1. CARACTERIZACIÓN DE LA EVOLUCIÓN TENDENCIAL EN SERIES ... · 1.1 Series con oscilaciones...

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Dpto. de Estadística ,Estr.Eca.y O.E.I.Universidad de Alcalá de Henares.

Técnicas avanzadas de series temporales

MODELOS ARIMA

1. Caracterización de la evolución tendencial en series económicas.1.1 Series con oscilaciones locales de nivel1.2 Series con crecimiento sistemático.

2. Caracterización de la estacionalidad en series económicas.2.1 Estacionalidad estacionaria2.2 Estacionalidad no estacionaria

3. Formulación de modelos ARIMA.

4. Metodología Box-Jenkins.

2



1. CARACTERIZACIÓN DE LA EVOLUCIÓN TENDENCIAL EN

SERIES ECONÓMICAS

3



-40

-30

-20

-10

0

10

1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

CONFIND

Indicador de Confianza de los Consumidores en la UM

145

150

155

160

165

170

1995 1996 1997 1998 1999 2000

IPC Alimentación en US

Serie con oscilaciones locales de nivel

Serie con crecimiento sistemático

4



1.1 SERIES CON OSCILACIONES LOCALES DE NIVEL

Hay dos alternativas para modelizar estas series, - La primera consiste en un modelo ARMA más constante.

- La segunda consiste en un modelo ARMA para la serie de crecimientos: Recorrido Aleatorio.

Las implicaciones de estas alternativas son muy diferentes.

Para simplificar la exposición se supondrá que el residuo es ruido blanco, aunque en general debería tener una estructura ARMA.

tt nbX +=

tttt nXXX =−=∆ −1

5



MODELO ARMA CON CONSTANTE:

tt abX +=

( )( )

ktsiXXCorrktsiXXCov

XVbXE

ktt

ktt

at

t

≠=≠=

=

=

+

+

0)(0)(

2σ

Las innovaciones no persisten.Es un proceso estacionario.

6



Diferenciación:

Diferenciar consiste en trabajar con la serie de incrementos en lugar de con la serie original.

Si el crecimiento es “homogéneo” al diferenciar desaparecerá esta característica.

-4

0

4

8

12

16

20

25 50 75 100 125 150 175 200-3

-2

-1

0

1

2

3

4

25 50 75 100 125 150 175 200

Serie simulada Primera diferencia

1−−=∆ ttt XXX

7



RECORRIDO ALEATORIO: Un recorrido aleatorio es un proceso AR(1) con parámetro autorregresivo igual a la unidad

ttt aXX += −1

Las series típicas generadas por este proceso no tienen una tendencia definida. Son series que fluctúan poco, localmente no tienen variaciones muy fuertes.• Tasa de desempleo• Tasa de Inflación• Indicadores de confianza

Es un proceso no estacionario.La primera diferencia del proceso sí es estacionaria.

8



Carácterísticas del recorrido aleatorio

Suponiendo que se genera a partir de un instante concreto, t=0 ysustituyendo recursivamente.

tt aaaXX ++++= !210

( )( )

)()(

)( 2

20

ktttXXCorr

tXXCovtXVXXE

ktt

aktt

at

t

+=

=

=

=

+

+ σσ

Estacionario en media

NO ESTACIONARIO EN VARIANZA

NO ESTACIONARIO EN COVARIANZAS

Observación: las autocorrelaciones tienden a 1 cuando t aumenta.

La persistencia de las innovaciones no disminuye en el tiempo

9



Resumen:

tt nbX +=

tt nX =∆-40

-30

-20

-10

0

10

1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

CONFIND

Indicador de Confianza de los Consumidores en la UM

Hay dos posibilidades de modelización:

A) Proceso estacionario alrededor de una constante

La varianza está acotada

B) Proceso estacionario tras diferenciar una vez

La varianza aumenta con el tiempo

10



1.2 SERIES CON CRECIMIENTO SISTEMÁTICO

Hay tres alternativas para modelizar estas series, - La primera consiste en un modelo ARMA más una tendencia determinista.

- La segunda consiste en un modelo ARMA para la serie en primeras diferencias más una constante.

