1 DOUZE AFFIRMATIONS VRAI FAUX JUSTIFIER
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QUESTIONSÀRÉPONSESCOURTES
PARTIE1:DOUZEAFFIRMATIONS:VRAI‐FAUX?JUSTIFIER!
1) ABCDestunrectanglede longueuracmetde largeurbcm.Lesnombresaetbsontdeuxentiersstrictementsupérieursà1.Affirmation1: lamesuredel’airedurectangle, l’unitéd’aireétantlecm²,n’est jamaisunnombrepremier.
VRAI
Justification:
Lamesuredel’airedurectanglevaut .Commelesnombresaetbsontstrictementsupérieursà1,lesnombres 1, a et ab sont distincts. Le nombre a donc au moins trois diviseurs distincts, parconséquentcen’estpasunnombrepremier.
2) Lechienmangeuntiersdesapâtée.Lechatluimangealorslamoitiédecequirestedanslagamelle.
Affirmation:ilreste delapâtéedanslagamelle.
FAUX
Justification
Parlecalcul:
Lechienmangeuntiersdesapâtée,doncaprèssonpassageilenrestelesdeuxtiers.Aprèslepassagedu
chat,ilrestelamoitiédecesdeuxtiers,soit delapâtée.
Parleschéma:
Pâtée
Partdu chien
Part duchat
Leschémamontrequelapartrestantereprésenteuntiersdelapâtée.
3) Lesnombrespetqsontdesnombresentiersstrictementpositifs.
Affirmation3:lenombre esttoujoursunnombredécimalnonentier.
FAUX
Justification:
Ilsuffitd’exhiberuncontre‐exemple,c'est‐à‐diredeproposerdeuxvaleursdepetqentiersstrictementpositifsquidonnentunnombredécimalentier:Sip=q=1,lenombreestégalà10548quiestunentier.
4) ABCDestunrectanglede longueuracmetde largeurbcm.Lesnombresaetbsontdeuxentiersstrictementsupérieursà1.Affirmation4: lamesurede la diagonale du rectangle, avec le cm commeunité de longueur, esttoujoursunnombrerationnel.
FAUX
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Justification:
Ilsuffitd’exhiberuncontre‐exemple,c'est‐à‐diredeproposerdeuxnombresdeaetbentiersstrictementsupérieursà1quidonnentunnombrenonrationnel(irrationnel):sia=3etb=2,d'aprèslethéorèmedePythagore,lecarrédelamesuredelalongueurdeladiagonaledurectangle est 32+22 = 13. Or, 13 n'est pas un carré parfait donc lamesure de la diagonale,√13 est unnombreirrationnel(eneffet,onsaitquelaracinecarréed’unentiernaturelnestunentiernaturelsietseulementsinestuncarréparfait,etquesinon,c’estunnombreirrationnel).
5) ABCDestunrectanglede longueuracmetde largeurbcm.Lesnombresaetbsontdesnombresréelspositifstelsquea+b=7.Affirmation5: lamesurede l’airedurectangle, l’unitéd’aireétant le cm²,est toujours inférieureà10.
FAUX
Justification:
Il suffit d’exhiber un contre‐exemple, c'est‐à‐dire deproposerdeuxnombresde a et b entiers vérifianta+b=7ettelsquelamesuredel’airedurectangleencm²soitsupérieureouégaleà10:Sia=4etb=3,onabiena+b=7maislamesuredel'airedurectanglevauta×b=3×4=12,cequiestsupérieurà10.
6) Affirmation6:toutquadrilatèrenoncroisédontlesdiagonalessontperpendiculairesetdemêmelongueuretquiadeuxcôtésopposésparallèlesetdemêmelongueurestuncarré.
VRAI
Justification:
Tout quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est unparallélogramme. Si de plus ses diagonales sont perpendiculaires, alors c’est un losange. Enfin, si sesdiagonalessontaussidemêmelongueur,alorsc’estuncarré.
7) Affirmation7: en traçant lesdiagonalesd’unquadrilatère convexe, onpartage celui‐ci enquatrepartiesd’aireségales.
FAUX
Justification:
Ilsuffitd’exhiberuncontre‐exemplecommeci‐dessous:
8) On considère un parallélogramme ABCD, de centre O. On appelle M le milieu de [AB] et Rl’intersectionde[DM]et[AC].Affirmation8:RC=2AR.
VRAI
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Justification:
Oétantlecentreduparallélogramme,Oestmilieude[DB]etde[AC]DansletriangleADB,[AO]et[DM]sontdeuxmédianes;parconséquentleurpointd’intersection,R,estlecentredegravitédutriangleIlsesituedoncaux2/3de[AO]enpartantdeA.Ona:AR=2/3AOetAO=1/2AC,doncAR=1/3AC,parconséquentRC=2AR
9) Affirmation 9: la mesure du volume d’un cube, l’unité de volume étant le cm3, est toujours unnombresupérieuràlamesuredel’aired’unefacedececube,l’unitéd’aireétantlecm2.
FAUX
Justification:
Ilsuffitd’exhiberuncontre‐exemple.Prenonsuncubedontlamesuredel’arête,encm,est0,1.Lamesuredel’aire,encm²,d’unedesesfacesest0,01,lamesuredesonvolume,cm3est0,001Or0,001<0,01
10) Onconsidèreuneconfigurationde9pointsainsiconstituée:lessommetsd’uncarré,lesmilieuxdescôtésdececarréetlecentredececarré.Onveuttracertouslescerclesayantpourcentreundecesneufpointsetpassantparaumoinsunautredeces9points.Affirmation10:lenombredecerclesquel’onpeuttracerest38.
VRAI
Justification:
Ilya5cerclesdecentreA:celuiderayonABpassantparBetH,celuiderayonAOpassantparO,celuiderayonACpassantparCetG,celuiderayonADpassantparDetF,etceluiderayonAEpassantparE.Ilyadelamêmemanière5cerclesdecentresC,EetG(autressommetsducarré).Ilyadoncautotal20cerclesdontlecentreestl’undessommetsducarré.
Ilya4cerclesdecentreB:celuiderayonBApassantparA,OetC,celuiderayonBHpassantparHetD,celuiderayonBFpassantparFetceluiderayonBGpassantparGetE.Ilyadelamêmemanière4cerclesdecentresD,FetH(milieuxdescôtés).Ilyadoncautotal16cerclesdontlecentreestlemilieudel’undescôtés.Enfin,ilya2cerclesdecentreO,centreducarré:celuiderayonOBpassantparB,D,FetH,etceluiderayonOApassantparA,C,EetG.
Onaainsipasséenrevuetouslescentrespossibles,ettouslesrayonspossibles.20+16+2=38.Ilyadoncautotal38cercles.
11) Ondéposeunsaladierenterrecuitevidesurunebalanceàaffichagedigital.Onconstatealorsque:
quand on verse dans le saladier vide deux verres d'eau identiques pleins, la balanceaffiche950g;
quandonversedans le saladiervide cinqmêmesverresd'eau identiquespleins, labalanceaffiche1325g.
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Affirmation11:labalanceaffiche2275glorsquel'onversedanslesaladiervideseptverresd'eauidentiquespleins.
FAUX
Justification:
2275g=950g+1325g.2275gcorresponddoncàlamassetotaledescontenusdesdeuxpesées,soitlamassedeseptverresd'eauetdedeuxsaladiersvides,etnond'unseulsaladier.Unsaladiervideayantunemassenonnulle,l’affirmationestfausse.
On indique ensuite deuxméthodes permettant de déterminer ce que la balance affiche quand on verse 7verresd’eaupleins(cequin’étaitpasnécessairepourrépondreàlaquestionposéedanscevrai/faux,maisquipourraitfairel’objetd’unautreexercice).
Méthode1(méthodearithmétique)
950gestlamassedusaladieretdel’eaudedeuxverrespleins.1325gestlamassedusaladieretdel’eaudecinqverrespleins.Ladifférenceentre1325get950gcorresponddoncàlamassedel’eaude3verrespleins:1325g–950g=375g;375g:3=125g.Lamassedel’eaud’unverrepleinestdonc125g.Onajoutel’eaudedeuxverrespleinsdanslesaladierencontenantdéjàcinq:1325g+2×125g=1575g.Labalanceaffiche1575glorsquel’onverse7verrespleinsdanslesaladieretnon2275g.
Méthode2(méthodealgébrique)
Notons lamesure en gramme de lamasse de l’eau contenue dans un verre plein, et lamesure engrammedelamassedusaladier.Lerésultatdesdeuxpeséessetraduitselonlesystèmesuivant:
2 9505 1325
Onsoustraitmembreàmembrelesdeuxéquationsetonobtient:5 2 1325 950,soit3 375etdonc 125.Ondétermineensuiteyenutilisantlapremièreéquation:2 125 950donc 950 2 125 700.Lamassedel’eaud’unverrepleinestdonc125getlamassedusaladierestdonc700g.700g 7 125g 700g 875g 1575gLamassed’unsaladiercontenantl’eaude7verrespleinsestdonc1575getnon2275g.
12) Ons'intéresseauxmassesd'unecitrouille,d'unepastèqueetd'unmelon.Affirmation12:lapastèquepèse5,9kg.
VRAI
Justification:
Lestroislégumespèsentensemble15kg,etlacitrouilleetlapastèquepèsentensemble13kget800g.Onendéduitlamassedumelon:15kg‐(13kg+800g)=2kg‐800g=1kg+1000g‐800g=1kg+200g.Lemelonpèsedonc1kget200g.Lapastèqueetlemelonpèsentensemble7kget1hg,soit7kget100g.Onendéduitlamassedelapastèque:7kg+100g‐(1kg+200g)=6kg+100g‐200g=5kg+1000g+100g‐200g=5kg+900g.Lapastèquepèse5,9kg.
PARTIE2:DOUZEQUESTIONSÀCHOIXMULTIPLESPourchaquequestionousituationproposée,ilpeutyavoiruneouplusieursbonnesréponses.Donnerlaoulesbonnesréponses.
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1) Lepgcd(plusgrandcommundiviseur)dedeuxnombresentiersnaturelsest54.Leplusgranddesdeuxnombresest810.Quelpeutêtrel’autrenombre?A:162 B:108C:405 D:2E:378
Réponse:BetE.
Justification:
Méthode1:
Notonsnunnombrepossible.810 54 15,donc54est lePGCDde810etnsi,etseulementsi,d’unepart n est un multiple de 54, et d’autre part 15 et sont premiers entre eux (c’est‐à‐dire qu’ils nepossèdentpasdediviseurcommunautreque1).
162 54 3,mais3et15nesontpaspremiersentreeux:onélimine162;108 54 2,et2et15sontpremiersentreeux,donc108estsolution;405n’estpasunmultiplede54,donconl’élimine;2n’estpasunmultiplede54,donconl’élimine;378 54 7,et7et15sontpremiersentreeux,donc378estsolution.
Ilyadoncdeuxsolutions:108et378.
Méthode2:
Pourchacundesnombresproposés,onpeutchercherlePGCDde810etdecenombreetvérifiers'ilestounonégalà54.
2) a,b,cetddésignentquatrenombresnonnuls.
Lenombre estégalà:
A: B: C: D: E:
RéponseD.
Justification:
Parréductionaumêmedénominateurona,quellesquesoientlesvaleurs(nonnulles)dea,b,c,etd:1 1 1 1
L’expressionCconvient.
Oninvalidelesautresexpressionsenlestestantavecdesvaleursparticulièresdea,b,c,d:
En donnant la valeur 2 à chacun des nombres a, b, c, et d, on obtientque vaut
alors2,alorsqueAvaut ,Bvaut ,Dvaut etEvaut2.
Enfin,endonnantlavaleur1àchacundesnombresa,b,c,etdonobtientque vaut
alors4,alorsqueEvaut16.L’expressionCestdonclaseulequiconvient.
3) ABCDestuncarré.LespointsI,J,K,L,M,N,O,Psonttelsque:I ∈ AB , J ∈ AB , K ∈ BC , L ∈ BC ,M ∈ CD , N ∈ CD , O ∈ DA , P ∈ DA ettelsque:AI=IJ=JB;BK=KL=LC;CM=MN=ND;DO=OP=PA.ParmilesaffirmationssuivanteslesquellessontFAUSSES?
A:l’octogoneIJKLMNOPestrégulier;B:lequadrilatèreIJOPestuntrapèze;C:lequadrilatèreJKNOestunrectangle;D:lequadrilatèreIKMOestuncarré;E : le quadrilatère BLDP est un parallélogramme.
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L’affirmationAestfausse.
Justification:
LetriangleBJKest isocèleenB.CetriangleestégalementrectangleenBdonc il n’est pas équilatéral. Par conséquent KJ≠BJ. Comme BJ=IJ, on aaussiKJ≠IJ.L’octogone IJKLMNOPn’estpas régulier car ses côtés [KJ] et [IJ]ne sontpasdemêmelongueur.
L’affirmationBestvraie.
Justification:
AI=IJetIappartientà[AJ],doncIestlemilieude[AJ].Demême,AP=POetPappartientà[AO]doncPestlemilieude[AO].DansletriangleAJO,ladroite(IP)passeparlesmilieuxdedeuxcôtés,elleest donc parallèle au troisième côté [OJ]. Le quadrilatère IJOP est untrapèzecarsescôtés[IP]et[OJ]sontparallèles.
L’affirmationCestvraie.
Justification:
AppelonsElecentredesymétrieducarréABCD.Cherchonsl’imageJ’deJpar la symétrie de centre E. Par cette symétrie, l’image de B est D etl’imageducôté[AB]est[CD].CommeJestsur[AB], J’estsur[CD]. J’estdonclepointde[CD]telque[BJ]et[DJ’]sontdemêmelongueur:c’estN.Parunraisonnementanalogue,onmontrequelesymétriquedeKestO.Le quadrilatère JKNO possède un centre de symétrie, c’est donc unparallélogramme.LestrianglesBJKetAJOsontrectanglesetisocèles,respectivementenAetenB.Parconséquent,lesangles et sontégauxà45°.CommelespointsA,JetBsontalignés,l’angle mesure180°.Onadonc: 180° 45° 45° 90°LeparallélogrammeJKNOpossèdeunangledroit,parconséquentc’estunrectangle.
L’affirmationDestvraie.
Justification:
De la même manière que pour l’affirmation C, on montre que lequadrilatèreIKMOestunrectangle.Considérons maintenant les triangles IBK et OAI. Ils sont rectanglesrespectivement en B et en A, leurs côtés [BK] et [AI] d’une part, [IB] et[OA] d’autre part, sont de même longueur. Par conséquent, ils sontsuperposables,etleurscôtés[IK]et[IO]sontdemêmelongueur.LerectangleIKMOasescôtésconsécutifs[IK]et[IO]demêmelongueur,c’estdoncuncarré.
L’affirmationEestvraie.
Justification:
Notonsclamesuredelalongueurducôtéducarré.
OnaBL=DP= .
Lescôtés[BC]et[AD]ducarrésontparallèles.CommeLestsur[BC]etPestsur[AD],lescôtés[BL]et[DP]duquadrilatèreBLDPsontparallèles.Ce quadrilatère non croisé possède deux côtés opposés parallèles et demêmelongueur,parconséquentc’estunparallélogramme.
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4) Onconsidèrelescinqnombressuivants:
4 10 5 103 10
3 √10 6√10
5
23
112
216
74291955
2
13
12
Parmilesaffirmationssuivantes,lesquellessontjustes?A:a=bB:a=cC:a=dD:a=e
Seulel’affirmationDestvraie.
Justification:
Écrivonslesnombresproposéssousformedefractionirréductible:
20 103 10
20 103 10
203
9 6√10 10 6√105
195
23
112
216
2332
126
16
263
136
4136
2413
74291955
17 19 235 17 23
195
213
12
5314
203
Onpeutmaintenantaisémentcomparercesnombresetaffirmerque .
5) Onconsidèrela«divisionàtrous»poséeci‐dessous:
8 5 1
4 2
1 4
Danscettedivision,ledividendeest:A:21B:8356C:8456D:8454
RéponseC
Justification:
Enremplaçantlespointspardeslettresdanslesnombresdel'opérationposée,onobtient(encodantavecunebarrelesécritureschiffréesenbasedix):8 5 1 4 2 14où , , , désignentdeschiffres.Ledividendeestunnombreà4chiffrescommençantpar8:onéliminedonclaréponseA.Lechiffredesmilliers(8)s'obtienteneffectuantleproduit 4,d'où 2.OntestelespropositionsB,CetDrestanteseneffectuantladivisioneuclidiennede8356,8456et8454par21.Onobtientlereste14seulementaveclenombre8456.
