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T h i s b o o k p r o v i d e s a s e l f - c o n t a i n e d i n t r o d u c t i o n t o t h e c o h o m o l o g y t h e o r y
o f L i e g r o u p s a n d a l g e b r a s a n d t o s o m e o f i t s a p p l i c a t i o n s i n p h y s i c s . N o
p r e v i o u s k n o w l e d g e o f t h e m a t h e m a t i c a l t h e o r y i s a s s u m e d b e y o n d s o m e n o t i o n s
o f C a r t a n c a l c u l u s a n d d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y ( w h i c h a r e n e v e r t h e l e s s r e v i e w e d
i n t h e b o o k i n d e t a i l ) . T h e e x a m p l e s , o f c u r r e n t i n t e r e s t , a r e i n t e n d e d t o c l a r i f y
c e r t a i n m a t h e m a t i c a l a s p e c t s a n d t o s h o w t h e i r u s e f u l n e s s i n p h y s i c a l p r o b l e m s .
T h e t o p i c s t r e a t e d i n c l u d e t h e d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y o f L i e g r o u p s , f i b r e b u n d l e s
a n d c o n n e c t i o n s , c h a r a c t e r i s t i c c l a s s e s , i n d e x t h e o r e m s , m o n o p o l e s , i n s t a n t o n s ,
e x t e n s i o n s o f L i e g r o u p s a n d a l g e b r a s , s o m e a p p l i c a t i o n s i n s u p e r s y m m e t r y ,
C h e v a l l e y - E i l e n b e r g a p p r o a c h t o L i e a l g e b r a c o h o m o l o g y , s y m p l e c t i c c o h o -
m o l o g y , j e t - b u n d l e a p p r o a c h t o v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s i n m e c h a n i c s , W e s s -
Z u m i n o - W i t t e n t e r m s , i n f i n i t e L i e a l g e b r a s ,
t h e c o h o m o l o g i c a l d e s c e n t i n
m e c h a n i c s a n d i n g a u g e t h e o r i e s a n d a n o m a l i e s . A l i s t o f r e f e r e n c e s i s g i v e n
i n t h e b i b l i o g r a p h i c a l n o t e s s e c t i o n a t t h e e n d o f e a c h c h a p t e r w h i c h a l l o w s t h e
r e a d e r t o c o m p l e m e n t a n d g o b e y o n d t h e t o p i c s c o v e r e d i n t h e b o o k .
T h i s b o o k w i l l b e o f i n t e r e s t t o g r a d u a t e s t u d e n t s a n d r e s e a r c h e r s i n t h e o r e t i c a l
p h y s i c s a n d a p p l i e d m a t h e m a t i c s .
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C A M B R I D G E M O N O G R A P H S O N
M A T H E M A T I C A L P H Y S I C S
G e n e r a l E d i t o r s : P . V . L a n d s h o f f , D . R . N e l s o n , D . W . S c i a m a , S . W e i n b e r g
L I E G R O U P S , L I E A L G E B R A S , C O H O M O L O G Y
A N D S O M E A P P L I C A T I O N S I N P H Y S I C S
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C a m b r i d g e M o n o g r a p h s o n M a t h e m a t i c a l P h y s i c s
A . M . A n i l e R e l a t i v i s t i c F l u i d s a n d M a g n e t o - F l u i d s
J . A . d e A z c a r r a g a a n d J . M . I z q u i e r d o
L i e g r o u p s , L i e A l g e b r a s , C o h o m o l o g y a n d S o m e
A p p l i c a t i o n s i n P h y s i c s
J . B e r n s t e i n K i n e t i c T h e o r y i n t h e E a r l y U n i v e r s e
G . F . B e r t s c h a n d R . A . B r o g l i a
O s c i l l a t i o n s i n F i n i t e Q u a n t u m S y s t e m s
N . D . B i r r e l l a n d P . C . W . D a v i e s Q u a n t u m F i e l d s i n C u r v e d S p a c e t
D . M . B r i n k
S e m i c l a s s i c a l M e t h o d s i n N u c l e u s - N u c l e u s S c a t t e r i n g
J . C . C o l l i n s
R e n o r m a l i z a t i o n t
P . D . B . C o l l i n s A n I n t r o d u c t i o n t o R e g g e T h e o r y a n d H i g h E n e r g y P h y s i c s
M . C r e u t z
Q u a r k s , G l u o n s a n d L a t t i c e s t
F . d e F e l i c e a n d C . J . S . C l a r k e
R e l a t i v i t y o n C u r v e d M a n i f o l d s
B . D e W i t t S u p e r m a n i f o l d s , 2 n d e d i t i o n t
P . G . O . F r e u n d
I n t r o d u c t i o n t o S u p e r s y m m e t r y t
F G . F r i e d l a n d e r
T h e W a v e E q u a t i o n o n a C u r v e d S p a c e - T i m e
J . F u c h s A f f i n e L i e A l g e b r a s a n d Q u a n t u m G r o u p s
J . A . H . F u t t e r m a n , F . A . H a n d l e r a n d R . A . M a t z n e r S c a t t e r i n g f r o m B l a c k H o l e s
M . G o c k e l e r a n d T . S c h U c k e r D i f f e r e n t i a l G e o m e t r y , G a u g e T h e o r i e s a n d G r a v i t y t
C . G o m e z , M . R u i z A l t a b a a n d G . S i e r r a Q u a n t u m G r o u p s i n T w o - d i m e n s i o n a l P h y s i c s
M . B . G r e e n , J . H . S c h w a r z a n d E . W i t t e n
S u p e r s t r i n g T h e o r y , v o l u m e 1 : I n t r o d u c t i o n t
M . B . G r e e n , J . H . S c h w a r z a n d E . W i t t e n S u p e r s t r i n g T h e o r y , v o l u m e 2 : L o o p A m p l i t u d e s ,
A n o m a l i e s a n d P h e n o m e n o l o g y t
S . W . H a w k i n g a n d G . F . R . E l l i s
T h e L a r g e - S c a l e S t r u c t u r e o f S p a c e - T i m e
F . l a c h e l l o a n d A . A r i m a
T h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l
F . l a c h e l l o a n d P . v a n I s a c k e r
T h e I n t e r a c t i n g B o s o n - F e r m i o n M o d e l
C . I t z y k s o n a n d J : M . D r o u f f e S t a t i s t i c a l F i e l d T h e o r y , v o l u m e 1 : F r o m B r o w n i a n M o t i o n t o
R e n o r m a l i z a t i o n a n d L a t t i c e G a u g e T h e o r y t
C . I t z y k s o n a n d J : M . D r o u f f e S t a t i s t i c a l F i e l d T h e o r y , v o l u m e 2 : S t r o n g C o u p l i n g , M o n t e C a r l o
M e t h o d s , C o n f o r m a l F i e l d T h e o r y , a n d R a n d o m S y s t e m s t
J . I . K a p u s t a F i n i t e - T e m p e r a t u r e F i e l d T h e o r y
V . E . K o r e p i n , A . G . I z e r g i n a n d N . M . B o g u l i u b o v
T h e Q u a n t u m I n v e r s e S c a t t e r i n g M e t h o d a n d
C o r r e l a t i o n F u n c t i o n s
D . K r a m e r , H . S t e p h a n i , M . A . H . M a c C a l l u m a n d E . H e r l t E x a c t S o l u t i o n s o f E i n s t e i n ' s F i e l d
E q u a t i o n s
N . H . M a r c h L i q u i d M e t a l s : C o n c e p t s a n d T h e o r y
L . O ' R a i f e a r t a i g h G r o u p S t r u c t u r e o f G a u g e T h e o r i e s t
A . O z o r i o d e A l m e i d a H a m i l t o n i a n S y s t e m s : C h a o s a n d Q u a n t i z a t i o n t
R . P e n r o s e a n d W . R i n d l e r
S p i n o r s a n d S p a c e - t i m e , v o l u m e 1 : T w o - S p i n o r C a l c u l u s a n d
R e l a t i v i s t i c F i e l d s t
R . P e n r o s e a n d W . R i n d l e r S p i n o r s a n d S p a c e - t i m e , v o l u m e 2 : S p i n o r a n d T w i s t o r M e t h o d s i n
S p a c e - T i m e G e o m e t r y
S . P o k o r s k i
G a u g e F i e l d T h e o r i e s t
V . N . P o p o v
F u n c t i o n a l I n t e g r a l s a n d C o l l e c t i v e E x c i t a t i o n s t
R . R i v e r s
P a t h I n t e g r a l M e t h o d s i n Q u a n t u m F i e l d T h e o r y t
R . G . R o b e r t s
T h e S t r u c t u r e o f t h e P r o t o n
W . C . S a s l a w
G r a v i t a t i o n a l P h y s i c s o f S t e l l a r a n d G a l a c t i c S y s t e m s t
J . M . S t e w a r t A d v a n c e d G e n e r a l R e l a t i v i t y
A . V i l e n k i n a n d E . P . S . S h e l l a r d
C o s m i c S t r i n g s a n d o t h e r T o p o l o g i c a l D e f e c t s
R . S . W a r d a n d R . O . W e l l s J r
T w i s t o r G e o m e t r y a n d F i e l d T h e o r i e s t
t I s s u e d a s a p a p e r b a c k
-
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L I E G R O U P S ,
L I E A L G E B R A S ,
C O H O M O L O G Y A N D
S O M E A P P L I C A T I O N S
I N P H Y S I C S
J O S E A . D E A Z C A R R A G A ' A N D J O S E M . I Z Q U I E R D O t
*
D e p a r t a m e n t o d e F i s i c a T e o r i c a a n d
I F I C , C e n t r o M i x t o C S I C - U n i v e r s i d a d d e V a l e n c i a
F a c u l t a d d e F i s i c a , V a l e n c i a U n i v e r s i t y
t D e p a r t a m e n t o d e F i s i c a T e o r i c a ,
V a l l a d o l i d U n i v e r s i t y
A M B R I D G E
U N I V E R S I T Y P R E S S
-
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C A M B R I D G E U N I V E R S I T Y P R E S S
C a m b r i d g e , N e w Y o r k , M e l b o u r n e , M a d r i d , C a p e T o w n , S i n g a p o r e , S a o P a u l o
C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s
T h e E d i n b u r g h B u i l d i n g , C a m b r i d g e C B 2 8 R U , U K
P u b l i s h e d i n t h e U n i t e d S t a t e s o f A m e r i c a b y C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , N e w Y o r k
w w w . c a m b r i d g e . o r g
I n f o r m a t i o n o n t h i s t i t l e : w w w . c a m b r i d g e . o r g / 9 7 8 0 5 2 1 4 6 5 0 1 4
C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s 1 9 9 5
T h i s p u b l i c a t i o n i s i n c o p y r i g h t . S u b j e c t t o s t a t u t o r y e x c e p t i o n
a n d t o t h e p r o v i s i o n s o f r e l e v a n t c o l l e c t i v e l i c e n s i n g a g r e e m e n t s ,
n o r e p r o d u c t i o n o f a n y p a r t m a y t a k e p l a c e w i t h o u t t h e w r i t t e n
p e r m i s s i o n o f C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s .
F i r s t p u b l i s h e d 1 9 9 5
F i r s t p a p e r b a c k e d i t i o n 1 9 9 8
A c a t a l o g u e r e c o r d f o r t h i s p u b l i c a t i o n i s a v a i l a b l e f r o m t h e B r i t i s h L i b r a r y
L i b r a r y o f C o n g r e s s C a t a l o g u i n g i n P u b l i c a t i o n d a t a
A z c a r r a g a , J . A . d e , 1 9 4 1 -
L i e g r o u p s , L i e a l g e b r a s , c o h o m o l o g y , a n d s o m e a p p l i c a t i o n s i n
p h y s i c s / J o s e A . d e A z c a r r a g a a n d J o s e M . I z q u i e r d o .
p . c m . - ( C a m b r i d g e m o n o g r a p h s o n m a t h e m a t i c a l p h y s i c s )
I n c l u d e s b i b l i o g r a p h i c a l r e f e r e n c e s .
I S B N 0 5 2 1 4 6 5 0 1 X
1 . L i e g r o u p s . 2 . L i e a l g e b r a s . 3 . H o m o l o g y t h e o r y .
4 . M a t h e m a t i c a l p h y s i c s . I . I z q u i e r d o , J o s e M . I I . T i t l e .
