1 แผ่นใสหน่วยที่ 4 เมตริกซ์ ...2 แผ นใสหน...

แผนใสหนวยท 4 เมตรกซเบองตน

1

สาระการเรยนร

1. สญลกษณขนาดของเมตรกซ 2. ชนดของเมตรกซ 3. การเทากนของเมตรกซ 4. การบวกเมตรกซ 5. การลบเมตรกซ 6. การคณจ านวนคงทกบเมตรกซ 7. การคณเมตรกซกบเมตรกซ


2

จดประสงคการเรยนร

1. มความรความเขาใจเรองสญลกษณ ขนาด และชนดของเมตรกซ

2. สามารถอธบายการเทากนของเมตรกซได 3. สามารถบวก ลบ เมตรกซได 4. สามารถอธบายการคณเมตรกซดวย

คาคงทและเมตรกซไปใชงานได


3

สาระส าคญ

ในการศกษาเรองเมตรกซในวชาคณตศาสตรคอมพวเตอรจะชวยใหนกเรยนมความเขาใจในเรองของกลมขอมลทสมพนธกน หรอมกระบวนการท างานทงกลมขอมลทมตอกระบวนการท างานของกลมขอมล เนองจากเมตรกซเปรยบเสมอนการใชอาเรย (Array) ในการเขยนโปรแกรมคอมพวเตอร ซงมการระบต าแหนงของขอมล (สมาชก) ไดเหมอนกน และยงมการจดเกบขอมลทเปนลกษณะ 2 มต จะชวยใหนกเรยนมพนฐานน าไปสแนวคดของระบบฐานขอมล ในคอมพวเตอรหรอบางครงเปรยบเมตรกซเสมอนไฟล หรอ แฟมขอมลทมการสมพนธกน หรออาจเรยกเปนหนงตารางในระบบฐานขอมลไดเชนกน


4

1 2 3

4 5 6 -1 0 2

1 2

เมตรกซ

หมายถง กลมของจ านวนใด ๆ ทน ามา

เรยงเปนแถวและหลกเดยวกนอยางเปนระเบยบ เปนรปสเหลยมมมฉาก ซงแตละแถวหรอแตละหลกจะประกอบดวยจ านวนขอมลเทา ๆ กน

1 2

3 4

1 2


5

จ านวนแตละจ านวนในเมตรกซ เรยกวา สมาชก (Elements) ของเมตรกซ จ านวนทอยในแนวนอนประกอบกนเปนแถว (Row) ของเมตรกซนบจากจ านวนแถวจากบนลงลาง จ านวนทอยในแนวตงประกอบกนเปนหลก (Column) ของเมตรกซ นบจ านวนหลกจากซายไปขวา


6

สญลกษณของเมตรกซ

หมายถง สงทใชบงบอกความเปน

เมตรกซ หรอการเขยนเมตรกซ อนประกอบดวยสญลกษณทมความหมายเฉพาะตว เพอน าไปสเมตรกซทสมบรณ โดยมเครองหมาย ( ) หรอ [ ] ปดลอมไว ถาเมตรกซทมสมาชก m แถว และ n หลก จะเรยกวาเมตรกซขนาด m * n


7

ก าหนดให A เปนเมตรกซ ประกอบดวย m แถว และ n หลก

a11 a12 a13 a1n แถวท 1 a21 a22 a23 a2n แถวท 2 a31 a32 a33 a3n แถวท 3 m m m m

am1 am2 am3 amn แถวท m

A =

หลกท 1 2 3 n


8

ขนาดของเมตรกซ

ขนาดของเมตรกซไมไดบอกเปนจ านวนตวเลขหรอจ านวนจรง แตบอกเปนขนาดในรปจ านวนแถวและจ านวนหลกของเมตรกซนน ๆ เชน A เปนเมตรกซทประกอบดวยสมาชก m แถว และ n หลก


9

ตวอยางท 1 จงตอบค าถามตอไปน เกยวกบเมตรกซ A

เมตรกซ A มมตเทาใด ค าตอบ 2 * 2 สมาชกในแถวท 1 หลกท 1 มคาเทาใด

ค าตอบ 3

สมาชกในแถวท 1 หลกท 2 มคาเทาใด ค าตอบ 4



3 4 5 2

A =


10

ตวอยางท 2 จงตอบค าถามตอไปนเกยวกบเมตรกซ B

เมตรกซ B มมตเทาใด ค าตอบ 3 * 3




0 0 1 1 1 3 2 3 2

B =


11








12

ชนดของเมตรกซ

โดยทวไปชนดของเมตรกซแบงออกเปน 8 ชนด ไดแก

เมตรกซแถว (Row Matrix) คอ เมตรกซทมสมาชกเพยงแถวเดยว หรอ

เมตรกซทมขนาด 1 * n เชน

A = 2 3 B = 2 3 4 C = 3 -3 2 -4


13

เมตรกซหลก (Column Matrix) คอเมตรกซทมสมาชกเพยงหลกเดยว หรอเมตรกซทมขนาด m * 1 เชน

4

5 A =

5 0 2

B =

-1 3 4

-5

C =


14

เมตรกซศนย (Zero Matrix) คอ เมตรกซทมสมาชกทกตวเปนศนยทงหมด ไมวาจะมขนาดเทาไรกตาม เขยนแทนดวยสญลกษณ 0 เชน

