 0.044
f '' HxL = - 1ÅÅÅÅ4 x-3ÅÅÅÅ2 , joka jatkuva ja » f '' HxL » < 1ÅÅÅÅ4 tarkasteluvälillä.
sHxL = 1ÅÅÅÅ2 Hx- 1L Hx- 4L I- 1ÅÅÅÅ4 t-3ÅÅÅÅ2 M, t œD 1, 4@
4 MAA12teksti.nb
Kuten esimerkissä 2., saavuttaa lausekkeen » Hx- 1L Hx- 4L » arvo maksimin paraabelin huippua vastaavalla muuttujan arvolla, tässä siis, kun x = 2.5, jolloin » H2.5- 1L H2.5- 4L » = 9ÅÅÅÅ4 . Saadaan absoluuttiselle virheelle yläraja:
» sHxL » < 1ÅÅÅÅ2 ÿ 9ÅÅÅÅ4 ÿ 1ÅÅÅÅ4 = 9ÅÅÅÅÅÅÅ32 = 0.28125.
Huom. Tässä tapauksessa virheelle voidaan määrittää maksimi helposti myös suoraanlaskemalla:
sHxL = è!!!x - H 1ÅÅÅÅ3 x+ 2ÅÅÅÅ3 L, s ' HxL = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2 è!!!
x- 1ÅÅÅÅ3 ja derivaatalla on tarkasteluvälillä nollakohta
arvolla 9ÅÅÅÅ4 , joka maksimi. Virheen maksimiksi saadaan siis
sH 9ÅÅÅÅ4 L = "#####9ÅÅÅÅ4 - H 1ÅÅÅÅ3 ÿ 9ÅÅÅÅ4 + 2ÅÅÅÅ3 L = 1ÅÅÅÅÅÅÅ12 º 0.083.
ü Esimerkki 3.
Ratkaistaan tehtävä 1. käyttäen toisen asteen interpolaatiopolynomia eli selvitetään ensin sen paraabelin yhtälö, joka kulkee annettujen kolmen pisteen kautta. Paraabelin yhtälö on muotoa p2HxL = a0 + a1 x+ a2 x2 . Sijoitetaan yhtälöön tunnetut pisteet ja saadaan yhtälöryhmä:
loooomnoooo
a0 + a1 ÿ0+ a2 ÿ02 = 3.1000
a0 + a1 ÿ1+ a2 ÿ12 = 2.4679
a0 + a1 ÿ3+ a2 ÿ32 = 2.1001
ñ
looomnooo
a0 = 3.1000a0 + a1 + a2 = 2.4679
a0 + 3 a1 + 9 a2 = 2.1001
Sijoitetaan a0 alempiin yhtälöihin ja ratkaistaan niistä a1 ja a2, saadaan
looomnooo
a0 = 3.1000a1 = -0.7815a2 = 0.1494
Interpolaatiopolynomiksi saadaan siis p2HxL = 0.1494 x2 - 0.7815 x+ 3.1000.
f H0.65L º 2.6551 ja f H2.20L º 2.1037 (Vertaa tehtävässä 1. saatuihin arvoihin.)
ü Esimerkki 4.
Approksimoidaan funktiota f HxL = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1+x2 interpolaatiopolynomeilla välillä @-6, 6D.Havaitaan kuvaajista funktion heilahtelun ja samalla virheen kasvavan asteluvun (tässä 4,6 ja 12) kasvaessa.
MAA12teksti.nb 5
polynomit = Table AExpand AInterpolatingPolynomial A
Table A9x,1
���������������1 + x2
=, 8x, −6, 6, n <E, x EE, 8n, 1, 3 <E;
polynomit êê TableForm
kuva1 =
Plot @Evaluate @polynomit D, 8x, −6, 6 <, DisplayFunction → Identity D;
kuva2 = Plot A 1���������������1 + x2
, 8x, −6, 6 <, PlotStyle → AbsoluteThickness @2D,
DisplayFunction → Identity E;
Show@kuva1, kuva2, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
1 − 5585 x2��������������8177 + 42983 x4����������������204425 − 5946 x6��������������204425 + 619 x8��������������327080 − 23 x10��������������408850 + x12����������������1635400
1 − 841 x2������������3145 + 57 x4����������3145 − x6����������3145
1 − 23 x2����������185 + x4��������370
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
ü Tehtävä 4.
Määritä pisteisiin (-1, 14), (1,0), (3,2) ja (4, -6) liittyvä 3. asteen interpolaatiopolynomi.
Ratkaisu:
Kolmannen asteen (interpolaatio)polynomin muoto on p3HxL = a0 + a1 x+ a2 x2 + a3 x3 .Sijoitetaan tunnetut pisteet ja saadaa neljän yhtälön ryhmä:
looooooomnooooooo
a0 +a1 ÿ H-1L +a2 ÿ H-1L2 +a3 ÿ H-1L3 = 14
a0 +a1 ÿ1 +a2 ÿ12 +a3 ÿ13 = 0
a0 +a1 ÿ3 +a2 ÿ32 +a3 ÿ33 = 2
a0 +a1 ÿ4 +a2 ÿ42 +a3 ÿ43 = -6
ñ
loooooomnoooooo
a0 -a1 +a2 -a3 = 14a0 +a1 +a2 +a3 = 0a0 +3 a1 +9 a2 +27 a3 = 2a0 +4 a1 +16 a2 +64 a3 = -6
6 MAA12teksti.nb
Laskemalla kaksi ylintä yhtälöä yhteen saadaan 2 a0 + 2 a2 = 14ñ a0 = -a2 + 7.Vähentämällä toinen yhtälö ensimmäisestä saadaan -2 a1 - 2 a3 = 14ñ a1 = -a3 - 7.Sijoittamalla a0 ja a1 kahteen alimmaiseen yhtälöön saadaan yhtälöpari
: 7- a2 +3 H-7- a3L +9 a2 +27 a3 = 27- a2 +4 H-7- a3L +16 a2 +64 a3 = -6
ñ
9 8 a2 +24 a3 = 1615 a2 +60 a3 = 15
ñ 9 a2 +3 a3 = 2a2 +4 a3 = 1
Vähentämällä yhtälöparin alemmasta yhtälöstä ylempi, saadaan a3 = -1. Sijoittamalla a3
saadaan a2 = 5 ja edelleen sijoittamalla a2 ja a3 aiempiin yhtälöihin, saadaan a1 = -6 jaa0 = 2. Interpolaatiopolynomiksi saadaan p3HxL = 2- 6 x+ 5 x2 - x3 .
pisteet = ListPlot @88−1, 14 <, 81, 0 <, 83, 2 <, 84, −6<<,
PlotStyle −> PointSize @0.02 D, DisplayFunction → Identity D;
p3 = Plot @2 − 6 x + 5 x2 − x3, 8x, −1, 4 <, DisplayFunction → Identity D;
Show@p3, pisteet, PlotRange → All,
DisplayFunction → $DisplayFunction D;
Clear @pisteet, p3 D
-1 1 2 3 4
-5
5
10
ü Tehtävä 5.
Olkoon f HxL = è!!!x . Oletetaan tunnetuksi muuttujan arvoja 1, 2.25 ja 4 vastaavat funktion
arvot. Muodosta interpolaatiopolynomi ja approksimoi sen avulla funktion arvoa pisteissä 2.8 ja 3.4. Vertaa arvoja tehtävässä 3. saatuihin.
Ratkaisu:
Tunnetut pisteet ovat (1, 1), (2.25, 1.5) ja (4, 2). Sijoitetaan pisteet toisen asteen(interpolaatio)polynomin yleiseen muotoon p2HxL = a0 + a1 x+ a2 x2 ja ratkaistaanyhtälöryhmä:
loooomnoooo
a0 +a1 ÿ1 +a2 ÿ12 = 1
a0 +a1 ÿ2.25 +a2 ÿ2.252 = 1.5
a0 +a1 ÿ4 +a2 ÿ42 = 2
ñ
looomnooo
a0 +a1 +a2 = 1a0 +2.25 a1 +5.0625 a2 = 1.5a0 +4 a1 +16 a2 = 2
MAA12teksti.nb 7
Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan a0 = 1- a1 - a2 . Sijoitetaan se alempiin yhtälöihin,jolloin saadaan yhtälöpari:
9 1.25 a1 +4.0625 a2 = 0.53 a1 +15 a2 = 1
ñ 9 3 a1 +9.75 a2 = 1.23 a1 +15 a2 = 1
Vähentämällä alempi yhtälö ylemmästä saadaan -5.25 a2 = 0.2ñ a2 = - 4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 . Sijoitta-malla saadaan a1 = 55ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 = 11ÅÅÅÅÅÅÅ21 ja a0 = 54ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 = 18ÅÅÅÅÅÅÅ35 . Interpolaatiopolynomi on siisp2HxL = 18ÅÅÅÅÅÅÅ35 + 11ÅÅÅÅÅÅÅ21 x- 4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 x
2.
Approksimaatioiksi saadaan p2H2.8L º 1.6823 ja p2H3.4L º 1.8549.
Lisätehtävä 1. Voidaan osoittaa, että interpolaatioparaabelin virheelle pätee kaavas2HxL = 1ÅÅÅÅ6 Hx- x0L Hx- x1L Hx- x2L f ''' HtL, missä x0 < x1 < x2 ja t œD x0, x2@. Approksimoikaavan avulla absoluuttista virhettä.
Ratkaisu:
Koska f ''' HxL = 3ÅÅÅÅ8 x-5ÅÅÅÅ2 , niin f ''' HtL < 3ÅÅÅÅ8 , kun t œD 1, 4@. Lausekkeelle Hx- 1L Hx- 2.25L Hx- 4L = x3 - 7.25 x2 + 15.25 x- 9 löydämme tarkasteluvälillä maksimin
derivoimalla ja etsimällä derivaatan nollakohdat: 3 x2 - 14.5 x+ 15.25= 0 fl x º 3.2867 tai x º 1.5466. Näistä jälkimmäinen osoittautuu tarkasteluvälin maksimiksi. Huomaa, että pyöristys on tehty ylöspäin, joten saamme arvion
s2HxL = 1ÅÅÅÅ6 ÿ Hx- 1L Hx- 2.25L Hx- 4L ÿ 3ÅÅÅÅ8 t-5ÅÅÅÅ2 <
1ÅÅÅÅ6 ÿ H1.5466- 1L H1.5466- 2.25L H1.5466- 4L ÿ 3ÅÅÅÅ8 < 0.0590kun 1 < x < 4 (ja 1 < t < 4).
Lisätehtävä 2. Tutki approksimaatiovirhettä differentiaalilaskennan keinoin.
Ratkaisu:
sHxL = è!!!x - H 18ÅÅÅÅÅÅÅ35 + 11ÅÅÅÅÅÅÅ21 x- 4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 x
2L , joten s ' HxL = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2
è!!!x
+ 8ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ105 x- 11ÅÅÅÅÅÅÅ21 , jonka nollakohdat
saadaan laskimella tai kuten tässä, Mathematica -ohjelmalla:
σ@x_D : =è!!!!
x −ikjjj
18�������35
+11�������21
x −4
����������105
x2y{zzz
Dσ@x_D : = D@σ@xD, x D
nollakohdat = NSolve @Dσ@xD 0, x D
88x → 3.21504<, 8x → 1.4792<<
σ@x ê. nollakohdat D
8−0.0115303, 0.0104725<
8 MAA12teksti.nb
Plot @σ@xD, 8x, 1, 4 <D; Clear @σ, D σD
1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.01
-0.005
0.005
0.01
Havaitaan, että absoluuttisen virheen maksimi saavutetaan kohdassa x º 3.21504, jolloin » sH3.21504L » º 0.0115.
xˆ 2.8 3.4
p HxˆL 1.6 1.8
p2 HxˆL 1.6823 1.8549
f HxˆL 1.6733 1.8439
» p HxˆL − f HxˆL » 0.0733 0.0439
» p2 HxˆL − f HxˆL » 0.0090 0.011
Toisen asteen interpolaatiopolynomi antaa siis neliöjuurifunktiolle tässä tapauksessa huomattavasti paremman approksimaation kuin lineaarinen interpolaatiopolynomi. Havain-nollistetaan tätä vielä kuvalla:
Plot A9è!!!!x ,
1����3 x +
2����3
,18�������35
+11�������21
x −4
����������105
x2=, 8x, 1, 4 <E;
1.5 2 2.5 3 3.5 4
1.2
1.4
1.6
1.8
2
MAA12teksti.nb 9
à 1.4 Taylorin polynomit
Idea interpolaatiopolynomien käytön takana funktion approksimoinnissa oli, että funk-tiosta tarvitsee tietää hyvin vähän. Jo funktion arvot muutamilla muuttujan arvoilla riit-tivät. Entä jos funktioista tiedetään enemmän, esimerkiksi derivaatta jossakin pisteessä? Tieto derivaatasta antaa hyödyllistä tietoa approksimoitaessa funktion arvoja jonkin pisteen ympäristössä. Tällaisia eri kertaluvun derivaattoja hyödyntäviä approksimaa-tiopolynomeja kutsutaan Taylorin polynomeiksi..