I I I . S e r i e s
Q C 2 0 . 7 . L 5 4 A 9 3
1 9 9 5
5 1 2 ' . 5 5 - d c 2 O
9 4 - 1 6 8 0 9 C I P
I S B N 9 7 8 - 0 - 5 2 1 - 4 6 5 0 1 - 4 h a r d b a c k
I S B N 9 7 8 - 0 - 5 2 1 - 5 9 7 0 0 - 5 p a p e r b a c k
T r a n s f e r r e d t o d i g i t a l p r i n t i n g 2 0 0 8
-
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N o m i r a n d o a n u e s t r o d a h o ,
c o r r e m o s a r i e n d a s u e l t a
s i n p a r a r ;
d e s ' q u e v e m o s e l e n g a n o
y q u e r e m o s d a r l a v u e l t a
n o h a y l u g a r .
( J o r g e M a n r i q u e , 1 4 4 0 - 1 4 7 9 )
N o f o e , n o d a n g e r o u s p a s s , w e h e e d .
B r o o k n o d e l a y - b u t o n w a r d s p e e d
W i t h l o o s e n e d r e i n ;
A n d , w h e n t h e f a t a l s n a r e i s n e a r ,
W e s t r i v e t o c h e c k o u r m a d c a r e e r ,
B u t s t r i v e i n v a i n .
( F r e e 1 8 3 3 t r a n s l a t i o n b y
H . W a d s w o r t h L o n g f e l l o w )
-
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C o n t e n t s
1
P r e f a c e
L i e g r o u p s , f i b r e b u n d l e s a n d C a r t a n c a l c u l u s
x i i i
1
1 . 1 I n t r o d u c t i o n : L i e g r o u p s a n d a c t i o n s o f a L i e g r o u p o n a m a n i f o l d
2
1 . 2
L e f t - ( X ' ) a n d r i g h t - ( X R ) i n v a r i a n t v e c t o r f i e l d s o n a L i e g r o u p G 8
1 . 3
A s u m m a r y o f f i b r e b u n d l e s 1 2
1 . 4 D i f f e r e n t i a l f o r m s a n d C a r t a n c a l c u l u s : a r e v i e w 3 1
1 . 5 D e R h a m c o h o m o l o g y a n d H o d g e - d e R h a m t h e o r y 4 3
1 . 6
T h e d u a l a s p e c t o f L i e g r o u p s : i n v a r i a n t d i f f e r e n t i a l f o r m s .
I n v a r i a n t i n t e g r a t i o n m e a s u r e o n G
5 4
1 . 7
T h e M a u r e r - C a r t a n e q u a t i o n s a n d t h e c a n o n i c a l f o r m o n a L i e
g r o u p G . B i - i n v a r i a n t m e a s u r e
5 8
1 . 8
L e f t - i n v a r i a n c e a n d b i - i n v a r i a n c e . B i - i n v a r i a n t m e t r i c t e n s o r f i e l d
o n t h e g r o u p m a n i f o l d 6 2
1 . 9
A p p l i c a t i o n s a n d e x a m p l e s f o r L i e g r o u p s 6 5
1 . 1 0
T h e c a s e o f s u p e r L i e g r o u p s : t h e s u p e r t r a n s l a t i o n g r o u p a s a n
e x a m p l e 7 0
1 . 1 1
A p p e n d i x A : s o m e h o m o t o p y g r o u p s 7 3
1 . 1 2
A p p e n d i x B : t h e P o i n c a r e p o l y n o m i a l s o f t h e c o m p a c t s i m p l e
g r o u p s
7 8
B i b l i o g r a p h i c a l n o t e s f o r c h a p t e r 1
8 1
2
C o n n e c t i o n s a n d c h a r a c t e r i s t i c c l a s s e s 8 4
2 . 1
C o n n e c t i o n s o n a p r i n c i p a l b u n d l e : a n o u t l i n e
8 4
2 . 2
E x a m p l e s o f c o n n e c t i o n s 9 5
2 . 3
E q u i v a r i a n t f o r m s o n a L i e g r o u p
1 0 1
2 . 4
C h a r a c t e r i s t i c c l a s s e s
1 0 4
2 . 5
C h e r n c l a s s e s a n d C h e r n c h a r a c t e r s
1 1 1
2 . 6
C h e r n - S i m o n s f o r m s o f t h e C h e r n c h a r a c t e r s
1 1 5
2 . 7 T h e m a g n e t i c m o n o p o l e 1 2 0
i x
-
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11/473
x
C o n t e n t s
2 . 8
Y a n g - M i l l s i n s t a n t o n s 1 2 6
2 . 9
P o n t r y a g i n c l a s s e s a n d t h e E u l e r c l a s s 1 3 1
2 . 1 0
I n d e x t h e o r e m s f o r m a n i f o l d s w i t h o u t b o u n d a r y
1 3 7
2 . 1 1
I n d e x t h e o r e m f o r t h e s p i n c o m p l e x . T w i s t e d c o m p l e x e s
1 4 4
B i b l i o g r a p h i c a l n o t e s f o r c h a p t e r 2 1 4 9
3 A f i r s t l o o k a t c o h o m o l o g y o f g r o u p s a n d r e l a t e d t o p i c s 1 5 2
3 . 1 S o m e k n o w n f a c t s o f ' n o n - r e l a t i v i s t i c ' m e c h a n i c s : t w o - c o c y c l e s 1 5 2
3 . 2
P r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s o f a L i e g r o u p : a r e v i e w o f B a r g m a n n ' s
t h e o r y 1 5 9
3 . 3
T h e W e y l - H e i s e n b e r g g r o u p a n d q u a n t i z a t i o n
1 6 3
3 . 4
T h e e x t e n d e d G a l i l e i g r o u p 1 6 8
3 . 5
T h e t w o - c o c y c l e a m b i g u i t y a n d t h e B a r g m a n n c o c y c l e f o r t h e
G a l i l e i g r o u p
1 7 0
3 . 6
D y n a m i c a l g r o u p s a n d s y m p l e c t i c c o h o m o l o g y : a n i n t r o d u c t i o n
1 7 3
3 . 7
T h e a d j o i n t a n d t h e c o a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e e x t e n d e d
G a l i l e i g r o u p a n d i t s a l g e b r a
1 8 1
3 . 8
O n t h e p o s s i b l e f a i l u r e o f t h e a s s o c i a t i v e p r o p e r t y : t h r e e - c o c y c l e s
1 8 6
3 . 9 S o m e r e m a r k s o n c e n t r a l e x t e n s i o n s 1 8 9
3 . 1 0
C o n t r a c t i o n s a n d g r o u p c o h o m o l o g y
1 9 2
B i b l i o g r a p h i c a l n o t e s f o r c h a p t e r 3 1 9 7
4
A n i n t r o d u c t i o n t o a b s t r a c t g r o u p e x t e n s i o n t h e o r y
1 9 9
4 . 1
E x a c t s e q u e n c e s o f g r o u p h o m o m o r p h i s m s
1 9 9
4 . 2
G r o u p e x t e n s i o n s : s t a t e m e n t o f t h e p r o b l e m i n t h e g e n e r a l c a s e
2 0 1
4 . 3
P r i n c i p a l b u n d l e d e s c r i p t i o n o f a n e x t e n s i o n G ( K , G ) 2 0 7
4 . 4
C h a r a c t e r i z a t i o n o f a n e x t e n s i o n t h r o u g h t h e f a c t o r s y s t e m c o
2 0 9
4 . 5
G r o u p l a w f o r G i n t e r m s o f t h e f a c t o r s y s t e m
2 1 1
B i b l i o g r a p h i c a l n o t e s f o r c h a p t e r 4 2 1 3
5 C o h o m o l o g y g r o u p s o f a g r o u p G a n d e x t e n s i o n s b y a n a b e l i a n
k e r n e l
2 1 5
5 . 1
C o h o m o l o g y o f g r o u p s
2 1 5
5 . 2 E x t e n s i o n s G o f G b y a n a b e l i a n g r o u p A
2 2 1
5 . 3 A n e x a m p l e f r o m s u p e r g r o u p t h e o r y : s u p e r s p a c e a s a g r o u p
e x t e n s i o n
2 2 3
5 . 4
F ( M ) - v a l u e d c o c h a i n s : c o h o m o l o g y i n d u c e d b y t h e a c t i o n o f
G o n a m a n i f o l d M m
2 2 5
B i b l i o g r a p h i c a l n o t e s f o r c h a p t e r 5
2 2 9
6
C o h o m o l o g y o f L i e a l g e b r a s
2 3 0
6 . 1
C o h o m o l o g y o f L i e a l g e b r a s : g e n e r a l d e f i n i t i o n s 2 3 0
6 . 2 E x t e n s i o n s o f a L i e a l g e b r a W b y a n a b e l i a n a l g e b r a , : H P ( W , W )
2 3 4
-
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12/473
C o n t e n t s
x i
6 . 3 T h r e e c a s e s o f s p e c i a l i n t e r e s t
2 3 6
6 . 4
L o c a l e x p o n e n t s a n d t h e i s o m o r p h i s m b e t w e e n H o ( G , R ) a n d
H 0 ( S 6 , R )
2 3 8
6 . 5
C o h o m o l o g y g r o u p s f o r s e m i s i m p l e L i e a l g e b r a s . T h e W h i t e h e a d
l e m m a
2 4 2
6 . 6
H i g h e r c o h o m o l o g y g r o u p s
2 4 4
6 . 7 T h e C h e v a l l e y - E i l e n b e r g f o r m u l a t i o n o f t h e L i e a l g e b r a
c o h o m o l o g y a n d i n v a r i a n t d i f f e r e n t i a l f o r m s o n a L i e g r o u p G
2 4 6
6 . 8
T h e B R S T a p p r o a c h t o t h e L i e a l g e b r a c o h o m o l o g y
2 4 9
6 . 9
L i e a l g e b r a c o h o m o l o g y v s . L i e g r o u p c o h o m o l o g y
2 5 3
6 . 1 0
. F ( M ) - v a l u e d L i e a l g e b r a c o h o m o l o g y 2 6 2
B i b l i o g r a p h i c a l n o t e s f o r c h a p t e r 6
2 6 2
7
G r o u p e x t e n s i o n s b y n o n - a b e l i a n k e r n e l s 2 6 4
7 . 1 T h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e G - k e r n e l ( K , o )
2 6 4
7 . 2
T h e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r a G - k e r n e l ( K , a ) t o b e
e x t e n d i b l e 2 6 8
7 . 3 C o n s t r u c t i o n o f e x t e n s i o n s
2 7 0
7 . 4
E x a m p l e : t h e c o v e r i n g g r o u p s o f t h e c o m p l e t e L o r e n t z g r o u p L
2 7 5
7 . 5
A b r i e f c o m m e n t o n t h e m e a n i n g o f t h e h i g h e r c o h o m o l o g y
g r o u p s H " ( G , A ) 2 7 9
B i b l i o g r a p h i c a l n o t e s f o r c h a p t e r 7
2 8 0
8 C o h o m o l o g y a n d W e s s - Z u m i n o t e r m s : a n i n t r o d u c t i o n
2 8 1
8 . 1
A s h o r t r e v i e w o f t h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e a n d o f t h e N o e t h e r
t h e o r e m i n N e w t o n i a n m e c h a n i c s 2 8 1
8 . 2
I n v a r i a n t f o r m s o n a m a n i f o l d a n d c o h o m o l o g y ; W Z t e r m s
2 8 6
8 . 3
N e w t o n i a n m e c h a n i c s a n d W e s s - Z u m i n o t e r m s : t w o s i m p l e
e x a m p l e s 2 9 0
8 . 4
C o h o m o l o g y a n d c l a s s i c a l m e c h a n i c s : p r e l i m i n a r i e s
2 9 7
8 . 5 T h e c o h o m o l o g i c a l d e s c e n t a p p r o a c h t o c l a s s i c a l a n o m a l i e s 3 0 3
8 . 6 A s i m p l e a p p l i c a t i o n : t h e f r e e N e w t o n i a n p a r t i c l e 3 0 8
8 . 7
T h e m a s s i v e s u p e r p a r t i c l e a n d W e s s - Z u m i n o t e r m s f o r
s u p e r s y m m e t r i c e x t e n d e d o b j e c t s 3 1 1
8 . 8
S u p e r s y m m e t r i c e x t e n d e d o b j e c t s a n d t h e s u p e r s y m m e t r y a l g e b r a
3 1 5
8 . 9
A L a g r a n g i a n d e s c r i p t i o n o f t h e m a g n e t i c m o n o p o l e 3 2 4
B i b l i o g r a p h i c a l n o t e s f o r c h a p t e r 8
3 2 9
9 I n f i n i t e - d i m e n s i o n a l L i e g r o u p s a n d a l g e b r a s 3 3 1
9 . 1
I n t r o d u c t i o n 3 3 1
9 . 2
T h e g r o u p o f m a p p i n g s G ( M ) a s s o c i a t e d w i t h a c o m p a c t L i e
g r o u p G , a n d i t s L i e a l g e b r a W ( M ) 3 3 5
9 . 3
C u r r e n t a l g e b r a s a s i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l L i e a l g e b r a s 3 3 8