- La tercera consiste en un modelo ARMA para la segunda diferencia.

Las implicaciones de estas alternativas son muy diferentes.Para simplificar la exposición se supondrá que el residuo es ruido blanco, aunque en general debería tener una estructura ARMA.

tt nbtaX ++=

tttt nbXXX +=−=∆ −1

tt nbX +=∆2

11



Resumen:

145

150

155

160

165

170

1995 1996 1997 1998 1999 2000

IPC Alimentación en EEUU

tt nbtaX ++=

tt nbX +=∆

Hay tres posibilidades de modelización:

A) Proceso estacionario alrededor de una tendencia

La incertidumbre está acotada.

B) Proceso con una diferencia y una constante

La incertidumbre no está acotada.

tt nX =∆2C) Procesos con dos diferenciasLa incertidumbre no está acotada.

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2. CARACTERIZACIÓN DE LA EVOLUCIÓN ESTACIONAL EN

SERIES ECONÓMICAS

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• Las series mensuales y trimestrales generalmente presentan dependencia con las observaciones previas, pero también con las que ocurrieron have un año

Jan. Feb. Mar. Apr. Jun. Jul. Aug.

2000199919981997

*Dependenciade meses anteriores

Pero tambiéndel mismo mesde los añosanteriores

•Dada esta dependencia estacional, la función de autocorrelación de los modelos mostrará una dependencia temporal larga que conducirá a mo-delos con valores altos de p y q.•Se simplificará con el uso de modelos multiplicativos.•La estacionalidad puede ser de carácter estacionario o no estacionario.

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2.1 ESTACIONALIDAD ESTACIONARIA

-En general, se especifica un modelo ARMA sólo en los retardos estacionales.

Presenta la misma dependencia temporal pero en los retardos estacionales.

stts XXL −=

Ejemplos:

ttt aXX += −124,0(1) 124,0 −−= ttt aaX (2)

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MODELOS ARMA MULTIPLICATIVOS

• En general, una serie temporal puede mostrar:

-dependencia regular. Descrita por un modelo ARMA regular, por ejemplo:

tt aLX )4,01( −=

-dependencia estacional. Descrita por un modelo ARMA estacional, por ejemplo:

tt aLX )5,01( 12−=

• El modelo ARMA multiplicativo, multiplica la estructura regularpor la estacional, por ejemplo:

1312112 2,05,04,0)5,01)(4,01( −−− +−−=−−= tttttt aaaaaLLX

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Función de autocorrelación de los modelos ARMA multiplicativos.

• En los primeros retardos estará la función de autocorrelación correspondiente a la parte regular del modelo.•En los retardos estacionales estará la función de autocorrelación correspondiente a la parte estacional del modelo.•A la derecha e izquierda de los retardos estacionales aparecerá la estructura regular (con el mismo signo o contrario).

FAC FAP

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2.2. ESTACIONALIDAD NO ESTACIONARIA.

• ESTACIONALIDAD DETERMINISTA.-Se trata de la inclusión en el modelo de 12 variables correspondientes a cada mes del año.

=contrariocasoen0

imeselestsi1itD

• Estas variables pueden producir multicolinealidad.• Además es conveniente que se cancele en el año.

E F M A M J J A S O N D E F M ...D1t 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ...D2t 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ...D3t 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ...

... 0 0 0 ... ...D12t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ...

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,111,itodopara12*

"=−= titit DDD

Y se incluye además una constante en el modelo.

tttt nDDX ++++= ∗∗1111110 ααα !

Para contrastar su significatividad es preciso hacer un contraste de la forma:

0: 11100 ==== ααα !H

E F M A M J J A S O N D E F M ...D*

1t 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 ...D*

2t 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 ...D*

3t 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 ...... 0 0 0 ... -1 ...

D*11t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 ...

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• DIFERENCIAS ESTACIONALES

Al igual que la diferencia regular, consiste en trabajar con losincrementos de la serie, ahora son anuales.

sttts

Ss

XXXL

−−=∆−=∆ )1(

Ejemplo:

60

70

80

90

100

110

120

130

86 88 90 92 94 96 98 00

IPIUM

-.10

-.05

.00

.05

.10

86 88 90 92 94 96 98 00

D12

20



Descomposición del polinomio s∆

)1)(1()1()1( 11211

12 LLLLULL ++++−=−=− !

111

111 ))(1(

−−

−−−

∆++∆+∆==+++−=−=∆

ttt

tttsttts

XXXXXXLXXX

!

