09 Analisis de Mallas

7/23/2019 09 Analisis de Mallas

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INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE FSICA Y MATEMTICASDEPARTAMENTO DE INGENIERA Y CIENCIAS SOCIALES

CIRCUITOS ELCTRICOS

Lectura 5: Anlisis por mallas

INTRODUCCIN:

Para resolver circuitos elctricos con 2 o ms fuentes de energa y 2 o ms elementos pasivos

(resistores, bobinas o capacitores) interconectados entre s, se pueden utilizar varias tcnicas

segn sean las caractersticas del circuito y la o las variables que se deseen conocer. Entre los

mtodos que se utilizan se pueden mencionar:

- Anlisis de mallas

- Anlisis de nodos

- Transformacin de Fuentes

- Divisores de Voltaje y Corriente- Superposicin

- Teorema de Thevenin

- Teorema de Norton

En el curso se revisarn cada uno de las tcnicas anteriores. En sta ocasin analizaremos circuitos

elctricos usando el mtodo por mallas.

CONCEPTOS:

Red elctrica o circuito elctrico: Es un conjunto de conductores, resistencias, fuerzaselectromotrices y contraelectromotrices, unidos entre si de forma arbitraria, de manera que por

ellos circulan corrientes de distintas o iguales intensidades.

Nodo: Es la unin de dos o ms terminales de diferentes elementos de un circuito, representa la

conexin elctrica de ellos.

Rama:Es la parte de una red comprendida entre dos nodos consecutivos y recorrida por la misma

intensidad de corriente.

Lazo:Es una trayectoria cerrada a travs de las ramas de una red, que pasa a lo ms una vez por

cada nodo.

Malla: Es un lazo que no puede subdividirse en

lazos o ms simples; tambin se puede decir que

una malla es toda trayectoria cerrada (circuito

conductor) que se obtiene partiendo de un nodo y

volviendo a l, sin pasar dos veces por una misma

rama.

La siguiente figura representa una red:

Fig. 1 Circuito Elctrico


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FUENTES DE ENERGA:

Una fuente de energa es un elemento que tiene la capacidad de introducir energa a un sistema,

tomndola del exterior, por esta razn se dice que las fuentes ya sea de tensin o de corriente son

elementos activos de un circuito. Se tienen dos tipos de fuentes:

Fuentes de voltaje independiente:

Esta fuente entrega una tensin cuyo valor es independiente de la

corriente que entrega; es decir, entrega un voltaje constante para

cualesquier valor de carga.

. Fig 2. Fuente de Voltaje

Fuente de corriente independiente:

Esta fuente entrega una corriente constante cuyo valor es

independiente de la tensin.

Fig. 3 Fuente de Corriente

CONSIDERACIONES:

Dos fuentes de tensin conectadas en serie son equivalentes a una fuente de tensin,

cuyo voltaje es la suma algebraica de los dos voltajes componentes.

Fig. 4 Fuentes de voltaje en serie


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Dos fuentes de corriente conectadas en paralelo son equivalentes a una fuente de

corriente, cuyo valor es la suma de las dos corrientes componentes.

Fig. 5 Fuentes de Corriente en Paralelo

Una fuente de tensin en paralelo con una fuente de corriente son equivalentes a la

fuente de tensin nicamente.

Fig. 6 Fuentes de Corriente y Voltaje en Paralelo

Una fuente de tensin en serie con una fuente de corriente son equivalentes a la fuente

de corriente nicamente.

Fig. 7 Fuentes de Corriente y Voltaje en Serie

Dos fuentes de tensiones idnticas, conectadas en paralelo, son equivalentes a la fuente

de mayor tensin entre ellas.


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Fig. 8 Fuentes de Voltaje en Paralelo

Dos fuentes de corriente idnticas, conectadas en serie, son equivalentes la fuente de

mayor corriente entre ellas.

Fig. 9 Fuentes de Corriente en Serie

Una fuente de tensin con un elemento pasivo conectado en paralelo, es equivalente a la

fuente de tensin actuando sola.

Fig 10 Fuente de voltaje en paralelo con elemento pasivo (resistencia).

Una fuente de corriente en serie con un elemento pasivo, es equivalente a la fuente de

corriente actuando sola.

Fig 11 Fuente de corriente en serie con elemento pasivo (resistencia).

Una fuente de tensin en serie con un elemento pasivo es equivalente a una fuente de

corriente con el mismo elemento pasivo conectado en paralelo.


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Fig. 12 Fuente de voltaje con elemento pasivo en serie y fuente de corriente

con elemento pasivo en paralelo.

Anlisis de mallas

El anlisis de mallas se puede aplicar solo a redes

planas. Una red plana es aquella donde ninguna

rama se cruza con otra rama. Cuando dos ramas se

cruzan, el circuito se tiene que construir en dos

planos para evitar el cruce de las conexiones. En la

figura 13 se muestra un ejemplo de red no plana. En

cambio, la red mostrada en la figura 14 es plana. La

tcnica de mallas est basada en el concepto de

malla, concepto que se defini en el capituloanterior. De hecho el concepto de malla es una

propiedad de los circuitos planos y no existe en un

circuito no plano. Fig 13. Red no plana

Procedimiento para utilizar el anlisis de mallas

1. Dibujar claramente el circuito y asegurarse que es plano.

2. Asociar a cada malla una corriente, todas apuntando en la misma direccin y etiquetarlas como

i1, i2, i3, ...