-
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x i i C o n t e n t s
9 . 4
T h e K a c - M o o d y o r u n t w i s t e d a f f i n e a l g e b r a
3 4 0
9 . 5 T h e V i r a s o r o a l g e b r a
3 4 5
9 . 6
C h e v a l l e y - E i l e n b e r g c o h o m o l o g y o n D i f f S ' a n d t w o - d i m e n s i o n a l
g r a v i t y
3 5 1
9 . 7 T h e c o n f o r m a l a l g e b r a
3 5 4
B i b l i o g r a p h i c a l n o t e s f o r c h a p t e r 9 3 5 8
1 0 G a u g e a n o m a l i e s
3 6 0
1 0 . 1
T h e g r o u p o f g a u g e t r a n s f o r m a t i o n s a n d t h e o r b i t s p a c e o f
Y a n g - M i l l s p o t e n t i a l s
3 6 0
1 0 . 2
T h e o r y w i t h D i r a c f e r m i o n s : t h e a b e l i a n a n o m a l y a n d t h e i n d e x
t h e o r e m
3 6 6
1 0 . 3
T h e a c t i o n o f g a u g e t r a n s f o r m a t i o n s o n t h e s p a c e o f f u n c t i o n a l s
3 7 2
1 0 . 4
C o h o m o l o g y o n G ( M ) , 9 ( M ) a n d i t s B R S T f o r m u l a t i o n
3 7 4
1 0 . 5 T h e o r y w i t h W e y l f e r m i o n s : n o n - a b e l i a n g a u g e a n o m a l i e s a n d
t h e i r p a t h i n t e g r a l c a l c u l a t i o n 3 7 9
1 0 . 6
T h e n o n - a b e l i a n a n o m a l y a s a p r o b e f o r n o n - t r i v i a l t o p o l o g y 3 8 7
1 0 . 7 T h e g e o m e t r y o f c o n s i s t e n t n o n - a b e l i a n g a u g e a n o m a l i e s
3 9 4
1 0 . 8 T h e c o h o m o l o g i c a l d e s c e n t i n t h e t r i v i a l P ( G , M ) c a s e :
c o c h a i n s a n d c o b o u n d a r y o p e r a t o r s
3 9 8
1 0 . 9 T h e d e s c e n t e q u a t i o n s . C o c y c l e s a n d c o b o u n d a r i e s
4 0 3
1 0 . 1 0 A c o m p a c t f o r m f o r t h e g a u g e a l g e b r a d e s c e n t e q u a t i o n s
4 0 7
1 0 . 1 1
S p e c i f i c r e s u l t s i n D = 2 , 4 s p a c e t i m e d i m e n s i o n s
4 0 8
1 0 . 1 2 O n t h e e x i s t e n c e o f c o n s i s t e n t a n o m a l o u s t h e o r i e s
4 1 6
1 0 . 1 3 A p p e n d i x : c a l c u l a t i n g C h e r n - S i m o n s f o r m s
4 1 8
B i b l i o g r a p h i c a l n o t e s f o r c h a p t e r 1 0 4 2 0
L i s t o f s y m b o l s
4 2 4
R e f e r e n c e s
4 2 9
I n d e x
4 4 4
-
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P r e f a c e
T h i s b o o k h a s i t s o r i g i n i n a g r a d u a t e c o u r s e d e l i v e r e d a t D A M T P
i n t h e L e n t t e r m o f 1 9 8 9 b y o n e o f t h e a u t h o r s ( J . d e A . ) o n g r o u p
c o h o m o l o g y . W e h a v e a i m e d a t a s e l f - c o n t a i n e d p r e s e n t a t i o n . S o m e o f t h e
b a c k g r o u n d s e c t i o n s , h o w e v e r , a r e p r o v i d e d a s r e v i e w o r r e f e r e n c e m a t e r i a l
a n d o c c a s i o n a l l y t h e y m a y n o t b e s u i t a b l e f o r f i r s t s t u d y i f t h e r e a d e r i s
c o m p l e t e l y u n f a m i l i a r w i t h t h e i r c o n t e n t s . T h e r e a r e a l r e a d y s e v e r a l g o o d
t e x t b o o k s o n d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y f o r p h y s i c i s t s a n d t h e a u t h o r s f e l t t h a t
t h e r e w a s n o p o i n t i n r e p r o d u c i n g h e r e t o p i c s n o t r e l e v a n t t o t h e m a i n
s u b j e c t t h a t c o u l d b e f o u n d w i t h o u t m u c h e f f o r t i n a s i n g l e s o u r c e . T h u s ,
a m o d i c u m o f k n o w l e d g e o f d i f f e r e n t i a l m a n i f o l d s , C a r t a n c a l c u l u s a n d o f
t h e t h e o r y o f c o n n e c t i o n s i s a s s u m e d . F r o m t h e p h y s i c s s i d e , a k n o w l e d g e
o f q u a n t u m f i e l d t h e o r y i s a l s o r e q u i r e d t o r e a d c e r t a i n p a r t s o f t h e b o o k .
N e v e r t h e l e s s , a l m o s t a l l t h e n e c e s s a r y b a c k g r o u n d m a t e r i a l i s d i s c u s s e d i n
i t , a n d o f t e n r e p e a t e d i n d i f f e r e n t s e t t i n g s o f i n c r e a s i n g c o m p l e x i t y s o t h a t
t h e v a r i o u s c o n c e p t s c a n b e a s s i m i l a t e d m o r e e a s i l y .
A c o m m e n t s h o u l d b e m a d e c o n c e r n i n g r i g o u r . T h e b o o k u s e s g e n -
e r o u s l y t h e m a t h e m a t i c a l ` T h e o r e m , P r o p o s i t i o n , e t c . ' p r e s e n t a t i o n s t y l e .
W e h a v e f o u n d t h i s c o n v e n i e n t i n o r d e r t o s t r e s s c e r t a i n k e y i d e a s o r t o
o r g a n i z e a n d s e p a r a t e p a r t s o f t h e t e x t t h a t w o u l d o t h e r w i s e l o o k u n r e a -
s o n a b l y l o n g . N e v e r t h e l e s s , t h e b o o k i s p r i m a r i l y i n t e n d e d f o r p h y s i c i s t s
w i s h i n g t o f a m i l i a r i z e t h e m s e l v e s w i t h c e r t a i n a s p e c t s o f t h e t h e o r y o f L i e
g r o u p s , f i b r e b u n d l e s a n d a f e w o f t h e i r p h y s i c a l a p p l i c a t i o n s , p a r t i c u l a r l y
t o p r o b l e m s w h e r e c o h o m o l o g y a n d e x t e n s i o n t h e o r y p l a y a n i m p o r t a n t
r o l e . P a r t s o f t h e b o o k m a y a l s o b e u s e f u l t o m a t h e m a t i c i a n s i n t e r e s t e d
i n t h e i n t e r f a c e o f p h y s i c s a n d m a t h e m a t i c s . A l t h o u g h t h e r e a r e g o o d
a r t i c l e s c o v e r i n g d i f f e r e n t a s p e c t s o f t h e s u b j e c t s b e l o w , w e f e e l t h a t a
s e l f - c o n t a i n e d p r e s e n t a t i o n i n b o o k f o r m , i n c l u d i n g s o m e m a t e r i a l n o t
r e a d i l y a c c e s s i b l e , m a y b e u s e f u l .
x i i i
-
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x i v P r e f a c e
T h e o r g a n i z a t i o n o f t h e b o o k i s a s f o l l o w s : c h a p t e r 1 , t h e l o n g e s t o n e ,
r e v i e w s s o m e t o p i c s i n t h e d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y o f L i e g r o u p s , C a r t a n
c a l c u l u s a n d f i b r e b u n d l e s . T h e e m p h a s i s i s p l a c e d o n t h e a s p e c t s t h a t
m a y b e m o r e i m p o r t a n t t o p h y s i c i s t s , a n d t h e i r p r e s e n t a t i o n f o l l o w s t h e
o r d e r i n w h i c h t h e n e e d f o r m o r e a b s t r a c t m a t e r i a l m a y l i k e l y a r i s e r a t h e r
t h a n a m o r e ` a x i o m a t i c ' o n e . F o r i n s t a n c e , v e c t o r f i e l d s a p p e a r f i r s t a s
d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s a c t i n g o n m a n i f o l d s ( L i e g r o u p s i n p a r t i c u l a r ) a n d
t h e n t h e y a r e a l s o s e e n t o b e s e c t i o n s o f a t a n g e n t b u n d l e . W e f e e l t h a t
t h i s a p p r o a c h m a y b e m o r e a p p e a l i n g t o t h e p h y s i c i s t r e a d e r t h a n a
p r e s e n t a t i o n s t a r t i n g d i r e c t l y w i t h v e c t o r b u n d l e s . A f t e r a f e w c o m m e n t s
o n g r a d e d L i e g r o u p s , t h e c h a p t e r e n d s b y r e c a l l i n g s o m e r e s u l t s a n d
t a b l e s o f h o m o t o p y t h e o r y a n d w i t h t h e P o i n c a r e p o l y n o m i a l s f o r t h e
c o m p a c t s i m p l e g r o u p s .
C h a p t e r 2 i s d e v o t e d t o c o n n e c t i o n s , c h a r a c t e r i s t i c c l a s s e s a n d t h e i n d e x
t h e o r e m f o r t h e d e R h a m a n d t h e s p i n c o m p l e x e s . T h e s e l e c t i o n o f t h e
t o p i c s i n t h i s c h a p t e r h a s b e e n m o t i v a t e d b y t h e p h y s i c a l a p p l i c a t i o n s
c o n s i d e r e d ( m o n o p o l e s a n d Y a n g - M i l l s i n s t a n t o n s i n t h i s c h a p t e r a n d
a n o m a l i e s i n t h e l a s t o n e ) . T h u s , s o m e i m p o r t a n t t o p i c s s u c h a s , f o r
i n s t a n c e , t o r s i o n , p a r a l l e l t r a n s p o r t a n d h o l o n o m y h a v e b e e n l e f t o u t ; t h e
i n t e r e s t e d r e a d e r m a y l o o k f o r t h e m a t t h e r e f e r e n c e s p r o v i d e d .
C h a p t e r 3 i n t r o d u c e s t h e c o h o m o l o g y o f g r o u p s b y d i s c u s s i n g f i r s t s o m e
i n t e r e s t i n g p h y s i c a l e x a m p l e s , s u c h a s t h e r e l e v a n c e o f p r o j e c t i v e r e p r e -
s e n t a t i o n s i n n o n - r e l a t i v i s t i c q u a n t u m m e c h a n i c s , t h e W e y l - H e i s e n b e r g
g r o u p , a n d t h e e x t e n d e d G a l i l e i g r o u p . G r o u p c o c y c l e s a n d c o b o u n d a r i e s
a r e i n t r o d u c e d h e r e b y m e a n s o f t h e s e e x a m p l e s . U s i n g a m o r e f o r m a l
a p p r o a c h , a s h o r t r e v i e w o f t h e t h e o r y o f d y n a m i c a l g r o u p s a n d s y m p l e c t i c
c o h o m o l o g y w h i c h a l s o t o u c h e s t h e p r o b l e m o f g e o m e t r i c q u a n t i z a t i o n i s
g i v e n i n t h i s c h a p t e r , a n d a p p l i e d t o t h e p r e v i o u s e x a m p l e s . T h e a p p e a r -
a n c e o f t w o - c o c y c l e s i n t h e p r o j e c t i v e r e p r e s e n t a t i o n s n a t u r a l l y l e a d s u s t o
t h i n k a b o u t t h r e e - c o c y c l e s w h e n t h e a s s o c i a t i v i t y i s b r o k e n i n a c o n s i s t e n t
m a n n e r : t h e p r o b l e m o f t h e a p p e a r a n c e o f t h e t h r e e - c o c y c l e i n q u a n t u m
m e c h a n i c s i s d i s c u s s e d a t t h e e n d . T h e c h a p t e r c l o s e s w i t h a f e w r e m a r k s ,
o n e o f t h e m b e i n g t h e a n a l y s i s o f h o w t h e c o n t r a c t i o n o f g r o u p s m a y
g e n e r a t e n o n - t r i v i a l g r o u p c o h o m o l o g y .