à 1.5 Ensimmäisen asteen Taylorin polynomi
Tunnetaan funktion f ja sen derivaatan arvot kohdassa x=0 ja halutaan approksimoida funktion arvoja tämän kohdan ympäristössä. Muodostetaan ensimmäisen asteen polynomi p1HxL = a0 + a1 x, jonka kuvaaja y = p1HxL esittää mahdollisimman hyvin funktion kulkua kohdan x=0 ympäristössä. Lisäksi vaaditaan, että f H0L = p1H0L ja f ' H0L = p1 ' H0L. Koska p1 ' HxL = a1 , saadaan sijoittamalla a1 = f ' H0L ja a0 = f H0L.Olemme saaneet muodostettua funktion f ensimmäisen asteen Taylorin polynomin kohdassa x=0:
p1HxL = f H0L + f ' H0L xü Esimerkki 4.
Määritetään funktion f HxL = ex ensimmäisen asteen Taylorin polynomi kohdassa x=0. Koska f H0L = f ' H0L = e0 = 1, saadaan p1HxL = 1+ x.
Plot @8�x , 1 + x<, 8x, −1, 2 <D;
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
5
6
7
10 MAA12teksti.nb
à 1.6 Toisen asteen Taylorin polynomi
Mikäli tunnemme funktionf ja sen derivaatan arvon lisäksi sen toisen derivaatan arvon kohdassa x=0, voimme muodostaa sille toisen asteen Taylorin polynomin, joka on muotoa p2HxL = a0 + a1 x+ a2 x2. Tällöin p2 ' HxL = a1 + 2 a2 x ja p2 '' HxL = 2 a2. Sijoittamalla ehtoihin
looomnooo
p2H0L = f H0Lp2 ' H0L = f ' H0Lp2 '' H0L = f '' H0L
saadaan funktion f toisen asteen Taylorin polynomi kohdassa x=0:
p2HxL = f H0L + f ' H0L x+ 1ÅÅÅÅ2 f '' H0L x2
ü Esimerkki 5.
Määritetään funktion f HxL = ex toisen asteen Taylorin polynomi kohdassa x=0. Koskaf H0L = f ' H0L = f '' H0L = e0 = 1, saadaan p2HxL = 1+ x+ 1ÅÅÅÅ2 x2.
Plot A9�x , 1 + x, 1 + x +1����2 x2=, 8x, −1, 2 <E;
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
5
6
7
à 1.7 Yleinen Taylorin polynomi
Oletetaan, että tunnemme funktion f ja sen n ensimmäistä derivaatan arvoa kohdassa x=0.n. asteen polynomi on muotoa pnHxL = a0 + a1 x+ ...+ an xn = ⁄i=0
n ai xi . Vaaditaan, ettäpolynomin ja funktion ja niiden derivaattojen arvot yhtyvät kohdassa x=0:
looooooooomnooooooooo
pnH0L = f H0Lpn ' H0L = f ' H0Lpn '' H0L = f '' H0L
ª
pnHnLH0L = f HnLH0L
MAA12teksti.nb 11
Sijoitetaan pn :n ja sen derivaattojen lausekkeet ehtoihin ja saamme yhtälöt polynomin kertoimien ratkaisemiseksi:
looooooooomnooooooooo
a0 = f H0La1 = f ' H0L
2 a2 = f '' H0Lª
n! an = f HnLH0Lsaadaan funktion f yleinen Taylorin polynomi kohdassa x=0:
pnHxL = f H0L + x ÿ f ' H0L + x2ÅÅÅÅÅÅ2! f '' H0L + … + xn
ÅÅÅÅÅÅn! fHnLH0L=‚
i=0
n xiÅÅÅÅÅi! f
HiLH0LHuom. 0!=1.
ü Esimerkki 6.
Muodostetaan Mathematica -ohjelmalla eksponenttifunktion 1.-6. asteen Taylorinpolynomit kohdassa x=0 ja piirretään niiden kuvaajat (mukaanlukien eksponenttifunktio)samaan koordinaatistoon
polynomit = Table @Normal @Series @�x , 8x, 0, n <DD, 8n, 1, 6 <D;
polynomit êê TableForm
Plot @Evaluate @Prepend @polynomit, �xDD, 8x, −1, 2 <D;
Clear @polynomit D
1 + x
1 + x + x2�����2
1 + x + x2�����2 + x3�����6
1 + x + x2�����2 + x3�����6 + x4������24
1 + x + x2�����2 + x3�����6 + x4������24 + x5��������120
1 + x + x2�����2 + x3�����6 + x4������24 + x5��������120 + x6��������720
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
5
6
7
12 MAA12teksti.nb
ü Tehtävä 6.
Laske funktion f HxL = lnH1+ xL ensimmäisen, toisen ja kolmannen asteen Taylorin polynomit kohdassa x=0 ja piirrä funktion ja polynomien kuvaajat samaan koordinaatis-toon välillä [-1, 2] (laskin).
Ratkaisu:
f ' HxL = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1+x , f '' HxL = - 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH1+xL2 ja f ''' HxL = 2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH1+xL3 . Saadaan siis
p2HxL = x- x2ÅÅÅÅÅÅ2 ja p3HxL = x- x2
ÅÅÅÅÅÅ2 + x3ÅÅÅÅÅÅ3 .
f = Plot @Log@1 + xD, 8x, −1, 2 <,
PlotStyle → AbsoluteThickness @2D, DisplayFunction → Identity D;
polynomit = Plot A9x −x2
�������2
, x −x2
�������2
+x3
�������3
=, 8x, −1, 2 <,
DisplayFunction → Identity E;
Show@f, polynomit, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
Clear @f, polynomit D
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-3
-2
-1
1
2
ü Tehtävä 7.
Määritä funktion f HxL = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1+x n. asteen Taylorin polynomi kohdassa x=0
Ratkaisu:
Kirjoitetaa funktion derivaattoja, jotta "huomataan" säännönmukaisuus:
f H0LHxL = Hx+ 1L-1 = H-1L0 ÿ0! ÿ Hx+ 1L-1
f H1LHxL = -1 ÿ Hx+ 1L-2 = H-1L1 ÿ1! ÿ Hx+ 1L-2
f H2LHxL = 2 ÿ Hx+ 1L-3 = H-1L2 ÿ2! ÿ Hx+ 1L-3
f H3LHxL = -6 ÿ Hx+ 1L-4 = H-1L3 ÿ3! ÿ Hx+ 1L-4
f H4LHxL = 24ÿ Hx+ 1L-5 = H-1L4 ÿ4! ÿ Hx+ 1L-5
ª
f HnLHxL = H-1Ln ÿn! ÿ Hx+ 1L-Hn+1L
MAA12teksti.nb 13
Voidaan siis päätellä, että f HiLH0L = H-1Li ÿ i !. Sijoitetaan yleisen Taylorin polynomin lausekkeeseen:
pnHxL = ‚i=0
n xiÅÅÅÅÅi! ÿ H-1Li ÿ i != ⁄i=0
n H-1Li ÿ xi = 1- x+ x2 - x3 + … + H-1Ln ÿ xn
ü Tehtävä 8.
Määritä funktion f HxL = sinHxL kolmannen ja viidennen asteen Taylorin polynomitkohdassa x=0 ja piirrä niiden kuvaajat välillä @-p, pD .
Ratkaisu:
p3HxL = f H0L + f ' H0L ÿ x+ x2ÅÅÅÅÅÅ2! ÿ f '' H0L + x3
ÅÅÅÅÅÅ3! ÿ f H3LH0L =sinH0L + cosH0L ÿ x- sinH0L ÿ x2
ÅÅÅÅÅÅ2 - cosH0L ÿ x3ÅÅÅÅÅÅ6 =
x- x3ÅÅÅÅÅÅ6
p5HxL =p3HxL + x4
ÅÅÅÅÅÅ4! ÿ f H4LH0L + x5ÅÅÅÅÅÅ5! ÿ f H5LH0L = x- x3
ÅÅÅÅÅÅ6 + sinH0L ÿ x4ÅÅÅÅÅÅÅ24 + cosH0L ÿ x5
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ120 = x- x3ÅÅÅÅÅÅ6 + x5
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ120
f = Plot @Sin @xD, 8x, −π, π<,
PlotStyle → AbsoluteThickness @2D, DisplayFunction → Identity D;
polynomit = Plot A9x −x3
�������6
, x −x3
�������6
+x5
����������120
=, 8x, −π, π<,
DisplayFunction → Identity E;
Show@f, polynomit, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
Clear @f, polynomit D
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
à 1.8 Yleinen Taylorin polynomi kohdassa x=a
Funktion f yleinen Taylorin polynomi kohdassa x=a on
pnHxL = f HaL + f ' HaL Hx- aL + Hx-aL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2! f '' HaL + … +Hx-aLn
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn! f HnLHaL = ‚i=0
n Hx-aLi
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅi! f HiLHaLPerustelu:
14 MAA12teksti.nb
Olkoon gHxL = f Hx+ aL kaikilla määrittelyjoukon arvoilla.Tällöin myös gHnLHxL = f HnLHx+ aL. Tutkitaan funktion g Taylorin polynomia kohdassa x=0.
pnHxL = ‚i=0
n xiÅÅÅÅÅi! g
HiLH0L, joten pnHx- aL = ‚i=0
n Hx-aLi
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅi! gHiLH0L = ‚i=0
n Hx-aLi
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅi! f HiLHaL.ü Tehtävä 9.
Kehitä funktiolle f HxL = 2 x3 - x2 + 5 x- 2 lauseke, joka etenee Hx- 2L:n kasvavien potens-sien mukaan, eli muodosta Taylorin kolmannen asteen polynomi kohdassa x=2.
Ratkaisu:
Lasketaan ensin funktion derivaatat ja niiden arvot kohdassa x = 2:
f HxL = 2 x3 - x2 + 5 x- 2 f H2L = 20f ' HxL = 6 x2 - 2 x+ 5 f ' H2L = 25f '' HxL = 12 x- 2 f '' H2L = 22f H3LHxL = 12 f H3LH2L = 12
p3HxL = f H2L + f ' H2L ÿ Hx- 2L + Hx-2L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2! ÿ f '' H2L + Hx-2L3
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3! ÿ f H3LH2L =20+ 25 Hx- 2L + 22ÅÅÅÅÅÅÅ2 Hx- 2L2 + 12ÅÅÅÅÅÅÅ6 Hx- 2L3 = 20+ 25 Hx- 2L + 11 Hx- 2L2 + 2 Hx- 2L3
ü Tehtävä 10.
Kehitä x4 - 3 x2 + 4 sellaiseksi polynomiksi, joka etenee Hx+ 2L:n kasvavien potenssienmukaan.
Ratkaisu:
f HxL = x4 - 3 x2 + 4 f H-2L = 8f ' HxL = 4 x3 - 6 x f ' H-2L = -20f '' HxL = 12 x2 - 6 f '' H-2L = 42f H3LHxL = 24 x f H3LH-2L = -48f H4LHxL = 24 f H4LH-2L = 24
p4HxL = 8- 20 Hx+ 2L + 42ÅÅÅÅÅÅÅ2 Hx+ 2L2 - 48ÅÅÅÅÅÅÅ6 Hx+ 2L3 + 24ÅÅÅÅÅÅÅ24 Hx+ 2L4 =
8- 20 Hx+ 2L + 21 Hx+ 2L2 - 8 Hx+ 2L3 + Hx+ 2L4
à 1.9 Taylorin polynomin virhe
Voidaan osoittaa, että funktion f n. asteen Taylorin polynomin pn virhe s kohdassa x=0on
sHxL = xn+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! f Hn+1LHtL, missä t œD 0, x@ on muuttujasta x riippuva luku.
Kohdassa x=a virheen s lauseke on
sHxL = Hx-aLn+1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! f Hn+1LHtL, missä t œD a, x@ on muuttujasta x riippuva luku.
MAA12teksti.nb 15
Käytännössä virheen arviointi tapahtuu yleensä siten, että yritetään löytää jokin yläraja Mtekijälle f Hn+1LHtL.(Vertaa interpolaatiopolynomin virheen määritys.)
ü Esimerkki 7.
Mikä pitää olla funktion f HxL = ex Taylorin polynomin asteluku kohdassa x = 0, jotta virhe kohdassa x = 1 olisi pienempi kuin 10-4?
Sovelletaan virhekaavaa ja arvioidaan:
sH1L = 1n+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! et <
teD 0, 1@ 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! e <e<2.8 2.8ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L!
Saadaan epäyhtälö 2.8ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! § 10-4 , josta Hn+ 1L! ¥ 28000. Kokeilemalla havaitaan, että
epäyhtälö pätee, kun n ¥ 7.
Verrataan tätä tulosta laskimen antamiin arvoihin. Funktion 6. asteen Taylorin polynomikohdassa x = 0 on
p6HxL = 1+ x+ x2ÅÅÅÅÅÅ2! + x3
ÅÅÅÅÅÅ3! + x4ÅÅÅÅÅÅ4! + x5
ÅÅÅÅÅÅ5! + x6ÅÅÅÅÅÅ6! = 1+ x+ x2
ÅÅÅÅÅÅ2 + x3ÅÅÅÅÅÅ6 + x4
ÅÅÅÅÅÅÅ24 + x5ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ120 + x6
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ720
p6H1L = 1+ 1+ 1ÅÅÅÅ2 + 1ÅÅÅÅ6 + 1ÅÅÅÅÅÅÅ24 + 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ120 + 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ720 = 1957ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ720 º 2.7180556
eº 2.7182818, joten virhe on noin 2.2ÿ10-4 .
p7HxL = p6HxL + x7ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5040 , joten p7H1L = 13700ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5040 º 2.718254 ja virhe on pienempi kuin 2.8ÿ10-5.
ü Tehtävä 11.
