TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE

VASQUEZ VIDAL DAVIDMENDOZA SEGURA JOELMENDOZA ENCISO GERARDOMENDOZA SEGURA JESUS2011-10-13En la ms conocida y usada de las transformadas integrales. Se ha mostrado de una gran utilidad a la hora de resolver multitud de problemas de la ciencia y tecnologa, aplicndose de manera efectiva al estudio de temas fundamentales como teora de vibraciones, circuitos electrnicos, bsqueda de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales, estudio de la conductividad del calor, ecuacin de onda, soluciones de problemas de valor de fronteras, etc.

NOTAS PARA LOS ALUMNOS DEL CURSO DE MATEMATICAS IV

TANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA Y DE LA INTEGRA

Ing. Salinas Aquije Tefilo w.

Facultad de Ingeniera ElectrnicaUniv. De Ciencias y Humanidades09/10/2011

INDICE

BIOGRAFIA 4

Perfil .... 5 Hiptesis Nebular ... 6 Teora de la probabilidad . 7 Aportaciones de Laplace ... 9 Aportaciones en anlisis matemtico . 12 Aportacin en la electricidad y magnetismo 13 Aportaciones al algebra 14

INTRODUCCION .. 15

TRANSFORMADA DE LAPLACE 16 Definicin 16 Propiedades .. 17TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE . 22EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE .. 23 Problemas . 26

TRANSFORMADA DE L. DE DERIVADAS E INTEGRALES 27 E.D. PROBLEMAS CON VALOR INICIAL 31METODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE .. 34TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA INTEGRAL ... 36TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 39PROBLEMAS DE CALCULO DE LA T.L ... 44LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SUS APLICACIONES . 48BIBLIOGRAFIAS 56

PIERRE SIMON LAPLACEBIOGRAFIAMatemtico y astrnomo francs que a los 24 aos se le llam "el Newton de Francia" por algunos de sus descubrimientos. Entre 1799 y 1825 su gran obra, "Traite du Mcanique Celeste", la cual, como su autor estableci "ofrece una completa solucin al gran problema mecnico que presenta el sistema solar", apareci en cinco volmenes, y fue publicado en Pars. En su segunda gran obra "Exposition du systeme du monde", Pars 1796, apareci su famosa "hiptesis nebular", cuyo origen l parece atribuir a Buffon, aparentemente no sabe que Immanuel Kant se le haba adelantado parcialmente en su obra "Allgemeine Naturgeschichte", Historia General de la Naturaleza, publicada en 1755.

Laplace, resumi en un cuerpo de doctrina los trabajos separados de Newton, Halley, Clairaut, d'Alembert y Euler acerca de la gravitacin universal, y concibi, acerca de la formacin del sistema planetario, la teora que lleva su nombre.Sus trabajos sobre fsica, especialmente los estudios sobre los fenmenos capilares y el electromagnetismo le permitieron el descubrimiento de las leyes que llevan su nombre. Se interes tambin por la Teora de la Probabilidad y por la Teora de funciones potenciales, demostrando que algunas de ellas eran soluciones de ecuaciones diferenciales

PERFIL

Laplace prob la estabilidad del sistema solar. En anlisis Laplace introdujo la funcin potencial y los coeficientes de Laplace.Dio especial importancia a la teora de la probabilidad.Asisti a la Escuela Prioral Benedictina en Beaumont, de los 7 a los 16 aos. A la edad de 16 aos ingres en la Universidad de Caen, para estudiar teologa. Escribi sus primeros artculos matemticos mientras estudiaba en dicha universidad.Al cumplir los 19 aos, principalmente por la influencia de d'Alembert, fu designado para cubrir una plaza de matemticas en la Escuela Real Militar de Pars, bajo la recomendacin de d'Alembert.En 1973, lleg a ser miembro de la Academia de Ciencias de Pars. En 1785, actuando como miembro del tribunal del Cuerpo de Artillera Real, examin y aprob al joven de 16 aos Napolen Bonaparte.Durante la Revolucin Francesa, ayud a establecer el Sistema Mtrico.Ense Clculo en la Escuela Normal y lleg a ser miembro del Instituto Francs en 1795. Bajo el mandato de Napolen fu miembro del Senado, y despus Canciller y recibi la Legin de Honor en 1805.Aunque intervino en poltica en tiempos de Napolen, se pas al bando de Luis XVIII, quien lo nombr marqus y par.Sin embargo, Napolen, en sus memorias escritas en Santa Elena, dice que ces a Laplace de su puesto despus de slo seis semanas porque: "trajo el espritu de lo infinitamente pequeo al Gobierno".Laplace lleg a ser conde del Imperio en 1806 y fu nombrado Marqus en 1817 despus de la restauracin de los Borbones. En sus ltimos aos vivi en Arcueil, donde ayud a fundar la Sociedad de Arcueil, potenciando la investigacin de los jvenes cientficos.

HIPOTESIS NEBULAR

Laplace present su famosa hiptesis nebular en "Exposition du systeme du monde" en 1797, que formulaba que el sistema solar se cre de la contraccin y enfriamiento de una gran nube aplastada de gas incandescente que giraba lentamente.Su exposicin del sistema del mundo contiene la hiptesis cosmognica segn la cual una nebulosa primitiva habra ocupado el emplazamiento actual del sistema solar rodeando como una especie de atmsfera un ncleo fuertemente condensado, a temperatura muy elevada y girando alrededor de un eje que pasara por su centro; el enfriamiento de las capas exteriores, unido a la rotacin del conjunto habra engendrado en el plano ecuatorial de la nebulosa unos anillos sucesivos, mientras que el ncleo central formara el Sol.La materia de cada uno de los anillos dara por condensacin en uno de sus puntos un planeta, que por el mismo procedimiento, engendrara los satlites: el anillo de Saturno sera un ejemplo de esta fase intermedia.Laplace descubri la invariabilidad de los movimientos medios planetarios. En 1786 prob que las excentricidades e inclinaciones de las rbitas planetarias entre s, siempre permanecen pequeas, constantes y adems se autocorrigen. Estos resultados aparecen en la mayor de sus obras "Trait du Mcanique Cleste" publicado en cinco volmenes a lo largo de 26 aos (1799-1825).

