08 modul-6 nopw

Modul 6

Penggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi

Drs. Wahyu Widayat, M.Ec

ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika

untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang

menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh

sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan

memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teori-

teori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat

dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi non-

linier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi,

karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi

yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaan-

persamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat

dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk

fungsi permintaan dan penawaran.

Dalam modul ini dijelaskan cara membuat grafik fungsi non-linier,

sehingga persamaan-persamaan yang ditampilkan pada modul-modul

berikutnya dapat digambarkan secara cepat tanpa menggunakan titik-titik

yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang terlalu banyak.

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu:

a. mendemonstrasikan pembuatan grafik berbagai macam bentuk fungsi

non-linier;

b. menjelaskan sifat-sifat berbagai bentuk fungsi non-linier;

c. menunjukkan perbedaan fungsi permintaan dan penawaran yang

disajikan dalam bentuk persamaan kuadratik;

d. menghitung harga dan jumlah keseimbangan;

e. menghitung kepuasan seorang konsumen dengan menggunakan konsep

kurva indifference;

F

PENDAHULUAN

6.2 Matematika Ekonomi 1 ”

f. menghitung kombinasi jumlah barang yang diminta dengan

menggunakan konsep garis anggaran.

” ESPA4112/MODUL 6 6.3

P

S

D

0 Q

Kegiatan Belajar 1

Fungsi Permintaan dan Penawaran

ada bab sebelumnya telah dibahas tentang fungsi permintaan dan fungsi

penawaran yang merupakan fungsi linear. Secara grafis, fungsi

permintaan dan penawaran dapat ditunjukkan juga oleh fungsi non-linear

seperti berikut:

Gambar 6.1 Kurva permintaan dan penawaran

Pada gambar di atas, sumbu vertikal menunjukkan harga (P) dan sumbu

horisontal menunjukkan jumlah (Q), sedang fungsi permintaan maupun

penawaran, keduanya ditunjukkan oleh garis lengkung. Mengingat bahwa

keinginan seseorang untuk membeli suatu barang akan bertambah bila

harganya turun dan keinginan seseorang untuk menjual suatu barang akan

bertambah bila harganya naik, maka dari gambar kedua kurva di atas dengan

mudah dapat ditebak bahwa kurva yang menurun adalah kurva permintaan

dan kurva yang menaik merupakan kurva penawaran. Kurva permintaan

dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola atau hiperbola, sedangkan

kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola. Dalam ilmu

ekonomi, umumnya seseorang tidak akan meninjau harga dan jumlah barang

yang nilainya negatif, sehingga bagian kurva yang berlaku dan digunakan

adalah bagian kurva permintaan dan penawaran yang berada di kuadran satu.

Melalui gambar di bawah ini dapat dilihat bahwa kurva permintaan

dapat merupakan bagian dari parabola yang sumbunya dapat sejajar dengan

sumbu vertikal maupun sumbu horisontal dan kurvanya bisa terbuka ke atas

P


maupun ke bawah atau terbuka ke kiri maupun ke kanan. Meskipun demikian

setiap bentuk kurva ini mempunyai ciri-ciri sendiri yang satu sama lainnya

berbeda.

Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu P (sumbu

vertikal) bentuk persamaan umumnya dapat ditulis sebagai berikut:

(Q - h)

2 = 4p (P - k)

P P

p < 0

h ≤ 0 p > 0

k > 0 (a) h > 0

k ≤ 0

0 Q 0 Q

P P

p < 0 (c) (d)

h > 0

k < 0

p > 0

h ≤ 0

k > 0

0 Q Q

Gambar 6.2 Grafik Bentuk-bentuk Kurva Parabola

Pada gambar (a), parabola terbuka ke bawah berarti p < 0. Titik vertex

(h, k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P. Ini berarti nilai h

≤ 0 dan k > 0.

Gambar (b) menunjukkan parabola yang terbuka ke atas. Parabola

macam ini mempunyai p > 0 dan titik vertex (h,k) yang terletak di kuadran

keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q (sumbu horisontal) jadi h > 0


dan k ≤ 0. Ada dua potongan kurva yang terletak di kuadran pertama yaitu

bagian kurva yang menaik dan menurun. Namun untuk kurva permintaan

yang dipakai adalah potongan kurva yang menurun. Nilai Q yang berlaku

mempunyai batas yaitu 0 < Q < Q1, dan Q1 terletak pada potongan kurva

yang menurun.

Bentuk parabola yang ditunjukkan oleh gambar (c) dan (d) adalah

parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q (sumbu horisontal) dan

bentuk umumnya adalah

(P - k)2 = 4p(Q - h)

Pada gambar (c), parabola terbuka ke kiri yang berarti p < 0 dan titik

vertex terletak di kuadran keempat dan mungkin juga terletak di sumbu Q.

Titik vertex (h,k) di kuadran keempat ditunjukkan oleh h > 0 dan k < 0.

Gambar (d) adalah gambar parabola yang terbuka ke kanan dengan P

> 0. Titik vertex bisa berada di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P.

Titik vertex (h,k) yang berada di kuadran kedua, ditandai oleh nilai h ≤ 0

dan k > 0. Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa bagian parabola yang

berada di kuadran pertama ada dua potong, yakni bagian kurva yang menaik

dan potongan kurva yang menurun. Mengingat sifat kurva permintaan yang

selalu menurun, maka bagian kurva yang digunakan untuk kurva permintaan

adalah potongan parabola yang menurun. Dengan demikian maka nilai P

yang memenuhi batas adalah 0 < P < P1, di mana P1, terletak pada kurva

yang menurun.