0

0 A =

0 0

0 0 B =

0 0

0 0

0 0

C =


15

เมตรกซจตรส (Square Matrix) คอเมตรกซทมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลกหรอเมตรกซทมขนาด n * n หรอเมตรกซขนาด n เชน

เสนทแยงมมหลกของ A คอ 1, 7 เสนทแยงมมหลกของ B คอ 3, 6, 5 เสนทแยงมมหลกของ C คอ 1, 3, 1, 1

A =

1 5

-5 7

3 2 5 4 6 3

-2 -1 5

B =

C =

1 2 3 4 4 3 2 1 3 2 1 4 2 3 4 1


16

เมตรกซเฉยง (Diagonal Matrix) คอ เมตรกซจตรสทมสมาชกไมอยบนเสนทแยงมมหลกเปนศนยทงหมด สวนสมาชกเสนทแยงมมหลกจะเปนศนยหรอไมกได เชน

A =

1 0

0 2

1 0 0 0 2 0 0 0 4

B =

C =

3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2


17

สเกลารเมตรกซ (Scalar Matrix) คอเมตรกซเฉยงทมสมาชกในต าแหนงเสนทแยงมมหลกมคาเทากนทงหมด

A =

2 0

0 2

3 0 0 0 3 0 0 0 3

B =

C =

4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4


18

เมตรกซเอกลกษณ (Identity Matrix)

คอ เมตรกซเฉยงทมสมาชกในต าแหนงเสนทแยงมมหลกมคาเปน 1 ทงหมด เขยนสญลกษณแทนดวย I เชน

A =

1 0

0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

B =

C =

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1


19

เมตรกซสามเหลยม (Triangular Matrix)

แบงออกไดเปน 2 รปแบบ คอ 1. เมตรกซสามเหลยมบน

(Upper Triangular Matrix) คอ เมตรกซจตรสทมสมาชกในต าแหนงใตเสนทแยงมมหลกมคาเปน 0 ทงหมด เชน

A =

1 2

0 1

2 3 -2 0 5 6 0 0 7

B =

C =

2 -2 2 3 0 4 3 2 0 0 1 2 0 0 0 7


20

2. เมตรกซสามเหลยมลาง (Lower Triangular Matrix)

คอ เมตรกซจตรส ทมสมาชกในต าแหนงเหนอเสนทแยงมมหลกมคาเปน 0 ทงหมด เชน

A =

1 0

2 1

2 0 0 3 5 0 5 6 7

B =

C =

2 0 0 0 3 4 0 0 3 2 1 0 0 6 2 7


21

การเทากนของเมตรกซ

เมตรกซ 2 เมตรกซจะเทากนกตอเมอ เมตรกซทงสองมขนาดเทากน และมสมาชก

ในต าแหนงเดยวกนเทากนทกคา


22

ตวอยางท 3 ก าหนดให

04

11622

A

025.0

44B

เมตรกซ A เทากบ เมตรกซ B

เพราะ o ขนาดของเมตรกซ A และเมตรกซ B ม

ขนาดเทากน คอ 2 X 2 o สมาชกในต าแหนงเดยวกนมคาเทากนทกค


23

ตวอยางท 4 ก าหนดให

904

512

601

A

756

010

621

B

714

502

601

C

756

010

421

D

จากสงทก าหนดใหจะเหนวา

1. เมตรกซA,B,C และD มขนาดเทากน คอ 3 x 3 2. เมตรกซ ABC เพราะสมาชกในต าแหนง เดยวกนไมเทากน

3. B = D เพราะสมาชกในต าแหนงเดยวกน เทากนทงหมด


24

ตวอยางท 5 จงหาคา X, Y และ Z ทท าใหเมตรกซ A = B เมอก าหนดให

252

221

652

261

z

y

B

xA


25

วธท า จากคณสมบตการเทากนของเมตรกซ A + B จะได

1226

62

32

6

62

022

22

62

62

22

z

z

y

y

x

x

z

y

x


26

ดงนน คา X มคาเทากบ 0 คา Y มคาเทากบ -3 คา Z มคาเทากบ 12


27

และ

การบวกเมตรกซ

ก าหนดใหเมตรกซ และเมตรกซ

nmijij baBA

2221

1211

aa

aaA

2221

1211

bb

bbB

22222121

12121111

baba

babaBA

nmijaA

nmijbB


28

ขอสงเกต ในการบวกเมตรกซใด ๆ จะตองมเงอนไข ดงน 1. เมตรกซทงสองจะตองมขนาดเทากน 2. ใหน าสมาชกในต าแหนงเดยวกนมาบวกกนเปนค ๆ ในครบทกค