A f t e r t h e s i m p l e e x a m p l e s o f c h a p t e r 3 , c h a p t e r 4 p r e s e n t s t h e p r o b l e m
o f g r o u p e x t e n s i o n t h e o r y i n g e n e r a l t e r m s . E x a c t s e q u e n c e s o f g r o u p
h o m o m o r p h i s m s a r e i n t r o d u c e d , a n d o n c e t h e p r i n c i p a l b u n d l e s t r u c t u r e
o f t h e g r o u p e x t e n s i o n i s e s t a b l i s h e d , i t s e l e m e n t s a r e g i v e n c o o r d i n a t e s b y
u s i n g a t r i v i a l i z i n g s e c t i o n . T h e g r o u p l a w o f t h e e x t e n d e d g r o u p i s t h e n
e x p r e s s e d b y m e a n s o f t h e c o r r e s p o n d i n g f a c t o r s y s t e m . T h e s i m p l e r c a s e
o f e x t e n s i o n s b y a n a b e l i a n k e r n e l ( w h i c h i n c l u d e s t h e c a s e s o f c h a p t e r 3 )
i s s t u d i e d i n d e t a i l i n c h a p t e r 5 . T h e c o h o m o l o g y o f L i e a l g e b r a s i s g i v e n
i n c h a p t e r 6 . T h i s p r o v i d e s t h e t r e a t m e n t o f c o h o m o l o g y t h e o r y f r o m t h e
-
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P r e f a c e
x v
` d u a l ' L i e a l g e b r a p o i n t o f v i e w . T h e W h i t e h e a d l e m m a , t h e C h e v a l l e y a n d
E i l e n b e r g a p p r o a c h t o L i e a l g e b r a c o h o m o l o g y ( w h i c h u s e s t h e i n v a r i a n t
f o r m s o n a L i e g r o u p d i s c u s s e d i n c h a p t e r 1 ) , i t s B R S f o r m u l a t i o n a n d
a d i s c u s s i o n o f t h e V a n E s t i s o m o r p h i s m b e t w e e n t h e L i e g r o u p a n d
a l g e b r a c o h o m o l o g y a r e i n c l u d e d i n t h i s c h a p t e r ; t h e r e l a t i o n b e t w e e n
t h e i n f i n i t e s i m a l ( a l g e b r a ) a n d f i n i t e ( g r o u p ) c o c y c l e s a n d v i c e v e r s a i s
a l s o g i v e n . C h a p t e r 7 i s a s h o r t a c c o u n t o f t h e p r o b l e m o f e x t e n s i o n b y
n o n - a b e l i a n k e r n e l s , w h e r e t h e o b s t r u c t i o n t o t h e e x t e n s i o n i s g i v e n b y a
t h r e e - c o c y c l e ; i t c o n c l u d e s w i t h a n e x a m p l e a n d w i t h a f e w c o m m e n t s o n
h o w h i g h e r o r d e r c o c y c l e s m a y a p p e a r .
C h a p t e r 8 i s d e v o t e d t o r e l a t i n g t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m o f c e n t r a l
e x t e n s i o n s a n d t w o - c o c y c l e s w i t h t h e p r o p e r t y o f q u a s i - i n v a r i a n c e ( i . e . ,
i n v a r i a n c e b u t f o r a t o t a l d e r i v a t i v e ) o f s o m e L a g r a n g i a n s i n p h y s i c s . T h i s
i s p r e c e d e d b y a s h o r t r e v i e w o f t h e v a r i a t i o n a l p r o b l e m , i n c l u d i n g t h e
N o e t h e r t h e o r e m , i n a g e o m e t r i c a l f r a m e w o r k . T h i s g e o m e t r i c a l s e t t i n g
i n c l u d e s a p e d a g o g i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e m a t h e m a t i c a l n o t i o n o f j e t
b u n d l e s ( a l r e a d y i n t r o d u c e d i n c h a p t e r 1 ) a n d j e t p r o l o n g a t i o n s . I n t h i s
w a y , c o h o m o l o g y a n d m e c h a n i c s a r e r e l a t e d , a n d m a n y o f t h e b a s i c
m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s i n t r o d u c e d i n c h a p t e r s 5 a n d 6 f i n d t h e i r p h y s i c a l
t r a n s l a t i o n h e r e , a s m i g h t h a v e b e e n a n t i c i p a t e d a f t e r t h e i n t r o d u c t o r y
d i s c u s s i o n i n c h a p t e r 3 . A s a r e s u l t , t h e n o t i o n o f ` W e s s - Z u m i n o t e r m o n
a L i e g r o u p ' ( t h e n a m e i m p l i e s h e r e a s m a l l t e r m i n o l o g i c a l a b u s e ) e m e r g e s
a s a n i m p o r t a n t i n g r e d i e n t i n t h e c o n s t r u c t i o n o f c e r t a i n p h y s i c a l c l a s s i c a l
a c t i o n s , a n d t h e c a s e s o f t h e G a l i l e a n p a r t i c l e , t h e m a s s i v e s u p e r p a r t i c l e ,
t h e G r e e n - S c h w a r z s u p e r s t r i n g a n d t h e e x t e n d e d s u p e r s y m m e t r i c o b j e c t s
a r e a l l d i s c u s s e d i n t h i s l i g h t . T h i s W e s s - Z u m i n o t e r m o n a L i e ( o r g r a d e d
L i e ) g r o u p i s r e l a t e d t o a n o n - t r i v i a l e l e m e n t o f t h e C h e v a l l e y - E i l e n b e r g
v e r s i o n o f t h e L i e a l g e b r a c o h o m o l o g y a n d , a s s u c h , i t s p r e s e n c e m o d i f i e s
t h e c o m m u t a t o r s o f t h e o r i g i n a l s y m m e t r y a l g e b r a . T h i s l e a d s t o t h e
a p p e a r a n c e o f ` c l a s s i c a l a n o m a l i e s ' , w h i c h a r e d i s c u s s e d u s i n g t h e d o u b l e
c o h o m o l o g i c a l d e s c e n t a p p r o a c h . T h i s p r o v i d e s a p r e p a r a t o r y e x a m p l e f o r
t h e u s e o f t h i s t e c h n i q u e i n t h e m o r e c o m p l e x s e t t i n g o f n o n - a b e l i a n Y a n g -
M i l l s t h e o r i e s , w h e r e i t l e a d s t o t h e g e o m e t r i c a l d e s c r i p t i o n o f n o n - a b e l i a n
a n o m a l i e s a n d S c h w i n g e r t e r m s .
C h a p t e r 9 t r e a t s t h e c a s e o f i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l L i e g r o u p s a n d a l -
g e b r a s . A l t h o u g h a n e x a m p l e o f a n i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l L i e g r o u p a p -
p e a r s i n c h a p t e r 8 i n c o n n e c t i o n w i t h t h e s u p e r s y m m e t r y l o c a l a l g e b r a ,
i t i s h e r e w h e r e s o m e o f t h e i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l g r o u p s a n d a l g e b r a s
o f i n t e r e s t i n p h y s i c s s u c h a s c u r r e n t a l g e b r a s , K a c - M o o d y a l g e b r a s , t h e
t w o - d i m e n s i o n a l c o n f o r m a l g r o u p a n d t h e V i r a s o r o a l g e b r a a r e i n t r o -
d u c e d , a n d t h e i r c o h o m o l o g i c a l p r o p e r t i e s a n a l y s e d i n c o m p a r i s o n w i t h
t h e f i n i t e - d i m e n s i o n a l c a s e . C h a p t e r 1 0 i s d e v o t e d t o t h e g e o m e t r y o f t h e
a b e l i a n a n d t h e n o n - a b e l i a n a n o m a l i e s i n Y a n g - M i l l s t h e o r i e s . A f t e r a
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d i s c u s s i o n o f t h e t o p o l o g y o f t h e i r c o n f i g u r a t i o n s p a c e a n d o f t h e g a u g e
a l g e b r a c o h o m o l o g y , t h e o r i g i n o f t h e s e a n o m a l i e s i s e x h i b i t e d i n a p a t h
i n t e g r a l f o r m u l a t i o n u s i n g F u j i k a w a ' s m e t h o d . T h e g e o m e t r y o f t h e c h i -
r a l a n d n o n - a b e l i a n a n o m a l i e s i s t h e n d i s c u s s e d , i n c l u d i n g t h e i r r e l a t i o n
w i t h t h e i n d e x t h e o r e m s , a s w e l l a s t h e W e s s - Z u m i n o c o n d i t i o n a n d t h e
S c h w i n g e r t e r m s f o r t h e n o n - a b e l i a n c h i r a l a n o m a l i e s . T h i s i s d o n e b y
m e a n s o f t h e c o h o m o l o g i c a l d e s c e n t p r o c e d u r e a n d f o l l o w i n g t h e p a t t e r n
o f t h e d i s c u s s i o n f o r m e c h a n i c s i n c h a p t e r 8 s i n c e b o t h s i t u a t i o n s p r e s e n t
t h e s a m e g e n e r a l s t r u c t u r e . N e v e r t h e l e s s , t h e i m p o r t a n t d i f f e r e n c e s b e t w e e n
t h e t w o c a s e s a r e s t r e s s e d , o n e o f t h e m b e i n g t h e q u a n t u m o r i g i n o f t h e
c h i r a l a n o m a l i e s a n d t h e o t h e r t h e d i f f e r e n t n a t u r e o f t h e W e s s - Z u m i n o
t e r m , w h i c h i n t h i s c a s e d o e s r e f e r t o t h e o r i g i n a l o n e . T h e b o o k c l o s e s
w i t h a f e w c o m m e n t s o n t h e p o s s i b i l i t y o f h a v i n g ` c o n s i s t e n t ' a n o m a l o u s
t h e o r i e s .
R e f e r e n c e s a r e p r o v i d e d a t t h e e n d o f e a c h c h a p t e r i n a b i b l i o g r a p h i c a l
n o t e s s e c t i o n ; t h e r e a d e r w i l l n o t i c e o u r d e b t t o m a n y o f t h e m . I n s p i t e
o f t h e i r n u m b e r , n o a t t e m p t h a s b e e n m a d e a t c o m p l e t e n e s s o r a t g i v i n g
d u e c r e d i t t o t h e e a r l i e s t a u t h o r ( s ) . T h e r e f e r e n c e s h a v e b e e n p r i m a r i l y
s e l e c t e d b y t h e i r u s e f u l n e s s t o t h e t e x t o r a s a p o s s i b l e c o m p l e m e n t t o
i t . W h e n e v e r p o s s i b l e , b o o k s a n d r e v i e w a r t i c l e s h a v e b e e n q u o t e d ; t h e
i n t e r e s t e d r e a d e r s h o u l d l o o k a t t h e r e v i e w p a p e r s f o r f u r t h e r r e f e r e n c e s .
N o p r o b l e m s a r e s u g g e s t e d i n e a c h c h a p t e r ; w e f e e l t h a t r e a d e r s a r e n o t
l i k e l y t o s e t a s i d e t h e i r o w n p r o b l e m s t o d e v o t e t h e i r a t t e n t i o n t o t h o s e
s u g g e s t e d i n a b o o k o f t h i s n a t u r e . W e a s k f o r t h e i r u n d e r s t a n d i n g i f t h e y
d o n o t s h a r e t h i s o p i n i o n . W e h a v e t r i e d t o f o l l o w a s t a n d a r d n o t a t i o n .
I n e v i t a b l y , a f e w s y m b o l s h a v e d i f f e r e n t m e a n i n g s i n d i f f e r e n t c o n t e x t s . A
l i s t o f s y m b o l s i s p r o v i d e d a t t h e e n d o f t h e b o o k f o r t h e b e n e f i t o f t h e
r e a d e r ; s y m b o l s a p p e a r u n d e r t h e c h a p t e r i n w h i c h t h e y a r e i n t r o d u c e d
f o r t h e f i r s t t i m e .