6) OnposeN=63042.Parmilesaffirmationsci‐dessousindiquezcelle(s)quiest(sont)exacte(s):A:Nestdivisiblepar7.B:Nestunmultiplede4.C : 9 est un diviseur de N. D : N est divisible par 6.
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L’affirmationAestvraie.
Justification:
63042 63 1000 42 7 9 1000 6 7 9006 N est bien divisible par 7.
L’affirmationBestfausse.
Justification:
Méthode1:
63042 63 1000 42. 1000 est bien divisible par 4 mais 42 ne l'est pas donc 63042n'est pas divisible par 4.
Méthode2:
63042 2 31521 ; or 31 521 n'est pas divisible par2 donc N n'est pas divisible par 4.
Méthode3:Critèrededivisibilitépar4.
Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres l'est. Ici 42 n'est pas divisible par 4 donc N n'est pas divisible par 4.
L’affirmationCestfausse.
Justification:
Méthode1:
63042 63 1000 42. 63 est divisible par 9 mais 42 ne l'est pas donc N n'est pas divisible par 9.
Méthode2:
On décompose Nenfacteurspremiers ∶ 63042 2 3 7 19 79. N n'est pas divisible par 9.
Méthode3:Critèrededivisibilitépar9.
Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par 9. Ici 6 + 3 + 4 + 2 = 15 et 15 n'est pas divisible par 9 donc N n'est pas divisible par 9.
L’affirmationDestvraie.
Justification:
Méthode1:
63042 60000 3000 42 60 000, 3 000 et 42 sont divisibles par 6 donc N est divisible par 6.
Méthode2:
On reprend la décomposition de Nenfacteurspremiers ∶ 63042 2 3 7 19 79. N est divisible par 2 3 donc par 6.
Méthode3:Critèrededivisibilitépar6.
Un nombre est divisible par 6 si et seulement si il est divisible à la fois par deux et par trois. Il est divisible par 2 car son dernier chiffre est pair. Il est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est 15 lui-même divisible par 3.
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7) Lasomme2 3 peutaussis'écrire:A:5 B:5 C:6 D: 3 2
RéponseD.
Justification:
Quelle que soit la valeur de �, 2 3 2 3 2 3 2 3 . Pour les autres expressions, on peut vérifier que par exemple pour 2 elles ne sont pas égales à la valeur prise par 2 3 , à savoir 8 + 24 = 32. A vaut 40, B vaut 160, et C vaut 192.
8) Lesystème
34
692
12
4 3
A:admetuneinfinitédesolutions B:admetunesolution C:admetdeuxsolutions D:n'apasdesolution
RéponseA.
Justification:
Méthode1:Transformerlesdeuxéquationssouslaforme
Pourtous ,34
692
12
4 3⇔
634
92
412
3⇔
324
912
18
34
⇔
18
34
18
34
On reconnaît les équations réduites, dans un repère du plan, de deux droites confondues. Le systèmepossèdedoncuneinfinitédesolutions.
Méthode2:Transformationetsimplificationdel’écrituredesdeuxéquations.
Pourtous et ,34x 6y
92
12x 4y 3
⇔3x 24y 18x 8y 6 ⇔
x 8y 6x 8y 6
Lesystèmeestcomposédedeuxéquationséquivalentes,ilpossèdedoncuneinfinitédesolutions.
9) SiABCestuntrianglerectangleenAavecBC=5cmetABC 30°,alors:A:lesdonnéessontinsuffisantespourcalculerAB B:AB 2,5cm C:AB 4,33cm D:AB 5cm cos 30°
RéponseD.
Justification:
DansletriangleABCrectangleenA,cosABC
cequidonneAB BC cos 30° 5 cm cos 30° 4,33cmà0,01cmprès.
Remarque:
4,33 étant seulement une valeur approchée, l’affirmation C est fausse.
Questionsàréponsescourtes(sujetpage163)
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10) Unentierestégalàvingt‐cinqcentainesetdix‐huitdizaines.Sonécritureenbasedixest:A:2518 B:25180 C:268 D:2680
RéponseD.
Justification:
Vingt‐cinqcentainesvalent2500etdix‐huitdizainesvalent180.Vingt‐cinqcentainesetdix‐huitdizainesvalent2500+180,soit2680.
11) LenombreNdontladécompositionenproduitdefacteurspremiersestégaleà: 2 3 5 7 13A:estdivisiblepar21. B:estunmultiplede100. C:estdivisiblepar55.D:estunmultiplede640.E:possèdeexactement540diviseurs.
Réponses:A,B,D,E
Justification:
2 3 5 7 13 3 7 2 3 5 7 13 21 2 3 5 7 13Nestdivisiblepar21.2 3 5 7 13 2 2 5 5 2 3 7 13 100 2 3 7 13Nestunmultiplede100.2 3 5 7 13 n’est pasmultiple de 11 (car sinon 11, qui est un nombre premier, apparaitraitdanscettedécomposition),doncn’estpasmultiplede5×11.Nn’estpasmultiplede55.640 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5N 2 3 5 7 13 640 3 5 7 13Nestmultiplede640.N 2 3 5 7 13 .Sonnombredediviseursest:5 1 4 1 2 1 2 1 1 1 =6 5 3 3 2 540Npossèdeexactement540diviseurs.
12) √
est:
A:entier B:rationnel C:décimal D:irrationnel
Réponses:BetC.
Justification:
√168
48
0,5
C’estundécimal,nonentier(etdoncCestvraieetAestfausse),etparconséquent,c’estunrationnel(etdoncBestvraieetDestfausse).
Probabilités–Bases–Systèmesd’équations–Techniquesopératoires‐Décimaux(sujetpage166)
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EXERCICESD’APRÈSDIVERSSUJETSD’EXAMEN
EXERCICE1Ilya16pairesdeboulespossibles,quel’onpeutreprésenterparletableauàdoubleentréesuivant.Lavaleurdansunecaseindiquelasommedesnombresprésentssurlesdeuxboules.
Premièreurne2 4 7 9
Deuxième
urne 1 3 5 8 10
11 13 15 18 2013 15 17 20 2220 22 24 27 29
1) Probabilitéquelerésultatsoitunnombrepair
Oncompte8résultatspairssurles16possibles,onadonc1chancesur2d’obtenirunrésultatpair.La
probabilitéquelerésultatsoitpairest .
2) Probabilitéquelerésultatsoitunnombrepremier
Ilya5nombrespremiers(3,5,13,17,29),laprobabilitéd’obtenirunrésultatquiestunnombrepremier
estdonc .
3) Est‐ilpossiblequelaprobabilitéd'obtenirunrésultatmultiplede17soit ?
C’estpossible.Avec les boules initiales, un seul résultat est unmultiple de 17, c’est 17. Il est obtenu avec les boulesmarquées4et13.
Laprobabilitéd’obtenirunrésultatmultiplede17estdonc .Pouravoiruneprobabilitéde (soitdeux
foisplusgrande),ilfautavoirdeuxrésultatsmultiplesde17(unautre17ouun34).On peut donc par exemple remplacer la boulemarquée 7 dans l’urne 1 par une boulemarquée 6, onobtiendraainsiunetunseulnouveaurésultat17lorsqu’elleseraassociéeaveclaboulemarquée11(lesautresrésultatsinduitsnesontpasdesmultiplesde17).
Premièreurne2 4 6 9
Deuxième
urne 1 3 5 7 10
11 13 15 17 2013 15 17 19 2220 22 24 26 29
Onpourraitdemêmeremplacer laboulemarquée9parunemarquée14pourobtenir34aveclaboulemarquée20.Ilexistebiensûrd’autrespossibilités,ilfautsimplementveillerànepasmodifierlesboulesmarquées4et13pourgarderlepremierrésultat17etaussiàobtenirunetunseulnouveaumultiplede17.
4) Est‐ilpossiblequelaprobabilitéd'obtenirunrésultatmultiplede3soitnulle ?
Cen’estpaspossible.Sixrésultatssontmultiplesde3:3,15(obtenudeuxfois),18,24et27.Ilssontrépartissuraumoinsdeuxlignesoudeuxcolonnes.Enmodifiantuneseuleboule,onn’agitquesur une seule ligne ou une seule colonne. Il est donc impossible de n’avoir aucunmultiple de 3 en nechangeantquelavaleurd’uneseuleboule.
Probabilités–Bases–Systèmesd’équations–Techniquesopératoires‐Décimaux(sujetpage166)
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EXERCICE2
1) Rangementdesrésultatsdu1erau6e
Pour ranger les équipes, on compare les nombres de jetons verts obtenus, puis, en cas d’égalité, oncomparelesnombresdejetonsbleus,puisrouges,puisjaunes.
1er équipe1 1V3B4J2e équipe5 1V2J3e équipes4et6 2B2R2J5e équipe3 2B6e équipe2 2R2J
Remarque:
L’énoncéimposelaprocédure;enparticulieronn’estpasautoriséiciàexprimerlesscoresdechaquejoueurenfonctiondunombredejetonsjaunesparexemple!
2) Écritureduscoredechaqueéquipedansunsystèmedenumérationenbasecinq
Onconsidèrechaquecouleurcommereprésentantuneunité:lejetonjaunepourl’unitédupremierordre,lejetonrougepourl’unitédudeuxièmeordre,etc.Puisquecinqunitésd’unordredonnésontéquivalentesàuneunitéd’ordresupérieuretqueceprocessusseréitère,ilestpossibledeconstruireunsystèmeenbasecinqenutilisantleschiffres0,1,2,3et4.Ainsiaprèsavoirréaliséleséchangessuccessifs,ilestpossiblepourchaqueéquiped’écrireunnombretelquesonchiffredesunitéscorrespondeaunombredejetonsjaunes,lechiffrejusteàsagauchelenombredejetonsrouges,lechiffrejusteàlagauchedecelui‐cilenombredejetonsbleusetenfin,lechiffrejusteàlagauchedecedernierlenombredejetonsverts.
Ainsil’équipe1severraattribuerlenombre1304 ,l’équipe2lenombre22 ,l’équipe3lenombre
200 ,leséquipes4et6lenombre222 ,l’équipe5lenombre1002 .Enutilisantl’algorithmedecomparaisondesnombres,onobtient
1304 1002 222 200 22 cequipermetderetrouverlaréponsedonnéeàlaquestionprécédente.
3) Écritureenbasecinqdelaquantitétotalede jetonsobtenueenregroupanttousles jetonsdessixéquipes.
Ilnousfautcalculerlasomme 1304 1002 222 222 200 22 . Enposantl’opérationetsansreveniràlabasedix,oncalculepourlechiffredesunités:
4+2+2+2+2=22 . On écrit 2 pour les unités et on retient 2 pour les unités du deuxième ordre(groupementsde5).Pourlasuiteonécriraengraslesretenues.
Puispourlerangdesgroupementsdecinq:2+0+0+2+2+0+2=13 .Onécrit3etonretient1pourlesunitésdutroisièmeordre.
Puis1+3+0+2+2+2=20 ;
2+1+1=4 (basecinq);
Laréponseestdonc .
4) Quelleauraitdûêtrelacollectiondejetonsenfindepartieavec37jaunes?
Premièreméthode:divisionssuccessives.
Onpeut travailleruniquementsur lenombre37écritenbasedixetprocéderpardivisionssuccessivespar5:
37 5 7 puis7 5 1 puis1 5 0
Cequel’onpeutégalementprésenterainsi:
Probabilités–Bases–Systèmesd’équations–Techniquesopératoires‐Décimaux(sujetpage166)
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Onobtient37=122
Deuxièmeméthode:utiliserlespuissancesde5(37 5 5 )pourl’écrireenbasecinq.
Cequel’onpeutaussiprésenterdansuntableau:
52 51 50
1 2 2
Onobtient:37=122 .
Pourcesdeuxméthodeslenombreobtenu122 correspondentermesdecouleursdejetonsà:1jetonbleu,2jetonsrouges,et2jetonsjaunes.
EXERCICE3
Méthode1:Techniquealgébrique
D’après l’énoncé,touslesbadgesnoirssontaumêmeprix,notonsNceprix(eneuros).Touslesbadgesblancssontaumêmeprix,notonsBceprix(eneuros).Lebadgenuméro1estcomposéde3trianglesnoirset5trianglesblancs.Sonprixestdonc3 5 etilvaut17,5euros.Ainsi3 5 17,5.Lebadgenuméro2estcomposéde4trianglesnoirset4trianglesblancs.Sonprixestdonc4 4 etilvaut16euros.Ainsi4 4 16.Cesdeuxéquationsdonnentunsystèmeàrésoudre:
3 5 17,5 14 4 16 2
Résolutionparcombinaisons:
Enmultipliant(1)par4et(2)par3onobtientlesystème:12 20 70 112 12 48 2
Ensoustrayant(2)à(1)onobtient: 12 20 70 18 22 2
d'où 12 20 2,75 70 1 2,75 2
soit 1,25 12,75 2
Untriangleenmétalnoircoûte1,25euroetunbadgeenmétalblanccoûte2,75euros.Orlebadgenuméro3estconstituéde5trianglesenmétalnoiret3trianglesenmétalblancdoncsonprixest5 1,25 32,75 14,5(eneuro).Lebadgenuméro3revientà14,5euros.
Probabilités–Bases–Systèmesd’équations–Techniquesopératoires‐Décimaux(sujetpage166)
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Résolutionparsubstitution:
Del’équation(2)ontire enfonctionde etonremplaceBparcettevaleurdansl’équation(1)3 5 4 17,5 1
4 2
Onendéduit 2 2,5 1
4 2
Oùencore 1,25 12,75 2
Untriangleenmétalnoircoûte1,25euroetunbadgeenmétalblanccoûte2,75euros.Orlebadgenuméro3estconstituéde5trianglesenmétalnoiret3trianglesenmétalblancdoncsonprixest5 1,25 32,75 14,5(eneuro).Lebadgenuméro3revientà14,5euros.
Méthode2:Techniquealgébriquesanscalculerleprixdechaquetriangle
Onsupposequelesystèmedonnéenméthode1aétéétabli:3 5 17,5 14 4 16 2
Laquestiondel’exerciceestdetrouverleprixdubadgenuméro3constituéde5trianglesenmétalnoiret3 triangles enmétal blanc, c’est‐à‐dire trouver ce que vaut 5 3 . Or, la combinaison2 2 1 donnedirectement:
5 3 2 16 17,5Donc5 3 14,5.Lebadgenuméro3revientà14,5euros.
Remarque:
Lechoixdesinconnues (pourNoir)et (pourBlanc)aulieude et n’estpasanodin.Ilestplusaisédetraduirel’énoncéetdere‐contextualiserlasolutionlorsquelesinconnuessontenliendirectaveclecontextedel’énoncé.
Méthode3:Techniquedeséchanges
Lebadgenuméro1estconstituéde3trianglesnoirset5trianglesblancs,lebadgenuméro2estconstituéde4trianglesnoirset4trianglesblancs.Pourpasserdubadgenuméro1aubadgenuméro2onsubstitueun triangleblancparuntrianglenoir.Lecoûtdiminuede1,5euro.Pourpasserdubadgenuméro2aubadgenuméro3, on effectue lamême transformation (on échangeun triangle blanc contreun trianglenoir), le coût du badge numéro 3 diminuera de 1,5 euro par rapport au prix du badge numéro 2. Or16 1,5 14,5,donclebadgenuméro3revientà14,5euros.
EXERCICE4
1) Calculdedifférencesselonlesdeuxtechniques
TechniquedeRamus
1 2 8 5 6 → 1 9 8 9 9‐ 8 3 7 8 → ‐ 1 5 4 2 1 4 4 7 8 ← 4 4 7 8
1 0 0 5 → 1 9 9 9‐ 8 4 7 → ‐ 1 8 4 1 1 5 8 ← 1 5 8
Probabilités–Bases–Systèmesd’équations–Techniquesopératoires‐Décimaux(sujetpage166)
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Techniqueparemprunt
7 14 1 12 8 5 16‐ 8 3 7 8 4 4 7 8
9 9 1 0 0 15‐ 8 4 7 1 5 8
2) Descriptiondestechniques
LatechniquedeRamusestunesoustractionposéeencolonne.Cettetechniqueconsisteàtransformerparajoutleterme«duhaut»deladifférenceafinqu'ilcomporteun9àchaquefoisquelechiffrecorrespondantdansleterme«dubas»eststrictementsupérieur.Parexemple,pour12856–8376,ilfauttransformerparajoutd’unnombreleschiffresdesmilliers,desdizainesetdesunitésdefaçonàobtenirdes«9»auxchiffresdesmilliers,desdizainesetdesunités.Celarevientdoncàajouter7043autermeduhaut.Ensuite,onajoutelemêmenombreautermedubasetoneffectuelanouvellesoustractionposée.Ontrouveladifférence,quel'onrecopiesouslasoustractioninitiale.Cettetechniquepermet,grâceàuneaddition,d’effectuerunesoustractionsansretenue.