LAPLACE Y LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD

Laplace tambin trabaj en la Teora de la Probabilidad, y en particular dedujo el mtodo de los mnimos cuadrados. Su "Thorie Analitique des Probabilits" se public en 1812.La primera formulacin explcita del concepto de leyes del azar se debe al famoso matemtico y fsico Cardano, quien en 1526 establece, por condiciones de simetra, la equiprobabilidad de aparicin de las caras de un dado a largo plazo. Tambin se conserva un fragmento de Galileo, respondiendo a un jugador que le pregunt por qu es ms difcil obtener 9 tirando tres dados que obtener 10, que pone de manifiesto que comprendi claramente el mtodo de calcular probabilidades en el juego de dados. Sin embargo, tardaron todava en aparecer los primeros tratados sobre el tema.El caballero de Mer plante a los principales matemticos de la poca diversos problemas relativos a juegos de azar, dando origen a numerosa correspondencia entre Pascal y Fermat. El principal de los problemas planteados consista en cmo repartir equitativamente la apuesta entre jugadores de la misma destreza cuando se decide abandonar la partida antes de que finalice (situacin que se daba muy a menudo, ya que el juego era ilegal). La condicin que ambos jugadores acordaban al iniciar el juego era que ganaba la partida el primero en conseguir un determinado nmero de puntos. Antes de Pascal y de Fermat nadie haba establecido principios y mtodos de resolucin de problemas en los que interviniera el azar. Podemos, por tanto,citar a Laplace:Es evidente que el reparto debe hacerse proporcionalmente a las respectivas probabilidades de ganar, las cuales dependen del nmero de puntos que resten para ganar la partida. Ambos matemticos abordaron el problema usando distintos mtodos. El mtodo de Pascal consista en el empleo de la ecuacin en diferencias con el fin de determinar las probabilidades sucesivas de los jugadores, pasando de los nmeros ms pequeos a los siguientes. Este mtodo estaba restringido al caso de dos jugadores. El de Fermat, en cambio, se poda extender a un nmero cualquiera de jugadores, estando basado en combinaciones. Pascal crey en un principio que deba estar, como el suyo, restringido a dos jugadores, lo que motiv una discusin entre ellos. Finalmente Pascal reconoci la generalidad del mtodo de Fermat.Huyghens reuni los diversos problemas que ya haban sido resueltos junto con algunos otros en un pequeo tratado que es el primero que apareci sobre este tema y que lleva por ttulo "De Ratiociniis in ludo aleae", que fue editada por N. Bernouilli. Posteriormente se ocuparon de ellos varios gemetras: Huddes y el pensionista Witt en Holanda y Halley en Inglaterra se centraron en estudios sobre la vida humana. Halley public en las Philosophical Transactions de 1693 una memoria titulada "An Estimate of the Degrees of The Mortality of Mankind, drawn from curious tables of the Births and Funerals at the City of Breslaw", donde aparece la primera tabla de mortandad.Por la misma poca, Jacques Bernouilli propuso a los gemetras diversos problemas de probabilidad cuyas soluciones ofreci despus. Escribi su obra "Ars Conjetandi" que no pudo ver publicada cuando muri en 1706. No se publica hasta 1713, con un prefacio de su sobrino Nicols. La obra est dividida en cuatro partes. La primera contiene una reimpresin y un comentario a la obra de Huyghens. La segunda est dedicada a la teora de las combinaciones y permutaciones. La tercera consiste en la resolucin de diversos problemas relativos a juegos de azar. La cuarta es una aplicacin de la teora de la probabilidad a problemas de economa y moral.