3. En cada malla aplicar la LKV y obtener una ecuacin de malla para cada malla. Recorrer la malla

en el sentido asignado a las corrientes i1, i2, i3, ... y aplicar la siguiente regla: A todos los voltajes en

cada elemento de la malla, asignarle el signo de la terminal que aparece primer o, considerando

que en un elemento pasivo la terminal por donde entra la corriente siempre es positiva respecto a

la terminal por donde sale la corriente. Las fuentes de voltaje tienen asignado el signo en forma

explcita. De aqu resultan tantas ecuaciones de malla como mallas tenga el circuito. En aquellos


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elementos que forman parte de dos mallas, la corriente que circula por ellos es igual a la

diferencia de las corrientes asignadas a las mallas.

4. Si el circuito tiene fuentes de corriente, existen dos opciones:

(a)

Si la fuente de corriente forma parte de una sola malla, entonces el valor de la

corriente de malla asignada a dicha malla se obtiene directamente del valor que tenga

la fuente de corriente

(b)

Si la fuente de corriente forma parte de dos mallas, formar una supermalla, que

consiste de las dos mallas de las que la fuente de corriente forma parte y de dicha

supermalla obtener dos ecuaciones. Una ecuacin relaciona directamente las doscorrientes de malla con la fuente de corriente y la otra ecuacin se obtiene de aplicar

la ley de Kirchoff a la supermalla.

Aplicar (a) o (b) tantas veces como fuentes de corriente formen parte del circuito. De las mallas

que no contienen fuente de corriente se obtiene una ecuacin aplicando la ley de Kirchoff de

voltajes.

5.Las ecuaciones de malla son independientes, ya que ninguna se puede obtener en funcin de la

otra, de modo que si el circuito tiene n mallas, se tiene un sistema de n ecuaciones con n

incgnitas. En general la solucin se puede obtener utilizando alguna de las tcnicas para resolver

sistemas de ecuaciones tal como el mtodo de los determinantes, el mtodo de Gauss Jordan, etc.

6. Una vez que se tienen las corrientes de malla, para cada elemento del circuito se puede obtener

la corriente que pasa por ellos, se pueden calcular la diferencia de potencial en sus extremos, y

tambin se puede calcular la potencia que consume o absorbe. Es decir, se puede calcular

cualquier parmetro elctrico.

Ejemplo 1

Considrese el circuito de la

figura y calcular, utilizando la

tcnica de mallas, las corrientes

que circulan por las tres

resistencias

Fig 14. Ejemplo 1


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Solucin:

Paso 1:Se dibuja el circuito y se asegura que es plano.

Paso 2. Se asigna una corriente de malla a cada malla. En este caso se tienen dos mallas y se

supondr que i1 pasa por la

malla de la izquierda e i2 pasa por

la malla de la derecha.

Supondremos adems que

ambas corrientes circulan en el

sentido de las manecillas del

reloj. Vase la figura 15.

Recuerda que la corriente

siempre va de un potencial

positivo a uno negativo.

Fig. 15 Designacin de mallas.

Paso 3.Se aplica la ley de Kirchhoff de voltajes (LKV) a cada malla. La malla asociada a i1 se recorre

en el mismo sentido que tiene la corriente y se obtiene

-42 + 6i1+ 3(i1i2) = 0

Esta ecuacin tiene tres trminos, tantos como elementos forman parte de la malla. La malla se

recorre siguiendo la trayectoria cerrada ABCFA. En la rama AB, se tiene una fuente de voltaje (42

V) y en la ecuacin se le asigna el signo negativo porque es el signo que tiene la terminal

conectada al punto A, que es el inicio del recorrido de la malla. El siguiente termino (6i1) es el

asociado a la rama BC, donde se tiene una resistencia de 6 y por donde solo circula la corriente

i1. Se le asigna el signo positivo porque de acuerdo con el sentido de la corriente, la parte de la

resistencia conectada al nodo B es positiva respecto al nodo C. El siguiente trmino es 3(i1i2) y se

le asigna el signo positivo por la misma razn anterior. Agrupando trminos, la ecuacin anterior

queda como:

9i1-3i2= 42

Aplicando la LKV a la malla asociada a la corriente i2, y recorriendo la malla siguiendo la ruta

cerrada FCDEF, se obtiene:

3(i2i1)+4i2-10=0

o bien


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-3i1+ 7i2= 10

Paso 4. Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene i1= 6 A e i2= 4 A.

Paso 5. La corriente que pasa por la resistencia de 3 es i1i2= 2 A. La corriente que pasa por la

resistencia de 6 es 6 A; y la corriente que pasa por la resistencia de 4 es i2= 4 A.

Ejemplo 2

Utilice la tcnica de mallas para calcular las corrientes de malla en el circuito de la figura 16.

Fig. 16 Ejemplo 2

Solucin:

Los pasos 1 y 2 dejan al circuito como se muestra en la figura 17.


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Fig. 17 Circuito sealando supermalla.

Paso 3. Se aplica la ley de Kirchoff a la malla 3 debido a que la malla 1 y la malla 2 comparten una

fuente de corriente y su estudio se pospone al paso 4. Recorriendo la malla 3 siguiendo la

trayectoria cerrada GCDEG, se obtiene la ecuacin

1(i2-i1)+2i2+3(i2-i3)=0

es decir

-i1+6i2-3i3=0

Paso 4. Las mallas 1 y 3 comparten una fuente de corriente. Esto define la supermalla cuyo

trayectoria cerrada se puede tomar como ABCGEFA. Las ecuaciones que se obtiene de esta

supermalla son las siguientes

I1-i3=7

-7+(i1-i2)+3(i3-i2)+1i3=0

es decir

i1-4i2+4i3=7Paso 5. Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que:

i1= 9A

Supermalla


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i2=2.5A

i3= 2A

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