1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La...

1. Condizioni di raccordo alle discontinuità

2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell.

3. La riflessione totale

5. Effetti della dispersione: la scomposizione della luce bianca

6. Effetti sulla polarizzazione: le relazioni di Fresnel

Cap. III Interazione delle onde e.m. con la materiaCap. III Interazione delle onde e.m. con la materia

Il problema: attraversamento di superfici di separazioneIl problema: attraversamento di superfici di separazione

?1, n1

Z1

2, n2

Z2

1. CONDIZIONI DI RACCORDO ALLE DISCONTINUITA’1. CONDIZIONI DI RACCORDO ALLE DISCONTINUITA’

Ricordiamo le condizioni di raccordo dei campi alle superfici:

2211

21

ε ε

nn EE

EE tt

21

2211

μ μ

nn BB

BB tt

t

n

11 μ ε , 22 μ ε ,

(1)

hanno come conseguenza: riflessione e rifrazionehanno come conseguenza: riflessione e rifrazione

Useremo la notazione con i fasori nello spazio 3-D: Useremo la notazione con i fasori nello spazio 3-D:

ˆ EkB c

n

Ricordiamo che il campo magnetico B si può scrivere come:

k

r

z

x

y

ω0

tje rkEE

onda piana monocromatica

per esempio:

2. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE A UN’INTERFACCIA PIANA(dimostrazione)

2. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE A UN’INTERFACCIA PIANA(dimostrazione)

incidenteonda

c

ne

iii

tjii

i

ˆ1

ω0

EkB

EE rk

riflessaonda

c

ne

'ii

'i

tj'i

'i

''i

'i

ˆ '1

ω0

EkB

EE rk

rifrattaonda

c

ne

rrr

tjrr

rrr

ˆ

2

ω0

EkB

EE rk

riflessione e rifrazione - dimostrazione


(2)

iθ 'θi

rθx2

1

ik 'ik

rk

z

*grazie al teorema di Fourier

A) scriviamo i campi come onde piane monocromatiche*:A) scriviamo i campi come onde piane monocromatiche*:

''i

'ii tj'

itj

i ee ω0

ω01 ' rkrk EEEEE

x

E1

ik 'ik

rk

z

B) Notiamo che nei due materiali il campo totale sarà:

B) Notiamo che nei due materiali il campo totale sarà:

E2

rrr tjrr e ω

02 rkEEE

(3)



C) le (3) devono soddisfare le (1) lungo tutta l’interfaccia:C) le (3) devono soddisfare le (1) lungo tutta l’interfaccia:

(1)

2211

21

ε ε

nn EE

EE tt

21

2211

μ μ

nn BB

BB tt

(3) ''

i'ii tj'

itj

i ee ω0

ω01 rkrk EEE

rrr tjrr e ω

02 rkEEE

otteniamo:

rrr''

i'ii tj

trtj

t'

itj

ti eee ω0

ω0

ω0 rkrkrk EEE

rrr''

i'ii tj

nrtj

n'

itj

ni eee ω01

ω01

ω01 rkrkrk EEE

(4)



rrr''

i'ii tj

trtj

t'

itj

ti eee ω0

ω0

ω0 rkrkrk EEE

rrr''

i'ii tj

nrtj

n'

itj

ni eee ω01

ω01

ω01 rkrkrk EEE

(4)

Si noti che:le uguaglianze valgono contemporaneamente e separatamente per gli argomenti (esponenti) e le ampiezze (vettoriali)

D) cominciamo dalle eguaglianze per gli argomenti…D) cominciamo dalle eguaglianze per gli argomenti…



segue che:

rkrkrk r'ii

r'ii

r'

ω ω ω

0 (3)

deve quindi essere:

rrr''

i'iii ttt ω ω ω rkrkrk

per qualsiasi t e r (z = 0)per qualsiasi t e r (z = 0)

ir

i'i

n

n

n

c

n

c

λ 2

λ

2 λ λ

2

1

2

1

riflessione e rifrazioneriflessione e rifrazionele eguaglianze per gli argomenti:le eguaglianze per gli argomenti:

scegliendo kiy= 0:

x, ycon z = 0

x, ycon z = 0

segue che:

y kxky kxkxk ryrx'iy

'ixix

coplanarità delle tre onde

iθ 'θi

rθx2

1

ik 'ik

rk

z

(5)

rx k'ix kixk

ry k'iyk

0

rkrkrk r'ii

r'ii

r'