Latechniqueparempruntestunesoustractionposéeencolonne.On soustrait les chiffres colonne par colonne. Lorsque, pour une colonne, le calcul est impossible, on«emprunte» une unité au rang supérieur dans le nombre du haut. Le chiffre de la colonne de rangsupérieurdunombreduhautsevoitdoncdiminuéd’uneunité.Celarevientdoncàtransformerlenombreduhautdansuneécriturenonconventionnellecar12856devient(12)milliers(7)centaines(14)dizaines(16)unitéscequipermetainsid'effectuerlasoustractionsanspasserparles«retenues».
3) Propriétésmathématiquesquijustifientcestechniques
LatechniquedeRamusconsisteàtransformerunesoustractionenunenouvellesoustractionpourlaquelleleproblèmedesretenuesneseposepas.Commeonaajoutélemêmenombreàchaquetermedelasoustractioninitiale,ladifférenceestlamême.Cettepropriétésetraduitalgébriquementpar:
Pourtoutnombrea,betcona
Remarque:
Cettepropriété,appelée«larègledesécarts»décritl’invariancedesdistancespartranslation.
Latechniqueparempruntreposesurlasignificationdeschiffresdansl’écritured’unnombredansnotresystèmedenumérationécrite(systèmedécimal).Cettetechniqueestbaséesurlesgroupements–échangesfondamentaux:1 10 é ; 1 10 …Lenombrequis’écrit enbasedécimale(a,b,cdésignantdeschiffres,adifférentde0)correspondaunombre100 10 .Orcettedernièreécriturepeutêtretransforméedelamanièresuivante:
100 10 100 10 1 10 Cettedécompositionestutiliséelorsquel’onsoustraità unnombredontlechiffredesunitéseststrictementsupérieurà .Cetravaileffectuéàl’ordredesunitéspeutêtreréaliséàn’importequelautreordre.
EXERCICE5
1) a) Écriture« àvirgule »dunombre3①7②5③9④
Nous écririons 0,3759 car 3① est egal à 3 dixièmes, 7② est egal à 7 centièmes, 5③ est egal à 5millièmeset9④estegalà9dix‐millièmes.
Probabilités–Bases–Systèmesd’équations–Techniquesopératoires‐Décimaux(sujetpage166)
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1) b) Justificationdel’égalitéentre7①12②et8①2②.
Stévinaraisondedirequelesdeuxnotationsdésignentlemêmenombre:710
12100
710
10100
2100
710
110
2100
810
2100
0,82
Remarque:
Celaillustreunedifférenceentresonsystèmedenotationdesnombresdécimauxetlenôtre:contrairementànous,ildoitajoutercomme«règle»que«lenombredemultitudedessignes,excepté(0),n’excèdejamais9»,sansquoiunmêmenombredécimaladmettraitplusieursécrituresdistinctes.
1) c) Lessavoir‐fairemathématiquesqueStevinsupposeconnusdeseslecteurs
Stévin suppose ses lecteurs familiers des fractions décimales, de leur addition et de leur simplification
(parexemple =1).
2) a) « 27 8471000
, , fontensemble[…]
278471000
376751000
8757821000
93923041000
93920001000
3041000
939 23041000
=9413041000
2) b) Lastratégiede« démonstration »deStevin
Stévin cherche à vérifier la techniquede calcul posédes trois nombresqu’il propose en revenant à uncalculsur les fractionsdécimales.Cela luipermetderetrouver lerésultatde l’addition,cequiconstituepourluiunepreuvedelavaliditédelatechniqueproposée.Ausensactuel,lavérificationàpartird’unexempleneconstituepasune«démonstration».Aujourd’hui,pourdémontrer lavaliditéducalculposédans lecasgénéral il seraitnécessaired’utiliserdesécrituresalgébriques.
Remarque:
Onpeutmême remarquer que Stévinn’utilisepas explicitement l’exemplepour justifier les étapesde soncalculposé–auquelcasonauraitunedémarchede justificationd’unalgorithmesurunexempleàvaleurgénérique–maisseulementpourvérifierlaréponse.Parexemple,ilnejustifiepaslesretenueseffectuéesàchaqueétapeducalculen s’appuyant sur les relationsentreunités:7③5③2③=14③=1②4③justifielaretenuede1aurangdescentièmes(②).
3) a) Calculduproduitde3,07par0,102.
⓪ ① ② 3 0 7 1 0 2 ③ Ce③designe ledernierordred’unite (millième)du
multiplicateur. 6 1 4
0 0 0 3 0 7
3 1 3 1 4
① ② ③ ④ ⑤
3) b) Justificationparlecalculalgébrique
Danscetalgorithmedecalculduproduit,lesnombrescercléssontadditionnésetnonmultipliés.Danslecalcul ci‐dessus, on ajoute② (dernier ordred’unité dumultiplicande) et③(dernier ordred’unite dumultiplicateurpourobtenir⑤quiestledernierordred’uniteduproduitobtenu.Lesautresordress’endéduisentdeprocheenproche.OnpeutjustifierAvec nos notations actuelles, on peut écrire: 7 10 2 10 14 10 14 101 10 4 10 . On retrouve sous le chiffre 4 obtenu au dernier rang du produit le ⑤ quicorrespondà10 .Celasejustifieparcetterèglegénéralesurlesexposants:pourtoutnombreréelaettoutnombreentiernetm,ona .
Exercicesdegéométrie(sujetpage170)
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EXERCICESD’APRÈSDIVERSSUJETSD’EXAMENGéométrieplane–Géométriedansl’espace
EXERCICE1
1) Choixdelaconfiguration
Pourproposerunesolutionauproblèmeréel,onpeutchoisirlaconfigurationn°3.
Remarques:
Aucunejustificationn’estattendue.Laconfigurationn°1n’estpaslaplusadaptéepourrésoudreleproblèmeréelcarsanscodaged’angledroit,onn’apasleparallélismede(AB)avec(CD).Cecinepermettrapasd’appliquerlethéorèmedeThalèspourtrouverlalongueurdeslames.Delamêmefaçon,laconfiguration2neconvientpascarl’alignementdespointsA,O,D,demêmequeceluideB,O,Cnesontpasvérifiés.La configuration 4 ne convient pas non plus car les égalités de longueursAO=BO etOC=OD ne sont pasvérifiées.Laconfiguration3estdonclaplusadaptée.
2) Calculdelalongueurdeslames
Sousleshypothèsesassociéesàlaconfigurationn°3,lesconditionsd'applicationduthéorèmedeThalèssontréunies:d'unepart,lesdroites(AB)et(CD)sontperpendiculairesàunemêmedroite,ellessontdoncparallèles, etd'autrepart, lespointsA,O,DsontalignésdanscetordreetB,O,C sontalignésdanscetordre.
Ceciconduitalorsà .
OrAB=14cm,CD=50cmetOA=10cm,onobtientalors
cequiconduitàOD5014
10cm50014
cmsoit35,7cmarrondiaumillimètre.Pour que l'écartement de 14 cm des poignées corresponde à une ouverture de 50 cm des lames, lalongueurdeslamesdoitdoncêtreenvironégaleà35,7cm.
EXERCICE2
Remarque:
Iln’estpasattendudeprogrammedeconstruction.Nousdonnonscependanticidesindicationssurunprogrammedeconstructionpossible.
Tracerlamédiatrice(d1)de[AC]PlacerlepointF,milieude[AC]TracerletriangleéquilatéralABF.PlacerlepointD,distinctdeB,intersectiondeladroite(BF)etducercledecentreFetderayonAF.Tracerlesegment[AD].Ilcoupe(d1)enJ.Tracerladroite(CD).Ellecoupeladroite(d1)enE.
Laconstructiondemandéeestsurlapagesuivante.
Exercicesdegéométrie(sujetpage170)
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EXERCICE3
1) ReprésentationenperspectivecavalièredusolideS
On complète la représentation donnée dans l’énoncé entraçantenpointilléslesarêtescachées.On les trace en respectant la convention suivante, liée à lareprésentationenperspectivecavalière:leparallélismeestconservé,autrementditdesarêtesparallèlesdanslaréalitédoiventêtreparallèlessurlareprésentation.
Remarque:
On ne fait pas apparaître d’arête au niveau du recollemententrelabaseduprismedroitetlaface«avant»ducube,carces deux faces sont coplanaires et ne forment donc qu’uneseule facedunouveausolide. Idemauniveaudurecollemententrelabaseduprismeetlaface«arrière»ducube.
Exercicesdegéométrie(sujetpage170)
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2) Nombresdefaces,d’arêtesetdesommetsdusolideS
Pourcettequestion,onnommelessommetsdusolideScommeindiquéci‐dessousàdroite.
NombredefacesdusolideS:7.
Il y a 6 faces pour le cube et 5 faces pour leprismedroitàbase triangulaire, auxquellesonretranche:
‐ les 2 faces carrées (BFGC) suppriméeslorsdurecollement;
‐ 2 faces car les faces GFJ et EFGH d’unepart, et BIC et BCDA d’autre part, neforment qu’une seule face aprèsrecollement(voir laremarquefaitedanslaréponseàlaquestion1).
6+5–2–2=7.
Nombred'arêtesdusolideS:15.
Ilya12arêtespourlecubeet9arêtespourleprismedroit,auxquellesonretranche:
‐ 2 2 arêtes au niveau des jonctions en[FG] et [BC] entre faces qui deviennentcoplanaires;
‐ 2arêtes([BC]et[GF])quisontcomptéesdeux fois au niveau de la jonction entrelesfacesadjacentesmaisnoncoplanairesaprèsrecollement.
12+9‐4‐2=15.
NombredesommetsdusolideS:10.
Ilya8sommetspourlecube,6sommetspourle prisme droit, auxquels on retranche 4sommets qui sont comptés deux fois aprèsrecollement(enB,C,GetF).8+6–4=10.
3) UnpatronenvraiegrandeurdusolideS(construitavecrèglegraduée,compasetéquerre)
Unedémarchepossiblequin’estpasdemandéeestdécriteci‐dessous.
Onpeutcommencerpartracerlestroisfacescarréesprovenantducube.Cesontdescarrésdontlescôtésmesurent3cm.
On peut ensuite compléter avec les deux faces obtenues par recollement d’une face carrée du cube etd’unebasetriangulaireduprisme.Onsaitquecesbasessontdestrianglesisocèlesdontlabasemesure3,etdontlahauteurrelativeàcettebase(etdonclamédiane,puisquelestrianglessontisocèles)mesure2aveclecmpourunitédelongueur:onpeutdoncconstruirecestriangles,enconstruisantleurstroisièmessommetsrespectifsàpartirdeshauteursassociées.
On peut enfin terminer avec les deux faces rectangulaires du prisme droit qui sont intactes après lerecollementdesdeuxsolides.Cesontdesrectanglesdontunedimensionest3cm,etl’autrecorrespondàla longueurdescôtés issusdessommetsprincipauxdestriangles isocèlesprécédemmentconstruits(onreporteleslongueursaucompas).
Exercicesdegéométrie(sujetpage170)
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EXERCICE4
1) NaturedutriangleEGC
Les trois côtésdu triangleEGCsont tousdesdiagonalesd’une facedu cube. Ilsontdonc tous lamêmelongueur.LetriangleEGCestdoncéquilatéral.
2) CalculdegrandeursdansletriangleEGC
a) CalculdupérimètredutriangleEGC
Commeonvientdeledire,EGCestuntriangleéquilatéral.Sonpérimètreestégalà3×EG.OrEGestlalongueurd’unediagonaled’unedesfacesducubeABCDEFGH.Lesarêtesdececubeontpourlongueura.Grâceàl’égalitédePythagore,onpeutendéduirequeEGestégaleà √2.LepérimètredutriangleEGCestdoncégalà3 √2.
b) Calculdel’airedutriangleEGC
Onsaitquel’airedutriangleEGCestégaleà GC EH,oùHestlepieddelahauteurissuedeEdansle
triangleEGC.OnconnaîtGC,égaleà √2.IlrestedoncàdéterminerEH.
Exercicesdegéométrie(sujetpage170)
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Par définition d’une hauteur dans un triangle, le triangleEHG est rectangle en H. L’égalité de Pythagore permetdoncd’écrire:
EH EG GH a√2 GH 2 GH
Le triangleEGCest équilatéral, donc lahauteur relativeà[GC]estaussilamédianerelativeà[GC]:Hestdoncaussilemilieude[GC],etparconséquent:
GH12GC
12
√2
Ainsi,EH 2 √ 22 ²4
3 ²2,
etdoncEH=√
√.
Onendéduitl’airedutriangleEGC:12GC EH
12
√2√3
√2
√32
3) NaturedusolideECGF
ECGFestuntétraèdrecarsesquatrefacessontdestriangles.
Remarque:
Onpeutajouterqu’ilesttrirectangle,ausensoùtroisdesesfacessontdestrianglesrectanglesenFEneffet,lestrianglesEFG,EFCetGFCsontrectanglescarlesfacesEFGH,EFCDetBGFCducubesontdescarrés.
4) VolumedusolideECGFTapezuneéquationici.
DansletétraèdreECGF,[EF]estlahauteurrelativeàlabaseFGC.
OnendéduitquelevolumedeECGFestégalà FGC EFoù estl’airedutriangleFGC.
FGCestuntrianglerectangleenF,donc12
FC FG12
.
LevolumedeECGFestdoncégalà: 2 3.
5) Unpatrondusolide construitàpartirdupatronducubedonnédansl’énoncé
Unedémarchepossiblequin’estpasdemandéeestdécriteci‐dessous:
Étape1:
Oncommenceparnommerlessommetsdechacundescarrésdupatronducubedonnédansl’énoncé,enprocédantdeprocheenproche.Par exemple, on voit sur la représentation en perspective cavalière que pour le cube, l’arête [AH] estpartagéeparlesfacesAHGBetAHED,doncsurl’amorcedupatronoùlecarréAHEDestdéjàrepéré,onpeut identifier lessommetsducarréquiestadjacentàcecarréauniveaudusegment[AH] :cesont lessommetsGetB(quel’onplacedetellesortequel’ordredeparcoursdessommetsA,H,G,Bsoitpréservé).Onpoursuitainsicarréparcarré,deprocheenproche.
Étape2:
OnpeutensuiteénumérerlesfacesdusolideS,endonnantleurnature:‐ ABCD,AHEDetABGH:troisfacescarréesducube;‐ BCG,EHG,EDC:troisfacesquisontdestrianglesrectanglesisocèlesdontlescôtésdel’angledroit
sont pour chacundeux côtés adjacentsde faces carréesdu cube (respectivementBGFC, EFGHetEDCF);
‐ enfin, la seule face qui n’est coplanaire avec aucune des faces du cube initial: la face EGC, qui,commeon l’a vuplushautestun triangleéquilatéraldont lesdiagonales sontdesdiagonalesdefacesducube.
Exercicesdegéométrie(sujetpage170)
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On adapte alors le patrondu cubedonnédans l’énoncé en lemodifiant facepar face, et en ajoutant lafaceEGC.Onobtient alorsdansunpremier temps la figureprésentée ci‐dessousà gauche.On constatealorsqueletriangleB3CG2nepartagequ’unsommetaveclerestedelafigure.Onmodifiedoncsaposition,detellesortequ’ilpartageuncôtéavecundesautrespolygonesdéjàtracés.OnobtientalorsunpatrondusolideS,présentéci‐dessousàdroite PatrondusolideS :
6) Volumedusolide
LevolumedusolideSestégalàladifférenceentrelevolumeducubeetlevolumedusolideECGFcalculésplushaut:
16
56
7) Airetotaledusolide
Pourdéterminerl’airedusolideS,onpeuts’appuyersurl’inventairedesfacesdusolideréaliséci‐dessuspourenconstruireunpatron.L’airedusolideSesteneffetégaleàlasommedesairesdechacunedesesfaces.
FacesABCD,AHEDetABGH(troisfacescarréesducube):lasommedeleursairesestégaleà3 .