Approksimoidaan funktiota f HxL = sinx Taylorin polynomilla kohdassa x = 0. Mikä on oltava Taylorin polynomin asteluku, jotta absoluuttinen virhe olisi pienempi kuin 10-3?
Ratkaisu:
Koska funktion (n+1). derivaatta on aina kosini tai sini (merkin vaihdellessa), voidaankäyttää arviota » f Hn+1LHtL » § 1 kaikilla t. Saadaan absoluuttiselle virheelle kohdassa x=5arvio
» sH5L » = 5n+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! … f Hn+1LHtL … § 5n+1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L!Koska absoluuttisen virheen tulisi olla alle 10-3 , saadaan epäyhtälö
5n+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn+1L! § 10-3 eli 1000ÿ5n+1 § Hn+ 1L!. Kokeilemalla huomataan, että epäyhtälö toteutuu
kun n ¥ 17.
ü Tehtävä 12.
Muodosta funktioiden sinx ja cosx sarjakehitelmät kirjoittamalla niiden Taylorinpolynomeista kohdassa x = 0 "niin monta termiä", että keksit säännön.
Ratkaisu:
16 MAA12teksti.nb
sinx = x- x3ÅÅÅÅÅÅ3! + x5
ÅÅÅÅÅÅ5! - x7ÅÅÅÅÅÅ7! + … = ‚
i=0
¶ H-1Li x2 i+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH2 i+1L!
cosx = 1- x2ÅÅÅÅÅÅ2! + x4
ÅÅÅÅÅÅ4! - x6ÅÅÅÅÅÅ6! + … = ‚
i=0
¶ H-1Li x2 iÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH2 iL!
ü Tehtävä 13.
Kuinka tarkka on funktion f HxL = ex sinx toisen asteen Taylorin kohdan x = 0 polynominarvo välillä x œD - pÅÅÅÅ4 , pÅÅÅÅ4 @?
Ratkaisu:
f ' HxL = exHcosx+ sinxLf '' HxL = 2 ex cosxf H3LHxL = 2 exHcosx- sinxLVälillä D - pÅÅÅÅ4 , pÅÅÅÅ4 @ cosx- sinx < cosH- pÅÅÅÅ4 L - sinH- pÅÅÅÅ4 L = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!
2- -1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!
2=
è!!!2 ja 2 ex < 2 e
pÅÅÅÅÅ4
» sHxL » = À x3ÅÅÅÅÅÅ3! f
H3LHtL À §H pÅÅÅÅÅ4 L3
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ6 ÿ2 epÅÅÅÅÅ4 ÿ
è!!!2 < 0.5010
Karkeampi arvio: » sHxL » = À x3ÅÅÅÅÅÅ3! f
H3LHtL À §H pÅÅÅÅÅ4 L3
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ6 ÿ4 epÅÅÅÅÅ4 < 0.7084.
p2 = Normal @Series @�x Sin @xD, 8x, 0, 2 <DD;
Plot A8�x Sin @xD, p2 <, 9x, −π����4
,��4=E;
Clear @p2D;
-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
à 1.10 Taylorin polynomin ominaisuuksia
Mikäli Taylorin polynomin määrittäminen suoraan jollekin funktiolle tuntuu vaikealta,voidaan yrittää hyödyntää Taylorin polynomin lineaarisuutta. Merkitään funktion f n.asteen Taylorin polynomia TnH f L.TnHa0 f + a1 gL = a0 TnH f L + a1 TnHgL, missä a0, a1 œ Ñ vakioita ja f , g funktioita.
Taylorin polynomilla kohdassa x = 0 on myös sijoitusominaisuus:
MAA12teksti.nb 17
TnHgHxLL = TnH f HcxLL, missä gHxL = f HcxL ja c œ Ñ vakio.
ü Tehtävä 14.
Hyperbolinen kosini cosh määritellään coshx = ex+e-xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 . Määrää funktion ex n. asteen
Taylorin polynomikohdassa x = 0 ja soveltamalla siihen Taylorin polynomin ominaisuuk-sia määrää funktion cosh x 2n. asteen Taylorin polynomi.
Ratkaisu:
TnHexL = 1+ x+ x2ÅÅÅÅÅÅ2! + x3
ÅÅÅÅÅÅ3! + x4ÅÅÅÅÅÅ4! + … + xn
ÅÅÅÅÅÅn! = ‚i=0
n xiÅÅÅÅÅi!
Käytetään sijoitusominaisuutta (tässä gHxL = e-x ja f HxL = ex, jolloin gHxL = f H-xL):TnHe-xL = 1- x+ x2
ÅÅÅÅÅÅ2! - x3ÅÅÅÅÅÅ3! + x4
ÅÅÅÅÅÅ4! - … +H-xLn
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn! = ‚i=0
n H-xLi
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅi!
Käytetään lineaarisuutta:
T2 nHcoshxL = T2 nH ex+e-xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 L = 1ÅÅÅÅ2 @T2 nHexL + T2 nHe-xLD =
1ÅÅÅÅ2 A2+ 2 ÿ x2ÅÅÅÅÅÅ2! + 2 ÿ x4
ÅÅÅÅÅÅ4! + … + 2 ÿ x2 nÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH2 nL! E = 1+ x2
ÅÅÅÅÅÅ2! + x4ÅÅÅÅÅÅ4! + … + x2 n
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH2 nL! = ‚i=0
n x2 iÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH2 iL!
Kuvassa hyperbolinen kosini ja sen toisen asteen Taylorin polynomi kohdassa x = 0:
p8 = Normal @Series @Cosh@xD, 8x, 0, 2 <DD;
Plot @8Cosh@xD, p8 <, 8x, −3, 3 <D;
Clear @p8D;
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
à 1.11 Kertausta
ü Tehtävä 15.
Määrää funktion f HxL = e-x2 (Gaussin kellokäyrä) toisen asteen Taylorin polynomi
kohdassa x = 0. Piirrä funktion ja Taylorin polynomin kuvaajat samaan koordinaatistoonvälillä @-3, 3D. Laske polynomin avulla likiarvo kohdassa x = 0.3. Vertaa laskimenarvoon ja laske virhe.
18 MAA12teksti.nb
ü Tehtävä 16.
Laske Taylorin polynomin avulla luvun è!!!
e likiarvo kolmen desimaalin tarkkuudella.
ü Tehtävä 17.
Kuinka tarkka on funktion f HxL = ex cosx toisen asteen Taylorin kohdan x = 0 polynominarvo välillä x œD - pÅÅÅÅ4 , pÅÅÅÅ4 @?
2. LINEAARIALGEBRAA
à 2.1 Kertausta lineaarisesta kahden tuntemattoman yhtälöparista
Lineaarinen kahden tuntemattoman yhtälöpari on muotoa
(1)9 a11 x+ a12 y = b1
a21 x+ a22 y = b2, missä aij ja bi vakioita ja x, y tuntemattomia muuttujia.
Yhtälöpari muodostuu siis kahdesta suoran yhtälöstä. Pistettä Hx, yL sanotaan yhtälöparin(1) ratkaisuksi, jos se toteuttaa molemmat yhtälöparin yhtälöistä. Yhtälöparilla voi ollayksi, ei yhtään tai äärettömän monta ratkaisua. Kuvaajien avulla ilmaistuna kaksi suoraavoivat leikata toisensa (eri kulmakertoimet) tai olla yhdensuuntaisia. Mikäli yhdensuun-taisten suorien vakiotermit ovat eri suuria, ei ratkaisua ole ja mikäli vakiotermit ovatsamat, suorat yhtyvät ja kaikki suorien pisteet toteuttavat yhtälöparin.
Oletetaan, että vakiot aij eivät ole nollia. Kerrotaan yhtälöt vakioilla a22 ja a12:
(2)9 a11 a22 x+ a12 a22 y = a22 b1
a12 a21 x+ a12 a22 y = a12 b2
Vähennetään yhtälöt toisistaan:
(3)Ha11 a22 - a12 a21L x = a22 b1 - a12 b2
Jos Ha11 a22- a12 a21L ∫ 0, saadaan jakamalla
(4)x =
a22 b1-a12 b2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa11 a22-a12 a21
joka voidaan sijoittaa toiseen yhtälöparin yhtälöistä y:n ratkaisemiseksi.
Lauseketta a11 a22- a12 a21 sanotaan yhtälöparin (1) determinantiksi.Edellä olevantarkastelun perusteella havaitsemme, että yhtälöparilla (1) on yksi ratkaisu, mikäli sendeterminantti ei ole nolla.
MAA12teksti.nb 19
ü Tehtävä 2.1
Määritä yhtälöparien determinantit. Mikäli determinantti eroaa nollasta, ratkaiseyhtälöpari.
a) : x- 3 y = 4-4 x+ 2 y = 6
b) : 2 x- y = -35 x+ 7 y = 4
c) : 2 x- 8 y = 5-3 x+ 12 y = 8
d)
: 5 x+ 2 y = 32 x+ 5 y = 3
Ratkaisu:
a) det=-10, loomnoo
x = - 13ÅÅÅÅÅÅÅ5
y = - 11ÅÅÅÅÅÅÅ5
b) det=19, loomnoo
x = - 17ÅÅÅÅÅÅÅ19
y = 23ÅÅÅÅÅÅÅ19
c) det=0 d) det=21, loomnoo
x = 5ÅÅÅÅÅÅÅ21
y = 19ÅÅÅÅÅÅÅ21
ü Tehtävä 2.2
Määrää vakiot a ja b siten, että yhtälöparilla 9 ax+ by= cax- by= c
on yksikäsitteinen ratkaisu.
Ratkaisu:
det= -2 ab, joten yksikäsitteinen ratkaisu saadaan, kun a ∫ 0 ∫ b.
ü Tehtävä 2.3
Ernesti on talvisin töissä jokilaivalla, joka silloin tällöin juuttuu jäihin. Päivinä, jolloinlaiva jää kiinni, Ernesti kaataa jäälle kiehuvaa vettä ja tienaa siten 250 kruunua/päivä.Lämpiminä päivinä hänen ei tarvitse tehdä mitään ja hän tienaa 100 kruunua. 20 työpäivänjälkeen hän on ansainnut 3200 kruunua. Miten monena päivänä hän on sulatellut jäätäkiehuvalla vedellä?
Ratkaisu:
Merkitään sulattelupäivien lukumäärää x:llä ja lämpimien päivien lukumäärää y:llä. Muo-
dostetaan yhtälöpari : 250 x+ 100 y = 3200x+ y = 20
, josta saadaan sulattelupäivien x luku-
määräksi 8.Tehtävän voi ratkaista myös suoraan yhtälön 250 x+ 100 H20- xL = 3200 avulla.
ü Tehtävä 2.4
Tapakasvatuksen teemapäivänä luokassa harjoiteltiin kättelyä. Jokainen luokan oppilaskätteli kuutta tyttöä ja kahdeksaa poikaa. Tyttöjen ja poikien välisiä kättelyjä oli viisimuita vähemmän. Kuinka monta oppilasta luokassa oli?
Ratkaisu:
Olkoon poikien lukumäärä x ja tyttöjen lukumäärä y. Pojat kättelevät tyttöjä 6x kertaa ja tytöt poikia 8y kertaa. Poikien välisiä kättelyitä on 8 xÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = 4 x kappaletta ja tyttöjen välisiä
20 MAA12teksti.nb
kättelyitä on 6 yÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = 3 y kappaletta. Saadaan yhtälöpari
: 6 x = 8 y4 x+ 3 y = 6 x+ 5
ñ : x = 20y = 15
eli luokassa oli 35 oppilasta.
ü Tehtävä 2.5
Matkapuhelinoperaattori Kohina tarjoaa puheluja 500 minuuttia 20 euron perusmaksulla kuukaudessa siten, että ylimenevistä puheluista peritään 0,10 euroa/min. Toinen operaat-tori Suhina veloittaa puheluistaan 6,9 senttiä/min. ja liittymän perusmaksu on 2 euroa/kk. Piirrä kuvaajat kummastakin liittymätyypistä samaan koordinaatistoon ja laske millä minuuttimäärillä Kohina-liittymä tulee edullisemmaksi kuin Suhina-liittymä.
Ratkaisu:
Kohina: f HtL = : 20 t œ @0, 500D20+ 0.10 Ht - 500L t œD 0, ¶@
Suhina: gHtL = 2+ 0.069 t
kohina1 = Plot @20, 8t, 0, 500 <, DisplayFunction → Identity D;
kohina2 =
Plot @0.10 t − 30, 8t, 500, 1300 <, DisplayFunction → Identity D;
suhina = Plot @0.069 t + 2, 8t, 0, 1300 <, DisplayFunction → Identity D;
Show@kohina1, kohina2, suhina, DisplayFunction → $DisplayFunction D;
Clear @kohina1, kohina2, suhina D;
200 400 600 800 1000 1200
20
40
60
80
100
Ratkaisemalla suorien leikkauskohdat selviää, että Kohina tulee edullisemmaksi, kun puhuu enemmän kuin 261 ja vähemmän kuin 1032 minuuttia kuukaudessa.Mitenkä tehtävä liittyy yhtälöpareihin?
à 2.2 Kolme yhtälöä, kolme tuntematonta
Kolmen yhtälön ryhmien tapauksessa "helpon" ratkaisutavan näkeminen vaikeutuu.Löytyisikö jokin systemaattinen tapa, jota voisi soveltaa jopa laajempiinkin yhtälöryhmiin?