ω ω ω

0

riflessione e rifrazioneriflessione e rifrazione

θλ

2 θ

λ

2 θ

λ

2r

ri sinsinsin '

i'ii

rx k'ix kixk

ry k'iyk

0

legge della riflessione

iθ 'θi

rθx2

1

ik 'ik

rk

z

isinsin 'i θ θ

iir sinsinsinnn

i

r θ θ'

θ2

1

legge di Snell (1627) i

'i θ θ ovvero:


un esempio:un esempio:

legge di Snelllegge di Snell

aria

z

00.11 n

acqua

33.12 n

isinsin 'i θ θ

ir sinsinnn

θ θ2

1

40'θi40θi

9.28θr

50θi 50'θi

17.35θr

legge di Snell (1627) 2211 sin sin nn

insieme:insieme:


aria

z

00.11 n

acqua

33.12 n

isinsin 'i θ θ

ir sinsinnn

θ θ2

1

40'θi40θi

9.28θr

50θi 50'θi

17.35θr

legge di Snell (1627)

effetti della rifrazioneeffetti della rifrazione

effetti della rifrazioneeffetti della rifrazione

anche per frequenze non ottiche

0 θ θ θ '

rii

2

1

1) incidenza normale1) incidenza normale

2

1 nn

n̂

iir sinsinsin nnn

θ θ θ 122

1

legge di Snellriflessione e rifrazionecasi particolari

riflessione e rifrazionecasi particolari

casi particolari:

riflessione e rifrazione

casi particolari


casi particolari

2) attraversamento strato piano parallelo 2) attraversamento strato piano parallelo

n̂

iθ

d

uθ

iu θ θ iu θ θ

2

1 nn

2

1 nn

t

iir sinsinsin nnn

θ θ θ 122

1

legge di Snell

n1 n2 n1

2) attraversamento strato piano parallelo 2) attraversamento strato piano parallelo

si osservi:si osservi:

iθ

uθ

reversibilitàdel cammino

ottico

reversibilitàdel cammino

ottico

d

2

1 nn

uθ

iθ

d


casi particolari


casi particolari

iθ

n2

z

rθ

n1

12 nn

'θi

Si considerino i diversi casi:iir sinsinsin n

nn

θ θ θ 122

1 legge di Snell

z

iθ 'θi

?θ 1 θsin 2

1 rinn

riflessione totaleriflessione totale

3. LA RIFLESSIONE TOTALE3. LA RIFLESSIONE TOTALE

θ θ1

2Lsinsin

nn

i angololimite

θ

1

2

1 isinn

n

z

iθ

rθ

'θi

z

iθ

rθ

'θi

legge di Snell


iθ

rθ2

1

z

12

1 nn

'θi

? θ θsin

1

2

1 rin

n

iθ

2

1

z'θi

iθ 'θi

2

1

z

12

1 nn

rθ

oppure, a i fisso cambiare:


iir sinsinsin nnn

θ θ θ 122

1

θ θ1

2Lsinsin

nn

i angololimite

θ

1

2

1 isinn

n


iθ

n2

z

rθ

n1

12 nn

z

iθ

rθ

z

iθ

rθ

z

iθ 'θi

riflessione totaleriflessione totale θ θ1

2Lsinsin

nn

i angololimite

θ

1

2

1 isinn

n

vetro crown/aria

41θL

diamante/arian1 = 2.458

24θL

acqua/arian1 = 1.33

49θL

n1 = 1.514

tornando a n12 fisso:tornando a n12 fisso:


effetti della riflessione totaleeffetti della riflessione totale 1

2 θsin θsinnn

Li

visione subacquea

acqua/arian1 = 1.33

49θL



2 θsin θsinnn

Li

“brillantezza” del diamante

diamante/arian1 = 2.458

24θL



2 θsin θsinnn

Li

si noti che per una data sostanza n dipende dalla densità, quindi dalla temperatura n = n(T)