FacesBCG,EHG,EDC:chacunedesfacesacommeaire 2;lasommedeleursairesestdoncégaleà32
.
FaceEGC:onacalculésonairedanslaquestion2.b):√
Onendéduitl’airetotaledusolideS:
332
√32
9 √32
.
Exerciced’aprèsunconcoursblancdeLyon(sujetpage174)
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PROBLÈMED’APRÈSUNCONCOURSBLANCDELYON
CARGOÀVOILE(d’aprèsunexercicedePisa2012)
1) Vitesseapproximativeàlaquelleleventsoufflesurlepontducargo
Lavitesseducerf‐volantestapproximativementde25%supérieureàcelleauniveaudupontducargoonadonclarelationsuivante:Vauniveauducerf‐volant=Vauniveaudupont+ Vauniveaudupont=1,25×VauniveaudupontDonc30km/h=1,25×VauniveaudupontetVauniveaudupont=30km/h:1,25=24km/h
2) Longueurdelacordeducerf‐volant
Méthode1:
Parcommodité,dansceparagraphe, si [AB]estunsegment,ABdésignera lamesuredesa longueurenprenantlemètrecommeunitédelongueur.NommonsABC le triangle rectangle enA. Il possèdeunanglede90° etundeuxièmeanglede45°, sontroisièmeangleestaussiégalà45°(lasommedesanglesdansuntriangleestégaleà180°).LetriangleABCestdoncisocèleetonaBA=AC=150.EnappliquantlethéorèmedePythagoredanscetriangle,onaBC²=AB²+AC²=150²+150²=45000doncBC=√45000≈212,13.Lalongueurdelacordeestapproximativementde212m.
Méthode2:
DansABCrectangleenAona:sin45°= d'oùBC=
°=
°≈212,13m.
3) Amortissementducerf‐volant
Chaqueannéelaconsommationpourraitêtreréduitede:20%×3500000L=700000LL’économieréaliséeparannéeseraitalorsde:700000L×0,42zed/L=294000zedsLecoûtducerf‐volantseraitalorscouverten:2500000zeds:294000zeds/année≈8,5(enannée)
4) a) Diminutiond’émissionsdeCOVréalisée
Ladiminutiond’émissionsdeCOVréaliséesurlanavigationauraitétéentonnesparannéede: 20%×1270=254.
Exerciced’aprèsunconcoursblancdeLyon(sujetpage174)
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Enpourcentagedel'ensembledesémissionsdeCOVgénéréesparl’ensembledestransportscettebaisseseraitde: 254:50400≈0,005soit0,5%
Remarques:
Ilfautêtrevigilantdanscegenredequestionsauxensemblesderéférenceconsidérés. Le pourcentage se calcule en rapport du total avant diminution (254:50400) et non pas après
(254:50146). lepourcentagedediminutionn’estpastoutàfaitégalàladifférencedespourcentagesd’émissionsde
COVavantetaprèsréduction(1270/50400–1016/50146)
4) b) Formulespourtableur
Formulesàsaisir:EnB7:=B4/B6 EnB8:=B4*0,2 EnB9:=B8/B6
Remarque:
Parexemple,78%estunnombredontuneautreécritureestparexemple0,78;cesdeuxnombresexprimentunpourcentage.Onpeutchoisirdans lemenuFormatdutableur, letyped'affichagevoulupour lenombreobtenuparcalculgrâceàlaformule.Sil'onsaisitlesformulesci‐dessous,onobtientdesnombresdepourcent:
EnB7:=B4/B6*100ouEnB8:=B4*20/100ouEnB9:=B8/B6*100
78estlenombredepourcentset78%estlepourcentage.
4) c) Retrouverlenomdesgaz
Pouridentifierlesgazquereprésententleschiffresdupremiergraphique:
Méthode1:Onpeutcalculer,enpourcentagesparrapportautotaldesémissions, lesémissionsduesàlanavigationpourchaquegaz,puislesordonnercequirevientàrangerlesfractions.Encomparantcerangementàceluiobtenuparlalecturedugraphiqueonobtientlacorrespondance:
SO2 NO2 COV CO CO2
5 2 3 4 1
Méthode2:
Onpeutaussiutiliser laproportionnalitépourcalculer lesanglescorrespondantsauxpourcentagesdesémissionsdechaquegazduesàlanavigationetlesmettreencorrespondanceavecceuxindiquéssurlegraphique(lasommedespourcentagesdoitêtrecalculée,c’estpluslong!)Parexemple,oncalcule:
782150
65882300
127050400
3340319000
10000014600000
Donc 0,0868DecenombrelapartdelanavigationdanslesémissionsdeSO2représente:
7821500,0868
0,418 41,8%
Lesecteurangulairecorrespondantadoncpourmesure360 0,418 150,5(endegré)(chiffre5delalégende).
Exerciced’aprèsunconcoursblancdeLyon(sujetpage174)
Annales2014COPIRELEM Page223
Pouridentifierlesgazquereprésententleslettres:
Méthode1:
Onpeutcalculer,pourchaquegaz,lespourcentagesdediminutionetendéduirelacorrespondance
SO2 NO2 COV CO CO2
0,73% 0,16% 0,50% 0,21% 0,14%
e b d c a
Méthode2:
Onpeutplussimplementremarquerqu’unediminutiondesémissionsentonnesd’ungazde20%entraîneenpourcentageparrapportauxémissionstotalesunediminutiondumêmetauxpourchaquegazetqueparconséquentlerangementselonlesgazdonnésurlesecondgraphiqueestidentiqueàceluidonnésurlepremiergraphique
SO2 NO2 COV CO CO2
5e 2b 3d 4c 1a
Exerciced’aprèsunconcoursblancdeNantes(sujetpage177)
Annales2014COPIRELEM Page224
PROBLÈMED’APRÈSUNCONCOURSBLANCDENANTES
1) Populationen1901
LapopulationdeLoireAtlantiqueaaugmentéde95%entre1901et2011.Lapopulationde1901adoncétémultipliéepar1,95.Lapopulationen1901étaitdoncégaleàcellede2011diviséepar1,95.1 296 364:1,95≈664 802LapopulationdeLoireAtlantiqueétaitdoncvoisinede665 000habitantsen1901.
Remarques:
Onnepeutpas interprétercettequestionparunediminutionde95%de lapopulationde2011.Letauxde95%appliquéàlapopulationde1901ou2011nedonnepaslemêmerésultat.
Pourretrouverlecoefficientde1,95,onpeutposerl’équation(Pestlapopulationen1901):P+P×0,95=1296364P×(1+0,95)=1296364P×1,95=1296364P=1296364:1,95
2) Populationen2050
1 282 052:1 050 539≈1,220375.LapopulationdeLoireAtlantiqueaaugmentéd’environ22%danslapériode1990‐2010.Ensupposantqu’elleaugmentedumêmepourcentagelorsdechacunedespériodesde20anssuivantes,lapopulationen2050seravoisinede1 282 052x1,22x1,22.Ilyauraitdoncenviron1 910 000habitantsenLoireAtlantiqueen2050.
Remarque:Si le pourcentage était rigoureusement égal sur chaque période, le calcul à effectuer serait 1 282 052 x(1 282 052:1 050 539)x(1 282 052:1 050 539)Cependant, cette recherchedeprécisionn’apasd’intérêt car lesdonnées initialesne sontpas certainesàl’unitéprès,etl’hypothèsedelaconservationdupourcentaged’augmentationestellemêmetrèsfragile.Lerésultatobtenun’adesensqu’entantqu’ordredegrandeur.
3) SuperficiedudépartementdelaLoireAtlantique
Nous montrons ci‐dessous (figure 1)un tracé possible, parmi beaucoup d’autres (voir remarque etfigure2)pourapprocherl’airedelaLoireAtlantiqueàl’aidededeuxtrianglesdemêmebase.Oncalculed’abordl’airesurledessinàpartirdesvaleursmesuréesàlarègledelabaseetdelahauteurcorrespondantedechaquetriangle.(12,3×6,4):2+(12,3×5,2):2=(12,3×11,6):2=12,3×5,8=71,34L’airedelafiguredessinéeestdoncenviron71cm².Uncmreprésentant10km,chaquecentimètrecarréreprésenteuncarréde10kmdecôté,soit100km².LasuperficiedelaLoireAtlantiqueestdoncd’environ7100kilomètrescarrés.(Lasuperficieréelleestd’environ6815km²).
Remarque:
Parmilesautrestracéspossibles,onpeutévoquerl’utilisationd’unquadrillage.Onobtientunevaleurpardéfautendénombrant lescarrésentièrementsituésà l’intérieurde lasurfaceàévaluer.Onobtientunevaleurparexcèsendénombranttouslescarréscontenantunepartiedelasurfaceàévaluer.Ici,enprenantdescarrésde1cmdecôté,onobtientpardéfaut40cm²(soit4000km²)etparexcès94cm²(soit9400km²).Pourobtenirunencadrementplusfin,onréduitlesdimensionsdescasesduquadrillage.
Exerciced’aprèsunconcoursblancdeNantes(sujetpage177)
Annales2014COPIRELEM Page225
Figure1
Exerciced’aprèsunconcoursblancdeNantes(sujetpage177)
Annales2014COPIRELEM Page226
Figure2
4) EmpreinteécologiquedelaLoireAtlantique
La superficie nécessaire pour couvrir l’ensemble des besoins du département en 2010, calculée enhectaresétaitd’environ1 282052×4,6soitenviron5 900 000ha.Unhectareestlasuperficied’uncarréde100mdecôté,soit1ha=100m×100m=10 000m2.Unkm2équivautà1 000 m × 1 000 m = 1 000 000m2,donc1km2=100ha.Lasuperficienécessaireestdoncd’environ59 000km2.
5) a) RangementdesdensitésdepopulationdescinqdépartementsdesPaysdelaLoireLa densité de la Loire Atlantique est proche de 200 car 200 x 6800 = 1 360 000 (sans calcul, on peuttoutefoisestimerquec’estlaplusfortedensité: lessuperficiessontsensiblementégalesauregarddelapopulationdecedépartementquiestbeaucoupplusimportante).CelleduMaineetLoireestlégèrementsupérieureà100:790343estsupérieurà100×7166maislesdeuxnombressontdel’ordrede700000;c’estladeuxièmedensitélaplusimportantepuisquelesautressontinférieuresà100.LadensitédelaMayenneestvoisinede60car5 000x60=300 000.LaSartheetlaVendéeontdesdensitéscomprisesentre80et100.90×6200=558000, 91×6200=558000+6200=564200. La densité de la Sarthe est donc prochede91.90×6700=603 000.5×6700=33500.95×6700=603000+33500=636500.LadensitédelaVendéeestdoncvoisinede95.
L’ordrecroissantdesdensitésestdonc:Mayenne,Sarthe,Vendée,Maine‐et‐Loire,Loire‐Atlantique.
5) b) FormuleàsaisirenD2
Onpeutentrerlaformulesuivante:=B2/C2
Exerciced’aprèsunconcoursblancdeNantes(sujetpage177)
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5) c) FormuleàsaisirenD7
Onpeutentrerlaformulesuivante: =(B2+B3+B4+B5+B6)/(C2+C3+C4+C5+C6)Ilestévidemmentpossibleaussid’utiliserlafonctionsomme,laformuleestalors: =somme(B2:B6)/somme(C2:C6)OnpeutaussiplacerenB7lasommedespopulationsparlaformule: =(B2+B3+B4+B5+B6)deplacerenC7lasommedessuperficiesparleformule: =(C2+C3+C4+C5+C6)etdecalculerensuiteladensitéàl’aidede: =B7/C7.
Problèmed’aprèsunconcoursblancdeNice(sujetpage179)
Annales2014COPIRELEM Page228
PROBLÈMED’APRÈSUNCONCOURSBLANCDENICE
Remarque:
Lesprogrammesdeconstructionnesontpasattendus.Nouslesdonnonspourfaciliterlacompréhensiondesfiguresconstruites.Lestraitsdeconstructiondoiventêtrelaissésapparents.
1) Constructiondedeuxparallélogrammesvérifiantlespropriétés1et2
Tracerunsegment[AB]delongueur6cmetunsegment[BC]delongueur3cm.TracerlecercledecentreAetderayon3cm.TraceruncercledecentreCetderayon6cm.SoitDlepointd’intersectiondesdeuxcerclestelqueABCDnesoitpascroisé.
Pour obtenir un parallélogramme vérifiant les mêmes propriétés mais non superposable, on suit leprogrammedeconstructionci‐dessusenmodifiantl’angle .
2) Constructiond’unparallélogrammevérifiantlespropriétés1,2et3
Tracerunsegment[AB]telqueAB=6cm.TracerlecercledecentreAetderayon4cm.TracerlecercledecentreBetderayon3cm.
Problèmed’aprèsunconcoursblancdeNice(sujetpage179)
Annales2014COPIRELEM Page229
LepointCestl’undesdeuxpointsd’intersectiondecesdeuxcercles.LepointDestconstruitcommedanslaquestion1.
3) Longueurdeladiagonale[AC]
a=3cmetb=9cm.
Remarque:
Ilestpossibledejustifierladéterminationdesvaleursdeaetdebenutilisantl’inégalitétriangulaire.EnconsidérantqueletriangleABCn’estpasplat,l’inégalitétriangulairedonne:AB–BC<AC<AB+BCd’où(6–3)cm<AC<(6+3)cm.Onobtientbiena=3cmetb=9cm.
4) Constructiond’unparallélogrammevérifiantlespropriétés1et2et4
Tracerunsegment[AD]telqueAD=3cm.Tracerlaperpendiculaireà(AD)passantparA.TracerlecercledecentreDetderayon6cm.SoitCl’undespointsd’intersectionducercledecentreDetderayon6cmetdelaperpendiculaireà(AD)passantparA.LepointBseconstruitcommelepointDdanslaquestion1.
Calculdelalongueurdeladiagonale[AC]
LetriangleDACestrectangleenA.D’aprèslethéorèmedePythagore,CD2=AC2+AD2.OnadoncAC2=CD2–AD2.CommeABCDestunparallélogramme,sescôtésopposésontlamêmelongueur.DoncCD=AB=6cmetAD=BC=3cm.OnendéduitqueAC2=36–9=27.DoncAC=√27=√9 3=3√3.OnadoncAC=3√3cm.
Problèmed’aprèsunconcoursblancdeNice(sujetpage179)
Annales2014COPIRELEM Page230
Calculdel’aireduparallélogrammeABCD
DACétantrectangleenA,l’airedeDACestégaleà √
.OnadoncAire(DCA)=932
cm2.Ladiagonale[AC]partageleparallélogrammeendeuxtrianglesDACetBACdemêmeaire.Doncl’aireduparallélogrammeABCDest9√3cm2.
5) a) Constructiond’unparallélogrammevérifiantlespropriétés1et2ettelqueladistancedeAà(DC)estde2cm
Tracerunsegment[AB]de6cmpuislaperpendiculaireà(AB)passantparA.PlacerunpointPsurcettedroitetelqueAP=2cm.Tracerlaparallèleà(AB)passantparP.TracerlecercledecentreAetderayon3cm.Ilcoupelaparallèleà(AB)passantparPendeuxpoints.SoitDl’undecespoints.LecercledecentreBetderayon3cm.Cestlepointd’intersectiondececercleavecladroite(PD)quisesitueà6cmdeD.
5) b) Calculdel’aireduparallélogrammeABCD
Onpeutprendre[AB]commebaseduparallélogramme.LahauteurestalorsladistancedeAà(CD),soitAP.L’airedeABCDestdoncAB AP=6 2 =12.L’airedeABCDest12cm2.
5) c) Calculdel’airedutriangleABO
Premièreméthode:
DansletriangleABO,onnoteKlepieddelahauteurissuedeOetK’l’intersectiondelahauteur(KO)avec(CD).Comme(OK)estperpendiculaireà(AB),etdoncà(CD),ladistanceKK’estégaleàladistanceentreAet(CD).DoncKK’=2cm.Deplus,Oestlecentredesymétrieduparallélogramme,doncOestlemilieude[KK’].Onendéduitque
OK= =1cm.
Enconsidérant[AB]commebasedutriangle,l’airedeABOest
=3cm².
L’airedeABOest3cm².
Secondeméthode:
[AC]estunediagonaleduparallélogrammeABCD.ParconséquentlestrianglesACDetACBontlamêmeaire.
L’airedeABCestdonclamoitiédel’aireduparallélogrammeABCDsoit cm²=6cm2.