Yhtälöryhmän yhtälöille voidaan suorittaa seuraavia alkeisoperaatioita ilman, että ratkaisumuuttuu:- Yhtälöitä voidaan kertoa puolittain nollasta eroavalla vakiolla, merkitään Ri Ø cRi .
MAA12teksti.nb 21
- Yhtälöön voidaan lisätä jokin toisen yhtälön monikerta, merkitään Ri Ø Ri + cRj .- Yhtälöiden järjestystä voidaan vaihtaa, merkitään Ri ¨ Rj .Indeksit viittaavat yhtälöiden rivinumeroihin.
Ratkaisu etenee seuraavasti:- Jaetaan ensimmäinen yhtälö siten, että x1:n kertoimeksi tulee 1.- Eliminoidaan x1-termit muista yhtälöistä lisäämällä niihin sopivia ensimmäisen yhtälönmonikertoja.- Jaetaan toinen yhtälö siten, että x2:n kertoimeksi tulee 1.- Eliminoidaan x2-termit muista yhtälöistä lisäämällä niihin sopivia toisen yhtälön moniker-toja.- Jaetaan kolmas yhtälö siten, että x3 :n kertoimeksi tulee 1.- Eliminoidaan x3-termit muista yhtälöistä lisäämällä niihin sopivia kolmannen yhtälönmonikertoja.
Yllä esiteltyä menetelmää kutsutaan Gauss-Jordanin eliminointimenetelmäksi.
ü Tehtävä 2.6
Ratkaise yhtälöryhmä looomnooo
2 x1 +4 x2 +6 x3 = 184 x1 +5 x2 +6 x3 = 243 x1 +x2 -2 x3 = 4
Ratkaisu:
loooomnoooo
2 x1 +4 x2 +6 x3 = 184 x1 +5 x2 +6 x3 = 243 x1 +x2 -2 x3 = 4
ØøøøøøøøR1Ø
1ÅÅÅÅ2 R1
loooomnoooo
x1 +2 x2 +3 x3 = 94 x1 +5 x2 +6 x3 = 243 x1 +x2 -2 x3 = 4
ØøøøøøøøøøøR2ØR2-4 R1
loooomnoooo
x1 +2 x2 +3 x3 = 9-3 x2 -6 x3 = -12
3 x1 +x2 -2 x3 = 4 Øøøøøøøøøøø
R3ØR3-3 R1
loooomnoooo
x1 +2 x2 +3 x3 = 9-3 x2 -6 x3 = -12-5 x2 -11 x3 = -23
ØøøøøøøøøøR2Ø-
1ÅÅÅÅ3 R2
loooomnoooo
x1 +2 x2 +3 x3 = 9x2 +2 x3 = 4
-5 x2 -11 x3 = -23Øøøøøøøøøøø
R1ØR1-2 R2
R3ØR3+5 R2
loooomnoooo
x1 -x3 = 1x2 +2 x3 = 4
-x3 = -3 Øøøøøøø
R3Ø-R3
loooomnoooo
x1 -x3 = 1x2 +2 x3 = 4
x3 = 3Øøøøøøøøøøø
R1ØR1+R3
R2ØR2-2 R3looomnooo
x1 = 4x2 = -2
x3 = 3
ü Tehtävä 2.7
Ratkaise yhtälöryhmä looomnooo
x1 -2 x2 +3 x3 = 114 x1 +x2 -x3 = 42 x1 -x2 +3 x3 = 10
Ratkaisu:
22 MAA12teksti.nb
looomnooo
x1 -2 x2 +3 x3 = 114 x1 +x2 -x3 = 42 x1 -x2 +3 x3 = 10
Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-4 R1
R3ØR3-2 R1
loooooomnoooooo
x1 -2 x2 +3 x3 = 119 x2 -13 x3 = -403 x2 -3 x3 = -12
ØøøøøøøøR2Ø
1ÅÅÅÅ9 R2
loooooomnoooooo
x1 -2 x2 +3 x3 = 11
x2 - 13ÅÅÅÅÅÅÅ9 x3 = - 40ÅÅÅÅÅÅÅ9
3 x2 -3 x3 = -12
Øøøøøøøøøøø
R1ØR1+2 R2
R3ØR3-3 R2
loooooomnoooooo
x1 + 1ÅÅÅÅ9 x3 = 19ÅÅÅÅÅÅÅ9
x2 - 13ÅÅÅÅÅÅÅ9 x3 = - 40ÅÅÅÅÅÅÅ94ÅÅÅÅ3 x3 = 4ÅÅÅÅ3
ØøøøøøøøR3Ø
3ÅÅÅÅ4 R3
loooooomnoooooo
x1 + 1ÅÅÅÅ9 x3 = 19ÅÅÅÅÅÅÅ9
x2 - 13ÅÅÅÅÅÅÅ9 x3 = - 40ÅÅÅÅÅÅÅ9
x3 = 1
Øøøøøøøøøøøøø
R1ØR1-1ÅÅÅÅ9 R3
R2ØR2+13ÅÅÅÅÅÅÅ9 R3
looomnooo
x1 = 2x2 = -3
x3 = 1
ü Tehtävä 2.8
Ratkaise yhtälöryhmä looomnooo
x1 +x2 -x3 = 74 x1 -x2 +5 x3 = 42 x1 +2 x2 -3 x3 = 0
Ratkaisu:
looomnooo
x1 +x2 -x3 = 74 x1 -x2 +5 x3 = 42 x1 +2 x2 -3 x3 = 0
Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-4 R1
R3ØR3-2 R1
loooooomnoooooo
x1 +x2 -x3 = 7-5 x2 +9 x3 = -24
-x3 = -14Øøøøøøøøøø
R2Ø-1ÅÅÅÅ5 R2
R3Ø-R3
loooooomnoooooo
x1 +x2 -x3 = 7
x2 - 9ÅÅÅÅ5 x3 = 24ÅÅÅÅÅÅÅ5
x3 = 14
ØøøøøøøøøøR1ØR1-R2
loooooomnoooooo
x1 + 4ÅÅÅÅ5 x3 = 11ÅÅÅÅÅÅÅ5
x2 - 9ÅÅÅÅ5 x3 = 24ÅÅÅÅÅÅÅ5
x3 = 14
Øøøøøøøøøøøø
R1ØR1-4ÅÅÅÅ5 R3
R2ØR2+9ÅÅÅÅ5 R3
looomnooo
x1 = -9x2 = 30
x3 = 14
à 2.3 Matriisit
Kuten edeltävistä tehtävistä saattoi havaita, yhtälöiden määrän lisääntyessä merkinnätkäyvät nopeasti hankalammiksi ja huolimattomuusvirheitä tulee helposti. Tilanteen helpot-tamiseksi otamme käyttöön matriisi -merkintätavan. Matriisi on suorakulmainen järjest-etty numerotaulukko.
ü Esimerkki 2.1
Tehtävän 2.6 yhtälöryhmän muuttujien kertoimet voidaan esittää 3µ3 kerroinmatriisina:
MAA12teksti.nb 23
(5)A =
i
k
jjjjjjj2 4 6
4 5 63 1 −2
y
{
zzzzzzz
Yhtälöryhmän informaatio voidaan esittää kokonaisuudessaan laajennetulla 3µ4matriisilla:
(6)i
k
jjjjjjj2 4 6 184 5 6 243 1 −2 4
y
{
zzzzzzz
ü Esimerkki 2.2
Tehtävän 2.6 ratkaisu voidaan esittää nyt selkeämmin:
i
kjjjjjj2 4 6 184 5 6 243 1 −2 4
y
{zzzzzz →
R1→1����2 R1
i
kjjjjjj1 2 3 94 5 6 243 1 −2 4
y
{zzzzzz →
R2→R2−4 R1R3→R3−3 R1
i
kjjjjjj1 2 3 90 −3 −6 −120 −5 −11 −23
y
{zzzzzz
→R2→−
1����3 R2
i
kjjjjjj1 2 3 90 1 2 40 −5 −11 −23
y
{zzzzzz →
R1→R1−2 R2R3→R3+5 R2
i
kjjjjjj1 0 −1 10 1 2 40 0 −1 −3
y
{zzzzzz →
R3→−R3i
kjjjjjj1 0 −1 10 1 2 40 0 1 3
y
{zzzzzz →
R1→R1+R3R2→R2−2 R3
i
kjjjjjj1 0 0 40 1 0 −20 0 1 3
y
{zzzzzz
ü Tehtävä 2.9
Ratkaise matriisimuodossa looomnooo-2 x1 +x2 +6 x3 = 185 x1 +8 x3 = -163 x1 +2 x2 -10 x3 = -3
ü Esimerkki 2.3
Tarkastellaan yhtälöryhmää looomnooo
2 x1 +4 x2 +6 x3 = 184 x1 +5 x2 +6 x3 = 242 x1 +7 x2 +12 x3 = 30
.
Muodostetaan vastaava matriisi ja käytetään Gauss-Jordan eliminointia:
24 MAA12teksti.nb
ikjjjjjjj2 4 6 184 5 6 242 7 12 30
y{zzzzzzz Øøøøøøøø
R1Ø1ÅÅÅÅ2 R1
ikjjjjjjj1 2 3 94 5 6 242 7 12 30
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-4 R1
R3ØR3-2 R1ikjjjjjjj1 2 3 90 -3 -6 -120 3 6 12
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøø
R2Ø-1ÅÅÅÅ3 R2
ikjjjjjjj1 2 3 90 1 2 40 3 6 12
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R1ØR1-2 R2
R3ØR3-3 R2ikjjjjjjj1 0 -1 10 1 2 40 0 0 0
y{zzzzzzz
Tämä voidaan kirjoittaa yhtälöryhmän muodossa : x1 -x3 = 1x2 +2 x3 = 4
. Nähdään, että
yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Tulos voidaan kirjoittaa myös muodossaH1- x3, 4- 2 x3, x3L.ü Esimerkki 2.4
Tarkastellaan yhtälöryhmää looomnooo
2 x1 +4 x2 +6 x3 = 184 x1 +5 x2 +6 x3 = 242 x1 +7 x2 +12 x3 = 40
. Muodostetaan vastaava matri-
isi ja käytetään Gauss-Jordan eliminointia:
ikjjjjjjj2 4 6 184 5 6 242 7 12 40
y{zzzzzzz Øøøøøøøø
R1Ø1ÅÅÅÅ2 R1
ikjjjjjjj1 2 3 94 5 6 242 7 12 40
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-4 R1
R3ØR3-2 R1ikjjjjjjj1 2 3 90 -3 -6 -120 3 6 22
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøø
R2Ø-1ÅÅÅÅ3 R2
ikjjjjjjj1 2 3 90 1 2 40 3 6 22
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R1ØR1-2 R2
R3ØR3-3 R2ikjjjjjjj1 0 -1 10 1 2 40 0 0 10
y{zzzzzzz Øøøøøøøøø
R3Ø1ÅÅÅÅÅÅÅ10 R3
ikjjjjjjj1 0 -1 10 1 2 40 0 0 1
y{zzzzzzz
Viimeinen rivi väittää, että 0=1, mikä ei ole mahdollista. Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.
Seuraavissa tehtävissä ratkaise yhtälöryhmä Gauss-Jordan -menetelmällä.
ü Tehtävä 2.10
looomnooo
3 x1 +6 x2 -6 x3 = 92 x1 -5 x2 +4 x3 = 6-1 x1 +16 x2 -14 x3 = -3
Ratkaisu:
ikjjjjjjj
3 6 -6 92 -5 4 6-1 16 -14 -3
y{zzzzzzz Øøøøøøøø
R1Ø1ÅÅÅÅ3 R1
ikjjjjjjj
1 2 -2 32 -5 4 6-1 16 -14 -3
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-2 R1
R3ØR3+R1ikjjjjjjj1 2 -2 30 -9 8 00 18 -16 0
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøø
R2Ø-1ÅÅÅÅ9 R2
ikjjjjjjjjj1 2 -2 3
0 1 - 8ÅÅÅÅ9 0
0 18 -16 0
y{zzzzzzzzz Øøøøøøøøøøøøø
R1ØR1-2 R2
R3ØR3-18 R2
ikjjjjjjjjjj1 0 - 2ÅÅÅÅ9 3
0 1 - 8ÅÅÅÅ9 0
0 0 0 0
y{zzzzzzzzzz
MAA12teksti.nb 25
Äärettömän monta ratkaisua, esim. jos valitaan x3 mielivaltaisesti, niin ratkaisu voidaanesittää muodossa H3+ 2ÅÅÅÅ9 x3,
8ÅÅÅÅ9 x3, x3L.ü Tehtävä 2.11
looomnooo
3 x1 +6 x2 -6 x3 = 92 x1 -5 x2 +4 x3 = 65 x1 +28 x2 -26 x3 = -8
Ratkaisu:
ikjjjjjjj3 6 -6 92 -5 4 65 28 -26 -8
y{zzzzzzz Øøøøøøøø
R1Ø1ÅÅÅÅ3 R1
ikjjjjjjj1 2 -2 32 -5 4 65 28 -26 -8
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-2 R1
R3ØR3-5 R1ikjjjjjjj1 2 -2 30 -9 8 00 18 -16 -23
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøø
R2Ø-1ÅÅÅÅ9 R2
ikjjjjjjjjj1 2 -2 3
0 1 - 8ÅÅÅÅ9 0
0 18 -16 -23
y{zzzzzzzzz Øøøøøøøøøøøøø
R1ØR1-2 R2
R3ØR3-18 R2
ikjjjjjjjjjj1 0 - 2ÅÅÅÅ9 3
0 1 - 8ÅÅÅÅ9 0
0 0 0 -23
y{zzzzzzzzzz Øøøøøøøøøø
R3Ø-1ÅÅÅÅÅÅÅ23 R3
ikjjjjjjjjjj1 0 - 2ÅÅÅÅ9 3
0 1 - 8ÅÅÅÅ9 0
0 0 0 1
y{zzzzzzzzzz
Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.
