04_Losas_Apuntes 4_2010-2_6dpp

Hormigón Armado I

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Unidad 4 - Diseño de Losas4.1 Conceptos generales

(Placas, Clasificación de placas y Tipos de losas)

4.2 Métodos de análisis para el cálculo de esfuerzos4.2.1 Método clásico exacto4.2.2 Método clásico aproximado (Método de Marcus)

4.2.2.1 Método por coeficientes

4.3 Modo de falla de las losas4.4 Losas apoyadas en todo su contorno

4.4.1 Losas armadas en una dirección4.4.2 Losas armadas en dos direcciones

4.5 Cálculo aproximado de los esfuerzos en campos de losas continuas

4.6 Disposiciones de diseño de losas a flexión4.6.1 Armadura para resistir momentos negativos (armadura superior)4.6.2 Armadura para resistir momentos positivos

4.7 Distribución de cargas sobre los elementos de apoyo4.8 Corte en los sistemas de losas que trabajan en dos direcciones4.9 Pasos generales para el diseño de losas

En un país sísmico como Chile, la estructura resistente debe transmitir al terreno dos tipos de solicitaciones: las verticales o gravitacionales, provenientes principalmente del peso propio y de las sobrecargas de uso; y las laterales u horizontales provenientes de acciones eventuales como el sismo y el viento.

Los elementos resistentes que transmiten cargas verticales son las losas, vigas, columnas y muros.

Los elementos que transmiten cargas horizontales son las losas (a través del trabajo de su plano), vigas, columnas y muros, pero la forma en que trabajan estos elementos en este caso es diferente al caso de las cargas verticales.

4.1. Conceptos generales

Las losas son subsistemas horizontales cuya función principal es resistir cargas verticales directas y distribuir estas cargas en subsistemas verticales (vigas columnas y muros).

Además, desarrollan la función de diafragma rígido al nivel del cielo de cada piso en un edificio, ya que con ello es posible incorporar a todos los elementos resistentes, columnas o muros, a la función de resistir los esfuerzos horizontales (esfuerzo de corte) que solicitan cada piso del edificio y, de compatibilizar las deformaciones horizontales de los muros o columnas.

4.1. Conceptos generales 4.1. Conceptos generales

PLACASPLACAS

Las placas son estructuras limitadas por dos planos paralelos de separación h, donde:

• h << b , a donde “b” y “a” son las

dimensiones de la placa

• Generalmente están diseñadas para recibir cargas perpendiculares a su plano medio.


PLACASPLACASLas placas son estructuras limitadas por dos planos paralelos de separación h, donde:

• Los esfuerzos generados en las placas son generalmente de flexión.

Si h / a < 1/5 placas delgadas (esfuerzos de flexión)

Si h / a > 1/5 placas gruesas (estado triaxial de

tensiones, no las estudiaremos)

Donde “a” es la dimensión menor de la placa.


PLACASPLACASLas placas son estructuras limitadas por dos planos paralelos de separación h, donde:

• Es importante controlar sus deformaciones para que no se produzcan tensiones de membrana (cáscaras), que se superponen a las de flexión. Así:

51

<hδ Donde δ es la máxima

deflexión vertical en la losa

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CLASIFICACICLASIFICACIÓÓN DE PLACASN DE PLACAS

• Según su forma: cuadradas, circulares, poligonales

• Según disposición de apoyos: apoyadas en los bordes, apoyadas sobre columna, en voladizo, continuas, etc.

• Según coacción en apoyos: simples, empotradas, elástico, borde libre.

• Además cada placa puede estar sometida a distintos tipos de cargas: puntuales, uniformemente distribuidas, triangulares, trapezoidales.


TIPOS DE LOSASTIPOS DE LOSAS• Apoyadas sobre columnasApoyadas sobre columnas:

• Debido a que Chile es un país altamente sísmico no son utilizadas por su poca rigidez lateral.