T h e a u t h o r s h a v e b e n e f i t t e d f r o m d i s c u s s i o n s o n t h e t o p i c s o f t h i s b o o k
w i t h m a n y f r i e n d s a n d c o l l e a g u e s ; s o m e o f t h e m a l s o r e a d p a r t s o f a
p r e v i o u s d r a f t a n d p r o v i d e d t h e a u t h o r s w i t h a d v i c e a n d c r i t i c i s m w h i c h
h a v e c o n t r i b u t e d t o i t s i m p r o v e m e n t . I n p a r t i c u l a r , t h e a u t h o r s w i s h t o
t h a n k L . A l v a r e z - G a u m e , M . A s o r e y , A . P . B a l a c h a n d r a n , J . F . C a r i i i e n a ,
A . G a l i n d o , C . G o m e z , A . G u i c h a r d e t , M . H e n n e a u x , C . I s h a m , J .
L u k i e r s k i , R . J a c k i w , J . M a t e o s , J . M i c k e l s s o n , A . N a v e i r a , M . d e l O l m o ,
J . C . P e r e z B u e n o , M . S a n t a n d e r , F . S c h e c k , P . T o w n s e n d , R . T u c k e r a n d ,
v e r y s p e c i a l l y , V . A l d a y a , L . J . B o y a a n d J . S t a s h e f f . N e e d l e s s t o s a y ,
t h e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e t e x t r e m a i n s s o l e l y w i t h t h e a u t h o r s ; w e s h a l l
a p p r e c i a t e a n y n o t i c e a b o u t m i s p r i n t s o r m i s c o n c e p t i o n s n o t y e t e r a d i -
c a t e d d e s p i t e o u r e f f o r t s . B o t h a u t h o r s w i s h t o a c k n o w l e d g e t h e w a r m
h o s p i t a l i t y o f t h e D e p a r t m e n t o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d T h e o r e t i -
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c a l P h y s i c s o f C a m b r i d g e U n i v e r s i t y , f o r p a s t s a b b a t i c a l ( J . d e A . ) a n d
p r e s e n t p o s t d o c t o r a l ( J . I . ) v i s i t s d u r i n g t h e c o m p l e t i o n o f t h i s w o r k . J . d e
A . a l s o w i s h e s t o t h a n k J . C . T a y l o r a n d R o b i n s o n C o l l e g e , C a m b r i d g e ,
f o r a b y e - f e l l o w s h i p d u r i n g t h e y e a r 1 9 8 9 a n d P . V . L a n d s h o f f f o r h i s
i n t e r e s t i n t h e e a r l i e r s t a g e s o f t h i s p r o j e c t . F i n a l l y , t h a n k s a r e a l s o d u e
t o t h e C I C Y T / D G E S , S p a i n , f o r c o n t i n u o u s l y f i n a n c i n g t h e ` G e o m e t r y
a n d P h y s i c s ' r e s e a r c h p r o j e c t , a n d t o t h e G e n e r a l i t a t V a l e n c i a n a ( J . d e
A . ) , t h e M i n i s t e r i o d e E d u c a c i o n y C i e n c i a a n d t h e C o m m i s s i o n o f t h e
E u r o p e a n C o m m u n i t y ( J . I . ) f o r p a r t i a l f i n a n c i a l s u p p o r t a t c e r t a i n s t a g e s
o f t h e w o r k o n t h i s b o o k .
J . A . d e A . ,
J . M . I .
e - m a i l s :
j . a . d e . a z c a r r a g a @ u v . e s
i z q u i e r d @ c p d . u v a . e s
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L i e g r o u p s , f i b r e b u n d l e s
a n d C a r t a n c a l c u l u s
` I t i s v a i n t o d o w i t h m o r e w h a t c a n b e d o n e w i t h f e w e r '
( . e n t i t i e s s h o u l d n o t b e m u l t i p l i e d w i t h o u t n e c e s s i t y )
W i l l i a m o f O c k h a m ( c . 1 2 8 5 - 1 3 4 9 )
T h i s c h a p t e r c o n t a i n s s o m e t o p i c s o f d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y w h i c h a r e
n e e d e d f o r t h e r e s t o f t h e b o o k . T h e y h a v e b e e n s e l e c t e d t o s e r v e a s a
r e f e r e n c e f o r r e a d e r s a l r e a d y f a m i l i a r w i t h t h e m o r a s a s e l f - c o n t a i n e d
i n t r o d u c t i o n f o r t h o s e w h o e n c o u n t e r t h e m f o r t h e f i r s t t i m e .
T h e c e n t r a l c o n c e p t s o f L i e g r o u p , L i e a l g e b r a a n d t h e i r r e l a t i o n s a r e
a n a l y s e d . T h i s i n v o l v e s t h e i n t r o d u c t i o n o f l e f t a n d r i g h t - i n v a r i a n t v e c t o r
f i e l d s a n d f o r m s , w h i c h i n t u r n m o t i v a t e s t h e s t u d y o f v a r i o u s c o n c e p t s
o f d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , s u c h a s d i f f e r e n t i a l f o r m s , d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s
a n d d e R h a m c o h o m o l o g y . I n p a r t i c u l a r , t h e M a u r e r - C a r t a n e q u a t i o n s
w i l l b e e x t e n s i v e l y u s e d i n t h e t e x t d u e t o t h e i r r e l a t i o n w i t h L i e a l g e b r a
c o h o m o l o g y . A r e v i e w o n f i b r e b u n d l e s i s a l s o p r o v i d e d d u e t o t h e i r
i m p o r t a n c e i n t h e p r o b l e m o f e x t e n s i o n s a n d i n t h e s t u d y o f Y a n g - M i l l s
t h e o r i e s w h i c h w i l l b e t r e a t e d i n l a t e r c h a p t e r s .
A f e w c o m m e n t s o n h o w t o e x t e n d s o m e o f t h e a b o v e L i e g r o u p
c o n c e p t s t o g r a d e d L i e g r o u p s a r e m a d e b y t a k i n g t h e s u p e r t r a n s l a t i o n
g r o u p a s a n e x a m p l e . T h i s r e q u i r e s a s m a l l k n o w l e d g e o f s u p e r s y m m e t r y ;
t h o s e n o t i n t e r e s t e d i n ` s u p e r ' o b j e c t s m a y s k i p i t s i n c e i t i s p o s s i b l e t o
r e a d t h e b o o k o m i t t i n g t h e f e w s e c t i o n s t h a t c o n t a i n t o p i c s r e l a t e d w i t h
s u p e r s y m m e t r y .
T h e l a s t t w o s e c t i o n s ( A p p e n d i c e s ) c o n t a i n i n f o r m a t i o n a n d t a b l e s o n
t h e h o m o t o p y g r o u p s a n d t h e P o i n c a r e p o l y n o m i a l s o f t h e s i m p l e L i e
g r o u p s a n d o n t h e h o m o t o p y g r o u p s o f s p h e r e s .
1
-
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2 1 L i e g r o u p s , f i b r e b u n d l e s a n d C a r t a n c a l c u l u s
1 . 1 I n t r o d u c t i o n : L i e g r o u p s a n d a c t i o n s o f a L i e g r o u p o n a m a n i f o l d
L i e g r o u p s a r e f r e q u e n t l y i n t r o d u c e d i n p h y s i c s a s g r o u p s o f t r a n s f o r m a -
t i o n s a c t i n g o n a m a n i f o l d * M . L e t { x l ,
. . . ,
x n } = { x i } b e a l o c a l c o o r d i n a t e
s y s t e m f o r M . A n r - p a r a m e t e r L i e g r o u p G o f t r a n s f o r m a t i o n s i s a g r o u p
o f t r a n s f o r m a t i o n s o f M
x ' = f ` ( g l , . . . , g r ; x l , . . . , x n )
( x ' = f ( g ; x ) )
f o r w h i c h t h e f u n c t i o n s f i
( i = 1 , .
. . ,
n ) a r e s m o o t h f u n c t i o n s o f t h e
r p a r a m e t e r s g k , w h i c h a r e a s s u m e d t o b e e s s e n t i a l ( i . e . , n e c e s s a r y a n d
s u f f i c i e n t t o d e t e r m i n e t h e t r a n s f o r m a t i o n ) .
T h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n s ( 1 . 1 . 1 ) d e f i n e a L i e g r o u p
i m p l i e s , i n p a r t i c u l a r , t h a t x = f ( e ; x ) , w h e r e e i s t h e i d e n t i t y e l e m e n t o f
t h e g r o u p . A l s o , i f
x = f ( g ; x )
a n d
x " = f ( g ' ; x ' ) = f ( g ' ; f ( g ; x ) ) = f ( g " ; x ) ,
( 1 . 1 . 2 )
t h e p a r a m e t e r s g " o f t h e t r a n s f o r m a t i o n x " = f ( g " ; x ) a r e d e t e r m i n e d
f r o m g ' , g b y t h e f u n c t i o n s
, , k
" k
r l
r r .
1
r
r r
"
r
g = g ( g
, . . . , g
, g , . . . , g ) , k = 1 , . . . , r
( g = g ( g , g ) )
w h i c h e x p r e s s t h e c o o r d i n a t e s o f g " i n t e r m s o f t h o s e o f g ' a n d g a n d
d e t e r m i n e t h e g r o u p l a w , g " = g ' * g ( o r g " = g ' g f o r s h o r t ) . I t m u s t a l s o
b e p o s s i b l e t o e x p r e s s g ' ( o r g ) i n t e r m s o f g " a n d g ( g " a n d g ' ) ; t h i s
r e q u i r e s t h a t t h e J a c o b i a n
1 a
I ( I
J ) i s n o t z e r o . S p e c i f i c a l l y , a g r o u p
0 9 g
G i s a L i e g r o u p w h e n i t m e e t s t h e c o n d i t i o n s o f t h e f o l l o w i n g
W e s h a l l u s e t h e w o r d m a n i f o l d t o i n d i c a t e t h a t M i s a f i n i t e - d i m e n s i o n a l d i f f e r e n t i a b l e m a n i f o l d ,
i . e . t h a t M i s a H a u s d o r f f ( : t w o d i s t i n c t p o i n t s o f M a d m i t d i s j o i n t n e i g h b o u r h o o d s ) t o p o l o g i c a l
s p a c e e n d o w e d w i t h a d i f f e r e n t i a l s t r u c t u r e , i . e . w i t h a c l a s s o f e q u i v a l e n t a t l a s e s o n M . U n l e s s
o t h e r w i s e s t a t e d , w e s h a l l t a k e d i m M = n .
A C ` - a t l a s d o n M i s a s e t { ( U , , ( p a ) } o f c h a r t s ( o r l o c a l c o o r d i n a t e s y s t e m s ) ( p a
: U a - R "
s u b o r d i n a t e d t o t h e c o v e r i n g { U a } o f M t h a t a r e c o m p a t i b l e : i f U . n U p
0 , t h e o v e r l a p
m a p p i n g s c p a o r p 1
: r p p ( U , , n U p ) - * c p a ( U a n U s ) b e t w e e n o p e n s e t s o f R " a r e o f c l a s s C . T w o
a t l a s e s d 1 , d 2 , a r e e q u i v a l e n t i f t h e i r u n i o n d i U d 2 i s a n a t l a s ; a d i f f e r e n t i a b l e s t r u c t u r e o n
M i s a n e q u i v a l e n c e c l a s s o f a t l a s e s o n M .
I t i s p o s s i b l e t o d e f i n e a C k - d i f f e r e n t i a b l e m a n i f o l d i n a s i m i l a r w a y , b u t h e r e w e s h a l l u s e t h e
w o r d d i f f e r e n t i a b l e ( o r s m o o t h ) t o m e a n t h a t k i s a l w a y s l a r g e e n o u g h f o r t h e s t a t e m e n t t o h a v e
a m e a n i n g .
-
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1 . 1 L i e g r o u p s a n d a c t i o n s o f a L i e g r o u p o n a m a n i f o l d 3
( 1 . 1 . 1 ) D E F I N I T I O N ( L i e g r o u p )
A L i e g r o u p i s a ( f i n i t e - d i m e n s i o n a l ' , d i f f e r e n t i a b l e ) m a n i f o l d G w h i c h i s
a g r o u p a n d w h e r e t h e g r o u p o p e r a t i o n s G x G - > G , ( g ; g ) H g ' * g a n d
G - > G , g r + g - 1 ( i n v e r s e ) ( o r ( g ' , g ) H g " = g ' * g - 1 ) a r e s m o o t h .