ü Tehtävä 2.12
looomnooo
x1 +x2 -x3 = 74 x1 -x2 +5 x3 = 46 x1 +x2 +3 x3 = 18
Ratkaisu:
ikjjjjjjj1 1 -1 74 -1 5 46 1 3 18
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-4 R1
R3ØR3-6 R1ikjjjjjjj1 1 -1 70 -5 9 -240 -5 9 -24
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøø
R2Ø-1ÅÅÅÅ5 R2
ikjjjjjjjjj1 1 -1 7
0 1 - 9ÅÅÅÅ524ÅÅÅÅÅÅÅ5
0 -5 9 -24
y{zzzzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R1ØR1-R2
R3ØR3+5 R5
ikjjjjjjjjjj1 0 4ÅÅÅÅ5
11ÅÅÅÅÅÅÅ5
0 1 - 9ÅÅÅÅ524ÅÅÅÅÅÅÅ5
0 0 0 0
y{zzzzzzzzzz
Äärettömän monta ratkaisua, esim. jos valitaan x3 mielivaltaisesti, niin ratkaisu voidaanesittää muodossa H 11ÅÅÅÅÅÅÅ5 - 4ÅÅÅÅ5 x3,
24ÅÅÅÅÅÅÅ5 + 9ÅÅÅÅ5 x3, x3L.ü Tehtävä 2.13
looomnooo
2 x2 +5 x3 = 6x1 -2 x3 = 4
2 x1 +4 x2 = -2
Ratkaisu:
26 MAA12teksti.nb
ikjjjjjjj0 2 5 61 0 -2 42 4 0 -2
y{zzzzzzz Øøøøøøøø
R1¨R2
R3Ø1ÅÅÅÅ2 R3
ikjjjjjjj1 0 -2 40 2 5 61 2 0 -1
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøø
R2Ø1ÅÅÅÅ2 R2
R3ØR3-R1
ikjjjjjjjjj1 0 -2 4
0 1 5ÅÅÅÅ2 3
0 2 2 -5
y{zzzzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R3ØR3-2 R2
ikjjjjjjjjj1 0 -2 4
0 1 5ÅÅÅÅ2 3
0 0 -3 -11
y{zzzzzzzzz
ØøøøøøøøøøR3Ø-
1ÅÅÅÅ3 R3
ikjjjjjjjjjj1 0 -2 4
0 1 5ÅÅÅÅ2 3
0 0 1 11ÅÅÅÅÅÅÅ3
y{zzzzzzzzzz Øøøøøøøøøøøø
R1ØR1+2 R3
R2ØR2-5ÅÅÅÅ2 R3
i
kjjjjjjjjjjjj1 0 0 34ÅÅÅÅÅÅÅ3
0 1 0 - 37ÅÅÅÅÅÅÅ6
0 0 1 11ÅÅÅÅÅÅÅ3
y
{zzzzzzzzzzzz
Seuraavissa tehtävissä sovella Gauss-Jordan -menetelmää samaan tapaan kuin 3µ4 -matriisienkin tapauksessa.
ü Tehtävä 2.14
: x1 +2 x2 -x3 = 43 x1 +4 x2 -2 x3 = 7
Ratkaisu:
J1 2 -1 43 4 -2 7
N ØøøøøøøøøøøR2ØR2-3 R1
J1 2 -1 40 -2 1 -5
N ØøøøøøøøøøR2Ø-
1ÅÅÅÅ2 R2
ikjjjj1 2 -1 4
0 1 - 1ÅÅÅÅ25ÅÅÅÅ2
y{zzzz Øøøøøøøøøøø
R1ØR1-2 R2 ikjjjj1 0 0 -1
0 1 - 1ÅÅÅÅ25ÅÅÅÅ2
y{zzzz
Ratkaisuja on äärettömän monta. Tulos voidaan esittää seuraavassa muodossa: H-1, 5ÅÅÅÅ2 + 1ÅÅÅÅ2 x3, x3L.ü Tehtävä 2.15
: x1 +2 x2 -x3 +x4 = 73 x1 +6 x2 -3 x3 +3 x4 = 21
Ratkaisu:
J1 2 -1 1 73 6 -3 3 21
N ØøøøøøøøøøøR2ØR2-3 R1
J1 2 -1 1 70 0 0 0 0
NRatkaisuja on äärettömän monta. Tulos voidaan esittää muo-dossa:H7- 2 x2 + x3 - x4, x2, x3, x4L.
ü Tehtävä 2.16
looomnooo
2 x1 +6 x2 -4 x3 +2 x4 = 4x1 -x3 +x4 = 5
-3 x1 +2 x2 -2 x3 = -2
MAA12teksti.nb 27
Ratkaisu:
ikjjjjjjj
2 6 -4 2 41 0 -1 1 5-3 2 -2 0 -2
y{zzzzzzz Øøøøøø
R1¨R2
ikjjjjjjj
1 0 -1 1 52 6 -4 2 4-3 2 -2 0 -2
y{zzzzzzz Øøøøøøøø
R2Ø1ÅÅÅÅ2 R2
ikjjjjjjj
1 0 -1 1 51 3 -2 1 2-3 2 -2 0 -2
y{zzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-R1
R3ØR3+3 R1ikjjjjjjj1 0 -1 1 50 3 -1 0 -30 2 -5 3 13
y{zzzzzzz Øøøøøøøø
R2Ø1ÅÅÅÅ3 R2
ikjjjjjjjjj1 0 -1 1 5
0 1 - 1ÅÅÅÅ3 0 -1
0 2 -5 3 13
y{zzzzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R3ØR3-2 R2
ikjjjjjjjjjj1 0 -1 1 5
0 1 - 1ÅÅÅÅ3 0 -1
0 0 - 13ÅÅÅÅÅÅÅ3 3 15
y{zzzzzzzzzz Øøøøøøøøøø
R3Ø-3ÅÅÅÅÅÅÅ13 R3
ikjjjjjjjjjj1 0 -1 1 5
0 1 - 1ÅÅÅÅ3 0 -1
0 0 1 - 9ÅÅÅÅÅÅÅ13 - 45ÅÅÅÅÅÅÅ13
y{zzzzzzzzzz Øøøøøøøøøøøø
R1ØR1+R3
R2ØR2+1ÅÅÅÅ3 R3
i
kjjjjjjjjjjjj1 0 0 4ÅÅÅÅÅÅÅ13
20ÅÅÅÅÅÅÅ13
0 1 0 - 3ÅÅÅÅÅÅÅ13 - 28ÅÅÅÅÅÅÅ13
0 0 1 - 9ÅÅÅÅÅÅÅ13 - 45ÅÅÅÅÅÅÅ13
y
{zzzzzzzzzzzz
Ratkaisuja on äärettömän monta. Tulos voidaan esittää muo-dossa:H 20ÅÅÅÅÅÅÅ13 - 4ÅÅÅÅÅÅÅ13 x4, - 28ÅÅÅÅÅÅÅ13 + 3ÅÅÅÅÅÅÅ13 x4, - 45ÅÅÅÅÅÅÅ13 + 9ÅÅÅÅÅÅÅ13 x4, x4L.
ü Tehtävä 2.17
loooooomnoooooo
x1 -2 x2 +x3 +x4 = 23 x1 +2 x3 -2 x4 = -8
4 x2 -x3 -x4 = 1-x1 +6 x2 -2 x3 = 7
Ratkaisu:
28 MAA12teksti.nb
i
k
jjjjjjjjjjjj1 -2 1 1 23 0 2 -2 -80 4 -1 -1 1-1 6 -2 0 7
y
{
zzzzzzzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-3 R1
R4ØR4+R1
i
k
jjjjjjjjjjjj1 -2 1 1 20 6 -1 -5 -140 4 -1 -1 10 4 -1 1 9
y
{
zzzzzzzzzzzz ØøøøøøøøR2Ø
1ÅÅÅÅ6 R2
i
k
jjjjjjjjjjjjjj
1 -2 1 1 2
0 1 - 1ÅÅÅÅ6 - 5ÅÅÅÅ6 - 7ÅÅÅÅ3
0 4 -1 -1 10 4 -1 1 9
y
{
zzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøøøø
R1ØR1+2 R2
R3ØR3-4 R2
R4ØR4-4 R2
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjjjjj
1 0 2ÅÅÅÅ3 - 2ÅÅÅÅ3 - 8ÅÅÅÅ3
0 1 - 1ÅÅÅÅ6 - 5ÅÅÅÅ6 - 7ÅÅÅÅ3
0 0 - 1ÅÅÅÅ37ÅÅÅÅ3
31ÅÅÅÅÅÅÅ3
0 0 - 1ÅÅÅÅ313ÅÅÅÅÅÅÅ3
55ÅÅÅÅÅÅÅ3
y
{
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøø
R3Ø-3 R3
R4Ø-3 R4
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjj
1 0 2ÅÅÅÅ3 - 2ÅÅÅÅ3 - 8ÅÅÅÅ3
0 1 - 1ÅÅÅÅ6 - 5ÅÅÅÅ6 - 7ÅÅÅÅ3
0 0 1 -7 -310 0 1 -13 -55
y
{
zzzzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøøøøø
R1ØR1-2ÅÅÅÅ3 R3
R2ØR2+1ÅÅÅÅ6 R3
R4ØR4-R3
i
k
jjjjjjjjjjjjjj
1 0 0 4 18
0 1 0 -2 - 15ÅÅÅÅÅÅÅ2
0 0 1 -7 -310 0 0 -6 -24
y
{
zzzzzzzzzzzzzz Øøøøøøøøøø
R4Ø-1ÅÅÅÅ6 R4
i
k
jjjjjjjjjjjjjj
1 0 0 4 18
0 1 0 -2 - 15ÅÅÅÅÅÅÅ2
0 0 1 -7 -310 0 0 1 4
y
{
zzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøøøø
R1ØR1-4 R4
R2ØR2+2 R4
R3ØR3+7 R4
i
k
jjjjjjjjjjjjjj
1 0 0 0 2
0 1 0 0 1ÅÅÅÅ2
0 0 1 0 -30 0 0 1 4
y
{
zzzzzzzzzzzzzzü Tehtävä 2.18
loooooomnoooooo
x1 -2 x2 +x3 +x4 = 23 x1 +2 x3 -2 x4 = -8
4 x2 -x3 -x4 = 15 x1 +3 x3 -x4 = -3
Ratkaisu:
MAA12teksti.nb 29
i
k
jjjjjjjjjjjj1 -2 1 1 23 0 2 -2 -80 4 -1 -1 15 0 3 -1 -3
y
{
zzzzzzzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-3 R1
R3Ø1ÅÅÅÅ4 R3
R4ØR4-5 R1
i
k
jjjjjjjjjjjjjj
1 -2 1 1 20 6 -1 -5 -14
0 1 - 1ÅÅÅÅ4 - 1ÅÅÅÅ41ÅÅÅÅ4
0 10 -2 -6 -13
y
{
zzzzzzzzzzzzzz Øøøøøø
R2¨R3
i
k
jjjjjjjjjjjjjj
1 -2 1 1 2
0 1 - 1ÅÅÅÅ4 - 1ÅÅÅÅ41ÅÅÅÅ4
0 6 -1 -5 -140 10 -2 -6 -13
y
{
zzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøøøøøø
R1ØR1+2 R2
R3ØR3-6 R2
R4ØR4-10 R2
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjjjjj
1 0 1ÅÅÅÅ21ÅÅÅÅ2
5ÅÅÅÅ2
0 1 - 1ÅÅÅÅ4 - 1ÅÅÅÅ41ÅÅÅÅ4
0 0 1ÅÅÅÅ2 - 7ÅÅÅÅ2 - 31ÅÅÅÅÅÅÅ2
0 0 1ÅÅÅÅ2 - 7ÅÅÅÅ2 - 31ÅÅÅÅÅÅÅ2
y
{
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzØøøøøøø
R3Ø2 R3
R4Ø2 R4
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjj
1 0 1ÅÅÅÅ21ÅÅÅÅ2
5ÅÅÅÅ2
0 1 - 1ÅÅÅÅ4 - 1ÅÅÅÅ41ÅÅÅÅ4
0 0 1 -7 -310 0 1 -7 -31
y
{
zzzzzzzzzzzzzzzzØøøøøøøøøøøø
R1ØR1-1ÅÅÅÅ2 R3
R2ØR2+1ÅÅÅÅ4 R3
R4ØR4+3 R3
i
k
jjjjjjjjjjjjjj
1 0 0 4 18
0 1 0 -2 - 15ÅÅÅÅÅÅÅ2
0 0 1 -7 -310 0 0 0 0
y
{
zzzzzzzzzzzzzzRatkaisuja on äärettömän monta. Tulos voidaan esittää muo-dossa:H18- 4 x4, - 15ÅÅÅÅÅÅÅ2 + 2 x4, -31+ 7 x4, x4L.
ü Tehtävä 2.19
Näytä, että yhtälöryhmällä looomnooo
2 x1 -x2 +3 x3 = a3 x1 +x2 -5 x3 = b-5 x1 -5 x2 +21 x3 = c
on ratkaisu vain kun
c = 2 a- 3 b.