• Cuando las luces son grandes hay poca rigidez flexural, lo que implica grandes deformaciones

aumenta espesor de losa aumenta carga muerta aumenta creep.

• Para evitar efectos de punzonamiento se colocan ábacos y/o capiteles.



• Acciones gravitacionales:- Concentración de esfuerzos en zonas de apoyos sobre columnas

• Acciones laterales: sismo o viento- Marcos no arriostrados contra desplazamiento laterales losas actúan como parte del sistema resistente a las acciones laterales- El análisis debe considerar la transferencia de momento entre losas y columna





Falla por punzonamiento



Ábacos

Capitel de columna

Columna con ábaco y capitel

Al aumentar el espesor en la zona de apoyo se mejora el traspaso de carga

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Ábacos

Capitel de columna

Columna con ábaco y capitel



• Arquitectónicamente deseables y estéticamente agradables

• Sin embargo, generalmente resultan con altas cuantías de refuerzo y nivel de detallamiento

• Son sensibles a falla frágil en los apoyos


TIPOS DE LOSASTIPOS DE LOSAS• Losas Losas nervadasnervadas::

• Se generan espacios vacíos entre nervios, que disminuyen el peso propio, pero el costo de construcción es alto (el tiempo de ejecución también es mayor).

• Se utilizan mucho cuando las luces son grandes. Ej. Biblioteca de la Universidad de Concepción.






TIPOS DE LOSASTIPOS DE LOSAS

• Losas apoyadas sobre vigas:Losas apoyadas sobre vigas:

• Se genera un sistema en que el marco soporta el peso de la placa. Este sistema es el más utilizado en el código ACI: “marco equivalente”.

En Chile se estudian las losas como En Chile se estudian las losas como subsistemas horizontales independientes, subsistemas horizontales independientes, apoyadas generalmente en todos sus bordes apoyadas generalmente en todos sus bordes con elementos de gran rigidez con elementos de gran rigidez flexuralflexural..

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TIPOS DE LOSASTIPOS DE LOSAS• Losas apoyadas sobre vigas:Losas apoyadas sobre vigas:



Uso de vigas intermedias en una dirección



Uso de vigas intermedias en dos direcciones


TIPOS DE LOSASTIPOS DE LOSAS

Las losas de hormigón armado de los tipos expuestos anteriormente se diseñan casi siempre para cargas que se suponen distribuidas de manera uniforme sobre la totalidad de la losa, limitadas por las vigas de apoyo o por los ejes entre centros de columnas. Las pequeñas cargas concentradas pueden absorberse mediante la acción en dos direcciones del refuerzo (acero a flexión en dos direcciones para sistemas de losas en dos direcciones o acero a flexión en una dirección más acero de repartición lateral para sistemas en una dirección). Por lo general, las grandes cargas concentradas requieren vigas de apoyo.

Para el cálculo de esfuerzos en placas existen dos grandes métodos:

MMéétodos cltodos cláásicossicos: se fundamentan en la teoría de la elasticidad, suponen que el material es homogéneo e isotrópico y se comporta linealmente.

MMéétodos no linealestodos no lineales: se fundamentan en la teoría de la plasticidad y suponen que el material se comporta como un cuerpo rígido-plástico perfecto.

4.2. Métodos de análisis para el cálculo de esfuerzos

En este curso sólo estudiaremos losas con soportes continuos (vigas o muros) en todos sus bordes.

En esta asignatura determinaremos los esfuerzos internos de las losas, a través de un método en el rango elástico que soluciona la ecuación diferencial de Lagrange a través de series dobles de Fourier.

Para profundizar en los otros mPara profundizar en los otros méétodos se recomienda el libro todos se recomienda el libro ““Losas de concreto reforzadoLosas de concreto reforzado”” (R. (R. ParkPark, , W.LW.L. . GambleGamble).).