3. ผลบวกของเมตรกซจะมขนาดเทากบขนาดของ 2 เมตรกซเดม


29

และเมตรกซ

การลบเมตรกซ

ถา A เปนเมตรกซใด ๆ และ K = -1 แลว จะได KA = (-1)A ซงก าหนดใหเขยน (-1)A = -A ก าหนดใหเมตรกซ

nm ijaA

nm

ijbB

nmijij ][][ baBA


30

ตวอยาง

2221

1211

aa

aaA

และ

2221

1211

bb

bbB

A - B =

2221

1211

2221

1211)1(

bb

bb

aa

aa

=

2221

1211

2221

1211

bb

bb

aa

aa

=

)()(

)()(

22222121

12121111

baba

baba

=

22222121

12121111

baba

baba

ขอสงเกต จะเหนไดวา A - B กคอการน าสมาชกในต าแหนงเดยวกนมาลงกนเปนค ๆ นนเอง


31

ตวอยาง จงหา A – B เมอก าหนดให

654

321A

450

132B

วธท า

A - B =

450

132

654

321

=

46)5(504

1332)2(1

=

2104

213


32

ตวอยาง จงหาคา A - B เมอก าหนดให

35

23A

32

53B

วธท า

A – B =

32

53

35

23

=

)3(3)2(5

5233

=

03

76


33

การคณดวยคาคงทกบเมตรกซ

ถา nmijaA

และ K เปนจ านวนใดๆ แลว

nmijKaK

นนคอการคณจ านวนคงท กบเมตรกซ ใหน าคาคงทเขาไปคณสมาชกทกตวของเมตรกซ


34

ตวอยาง ก าหนดให

41

05

32

A

จงหาคา 4A, - 2A วธท า

4A =

164

020

128

4414

0454

3424

41

05

32

-2A =

82

010

64

4212

0252

3222

41

05

32


35

การคณเมตรกซกบเมตรกซ

ถา nmijaA

และ nmijbB

แลวผลคณ A x B =

nmijcC

โดยท Cij หาไดจากการน าสมาชกแถวท i ของ A คณกบสมาชกในหลกท j ของ B

nJin2ji21ji1ij bababaC


36

ขอสงเกต 1. A คณกบ B ไดกตอเมอจ านวนหลกของ

A เทากบจ านวนแถวของ B และผลลพธ C จะมขนาด = (แถวของ A) (หลกของ B) 2. รายละเอยดการคณ AB

ไดมาจากใหน าแถวของ A คณกบหลกของ B ใหครบทกค แตละคจะไดสมาชกของ C เพยง 1 จ านวนเทานน

3. การคณในแตละคในขอ 2 ใหน าสมาชกในแถวท 1 ของ A มาคณกบสมาชกทอยในล าดบเดยวกนในหลกท j ของ B เรยงตามล าดบ แลวน าผลคณแตละคมาบวกกน


37

เชน ก าหนดให

A =

2221

1211

aa

aa

, B =

2221

1211

bb

bb

B =

2221

1211

aa

aa

2221

1211

bb

bb

=

2221

1211

cc

cc


38

c11 ไดจากน าแถวท 1 ของ A คณกบหลกท 1 ของ B, c11 = a11 b11 + a12 b21 c12 ไดจากน าแถวท 1 ของ A คณกบหลกท 2 ของ B, c11 = a11 b12 + a12 b22

c21 ไดจากน าแถวท 2 ของ A คณกบหลกท 1 ของ B, c21 = a21 b11 + a22 b21

c22 ไดจากน าแถวท 2 ของ A คณกบหลกท 2 ของ B, c22 = a21 b12 + a22 b22


39

ตวอยางท 12

ก าหนดให

2

1,2 BAA

จงหาคา A B วธท า

2

124BA

= [4 (-1) + (-2)2] = [-4 -4] = [-8]


40


ก าหนดให A = [2 3], B =

61

54


A B =

6

532

1

432

= [2 (4) + 3 (1) 2 (5) + 3 (6)] = [11 28]


41


ก าหนดให A =

2

3

5

, B = [-8 3 2 1]


A B =

12223282

13233383

15253585

=

24616

36924

5101540

1 แผ่นใสหน่วยที่ 4 เมตริกซ์ ...2 แผ นใสหน...

Documents

Transcript of 1 แผ่นใสหน่วยที่ 4 เมตริกซ์ ...2 แผ นใสหน...