Ratkaisu:
ikjjjjjjj
2 -1 3 a3 1 -5 b-5 -5 21 c
y{zzzzzzz Øøøøøøøø
R1Ø1ÅÅÅÅ2 R1
ikjjjjjjjjj
1 - 1ÅÅÅÅ23ÅÅÅÅ2
aÅÅÅÅ2
3 1 -5 b-5 -5 21 c
y{zzzzzzzzz Øøøøøøøøøøø
R2ØR2-3 R1
R3ØR3+5 R1
i
kjjjjjjjjjjjj1 - 1ÅÅÅÅ2
3ÅÅÅÅ2aÅÅÅÅ2
0 5ÅÅÅÅ2 - 19ÅÅÅÅÅÅÅ22 b-3 aÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2
0 - 15ÅÅÅÅÅÅÅ257ÅÅÅÅÅÅÅ2
5 a+2 cÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2
y
{zzzzzzzzzzzz Øøøøøøøø
R2Ø2ÅÅÅÅ5 R2
R3Ø2 R3
ikjjjjjjjjjj1 - 1ÅÅÅÅ2
3ÅÅÅÅ2aÅÅÅÅ2
0 1 - 19ÅÅÅÅÅÅÅ52 b-3 aÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5
0 -15 57 5 a+ 2 c
y{zzzzzzzzzz Øøøøøøøøøøøøø
R1ØR1+1ÅÅÅÅ2 R2
R3ØR3+15 R2
ikjjjjjjjjjj1 0 - 2ÅÅÅÅ5
a+bÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5
0 1 - 19ÅÅÅÅÅÅÅ52 b-3 aÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5
0 0 0 -4 a+ 6 b+ 2 c
y{zzzzzzzzzz
Yhtälöryhmällä on ratkaisu (itse asiassa äärettömän monta ratkaisua) vain, jos-4 a+ 6 b+ 2 c = 0 ñ c = 2 a- 3 b.
30 MAA12teksti.nb
à 2.4 Determinantit
Olkoon A = Ja11 a12
a21 a22N. Luvussa 2.1 määriteltiin yhtälöparin (kerroinmatriisi A:n)
determinantiksi
(7)det A = a11 a22 − a12 a21
Matriisien yhteydessä (tai käytettäessä matriiseja yhtälöryhmien ratkaisemiseen) puhutaanmatriisien determinanteista. Jos puhutaan yhtälöryhmän determinantista tarkoitetaan sen kerroinmatri-isin determinanttia.Yleensä käytetään seuraavia merkintöjä (2µ2 -kerroinmatriisi A):
(8)det A=|A|= À a11 a12a21 a22
À=a11 a22 − a12 a21
Luvussa 2.1 nähtiin myös, että yhtälöparilla on yksikäsitteinen ratkaisu, jos yhtälöparin kerroinmatriisin determinantti on nollasta eroava eli detA ∫ 0. Voidaan osoittaa, että vastaava tulos pätee myös suuremmille yhtälöryhmille. Tällä kurssilla tyydytään määrit-telemään 3µ3-matriisin determinantti, sekä harjoittelemaan sen laskemista sekä sovelta-mista kolmen yhtälön ja muuttujan yhtälöryhmiin.
Olkoon A =
ikjjjjjjja11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
y{zzzzzzz. Tällöin
(9)
det A = » A » =
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ=
a11 À a22 a23a32 a33
À −a12 À a21 a23a31 a33
À +a13 À a21 a22a31 a32
À
ü Esimerkki 2.5ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ2 3 45 6 78 9 1
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ=
2 À 6 79 1
À -3 À 5 78 1
À +4 À 5 68 9
À = 2 H6 ÿ1- 7 ÿ9L - 3 H5 ÿ1- 7 ÿ8L + 4 H5 ÿ9- 6 ÿ8L = 27
ü Tehtävä 2.20
Laske tehtävien 2.10, 2.11 ja 2.13 yhtälöryhmien kerroinmatriisien determinantit jahuomaa ratkaisujen lukumäärän ja determinantin arvon välinen yhteys. Determinanttienarvot voit tarkastaa Mathematica -ohjelmalla komennolla Det[]. Esimerkiksi edeltävänesimerkin determinantti:
MAA12teksti.nb 31
Det Ai
k
jjjjjjjj
2 3 4
5 6 7
8 9 1
y
{
zzzzzzzzE
27
ü Sivuhuomautus
Vektoritulo aµ b määritellään aµ b =
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
i j kax ay az
bx by bz
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ3µ3 -determinantti on fysiikan harrastajillekin todella tärkeä kapistus: paitsi vektoritulo, joka esiintyy esimer-kiksi pyörivän koordinaatiston sovelluksissa, niin myös vaikkapa vektorifunktion roottori,
joka esiintyy mm. sähköopissa (Maxwellin III yhtälön differentiaalimuoto “Ø
µEØ
= - ∑BØ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ∑t ).
3. Mathematica -ohjelman käytöstä
Monien edelläolevien esimerkkien ja tehtävien ohessa on mainittu Mathematica -ohjelma. Sillä on kirjoitettu myös tämä kurssimoniste. Mathematica onkin mainio väline paitsi vaativaan laskentaan, niin myös perustason asioiden havainnollistamiseen ja matemaat-tisen tekstin tuottamiseen.
Tässä yhteydessä ei ole tarkoitus antaa kattavaa ohjausta ohjelman käyttöön, vaan tarjota edellytykset itseohjautuvaan työskentelyyn ohjelman parissa. Ohjelma on erittäin hyvin dokumentoitu, Help -toiminto tarjoaa paitsi komentojen kuvaukset, niin myös toimivat esimerkit. Lisäksi esimerkiksi Help -toiminnon kautta pääsee lukemaan Mathematica käsikirjaa. Mikäli ongelmat eivät ratkea tätäkään kautta, voi turvautua Wolfram Researchin verkkosivustoon, josta löytyy myös runsas valikoima linkkejä toteutettuihin Mathematica -julkaisuihin.
à 3.1 Alkuverryttelyä
è Avattuasi Mathematica -ohjelman näet edessäsi useita ikkunoita. Tärkein eli se, jotakäytät toimintaasi, sisältää eniten valkoista. Klikkaa kyseinen ikkuna aktiiviseksi hiirellä.
è Kirjoita jokin yksinkertainen laskutoimitus (tyyliin 2*2+ 3) ja paina Shift Return (samakuin Shift Enter). Saattaa ihmetyttää, että mikä moisen laskun laskemisessa niin kauankestää, mutta se johtuu siitä, että ohjelman laskentaydin käynnistyy vasta ensimmäisensuoritettavan laskutoimituksen myötä. Ohjelmassa on siis tavallaan erillinen käyttöliit-tymä, jonka kautta käytetään laskentaydintä, kun tarve vaatii.
è Kirjoittele ja kokeile vielä muutamia laskutoimituksia tuntuman saamiseksi.
32 MAA12teksti.nb
è Mathematica -komennot alkavat aina isoilla kirjaimilla. Komentoa seuraavat hakasulkeet[ ], joiden sisään kirjoitetaan komennon parametrit ja optiot. Parametreja ja optioita voiolla paljon, joten niiden opettelussa ei ole tolkkua, jos ohjelmaa käyttää harvakseltaan.Kirjoita seuraavaksi komento Plot[x^2,{x,-5,5}] ja paina Shift Return. Kirjoita sama komento vielä pari kertaa uudestaan siten, että vaihtelet aalto-sulkujen sisällä olevia lukuarvoja.
è Valitse nyt yläpalkista Help ja edelleen Help Browser. Kirjoita Plot ja paina Return. Lueohjeen pari ensimmäistä riviä ja yritä piirtää samaan kuvaan funktiot x2 ja x3 välillä [-6,6].
à 3.2 Da Capo
è Käy moniste uudelleen läpi ja kokeile löytämiäsi Mathematica käskyjä. Tutki myös optio-
iden toimintaa. Esimerkiksi Plot -komennon yhteydessä ne muuttavat kuvan esitystapaajne. Käytä Help -toimintoa käskyjen ja optioiden merkityksen selvittämiseen. Tämänjälkeen tiedät suurinpiirtein, mitä tekevät komennot Plot, Log, Expand, Table, Interpolat-ingPolynomial, Show, ListPlot, Clear, D, NSolve, Series.
è Aivan monisteen alussa mainittiin pienimmän neliösumman käyränsovitus. Mathematic-assa työn hoitaa komento Fit. Selvitä komennon toiminta ja etsi sen avulla luvun 1.tehtävän 5 tapauksessa se paraabeli, joka minimoi neliösumman. Laske sitten saamasiparaabelin yhtälön avulla approksimaatio funktion arvolle pisteissä 2.8 ja 3.4. Vertaaarvoja tehtävässä 5. saatuihin. Piirrä kuvat Mathematicalla.
è Matriisin voit muodostaa joko listamuodossa, esim. 881, 2, 3<, 84, 5, 6<, 87, 8, 9<< tai valitsemalla valikoista tai paletista matriisin. Matriisiin voit lisätä rivejä ja sarakkeita Ctrl Return ja Ctrl , -näppäinyhdistelmillä. Listamuo-don saa muutettua matriisin näköiseksi kirjoittamalla listan perään //MatrixForm. Gauss-Jordan -eliminaation voit suorittaa Row-Reduce -käskyllä. Kerroinmatriisin (jos neliömatriisi) determinantin laskee komento Det. Selvitä komentojen toiminta ja sovella luvun 2. tehtäviin.
à 3.3 Harjoituksia
è Voit määritellä funktioita myös itse. Kokeile seuraavaa funktiota:
tuplaa @x_D : = 2 x
Paina Shift Return määrittelyn perään. Kutsu funktiotasi ensin numeroarvoilla (tuplaa[2])ja sitten symbolisilla arvoilla (tuplaa[2x]). Kaikki tämä toimii, koska Mathematica pyrkiilaskemaan symbolisilla arvoilla. Näin laskennan tarkkuus säilyy. Jos saat vastauksensymbolisessa muodossa, esim
è!!!2 , saat sille likiarvon kirjoittamalla NAè!!!
2 E. Funktiossa
voi esiintyä myös muita muuttujia, joille voidaan antaa arvo ennen funktion kutsumista.
è Muodosta funktio, joka laskee yleisen toisen asteen polynomifunktion arvon kohdassa x.
MAA12teksti.nb 33
è Suunnittele ja toteuta jokin yhdistetty funktio, jossa hyödynnät jotakin Mathematicanvalmisfunktiota.
è Edellä olet käyttänyt sujuvasti merkkejä = , ã ja :=. Selvitä, miten ne eroavat toisis-taan. Keksi esimerkit.
è Mathematica sisältää ohjelmointikielen, jonka ansiosta sen ominaisuuksien laajentaminenerilaisilla komentopaketeilla on helppoa. Menemättä sen syvemmälle ohjelmointiin,kokeile muiden ohjelmointikielten vastaavia käskyjä muistuttavia komentoja If, Do, For jaWhile. Käytä jompaa kumpaa muodostaaksesi talukon, joka koostuu sadasta erilukuparista.
à 3.4 Matemaattisen tekstin kirjoittaminen
Esitetään lyhyesti ohjeet, kuinka pääset alkuun kirjoittamisessa. Valitse yläpalkista Formatja Show Toolbar. Työskentelyikkunasi yläreunaan ilmaantuu palkki, jossa on mm. tallen-nus- ja tulostusnäppäimet. Vasemmassa reunassa on alasvetovalikko, jonka kenttä ilmoit-taa käytössä olevan tyylin. Valikosta voit valita esimerkiksi otsikkotyylin (Title), pääkap-paletyylin (SectionFirst), leipätekstin (Text) jne. Se millaisia tyylejä valikko sisältääriippuu siitä, millainen tyylisivu on käytössä. Mathematica -ohjelma sisältää useita valmi-ita tyylisivuja. Niitä voit vaihdella kokeen vuoksi yläpalkin Format -valikon kohdastaStyle Sheet. Kaikkia tyylisivun tyylien ominaisuuksia voi muokata, mutta koska ominais-uuksia on todella paljon, kannattaa ainakin aluksi tyytyä valmiisiin tyyleihin. Tyylien jatyylisivujen asetuksia pääsee tarkastelemaan ja muuttelemaan Format -valikon kohdastaOption Inspector.
34 MAA12teksti.nb
4. Kompleksiluvut
à 4.1 Johdanto
Termillä kompleksiluku tarkoitetaan muotoa a+ ib olevaa kokonaisuutta, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja i on luku, jolla on ominaisuus i2 = -1. Yleensä kompleksilukujen katsotaan esiintyneen ensimmäisen kerran Girolamo Cardanon teoksessa Ars Magna vuonna 1545. Cardano itse piti esittämiään kompleksilukuja tarpeettomina. Ensimmäiset varsinaiset laskelmat kompleksiluvuilla suoritti Rafael Bombelli teoksessaan L'Algebra vuonna 1572. Vasta vuonna 1702 Leibniz esitteli i:n, luvun -1 neliöjuuren pitäen sitä kuitenkin jonakin outona todellisen ja epätodellisen välillä olevana. Tuona aikana kompleksiluvuista puhut-tiin muutenkin mahdottomina (impossible) tai kuvitteellisina (imaginary). Tämä näkyy vieläkin termissä imaginaariluku, jolla tarkoitetaan imaginaariyksikön  reaalista moniker-taa (bi, b œ Ñ). Asian epämääräisyyttä 1700-luvulla kuvaa hyvin se, että jopa suuri matemaatikko Leonhard Euler väitti vuonna 1770 virheellisesti, että
è!!!!!!!-2
è!!!!!!!-3 =
è!!!6 .