T h e g r o u p l a w ( 1 . 1 . 3 ) c a n b e w r i t t e n a s
g i t
= g ' g = L g ' g = R g g ' V g ' , g e G ,
( 1 . 1 . 4 )
w h e r e L g ( R g ) i n d i c a t e s t h e l e f t ( r i g h t ) t r a n s l a t i o n d e t e r m i n e d b y t h e g r o u p
e l e m e n t g . I t w i l l b e a s s u m e d t h a t t h e i d e n t i t y e l e m e n t e o f G h a s c o o r -
d i n a t e s ( 0 , 0 , . . . , 0 ) . O b v i o u s l y , x = f ( g - l ; x ' ) i f x ' = f ( g ; x ) , e t c . T h e l e f t
a n d r i g h t t r a n s l a t i o n s a r e d i f f e o m o r p h i s m s o f G ; t h e y c l e a r l y c o m m u t e ,
L g ( R g = R g L g , . O b v i o u s l y ,
L g r L g = L g , g ,
R g , R g = R g g ,
( 1 . 1 . 5 )
E q s . ( 1 . 1 . 1 ) c o n s t i t u t e a p a r t i c u l a r e x a m p l e o f a n a c t i o n o f a L i e g r o u p
o n a m a n i f o l d , s i n c e g d e t e r m i n e d f t h e r e u n i q u e l y . T h e p r o p e r t i e s o f t h e
a c t i o n ( 1 . 1 . 2 ) a r e , h o w e v e r , g e n e r a l :
( 1 . 1 . 2 ) D E F I N I T I O N ( A c t i o n o f a L i e g r o u p o n a m a n i f o l d M )
A l e f t a c t i o n o f t h e g r o u p G o n t h e m a n i f o l d M i s a s m o o t h m a p p i n g f
G x M
M , f : ( g ; x ) H f ( g ; x ) , s u c h t h a t f ( e ; x ) = x a n d f ( g ' ; f ( g ; x ) ) _
f ( g ' g ; x ) . A l t e r n a t i v e l y , w e m a y w r i t e f ( g ; x ) = g x a n d f ( g ' ; f ( g ; x ) ) _
g ' ( g x ) = g ' g x . S i m i l a r l y , a r i g h t a c t i o n i s d e f i n e d b y a s m o o t h m a p p i n g
f : M x G - * M s u c h t h a t f ( x ; e ) = x a n d f ( f ( x ; g ) ; g ' ) = f ( x ; g g ' ) . T h u s ,
i f f ( x ; g ) - x g t h i s m e a n s t h a t f ( f ( x ; g ) ; g ' ) = ( x g ) g ' = x g g ' .
I n b o t h c a s e s w e c a n l o o k a t f a s d e f i n i n g a m a p p i n g g F - - ) . f g b y
f g = f ( g , ) o r f g = f
g ) . T h u s , i f f g i s t h e m a p p i n g f g
: M - * M
a s s o c i a t e d w i t h t h e a c t i o n o f g o n M , i t i s s e e n t h a t t h e l e f t a c t i o n s a t i s f i e s
t h e h o m o m o r p h i s m p r o p e r t y
f g , o f g = f g , g
a n d t h a t t h e r i g h t a c t i o n s a t i s f i e s t h e a n t i - h o m o m o r p h i s m r e l a t i o n
f g , o f g = f g g ,
.
( 1 . 1 . 6 )
T h e n a m e ` L i e g r o u p ' o r ` L i e a l g e b r a ' u s u a l l y r e f e r s t o t h e f i n i t e - d i m e n s i o n a l c a s e . H o w e v e r ,
i n f i n i t e - d i m e n s i o n a l L i e g r o u p s a n d a l g e b r a s l i k e t h e g r o u p o f d i f f e o m o r p h i s m s o f a m a n i f o l d
m e n t i o n e d b e l o w , t h e s m o o t h m a p p i n g s o f a g i v e n m a n i f o l d i n t o a f i n i t e - d i m e n s i o n a l L i e g r o u p
( o r a l g e b r a ) , t h e K a c - M o o d y a l g e b r a s , e t c . , a p p e a r f r e q u e n t l y i n p h y s i c s . I n f i n i t e - d i m e n s i o n a l L i e
g r o u p s a n d a l g e b r a s w i l l b e i n t r o d u c e d i n c h a p t e r 9 ( a n d i n s e c t i o n 8 . 8 ) .
-
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4 1 L i e g r o u p s , f i b r e b u n d l e s a n d C a r t a n c a l c u l u s
S i n c e f g - ' = ( f
g
) - 1 , f g i s a d i f f e o m o r p h i s m o f M . T h u s , t h e p r e v i o u s
d e f i n i t i o n i s e q u i v a l e n t t o s a y i n g t h a t f i s a h o m o m o r p h i s m ( o r a n t i -
h o m o m o r p h i s m ) f : G - D i f f ( M ) o f G i n t o t h e g r o u p o f d i f f e o m o r p h i s m s
o f M . I f f g i s a r i g h t ( l e f t ) a c t i o n , f g i s a l e f t ( r i g h t ) a c t i o n . O f c o u r s e ,
f o r M = G , t h e a b o v e f o r m u l a e r e p r o d u c e ( 1 . 1 . 5 ) .
L e t X E M . T h e f - o r b i t o f x i s t h e s e t { f g ( x ) I g E G } c M o f a l l
t h e p o i n t s t h a t c a n b e f - r e a c h e d f r o m x . H e n c e , t h e e q u i v a l e n c e r e l a t i o n
x ' R x 3 g f o r w h i c h x ' = g x c h a r a c t e r i z e s M / R a s t h e s e t o f a l l f - o r b i t s .
S o m e t y p e s o f a c t i o n r e c e i v e a s p e c i f i c n a m e :
( 1 . 1 . 3 )
D E F I N I T I O N ( T r a n s i t i v e , f r e e , e f f e c t i v e a n d t r i v i a l a c t i o n s o f a
g r o u p G )
A n a c t i o n i s t r a n s i t i v e i f t h e o r b i t o f ( a n y ) x E M i s M . A n a c t i o n i s
f r e e i f t h e ` l i t t l e ' ( o r s t a b i l i t y , i s o t r o p y ) g r o u p G x c G o f x , G x : = { g E
G I f g ( x ) = x } , i s r e d u c e d t o t h e i d e n t i t y e l e m e n t f o r e a c h x E M . A n a c t i o n
i s e f f e c t i v e ( o r f a i t h f u l i f i t i s a l i n e a r a c t i o n ) i f t h e ( i n v a r i a n t ) s u b g r o u p
G ' = { g E G I f g ( x ) = x V x E M } ( t h e i n t e r s e c t i o n o f a l l l i t t l e g r o u p s o r
k e r n e l o f t h e a c t i o n ) i s r e d u c e d t o e E G ; i f i t i s n o t , t h e a c t i o n o f G / G ' i s
e f f e c t i v e . F i n a l l y , f i s t r i v i a l i f G ' = G .
I f t h e a c t i o n i s f r e e , e v e r y p o i n t o f M i s t r a n s f o r m e d ( f g ( x ) * x i f
g * e ) a n d t h e m a p p i n g g H f g ( x ) i s b i j e c t i v e f o r e a c h x E M ( t h e r e i s a
o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n G a n d e a c h o r b i t i n M ) . T h u s , i f t h e
a c t i o n i s f r e e , a n y g i v e n t w o p o i n t s x ' , x a r e e i t h e r u n r e l a t e d o r c o n n e c t e d
b y a u n i q u e g , x ' = f g ( x ) . I f t h e a c t i o n i s n o t f r e e , i t i s v e r y . s i m p l e t o
p r o v e t h a t t h e l i t t l e g r o u p s o f p o i n t s i n t h e s a m e o r b i t a r e a l l i s o m o r p h i c .
T h u s , i f t h e a c t i o n o f G i s t r a n s i t i v e , t h e r e i s a b i j e c t i v e m a p p i n g b e t w e e n
M a n d G / G x a n d M i s s a i d t o b e a h o m o g e n e o u s s p a c e o f G . F o r i n s t a n c e ,
i f G i s t h e P o i n c a r e g r o u p Y , M = R 4 a n d w e t a k e t h e o r i g i n f o r x , G x i s
t h e L o r e n t z g r o u p L a n d t h u s M i n k o w s k i s p a c e m a y b e i n t r o d u c e d a s t h e
h o m o g e n e o u s s p a c e Y / L . I f t h e a c t i o n i s e f f e c t i v e , t h e m a p p i n g g H f g i s
o n e - t o - o n e s i n c e f g * f g ' i f g g ' . F o r i n s t a n c e , t h e a d j o i n t a c t i o n o f G o n
G ( M = G ) , g o t - + g g o g - 1 , i s n o t e f f e c t i v e ( G ' = C G , t h e c e n t r e o f G ) , b u t
t h e n a t u r a l l y i n d u c e d a c t i o n o f G / C G o n G i s e f f e c t i v e . I f M i s a v e c t o r
s p a c e a n d f g - D ( g ) i s a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n , t h e m a p p i n g g H D ( g )
d e f i n e s a f a i t h f u l r e p r e s e n t a t i o n i f i t i s b i j e c t i v e , a n d a t r i v i a l o n e i f D ( g )
i s t h e i d e n t i t y a u t o m o r p h i s m o f M ; t h e n o r m a l s u b g r o u p G ' a b o v e i s t h e
k e r n e l o f t h e r e p r e s e n t a t i o n . A f r e e a c t i o n i s n e c e s s a r i l y e f f e c t i v e , b u t t h e
c o n v e r s e i s n o t t r u e : f o r i n s t a n c e , a l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n D ( g ) o f G , a n d
i n p a r t i c u l a r a f a i t h f u l o n e , c a n n o t b e f r e e s i n c e t h e i s o t r o p y g r o u p o f t h e
z e r o v e c t o r i s G i t s e l f . F i n a l l y , s i n c e t h e n u l l v e c t o r i s s t a b l e u n d e r t h e
a c t i o n o f D ( g ) , a l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n i s n e v e r t r a n s i t i v e .
-
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1 . 1 L i e g r o u p s a n d a c t i o n s o f a L i e g r o u p o n a m a n i f o l d 5
L e t u s g o b a c k t o e q . ( 1 . 1 . 1 ) a n d l e t n o w a g k b e t h e p a r a m e t e r s o f
t h e L i e g r o u p w h i c h c h a r a c t e r i z e a n i n f i n i t e s i m a l t r a n s f o r m a t i o n o n M .
E x p a n d i n g f 1 ( b g , x ) w e o b t a i n
8 x ` = x " - x ` = f ` 0 g ; x ) - f ` ( 0 ; x ) ^
o f ` ( g ; x )
a g k
S g k
g = e
w h e r e i = 1 , . . . , n
a n d k = 1 ,
. . . , r .
T h i s i m p l i e s t h a t u n d e r a v a r i a t i o n S x o f
x d u e t o t h e i n f i n i t e s i m a l t r a n s f o r m a t i o n b g a f u n c t i o n F ( x l , . . . , x n ) o n M
w i l l c h a n g e , t o f i r s t o r d e r , b y
8 F -
O F a x i -
O F a f ` ( g l , . . . , g ' ' , x l , . . . , x n )
a g k
a x e a x l
a g k
L e
( 1 . 1 . 9 )
b g k ( X ( k ) . F ) ; 8 ( k ) F = X ( k ) . F .
T h u s , t h e d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r o n M ( o r v e c t o r f i e l d i n T ( M ) , s e e b e l o w
a n d s e c t i o n 1 . 3 ) ,
X ( k ) ( x ) =
a f i ( g l , . . . , g r ; x l , . . . , x n )
O g k
g = e
a x i
( i = 1 , . . . , n ) , ( 1 . 1 . 1 0 )
i s t h e g e n e r a t o r o f t h e i n f i n i t e s i m a l t r a n s f o r m a t i o n a s s o c i a t e d w i t h a
g i v e n p a r a m e t e r b g k . T h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f S . L i e s t a t e s t h a t t h e r
i n f i n i t e s i m a l g e n e r a t o r s c l o s e i n t o a n a l g e b r a , t h e L i e a l g e b r a
o f G :
[ X ( j ) ( x ) , X ( k ) ( x ) ] = - C j i k X ( l ) ( x )
( j , k , 1 = 1 , . . . , r ) .