Contoh 6.1:

Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:

21P = 11 - Q - Q

4

Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut:

4P = 44 - 4Q - Q2 + 4 – 4

atau

Q2 + 4Q + 4 = 4P + 48

(Q + 2)2 = -4(P - 12)


maka:

P = -1, h = -2, k = 12

Perpotongan dengan sumbu vertikal (P) terjadi untuk Q = 0 dan P = 11.

Perpotongan dengan sumbu horisontal (Q) terjadi untuk P = 0 dan

Q1 = -2 + 4 3 P

Q2 = -2 - 4 3

p = 11 – Q - 21 Q

2

0 Q

Contoh 6.2:


21P Q 4Q 20

5= − +

Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut:

2

2

2

1Q 4Q 20 P

5

Q 20Q 100 5P

5(Q 10) 4. (P 0)

4

− + =

− + =

− = −

Jadi p = 5

4, h = 10, k = 0 dan titik vertex berada di sumbu Q.

Perpotongan dengan sumbu P terjadi bila Q = 0, jadi untuk Q = 0, maka P

=20.

Perpotongan dengan sumbu Q terjadi bila P = 0, jadi untuk P = 0 makaQ= 10.


20

14

12

10

8

6

4

2

0

2 4 6 8 10

Kurva permintaan adalah 1

P Q 4Q 205

= − + untuk 0 < Q < 10

Contoh 6.3:


21Q 15 P P

4= − −

Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara:

2

2

2

2

1P P 15 Q

4

P 4P 60 4Q

P 4P 4 4Q 64

(P 2) 4(Q 16)

+ − =−

+ − =−+ + =− +

+ =− −

Jadi P = -1, h = 16, k = -2.

Dari persamaan 21Q 15 P P

4= − − , bila P = 0, maka Q = 15 dan bila Q = 0,

maka P1 = 6 dan P2 = -10.


Contoh 6.4:


2P 20P 5Q 100 0− − + =

Persamaan ini dibawa ke bentuk umumnya:

2

2

P 20P 100 5Q

(P 10) 5(Q 0)

− + =− = −

Jadi 5

P ,4

= h = 0, k = 10, titik vertex di sumbu P.

Kurva memotong sumbu Q bila P = 0 dan Q = 20.


P

10

0

20 Q

Di atas telah disebutkan bahwa kurva permintaan dapat merupakan bagian

dari hiperbola yang asimtotnya sejajar dengan sumbu horisontal dan sumbu

vertikal. Seperti pada parabola, maka hiperbola yang dipakai sebagai

permintaan adalah bagian yang berada di kuadran pertama. Gambar grafik

dari hiperbola yang bagiannya merupakan permintaan dapat dilihat pada

gambar berikut ini:

Y Y

0 (a) Q 0 X

Gambar 6.3 Grafik Kurva Permintaan dari Hiperbola


Dari dua grafik di atas dapat dilihat bahwa titik pusat parabola terletak di

kuadran pertama atau di kuadran ketiga. Sesungguhnya tidak ada batasan

untuk letak titik pusat parabola. Bila pada kuadran pertama terdapat dua

bagian hiperbola yang masing-masing menurun dari kiri atas ke kanan

bawah, maka kurva yang akan dipilih, sangat ditentukan oleh permasalahan

yang sedang dihadapi.

Contoh 6.5:


QP + 2P = 20

Persamaan ini dapat dirubah menjadi (Q + 2)(P - 0) = 20, dan merupakan

hiperbola dengan pusat (-2, 0) dengan asimtot sumbu Q dan garis Q = -2.

Perpotongannya dengan sumbu P terjadi bila Q = 0 dan P = 10.

P

QP + 2P = 20

Q

(-2, 0) 0

Contoh 6.6:

Gambarkan kurva permintaan QP – 10P – 12Q + 100 = 0 untuk P < 10 dan

Q < 1

83

.

Kurva permintaan dibawa ke bentuk umum hiperbola:

QP – 10P – 12Q + 100 = 0

QP – 10P – 12Q + 120 = 20

” ESPA4112/MODUL 6 6.11

P(Q – 10) – 12(Q – 10) = 20

(Q – 10)(P – 12) = 20

Titik pusat hiperbola (10, 12) dengan asimtot Q = 10, P = 12.

Perpotongan kurva permintaan dengan sumbu Q bila P = 0 dan Q = 1

83

.

Perpotongan kurva permintaan dengan sumbu P bila Q = 0 dan P = 10.

(10,12)

10

QP – 10P – 12Q + 100 = 0

0 3

18

Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh parabola. Parabola yang

digunakan sumbunya dapat sejajar dengan sumbu horisontal atau sumbu

vertikal. Bagian kurva yang digunakan untuk kurva penawaran adalah bagian

kurva yang menaik dan terletak pada kuadran pertama., seperti terlihat pada

gambar di bawah ini


P P

0 Q 0 Q

Gambar 6.4

Grafik Kurva Penawaran dari Parabola

Contoh 6.7:

Gambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan:

2 + 2Q + 1Q

P = 4

Persamaan di atas dapat ditulis menjadi:

(Q + 1)2 = 4(P - 0)

Titik Vertex (-1,0)

P

4

1Q2Qy

2 ++=

0 Q

” ESPA4112/MODUL 6 6.13

Contoh 6.8:

Gambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan:

24x y 2y 5 0− − − =

Persamaan dibawa ke bentuk normal:

2

2

4x y 2y 1 4

4(x 1) (y 1)

= + + ++ = +

Titik vertex (-1, -1) dan p = 1

4

P

0524 2 =−−− yyx

Q

(-1, -1)

Kurva permintaan dan penawaran bersama-sama akan membentuk harga

dan jumlah keseimbangan. Harga dan jumlah keseimbangan merupakan titik

potong kurva penawaran dan permintaan yang nilainya dapat ditentukan

secara grafis dengan melukiskan kedua kurva secara seksama. Penentuan

harga dan jumlah keseimbangan secara analisis belum tentu di dapat dengan

mudah karena mungkin akan menyangkut pencarian akar persamaan derajat

tiga atau empat yang teori penyelesaiannya tidak akan dibicarakan di sini.