(Oikeastihan ajattelu menee vaikkapa näin: è!!!!!!!-2
è!!!!!!!-3 =
è!!!!!!!2 i2
è!!!!!!!3 i2 =
è!!!6 i2 = -
è!!!6 .)
Tyydyttävä selitys sille, mitä kompleksiluvut ovat saatiin vasta 1700-luvun lopussa, noin 250 vuotta käsitteen ensiesiintymisensä jälkeen. Wessel, Argand ja Gauss havaitsivat toisistaan riippumatta samoihin aikoihin, että kompleksiluvut voitiin konkreettisesti ymmärtää tason pisteinä tai vektoreina. Kompleksilukujen joukko  samaistettiin tason Ñ2 kanssa. Tästä johtuu nimitys kompleksitaso. Tämän geometrisen tulkinnan löytymisen jälkeen kompleksiluvuilla laskemisen teoria kehittyi nopeasti. Tärkeimpiä 1800-luvun kompleksianalyysin kehittäjiä olivat mm. Cauchy, Abel, Weierstrass ja Riemann.
Kompleksiluvuista tai laajemmin kompleksianalyysista ja funktioteoriasta puhuttaessa onsyytä mainita ainoa suomalainen Fieldsin mitalin saaja Lars V. Ahlfors (1907-1996).Ahlforsin kirjoittama kompleksianalyysin kirja on edelleen paljon käytetty ja arvostettualan perusteos.
à 4.2 Algebrallinen näkökulma
Perinteinen oppikirjanäkemys kompleksilukuihin on algebrallinen. Kompleksilukuja käsitellään vektoreina ja kompleksilukujen laskutoimitukset samaistetaan vektorien vas-taaviin laskutoimituksiin. Käydään muutamia ominaisuuksia lyhyesti läpi.
ü 4.2.1 Kompleksilukujen joukko
Kompleksilukujen joukko  samaistetaan tasoon Ñ2 = ѵÑ.Tällöin kompleksiluku z voidaan esittää järjestettynä lukuparina eli tason pisteenä Hx, yL,missä x, y œ Ñ.Samaistetaan reaaliluku x kompleksilukuun Hx, 0L.
MAA12teksti.nb 35
ü 4.2.2 Laskutoimitukset
Määritellään kompleksilukujen joukossa yhteenlasku + :ÂµÂ Ø Â ja kertolasku ÿ : ÂµÂ Ø Â asettamalla kaikille z1 = Hx1, y1L œ  ja z2 = Hx2, y2L œ Â
z1 + z2 = Hx1 + x2, y1 + y2Lz1 ÿ z2 = Hx1 x2 - y1 y2, x1 y2 + x2 y1L
ü 4.2.3 Merkintä
Kompleksilukua H0, 1L sanotaan imaginaariyksiköksi ja merkitään symbolilla i.Jos z= Hx, yL œ  , niin määritelmien nojallaz= Hx, 0L + H0, yL = Hx, 0L + Hy, 0L ÿ H0, 1L = x+ y i.Viimeistä esitysmuotoa kutsutaan kompleksiluvun vektoriesitykseksi.
Huomautus: i2 = H0, 1L H0, 1L =4.2 .2 H-1, 0L, siis
è!!!!!!!!!!!!!!H-1, 0L = i . Vektoriesityksenä i2 = -1 jaè!!!!!!!-1 = i .
ü 4.2.4 Määritelmiä
Olkoon z= x+ y i œ  , missä x, y œ Ñ. Määritellään kompleksiluvun zliittoluku zê asettamalla zê = x- y i œ Â
itseisarvo » z » asettamalla » z » = è!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 œ Ñ
reaaliosa ReHzL asettamalla ReHzL = x œ Ñ
imaginaariosa ImHzL = y œ Ñ
ü Tehtävä 4.1
Näytä, että a) z1 + z2
êêêêêêêêêê= z1
êêê + z2êêê
b) z1 z2êêêêêêê = z1
êêê ÿ z2êêê
c) z= z
Ratkaisu:
a) z1 + z2êêêêêêêêêê
=4.2 .3 Hx1 + y1 iL + Hx2 + y2 iLêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê
=
Hx1 + x2L + Hy1 + y2L iêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê=
4.2 .4 Hx1 + x2L - Hy1 + y2L i = Hx1 - y1 iL + Hx2 - y2 iL =4.2 .4
z1êêê + z2
êêê
b) z1êêê ÿ z2
êêê =4.2 .3
x1 + y1 iêêêêêêêêêêêê
ÿ x2 + y2 iêêêêêêêêêêêê
=4.2 .4 Hx1 - y1 iL Hx2 - y2 iL = x1 x2 - x1 y2 i - y1 x2 i + y1 y2 i2 =
4.2 .3
Hx1 x2 - y1 y2L - Hx1 y2 + y1 x2L i =4.2 .4 Hx1 x2 - y1 y2L + Hx1 y2 + y1 x2L iêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê
=
x1 x2 + x1 y2 i + y1 x2 i + y1 y2 i2êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê
= Hx1 + y1 iL Hx2 + y2 iLêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêê=
4.2 .3z1 z2êêêêêêê
c) z =4.2 .3
x+ y i =4.2 .4
x- y i =4.2 .4
x+ y i =4.2 .3
z
36 MAA12teksti.nb
ü Tehtävä 4.2
Näytä, ettäa) ReHzL = 1ÅÅÅÅ2 Hz+ zêLb) ImHzL = 1ÅÅÅÅÅÅÅ2 i Hz- zêLc) zzê = » z »2Ratkaisu:
a) 1ÅÅÅÅ2 Hz+ zêL =
4.2 .34.2 .4 1ÅÅÅÅ2 Hx+ i y + x- i yL = x =
4.2 .4ReHzL
b) 1ÅÅÅÅÅÅÅ2 i Hz- zêL =
4.2 .34.2 .4 1ÅÅÅÅ2 Hx+ i y - x+ i yL = y =
4.2 .4ImHzL
c) zzê =
4.2 .34.2 .4 Hx+ y iL Hx- y iL = x2 - Hy iL2 =
4.2 .3x2 + y2 = Iè!!!!!!!!!!!!!!
x2 + y2 M2=
4.2 .4 » z »2ü 4.2.5 Napakulma
Olkoon zœ  \ 80<. Sanotaan, että qœÑ on z:n napakulma, jos cosq = xÅÅÅÅÅÅ»z» ja sinq =yÅÅÅÅÅÅ»z» ,
missä x = ReHzL ja y = ImHzL.Huomautus: napakulma q ei ole yksikäsitteinen johtuen funktioiden sin ja cos jaksollisuud-esta. Kuitenkin välillä @0, 2 p@ tai yleisemmin @a, a+ 2 p@, a œ Ñ kulma on yksikäsit-teinen.
ü 4.2.6 Napakulmaesitys
Jokainen kompleksiluku zœ  \ 80< voidaan esittää napakoordinaattimuodossa
z= rHcosq + i sinqL,missä q on jokin z:n napakulma ja r = » z ».Kääntäen, jos r > 0, q œ Ñ ja merkitään z= rHcosq + i sinqL, niin » z » = r .
ü Tehtävä 4.3
Näytä, että kohdan 4.2.6 väite pätee.
Ratkaisu:
rHcosq + i sinqL =4.2 .5
» z » I xÅÅÅÅÅÅ»z» + i yÅÅÅÅÅÅ»z» M = x+ i y =
4.2 .3z
Kääntäen » z » = "#########################################Hr cosqL2 + Hr sinq iL2 ="##################################
r2Hcos2 q + sin2 qL = r
MAA12teksti.nb 37
ü 4.2.7 Tulo napakoordinaattiesityksessä
Olkoon z1, z2 œ  \ 80< ja r i ja qi niiden parametrit napakoordinaattiesityksessä. Tällöinz1 z2 = r1 r2HcosHq1 + q2L + i sinHq1 + q2LL.
ü Tehtävä 4.4
Näytä, että kohdan 4.2.7 kaava pätee.
Ratkaisu:
z1 z2 = @r1Hcosq1 + i sinq1LD@r2Hcosq2 + i sinq2LD =r1 r2Hcosq1 cosq2 - sinq1 sinq2L + iHcosq1 sinq2 + sinq1 cosq2L =
H*Lr1 r2HcosHq1 + q2L + i sinHq1 + q2LLH*L sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat
ü Tehtävä 4.5
Esitä napakoordinaattimuodossa:
a) 1+ i b) 2 c) 1-è!!!
3 i
Ratkaisu:
a) è!!!
2 Hcos pÅÅÅÅ4 + i sin pÅÅÅÅ4 L b) 2 Hcos0+ i sin0L c) 2 Hcos pÅÅÅÅ3 + i sin pÅÅÅÅ3 Là 4.3 Geometrinen näkökulma
Kompleksiluvut tason vektoreina (tai pisteinä) saavat uuden merkityksen, kun pohditaan laskutoimituksien geometrisia seurauksia. Ensin on kuitenkin hyvä piirtää kuva siitä, miltä edellä esitetyt määritelmät ja merkinnät tarkoittavat tason koordinaatistossa.
38 MAA12teksti.nb
Graphics`Arrow`
v1 = Graphics @Arrow @80, 0 <, 82, 1 <DD;
v2 = Graphics @Arrow @80, 0 <, 82, −1<DD;
vx = Graphics @8Dashing @80.05, 0.05 <D, Line @882, −1<, 82, 1 <<D<D;
vy1 = Graphics @8Dashing @80.05, 0.05 <D, Line @880, 1 <, 82, 1 <<D<D;
vy2 = Graphics @8Dashing @80.05, 0.05 <D, Line @880, −1<, 82, −1<<D<D;
k = Graphics ACircle A80, 0 <, 0.5, 90,Pi�������6
=EE;
tk = Graphics @Text @" θ", 80.6, 0.1 <, TextStyle −> FontSize → 12DD;
tp1 = Graphics @Text @" Hx,y L", 82.2, 1 <, TextStyle −> FontSize → 12DD;
tp2 =
Graphics @Text @" Hx, −yL", 82.2, −1<, TextStyle −> FontSize → 12DD;
z = Graphics @Text @" z=x+yi", 81.3, 0.5 <,
TextStyle −> FontSize → 12DD;
zl = Graphics AText A" z¯=x−yi", 81.3, −0.5 <,
TextStyle −> FontSize → 12EE;
Show@8v1, v2, vx, vy1, vy2, k, tk, tp1, tp2, z, zl <,
Axes → True, PlotRange → 880, 2.2 <, 8−1.1, 1.1 <<,
AxesLabel → 8Re, Im <, AspectRatio → Automatic D;
Clear @v1, v2, vx, vy1, vy2, k, tk, tp1, tp2, z, zl D;
0.5 1 1.5 2Re
-1
-0.5
0.5
1
Im
θ
Hx,yL
Hx,−yL
z=x+yi
z̄=x−yi
ü 4.3.1 Terminologiaa
Kompleksiluvun z itseisarvoa » z » kutsutaan myös moduliksi.
Napakoordinaattiesityksen napakulmaa kutsutaan myös argumentiksi, merkitäänq = Arg HzL.
MAA12teksti.nb 39
ü Tehtävä 4.6
Mieti kuvan avulla, miksi seuraavat yhtäsuuruudet pätevät:
a) ReHzL = 1ÅÅÅÅ2 Hz+ zL b) ImHzL = 1ÅÅÅÅÅÅÅ2 i Hz- zL c) » z » = è!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2
d) tan@Arg HzLD = ImHzLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅReHzL
ü 4.3.2 Kompleksilukujen summan ja tulon geometrinen merkitys
OO= 80, 0 <; A = 82, 1 <; B = 81, 3 <;
a = Graphics @Arrow @OO, ADD; b = Graphics @Arrow @OO, BDD;
c = Graphics @Arrow @OO, A+ BDD;
ac = Graphics @8Dashing @80.05, 0.05 <D, Line @8A, A + B<D<D;
bc = Graphics @8Dashing @80.05, 0.05 <D, Line @8B, A + B<D<D;
ta = Graphics @Text @"z 1", 81, 0.3 <, TextStyle −> FontSize → 12DD;
tb = Graphics @Text @"z 2", 80.4, 2 <, TextStyle −> FontSize → 12DD;
tc = Graphics @Text @"z 1+z2", 81.6, 1.5 <, TextStyle −> FontSize → 12DD;
Show@8a, b, c, ac, bc, ta, tb, tc <, Axes → True,
AxesLabel → 8Re, Im <, AspectRatio → Automatic D;
Clear @a, b, c, ac, bc, ta, tb, tc D;
0.5 1 1.5 2 2.5 3Re
1
2
3
4
Im
z1
z2
z1+z2
ü Tehtävä 4.7
Mieti kuvan avulla, miksi seuraavat yhtäsuuruudet pätevät:
a) zz= » z »2 b) H1+ iL4 = -4 c) H1+ iL13 = -26 H1+ iL
40 MAA12teksti.nb
ü Tehtävä 4.8
Piirrä kuvaajat:
a) » z » = 1 b) » z- z » = 2 c) » 1- z » = 3
Ratkaisu:
a) b) c)
-1 -0.5 0.5 1Re
-1
-0.5
0.5
1Im
-2 -1 1 2Re
-1
-0.5
0.5
1Im
-2 -1 1 2 3 4Re
-3
-2
-1
1
2
3Im
Kuvaaja b) seuraa vaikkapa näin:
» z- z » = » x+ y i - Hx- y iL » = » 2 y i » = "###########H2 yL2 = » 2 y ».ü Tehtävä 4.9
Piirrä ne kompleksitason pisteet, joille
a) z2 + » z » = 0 b) 1 < » z+ i » < 2 c) » z » = » z+ 1 »d) - pÅÅÅÅ4 § ArgHzL § pÅÅÅÅ2 ja » z » ¥ 2
Ratkaisu:
a) z= 0 kelpaa selvästi ratkaisuksi. Tutkitaan, löytyykö muita. Olkoon z∫ 0.