( 1 . 1 . 1 1 )
T h e r e a s o n f o r t h e i n s e r t i o n o f t h e m i n u s s i g n h e r e i s c o n v e n t i o n a l ; i t i s
d u e t o t h e f a c t t h a t w e a r e a s s u m i n g t h a t ( 1 . 1 . 1 ) i s d e f i n i n g a l e f t a c t i o n ,
a s w i l l b e e x p l a i n e d i n t h e n e x t s e c t i o n . T h e r e a l c o n s t a n t s C j ' k a r e t h e
s t r u c t u r e c o n s t a n t s o f t h e a l g e b r a a n d s a t i s f y t h e J a c o b i i d e n t i t y
[ [ X ( 1 ) , X ( j ) ] , X ( k ) ] + [ [ X ( J ) , X ( k ) ] , X ( i ) ] + [ [ X ( k ) , X ( I ) ] , X ( j ) ] = 0
( 1
1
1 2 )
.
C i j C l k + C j ' k C l T + C k l i C I j = 0
T h e m a n i f o l d M c a n b e , i n p a r t i c u l a r , t h e L i e g r o u p i t s e l f a n d t h e
g r o u p l a w ( 1 . 1 . 4 ) m a y n o w b e i n t e r p r e t e d i n t w o w a y s : a s t h e l e f t ( d i f -
f e o m o r p h i s m ) a c t i o n L g , o f a f i x e d g r o u p e l e m e n t g ' o n t h e m a n i f o l d G
p a r a m e t r i z e d b y t h e c o o r d i n a t e s g k ( k = 1 ,
. . . , r ) o f g , o r a s t h e r e s u l t o f
t h e r i g h t t r a n s l a t i o n R g o n G , i t s p o i n t s n o w b e i n g d e t e r m i n e d b y t h e
c o o r d i n a t e s o f g ' . I n t h e f i r s t c a s e , t h e g e n e r a t o r s X a r e t h o s e o f t h e l e f t
a c t i o n . T h e y a r e g i v e n b y
a
g ' = e
a g e
g = g
( 1 . 1 . 1 3 )
-
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25/473
6 1 L i e g r o u p s , f i b r e b u n d l e s a n d C a r t a n c a l c u l u s
I n t h e s e c o n d c a s e , t h e g e n e r a t o r s a r e t h o s e o f t h e r i g h t a c t i o n , a n d t h e i r
e x p r e s s i o n i s
a g
/ i t "
( g " g )
X ( k ) ( g ) =
a g ( k )
a
S e ,
g = e
a
g ' = g
( 1 . 1 . 1 4 )
( t h e r e a s o n f o r t h e s u p e r s c r i p t s R , L w i l l b e e x p l a i n e d i n t h e n e x t s e c t i o n ) .
N o w , s i n c e g " = g ' * e = g ' , g " = e * g = g , i t i s c l e a r t h a t
g )
a g ' k
s o t h a t
g ' = e
g = e
=
8
g )
k a g k
g = e
g ' = e
= S k
,
( 1 . 1 . 1 5 )
X ( k ) ( e ) = a (
k ) a g c = X ( k ) ( e ) ,
X ( k ) ( e ) = 8 ( k )
a g e
= X ( k ) ( e )
.
( 1 . 1 . 1 6 )
T h u s , ( 1 . 1 . 1 3 ) , ( 1 . 1 . 1 4 ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m
X ( k ) ( 9 ) = X ( k ) ( g )
a
a g ,
,
a n d X ( k ) ( g ) = [ R g ( e ) ]
k ,
( 1 . 1 . 1 7 )
X ( k ) ( 9 ) a g
,
a n d X ( 4 ( g ) = [ L g ( e ) ] k
,
( 1 . 1 . 1 8 )
w h e r e ( ( k ) i s t h e r o w ( c o l u m n ) i n d e x . T h e r v e c t o r s a / a g k = X ( k ) ( e ) ,
l a b e l l e d b y t h e i n d e x i n s i d e t h e b r a c k e t s ( k ) , c o n s t i t u t e a b a s i s o f t h e
t a n g e n t s p a c e T e ( G ) a t t h e i d e n t i t y o f G . T h e l i n e a r m a p p i n g s R g ( e ) , L g ( e )
X ( k ) ( g ) , X ( k ) ( g ) E
a k e t h e s e v e c t o r s , w i t h c o o r d i n a t e s
t o t h e v e c t o r s
T g ( G ) t a n g e n t t o G a t g t h e c o o r d i n a t e s o f w h i c h ( i n t e r m s o f 0 1 0 g , ) a r e
g i v e n b y ( 1 . 1 . 1 7 ) , ( 1 . 1 . 1 8 ) . I n o t h e r w o r d s , R g ( e ) a n d L g ( e ) a r e t h e t a n g e n t
( o r d i f f e r e n t i a l ) m a p p i n g s a t e a s s o c i a t e d w i t h t h e t r a n s l a t i o n s R g a n d L g
o f G a n d T e ( G ) m a y b e i d e n t i f i e d w i t h N , T e ( G ) = W ( s e e a l s o p r o p o s i t i o n
1 . 2 . 3 b e l o w ) .
T h e a r g u m e n t s i n R g ( e ) , L g ( e ) s h o u l d b e n o t i c e d . I n o r d e r t o s e e t h e
r o l e o f t h e a r g u m e n t s o f t h e t a n g e n t m a p p i n g s , c o n s i d e r t h e s u c c e s s i v e
a c t i o n o f t w o ( l e f t , s a y ) t r a n s l a t i o n s
L
g - g i g . - g g = g " g i g
D i a g r a m 1 . 1 . 1
B y u s i n g t h e c h a i n r u l e , w e m a y w r i t e
T e
_
a 8 _ _
a g e
a ( g o g ) '
= -
[ L T
k
( 1 . 1 . 1 9 )
g ) ] k
a g k
a ( g ' g ) J
a g k
-
9
1 g
-
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26/473
1 . 1 L i e g r o u p s a n d a c t i o n s o f a L i e g r o u p o n a m a n i f o l d
7
T h i s i s a p a r t i c u l a r c a s e o f t h e c h a i n r u l e f o r t h e t a n g e n t m a p p i n g o f
a c o m p o s i t e m a p p i n g : i f : M - * N , i p : N - f S a r e m a p p i n g s o f
m a n i f o l d s a n d w e w r i t e D ( 4 ) ) , D ( i p ) f o r 0 T
,
W 1 , t h e d e r i v a t i v e o f t h e
c o m p o s i t e m a p p i n g i o 0 r e a d s *
D ( p o 0 ) ( x ) = D ( p ) ( 4 ( x ) ) o D ( q 5 ) ( x )
( x E M ) , ( 1 . 1 . 2 0 )
w h i c h , i n l o c a l c o o r d i n a t e s , e x p r e s s e s t h e m u l t i p l i c a t i o n o f t h e J a c o b i a n
m a t r i c e s ( a s i n ( 1 . 1 . 1 9 ) ) o f t h e t w o t r a n s f o r m a t i o n s . T a k i n g g = e , g ' = g
a n d g " = g - 1 i n e q . ( 1 . 1 . 1 9 ) w e o b t a i n
L e ( e ) = L g , ( g ) o L T ( e )
i . e . , a g a i n w i t h g " = g ' g , t h a t
I
a g i
[ L g ( e ) ] - 1 = L g 1 ( g )
,
( 1 . 1 . 2 1 )
a g , , ;
a g k
g = g
g ' = 8 1
g = e
g ' = g
=
6 k
( 1 . 1 . 2 2 )
a n d n o t t h a t [ L g ( e ) ] [ L g , ( e ) ] i s 1 ; i n f a c t , t h i s l a s t e x p r e s s i o n d o e s n o t
h a v e a m e a n i n g i n g e n e r a l ( f o r l i n e a r m a p p i n g s , h o w e v e r , t h e d e r i v a t i v e
D ( 4 ) ) o f a m a p p i n g 0 c l e a r l y d o e s n o t d e p e n d o n t h e a r g u m e n t ) .
I t w a s a s s u m e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s s e c t i o n t h a t t h e L i e g r o u p G
w a s d e f i n e d t h r o u g h t h e t r a n s f o r m a t i o n s ( 1 . 1 . 1 ) o r , i n t h e t e r m i n o l o g y
o f D e f i n i t i o n 1 . 1 . 3 , t h a t i t s a c t i o n o n M w a s e f f e c t i v e . I n t h i s c a s e ( a s
o b v i o u s l y f o r t h e - t r a n s i t i v e , e f f e c t i v e a n d f r e e - l e f t a n d r i g h t a c t i o n s o f
G o n G a b o v e ) t h e r e i s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n a n d t h e L i e a l g e b r a
o f t h e i n f i n i t e s i m a l g e n e r a t o r s o f t h e a c t i o n o f G o n M , a n d b o t h m a y
b e i d e n t i f i e d a s i n ( 1 . 1 . 1 1 ) . I n g e n e r a l , h o w e v e r , w e m a y h a v e o n l y a
h o m o m o r p h i s m o f i n t o t h e a l g e b r a T ( M ) o f t h e v e c t o r f i e l d s o n M ,
a n d w e m a y a s k o u r s e l v e s w h e t h e r t h e r e i s a L i e g r o u p a c t i o n o n M s u c h
t h a t t h e v e c t o r f i e l d s o f T ( M ) t h a t i t i n d u c e s o n M a r e t h e i m a g e s o f t h e
e l e m e n t s X o f t h e L i e a l g e b r a W o f G . T h e c o n d i t i o n s f o r t h e a f f i r m a t i v e
a n s w e r c o n s t i t u t e t h e
( 1 . 1 . 1 ) T H E O R E M ( P a l a i s )
L e t G b e a s i m p l y c o n n e c t e d L i e g r o u p , M a c o m p a c t m a n i f o l d , a n d l e t
f : W - > X ( M ) b e a L i e a l g e b r a h o m o m o r p h i s m . T h e n t h e r e e x i s t s a u n i q u e
S t r i c t l y s p e a k i n g D o ( a l s o w r i t t e n d o a n d ' ) i s t h e s e c o n d c o m p o n e n t o f t h e t a n g e n t m a p p i n g
4 T ( o r T O ) , w h i c h i s d e f i n e d b y T : ( x , v ) H ( 4 ( x ) , D 4 ( x ) . v ) , w h e r e v a n d D 4 . v a r e t a n g e n t
v e c t o r s t o M a n d N a n d x E M , ( x ) E N a r e t h e i r b a s e p o i n t s . I n t h e s a m e w a y , a n e x p r e s s i o n
s u c h a s L g ( g ) , w h i c h a c t s o n a t a n g e n t v e c t o r a t g , a l s o c o r r e s p o n d s t o t h e s e c o n d c o m p o n e n t o f
t h e t a n g e n t m a p p i n g L T , . I n t e r m s o f t h e t a n g e n t m a p p i n g s , t h e c o m p o s i t e m a p p i n g t h e o r e m r e a d s
( V , o 4 ) T = W T _ O T ( o r T ( 1 , o 4 ) = T V - T 4 ) . F o r t h e s e c o n d c o m p o n e n t s o f t h e t a n g e n t m a p p i n g s
t h i s i m p l i e s , f o r i n s t a n c e , t h e n e x t f o r m u l a f o r D ( w o 4 ) ( x ) o r t h a t ( g ) = L T ( g ' g ) o L g ( g ) .
-
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8
1 L i e g r o u p s , f i b r e b u n d l e s a n d C a r t a n c a l c u l u s
a c t i o n f o f G o n M , f : G - * D f ( M ) , t h e g r o u p o f d f e o m o r p h i s m s o f M ,
s u c h t h a t f i s t h e t a n g e n t m a p p i n g f T :
- - * X ( M ) .
N o t i c e t h a t T e ( G ) = W , a n d t h e t a n g e n t s p a c e t o D i f f ( M ) m a y b e
i d e n t i f i e d w i t h t h e s p a c e o f v e c t o r f i e l d s o n M w h i c h d e t e r m i n e t h e L i e
a l g e b r a o f D i f f ( M ) . T h e s i m p l e c o n n e c t e d n e s s i s r e q u i r e d t o s i n g l e o u t a
L i e g r o u p f o r t h e g i v e n L i e a l g e b r a , a n d o n a c o m p a c t m a n i f o l d e v e r y
v e c t o r f i e l d i s c o m p l e t e .