LAS APORTACIONES DE LAPLACE

En prcticamente todos las ciencias, los ltimos aos del siglo XVII y todo el siglo XVIII estuvieron determinados por la obra de Isaac Newton. Varios fueron los campos a los que Newton dedic su inters, realizando aportaciones de extraordinario inters en varios de ellos. Podemos enumerar por su especial importancia los siguientes:1. El enunciado del principio de gravitacin universal. Gracias a l se dispona de un marco global para estudiar los fenmenos astronmicos.1. El enunciado de las leyes fundamentales de la dinmica, con lo que establece una teora comn para explicar fenmenos que haban sido objeto de estudios fragmentarios e incompletos como pndulos, planos inclinados, mareas, trayectorias de mviles, etc.1. El descubrimiento del Clculo Diferencial como herramienta para abordar una gran diversidad de problemas. Es considerado el logro cientfico ms importante de la poca, y posiblemente de todos los tiempos, que debemos conjuntamente a Newton y Leibnitz.Durante los aos siguientes los cientficos de todo el mundo se vieron recorridos por una fiebre mecanicista, alentada por la sucesin de proezas cientficas conseguidas. Se tena la fe intuitiva en la regularidad y el orden peridico con que se cumplen los fenmenos naturales. Se esperaba que la ciencia desvelara todos los milagros y explicara todos los secretos. Bastara con conocer lo que hubiera ocurrido en el pasado para poder predecir lo que ocurrira en el futuro.Sin embargo, las predicciones realizadas por las teoras de Newton deban ser contrastadas empricamente, disponindose de aparatos de medida muy rudimentarios. Surge, por tanto, el problema de los errores de medicin. Se dispona de una serie de medidas independientes de una determinada magnitud fsica y se presentaba el interrogante de cmo combinarlas para obtener un resultado ms preciso. Este problema ya haba sido tratado por los astrnomos desde la Antigedad, pero la novedad era que haba un modelo terico al que deban ajustarse los datos.Lagrange public, en las "Mmoires" de Turn un bello mtodo para determinar el valor a elegir a partir de un conjunto de observaciones, supuestas conocidas las distribuciones de los errores. Esta limitacin fue eliminada por Laplace.Laplace public en 1812, un siglo despus del de Bernouilli, un gran tratado, titulado "Thorie Analytique des probabilits". Esta obra es el compendio del trabajo realizado por Laplace anteriormente y contenido en una serie de memorias presentadas ante la Academia de Ciencias en el periodo comprendido entre 1770, cuando contaba veintin aos, y el momento de la supresin de la misma. Laplace no se limita a ocuparse de problemas de probabilidades discontinuas, que son los que corresponden a los juegos de azar, sino que sigue la lnea de Buffon y se encarga tambin de estudiar problemas de probabilidades geomtricas o continuas, donde el nmero de casos posibles se corresponden con los del nmero de puntos sobre un plano. Adems se ocupa de las probabilidades de las causas de los acontecimientos, siguiendo la lnea de Bayes.A l le corresponde, adems, el mrito de haber descubierto y demostrado el papel desempeado por la distribucin normal en la teora matemtica de la probabilidad. Sus aportaciones en este campo pueden cifrarse en dos: por un lado la creacin de un mtodo para lograr aproximaciones de una integral normal; por otro su descubrimiento y demostracin de lo que ahora se llama el teorema central del lmite. En 1781 ide un mtodo que expuso en su "Mmoire sur les probabilits" que ms tarde en su memoria "Sur les approximations des formules qui sont fonctions de trs grands nombres" le permiti lograr aproximaciones de diversas distribuciones de probabilidad. El enunciado y demostracin del teorema central del lmite estn contenidas en su "Mmorie sur les approximations des formules qui sont fonctions de trs grands nombres et sur leur application aux probabilits".Previamente haba escrito un trabajo divulgativo y filosfico, resultado del desarrollo de una leccin que imparti en 1795 en las Escuelas Normales que llevaba por ttulo "Essai Philosophique sur les probabilits" en el que resume en un lenguaje no tcnico los resultados ms destacados a que se haba llegado en este campo. Este ensayo fue publicado en primer lugar como introduccin de la "Theorie Analytique" y posteriormente fue editada por separado.En el problema de hallar el valor exacto de una magnitud a partir de varias observaciones, Laplace descubri que si las observaciones eran lo suficientemente numerosas, no era necesario conocer la distribucin de los errores, tal y como postulaba Lagrange. Cotes haba dado una serie de reglas para el caso en que haya solamente un elemento a determinar, que fue seguida por todos los calculistas. Sin embargo, cuando haca falta determinar varios elementos, no haba regla fija, por lo que proceda mediante una serie de tanteos. Fue para evitar estos tanteos por lo que Legendre y Gauss concibieron la idea de sumar los cuadrados de los primeros miembros de las ecuaciones que planteaban Cotes y de hallar el mnimo de dicha suma. Laplace demuestra la bondad de este mtodo ya que los valores as determinados poseen propiedades de las que carecen los obtenidos por otros mtodos.El estudio por parte de Gauss de la Teora de los errores le lleva al estudio de la distribucin de probabilidad de errores, con lo que llega a la distribucin Normal, hasta entonces obtenida como aproximacin de otras distribuciones. Junto con el mtodo de mnimos cuadrados, el estudio de la distribucin normal fue la principal aportacin de Gauss al Clculo de Probabilidades. El renombre que posea Gauss entre sus contemporneos contribuy a la difusin de estos mtodos. Es por ello por lo que su nombre ha quedado asociado con el de esta curva.Durante la primera mitad del siglo XIX, los cientficos utilizan la teora de errores en distintas ramas del saber, ampliando sus resultados. Una de las primeras aplicaciones de la curva normal fue debida a Bessel en 1818, que comprob que los errores de medida de 300 medidas astronmicas coincidan con bastante aproximacin a los previstos por Gauss mediante la curva normal. Bravais es el primero en considerar la relacin entre errores de medida dependientes entre s, Pierce propone el primer criterio para rechazar observaciones heterogneas con el resto y Newcomb introduce la estimacin robusta. En lo referente a la recopilacin de datos estadsticos, Laplace recoge en su obra que varios sabios, entre los que cita a Deparcieux, Kersseboom, Wargetin, Dupr de Saint-Maure, Simpson, Sulmich, Price y Duvillard, reunieron gran nmero de datos acerca de los nacimientos, los matrimonios y la mortandad, ofreciendo frmulas relativas a rentas vitalicias, seguros, etc.

APORTACIONES EN ANALISIS MATEMATICO

Asimismo, estudi las ecuaciones diferenciales y la geodesia. As, es muy conocida la famosa ecuacin diferencial de Laplace. Una ecuacin del tipo Nabla cuadrado de f = 0 siendo Nabla cuadrado un operador laplaciano. Llamamos Laplaciano, u operador de Laplace, a un operador para un campo escalar que se simboliza como Nabla cuadrado, definido en coordenadas cartesianas rectangulares. Est definido siempre que existan todas las derivadas parciales del segundo miembro.Conocemos la Transformada de Laplace, como una transformacin que asocia a cada funcin real una funcin compleja, designada generalmente por L(f). Esta transformada tiene aplicaciones muy interesantes, como la resolucin de ciertas ecuaciones diferenciales, y el estudio de problemas con condiciones de contorno. Se utiliza frecuentemente en anlisis de circuitos elctricos y en servosistemas.En colaboracin con Antoine Lavoisier dirigi experimentos sobre la accin capilar y sobre el calor especfico. Estableci la relacin que expresa la presin capilar ejercida sobre una superficie lquida curvada. Este resultado se conoce en fsica como la Ley de Laplace. Realiz junto a Lavoisier las primeras medidas calorimtricas relativas a los calores especficos y a las reacciones qumicas. Estableci la frmula de las transformaciones adiabticas de un gas, y la utiliz en la expresin de la velocidad de propagacin del sonido.