z2 + » z » = 0 ›fl4.2 .6 @rHcosq + i sinqLD2 + r =
0 ñr∫0
rHcosq + i sinqL2 = -1 ›fl4.2 .7
r@cosH2 qL + iHsin2qLD = -1Koska sulkujen sisällä on yksikköympyrän piste ja r œ Ñ+ , voidaan päätellä, ettär = 1 ja cosH2 qL + iHsin2qL = -1. Välillä @0, 2 p@ ratkaisuksi kelpaavat kulmat pÅÅÅÅ2 ja 3 pÅÅÅÅÅÅÅÅ4 .
a) b)
-1 -0.5 0.5 1Re
-1
-0.5
0.5
1Im
-2 -1 1 2Re
-3
-2
-1
1Im
-2 -1 1 2Re
-3
-2
-1
1Im
MAA12teksti.nb 41
c) Jos ei muuten keksi, miten ratkaisujoukon kuvaaja löytyy, voi laskeskella:
» z »2 = » z+ 1 »2 ›fl4.2 cL
z z= Hz+ 1L Hz+ 1L ›fl4.1 aL
z z= Hz+ 1L Iz+ 1M ›fl4.2 .4
z z= Hz+ 1L Hz+ 1L ñ z z= z z+ z+ z+ 1 ñ z+ z= -1 ›fl4.2 aL
2 ReHzL = -1 ñ ReHzL = - 1ÅÅÅÅ2
c)d)
-1-0.75-0.5-0.25 0.250.50.751Re
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
1Im
1 2 3 4 5Re
-4
-2
2
4
Im
1 2 3 4 5Re
-4
-2
2
4
Im
à 4.4 Kompleksilukuyhtälöt
Kompleksisia yhtälöitä ratkaistaessa pääsee pitkälle, kun huomaa, että kaksi kompleksi-lukua ovat samoja täsmälleen silloin, kun niiden reaali- ja imaginaariosat ovat samoja.Tämä johtaa useissa tapauksissa yhtälöparin käyttöön.
ü Tehtävä 4.10
Määritä x, y œ Ñ siten, että
a) 2 x+ y i = 6- 2 ib) x+ 9 i = y+ y2 ic) Hx+ 2 iL2 = y i
Ratkaisu:
a) x = 3 ja y = -2 b) 9 x = y
9 = y2 josta 9 x = 3y = 3
tai 9 x = -3y = -3
c) 9 x2 - 4 = 04 x = y
josta 9 x = 2y = 8
tai 9 x = -2y = -8
ü Tehtävä 4.11
Ratkaise yhtälö:
42 MAA12teksti.nb
a) 3 i z = 2- i b) z-3 iÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = i c) i z+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = 1
Ratkaisu:
a) 3 i z = 2- i ñ 3 iHx+ y iL = 2- i ñ 3 x i - 3 y = 2- i , josta saadaan yhtälöpari
9 3 x = -1-3 y = 2
ñloomnoo
x = - 1ÅÅÅÅ3
y = - 2ÅÅÅÅ3
joten yhtälön ratkaisu on z= - 1ÅÅÅÅ3 - 2ÅÅÅÅ3 i . Jos osaa jakaa kompleksi-
luvuilla, niin voi laskea suoraan3 i z = 2- i ñ z= -iL 2ÅÅÅÅÅÅÅ3 i - iÅÅÅÅÅÅÅ3 i = - 1ÅÅÅÅ3 - 2ÅÅÅÅ3 i
b) Suora lasku antaa ratkaisuksi z= 5 i .
c) i z+1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = 1 ñ z= -iL 1ÅÅÅÅi = -i
ü Tehtävä 4.12
Ratkaise yhtälöstä z:
a) z- 4 = i z b) 2 i z = H3- iL z+ 1 c) z2 = z2
Ratkaisu:
a) Ei ratkaisua.
b) 2 i z = H3- iL z+ 1 ñ 2 iHx+ y iL =H3- iL Hx- y iL + 1 ñ 2 x i - 2 y = 3 x- 3 y i - x i - y+ 1 ñ 3 x i = 3 x- 3 y i + y+ 1
Saadaan yhtälöpari:: 3 x+ y+ 1 = 03 x = -3 y
ñ : y+ 3 x = -1x = -y
ñ 9 x = - 1ÅÅÅÅ2
y = 1ÅÅÅÅ2
. Siis ratkaisu on
z= - 1ÅÅÅÅ2 + 1ÅÅÅÅ2 i .
c) zœ Ñ tai zœ  \Ñ.
ü Tehtävä 4.13
Osoita, että
2 » z- 1 » = » z- 4 » ñ » z » = 2
Ratkaisu:
2 » z- 1 » = » z- 4 » ñ 2 » x+ y i - 1 » = À x+ y i - 4 À ñ 2 "########################Hx- 1L2 + y2 =
"########################Hx- 4L2 + y2 ñ x2 + y2 = 4 ñè!!!!!!!!!!!!!!
x2 + y2 = 2 ñ » z » = 2
MAA12teksti.nb 43
à 4.4 Eulerin kaava
Seuraavaksi perustelemme heuristisella tasolla Leonhard Eulerin vuoden 1740 tietämissä löytämän upean ekvivalenssin.
Tarkastellaan kompleksiluvun napakoordinaattiesitystä z= rHcosq + i sinqL. Sulkujen sisällä oleva osa on komp-leksitason origosta yksikköympyrän pisteeseen osoittava yksikkövektori, joka on saman suuntainen kuin komplek-silukua edustava vektori, r on siis vain skaalaus.
Ympyrään liittyy eräs tärkeä ominaisuus: tangentti on aina kohtisuorassa origosta sivua-mispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan. Tässä astuu kuvaan imaginaariyksikön i mielenki-intoinen ominaisuus kompleksilukujen tulossa. Kirjoitetaan tulo i z napakoordinaattimuo-dossa:
Hcos pÅÅÅÅ2 + i sin pÅÅÅÅ2 L ÿ rHcosq + i sinqL = r@cosHq + pÅÅÅÅ2 L + i sinHq + pÅÅÅÅ2 LDHavaitaan, että tulovektori on kohtisuorassa vektoria z vastaan!
Siirrytään sitten hetkeksi fysiikan maailmaan. Kuvitellaan, että kappale liikkuu pitkin jotakin kompleksitason käyrää ja funktio S(t) antaa sen paikkavektorin hetkellä t. Kappa-leen hetkellinen nopeus V(t) on vektori, jonka pituus ja suunta saadaan paikkafunktion S(t) ensimmäisestä aikaderivaatasta. Nopeusvektori on aina liikeradan tangentin suuntainen.
Valitaan SHtL = ei t . Tällöin VHtL = i ei t . Hetkellä t = 0 saadaan SH0L = 1 ja VHtL = i . Joht-uen eksponenttifunktion määrittelevästä ominaisuudesta D ek x = k ek x (k vakio) havaitaan, että nopeusvektori on kaikkina ajan hetkinä kohtisuorassa liikerataan nähden. On siis selvää, että valittu paikkafunktio antaa liikeradaksi kompleksitason yksikköympyrän! Nyt tiedämme, että » SHtL » = 1, joten myös » VHtL » = 1 kaikkina ajan hetkinä t. Siten matkat-tuaan ajan t = q , kappale on liikkunut matkan q pitkin yksikköympyrän piiriä eli paikkavek-torin SHqL =ei q napakulma on q.
Siinähän se kaava onkin!
ei q = cosq + i sinq
ü 4.4.1 Kompleksilukujen tulo uusin merkinnöin
Ensin on hyvä huomata, että z= rHcosq + i sinqL = r ei q .
z1 z2 = Hr1 ei q1L Hr2 ei q2L = r1 r2 eiHq1+q2L
44 MAA12teksti.nb
Kuinka selvää nyt onkaan, että kompleksilukujen tulossa napakulmat lasketaan yhteen ja vektorien pituudet kerrotaan keskenään. Eikä tarvitse muistaa napakoordinaattiesityksen tulokaavaa. Kaikki toimii tavallisilla peruslaskusäännöillä.
ü 4.4.2 Ykkösen kompleksiset juuret
Kompleksilukujen eulerin muotoa käyttämällä on helppoa laskea muotoa zn = z0 olevia yhtälöitä.
z3 = 1 ñ Hr ei qL3= 1 eiÿ0 ñ r3 ei 3 q = 1 eiÿ0
Tästä näemme, että r = 1 ja 3 q = 0. Etsitään ne q œ @0, 2 p@, joille jälkimmäinen yhtälö pätee. Ne ovat 0,2 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 ja 4 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 . Juuret ovat siis e0, eiÿ 2 p
ÅÅÅÅÅÅÅÅ3 ja eiÿ 4 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 . Vektorimuotoon päästään
käyttämällä eulerin kaavaa:
z1 = 1, z2 = cos 2 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 + i sin 2 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 i = - 1ÅÅÅÅ2 + i è!!!!
3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 ja z3 = cos 4 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 + i sin 4 pÅÅÅÅÅÅÅÅ3 = - 1ÅÅÅÅ2 - i
è!!!!3
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2
ü Tehtävä 4.14
Ratkaise yhtälön z4 = 1 juuret.
ü Tehtävä 4.15
Ratkaise yhtälön z6 = -1 juuret.
ü Huomautus
Kun näitä ykkösen juuria laskeskelee ja miettii, niin havaitsee, että ykkösen n. juuret (eliyhtälön zn = 1 ratkaisut) voidaan esittää kätevästi muodossa
ei k 2 pÅÅÅÅÅÅÅÅn , missä k = 0, …, n- 1. Kokeile!
à 4.5 Toisen asteen yhtälön yleinen ratkaisukaava
Johdetaan reaalikertoimisen toisen asteen yhtälön ratkaisukaava neliöksi täydentämällä: Toisen asteen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa z2 + p z+ q = 0, missä p, q œ Ñ vakio-ita ja zœ  .
z2 + p z+ q = 0 ñ z2 + 2 z pÅÅÅÅÅ2 + H p
ÅÅÅÅÅ2 L2= H p
ÅÅÅÅÅ2 L2- q ñ Hz+ p
ÅÅÅÅÅ2 L2=
p2
ÅÅÅÅÅÅÅ4 - q ñ … z+ pÅÅÅÅÅ2 … =
$%%%%%%%%%%%%%%p2ÅÅÅÅÅÅÅ4 - q´̈ ¨¨¨̈ ¨̈ ≠ ƨ¨¨¨̈
=D
ñ z+ pÅÅÅÅÅ2 = ≤
è!!!!D ñ z+ p
ÅÅÅÅÅ2 = ≤è!!!!!!!!-D i ñ z= -
pÅÅÅÅÅ2 ≤ i
è!!!!!!!!-D
Entä, jos vakiokertoimetkin ovat kompleksilukuja? Tällöin voidaan neliöksi täydentämällä johtaa sama tuttu kaava, joka pätee myös reaalikertoimiselle toisen asteen yhtälölle diskrim-inantin ollessa positiivinen tai nolla.Siis jos p, q œ  vakioita ja zœ  , niin yhtälön z2 + p z+ q = 0 ratkaisut saadaan kaavasta
z=-p≤
è!!!!!!!!!!!!!!!p2-4 q
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2
MAA12teksti.nb 45
ü 4.5.1 Esimerkki
Ratkaistaan yhtälö z2 + 2 z+ 5 = 0.
D = 22ÅÅÅÅÅÅ4 - 5 = -4
è!!!!!!!!-D =2
Siis z= -1≤ 2 i .
ü Tehtävä 4.16
Tarkasta edellä saadut juuret sijoittamalla ne yhtälön vasemman puolen lausekkeeseen jasieventämällä.
ü 4.5.2 Esimerkki
Ratkaistaan yhtälö z2 +è!!!!!!
32 i z- 6 i = 0.
z=-
è!!!!!!32 i≤$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Iè!!!!!!
32 iM2+4ÿ6 iÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = -
è!!!8 i ≤
è!!!!!!!!!!!!!!!!-8+ 6 i = -
è!!!8 i ≤ H1+ 3 iL = ≤1≤ iI3- 2
è!!!2 M
ü Tehtävä 4.17
Edeltävässä esimerkissä käytettiin tietoa, että è!!!!!!!!!!!!!!!!-8+ 6 i = ≤1≤ 3 i . Täytä puuttuvat
välivaiheet.Vinkki: merkitse Hx+ i yL2 = -8+ 6 i ja ratkaise x ja y.
ü Tehtävä 4.17
Tarkasta esimerkin 4.5.2 juuret sijoittamalla ne yhtälön vasemman puolen lausekkeeseenja sieventämällä.
46 MAA12teksti.nb