LestrianglesABOetCBOont lamêmehauteur issuedeBet leursbasesrespectives [AO]et [CO]ont lamêmelongueurpuisqueOestlemilieude[AC](Onpeutaussiutiliserlefaitqu’unemédianepartageuntriangleendeuxtrianglesdemêmeaire).Parconséquent,ABOetCBOont lamêmeaire.Doncl’airedeABOestégaleà lamoitiédel’airedeABC.
=3doncl’airedeABOvaut3cm2.
Problèmed’aprèsunconcoursblancdeNice(sujetpage179)
Annales2014COPIRELEM Page231
5) d)DémontrerqueEFGHestuncarré
Premièreméthode:
Le pointO est le centrede symétrie duparallélogrammeABCD et du cercle Г de centreO et de rayon√2cm.GestlesymétriquedeEparrapportàO.Eneffet,Eappartientàladroite(AB)etaucercleГ.SonsymétriqueparrapportàOappartientdoncausymétriqueparrapportàOdeladroite(AB)etausymétriqueducercleГ,c’est‐à‐direàladroite(CD)etaucercleГ.LesdeuxpointsGetHvérifientceci.Lasymétriecentraleconservelesdistances.Surlafigureproposée,Eestlepointd’intersectiondeГavec(AB)leplusprochedeA.Doncsonsymétriqueestlepointd’intersectiondeГavec(CD)leplusprochedeC(carCestlesymétriquedeAparrapportàO):c’estdoncG.Demême,HestlesymétriquedeFparrapportàO).DoncEetG(respectivementFetH)sontdespointsdeГdiamétralementopposés.EFGHestunquadrilatèredontlesdiagonalesontdoncmêmelongueuretmêmemilieu,c’estunrectangle.Commel’angle estdroit,ladistanceentreEetHestégaleàladistanceentreAetladroite(CD),doncEH=2cm.Parailleurs, comme le triangleEFHest rectangleenEetqueFH=2√2cm,ona,d’après lethéorèmedePythagore,EF2=FH2–EH2=8–4=4.DoncEF=2cm.LerectangleEFGHadeuxcôtésconsécutifsdemêmelongueur,doncEFGHestuncarré.
Secondeméthode:
EFOestuntriangleisocèleenO.Soit I le pied de la hauteur issue de O. (OI) est perpendiculaire à (AB) et O est le centre du
parallélogrammeABCDdoncOI=22=1cm.
D’aprèslethéorèmedePythagoredansletriangleEIOrectangleenI,EI²=EO²‐IO²=√2 –1².DoncEI=1cm.DemêmeIF=1cm,d’oùEF=2cm.Demême, en se plaçant dans le triangleHGO isocèle en O, avec J le pied de la hauteur issue de O, onobtientHG=2cm.Onaégalement(EF)parallèleà(HG).EFGHestdoncunquadrilatèreayantdeuxcôtésopposésparallèlesetdemêmelongueur,c’estunparallélogramme.Parailleurs, commeEI=HJ=1 cm,EIJHestunquadrilatèreayantdeuxcôtésopposésparallèlesetdemêmelongueur.EIJHestunparallélogramme.Deplus,comme(OI)perpendiculaireà(EF),(OJ)perpendiculaireà(HG)et(EF)parallèleà(HG),(OI)et(OJ) sont deux droites parallèles qui ont un point commun. Donc I, O et J sont alignés et (IJ) estperpendiculaireà(EF).EIJHestunparallélogrammeayantunangledroit,c’estunrectangle.Donc(EF)estperpendiculaireà(EH).EFGHestunparallélogrammeayantunangledroit,c’estunrectangle.Parailleurs,comme(EH)estperpendiculaireà(EF),EHestladistancedeAà(CD)doncEH=2cm.NousavonsdéjàmontréqueEF=2cm.EFGHestdoncunrectangleayantdeuxcôtésconsécutifsdemêmelongueur,c’estuncarré.
Problèmed’aprèsunconcoursblancdeNice(sujetpage179)
Annales2014COPIRELEM Page232
Remarque:
D’autresdémonstrationssontpossibles.
5) e) Calculdel’airedeEFGH
CommeEFGHestuncarré,sonairevautEH2=4cm2.
5) f) Calculdel’aireA
NotonsAl’airedelapartiegrisée.L’airedudisquedecentreOetderayon√2cmsedécomposeenl’aireducarréEFGHetquatrefoisl’airedelapartiegrisée.Parconséquent,l’airedudisques’écrit:
√2 ²=2 ²=4cm²+4A.
OnendéduitqueA=( 1)cm2.
Remarque:
Lefaitquel’airedudisquedecentreOetderayon√2cmsedécomposeenl’aireducarréEFGHetquatrefoisl’airedelapartiegriséesedémontreparsymétrieparrapportàO.
5) g) Calculdel’aireB
NotonsB l’airede lapartiegrisée.L’aireduparallélogrammesedécomposeen l’airede lapartiegrisée,l’aireducarréEFGHetdeuxfoisl’airedelapartiegriséeA(voirquestionprécédente).
OnobtientdoncB=12cm²–4cm²–2 A=12cm²–4cm²–2 ( 1)cm².
D’oùB=(10 )cm2.
Nombreàl’écolematernelle(sujetpage180)
Annales2014COPIRELEM Page233
ANALYSED’UNESITUATIOND’APPRENTISSAGEENGSD’aprèsunsujetd’examendeLyon
1) Phase1 :leschoixfaitsparl’enseignant
a) Reformulation
Plusieurspointspeuventposerdesproblèmesdecompréhensiondanslaconsigne:
«justecequ’ilfautd’oiseaux»quipeutêtrereformulépar«nitrop,nitroppeud’oiseau»,«tudoispouvoirplacertouslesoiseauxquetuesalléchercher,ilnedoitpasenmanquerdansunnidetilnedoitpast’enresterdanslesmains»
«ilyaitunpèreetunemèreoiseaux»peutêtrereformulépar«ildoityavoirdeuxoiseaux»
«danschaquenid»peutêtrereformulépar«danstouslesnids»,«danschacundesnids»,«ildoityavoirdeuxoiseauxparnid»
b) Lesoiseauxsontidentiques
Silesoiseaux«pères»etmères»n’étaientpasidentiques,l’élèveauraitàconstruiredeuxcollectionsdemêmecardinalplutôtqu’unecollectiondontlecardinalestledoubled’uneautre.Lasituationreviendraitalorsàlaconstructiondedeuxcollectionséquipotentesàunecollectiondonnée.
c) Intérêtsdesnidsamovibles
Lesystèmedenidsamoviblesproposedeuxintérêtsmajeurs,lemaitrepeutjouersurlenombreetsurladispositiondesnids:
Intérêtlorsdeladévolutionduproblème:touslesélèvesdoiventpouvoirsefaireunereprésentationduproblème.Lavariationdunombredenidsestl’élémentessentielquipermetaumaîtreunajustement,pourchaqueélève,desconnaissancesrelativesaudénombrement.Ainsi,uneéventuellenonmaîtrisedecetteconnaissancen’interfèrepasdansletravaildecompréhensionduproblèmetelqu’ilestposéàl’élève:chacunpeutalorss’engagerdanslaconstructiond’unesolutionauproblèmeposé.
Intérêtdansl’individualisationduproblème:lesélèvessontregroupésautourd’unemêmetable,sic’étaittoujourslemêmenombreetlamêmedispositiondesnidssurl’arbre,lesélèvesinitialementspectateurs,neferaientquereproduirecequ’ontfaitleursprédécesseurs,cequi«tuerait»leproblèmepourcesélèves‐là.Ilestdoncimpératifqu’ilpuisseyavoirvariationdunombreet/oudeladispositiondesnidssurl’arbre.
Intérêtdanslagestionconcrètedelaclasse:ilestplussimpleetplusrapidededéposeretramassersuruneaffichedesboutsdecartonreprésentantlesnidsplutôtquedemanipulerdesaffichespourfaireévoluerlasituation.
Intérêtpourl’aspectludiquedelasituation:plusl’élèvemanipulecequiluiapparaîtcommeunjeuplussonintérêtestmarqué.Despetitsnidsetdesoiseauxenpapierssuscitentplusd’intérêtquedesrondsetdesjetons.Attentioncependantànepasmasquerlesobjectifsmathématiquesderrièreunhabillagetropludique.
Nombreàl’écolematernelle(sujetpage180)
Annales2014COPIRELEM Page234
2) Phase2
a) Deuxprocéduresefficaces
Onpeutenvisagerplusieursprocéduresquimènentàlaréussiteduproblème:
Procédure1:
Compter2danschaquenidmentalementouenpointantdudoigttouslesnidstouràtour:1‐2,3‐4,5‐6,…,11‐12etsesouvenirduderniermot‐nombreénoncé;
Procédure2:
Dénombrerlesnidspuisprendrelesoiseauxparcoupleencomptantjusqu’aunombredenids;
Procédure3:
Dénombrerlesnidspuisprendreunepremièreséried’oiseauxcorrespondantaunombredenidspuisunedeuxièmeséried’oiseaux;
Procédure4:
Distribuer lesoiseauxendeuxtascommedansun jeudecartesencomptant1‐1,2‐2,3‐3,etc. jusqu’aunombreexactdenids.
Remarques:
Dans la procédure 1, les élèves ne connaissent pas le nombre de nidsmais seulement le nombre totald’oiseaux.Danslesprocédures2,3et4lesélèvesconnaissentlenombredenidsmaispasnécessairementlenombre total d’oiseaux, néanmoins ils établissent une relation entre le nombre de nids et l’obtention dunombrerequisd’oiseaux.LaprocédurequiconsisteàdénombrerlesnidsetprendreledoubledecenombrerelèveduCP.
b) Bonnombred’oiseauxsanscompterlesnids
Avec laprocédure1, un élève effectue le comptagedunombred’oiseauxdirectement sur lesnids sansgarderenmémoirelenombretotaldenids.
3) Phase3
a) Deuxmessagesorauxjustes
Remarquepréalable:
Lamodificationentrelaphase2etlaphase3(commandeorale)introduitunecontraintedeformulationdelacommande.L’élèvedoitdoncexprimerdefaçonexpliciteouimplicitelenombred’oiseauxdontilabesoin.Celaconduit,d’unepart,àuneffortd’explicitationde lapartde l’émetteur,et,d’autrepart,àuneffortdedécodagedumessagereçupourlerécepteurquifournitlesoiseaux.Lestechniquesderésolutionduproblèmesontainsimisesaujouretmieuxcomprisesparl’ensembledesélèves.Lesincompréhensionsentreémetteuretrécepteurpeuventgénérerdesdébatsd’explicitation.
Lesmessagesorauxpourraientêtre:‐ Ilfaut12oiseaux;‐ Ilya6nids,ilfaut6oiseauxetencore6oiseaux;‐ Ilfaut2fois6oiseaux;‐ Ilenfaut6et6;‐ Ilfaut6pèreset6mèresoiseaux;‐ Ilfaut6couplesd’oiseaux.
b) Synthèseenphase3
Remarquepréalable:
L’objectifde la séquence est la constructiond’une collectiondont le cardinal est ledoubled’uneautre. Ilparaitessentielque lemaîtreconduise lesélèvesàpercevoircettenotiondedoubleen insistantsur le lienentrelenombredenidsinitialetlafaçondontlenombred’oiseauxpeutêtreexprimé.Lasynthèsedoitdonc
Nombreàl’écolematernelle(sujetpage180)
Annales2014COPIRELEM Page235
porterd’unepartsurlafaçondetrouverlebonnombred’oiseaux,maiségalementsurlamanièred’exprimercenombreetsurlelienentrelenombredenidsetlenombred’oiseaux.
Synthèsepossible:
‐ «Sij’ai6nids,jedoisallerchercher6etencore6oiseaux,c’est‐à‐dire12oiseaux»‐ «Sij’ai6nids,jedoisallerchercherdeuxfois6oiseaux,c’est‐à‐dire12oiseaux».
4) Variablesdelasituationetimpactdevariation
Onpeutciterplusieursvariablesdontlavariationaunimpactsurlesprocéduresderésolution:
Lenombredenids:cenombredoitresterdansundomaineadaptéàl’élève,s’ilesttrèspetit(1ou2)l’élèven’apasbesoindedénombrerpourobtenirlebonrésultat.S’ilesttropgrandl’élèvenepourrapasdénombrer.
Lesnidssontdéplaçablesounon:s’ilssontdéplaçables,l’élèvepeutlesprendreavecluietfairecorrespondreàchaqueniduncoupled’oiseaux,s’ilsnesontpasdéplaçablel’élèvedoittrouverunmoyendemémoriserlenombred’oiseauxàallerchercher.
Ladispositiondesnidsdansl’arbre:silesnidssont«bienrangés»(parexempleendeuxlignesde3nids)l’élèvepeututiliseruneprocédurebaséesurreconnaissancevisuelleplutôtquesurundénombrement.
L’éloignement des oiseaux: si les nids et les oiseaux sont ensemble dans le champ visuel del’élève,cedernierpeutfairedesallers‐retoursvisuelspourtrouverlebonnombred’oiseausansutiliserledénombrement.
Lesélèvesont‐ilsàallerchercherseullesoiseauxoudoivent‐ilsdonnerunmessageàunautreélève: la formulation d’une commande oblige l’élève à communiquer soit le nombre d’oiseaudésiré(parexemple«12oiseaux»,soitlafaçond’avoirlenombred’oiseaudésiré(parexemple«6oiseauxetencore6oiseaux»).
Lacommandedoitsefaireàl’oraletpasàl’écrit:parécrit,l’élèvepourraitdessinerlescouplesd’oiseauxsouhaitésouencorelesnidsàremplir…
ProblèmedepartageenGS(sujetpage182)
Annales2014COPIRELEM Page236
PROBLÈMESDEPARTAGEENGSD’aprèsunsujetd’examendeGrenoble
1) Procéduresdepartagemisesenœuvre.
a)Procéduresindividuelles
Ondésigneainsilesprocéduresoùchaqueenfantsesertsanstenircomptedesonvis‐à‐vis:c’estlecasdugroupe1.Ladistributionesteffectuéeunàun.
b)Procéduresindividuellesdépendantes
Ondésigneainsilesprocéduresdanslesquelleschaqueenfantsesertsanstenircomptedesonvisàvis,maisoùleduocomparelescollectionsentreelles.Ils’agitdesgroupes6et7.Pourcesdeuxgroupes,lemoyendecontrôledel’équipotencedescollectionsestspatial(représentationdans l’espaced’une correspondancepaquets à paquets: paquets dedeuxpour le groupe7, paquets detrois pour le groupe 6). La contrainte de place amène le groupe 7 à substituer à cette représentation,l’égalitédeshauteurs.
c)Procéduresduellessynchrones
Nousdésignonsainsilesprocéduresoùlesenfantss’assurentdel’équipotencedescollectionsenutilisantla synchronisation de leurs gestes. Il s’agit des groupes 2 (placement des objets), 3 et 5 (pour lecomptage).
d)Procéduresduellesalternées
Ondésigneainsilesprocéduresoùlesenfantsseserventàtourderôle.Ils’agitdesgroupes2,4et5.Lesgroupes2 et 5 effectuent unedistributionun à un, alors que le groupe4 effectueunedistributionparpaquetsde2.
2) Moyensdecontrôle
Les enfants s’assurent de l’équipotence des collections obtenues lors du partage soit par unereprésentationtemporelle(simultanéitéoualternance),soitparunereprésentationspatiale(paquetsouobjetsmisfaceàface).Seullegroupe1n’utiliseaucunedecesreprésentationsetn’aainsiaucunmoyendecontrôle.Enoutre,legroupe5s’assuredel’équipotenceparcomptage(simultané).Enrevanche,mêmesi legroupe4utilisecommemoyendecontrôle lareprésentationspatialedessouscollections,cemoyennesemblepasavoirdesenspourlui,puisqu’ilnel’utilisepaspour«interroger»sontravail.
3) Analysedurésultatdugroupe4.
Les enfants appliquent la procédure rappelée lors du bilan, en procédant chacun à leur tour, mais enprenant deux objets à la fois. Le nombre de paires d’objets n’étant pasmultiple de deux (15paires entout),unepaired’objetsestattribuéeenplusàl’undesdeuxalignements.Onpeutsupposerquechaquealignement représente respectivement laquantité attribuée auxpetits et aux grands, lepartageobtenun’estpaséquitable.Le travails’arrêteà lamiseen lignedespairesd’objets,sansaller jusqu’àcontrôlerl’équipotencedesdeuxcollections.