Menghitung titik potong kurva permintaan dan penawaran dapat dilakukan

dengan mudah jika kemudian hanya timbul persamaan derajat dua.

Persamaan ini timbul karena:


* Salah satu merupakan fungsi linear dan yang lain adalah fungsi derajat

dua;

* Harga (P) merupakan fungsi derajat dua dari jumlah yang berbentuk

parabola atau hiperbola, baik untuk fungsi penawaran maupun untuk

fungsi permintaan.

* Jumlah barang baik yang diminta maupun yang ditawarkan merupakan

fungsi kuadrat dari harga.

Contoh 6.9:

Hitunglah jumlah dan harga keseimbangan dari kurva penawaran dan kurva

permintaan berikut:

Qs = P2 + P – 2

Qd = -2P + 16

Keseimbangan tercapai jika Qs = Qd

Jadi: P2 + P - 2 = -2P + 16

P2 + 3P - 18 = 0

(P - 3)(P + 6) = 0

P1 = -6 (tidak dipakai)

P2 = 3

Untuk P = 3, maka Q = -2(3) + 16 = 10

Jadi harga keseimbangan = P = 3

Jumlah keseimbangan = Q = 10.

” ESPA4112/MODUL 6 6.15

P

8

Q = -2P + 16

3 Q = P2 + P -2

1

0 10 16 Q

-2

Contoh 6.10:

Berapakah harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi penawaran dan

permintaan berikut:

Qs = P2 + 2p – 2

Qd = -P2 + 10

Keseimbangan tercapai apabila Qs = Qd, atau:

P2 + 2P – 2 = -P2 + 10

2P2 + 2P – 12 = 0

P2 + P – 6 = 0

(P + 3)(P – 2) = 0


P2 = 2

Untuk P = 2, maka Q = 6.



Jumlah keseimbangan = Q = 6

P

8

3

1

0

-2

10 16 Q

Q = -2P + 16

Q = P2 + P - 2

Contoh 6.11

Berapakah harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi penawaran dan

permintaan berikut:

2P = 5Qs + 2

3P = -Qd2 – 2Qd + 26

Qd = Qs, maka

6P = 15Q + 6 = -2Q2 – 4Q + 52

2Q2 + 19Q – 46 = 0

2Q2 + 23Q – 4Q – 46 = 0

Q(2Q + 23) – 2(Q + 23) = 0

(2Q + 23)(Q – 2) = 0

Q1 = - 111

2 (tidak dipakai)

Q2 = 2

Untuk Q = 2, maka P = 1

2 (5(2) + 2) = 6

” ESPA4112/MODUL 6 6.17


Jumlah keseimbangan = Q = 2.

P

(-1,9)

2P = 5Q + 2

(2,6)

3P = -Q2 – 2Q + 26

0 Q

Bila konsumen membeli barang sebesar Q satuan pada tingkat harga P,

maka produsen akan menerima uang sebanyak Q.P yaitu jumlah yang dibeli

dikalikan harganya atau dengan simbol:

TR = Q . P

TR adalah simbol untuk penerimaan total (total revenue). Untuk fungsi

permintaan yang menurun dan linear, harga (P) tidak tetap, sehingga kurva

TR = Q.P merupakan fungsi yang tidak linear.

Misalkan, ada fungsi permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan P

= a - bQ di mana a dan b > 0, maka kurva penerimaannya adalah:

TR = a Q – b Q2

Ini merupakan persamaan parabola yang terbuka ke bawah dan

memotong sumbu horisontal Q di titik Q = 0 dan Q = a/b. Titik puncak

terjadi di:

Q = a

2b dengan koordinat (

2a a,

2b 4b).


Grafik dari fungsi permintaan dan fungsi penerimaan dapat dilihat pada

gambar berikut ini:

P TR (b4

ab2a 2

, )

0 Q 0 Q

b2

a

b

a

Gambar 6.5 Grafik fungsi permintaan

Contoh 6.12:

Bila diketahui fungsi permintaan P = 20 - Q, gambarkan kurva

penerimaannya.

Penerimaan = Q . P

TR = 20Q - Q2

Titik potong TR dengan sumbu Q terjadi pada Q = 0 dan Q = 20 dengan titik

puncak (10,100).

TR

(10, 100)

0 10 20 Q

” ESPA4112/MODUL 6 6.19

1) Permintaan: 2Q + P = 10

Penawaran: P2 – 4Q = 4

2) Permintaan: 2Q2 + P = 9

Penawaran: Q2 + 5Q – P = -1

3) Permintaan: Q = 64 – 8P – 2P2

Penawaran: Q = 10P + 5P2

4) Permintaan: PQ + 12P + 6Q = 97

Penawaran: P – Q = 6

Dapatkan fungsi penerimaan dan gambar grafiknya bila diketahui fungsi

permintaannya.