!

•Si la serie fuese trimestral•Si la serie fuese mensual

⇒ s=4s=12⇒

En particular si la serie es mensual

12∆ Es la media de 12 crecimientos

21



FORMULACIÓN DEL MODELO ARIMA.

tsPp

sQq

tDsd a

LLLL

XLL)()()()(

)1()1(ΦΘ

=−−φθ

Número de diferenciasregulares para alcanzarla estacionariedad

Número de diferenciasestacionales para alcanzar la estacionariedad

EstructuraARMAestacionaria

22



4. METODOLOGÍA BOX-JENKINS

23



METODOLOGÍA BOX-JENKINS

ts

QqtDsds

Pp

st

aLLXLLLLTtQDPqdpARIMAX

)()()1()1)(()(

,,1),,)(,,(

Φ=−−Φ

=∀≈

θφ"

FASES:

(1) IDENTIFICACIÓN INICIAL de los parámetros y residuos del modelo p,d,q,P,D,Q.(2) ESIMACIÓN de los parámetros de los residuos del modelo.(3) VALIDACIÓN DEL MODELO.

- Si el modelo no es válido, corregir sus defectos y volver a (2).- Si el modelo es válido, usarlo para predecir.

(4) PREDICCIONES.

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(1) IDENTIFICACIÓN INICIAL

Hay que tomar 3 decisiones en el siguiente orden:

•Sobre si tomar logaritmos o no.

•Sobre el número de diferencias regulares y estacionales que convierten a la serie en estacionaria.

•Sobre el orden de los polinomios autorregresivos y de medias móviles de la estructura regular y estacional estacionarias.

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• SOBRE SI TOMAR LOGARITMOS O NO.

• La hipótesis de varianza constante se exige en las condiciones de estacionariedad del modelo, pero es frecuente observar que la varianza aumenta con el nivel de la serie. En este caso la transformaciónlogarítmica ayuda a homogeneizar su comportamiento.

• Por otro lado, las diferencias del logaritmo de la serie aproximan las tasas de variación de la serie original.

)log()1()log()log(

)log()1()log()log(

1212

12

12

11

1

tttt

tt

tttt

tt

XLXXX

XX

XLXXX

XX

−=−≈−

−=−≈−

−−

−

−−

−

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

MATRICULACION_VEHICULOS

10.6

10.8

11.0

11.2

11.4

11.6

11.8

12.0

12.2

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

LX

Matriculación de vehículos en España y

su logaritmo

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• SOBRE EL NÚMERO DE DIFERENCIAS REGULARES Y ESTACIONALES QUE CONVIERTEN A LA SERIE EN ESTACIONARIA.

• Análisis gráfico de la serie en logs. y sus diferencias.En una serie estacionaria generalmente no se deben observar pautas de

comportamiento.

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

86 88 90 92 94 96 98 00

LIPIUM

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

.4

86 88 90 92 94 96 98 00

DLIPIUM

-.12

-.08

-.04

.00

.04

.08

.12

86 88 90 92 94 96 98 00-.06

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

86 88 90 92 94 96 98 00

Ejemplo:IPI de la U.M.

27



• Desviaciones típicas de las transformaciones.

- Se puede comprobar que en una serie sobrediferenciada la varianza aumenta.

- Por tanto se seleccionará aquella transformación que minimice la varianza.

Variable Desviación TípicaLIPI=log(IPI) 0.129∆LIPI 0.116∆12LIPI 0.031∆∆12LIPI 0.017∆∆∆12LIPI 0.029

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• Correlogramas de las distintas transformaciones.

- En un correlograma estacionario la dependencia temporal debe ser cero rápidamente. Un decrecimiento demasiado lento de las autocorrelaciones indicará posibles síntomas de no estacionariedad.

- Igualmente sucede con los retardos estacionales, un decrecimiento lento de los mismos presentaría síntomas de no estacionariedad.