4) Variablesdidactiques
• Unepremièrevariabledidactiqueest,bienentendu,latailledunombre.Unnombred’objetstroppetit(unedizaine)permettraitunpartage «à l’œil» (subitizing), alorsqu’unnombred’objets tropgrand(unecentaine)nepermetpasunereprésentationspatialesimpledelacorrespondance,commeonlevoitaveclegroupe7,seulgroupeàavoireuunesoixantained’objets.
• Unedeuxièmevariabledidactiqueestlatailledesobjetsquipermetounonunereprésentationspatialedelacorrespondance.Onenvoitencoreuneillustrationaveclegroupe7:c’estparcequelatailledes
ProblèmedepartageenGS(sujetpage182)
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godets est trop grande (relativement à leur nombre) que les enfants sont obligés d’avoir recours àl’empilement.
• Une troisièmevariabledidactique, nonnégligeable, est lanaturedunombred’objets (bien entendu,nombre pair). Si ce nombre n’est ni multiple de 3, ni multiple de 4, ni de 5, les procédures derépartitionparpaquetspeuventêtremisesendéfautcommelemontrel’exempledugroupe4.
5) Lasituationdesgommettes1
Remarque:
On suppose que les gommettes sont données en vrac, et non pas sur des planches de gommettes déjàorganisées.
a) Deuxprocédurespossiblespourlaphase1.
Plusieursprocéduressontenvisageablesdontdeuxseulementsontdemandées.
Procédure1:
L’élève dispose les gommettes une à une de chaque côté du trait. Ensuite il contrôle l’équipotence desdeux collections. Pour cela il peut compter le nombre de gommettes de chaque côté et comparer lesnombresobtenus(comptineoubandenumérique)
Procédure1bis:
L’élève dispose les gommettes une à une de chaque côté du trait. Ensuite il contrôle l’équipotence desdeuxcollections.Pourcelailpeutfaireunecorrespondancetermeàtermeenorganisantspatialementlesgommettesdechaquecollection.
Procédure1ter:
L’élève dispose les gommettes une à une de chaque côté du trait. Ensuite il contrôle l’équipotence desdeuxcollections.Pourcelailpeutorganiserchacunedescollectionssousformedeconstellation.
Procédure2:(Variantedelaprocédure1)
L’élèvedisposelesgommettesdechaquecôtédutraitdeuxpardeux,outroispartrois…puiscontrôledel’équipotenceselonl’unedesprocéduresdécritesci‐dessus.
Procédure3:
L’élèvedénombreparcomptage lacollectioncomplète,puis ils’appuiesursaconnaissancedesdoublespourdéterminerlenombredegommettesàcollerdechaquecôté.
b) Deuxprocédurespossiblespourlaphase2‐émetteurs
Plusieursprocéduressontenvisageablesdontdeuxseulementsontdemandées.
Procédure1:Paressais‐ajustements.
L’élève place le fil de façon perceptive, puis dénombre par comptage chacune des deux collections. Ilcomparelesdeuxnombresobtenus(comptine,filenumérique,etc.).Silesdeuxnombressontégaux,ilafini.Sinon,ildéplacelaficelleetrecommenceàdénombrer…
Procédure2:
L’élèvedénombreparcomptage lacollectioncomplète,puis ils’appuiesursaconnaissancedesdoublespourdéterminer lenombredegommettesdechaquecôtédu fil. Il comptecenombredegommettesetplacelefil.
1Créationd’après«Lesgommettes»;ERMELGS;pp120‐135
ProblèmedepartageenGS(sujetpage182)
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Procédure3:
Correspondancetermeàtermeenpartantdechacundesdeuxbouts.Cettecorrespondanceenutilisantlesdoigtss’arrêtequandlesdeuxdoigtsserencontrent.Onplacelefilentrelesdeuxdernièresgommettes.
Procédure4:Essais‐ajustementprenantappuisuruneestimationdelaquantité.
L’élèveestimelenombrecorrespondantàlamoitiédesgommettes,parexemple4.Ilcompte4gommettessurlacarte, ilcomptelaquantitédegommettesrestantes.S’ilyena4, ilplacelefil.Sinon,ilajusteàlahausseouàlabaissesonestimationinitialeetrecommence.
Procédure4bis:Essais‐ajustementprenantappuisuruneestimationdelaquantité.
L’élève estime lenombre correspondant à lamoitiédes gommettes, par exemple4. Il compte, avec sesdeuxindex,4gommettesdechaquecôtédelacarte.S’ilrestedesgommettesnoncomptées,ilajustesonestimationinitialeàlahausse,etilrecommence.S’iln’yapasassezdegommettespourcompter4,ilajusteàlabaisse,etilrecommence.Sinon,ilplacelefil.
Lesmoyensdevalidations:
Dénombrementparcomptagedesgommettesdechaquecôtédutraitetcomparaisondesnombresobtenus.
Contrôleparsynchronisationdesgestes. Parpliagesilematériellepermet(gommettesenligne).
c) Intérêt
Intérêt1:
Chaque élève du binôme émetteur peut être en activité lors de la phase de recherche d’un découpagepossible.Quandilssesontmisd’accordsurunpartage,uneseulebandeestdécoupée.
Intérêt2:
Labandenondécoupéepeutservirdebandetémoinpourvaliderlaproductiondesgroupesrécepteurs.
d) Évaluation.
L’évaluation individuelle porte sur l’activité réalisée. Elle peut donc se composer de deux parties(reprenantlesdeuxaspectsdel’activité):
1‐ Compléterunebandedontonconnaîtlamoitié.Lenombredegommettesproposéinitialementsurlamoitiédebandeestcomprisentre3et10.
2‐ Trouverunelignedepartage,surunebandecomprenantentre6et20gommettes,endeuxcollectionséquipotentes.
Remarque:
Lenombredegommettesproposéainsiqueladispositionspatialedecelles‐cisontdesélémentsimportantsdedifférenciationpourl’évaluation.
Multiplication(sujetpage184)
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LAMULTIPLICATIOND’UNNOMBREENTIERPARUNNOMBREÀUNCHIFFRE:ÉTUDED’EXTRAITSDEMANUELS
D’aprèsunsujetd’examendeLyon
1) Àproposdel’annexe1« TousenMaths ! »CE2Nathan2012etdel’annexe2« J’apprendslesmaths »CE2Retz2010
a) Descriptiondelasecondetechniquedemultiplication(celleemployéeaumilieuparNoradansl’annexe1)
Chaquechiffreestmultipliépar41,pourlechiffredesunités,onobtientunnombred’unités(quipourracomporterdeuxchiffres);pourlechiffredesdizaines,onobtientunnombrededizaines;etc.Ladiagonaledechaquecarréséparelechiffredesunitésetceluidesdizainesdurésultat(16unitésc’est1dizaineet6unités,demême,5×4donne20séparéesen2et0,etc.).Pour finir il suffit d’ajouter les unités demême rang ensemble (en suivant les diagonales). En effet ladispositionproposée fait apparaîtreque5dizaines×4donne20dizaines soit 2 centaines et0dizaine(chiffresquisetrouventdanslesdemi‐casesendiagonale).
b) Comparaisondestroistechniquesproposées
Ilyad’unepartdeuxtechniquesposées(annexe2)etunetechniqueenligne(annexe3).Il faut comprendre le rôle des différents signes présents: diagonales, tracés, flèches, cases et ronds, etfaire le lien entre le matériel de numération représenté (valises, boites, jetons) et les écrituresdécomposéesdesnombres.
Similitudes:
Au niveau de la justification de la technique: les trois techniques s’appuient sur la propriété de ladistributivitéde lamultiplicationparrapportà l’additionetconsistentàeffectuer lamultiplicationd’unnombredécomposésuivantlespuissancesde10:(1000+3×100+5×10+4)×4danslesdeuxpremierscaset(100+6×10+8)×4dansletroisième.Au niveau des supports pour la mise en œuvre de la technique: dans les deux premiers cas, des«retenues» apparaissent placées à des endroits bien précis: dans la partie gauche de chaque casepartagéeparunediagonalepourNora,danslesrondsau‐dessusdel’opérationposéepourMax.
Différences:Auniveaude lamiseenœuvrede la technique:Norapeut faire lesmultiplicationsdans l’ordrequ’elleveut car les additions sont gérées après que toutes lesmultiplications ont été effectuées.Max doit leseffectuerdedroiteàgauche, tandisque la techniqueen ligneamèneàeffectuer les calculsdegaucheàdroite , en commençant par multiplier les centaines ,puis les dizaines, puis les unités.. De ce fait, latechniqueen ligneconduità calculer l’addition400+240+32sanscalculde retenuesaucontrairedesautrestechniques.
c) Lesraisonsduchoixdesauteursde« J’apprendslesmaths »
Onpeutvoirdeuxraisonsàcechoix:lelienentrecalculenligneetcalculposé,l’importanceaccordéeaucalculmentalparlesauteursdecemanuel.Il s’agit d’unemultiplication d’un nombre entier de trois chiffres par un nombre à un chiffre. Elle esteffectuéeendécomposant lepremiernombreencentaines,dizaines,unités,décompositionreprésentéepar le matériel. Chaque unité de numération est multipliée séparément et les résultats obtenus sontajoutés.Misàpartlefaitquelescalculss’effectuentdegaucheàdroite,cetteméthodeestsimilaireàcelledelamultiplicationposéeetpeutaideràencomprendrelasignification.Pour les auteurs, cette méthode est importante car c’est celle qui est privilégiée en calcul mental. Ilconvientdoncdel’exposerauxélèves.1Cetteexpressionestunabusdelangage.Ilfaudraitdire:«chaquenombredésignéparlechiffreestmultipliépar4»carunchiffreestunsymbolepermettantd’écriredesnombresetlesopérationsportentsurlesnombres.
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2) Àproposdesannexes3« EuroMaths »CE1Hatier2012et4« livredumaitreCapMathsCE1 »Hatier2009
Lesdeuxmanuelsproposentdesapprochesdifférentesdelamultiplication.
a) Descriptiondesdeuxapproches
Annexe3:(manueldel’élève):
Introductiondelamultiplicationd’unnombreàdeuxchiffresparunnombreàunchiffre(37×5).Les auteurs donnent deux supports pour obtenir le résultat de la multiplication; ils amènent lamultiplicationd’unnombreàdeuxchiffresà l’aideducalculde l’aired’unrectangle(dans lesensd’unemesure‐produit)découpéendeuxrectanglesbienchoisis(dontlesairessontplusfacilesàcalculer)oududénombrementdecarrésdansunrectangle,doncendécomposant«37»en«30et7».Laprésentationdans la seconde colonnede lamêmemultiplication cette fois‐ci posée estdonnée sanscommentaireparticulierhormis:«jefaiscommePaco».L’élève doit identifier le lien entre les calculs qui apparaissent dans la multiplication posée et ceuxprésentsdanslerectangle.L’ordredescalculsn’estpaslemêmeetladispositiondesnombresdansuncalculdiffère(30×5et7×5danslesrectangleset5×7et5×30.Unequestionsurlamiseenévidencedelacommutativitéestproposée:«quelestlerésultatde5×37?».Laréponsenepouvants’obtenirqu’enobservantlerectangleplutôtqu’àl’aidedelamultiplicationposée.
Annexe4:(livredumaitre):Un contexte présenté dans une histoire permet de renforcer le sens de lamultiplication (en lien avecl’addition réitérée) et d’inciter à utiliser la décomposition des nombres puisque le contenu chaqueenveloppeestprésentéen séparantdizainesetunités. Ilpermetd’aborderdifférentesprocédurespourtrouver«combiendeperlesdansletrésor?»correspondantàlamultiplication87×5.Ensuiteuneprésentationdelamultiplicationposéeestamenéeparleprofesseurens’appuyantd’abordsurl’additionitérée.Laverbalisationpermetdevoirquel’onestamenéàcalculer7+7+7+7+7cequirevientà«faire5fois7».L’appuisurlanumérationetladécompositionenpuissancede10intervientpourcomprendrelerôledelaboiteàretenue.Oncalculelenombrededizainesentenantcomptedesdizainesdéjàretenues.
b) Différencesentrelesdeuxtechniques
Laprincipaledifférencesesitueauniveaudessensdelamultiplicationprivilégiée:
LemanuelEuroMathss’appuiesuruneconfigurationrectangulaire, ilprésentelamultiplicationdanslesensmesureproduit sur un quadrillage 37x5; elle apparait comme l’outil permettant de calculer lamesuredel’aired’unrectanglede37sur5(nombredecarrésparlignemultipliéparlenombredecarrésparcolonne)sommedesairesdedeuxrectanglesde30sur5etde7sur5.Lacommutativitéesticimiseenévidenceàdifférentsmoments.
LemanuelCAPMathss’appuiesurunproblèmedeproportionnalitésimple:onconnaitlavaleurd’uneunité (1 enveloppe contient 87 perles) et on cherche la valeur de 5 unités. Lamultiplication apparaitcomme une addition réitérée 87+87+87+87+87. Il est plus difficile de mettre en évidence lacommutativitédanscecontexte.
c) Comparaisondesdeuxtechniques
EuroMathsSensmesureproduit CAPMathsSensadditionréitérée
Lamiseenévidencedespropriétésdelamultiplicationounon
• Permet de mettre en évidence lacommutativité et donc de se défaire duproblèmedel’ordredel’écrituredesnombresduproduit
• Permetdemettreenévidenceladistributivitédelamultiplicationparrapportàl’addition.
• Lamiseen évidence delacommutativitén’estpas «évidente» pour concevoir qu’il y aautant de billes dans 58 paquets de 3 billesquedans3paquetsde58billes.
• Permetdemettreenévidenceladistributivitédelamultiplicationparrapportàl’addition.
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Leprolongementdelatechniqueopératoireàlamultiplicationdedeuxnombresdécimaux.
• Peut permettre d’illustrer la multiplicationd’un entier par un décimal mais aussi d’undécimalparundécimal
• Permet de montrer que la multiplicationn’agranditpastoujours(0,7×8<8et0,7×0,8<0,7;0,7×0,8<0,8)
• Autorise le prolongement à la multiplicationd’un entier par un décimal(3×4,7=4,7+4,7+4,7)
• Nepermetleprolongementàlamultiplicationd’undécimalparundécimal
• Avec l’addition réitérée, la multiplication estuneopérationquiagrandit«toujours».
3) Àl’issuedecetteétudedudossierenconsidérantlesprogrammes(annexe5)
Troiscompétencesimportantesàfaireacquérirauxélèvesavantd’aborderlamultiplicationposée
Savoir multiplier par 10, 100, 1000: puisque la décomposition d’un des facteurs est celle quicorrespond à la décomposition polynomiale du nombre (parfois désignée par désignationcanonique)selonlespuissancesde10.Danslesproduits intermédiaires,cesfacteursserontdoncprésents.
Connaitrelestablesdemultiplication(aumoinslespremières)ouêtrecapabledelesreconstruirerapidement: puisque dans la mise en œuvre de la technique de la multiplication, ce sont desproduitsd’unnombreàunchiffreparunnombreàunchiffrequiserontutilisés.
Avoir des connaissances en numération: connaitre la valeur des chiffres dans l’écriture desnombres et savoir qu’un groupementdedix unités donneunedizaine, qu’un groupementdedixdizainesdonneunecentaine.
Savoirdécomposerunnombresoussadécompositioncanonique.
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GRANDEURSETMESURES
ANNALYSEDEPRODUCTIONSD’ÉLÈVES
ANALYSESDESITUATIONSD’APPRENTISSAGE
EXERCICE1
Élève1
Laprocéduren'estpasrecevableetlaréponsedonnéeestfausse.L'élèveeffectue la sommedesdeuxdonnéesnumériquesde l'énoncé : il ajoute lesheuresdedépart etd'arrivée,enlesinterprétantdemanièreerronéecommedesdurées.
Élève2
Laprocéduren'estpasrecevablemaislaréponsedonnéeestnumériquementcorrecte.L'élèvecalculeunedifférenceentredeuxinstants.Ilsaitprobablementqu'il"doitcalculerunedifférenceentredeuxheures" («l'heured'arrivéemoins l'heurededépart»), et il estpossiblequ'enpratique, il aiteffectuéladifférenceentre"laplusgrandeheureetlapluspetite",soit19h‐7h.Lechoixdesvariablesnumériquesdansl'énoncé(heuresdedépartetd'arrivée)faitquecetélève,avecunmauvaisraisonnement,donneuneréponsecorrecte.Celan'auraitpasétélecas,parexemple,silebateauétaitarrivéà6h.