5) Permintaan: P + 2Q = 5

6) Permintaan : Q + 2P = 10

Petunjuk Jawaban Latihan

1) 2Q + P = 10 atau 4Q + 2P = 20

P2 – 4Q = 4 -4Q + P2 = 4 +

2P + P2 = 24

atau P2 + 2P – 24 = 0

(P + 6)(P – 4) = 0


P2 = 4

Untuk P = 4, maka Q = 3


Jumlah keseimbangan = Q = 3

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!


P

(3,4) P2

– 4Q = 4

2Q + P = 10

Q

2) 2Q2 + P = 9 atau P = 9 – 2Q2

Q2 + 5Q – P = -1 atau P = Q2 + 5Q + 1

Jadi P = 9 – 2Q2 = Q2 + 5Q + 1

atau 3Q2 + 5Q – 8 = 0

3Q2 + 8Q – 3Q – 8 = 0

Q(3Q + 8) – (3Q + 8) = 0

(3Q + 8)(Q – 1) = 0

Q1 = 8

3− (tidak dipakai)

Q2 = 1

Untuk Q = 1, maka P = 7


” ESPA4112/MODUL 6 6.21

Jumlah harga keseimbangan = Q = 1

P

(0,9) Q2 + 5Q – P = -1

(1,7)

2Q2 + P = 7

Q

3) Q = 10P + 5P2

Q = 64 – 8P – 2P2

Q = 10P + 5P2 = 64 – 8P – 2P2

7P2 + 18P – 64 = 0

7P2 + 32P – 14P – 64 = 0

P(7P + 32) – 2(7P – 32) = 0

(7P + 32)(P – 2) = 0

P1 = 32

7− (tidak dipakai)

P2 = 2

Untuk P = 2, maka Q = 40



Jumlah harga keseimbangan = Q = 40.

Q

Q = 64 – 8P – 2P2

2 Q = 10P + 5P2

0 40 Q

4) PQ + 12P + 6Q = 97

atau PQ + 12P + 6Q + 72 = 169

P(Q + 12) + 6(Q + 12) = 169

(P + 6)(Q + 12) = 169

Penawaran: P – Q = 6 atau P = 6 + Q

Substitusikan penawaran ke dalam permintaan, diperoleh:

(6 + Q + 6)(Q + 12) = 169

(Q + 12)(Q + 12) = 169

” ESPA4112/MODUL 6 6.23

P

P – Q = 6

PQ + 12P + 6Q = 97

Q

5) Permintaan P + 2Q = 5 atau P = 5 – 2Q

Penerimaan = TR = P.Q

TR = 5Q – 2Q2

Perpotongan dengan sumbu Q pada Q = 0 dan Q = 1

22

; dan puncak

1 1(1 , 6 )

4 4


Rp

TR = 5Q - 2

Q2

1

Q + 2P = 10

0 5 10 Q

Rp

TR = 5Q – 2Q2

P + 2Q = 5

0 Q

6) Permintaan Q + 2P = 10 atau P = 1

5 Q2

−

Penerimaan TR = P.Q

= 5Q - 21Q

2

Perpotongan dengan sumbu Q terjadi pada Q = 0 dan Q = 10.

Titik puncak (5, 121

2).

” ESPA4112/MODUL 6 6.25

Selain berbentuk fungsi linear, fungsi permintaan dan penawaran

dapat pula berbentuk fungsi non-linear. Bentuk non-linear dari fungsi

permintaan dapat berupa potongan parabola dan potongan hiperbola.

Adapun bentuk non-linear dari fungsi penawaran adalah potongan

parabola. Fungsi permintaan dan penawaran bersama-sama akan

membentuk harga dan jumlah keseimbangan yang merupakan titik

potong kedua kurva di kuadran pertama.

Persamaan permintaan yang linear memberikan fungsi penerimaan

(total revenue) yang non-linear. Fungsi penerimaan ini merupakan

parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu harga (P) dan terbuka ke

bawah.

1) Diketahui pasangan persamaan:

a. Q = 16 – 2P

b. 4Q = 4P + P2

Tentukan fungsi permintaan dan fungsi penawaran serta harga dan

jumlah keseimbangan

A. Fungsi penawaran : 4Q = 4P + P2

Fungsi permintaan : Q = 16 – 2P

Harga dan jumlah keseimbangan (8, 4)

B. Fungsi penawaran : 4Q = 4P + P2

Fungsi permintaan : Q = 16 – 2P


C. Fungsi penawaran : Q = 16 – 2P

Fungsi permintaan : 4Q = 4P + P2


D. Fungsi penawaran : Q = 16 – 2P

Fungsi permintaan : 4Q = 4P + P2


RANGKUMAN

TES FORMATIF 1

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!



a. P = 2 + 2Q Q

5 20+

b. P = 30 Q

4

−

Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah

keseimbangan

A. Fungsi penawaran = P = 2Q Q

25 20

+ +

Fungsi permintaan = P = 30 Q

4

−

Harga dan jumlah keseimbangan ((5, 61), (5, 99))

B. Fungsi penawaran = P = 30 Q

4

−

Fungsi permintaan = P = 2Q Q

25 20

+ +


C. Fungsi penawaran = P = 2Q Q

25 20

+ +

Fungsi permintaan = P = 30 Q

4

−


D. Fungsi permintaan = P = 2Q Q

25 20

+ +

Fungsi penawaran = P = 30 Q

4

−



a. Q = 32 – 4P – P2

b. P = Q

120

+


keseimbangan

” ESPA4112/MODUL 6 6.27

A. Fungsi penawaran = P = Q

120

+

Fungsi permintaan = Q = 232 4P P− −

Harga dan jumlah keseimbangan = (20, 22)