1 . 2 L e f t - ( X L ) a n d r i g h t - ( X R ) i n v a r i a n t
v e c t o r f i e l d s o n a L i e G r o u p G
A t a n g e n t v e c t o r X ( x ) a t a p o i n t x o f a m a n i f o l d M c a n b e t h o u g h t o f a s
t h e i m a g e o f x u n d e r a d i f f e r e n t i a b l e m a p p i n g X : x H X ( x ) . X ( o r X M )
i s t h e n c a l l e d a v e c t o r f i e l d * o n t h e m a n i f o l d M . L e t n o w 0 : M - - > S b e
a d i f f e r e n t i a b l e m a p p i n g o f m a n i f o l d s ( n o t n e c e s s a r i l y a d i f f e o m o r p h i s m ) ,
a n d l e t X , Y b e v e c t o r f i e l d s o n M a n d S r e s p e c t i v e l y . Y i s t h e t r a n s f o r m e d
v e c t o r f i e l d o f X b y 0 ( i . e . , X a n d Y a r e s a i d t o b e 4 ) - r e l a t e d ) i f
4 ) T O X = Y o 0 ,
( 1 . 2 . 1 )
i . e . i f t h e d i a g r a m
O T
T ( M ) - > T ( S )
x T T Y
M - S
D i a g r a m 1 . 2 . 1 a
i s c o m m u t a t i v e .
T h e p r o p e r t y o f b e i n g - r e l a t e d p r e s e r v e s t h e L i e b r a c k e t o f v e c t o r
f i e l d s . M o r e p r e c i s e l y , t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n h o l d s :
( 1 . 2 . 1 ) P R O P O S I T I O N
L e t 0 : M - * S b e a d i f f e r e n t i a b l e m a p p i n g a n d l e t X i a n d Y i b e t w o p a i r s
o f - r e l a t e d v e c t o r f i e l d s o n M a n d S r e s p e c t i v e l y , 4 ) T o X , = Y ; o 4 ) , i = 1 , 2 .
T h e n
0 T 0 ( [ X I , X 2 ] )
_ [ Y 1 , Y 2 ] o 0 .
( 1 . 2 . 2 )
' U s u a l l y w e d e n o t e v e c t o r f i e l d s o n a m a n i f o l d M b y X . B u t i f i t i s c o n v e n i e n t t o d i s t i n g u i s h a
v e c t o r f i e l d o n M f r o m t h e a b s t r a c t a l g e b r a e l e m e n t X E 1 , w e s h a l l d e n o t e t h e f o r m e r b y X M .
A v e c t o r f i e l d o n M m a y a l s o b e w r i t t e n X ( x ) , x n o t f i x e d ( f o r a g i v e n x , X ( x ) E T x ( M ) i s a
v e c t o r t a n g e n t t o M a t x ) .
-
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1 . 2 L e f t - ( X L ) a n d r i g h t - ( X R ) i n v a r i a n t v e c t o r f i e l d s 9
P r o o f : T h e d e m o n s t r a t i o n i s s i m p l e , a n d m a k e s u s e o f t h e f a c t t h a t f o r a n y
f E F ( S ) ( s m o o t h f u n c t i o n o n t h e m a n i f o l d S ) t h e e q u a l i t y d f ( T [ X I , X 2 ] )
= d f ( [ Y 1 , Y 2 ] o 0 ) h o l d s t . T h i s i s i n t u r n p r o v e d b y r e c a l l i n g t h a t , f o r a n y
v e c t o r f i e l d Y o n S , d f ( Y ) = Y J f ( s e e s e c t i o n 1 . 4 ) a n d t h a t , i f X a n d Y
a r e 4 ) - r e l a t e d , X . ( f o 0 ) = ( Y . f ) 4 ) , q . e . d .
I f 0 i s a d i f f e o m o r p h i s m a n d X a n d Y a r e 4 ) - r e l a t e d , t h e n
Y = O T o X o 4 - 1 : = 0 . ( X ) ;
( 1 . 2 . 3 )
t h e s e c o n d e q u a l i t y d e f i n e s t h e p u s h f o r w a r d o f X b y 0 . S i m i l a r l y ( s e e
s e c t i o n 1 . 4 ) , b y r e p l a c i n g 0 b y 0 - 1 w e c a n d e f i n e t h e p u l l - b a c k o f a v e c t o r
f i e l d Y o n S a s t h e v e c t o r f i e l d o n M g i v e n b y 4 '
0 * 1 ,
0 * ( y ) = ( 4 ) T ) - l
0 Y 0 0
( 1 . 2 . 4 )
N o t i c e t h a t a l t h o u g h ( 1 . 2 . 1 ) m a k e s s e n s e i n g e n e r a l , e q s . ( 1 . 2 . 3 ) a n d ( 1 . 2 . 4 )
r e q u i r e t h a t 0 b e a d f e o m o r p h i s m . L e t n o w M = S . T h e n X i s s a i d t o b e
a 4 ) - i n v a r i a n t v e c t o r f i e l d i f
X = 4 . ( X ) . ( 1 . 2 . 5 )
C o n s i d e r n o w t h e c a s e w h e r e M = S = G , 4 . _ ( L S ) . a n d l e t u s l o o k a t
D i a g r a m 1 . 2 . 1 b b e l o w ,
X ( g ) L ( L S X ) ( S g ) = Y ( S g ) ;
X ( S g )
T
T
X
X
L s
g s g
D i a g r a m 1 . 2 . 1 b
I f t h e d i a g r a m i s c o m m u t a t i v e , t h e n t h e i m a g e Y ( s g ) o f t h e t a n g e n t v e c t o r
X ( g ) E T g ( G ) b y L S i s j u s t t h e v e c t o r X ( s g ) , t h e i m a g e o f s g E G b y X ,
a n d X i s a n i n v a r i a n t v e c t o r f i e l d . T h u s w e c a n g i v e t h e f o l l o w i n g
( 1 . 2 . 1 ) D E F I N I T I O N ( L e f t - i n v a r i a n t v e c t o r f i e l d )
A v e c t o r f i e l d X o n t h e L i e g r o u p G s a t i s f y i n g
X = L S o X o L S 1 : = L S . X
( 1 . 2 . 6 )
i s c a l l e d a l e f t - i n v a r i a n t v e c t o r f i e l d ( L I V F ) o n G .
t T h e e x t e r i o r d e r i v a t i v e i s i n t r o d u c e d i n s e c t i o n 1 . 4 .
-
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1 0 1 L i e g r o u p s , f i b r e b u n d l e s a n d C a r t a n c a l c u l u s
L e f t - i n v a r i a n t v e c t o r f i e l d s w i l l b e d e n o t e d b y X L . T h e y d e t e r m i n e a
v e c t o r s p a c e . 1 L ( G ) o f d i m e n s i o n d i m G w h i c h i s c l o s e d u n d e r t h e L i e
b r a c k e t ; i t s b a s i s X W g e n e r a t e s t h e a l g e b r a W o f G . T h e L I V F s d o n o t
c o n s t i t u t e a n $ ( G ) - m o d u l e , h o w e v e r , s i n c e f X L 0
' L ( G ) , f E
( G ) .
T h e F ( G ) - m o d u l e o f v e c t o r f i e l d s o n G w i l l b e d e n o t e d Y ( G ) . I t i s a f r e e
. F ( G ) - m o d u l e o f d i m e n s i o n d i m G o r , i n o t h e r w o r d s , i f X E
' ( M ) , X c a n
b e w r i t t e n a s X = f ` X ( , i = 1 ,
. . . , d i m G , w h e r e
i s a b a s i s o f . ' L ( G )
a n d f ' E 3 ( G ) .
E q . ( 1 . 2 . 6 ) i s s o m e t i m e s w r i t t e n X = L S X , b u t t h i s i s n o t q u i t e c o r r e c t .
E q . ( 1 . 2 . 6 ) a p p l i e d t o s g e s t a b l i s h e s t h a t
X L ( s g ) = L S ( g ) X ( g )
( 1 . 2 . 7 )
o r , e q u i v a l e n t l y ,
X L ( g ) = L g ( e ) X ( e )
. ( 1 . 2 . 8 )
T h e a r g u m e n t s o f t h e t a n g e n t m a p p i n g s m a y ( a n d o f t e n w i l l ) b e l e f t
u n d e r s t o o d b u t , a s m e n t i o n e d , t h e y c a n n o t b e i g n o r e d . E q s . ( 1 . 2 . 8 ) o r
( 1 . 2 . 7 ) c o n s t i t u t e a n o t h e r f o r m o f e x p r e s s i n g t h a t X L i s a L I V F .
L e t u s g o b a c k t o ( 1 . 1 . 1 8 ) . A p p l y i n g ( 1 . 2 . 6 ) i t i s c l e a r t h a t t h e s e v e c t o r
f i e l d s o n G a r e l e f t - i n v a r i a n t . S i m i l a r l y , a v e c t o r f i e l d i s s a i d t o b e r i g h t -
i n v a r i a n t ( R I ) i f
R S . X = X
,
i . e .
R T ( e ) X ( e )
=
X R ( g )
.
( 1 . 2 . 9 )
T h e r i g h t - i n v a r i a n t v e c t o r f i e l d s ( R I V F s ) w i l l b e d e n o t e d X R ; i t i s i m m e -
d i a t e l y s e e n t h a t t h o s e g i v e n b y ( 1 . 1 . 1 7 ) a r e R I ( t h e s u p e r s c r i p t s L , R w i l l
a l w a y s r e f e r t o t h e l e f t a n d r i g h t i n v a r i a n c e o f t h e c o r r e s p o n d i n g v e c t o r
f i e l d s a n d n o t t o t h e t r a n s f o r m a t i o n s t h a t t h e y g e n e r a t e ) . T h u s , t h e v e c t o r
f i e l d s w h i c h g e n e r a t e t h e l e f t ( r i g h t ) a c t i o n o f G o n G a r e R I ( L I ) , a n d
t h i s j u s t i f i e s t h e n o t a t i o n u s e d i n ( 1 . 1 . 1 3 ) , ( 1 . 1 . 1 4 ) . T h i s i s n o w n a t u r a l ; f o r
i n s t a n c e , f o r L I V F s [ ( 1 . 1 . 1 4 ) , ( 1 . 1 . 1 8 ) ] ,
"
[ L g ( e ) ] k =
g )
g = e
g ' = S g
a n d s i n c e L T ( e ) = L T ( g ) L g ( e ) [ ( 1 . 1 . 1 9 ) ] i t i s c l e a r t h a t ( 1 . 2 . 7 ) i s s a t i s f i e d .
( 1 . 2 . 2 ) P R O P O S I T I O N
L e t t h e L i e a l g e b r a
o f G b e d e f i n e d b y
[ X ( j ( g ) , X ( [ ) ( g ) ] =
( i , j , k = 1 , . . . , r )
,
( 1 . 2 . 1 0 )
X L E j L ( G ) . T h e n
X ( j ) ( g ) ] =
( 1 . 2 . 1 1 )
-
7/24/2019 052146501X_0521597005
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1 . 2 L e f t - ( X L ) a n d r i g h t - ( X R ) i n v a r i a n t v e c t o r f i e l d s
1 1
( X R E X R ( G ) ) a n d
[ X ( L ( g ) , X R ) ( g ) ] = 0
. ( 1 . 2 . 1 2 )
P r o o f : E x p a n d i n g ( 1 . 1 . 3 ) i n s e r i e s b y a s s u m i n g g ' , g s m a l l , o n e o b t a i n s
g k
=
g ' k + g k
"
a g g i + b e g " g ' 3 9 + d
g I g j g i e
+ 0 4 ( g ' , g ) k
( 1 . 2 . 1 3 )
T h e 0 4 ( g ' , g ) c o n t a i n s t h e g r 3 g , g 1 2 g 2 a n d g ' g 3 t e r m s ; n o t e t h a t t h e r e a r e
n o n o n - l i n e a r p u r e g ' o r g t e r m s i n t h e e x p a n s i o n d u e t o t h e a s s o c i a t i v i t y
o f t h e g r o u p l a w o f G . E q . ( 1 . 2 . 1 3 ) t e l l s u s t h a t
a ) i n t h e f i r s t a p p r o x i m a t i o n , a n y L i e g r o u p i s c o m m u t a t i v e a n d i s o m o r -
p h i c t o R I ;
b ) t o d e t e r m i n e t h e s t r u c t u r e c o n s t a n t s o f t h e