• Miraggio ottico (fata Morgana)• “Tremolio” immagini vicino superfici calde

aria fredda

aria calda sorgente virtuale



2 θsin θsinnn

Li

si noti che per una data sostanza n dipende dalla densità, quindi dalla temperatura n = n(T)

• Miraggio ottico (fata Morgana)• “Tremolio” immagini vicino superfici calde


vetro crownn = 1.514

arian 1

arian 1 propagazione guidata


2 θsin θsinnn

Li


arian 1

APPLICAZIONIAPPLICAZIONI

vetro flintn = 1.65

quarzon = 1.45

le fibre ottichele fibre ottiche

1

2 θsin θsinnn

Li


APPLICAZIONIAPPLICAZIONI

riflessione con prismi rettiriflessione con prismi rettiariana 1

vetro crownnv = 1.514

4545

90

1

2 θsin θsinnn

Li

41.34 arcsin θ

v

a

nn

c

ir sinsinn

nθ θ

2

1legge di Snell

rrnn θ θ 22

si ricordi che:

iθ

2

1

ziθ

2

1

ziθ

2

1

z

1λ2n1θr

2λ2n2θr 3θr

3λ2n

l’angolo di rifrazione dipende dalla lunghezza d’ondal’angolo di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda

5. DISPERSIONE E RIFRAZIONE 5. DISPERSIONE E RIFRAZIONE

2n

ir sinsinn

nθ θ

2

1

legge di Snell

scomposizione della luce biancascomposizione della luce bianca

ciò provoca la:

dispersione e rifrazionedispersione e rifrazione

Newton, 1666 - 1667 Newton, 1666 - 1667

Effetti della dispersione: scomposizione della luceEffetti della dispersione: scomposizione della luce

Riepilogo Riepilogo

ir sinsinnn

θ θ2

1

legge di Snell

condizioni di raccordo alle interfacciecondizioni di raccordo alle interfaccie

ii θ θ ' legge della riflessione

1

2 θsin θsinnn

Li ir sinsin

nn

θ θ 2

1

dispersione nella rifrazione

riflessione totale

scomposizione della luce

reversibilità del cammino otticoreversibilità del cammino ottico

3.1) Un raggio di luce incide perpendicolarmente sulla faccia ab (vedi figura) di un prisma di vetro con indice di rifrazione n = 1.52. Trovare il massimo valore dell’angolo per il quale si ha riflessione totale alla faccia ac nell’ipotesi: a) che il prisma sia in aria; b) che sia immerso in acqua (n = 1.33).

a

bc

9.48

52.1

1arcosθMAX

9.28

52.1

33.1arcosθMAX

52.1

33.1 osθ θsin

1

2 nn

ci

in acqua:

52.1

1 θsin osθ θsin

1

2 nn

Lci

in aria:

Esercizi numericiEsercizi numerici


3.2) Sulla ipotenusa di un prisma retto, con angolo alla base = 60° e fatto di vetro flint con indice di rifrazione na = 1.789, incide un’onda piana monocromatica con angolo di incidenza i = 30°. Si determini il precorso dell’onda dopo la rifrazione nel caso:a) il prisma sia isolato in aria;b) sia appoggiato su una lastra di vetro piana orizzontale con nb = 1.750;

B

A

C

i

bn

an


B

A

C

i

bn

an

da Snell:

θsin θsin 12 ir nn

16.23 θsin

1arcsin θsinarcsin θ

789.12

1iir n

n

i2

23.7660θ θ 801 06 θ 90 90 θ 22 riir

dalla trigonometria:

RIFLESSIONE TOTALE

34

789.1

1arcsin arcsin θ

1

2

nn

L Li θ θ 2


A

i

bn

ani2

RIFRAZIONE

78

789.1

750.1arcsin arcsin θ

1

2

nn

L Li θ θ 2

i3r2

83.17 θsin

789.1arcsin θsinarcsin θ 2750.12

12 iin

nr

come prima:

θsin θsin 12 ir nn

16.23 θsin

1arcsin θsinarcsin θ

789.12

1iir n

n

23.7660θ θ 801 06 θ 90 90 θ 22 riir

dalla trigonometria:


3.3) Sul fondo di un recipiente contenente acqua è posta una sorgente puntiforme S di luce. All’esterno del liquido c’è aria. Osservando dall’alto la superficie libera dell’acqua, si osserva che esce luce solo attraverso un cerchio di raggio R=57 cm avente centro in O situato sulla verticale passante per S. L’altezza dell’acqua è h = 50 cm. Quanto vale l’indice di rifrazione na del liquido?

h

74.48

h

Rarctg

1arcsin arcsin θ

1

2

xL nn

n

33.1 sinθ

1

Lxn

R

E) ri-prendiamo le uguaglianze per i campi a un’interfaccia:E) ri-prendiamo le uguaglianze per i campi a un’interfaccia:

6. Effetti sulla polarizzazione: le relazioni di Fresnel6. Effetti sulla polarizzazione: le relazioni di Fresnel

rrr''

i'ii tj

trtj

t'

itj

ti eee ω0

ω0

ω0 rkrkrk EEE

rrr''

i'ii tj

nrtj

n'

itj

ni eee ω01

ω01

ω01 rkrkrk EEE

(4)

Si ricordi che:le uguaglianze valgono contemporaneamente e separatamente per gli argomenti (esponenti) e le ampiezze (vettoriali)

F) questa volta consideriamo le eguaglianze per le ampiezze…F) questa volta consideriamo le eguaglianze per le ampiezze…

ovvero, considerando anche il campo B, otteniamo:

0 ˆ

0 ˆε ε

000

02001

nEEE

nEEE

r'

ii

r'

ii

0 ˆˆμ

ˆˆμ

0 ˆˆˆˆ

02

20

'10

1

1

020'

101

nEkEkEk

nEkEkEk

rr'

iiii

rr'

iiii

nn

n

nnn

(6)

distinguiamo due casi…..distinguiamo due casi…..

relazioni di Fresnel -dimostrazione


BE

piano di incidenza n

I) E ortogonale al piano di incidenza: E() (polarizzazione S)I) E ortogonale al piano di incidenza: E() (polarizzazione S)

ki

i

B

ki’

i’

B

ki’



0 ˆ

0 ˆε ε

000

02001

nEEE

nEEE

r'

ii

r'

ii

0 ˆˆμ

ˆˆμ

0 ˆˆˆˆ

02

20

'10

1

1

020'

101

nEkEkEk

nEkEkEk

rr'

iiii

rr'

iiii

nn

n

nnn

E n

E n

dimostrazione: I) E ortogonale al piano: E()dimostrazione: I) E ortogonale al piano: E()

0 θcosμ

θcosμ

0

02

200

1

1

000

rri'ii

r'ii

nEE

n

EE

E

E (5)

0 θcosμ

θcosμ

0

02

200

1

1

000

rri'ii

r'ii

nEE

n

EE

E

E (5)

θcosθcos

θcosθcos

22

11

22

11

0

0

μμ

μμ

ri

ri

i

'i

nn

nn

E

E

(6)

con passaggi algebrici:

I) E ortogonale al piano di incidenza: E()I) E ortogonale al piano di incidenza: E()

dimostrazione: I) E ortogonale al piano di incidenza: E()dimostrazione: I) E ortogonale al piano di incidenza: E()

utilizzando 1 2 1 e la legge di Snell:

θθsin

θθsin

0

0

ri

ri

i

'i

E

E

(7)

relazione di Fresnel per i campi E()


E’i sfasato di

rispetto a Ei

se n2 > n1

E’i sfasato di

rispetto a Ei

se n2 > n1

θcosθcos

θcosθcos

22

11

22

11

0

0

μμ

μμ

ri

ri

i

'i

nn

nn

E

E

(6)

B

E

piano di incidenzan

II) E parallelo al piano di incidenza: E() (polarizzazione P)II) E parallelo al piano di incidenza: E() (polarizzazione P)

ki

i

ki’

i’E

B

relazioni di Fresnel - dimostrazionerelazioni di Fresnel - dimostrazione

procedendo analogamente al caso precedente si ottiene:



II) E parallelo al piano di incidenza: E()II) E parallelo al piano di incidenza: E()

θθtg

θθtg

0

0

ri

ri

i

'i

EE

////

(8)

E’i sfasato di rispetto a Ei

se n2 < n1

per (i + r)</2

E’i sfasato di rispetto a Ei

se n2 < n1

per (i + r)</2


i due casi insieme:

relazioni di Fresnel per il campo

relazioni di Fresnel per il campo

(8)

θθsin

θθsin

0

0

ri

ri

i

'i

E

E

(7)


θθtg

θθtg

0

0

ri

ri

i

'i

EE

////

relazioni di Fresnelrelazioni di Fresnel

relazioni di Fresnel per le intensità


θθsin

θθsin R

2

2

ri

ri

θθtg

θθtg R

2

2

ri

ri//

si ottiene:

(10)

espresse in termini delle intensità delle onde:Z

EI

2

2

Coefficienti di riflessione,o anche Riflettività

R R

0 30 60 900

1

0 30 60 900

1

i (°)

i (°)

R

//R


grafici con n12 = 1.50


grafici con n12 = 1.50


relazioni di Fresnel per le intensità per E

(grafici con n12 = 1.50)

relazioni di Fresnel per le intensità per E

(grafici con n12 = 1.50)0 30 60 90

0

1

i (°)

Rrelazioni di Fresnelrelazioni di Fresnel

iθ

aria

rθ

'θiiθ 'θi

iθ 'θi

vetro

0.04I0 0.08I0

0.94 I0

0.11I0

I0

0.78 I0 0.66 I0

50 θi15 θi 40 θi

E

relazioni di Fresnel per

le intensità per E//


relazioni di Fresnel per

le intensità per E//


i (°)


iθ

aria

rθ

'θiiθ

iθ 'θi

vetro 0.92 I0

I0

0.27 I0

70 θi15 θi 56 θ θ Bi

E//

0 30 60 900

1

//R

I0

angolo di Brewsterangolo di Brewster

tg(iB + rB)

se (iB + rB) = /2

0

θθtg

θθtg R 2

2

ri

ri//

solo E è riflessosolo E è riflesso le onde riflesse sono polarizzate le onde riflesse sono polarizzate

infatti, nelle (10), se:

l’angolo di Brewester


θθsin

θθsin R

2

2

ri

ri

θθtg

θθtg R 2

2

ri

ri//

(10)



0

θθtg

θθtg R 2

2

ri

ri//

le onde riflesse sono polarizzate le onde riflesse sono polarizzate solo E è riflessosolo E è riflesso

luce non polarizzata

luce polarizzata

Bθ

θθsin

θθsin R

2

2

ri

ri

θθtg

θθtg R 2

2

ri

ri//

se (iB + rB) = /2

rB = /2 - iB

tgθ cosθ

sinθ

θ2sin

sinθ

sinθ

sinθ

1

2

n

nBi

Bi

Bi

iB

Bi

Br

Bi

(10)l’angolo di Brewester



1

2artg θn

niB

Questo si verifica per:



Applicazioni: occhiali antiriflessioni (Polaroid)

relazioni di Fresnel:considerazioni energetiche

relazioni di Fresnel:considerazioni energetiche


1

2

rθ

iθ'θi

S1

S’1

S2

θcos

θcos 11

'1

i

rrii SISISI

θcos

θcos T R 1

i

r

deve essere:

ovvero:

che, effettivamente, è soddisfatta dalle (10)

θcos

θcos

'

θcos211

r

SSS'ii

θθsin

θθsin R

2

2

ri

ri

θθtg

θθtg R

2

2

ri

ri//

A) polarizzazioni lungo altre direzioni si scompongono in e //


Inoltre:

B) per onde non polarizzate:



(10)

si fa una media fra i due casisi fa una media fra i due casi R R

2

1 R //

relazioni di Fresnelrelazioni di Fresnelcasi particolaricasi particolari

Incidenza normale (i = r = 0):

R 2

21

21

nn

nn

1

2

n

n

0 θ θ θ '

rii

2

1

2

1 nn

n̂ 1T 0, R 21 nn

1 T R

e vale la:

)(

4 R 1 T

221

21

nn

nn

RiepilogoRiepilogo

θθsin

θθsin R 2

2

ri

ri

θθtg

θθtg R 2

2

ri

ri//



Incidenza normale R 2

21

21

nn

nn )(

4 R 1 T

221

21

nn

nn


1

2artg θn

niB

Prova di esame del corso di Fisica 4 del 26/9/03

3.4 Un sottile fascio di luce di potenza I0 = 10 mW incide normalmente sulla superficie piana di una lastra di vetro con indice di rifrazione n = 1.75, coefficiente di assorbimento = 0.5 cm-1 e di spessore t = 10 mm. Calcolare: (a) la potenza I del fascio all’uscita della lastra; [(b) l’assorbanza complessiva della lastra]

II0

n

t

Dove, dalle relazioni di Fresnel per incidenza normale:

teII R)R)(1(1 0

0.074 75.2

75.0 R

22

21

21

nn

nn

da cui: mW .625 R)-(1 02 t

OUT eII



3.5 Quando il sole è allo zenith l’intensità della radiazione solare al livello del mare è 1000 W/m 2. Calcolare l’intensità (a) appena sotto la superficie d’acqua perfettamente piana, (b) a 10 m di profondità assumendo un coefficiente di assorbimento di 0.5 10-4 cm-1.

01 R)(1 II

Dalle relazioni di Fresnel per incidenza normale:

0.02 33.2

33. R

22

21

21

nn

nncon:

da cui: 201 W/m809 R)-(1 II

212m10 W/m329 e αx III -e:


3.6 Un raggio di luce polarizzata nel piano di incidenza e proveniente da una lastra di vetro con indice di rifrazione n1 = 1.57 colpisce, con un angolo di incidenza l’interfaccia con l’aria, viene in parte riflesso mentre la parte trasmessa incide su un’altra lastra con superficie parallela alla prima e indice n2. Il raggio viene quindi rifratto all’interno della seconda lastra senza alcuna componente di riflessione. Calcolare il valore di n2

35°

n1

n2

aria

alla prima interfaccia vetro/aria si avrà:

2.64 sin

1

57.1arcsin ir θθ

ovvero:

.072 2

raria

θtgθtgnnB

alla seconda interfaccia aria/vetro si avrà evidentemente la condizione di angolo di Brewster:

ariaiBri n

n2artg θ θ θ

Esercizi numericiEsercizi numerici3.7 Un prisma isoscele di vetro, con angoli alla base = 30° e indice di rifrazione n1, è appoggiato sopra una lastra di vetro con indice di rifrazione n2 a facce piane e parallele orizzontali. Si vuole che un raggio di luce propagantesi orizzontalmente e con polarizzazione verticale sia rifratto senza alcuna riflessione all’interno del prisma e subisca riflessione totale all’interfaccia con la lastra.Che valori dovranno avere n1 e n2?

n2

n1

r

i

γ

.7321 60 tg tg 11 n

n

n

a

per la condizione di Brewster deve essere:

3090 cossin cos

sin

sin

sin 1

rrar n

n

da Snell e Brewster ricaviamo:

6090 30 180180 irquindi:

n1

n2

na

dalla condizione di angolo limite: 1.50 sin sin sin 121

2 iLi nnn

n


3.8 Un fascio di luce non polarizzata, con intensità luminosa I0 = 1 W/cm2, proviene dall’aria ed incide con un angolo i = 70° su una lastra di vetro piana di indice di rifrazione n = 1.732. Calcolare la frazione dell’intensità che viene riflessa dalla prima superficie e il tipo di polarizzazione dell’onda riflessa.

I0n

38.0

θθsin

θθsin R 2

2

ri

ri 0.03

θθt

θθt R 2

2

//

ri

ri

g

g

Trattandosi di luce non polarizzata: RR2

1 //

i

i

I

I'

86.32θ 70in 1.732

1 inθ inθ

2

1 rir ssn

nspoiché:

0.207

θθt

θθt

θθsin

θθsin

2

1

2

2

2

2

ri

ri

ri

ri

i

i

g

g

I

I'quindi:

la luce riflessa è parzialmente polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza

1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La...

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