B. Fungsi penawaran = P = Q

120

+

Fungsi permintaan = Q = 232 4P P− −


C. Fungsi penawaran = Q = 232 4P P− −

Fungsi permintaan = P = Q

120

+


D. Fungsi penawaran = Q = 232 4P P− −

Fungsi permintaan = P = Q

120

+



a. P = 48 – 3Q2

b. P = Q2 + 4Q + 16


keseimbangan

A. Fungsi penawaran = P = 248 3Q−

Fungsi permintaan = P = 2Q 4Q 16− +

Harga dan jumlah keseimbangan = ((2, 31), (37, 15))

B. Fungsi penawaran = P = 248 3Q−

Fungsi permintaan = P = 2Q 4Q 16− +


C. Fungsi penawaran = P = 2Q 4Q 16+ +

Fungsi permintaan = P = 248 3Q−



D. Fungsi penawaran = P = 2Q 4Q 16+ +

Fungsi permintaan = P = 248 3Q−



a. (Q + 16)(P + 12) = 480

b. P = 2Q + 4


keseimbangan

A. Fungsi penawaran = (Q 16)(P 12) 480+ + =

Fungsi permintaan = 2Q 4+


B. Fungsi penawaran = (Q 16)(P 12) 480+ + =

Fungsi permintaan = 2Q 4+


C. Fungsi penawaran = 2Q 4+

Fungsi permintaan = (Q 16)(P 12) 480+ + =


D. Fungsi penawaran = 2Q 4+

Fungsi permintaan = (Q 16)(P 12) 480+ + =


Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar

100%Jumlah Soal

×

” ESPA4112/MODUL 6 6.29

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang

belum dikuasai.


Y

A (X1, Y1)

y1

y3 C(X3, Y3) = a

B(X2, Y2) = a

y2

X

0 x1 x3 x2

Kegiatan Belajar 2

Kurva Indifference

etiap orang tahu persis berapa penghasilannya sebulan. Dalam waktu

tersebut ia harus membelanjakan uangnya untuk membeli barang dan jasa

yang dibutuhkannya. Kalau dimisalkan hanya ada dua macam barang yang

dapat dibelinya, yaitu barang x dan y, maka tempat kedudukan, titik-titik

yang koordinatnya menunjukkan kombinasi pembelian kedua macam barang

dinamakan kurva indifference.

Definisi kurva indifference adalah kurva yang menunjukkan titik-titik

kombinasi jumlah barang x dan barang y yang dikonsumsi pada tingkat

kepuasan tertentu. Kurva indifference dapat ditunjukkan oleh fungsi f(x,y) =

a, di mana x dan y adalah macam barang yang dikonsumsi dan a adalah

menunjukkan tingkat kepuasan. Perhatikan gambar berikut ini:

Gambar 6.6 Kurva Indifference

Sumbu horisontal digunakan untuk menunjukkan jumlah barang x

yang dikonsumsi dan sumbu vertikal untuk jumlah barang y. Kurva

indifference f(x,y) = a, seperti telah disebutkan di atas merupakan tempat

kedudukan titik-titik kombinasi jumlah barang x dan y yang dikonsumsi pada

tingkat kepuasan tertentu. Seandainya konsumen memilih kombinasi di titik

A, maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x1 dan jumlah barang y

yang dikonsumsi sebanyak y1. Bila kombinasi yang dipilih adalah titik B,

maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x2 dan barang y yang

S

” ESPA4112/MODUL 6 6.31

dikonsumsi sebanyak y2. Konsumen akan mengkonsumsi di kombinasi A

atau kombinasi B tidak menjadi persoalan, karena baginya kepuasan yang

diperoleh sama saja yaitu sebesar a.

Apabila parameter a besarnya diubah-ubah, maka akan diperoleh

himpunan kurva indifference yang satu sama lain tidak saling memotong

(Gambar 6.6). Pada umumnya konsumen akan bertambah kepuasannya

apabila dengan sejumlah uang yang sama dapat membeli barang x atau y

dalam jumlah yang lebih banyak. Oleh sebab itu kombinasi di titik C(x3,y3)

akan memberikan kepuasan yang lebih besar dari titik A (x1,y1) karena x3 >

x1, sehingga kedua titik terletak di kurva indifference yang berbeda.

Pada gambar di atas, dapat dilihat bahwa kurva indifference

merupakan kurva yang menurun, karena untuk menambah jumlah barang x

yang dikonsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap

barang y agar kepuasan yang diperoleh tetap sama.

Suatu hal yang perlu diperhatikan lagi adalah kurva indifference

bentuknya cembung terhadap titik origin. Keadaan itu menunjukkan bahwa

setiap pengurangan y dengan selisih yang sama yaitu ∆y harus diimbangi

oleh pertambahan x sebesar ∆x yang nilainya semakin bertambah, agar

tingkat kepuasan yang sama dapat dipertahankan. Ini sesuai dengan hukum

substitusi yang menyatakan bahwa suatu barang yang semakin langka, nilai

substitusinya semakin besar terhadap barang yang melimpah.

Fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference

adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Perhatikan gambar berikut ini:


Y

Y

0 X 0 X

(a)

(-h,-k) (b)

Y

0 X

y = -k

(c)

Gambar 6.7

Bentuk-bentuk kurva Indifference

Pada gambar (a), kurva indifference ditunjukkan oleh bagian dari

lingkaran dengan persamaan:

(x - a)2 + (y - a)2 = a2

Bila parameter a diubah, maka titik pusat (a,a) akan bergeser dan jari-jari

lingkaran = a juga akan berubah sehingga didapat himpunan lingkaran. Jadi

yang digunakan sebagai kurva indifference hanyalah seperempat lingkaran

yaitu bagian yang menyinggung sumbu x dan sumbu y. Persamaan dengan

bentuk umum seperti ditunjukkan di atas bentuknya dapat diubah menjadi:

x2 - 2ax + a2 + y2 - 2ay + a2 = a2

x2 + 2xy + y2 - 2ax - 2ay + a2 = 2xy

” ESPA4112/MODUL 6 6.33

(x + y)2 - 2a(x + y) + a2 = 2xy

(x + y - a)2 = 2xy

x + y - a = 2xy

x + y - 2xy = a

Contoh 6.13:

Bila kurva indifference seorang konsumen dapat ditunjukkan oleh

persamaan x + y - 2xy = a dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur,

maka berapakah jumlah barang y yang harus dikonsumsi pada saat ia

mengkonsumsi barang x sebanyak 3 unit agar tingkat kepuasannya tetap 15

satuan?

Jawaban:

x = 3, a = 15

Jadi 3 + y - 6y = 15 atau

y - 12 = 6y

y2 - 24y + 144 = 6y

y2 - 30y + 144 = 0

y2 - 24y - 6y + 144 = 0

(y - 24)(y - 6) = 0

Jadi y1 = 6 dan y2 = 24

Bila tidak ada barang x yang dikonsumsi, maka agar tingkat

kepuasannya tetap 15 satuan, jumlah barang y yang dikonsumsi adalah y =

15, oleh sebab itu pada tingkat kepuasan yang sama ia tidak mungkin

mengkonsumsi sebanyak 24 unit. Jadi jumlah barang y yang dikonsumsi

adalah 6 unit.


Y

24

6

0 3 X

Bagian dari hiperbola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva

indifference. Pada gambar (b) dipakai hiperbola sama sisi dengan titik pusat

(-h,-k) yang terletak di kuadran ketiga. Bentuk persamaan hiperbola ini

adalah:

(x + h)(y + k) = a

dengan asimtot x = -h dan y = -k

titik potong dengan sumbu x = a/k - h

titik potong dengan sumbu y = a/h - k

Bagian hiperbola yang digunakan untuk kurva indifference adalah

bagian yang berada di kuadran pertama. Bila tingkat kepuasan a diubah-ubah

besarnya, maka diperoleh himpunan kurva indifference.

Contoh 6.14:

Seorang konsumen dalam mengkonsumsi barang x dan y kepuasannya

ditunjukkan oleh persamaan:

xy + y + 6x = a – 6

Tentukan titik pusat hiperbola dan berapakah jumlah maksimum barang

x yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?

” ESPA4112/MODUL 6 6.35

Jawaban:

a = 30

xy + y + 6x + 6 = 30

y(x + 1) + 6(x + 1) = 30

(x + 1) × (y + 6) = 30

Titik pusat = (-1,-6)

Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila

tidak ada barang y yang dikonsumsi (y = 0).

Jadi (x + 1)6 = 30 ,

6x + 6 = 30

6x = 30 – 6

x = 24

6 = 4

Barang x yang dikonsumsi = 4.

Y

0 4 X

(-1, -6)


Parabola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference. Pada

gambar (c) puncak parabola terletak pada satu garis lurus y = - k

Contoh 6.15:

Kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan:

x (y 1) a− + =

Bila tingkat kepuasannya dapat diukur, berapakah jumlah maksimum barang

x dan barang y yang dapat dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap

sebesar 4 satuan.

Kurva indifference untuk a = 4.

2

x (y 1) 4

x 4 (y 1)

(x 4) y 1

− + =

− = +

− = +

Puncak parabola (4,-1)

Jumlah maksimum barang y yang dapat dikonsumsi terjadi bila x = 0,

atau (0 - 4)2 = y + 1

Jadi y = 15

Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila y = 0,

atau (x - 4)2 = 1

x - 4 = ± 1

Jadi x1 = 5

x2 = 3

Sifat kurva indifference adalah menurun dari kiri atas ke kanan bawah

dan cembung ke arah origin. Karena x = 5 terletak di bagian yang menaik

dari parabola, maka titik tersebut tidak memenuhi dan tidak dipakai. Jadi

jumlah maksimum barang x yang dikonsumsi adalah 3 unit.

” ESPA4112/MODUL 6 6.37

Y

15

0 3 5 x

(4,-1)

Seorang konsumen yang menghadapi himpunan kurva indifference

selalu berusaha untuk melakukan konsumsi pada titik yang berada di kurva

indifference yang paling jauh dari titik origin, karena kepuasan yang di dapat

lebih besar atau karena dengan kombinasi tersebut ia dapat mengkonsumsi

baik barang x maupun barang y dalam jumlah yang cukup banyak. Akan

tetapi kebebasan memilih kurva indifference dibatasi oleh jumlah uang yang

dimilikinya. Dengan sejumlah uang tertentu (M) seorang konsumen dapat

membelanjakan semuanya untuk membeli barang x saja dan memperoleh

sebanyak M/Px bila harga barang x adalah Px atau membelanjakan jumlah

uang M tersebut untuk membeli barang y saja dan memperoleh sebanyak

M/Py bila harga barang y adalah Py (lihat gambar di bawah).