APORTACIONES EN ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Contribuy a la fundacin de la ciencia matemtica de la electricidad y el magnetismo.Estableci las leyes relativas a los campos magnticos y a las corrientes elctricas que circulan bajo su influencia. La primera ley establece la fuerza ejercida por un campo magntico sobre un elemento diferencial de un circuito por el que circula una corriente de intensidad.La segunda, tambin llamada ley de Ampre, establece el campo magntico creado por un elemento diferencial de un conductor recorrido por una corriente de intensidad en un punto que est en una posicin determinada respecto del elemento del circuito.Aparatos de electricidad y magnetismo. Rueda de Barlow.

APORTACIONES AL ALGEBRA

Laplace public varios artculos sobre matrices y determinantes. En 1772 dijo que los mtodos introducidos por Cramer y Bezout eran inservibles, y en un artculo en el que estudi las rbitas de los planetas plante la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales sin calcularla realmente, usando determinantes. Sorprendentemente, Laplace us la palabra "resultante", para lo que hoy llamamos determinante. Es curioso, ya que es la misma palabra que us Leibniz, aunque Laplace seguramente no conoca su obra. Laplace obtuvo el desarrollo de un determinante que ahora lleva su nombre.

OTROS DATOS DE INTERES: Trabaj en relatividad general, rbitas y gravitacin.

Pierre S. Laplace fue elegido miembro de la "Royal Society" de Londres en 1789.

Como curiosidad, existe una calle en Pars, denominada "Rue Laplace".

Otra curiosidad, es que existe un relieve en la Luna, llamado "Promontorium Laplace".

INTRODUCCION

En esta leccin presentamos un nuevo procedimiento para la resolucin de ecuaciones y sistemas lineales con coeficientes constantes: el mtodo de la transformacin de Laplace, que ser especialmente adecuado para el caso no homogneo con condiciones iniciales en el origen.

El uso del concepto de transformacin de Laplace es un elemento central del anlisis y eldiseo de sistemas en la ingeniera. Este tipo de mtodos, tambin llamados mtodos operacionales, fue propuesto por el ingeniero ingls O. Heaviside (18501925) para resolver las ecuaciones diferenciales que aparecen en el estudio de los circuitos elctricos ya que permiten pasar de una ecuacin diferencial a una ecuacin algebraica. Usando estas ideas, Heaviside fue capaz de resolver problemas sobre la propagacin de la corriente elctrica a lo largo de cables que no podan ser resueltos usando los mtodos clsicos. Si bien los mtodos operacionales demostraron ser muy potentes en sus aplicaciones, fueron catalogados como poco rigurosos. Ello puede explicar que el reconocimiento de las aportaciones de Heaviside llegara tardamente. La transformacin de Laplace, introducida por P.S. Laplace un siglo antes en sus estudios sobre probabilidad, fue posteriormente utilizada para proporcionar una base matemtica slida al clculo operacional de Heaviside.

La idea es trasladar el problema desde el espacio original de las funciones y(t) soluciones de la ecuacin diferencial el dominio del tiempo al espacio de sus transformadas Y (s) el dominio de la frecuencia donde el problema se expresa en trminos de resolver una ecuacin algebraica lineal, cuya solucin deber ser anti transformada para obtener la solucin de la ecuacin diferencial original. El mtodo de la transformacin de Laplace, en razn de su capacidad para algebrizar los problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, es ampliamente utilizado en la teora de circuitos y en la teora de sistemas lineales de control. Estas aplicaciones se estudian a fondo en las asignaturas correspondientes, nosotros daremos una somera introduccin al estudio de los sistemas lineales en ingeniera, presentando el concepto bsico de funcin de transferencia.

TRANSFORMADA DE LAPLACEDEFINICION Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

I. DEFINICION.-La idea bsica del llamado Clculo Operativo consiste en establecer una correspondencia funcional o transformacin de modo que si a una funcin f(x) dadale corresponde un conjunto L[f(x)] de operaciones, o un conjunto de ecuacionesL[f(x)]=0, a la funcin transformada correspondiente F(s) le corresponder elconjunto de operaciones L[F(s)] o bien un conjunto de ecuaciones L[F(s)]=0.

La utilidad de esta correspondencia funcional se manifiesta cuando el conjunto deoperaciones, L[F(s)], o de ecuaciones transformadas L[F(s)]=0 es de ms sencillaresolucin que las operaciones correspondientes L[f(x)], o ecuaciones correspondientes L[f(x)]=0 en la funcin original f(x). Pueden ser ideadas, obviamente, mltiples reglas de transformacin. En particular han resultado efectivas las llamadas transformadas integrales, por la que se define la funcin transformada F(s) como una integral de la funcin original f(x) multiplicada por alguna funcin arbitraria de las variables x y s que se denomina en general Ncleo de la transformacin:

Sea f(t) una funcin real definida en el intervalo (-, +) tal que f(t)=0 si tr, y suDerivada f(t) al menos continua a tramos. Si es L[f (t)] = F(s) , se verifica queL[ f '(t)]= s.F(s) f (0)En efecto:

v. Propiedad de la transformacin de la n-sima derivada:

Si es L[f (t)] = F(s) y son f(t), f(t),...,f(n-1)(t) continuas para 0 t N y de ordenExponencial para t>N, y es asimismo f(n)(t) al menos continua a tramos para0 t N, se verifica que:

En efecto: podemos hacer la demostracin por induccinPara Para

Supongamos la frmula cierta para el valor n=k-1 a fin de probar que, entonces,Sera tambin cierta para n=k:

Veamos que ha de ser cierta para n=k. Por la propiedad 5 se tendr que:

Por tanto:

ALGUNAS FUNCIONES f(t) Y SUS TRANSFORMADAS DE LA PLACE L(f)F(t)L(f)

F(t) L(f)

1

1

6

2 t

7

3

8

4

5

9

10

EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACEPara concluir esta seccin, se dir algo sobre la existencia de la transformada de la place. En trminos generales e intuitivos, la situacin es la siguiente. Para una s fija la integral de (1) existir si el integrando completo tiende a cero con la rapidez suficiente cuando ; Por ejemplo, al menos como una funcin exponencial con un exponente negativo. Se motiva as la desigualdad.En el teorema de existencia subsecuente. No es necesario que la funcin f(t) sea continua. Esto es de importancia prctica ya que las entradas discontinuas (fuerzas impulsoras) son justamente aquellas para las que el mtodo de la transformada de la place resulta de particular utilidad. Basta requerir que f(t) sea continua por secciones en cada intervalo finito del rango t>0.Por definicin un funcin f(t) es continua por secciones (o seccionalmente continua) en un intervalo finito est definida en ese intervalo y es tal ke el intervalo puede subdividirse en un numero finito de intervalos, en cada uno de los cuales f(t) es continua y tiene lmites finitos cuando t tiende desde al interior a cualquiera de los puntos extremos del intervalo de subdivisin. De esta definicin se sigue que un nmero finito de saltos son las nicas discontinuidades que puede tener una funcin continua por secciones; estas se conocen como discontinuidades ordinarias. A continuacin veremos un ejemplo, evidentemente, la clase de las funciones continuas por secciones incluye a toda funcin continua. TEOREMA 2: DE EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea f(t) una funcin que es continua por secciones en todo intervalo finito del semieje y que satisface.

Y para las constantes . Entonces la transformada de Laplace de f(t) existe para toda DEMOSTRACION: Puesto que f(t) es continua por secciones, es integrable en cualquier intervalo finito sobre el eje t. A partir de (2), suponiendo que , se obtiene

Donde la condicin fue necesaria para la existencia de la ultima integral. Se termina as la demostracin.Las condiciones del teorema 2 son suficientes para la mayora de las aplicaciones y es sencillo averiguar si una funcin dada satisface una desigualdad de la forma (2)

POR EJEMPLO:

Y cualquier funcin que este acotada en valor absoluto para toda , como las funciones seno y coseno de una variable real, satisface esa condicin. Un ejemplo de una funcin que no satisface una relacin de la forma (2) es la funcin exponencial , ya que sin importar lo grande que se elijan ,

Donde es un nmero suficientemente grande que depende de . debe observarse que las condiciones del teorema 2 son suficientes pero no necesarias. Por ejemplo la funcin es infinita en t=0, pero su transformada existe; de hecho, a partir de la definicin y de se obtiene.

UNICIDAD. Si la transformada de Laplace de una funcin dada existe, se encuentra determinada de manera nica. Recprocamente, puede demostrarse que si dos funciones (ambas definidas en el eje real positivo) tienen la misma transformada, estas funciones no pueden diferir en un intervalo de longitud definida, aun cuando pueden hacerlo en varios puntos aislados. Puesto que esto no es de importancia en las aplicaciones, puede decirse que la inversa de una transformada, son por completo idnticas. Desde luego, esto es de importancia practica.

PROBLEMAS

1. Encontrar la transformada de la place de las siguientes funciones (a,b,t,w son constantes)

a) b) c) d) e)

2. Encontrar

a) b) c) d) e) TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS E INTEGRALES

En esta seccin se discuten y aplican las propiedades ms importantes de la transformada de Laplace, a saber, que, en trminos generales, le derivacin de funciones corresponde a la multiplicacin de transformadas por S y que la integracin de funciones corresponde a la divisin de transformadas entre S. por tanto, la transformada de Laplace reemplaza las operaciones del calculo con operaciones de algebra con transformadas. Esta, en resumidas cuentas, es la idea bsica de Laplace, por la cual merece admiracin.El programa para la siguiente seccin es el siguiente. El teorema 1 se refiere a la derivacin de f(t), el teorema 2 a la aplicacin a derivadas superiores y el teorema 3 a la integracin de f(t).

TEOREMA 1: TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA DE f(t) Suponer que f(t) es continua para toda , que satisface , para algunas , y que tiene una derivada f (t) que es conocida por secciones en todo intervalo finito del semieje . Entonces la transformada de Laplace de la derivada f(t) existe cuando s >, y

DEMOSTRACION: se considera primero el caso en que f(t) es continua para toda . Entonces por la definicin y al integrar por partes,

Puesto que f satisface , la porcin integrada del segundo miembro es cero en el lmite superior cuando s >, y en el lmite inferior es f(0). La ultima integral es L(f), siendo la existencia para s > una consecuencia del teorema 2. Se demuestra as que la expresin del segundo miembro existe cuando s >, y la igualdad (1) es vlida.Cuando la derivada de f(t) solo es continua por secciones, la demostracin es muy similar; en este caso, el rango de integracin en la integral original debe descomponerse en partes tales sea continua en cada una de ellas.NOTA: este teorema puede extenderse a funciones f(t) continuas por partes, pero el lugar de (1) se obtiene la formula (1*) Al aplicar (1) a la segunda derivada se obtiene

Es decir:

De manera similar,

TEOREMA 2: TRANSFORMADA DE LA PLACE DE LA DERIVADA DE CUALQUIER ORDEN n

Sean f(t) y sus derivadas funciones continuas para toda , que satisfacen (2), para alguna , y sea la derivada (t) continua por secciones en todo intervalo finito en el semieje . Entonces la transformada de Laplace de existe cuando s >, y est dado por.