Élève3
Cetélèvedessine13barresetconclutqueladuréedutrajetestde13heures.Saréponseestdoncfausse.Onpeutpenserqu'iladessinécesbarresenénonçant``19h,20h,...,6h,7h":danscecas,ildénombredesinstants,etnondesintervallesdetemps(procédurefausse).
Élève4
Laprocédureestrecevableetlaréponsedonnéeestjuste.L'élève,commeilleditlui‐même,achoisidereprésenterlasituationparunschéma:ildessineMarseille,laCorseetletrajetdubateau.Surlaligne,ilreprésentel'horlogequiavance(onleremarqueaveclesinstantsnotés``20h,21h,...")etilcompteenmêmetempslenombred'heuresdutrajet(quandilécrit``1h,2h...").L'élèven'écritpastout;ilutiliseleschémajusqu'àminuitpuisilsaitqu'ils’écoule7heuresdeminuità7;enfin,pourterminersonraisonnement,ileffectuel'opération5h+7h.
Élève5
Laprocédureestrecevableetlaréponsedonnéeestjuste.L'élèvedécomposeletrajetpartranchesetajoutelesduréesdestroistranchesobtenues:de19hà24hilya5heures,de1hà7hilya6heuresetde24hà1hilya1heure.Ileffectueensuiteuneadditionpourtrouverladuréedelatraversée(5h+6h+1h).
EXERCICE2
1) Laréponsed’unélève :respectdelaconsigneetappréciationportéesursontravail
Cetélèven’aréponduqu’àunepartiedelaconsignequiluidemandede"convertir".Ils’estcontentédecompléterletableauaveclesunitéssansyindiquerlesnombresattendus.Onpeutsedemanders’ils’enest servi pour effectuer les conversions, il peut l’avoir utilisé mentalement ou avoir utilisé une autretechniquedeconversion.Dans lamesureoù le tableaudevaitêtrecomplété,onpeutpenserque lemaîtresouhaitaitnotammentvérifierlacapacitédesélèvesàrempliruntableaudeconversion.Toutefois,letravaildeconversionaété
Grandeursetmesures(sujetpage189)
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correctementeffectué(peuimportelaprocédureutilisée).Onpeutdoncévaluerpositivementletravaildel’élève.
Complément:autrestechniquesdeconversion
Technique1:5m 5 1m 5 100cm 500cm;700cm 7 100cm 7m;
9dm 9 10cm 9 10 10mm.Technique2:1m 100cm.Pourconvertirdemètreencmonmultipliepar100,decmenmètresondivisepar100.
2) Leserreursdetroisélèves
Élève1
Deserreurssontcommisesauxquestionsb),c)ete).
b)L’élèvedoitplacerunnombreàdeuxchiffresdansletableau,ilécritlechiffreleplusàgauchedanslacolonnedesunitéscorrespondantes.Cetteerreurpeutêtredueaufaitderespecterlachronologiedel’écrituredunombre(onécritd’abord3puis6)etparconséquentl’élèvefaitcorrespondrelepremierchiffreàécrireàl’unitéassociée.Illuiestdoncdifficilederompreavecl’ordreusueld’écritureoudel’adapteràlasituation.
c)L’élèveplacecorrectement700cmdansletableaumaisdonnelerésultatenmillimètresaulieudedonnerenmètres.L’élèvesemblevouloir«remplir»letableaujusqu’àladernièrecolonne(mm).Lefaitdeplacercorrectement700dansletableaupeutavoirplusieursorigines:plusgrandefamiliaritésavec lescmou impossibilitédeplacer leszérosdans le tableausi le7estplacédans lacolonnedesdécimètres.
e)Commepourlaquestionb),l’élèvedoitplacerunnombreàdeuxchiffresdansletableau,ilécritlechiffreleplusàgauchedanslacolonnedesunitéscorrespondantes.Cetteerreurpeutêtredueaufaitde respecter la chronologie de l’écriture du nombre (on écrit d’abord 6 puis 2) et par conséquentl’élèvefaitcorrespondrelepremierchiffreàécrireàl’unitéassociée.Illuiestdoncdifficilederompreavecl’ordreusueld’écritureoudel’adapteràlasituation.
Remarques:
Lepremierrésultatestcorrect,ilestécritd’uneautrecouleuretiln’yapasdetraced’utilisationdutableau.Onpeutsupposerquel’élèveautilisélaconnaissanceusuelle(100cm=1m,donc500cm=5m).
L’élèveahésitéaumomentd’inscrirelesunitésdanslescolonnesdutableau:ilabarrépuisamodifiél’ordredesunités.
L’élèvenecommetpasd’erreurdansleplacementde9dm(nombreàunchiffre).
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Élève2
Seuleslesréponsesauxquestionsc)ete)sonterronées(dupointdevudes«conversions»effectuées).
Cetélèveplaceplusieurschiffresdanslamêmecolonne,celan’entraînepasd’erreuràlaquestionb)danslamesureoùlemestunesous‐unitédudam.
Pour la question c), l’élève inscrit 700 dans une seule et même colonne puis complète les colonnesjusqu’auxmillimètresavecdeszéros.
La réponse à la question e) est erronée, l’erreur est due aumauvais placement des chiffres de 62m,comme l’élèveprécédent, il écrit lepremierchiffreàgauchedans la colonnede l’unité correspondante.L’erreurprécédentedeplacementdeplusieurschiffresdanslamêmecolonnen’estpasrépétée.
Élève3
Une première remarque préalable: les unités n’ont pas été correctement placées dans le tableau(permutationentremètresetdécimètres).
b) Le nombre est correctement inscrit dans les colonnes du tableau et la réponse donnée est correcte.Néanmoins,ilfautremarquerquel’usagedutableauauraitdûentraineruneréponseincorrecte(3600m).Onpeutdoncfairel’hypothèsequel’élèven’apasutiliséletableaupoureffectuercetteconversion.
c)Sil’onconsidèrequelezéron’estpasbarré,ilyaiciuneerreurdueaumauvaisplacementdesunitésdanslescolonnes(inversionmètresetdécimètres).
d)idem(mauvaisplacementdesunitésdanslescolonnes:inversionmètresetdécimètres).
e)idem(mauvaisplacementdesunitésdanslescolonnes:inversionmètresetdécimètres).
Remarqueàproposdelaquestionc):
Sil’élèveaeffectivementbarrélezéro,onpeutsupposerqu’ilacorrectementluedansletableau70mmaisqu’ill’aensuitecorrigéauregarddelaconnaissancedelarelation:100cm=1m.
3) Donnerunargumentenfaveurdel’utilisationdutableaudeconversionetunensadéfaveur.
Dèslorsquel’élèveacomprislesliensentrelesdifférentesunitésets’estexercéàlesutiliser,letableaudeconversionserévèleêtreunoutilperformantpour le travaildeconversion. Ilconstitue lesupportd’unalgorithmeendeuxétapes:placementdunombre‐mesureavecuneunitédansletableauetlecturedelamesuredanslanouvelleunité.Commetoutetechnique,ilpermetdegagnerenrapidité.Généralisétroptôtetutilisésanslienaveclarelationentre lesdifférentesunitésetavec lanumération,l’utilisationdutableaudevientunetechniquedénuéedesensetentraînerbeaucoupd’erreurs.
Grandeursetmesures(sujetpage189)
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Eneffet,utiliserletableaunécessitede: placer correctement lesmultiples et sous‐unités dumètre, en particulier des unités peu usitées
commeledécamètreoul’hectomètre, placercorrectementlesnombres:chiffredesunités(ausensdelanumération)dunombre‐mesure
écritdanslacolonnecorrespondantàl’unitédelamesuredonnéepuisenécrivantunseulchiffreparcolonne,
appliquerlatechniquecorrespondantaucasàtraiteretilyadenombreuxcaspossibles:o celui où la nouvelle unité est une «sous‐unité» de l’unité initiale (dans ce cas on
complètepardeszéros,ici5mencm),o celuioùlanouvelleunitéestune«sur‐unité»decelleinitiale,danscecasilyaplusieurs
sous‐cas:«barrer»deszéros(parexemplepour700cmàconvertirenm),ouplacerlavirgule à droite de la colonne de la nouvelle unité (par exemple 12cm en m) etéventuellementcompléterpardeszérosdanslescolonnesaprèslavirgule(parexemple12cmenhm),voirecombinerplusieursdecescas(120mmenhm).
ANALYSEDEMANUELS(longueursauCP)
1) Analysedel’activitépréparatoirep.46
a) procédureplussimplepourcomparerlataillededeuxenfants
Pourcomparerlataillededeuxenfantsdelaclasse, ilsuffitdelesplacercôteàcôte. Ils’agit làd’uneméthodedecomparaisondirecte.
Remarque:
Silesenfantssontdebout,piedsausol,leproblèmedel'origineneseposepas.
b) procédureplussimplepourcomparerlatailledeplusieursenfants
Pourcomparerfacilementlatailledeplusieursenfantsonpeut:
Procédure1:Utiliserleprincipedestoises
Repérersurunmurleniveaudechaqueenfant.Ils’agitd’uneméthodedecomparaisonindirectepuisquenousallonscomparerlatailledesenfantsparl’intermédiairedeslongueursdéfiniessurlemur.
Procédure2:procéderàunpremierrangement
«derrièrel’élèveA,seplaceunélèveBplusgrandqueA,……».Etàlafin,onprocèdeàquelquesréajustements.
c) DeuxprocéduresauCPpourrangerlesbâtonsenfonctiondeleurlongueur
Lesélèvespeuventcomparerlesbâtonspar: comparaisonglobale par juxtapositionàpartird’unemêmeorigine: lesbâtonssontmis lesuns
contre lesautres«en fagot»en faisantcoïncideruneextrémité:on tireun plusgrand,puisunplusgranddesrestants,….
comparaisondeuxàdeux:encherchantlepluspetit,puislepluspetitdesrestants.JecompareAetB:siAestpluspetitqueB,jegardeAetjelecompareàC,siAestplusgrandqueB,jegardeBetjelecompareàC…Cetteméthodestructuréeneserapeut‐êtrepasutiliséeparbeaucoupd’enfantsdecetâge.
Dans tous les cas, il s’agit de comparaison directe rendue possible par le fait que les bâtons soientdéplaçables.
2) Analysedel’exercicep.46
a) Procédurederésolution
Uneprocédurepossibleestdeprendreunebandedepapier,construireunsegmentdemêmelongueurquel’undesbâtonsetcomparercesegmentauxbâtonsqui«semblent»proches.Recommencerplusieursfoisjusqu’àépuisementdustock.
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Remarque:
Afinderespecterlaconsignelejourduconcoursilestrecommandéd’yrépondreprécisémentenn'exposantqu'uneprocédure.Dansunsoucide formation,nousensuggéronsuneautreenvisageable :découperpourchaquebâtonunebandelettedemêmelongueuretcomparerleslongueursdesbandelettes.
b) Variabledelasituationinduisantlaprocédure
Dans l’exercice, lesbâtonssontdessinés sur la feuilledepapier (doncnondéplaçables)etont tousdesorientationsdifférentes.Ilestdoncdifficiledelescomparervisuellement,lesenfantssontdoncconduitsàdescomparaisonsindirectes.
3) Analysedesactivitésp.47
a) Comparerleslongueursdeplusieurstrajetsdanslacour
Dans l’activité préparatoire, la comparaison de plusieurs trajets tracés dans la cour ne peut se fairedirectement:lesenfantsn’ontpasunevisionglobaledestracés.Onnepeutpasrendrelestracés«rectilignes»commeonleferaitavecunobjetmatérieldéformable.Onnepossèdepastoujoursdeficelleassezlonguepourpasserparcetintermédiaire.Onpeutfaireappelàunétalon que l’on reporte régulièrement (comme par exemple le report régulier d’un bout de ficelle, d’unbâton, d’un pas : dans ce dernier cas la difficulté à reproduire l'étalon à l'identique peut motiver lanécessitédeconstruireunétalon"fixe"…).
b) Hypothèsesurleraisonnementdesélèves
Lecheminenvertestconstituéde9segmentstandisquelecheminbleuestconstituéde7segments.Lesélèvespeuventavoirrangélescheminsenfonctiondunombredesegments.
c) L’exercicepermet‐ild’invaliderceraisonnement ?
Sidansl’exerciceproposé,lesélèvesfontlemêmeraisonnement,alorsilsdirontquelecheminlepluslongest lecheminrouge(6segmentsalorsqu’iln’yaque3segmentspour lecheminnoir).En faisantcetteerreurderaisonnement,ilsaurontpourtantjusteàl’exercice:l’exercicenepermetdoncpasd’invaliderleraisonnementfauxmisenœuvre.
d) Propriétémathématiquede lamesuresur laquelles’appuie larecherchedurésultatdel’« Exercice »
Pour chercher les mesures des longueurs des deux chemins, les élèves vont mesurer la longueur dechaque segment constitutif d’un chemin et faire la sommedesmesures obtenues.Cette procédure estbaséesurl’additivitédelamesure:
mesure(AUB)=mesureA+mesureBsiA∩B=ØIcipour les longueursdesegments,onpeutdirequesi l’onconnaît lesmesuresdes longueursdedeuxsegmentsalorslamesuredelalongueurdusegmentobtenuenmettantlesdeuxsegmentsinitiauxboutàboutestlasommedesdeuxmesures.
4) ProgressionpourleCP
Onpeutenvisagerdedemanderauxélèvesdemesureravecdesrèglesutilisantdesunitésarbitrairesetnonconventionnelles(commedesrèglesconstruitesàpartirdetrombonesoud’allumettes).Onpeutfaireconstruireauxélèvesuninstrumentsurlequelsontreportésdesétalons
puisunerèglegraduéequiévitelecomptagedeunenun
01 23456
Larèglegraduéeencentimètresn’estalorsqu’unoutildemesure,parmid’autres,quial’avantaged’êtreconventionnel.Cetteprogressionpermetdeconstruirelanotiondemesureetd’unitédemesure.
Oualors,onpeutproposer l’utilisationdirectede larèglegraduéeencentimètres. Cela relèvealorsplusd’unapprentissagetechnique(unrepéraged’unegraduationaprèsavoirprisconsciencedelanécessitédefairecoïnciderle"0"delagraduationavecl'unedesextrémitésdel'objetàmesurer)qued’unmesurage.
1 111 11
Grandeursetmesures(sujetpage189)
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ANALYSEDEMANUELS(aireauCM2)
1) Pertinencedesvaleursnumériqueschoisies
Cesvaleursnesontpasdutoutpertinentes,eneffet2alaparticularitéque2+2=2x2etdefaitn’estpaslemeilleurexemplepourmontrerl’utilitédelamultiplication.Par ailleurs, pour l’aire du rectangle, on voit les trois centimètres carrés, aucune opération n’estnécessaire, lesensde lamultiplicationpar1n’estpasdu toutclair.Unrectanglede5cmsur3cmparexempleauraitétépluspertinent.Dans le calcul d'aire d'un rectangle dont les côtés ont des longueurs s'exprimant à l'aide demesuresentières, le dénombrement des unités d'aire permettant de recouvrir le rectangle mobilise lamultiplication.
2) Explicationdelaformule
Ens’appuyant sur l’exempledurectanglede5cmsur3cmproposéà laquestionprécédente, et sur lapropriétéimplicited'additivitédesaires,onpeutfaireobserverauxélèvesquel'airedurectangleestlamêmequecelledes3rangéesde5centimètrescarrés,oucelledes5colonnesde3centimètrescarrés,sonairepeutdoncsecalculerenmultipliantsalargeur3cmparsalongueur5cmpourobtenir15cm².
Formulationadaptée:
L'airedurectangleestlamêmequecelledes3rangéesde5centimètrescarrés,oucelledes5colonnesde3centimètrescarrés,sonairepeutdoncêtrecalculéeenmultipliantsalargeur3cmparsalongueur5cmpourobtenir15cm².
Onferaensuiteremarquerquesionprendunautrerectangle,parexemplede8cmsur12cm,onpeutlerecouvrirde lamême façonavec8 rangéesde12centimètrescarrés (ou12colonnesde8centimètrescarrés).Laformulations'appuiesurunexemplegénériqueetexplicitelarèglepratique(demultiplicationdelalongueurparlalargeur):onaévitéuneformulationtropformelledetypeformulealgébrique,quiseral'objetducollège.