Apabila dengan uang sebanyak M itu akan digunakan untuk membeli

barang x dan y, maka kombinasi jumlah barang x dan y yang dapat dibeli

ditunjukkan oleh garis lurus yang menghubungkan titik M/Px dan M/Py.

Garis ini disebut dengan garis anggaran atau budget line. Tingkat kepuasan

yang maksimum dicapai bila konsumen membelanjakan uangnya sebanyak

M untuk membeli y1 barang y dan x1 barang x, yaitu pada posisi

persinggungan antara garis anggaran dengan kurva indifference.


Py

M

y1 I3

I2

I1

0 x1 Px

M X

Gambar 6.8

Posisi Tingkat Kepuasan Maksimum

Posisi ini menunjukkan posisi kepuasan yang maksimum atau posisi

equilibrium konsumen dengan kendala M, karena I2 adalah kurva

indifference yang tertinggi yang dapat dicapai oleh garis anggaran tersebut.

Jadi dengan kurva indifference dan garis anggaran dapat ditunjukkan berapa

jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen yang memiliki

sejumlah uang tertentu agar kepuasannya maksimum.

Contoh 6.16:

Himpunan kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan

xy = a. Bila persamaan garis anggaran yang dihadapi oleh konsumen adalah

2x + 5y = 100, maka tentukan kombinasi jumlah barang x dan y yang akan

dikonsumsi olehnya!

Jawaban:

Persamaan indifference: xy = a

Persamaan garis anggaran: 2x + 5y = 100.

Langkah pertama adalah memotongkan garis anggaran dengan persamaan

indifference dengan cara menyelesaikan kedua persamaan secara serentak

yaitu:

” ESPA4112/MODUL 6 6.39

2x + 5y = 100

5y = 100 – 2x

y = 100 2x 1

(100 2x)5 5

−= −

y = 20 - 2

x5

Kemudian substitusikan ke dalam persamaan indifference yaitu:

xy = a

xy = x(20 - 2

x5

) = a

= 20x - 22x

5 = a

22x

5 - 20x + a = 0

2x -

2 25 5

20 ax 0+ = ⇒ 2 5

x 50x a 02

− + =

Agar persamaan mempunyai akar kembar yaitu titik singgung garis anggaran

dengan kurva indifference, harus dipenuhi syarat:

502 - 4(5

2 a) = 0

2500 - 10 a = 0

a = 250

Jadi x2 - 50x + 5

2 . 250 = 0

x2 - 50x + 625 = 0

(x - 25)2 = 0

x = 25

Untuk x = 25, maka

y = 1

5 (100 - 50)


y = 1

5 . 50

y = 10

Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 25 unit dan barang y sebanyak 10

unit.

y

20

10

0 10 20 30 40 50 x

1) Bila himpunan kurva indifference diketahui (x + 2)(y + 1) = a dan harga

barang x adalah Rp 4,00 dan barang y Rp 6,00 per unit, sedangkan

jumlah uang yang dimiliki Rp130,00. Tentukan jumlah barang x dan y

yang akan dikonsumsi.

2) Gambarkan himpunan kurva indifference dengan persamaan:

(x + 2)(y + 1) = a untuk berbagai nilai a.

3) Bila himpunan kurva indifference diketahui 2 24x 2xy 6y− + = a dan

persamaan garis anggaran adalah x + y = 72, maka tentukan jumlah

barang x dan barang y yang dibeli konsumen.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

” ESPA4112/MODUL 6 6.41

4) Seorang konsumen mempunyai kurva indiference yang ditunjukkan oleh

persamaan xy = a, persamaan garis anggaran yang dihadapi adalah 5y +

6x = 60. Tentukan jumlah barang x dan y yang dikonsumsi.

5) Gambarkan keadaan keseimbangan pada soal nomor 4 di atas.

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Kurva indifference: (x + 2)(y + 1) = a

Persamaan garis anggaran: Pxx + Pyy = M

Untuk Px = 4, Py = 6 dan M = 130, persamaan garis anggarannya:

4x + 6y = 130

6y = 130 – 4x

y = 212

3 -

2x

3

Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference:

(x + 2)(212

3 -

2

3x + 1) = a

(x + 2)(- 2

3x + 22

2

3) = a

Kedua ruas dikalikan 3:

(x + 2)(-2x + 68) = 3a

-2x2 + 64x + 136 = 3a

2x2 – 64x + 3a – 136 = 0

Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka:

642 – 4(2)(3a – 136) = 0

4096 – 24a + 1088 = 0

24a = 5184

a = 216

Jadi

2x2 – 64x + 3(216) – 136 = 0

2x2 – 64x + 512 = 0

atau


x2 – 32x + 256 = 0

(x – 16) 2 = 0

x = 16

Untuk x = 16, maka y = 11.

Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 16 unit dan jumlah barang y yang

dikonsumsi 11 unit.