EJEMPLO 1: Sea

EJEMPLO 2:

Obtener la transformada de Laplace de

. A partir de lo anterior y de (2).

Se procede de la misma forma para . Entonces . Y

EJEMPLO 3: .

EJEMPLO 4:

De donde por .

Usando la frmula para la transformada de Laplace de se obtiene

Por lo tanto el resultado es:

ECUACIONES DIFERENCIALES, PROBLEMAS CON VALOR INICIAL

Se considera un problema con valor inicial:

Con a y b constantes. Aqu r(t) es la entrada (fuerza impulsora) aplicada al sistema y Y(t) es la salida (respuesta del sistema). En el mtodo de Laplace se siguen 3 pasos.

PRIMER PASO: se transforma por medio de (1) y (2) visto anteriormente, escribiendo , se obtiene as:

Y se le llama la ecuacin subsidiaria. Agrupando los trminos en Y se obtiene

SEGUNDO PASO: al dividir entre y usar la llamada funcin de transferencia

Se obtiene como solucin de la ecuacin subsidiaria

Si , esta expresin se reduce a Y=RQ; por tanto, Q es el cociente

Y esto explica el nombre de Q. obsrvese que Q solo depende de a y b, pero no de r(t) ni de las condiciones iniciales.

TERCER PASO: se reduce (generalmente por fracciones parciales, como en calculo integral) a una suma de trminos cuyos inversos pueden encontrarse en la tabla, de donde la solucin que se obtiene de es Y(t)=(y).

EJEMPLO 5: Resolver

PRIMER PASO:Por se obtiene la ecuacin subsidiaria.

SEGUNDO PASO:La funcin de transferencia es

TERCER PASO:A partir de esta expresin Y y por la tabla de transformaciones

En el diagrama se resume el enfoque aplicado.Espacio t espacio s

METODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En la practica, en lugar de justificar el uso de las formulas y los teoremas en este metodo, tan solo se comprueba al final si y(t) satisface la ecuacion y las condiciones iniciales dadas.Las ventajas del metodo, en comparacion con el del capitulo 2 e ilustradas por el ejemplo, son las siguientes:1. No es necesario determinar una solucin general de la ecuacin homognea.2. No es necesario determinar los valores de las constantes arbitrarias de una solucin general.Problemas con datos trasladados es una manera abreviada para nombrar los problemas con valor inicial en los que las condiciones iniciales se refieren a un instante posterior en lugar del tiempo t=0. La idea se explica resolviendo un problema por la transformada de Laplace en trminos de un ejemplo sencillo.

EJEMPLO 6: problemas con datos trasladadosResolver el problema con valor inicial

Solucin. Por inspeccin se observa que es una solucin general y se sabe cmo debera procederse a partir de este hecho para asarse cargo de las condiciones iniciales. Lo que quiere aprenderse es como puede aplicarse la transformada de Laplace aun cuando y(0) y no se conozcan.

PRIMER PASO: establecimiento de la ecuacin subsidiaria.

SEGUNDO PASO: solucin de la ecuacin subsidiaria. Al resolverla algebraicamente y usando fracciones parciales se obtiene

TERCER PASO: solucin del problema dado se obtiene en la forma

Por tanto B=-A. al derivar.

Por la segunda condicin inicial,

Se obtiene as A=1, B=-1 y la respuesta

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCION

Puesto que la derivacin y la integracin son procesos inversos y como, en trminos generales, la derivacin de una funcin corresponde a la multiplicacin de su transformada por ^s^, sera de esperarse que la integracin de una funcin correspondiente a la divisin de su transformada entre s, dado que la divisin es la operacin inversa de la multiplicacin.

TEOREMA 3: TRANSFORMADA DE LA PLACE DE LA INTEGRACION DE f(t)Si f(t) es continua por secciones y satisface una desigualdad de la forma (2)

DEMOSTRACION: suponer que f(t) es continua por secciones y que satisface (2), para alguna . Evidentemente, si (2) es vlida para alguna negativa, tambin es vlida para positiva y puede suponerse que es positiva. Entonces la integral

Es continua y aplicando (2), se obtiene.

Con eso demuestra que g(t) tambin satisface una desigualdad de la forma (2). Asimismo, , salvo en los puntos en que f(t) es discontinua. Por tanto, es continua por secciones en todo intervalo finito y, por el teorema 1.