3) Difficultésliéesàl’usagedestermes«base»et«hauteur»
Lestermesbasesethauteursontemployésdanslaviecouranteavecunsensdifférentdeceluiqu’ilsontenmathématiques: labased’unobjetest sapartie laplusbasse, cellequiestencontactavec le sol, sahauteurestladistance,mesuréeàlaverticale,entrelepointleplushautdel’objetetlasurfacehorizontalesurlaquelleilrepose.Certains élèves auront des difficultés dès que la disposition du triangle obligera à distinguer les sensusuelsetmathématiquesdecestermes,parexemplequandlabaseestdansunepositionverticaleet lahauteurhorizontale.Il pourraêtrepertinentde faireprendreconscienceauxélèvesquepourchaque triangle, il existe troischoixdebasepossibleetqu'àchacundeceschoixcorrespondunehauteurrelativeàcettebase.
1cm²
NombresauxCE1(sujetpage194)
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ANALYSED’UNESITUATIOND’APPRENTISSAGEAUCE1D’aprèsunsujetd’examendeNantes
1) Lesinformationsquidoiventavoirétédonnéesauparavantparlemaître1.
Les élèves peuvent avoir déjàmanipulé unmatériel de numération similaire en classe. Dans ce cas, lemaître peut y faire référence et pointer les analogies entre le matériel familier des élèves et lesreprésentationsproposéesdanslemanuel.Siaucunmatérielsimilairen’estutiliséenclasse, lemaîtredoitavoirpréciséquetoutes lesbarressontconstituéesdedixpetitscarreaux,etquelesgrandscarréssontconstituésde100petitscarreauxoudedixbarres.Laconsignepeutaussiposerunproblèmedecompréhension.Lemaîtredoitparailleursavoirpréciséque«ledessinquiluicorrespond»signifie«ledessindanslecadreoùilyaexactementlenombredepetitscarreauxindiqué».Ilpeutaussipréciserquechacundes4cadresdoitêtrereliéàundes4nombres.La difficulté peut résider dans le fait que les représentations des nombres sous forme de collectionsorganisées ou d’écritures chiffrées n’apparaissent pas forcément comme un tout pour les élèves: ilspourraientrelier,parexempleunebarreavecunchiffre«1»présentsdansl’unedesécritures…Onpeutaussiremarquerlasuperpositiondesdeuxplaquesdanslepremiercadre
2) Uneprocédurepermettantàunélèvedefournirlaréponseattendue
Lesauteursontchoisitroisnombrescomposésdesmêmeschiffres,probablementdanslebutd’amenerlesélèvesàêtreattentifsàl’ordredeschiffres.Cependant,ladispositiondesobjetsdanslesreprésentationsincitefortementàconsidérerlesobjetsdansl’ordreattendu:l’élèvecomptelesgrandscarrés,puislesbarres,puislescarreauxisolésdansl’ordredelalecture,degaucheàdroiteetdehautenbas,etdéterminel’écrituredunombrequiconvient,sansavoiràfaireréférenceaufaitquedansunnombreàtroischiffres,l’undeschiffresdésignedescentaines,undesdizainesetundesunités.
3) Butprobablementpoursuiviparl’enseignantenproposantchacundecestroiscas
Parrapportà l’exerciceprécédent,pourlestroisexemples, lemaitredemandedeproduire l’écrituredunombre et non pas de choisir parmi des propositions, ce qui complexifie la tâche et évite certainesréponses trouvées par élimination. L’objectif de l’enseignant est encore demontrer l’importance de lapositiondeschiffresdansnotresystèmedenumération,maisausside fairecomprendre lerôleduzérodansl’écriture.
Par rapport au choix des collections, l’exempleA semble avoir pourbutde rappeler que chaque grandcarrécompte100petitscarreaux.Ilsepeutégalementquel’intentionsoitd’empêcherlecomptageeffectifdescarreaux(celui‐ciestinutilepuisque,pourlaplaque,lenombreestindiquéetlescarreauxsontflous).
L’exempleB,danslequelaucunebarrereprésentant«dix»n’apparaît,permettraaumaitredevérifierlacompréhension du «0» dans l’écriture du nombre. En effet, un élève qui compte «2» et «6», devraensuitetraduireen«206»pourtenircomptedufaitquele«2»estaurangdescentaines«6»aurangdesunitésetqu’unzéroaurangdesdizainesestalorsindispensable.Unélèvepeutaussicompter«cent»,«deux cents», «deux cent un», «deux cent deux»… «deux cent six», et avoir à écrire en chiffres sonrésultat(passagedeladésignationoraleàl’écriturechiffréedunombre).
L’exempleCinsistesurl’importancedelaposition.Ici,contrairementàl’exerciceprécédent,lesdizainessontreprésentéesenpremiersionsuit l’ordredela lecture,c’estcependant lechiffredescentainesquidoitêtreécritenpremierdanslenombre.
1NotedelaCOPIRELEM:Dansledocumentoriginal,lesplaquessontvertes,lesbarressontrougesetlespetitscarrésbleus.
NombresauxCE1(sujetpage194)
Annales2014COPIRELEM Page249
4) Utilisationd’untableaudenombres
a) Pertinencedelaméthodepouradditionnerdeuxnombresdontlechiffresdesunitésestzéroetdontlasommeestinférieureà1000
Ilsuffitdeproposerunexempled’additioncomportantuneretenueetdontlesdeuxtermesvérifientlesconditions.Parexemple,ilestimpossibled’effectuerenutilisantcetteméthode,560+280.Lapremièreétaped’ajoutde200endescendantdedeuxlignesneposepasdeproblème,maisonnepeutpasajouter80enavançantde8colonnesversladroite(ilneresteque3colonnes:ilfaudraitchangerdelignepourcontinuer(dedixendix)).
Remarque:
Cetteméthode(encadré) limite lechoixdessommesàcalculerpuisqu’ellenes’appliquequ’aux«additionssansretenue».Uneautreméthodepourraitêtredécrite,parexemplepourcecalcul(560+280):descendredetroislignesetreculerdedeuxcolonnes…
b) Une procédure avec laquelle des élèves de CE1 peuvent effectuer 170 + 720 en calculréfléchi,sansseservirdecetableau.
Ilyadenombreusesprocédurespossiblesparmilesquelles:
Procédure1:s’appuyantsurlesécritureschiffréesetlasignificationdeschiffressuivantleurrang
170est vu comme«un‐sept‐zéro», c’est1 centaine, 7dizaines, 0unité. 720, «sept‐deux‐zéro», c’est7centaines,2dizaines,0unités.Enregroupantlesunitésdechaqueordreontrouve8centaines,9dizaines,0unitéquis’écrit890(«huit‐neuf‐zéro»).Cette procédure est assez proche de la technique de l’addition posée dans laquelle les nombres sont«traités»chiffreparchiffre.
Procédure2:s’appuyantsurlecomptageetlanumérationorale
«Cent soixante‐dix» plus «sept cent vingt», on dit: «deux cent soixante‐dix», «trois cent‐soixante‐dix»…«huitcentsoixante‐dix»,«huitcentquatre‐vingt»,«huitcentquatre‐vingt‐dix»etonécrit890.
Remarque:
L’élève peut aller plus vite et dire «Cent‐soixante‐dix» plus «sept‐cent», «huit‐cent‐soixante‐dix» plus«vingt»,«huit‐cent‐quatre‐vingt»,«huit‐cent‐quatre‐vingt‐dix».Ilpeutaussidire«septcentvingt»plus«Centsoixante‐dix»:«septcentvingt»,«huitcentvingt»,«huitcenttrente»,«huitcentquarante»…«huitcentquatre‐vingt»,«huitcentquatre‐vingt‐dix»etécrire890.
Procédure3:s’appuyantsurladécompositionadditivedesnombres
170+720=100+70+700+20=100+700+70+20=800+90=890
Nombresdécimaux(sujetpage196)
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LESNOMBRESDÉCIMAUXAUCMD’aprèsunsujetd’examendeParis
1) Niveaudeclasse
LetravailsurlesnombresdécimauxestmenéenCM1etCM2.
Remarque:
LestâchesproposéesdanslesdeuxdocumentssontdéjàtravailléesauCM1;ledomainenumérique(jusqu’au1000ème)relèvedesobjectifsduCM2.
2) Compétencetravailléedanslesdeuxsituations
Lesdeuxdocumentspermettentdetravaillerlepassagedel’écriturefractionnairedécimaled’unnombre
(oùAetnsontdesnombresentiers)àl’écritureàvirgule(quel’annexe1désigneimproprementpar
«nombredécimal»).Cequiestformuléainsidanslesprogrammes«savoirpasserd’uneécriturefractionnaireàuneécritureàvirgule[etréciproquement].»
Remarque:
Dans ledocumentde l’annexe1,on invite lesélèvesà transformer l’écrituredunombreen fournissantunoutild’aideàlaréalisationdestâches:letableaudenumération.Dansledocumentdel’annexe2,cetravailderéécritureestproposéaprèsavoirrepérécesnombressurunedroitegraduée.
3) L’applicationdesrèglesAetBdansledomainedesnombresdécimaux
a) Uneaffirmationerronéeàlaquelleconduitcetteapplication
EnutilisantlarègleApourlesdécimaux,unélèvepeutêtreconduitàpenserque,d’unepart,2,4possèdeunsuccesseur2,5etd’autrepartqu’iln’existepasdenombredécimalentre2,4et2,5.
En utilisant la règle B, il conclura que 6,73 (qui s’écrit avec trois chiffres) est supérieur à 7,2 (deuxchiffres).
b) Utilisationdel’annexe2pourillustrerl’invaliditédecesaffirmationsLadroitegraduéeestunsupportpermettantd’illustrerlespropriétésrelativesàl’ordresurlesnombresdécimaux.L’enseignantpeuttirerdel’annexe2deuxdesexemplesillustrantl’invaliditédesaffirmationsdesélèvesdansledomainedesdécimaux:
concernantlarègleA,entrelesgraduationscorrespondantauxnombres2,7et2,8,onpeutplacerd’autresgraduations (effet«zoom») cequi revientà intercalerdesnombresdécimauxentrecesdeuxnombres(commeparexemple2,73);
pour la règleB, en lisant de gauche à droite sur la droite graduée, on rencontre le nombre2,73avantlenombre2,8donc2,73estinférieurà2,8etpourtantlenombre2,8nes’écritqu’avecdeuxchiffres,alorsquelenombre2,73s’écritavectroischiffres.
4) Additiondesnombresdécimaux
a) Hypothèserelativeàl’originedel’erreurprésentée
L’élève a vraisemblablement additionné séparément les parties décimales (7+5 = 12) et les partiesentières(3+2=5).Celaillustrelareprésentationerronéemaiscouranted’unnombredécimal(enécritureàvirgule)commeétantlajuxtapositiondedeuxnombresentiersindépendants.
Nombresdécimaux(sujetpage196)
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b) Aidersesélèvesàdépassercetteerreur
Lesélèvesontapprisdanslesactivitésdel’annexe1àpasserd’uneécriturefractionnaireàuneécritureàvirgule.Pourdépasserleurerreur,ils’agitici:
réciproquementdepasserd’uneécritureàvirguleàuneécriturefractionnaire:
3,7+2,5=3+ +2+
decalculer lasommedesfractionsdécimalesenconvertissantaupassagedouzedixièmesenuneunitéetdeuxdixièmes:
3,7+2,5=3+ +2+ =5+ 5 5 1 6,2
L’aideproposéedoitdoncamener l’élèveà revenir àun calcul sur les fractionsdécimales.Cecipeut sefaire enutilisant les écritures fractionnaires commeci‐dessusmais aussi à l’oral en appui sur lesmots«unité»et«dixième»etlesrelationsquileslient(«dixdixièmeségalentuneunité»).
ProblèmesadditifsauCP(sujetpage198)
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ANALYSED’UNESITUATIOND’APPRENTISSAGEAUCPD’aprèsunsujetd’examendeToulouse
1) Lacatégorieàlaquelleappartientchacundesquatreénoncésdel’annexe.
Situation1:
Transformation d’état avec recherche de l’état final(collection de Rémi): sont donnés l’état initial:j[Rémi]’ai27voituresetlatransformationpositive:je[Jeanne]tedonne3voitures.
Situation2:
Transformation d’état avec recherche de l’état final(collection de Jeanne): sont donnés l’état initial:Jeannea37billesetlatransformationnégative:elleendonne6.
Situation3:
Composition d’états avec recherche d’un des états composés: sont donnés la composé des deux états(Rémia14avions)etl’autreétat(onenvoit7).
Situation4:
Comparaisond’étatsavecrecherched’undesétatscomparés:sontdonnéslacomparaisonnégative(Liloua4perlesdemoins)etundesdeuxétats(Jeannea23perles).
2) Un énoncépour lequel la sémantiquede l’énoncén’estpas en cohérence avec l’opérationmathématiqueàeffectuer.
Exempledesituationenconservantlemêmecontexteetlesmêmesdonnéesnumériques(cequin’estpasindispensable):Jeannea23perles,elleena4demoinsqueLilou.CombiendeperlesLiloua‐t‐elle?Iciilfauttraiterl’informationdonnéeendéduisantdecelle‐ciqueLiloua4perlesdeplusqueJeanne;lasémantiquedel’énoncéavecprésencedel’expression«demoinsque»n’estdoncpasencohérenceaveclecalculàeffectuer.Elleconstitueunedifficultéquinécessitechezl’élèvelacapacitéàchoisirsciemmentlabonneopération.
3) Originedel’erreur.Propositiond’uneaidequipourraitpermettreàl’élèvederemettreencausesaproduction.
La présence dumot inducteur «donne» peut être à l’origine de cette erreur, ce terme signifiant pourl’élèvequel’opérationàfaireestuneaddition.Ilpeutaussis’agirdelaproximitéàlafoisducontexteetduchampnumériqueavecl’énoncéprécédentpourlequelils’agissaitbiend’uneprocédureadditiveaveclemêmeverbed’action«donner».Unelecturerapidepeutmeneràconfondrelesdeuxsituations.
Aidespossibles:
Ilestimportantderevenirsurlasémantiquedel’énoncépourpermettreauxélèvesdechoisirl’opérationadaptée avant de faire le calcul. Ici il faut conduire les élèves à bien distinguer les expressions «tudonnes»,«elletedonne»quiamènentàopérerdefaçondifférente.Pourcelaonpeutparexemple:a)Fairevivredifférentessituationsdansdeschampsnumériquesplusrestreintavecprésenceduverbe«donner»maisquicorrespondentsoitàunajout,soitàunretrait:
Tuas4billes,jet’endonne3…Tuas4billes,tum‘endonnes3…
Puisdessituationsplusdécentrées:Lolaa7bonbons,elleendonne3àRémi…Lolaa7bonbons,Rémiluiendonne3….
Et à chaque fois faire anticiper les élèves sur la collection de départ… a‐t‐elle diminué ou augmenté?Validerparl’actioneffective.
ProblèmesadditifsauCP(sujetpage198)
Annales2014COPIRELEM Page253
b)Fairereformulerl’énoncéàl’élève(oubienluifaireréaliserunschéma)enl’invitantàrépondreàdesquestionsintermédiaires:est‐cequeJeanneaautantdebillesmaintenant?Qu’est‐cequis’estpassé?Est‐cequ’elleenaplus?Est‐cequ’elleenamoins?
4) Deuxprocéduresderésolutionsusceptiblesd’êtremisesenœuvreparunélèvedeCPpourrésoudreleproblème3
Desprocéduresrelevantducomptage,surcomptage,décomptage:
Procédure1:
Représentation schématique des 14 avions, puis réalisation de la partition: la collection des 9 déjàprésents,etlesautres.Dénombrementensuitedelasecondecollection.
Procédure2:
L’élève peut compter les 9 avions représentés puis surcompter à partir de 9 jusqu’à 14 et doublecomptagesoitenutilisantlesdoigts(celanécessiteradesesouvenirquelesdeuxmainsaurontdéjàétésollicitéespourdire14(10et4)),soitengardant latracedechaquenombreénoncé(entre9et14)enfaisantunpetittraitaufuretàmesuresurunefeuille.
Procédure3:
Repéragedu9etdu14surlabandenumériquepuiscomptagedunombredepaspermettantd’allerde9à14.
Uneprocédurerelevantducalcul:
Procédure4:
Rechercheducomplément,«de9pourallerà14?».Utilisationducomplémentà10(9pourallerà10ilfaut1)puisrechercheducomplémentde10pourallerà14(ens’appuyantsurladécomposition14=10+4).Ontermineparl’ajoutde1et4.