2) Persamaan (x + 2)(y + 1) = a merupakan persamaan hiperbola dengan

pusat (-2, -1) dan asimtot x = -2 dan y = -1. Titik potong dengan sumbu x

terjadi pada y = 0 dan x = a – 2; dan titik potong dengan sumbu y terjadi

pada x = 0 dan y = a

2 - 1.

x = -2

y

a = 12

a = 10

a = 8 x

a = 4 a = 6

(-2, -1) y = -1

3) Kurva indifference : 4x2 – 2xy + 6y2 = a

Garis anggaran : x + y = 72

atau y = 72 – x

Disubstitusikan ke persamaan indifference:

4x2 – 2x(72 – x) + 6(72 – x) 2 = a

4x2 – 144x + 2x2 + 6(5184 – 144x + x2) = a

” ESPA4112/MODUL 6 6.43

6x2 – 144x + 31104 – 864x + 6x2 = a

12x2 – 1008x + 31104 = a

Kedua ruas dibagi 12, maka:

x2 – 84x + 2592 - 1

a12

= 0


842 – 4(2592 - 1

a12

= 0

7056 – 10368 + 1

a3

= 0

-3312 + 1

a3

= 0

1

a3

= 3312

a = 9936

Jadi x2 – 84x + 2592 - 1

12(9936) = 0

x2 – 84x + 2592 – 828 = 0

x2 – 84x + 1764 = 0

(x – 42) 2 = 0

x = 42

Untuk x = 42, maka y = 72 – 42 = 30

Jadi jumlah barang x yang dikonsumi adalah 42 unit dan barang y yang

dikonsumsi sebanyak 30 unit.

4) Kurva indifference: xy = a

Garis anggaran : 5y + 6x = 60

atau 5y = 60 – 6x


y = 12 - 6

5x

Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference:

x(12 - 6

5x) = a

12x - 6

5x2 = a

atau

6

5x2 – 12x + a = 0

dikalikan 6

5 menjadi:

x2 – 10x + 5

a6

= 0


100 – 4(5

6)a = 0

a = 6

.10020

= 30

Jadi

x2 – 10x + 25 = 0

(x – 5)2 = 0

x = 5

xy = 30 untuk x = 5, maka y = 6.

Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 5 unit dan jumlah barang y adalah

6 unit.

” ESPA4112/MODUL 6 6.45

5) y

12

6 5y + 6x = 60

xy = 30

0 5 10 x

Kurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik

kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasaan tertentu.

Kumpulan dari kurva-kurva indifference disebut dengan himpunan kurva

indifference.

Sifat-sifat kurva indifference yang penting adalah:

a. merupakan kurva yang menurun;

b. cembung terhadap titik origin;

c. tidak saling berpotongan;

d. semakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh

semakin tinggi.

Fungsi-fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva

indifference adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Dalam melakukan

konsumsi, konsumen dibatasi kebebasan memilih kombinasi yang

diinginkan oleh jumlah uang yang dimiliki. Garis anggaran

menunjukkan kombinasi barang yang dapat dibeli dengan sejumlah uang

tertentu. Kepuasan maksimum dalam mengkonsumsi barang akan

tercapai pada saat kurva indifference menyinggung garis anggaran.

Kombinasi jumlah barang yang dikonsumsi ditunjukkan oleh koordinat

titik singgung.

RANGKUMAN


1) Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi bila kurva

indifference ditunjukkan oleh persamaan: 2 25x 6y xy+ − dan garis

anggarannnya x + 2y = 24.

A. x = 9, y = 6

B. x = 6, y = 9

C. x = 5, y = 10

D. x = 6, y = 7

2. Bila harga barang x dan y sama yaitu Rp1,00 dan jumlah uang yang

dimiliki Rp8,00. Tentukan berapa jumlah barang x dan y yang harus

dibelinya, bila fungsi indifferencenya 2 2x 2y xy a+ − =

A. x = 5, y = 3

B. x = 3, y = 5

C. x = 5, y = 6

D. x = 6, y = 3

3) Tentukan jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen jika

garis anggarannya adalah 2x y 21+ = dan kurva indifferencenya

ditunjukkan oleh persamaan 2 23x 4y xy a+ − = .

A. x = 7,5, y = 3

B. x = 7,5, y = 5

C. y = 8,5, y = 4

D. y = 8,5, y = 3

4) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan xy = a dan harga

barang x = 15, harga barang y = 5 dan pendapatan konsumen adalah 150.

Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi.

A. x = 5, y = 15

B. x = 10, y = 15

C. x = 5, y = 10

D. x = 10, y = 10

5) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan 2x y a= dan Px =

4, Py = 5 dan M = 120, maka tentukan jumlah x dan y yang harus dibeli

agar kepuasan yang diperoleh maksimum.

TES FORMATIF 2

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

” ESPA4112/MODUL 6 6.47

A. x = 20, y = 10

B. x = 10, y = 8

C. x = 20, y = 8

D. x = 20, y = 8

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang

belum dikuasai.

Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar

100%Jumlah Soal

×


Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1

1) A

2) C

3) B

4) C

5) D

Tes Formatif 2

1) B

2) A

3) C

4) A

5) D

” ESPA4112/MODUL 6 6.49

Daftar Pustaka

Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner, (1996). Mathematical

Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher.

Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul, (1996). Introductory Mathematical

Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences,

Eighth Edition, Prentice Hall International Inc.

Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis

Stengos, (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher

Limited,

Jacques, Ian, Mathematics for Economics and Business, (1995). Second

Edition, Addison-Wesley Publishing Company.

Pindyck, Robert S and Daniel L Rubinfeld, (1998). Microeconomics, Fourth

Edition, Prentice Hall International Inc.

Prakin, Michael and Robin Bade, (1995). Modern Macroeconomics, Prentice

Hall Canada Inc Scarborough Ontaro.

Silberberg, Eugene and Wing Suen, (2001). The Structure of Economics a

Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill.

Kembali ke Daftar Isi

08 modul-6 nopw

Education

Transcript of 08 modul-6 nopw