Aqu, desde luego, g(0)=0, de donde L(f)=sL(g). esta igualdad implica (8).La ecuacin (8) tiene un correlato til, que se obtiene al escribir , intercambiando ambos miembros y tomando la transformada inversa en los dos miembros. Entonces

EJEMPLO 7: Una aplicacin del teorema 3

Solucin: se tiene

A partir de esta expresin y del teorema 3 se obtiene la respuesta

EJEMPLO 8:Otra aplicacin del teorema 3

Solucin: al aplicar el teorema 3 a la respuesta del ejemplo 7 se obtiene la formula deseada

TRANSFORMADAS INVERSAS DE LA PLACE

Supongamos que una funcin F de la variable compleja s es analtica en todo el plano excepto en un numero finito de singularidades aisladas. Sea un segmento recto vertical desde , donde la constante es positiva y suficientemente grande para que todas las singularidades de F estn a la izquierda del segmento. Definimos una nueva funcin f de la variable real t, para valores positivos de t, como

Supuesto que ese lmite existe. La expresin (1) se suele escribir asi:

Se puede demostrar, bajo condiciones muy generales impuestas sobre las funciones involucradas, que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s). en otras palabras, si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), definida como

Y

Entonces f(t) se recupera mediante la ecuacin (2), donde la eleccin del nmero es irrelevante siempre que todas las singularidades de f estn a la izquierda de . Las transformadas de Laplace y sus inversas son importantes en la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales.Muchas veces se puede evaluar el lmite en (1), para una funcin F(s) especificada, usando residuos. Para ver cmo, denotemos para las singularidades de F(s). Sea el mayor de sus mdulos y consideremos una semicircunferencia parametrizada por

Donde . Ntese que, para cada,

Por tanto, todas las singularidades estn en el interior de la regin semicircular limitada por , y por el teorema de los residuos de CAUCHY sabemos que

Supongamos ahora que para todos los puntos s de existe una constante tal que , donde tiende a cero cuando R tiende al infinito.Usando la parametrizacion (4) para podemos escribir

Entonces, como

Vemos que

La sustitucin , junto con la desigualdad de Jordn

As pues, (6) se convierte en

Y esto implica que

Haciendo tender R al infinito en (5) vemos que la funcin f(t), definida por (1), existe y puede expresarse como

En muchas aplicaciones de la transformada de Laplace, por ejemplo, en la resolucin de las ecuaciones en las derivadas parciales que aparecen en el anlisis de la conduccin del calor y de las vibraciones mecnicas, la funcin F(s) es analtica en todo el plano s excepto en un conjunto infinito de puntos singulares situados a la izquierda de cierta recta vertical . A menudo, el mtodo expuesto para hallar f(t) puede ser modificado de manera tal que la suma finita (9) sea reemplazada por una serie infinita de residuos:

La modificacin bsica consiste en sustituir los segmentos rectos verticales por segmentos rectos verticales . Entonces los arcos circulares se sustituyen por arcos circulares desde hasta tales que, para cada N, la suma sea un camino cerrado simple que encierra los puntos singulares una vez probado que

La eleccin de los caminos depende de la funcin F(s). Con frecuencia se toman arcos circulares, parablicos o contornos de rectngulos. Adems, el camino cerrado simple no tiene por qu encerrar exactamente N singularidades. Por ejemplo, cuando la regin y contiene dos puntos singulares de F(s), el par de residuos correspondientes de se agrupan como un nico termino en la serie (10). Dado que suele ser muy tedioso establecer el lmite (11), lo aceptaremos sin verificacin en los ejemplos y ejercicios con un nmero infinito de puntos singulares. As pues, nuestro uso de (10) ser formal.EJEMPLOS: Vamos a hallar la funcin f(t) que corresponde a

Las singularidades de F(s) son los puntos conjugados

Escribiendo

Vemos que es analtica y no nula en . por tanto, es un polo de orden .Adems, en los puntos donde F(0) es analtica. En consecuencia, es tambin un polo de orden 2 de F(s) y de (2) se sigue que

Donde son los coeficientes en la parte principal

De F(s) en (ai). Estos coeficientes se calculan fcilmente con ayuda de los dos primeros trminos de la serie de TAYLOR para centrada en :

Se comprueba sin dificultad que , luego y . por tanto (6) se convierte en

Podemos concluir que

PROBLEMAS DE CALCULO DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE

1. Se desea obtener la transformada de Laplace de la funcin

con n = 2 y f(t) = F(s) =

2. Se desea obtener la transformada de Laplace de la funcin

3. Aplicacion a un circuitoEl circuito de la figura, en el que la fuente es contina y son datos las caractersticas de todos los elementos, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posicin del interruptor. Una vez producido ste, ya no experimenta ms cambios.

Se desea obtener v(t) para t > 0.Para cualquier instante se tiene

esto indica que la fuente slo se aplica para t > 0

Sustituyendo (2) en (1) se obtiene:

Aplicando a (3) la transformacin de Laplace de acuerdo con lo indicado en las tablas anteriores, se obtiene:

Teniendo en cuenta que para t < 0 no haba energa almacenada en el circuito (los elementos pasivos estaban desconectados de la excitacin), v(0-) = 0 V, con lo que (4) queda en la forma

de donde puede deducirse

La funcin temporal buscada es la transformada inversa de Laplace de V(s). Ms adelante se indicar cmo obtener transformadas inversas de Laplace.

4. Se desea obtener la transformada inversa de Laplace de la funcin

Para comprobar que la expansin en fracciones parciales ha sido bien hecha se evalan los dos miembros de la ltima ecuacin para s = - 2.77 (una de las races del numerador de la funcin) y se obtiene que ambos son nulos.

Utilizando los contenidos de las tablas de transformadas se llega a

TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SUS APLICACIONES

Hay diversas aplicaciones que se le dan a la transformada de Laplace, pero en mi caso y en general de mi grupo, mostraremos la aplicacin de la transformada de Laplace en el CONTROL DE PROCESOS.I. CONTROL DE PROCESOSEl objeto de todo proceso industrial ser la obtencin de un producto final, de unas caractersticas determinadas de forma que cumpla con las especificaciones y niveles de calidad exigidos por el mercado, cada da ms restrictivos. Esta constancia en las propiedades del producto slo ser posible gracias a un control exhaustivo de las condiciones de operacin, ya que tanto la alimentacin al proceso como las condiciones del entorno son variables en el tiempo. La misin del sistema de control de proceso ser corregir las desviaciones surgidas en las variables de proceso respecto de unos valores determinados, que se consideran ptimos para conseguir las propiedades requeridas en el producto producido. El sistema de control nos permitir una operacin del proceso ms fiable y sencilla, al encargarse de obtener unas condiciones de operacin estables, y corregir toda desviacin que se pudiera producir en ellas respecto a los valores de ajuste.Las principales caractersticas que se deben buscar en un sistema de control sern:1. Mantener el sistema estable, independiente de perturbaciones y desajustes.2. Conseguir las condiciones de operacin objetivo de forma rpida y continua.3. Trabajar correctamente bajo un amplio abanico de condiciones operativas.4. Manejar las restricciones de equipo y proceso de forma precisa.