A continuación se presentan los correlogramas de las distintas transformaciones de la serie.

29



Correlograma LIPI Correlograma (1-L)LIPI

30



Correlograma (1-L12)LIPI Correlograma (1-L)(1-L12) LIPI

31



Contraste de Dickey-Fuller. La hipótesis nula es que el proceso tiene una raíz unitaria.

( )

τρρ

ρ

→

<−=−

+−=∆ −

01:01:1)(

1

0

1

a

a

ttat

HH

uXXa ( )

µτρρ

ρµ

→

<−=−

+−+=∆ −

01:01:

1)(

1

0

1

b

b

ttbbt

HH

uXXb ( )

ττρρ

ργµ

→

<−=−

+−++=∆ −

01:01:

1)(

1

0

1

c

c

ttcct

HH

uXtXc

0,01 0,05 0,10 0,01 0,05 0,10 0,01 0,05 0,10T=25 -2,66 -1,95 -1,60 -3,75 -3,00 -2,63 -4,38 -3,60 -3,24T=50 -2,62 -1,95 -1,61 -3,58 -2,93 -2,60 -4,15 -3,50 -3,18T=100 -2,60 -1,95 -1,61 -3,51 -2,89 -2,58 -4,04 -3,45 -3,15

t-Student -2,33 -1,65 -1,28 -2,33 -1,65 -1,28 -2,33 -1,65 -1,28

Dist. DF

Valores críticos para τ Valores críticos para τµ Valores críticos para ττTamaño muestral

∞•Los valores críticos son inferiores a los obtenidos con la inferencia estándar.•A medida que se incluyen más elementos deterministas, los valores críticos disminuyen (es más difícil rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria).•La potencia del contraste disminuye al estimar regresores adicionales.

CONTRASTES DE RAÍCES UNITARIAS

Se formula un contraste t de Student y se compara con los siguientes valores críticos

32



Para determinar los elementos deterministas a incluir en la regresión hay que realizar la siguiente secuencia de contrastes hasta que se rechace la hipótesis nula de una raíz unitaria.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) τρρµρρµ

τρρµγρργµ

τρργµ

µ

τ

011y(5)011y(4)

011y(3)011y(2)

011y(1)oEstadísticHmodeloy Paso

1t

11t

1t

31t

1t

0

=−+−=∆Φ==−+−+=∆

=−+−+=∆Φ==−+−++=∆

=−+−++=∆

−

−

−

−

−

atta

bbttbb

bttbb

ccttccc

cttccc

uyuyuy

uytuyt

33



Extensiones del contraste de Dickey-Fuller- Dickey-Fuller aumentado (ADF): Incluye más retardos para evitar correlación residual

tptpttt uyyyy ++++= −−− φφφ !2211

tptptttt uyyyyy +∆++∆+∆+=∆ −−−−*

2*

1*

1*

21φφφφ !

Número de retardos a incluir en la regresión:•Si se incluyen pocos retardos: aumenta la probabilidad de rechazar la hipótesis nula aún siendo verdadera.•Si se incluyen demasiados j: se reduce la potencia.

•Se recomienda ser generosos y asegurar la ausencia de autocorrelación residual.•Criterio de Schwert:

=

41

12 10012int Tl

34



CONTRASTES D-F AUMENTADOS DE RAÍCES UNITARIAS PARA EL LIPI DE LA U.M

ADF Test Statistic -1.794063 1% Critical Value* -4.0101LIPI=log(IPI) 5% Critical Value -3.4348

10% Critical Value -3.1411

ADF Test Statistic -2.165918 1% Critical Value* -3.4669LIPI 5% Critical Value -2.8771


ADF Test Statistic -13.25925 1% Critical Value* -2.5767√LIPI 5% Critical Value -1.9415


Contraste de Dikey- Fuller

H0: Dos raíces unitarias (se acepta en este caso)

H0: Una raíz unitaria (se acepta en este caso)

H0: Tres raíces unitarias (se rechaza en este caso)

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• CONCLUSIONES SOBRE EL NÚMERO DE DIFERENCIAS DEL LIPIUM

Técnica TransformaciónAnálisis gráfico ∆∆12

Mínima desviación típica ∆∆12

Correlogramas ∆∆12

Contrastes de raíces unitarias ∆∆12

• La transformación elegida es 12∆∆ , es decir:

tt nX =∆∆ log12

estacionario

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• SOBRE EL ORDEN DE LOS POLINOMIOS AR y MA REGULARES Y ESTACIONALES DE LA TRANSFORMACIÓN ESTACIONARIA.

