OSCILATORNA KOLA

PROSTO REZONANTNO KOLO

SOPSTVENE OSCILACIJE PROSTOG REZONANATNOG

KOLA U KRATKOM SPOJU

Prosto rezonantno kolo :

serijska veza L i C

Kolo ostavljeno samo sebi

(kratak spoj tačaka 1 i 2)

Sopstveni režim rada : ako se u kolu nalazila neka energija (Wm ili Wc), u

kolu teče struja.

Oscilacije napona i struje – sopstvene oscilacije (prinudne oscilacije –

posljedica pobude)

Kola u kojima je moguće proizvesti oscilacije u sopstvenom režimu nazivaju

se oscilatorna kola.

Trenutak isključenja izvora : - elektrostatička energija u kolu

- ne postoji elektromagnetna energija

(struja u kolu – nula)

maximalna energija : C

Q

C

QQ mm

m

22

2

1

2 ;

2

2

1cm CuQ

Režim kola : .0 /difC

q

dt

diL

Karakteristična jednačina :

02,12 1

;01

jLC

jsLC

s

LC

10 sopstvena frekvencija

Opće rješenje :

)ψt(ωIi m 00cos

0,ψI m - konstante integracije

1) 00 it

2) iz dif. jednačine : C

Qm

C

q

dt

diL

t

)0(

0

1)

20cos

0)0cos(

00

00

m

m

I

Ii

2)

02

000

0

00

0000

1

sin

sin

ωQωω

Q

LCω

QI

C

QILω

C

Q)(ψILω

C

Qω))ψt(ω(IL

mmm

m

mm

mm

mtm

Rješenje :

)sin(

2coscos

00

0000

tωωQi

)t(ωωQ)ψt(ωIi

m

mm

struja u kolu prostoperiodična

tQQQtQq

QtQdttQQq

idtQidtidtidtq

mmmm

m

t

m

t

mm

t

m

tt

00

0

00

0

0

00

00

0

coscos

cos1

)sin(

naboj u kondenzatoru prostoperiodičan

tUtC

Q

C

qu cm

mc 00 coscos

napon na kondenzatoru prostoperiodičan

tC

QtQL

dt

diLu m

mL 002

0 coscos

napon na induktivitetu prostoperiodičan

Sve prostoperiodične funkcije lc uuqi ,,, su iste kružne frekvencije 0 .

LCf

LCf

2

112 000

LCT 20 Tomsonov obrazac

Izmjena energije između L i C u sopstvenom režimu

Prostorezonantno kolo u sopstvenom režimu :

izmjena energije – elektrostatičke i elektromagnetne

Analogija : klatno – kinetička i potencijalna energija

Prethodna pretpostavka :

02

2

mm

c WC

QW

Prva četvrtina perioda : naboj opada prema nuli

smanjenje elektrostatičke nergije

struja raste prema max

porast elektromagnetne energije

Prva četvrtina perioda : naboj, nakon nule, raste prema max

porast elektrostatičke nergije

struja, nakon max, opada prema nuli

smanjenje elektromagnetne energije

Zaključak : U kolu nema gubitaka i zatečena energija se izmjenjuje

između L i C.

1. četvrtina q cW i LW

2. četvrtina q cW i LW

3. četvrtina q cW i LW

4. četvrtina q cW i LW

0

22

0

0

22

dt

dW

dt

dW

dt

dW

dt

dW

C

q

dt

dLi

dt

d

C

qi

dt

diLi

i/C

q

dt

diL

mcmc

promjene energije u kolu jednake po veličini, a suprotnog predznaka

22

.22

22

max

22

mmmc

LI

C

QWWW

constC

qLi

Izrazi za trenutne vrijednosti energija :

tWtLILi

Wm

tWtC

Q

C

qW

m

mc

02

max02

22

02

max02

22

sinsin22

coscos22

tWWt

WW

tWWt

WW

m

c

0maxmax0

max

0maxmax0

max

2

2

2cos222

2cos1

2cos222

2cos1

2

2cos1cos

2

2cos1sin

Karakteristična impedansa

Sopstveni režim :

tC

It

C

Qu

tILu

IQtQLu

mmc

mL

mmmL

00

0

00

002

0

coscos

cos

;cos

CL uu (razlika u znaku)

Zbir je jednak nuli u svakom trenutku :

C

L

CL

LCCL

000

00

111

U sopstvenom režimu : kondenzator ili induktivitet mogu

se smatrati generatorom

( kondenzator kao generator

zatvoren induktivitetom,

a induktivitet kao generator

zatvoren kondenzatorom )

Impedansa i u jednom i u drugom slučaju :

C

LZc karakteristična impedansa prostog rezonantnog kola

Rezonancija u prostom rezonantnom kolu :

1o) Ako je :

)cos(2)( 0 tUtu

tada u ustaljenom režimu :

)cos(2)( 0 tIti

0000; tZ

UI

2o) Vrijedi ako je )cos(2)( 0 tIti struja na krajevima kola

(strujni izvor) , tada će napon ustaljenog režima biti :

000

0

0

)cos(2)(

t

ZIUtUtu

Impedansa kola :

CLZ

CLjxxjZ CL

1

)1

()(

Argument 2

ili

2

Napon i struja - prostoperiodični - efektivne vrijednosti

- faze različit )(

Rezonancija 0

0TT

Izvor sa 0 - u kolu nastupa rezonancija

0 - rezonantna frekvencija

Idealna rezonancija (sa prostoperiodičnom eksitacijom) u električnim kolima

rezultira prostoperiodičnim odzivom (realna kola sa minimalnim otporom

kalema i minimalnom aktivnom provodnošću kondenzatora).

Najprostije takvo kolo je LC kolo – prosto rezonantno kolo.

Rezonancija u prostom rezonantnom kolu :

0

1

00

CL

c

xxx

C

L

CLZ

Eksitacija - prostoperiodičan napon sa 0 , struja beskonačno velika ;

naponi CL uu , beskonačno veliki.

Eksitacija - prostoperiodična struja , napon nula ; naponi CL uu , različiti

od nule.

Efektivne vrijednosti : IC

uILu CL0

01

Rezonancija : Priključena eksitacija ne ulaže nikakav rad, iako postoje

naponi CL uu , , jer je U=0.

Između kalema i kondenzatora izmjena energije.

Krive rezonancije

Rezonancija : Promjena kružne frekvencije eksitacije 0 .

Promjena parametara kola, da se postigne 0 .

Krive rezonancije - promjene Z, Y, U, I u funkciji , L, C , za

promjenu .

Induktivna otpornost – prava.

Kapacitivna otpornost – hiperbola.

CLZ

1

CL

ZY

1

11

.constI

IXU

IXU

IZU

CC

LL

UYI

constU

.

1

1

2

2

2

LC

UU

LC

ULCU

C

L