POR QUE ES NECESARIO CONTROLAR UN PROCESO?La implantacin de un adecuado sistema de control de proceso, que se adapte a las necesidades de nuestro sistema, significar una sensible mejora de la operacin. Principalmente los beneficios obtenidos sern: Incremento de la productividad Mejora de los rendimientos Mejora de la calidad Ahorro energtico Control medioambiental Seguridad operativa Optimizacin de la operacin del proceso/ utilizacin del equipo Fcil acceso a los datos del proceso

QUE ES UN SISTEMA DE CONTRO?Lossistemas de controlsegn la TeoraCibernticase aplican en esencia para losorganismosvivos, lasmquinasy lasorganizaciones. Estos sistemas fueron relacionados por primera vez en 1948 porNorbert Wieneren su obraCiberntica y Sociedadcon aplicacin en la teora de los mecanismos de control. Un sistema de control est definido como un conjunto de componentes que pueden regular su propia conducta o la de otro sistema con el fin de lograr un funcionamiento predeterminado, de modo que se reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados. Hoy en da los procesos de control son sntomas del proceso industrial que estamos viviendo. Estos sistemas se usan tpicamente en sustituir un trabajador pasivo que controla una determinado sistema ( ya sea elctrico, mecnico, etc. ) con una posibilidad nula o casi nula de error, y un grado de eficiencia mucho ms grande que el de un trabajador. Los sistemas de control ms modernos en ingeniera automatizan procesos en base a muchos parmetros y reciben el nombre deControladores de Automatizacin Programables (PAC).

Los sistemas de control deben conseguir los siguientes objetivos:1. Ser estables y robustos frente a perturbaciones y errores en los modelos.2. Ser eficiente segn un criterio preestablecido evitando comportamientos bruscos e irreales.En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse: En el mbito domstico Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios En transportacin Controlar que un auto o avin se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta En la industria Controlar un sinnmero de variables en los procesos de manufactura En aos recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez ms importante en el desarrollo y avance de la civilizacin moderna y la tecnologa. Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria: tales como control de calidad de los productos manufacturados, lneas de ensamble automtico, control de mquinas-herramienta, tecnologa espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robtica y muchos otros

Ejemplos de procesos automatizados Un moderno avin comercial Satlites

Control en automvil

TRANSFORMADA DE LA PLACE

POR QUE TRANSFORMADA DE LAPLACE?En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinmicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemticamente el comportamiento de un proceso. El comportamiento dinmico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinmico lineal:

La transformada de Laplace es una herramienta matemtica muy til para el anlisis de sistemas dinmicos lineales. De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformacin en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinmicos, se puede proceder a disear y analizar los sistemas de control de manera simple.El proceso de diseo del sistema de controlPara poder disear un sistema de control automtico, se requiere: Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuacin diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes fsicas, qumicas y/o elctricas. A esta ecuacin diferencial se le llama modelo del proceso. Una vez que se tiene el modelo, se puede disear el controlador.

CONOCIENDO DEL PROCESO: MODELACIN MATEMTICAEn el campo de lasciencias aplicadas, unmodelo matemticoes un tipo de modelo cientfico que utilizaalgn formulismo matemticopara expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parmetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones.Estosmodelosse utilizan para analizar los comportamientos desistemas complejosante situaciones que resultan difciles de observar en la realidad.En las matemticas propiamente dichas, un modelo matemtico es unconjunto sobre el cual se han definido relaciones unarias, binarias y trinaras, y que permite satisfacer las proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de lateora. La teora de los modeloses la rama de la matemtica que se dedica al estudio sistemtico de las propiedades de los modelos.Los modelos matemticos pueden dividirse endeterministas(no hay incertidumbre respecto a la forma del resultado y los datos utilizados son completamente conocidos y determinados) yestocsticos(son modelos probabilsticos, ya que no se conoce el resultado esperado sino su probabilidad).EJEMPLO 1: Suspensin de un automvilPara reducir los efectos incmodos de las irregularidades del camino, losautomvilesestn dotados de un sistema de suspensin. El objetivo de este sistema es evitar que estas oscilaciones se transmitan a los pasajeros o la carga. Esto se logra a travs de un conjunto de uniones elsticas bien elaboradas que constituyen el sistema de suspensin.

El sistema de suspensin comienza en el mismoneumtico, capaz de "alisar" las irregularidades ms pequeas del camino, debido a su propia naturaleza elstica, y termina en el asiento, ltimo eslabn de la cadena camino-pasajero

El rol de la transformada de LaplaceConvirtiendo Ecs. Diferenciales a Ecs. Algebraicas

EJEMPLO 2: Circuito elctrico

El rol de la transformada de LaplaceConvirtiendo Ecs. Diferenciales a Ecs. Algebraicas

BIBLIOGRAFIAS

VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES JAMES WARD BROWN/RUEL V. CHURCHILL

MATEMATICAS AVANSADA PARA INGENIERIA KREYSZIG.

TRANSFORMADA DE LAPLACEPgina 7