- Tomar la decisión en función de los correlogramassimple y parcial de la transformación estacionaria.

- No olvidar los retardos estacionales.

Correlograma LIPILL )1)(1( 12−−

37



• VALIDACIÓN.- Contrastar los resultados de la estimación.

•Comprobar que los parámetros son significativos (distintos de cero), a partir del estadístico t asociado.

- Si I t I>2 indica que el parámetro es significativamente distinto de cero.

- Si I t I<2 indica que el parámetro es significativamente cero y por lo tanto puede ser eliminado del modelo.

38



• Comprobar la desviación típica residual (que coincide con la incertidumbre de la predicción a un período)

014,0ˆ =aσ ⇒ La predicción a un período tendrá una incertidumbre asociada de %8,2+

−

• Los criterios de Akaike y Schwarz.-Son criterios de ajuste que penalizan el ajuste obtenido según el número de parámetros empleados.- Son medidas para comparar entre modelos alternativos. Si sólo se dispone de un modelo no tiene sentido mirar estos valores.- Siempre son negativos, y cuanto más negativos mejor es el modelo.

39



• VERIFICAR LA ESTACIONARIEDAD Y LA INVERTIBILIDAD.

• Es preciso calcular las raíces inversas de los polinomios AR y MA y comprobar que todas son inferiores a la unidad.•Si esta hipótesis falla el polinomio AR indicará la necesidad deeliminar una diferencia y sustituirla por un componente determinista.

Ejemplo: tttt abXLaLXL +=−⇒−=− )1()1()1( 2

(si la serie mostraba crecimiento(dos diferencias regulares), el nuevo modelo también debe ser capaz de recogerlo).

40



• CONTRASTAR QUE LOS RESIDUOS SON RUIDO BLANCO.

• Correlogramas simple y parcial.

-Todas las correlaciones estimadas deben estar dentro de las bandas de confianza. (las primeras correlaciones y las correspondientes a frecuencias estacionales).

• Estadístico Qh de significatividad conjunta de las primeras h correlaciones.

Qh= ∑= −

+h

j

a

jTjTT

1

2 )(ˆ)1( ρ

• Este estadístico se distribuye como una chi cuadrado con h-p-q grados de libertad. Si el p-valor es muy pequeño (inferior a 0,05) indicará que el estadístico cae en la región de rechazo y los residuos no son ruido blanco)

P-VAL PEQUEÑO INDICA NO RUIDO BLANCO

41



CORRELOGRAMA DE LOS RESIDUOS DEL MODELO ESTIMADO PARA LIPI

Estos residuos no son ruido blanco

42



• ANÁLISIS GRÁFICO DE LA SERIE DE RESIDUOS.

• Comprobar visualmente que la media es 0 y que la varianza es constante.

• Un residuo muy grande muy pequeño (a más de 3 desviaciones típicas) indica la posible existencia de un comportamiento anómalo en esa fecha que debe ser tratado posteriormente.

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

-.06

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000

Residual Actual Fitted

43



• NUEVA IDENTIFICACIÓN • A la vista de los resultados de la validación del modelo se proponen mejoras y se vuelven a estimar y se validan de nuevo.

-.04

-.02

.00

.02

.04-.06-.04-.02.00.02.04.06

1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000

Residual Actual Fitted

44



• PREDICCIÓN.

• Una vez validado el modelo se realizan las predicciones con susintervalos de confianza.

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

01:07 01:09 01:11 02:01 02:03 02:05 02:07 02:09 02:11

LIPIF ± 2 S.E.

Forecast: LIPIFActual: LIPIForecast sample: 2001:07 2002:Included observations: 1

Root Mean Squared Error 0.015834Mean Absolute Error 0.015834Mean Abs. Percent Error 0.333930

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