Soportes Continuos Soportes AisladosLímite Inferior (Franjas)

Ec. Diferencial Lagrange Método Diseño DirectoDiferencias finitas Mét. Marco equivalente Límite Superior (Líneas de Fluencia)Elementos FinitosEmparrilladoAncho eficazMarcus

ANALISIS ESTRUCTURAL DE LOSAS

METODOSRANGO ELASTICO

METODOS DE ROTURANO LINEALES

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4.2.1. Método Clásico Exacto

En las teorías elásticas clásicas se cumplen las siguientes condiciones:

1. Equilibrio: se satisfacen las condiciones de equilibrio en cada punto de la placa, entre cargas y esfuerzos y entre esfuerzos y tensiones.

2. Compatibilidad: se satisfacen las condiciones de apoyo.

3. Linealidad: las tensiones son proporcionales a las de formaciones y por lo tanto, los momentos flectores son proporcionales a las curvaturas.



La ecuación diferencial de la placa, conocida también como ecuación de Lagrange, se deduce a partir de ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad de deformaciones. En su planteamiento se supone que los puntos normales al plano medio antes de la deformación se mantiene normales después de la deformación (ley de deformación plana de Kirchhoff).



Según este método, la deformación de una placa delgada sometida a cargas perpendiculares a su plano queda definida por la función w(x,y), que determina los desplazamientos verticales de los puntos (x,y) del plano medio de la placa (ley de deformación plana de Kirchhoff).

De esta manera, se pueden expresar las tensiones y los esfuerzos que aparecen en la placa en función de w.


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅+

∂∂⋅−= 2

2

2

2

yw

xwDmx ν

Los esfuerzos por unidad de ancho de placa valen:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅+

∂∂⋅−= 2

2

2

2

xw

ywDmy ν

Momento flector en dirección x (alrededor del eje y)

Momento flector en dirección y (alrededor del eje x)

( )yx

wDmxy ∂⋅∂∂⋅−⋅−=

2

1 ν Momento torsor



xymR 2= Esfuerzo puntual en las esquinas de losas simplemente apoyadas

ym

xm

yw

xw

xDv xyx

x ∂∂

+∂∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂⋅

∂∂⋅−= 2

2

2

2

ym

xm

yw

xw

yDv yxy

y ∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⋅∂∂

⋅−= 2

2

2

2

Esfuerzo cortante en dirección x

Esfuerzo cortante en dirección y

Los esfuerzos por unidad de ancho de placa valen:



( )2

3

112 vhED−⋅

= Rigidez a flexión de la placa

E: módulo de elasticidad del hormigón

ν: módulo de poisson del hormigón (entre 0,15 a 0,25)

Donde:

0)y,x(qyv

xv yx =+

∂∂

+∂∂

Si se expresa la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales de un elemento de placa sometido a cortantes Vx, Vy y a la carga q(x,y), se tiene:

Resultando la ecuación de Lagrange o de las placas:

( )D

y,xqyw

yxw2

xww 4

4

22

4

4

4

=∂∂+

∂∂∂⋅+

∂∂=ΔΔ



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• Las condiciones de borde de esta ecuación diferencial vienen impuestas por vínculos existentes en los apoyos de la placa (empotramiento, apoyo simple, borde libre).

• Una vez obtenida la función w se pueden calcular todos los esfuerzos.

• En general, no es posible encontrar una función w(x,y) que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones de contorno para una placa de forma, apoyos y carga q(x,y) predeterminados.

Por lo tanto, se recurre a soluciones aproximadas que obtienen a w como la suma de funciones elementales que satisfacen las condiciones de contorno.



La primera solución a la ecuación fue propuesta por Navier en 1820, para placas rectangulares simplemente apoyadas, mediante series dobles de Fourier. Su forma general es:

Donde a y b son las dimensiones principales de la placa, C es una constante, Amn es una variable que depende del término de la serie, definido por los enteros m y n, y de la relación entre los lados a/b.

La limitación de este método es que la integración de la ecuación diferencial por series es solamente aplicable a un número reducido de formas de placas y condiciones de contorno.



bymsen

axmsen

1m 1nAmnCqw ππ

∑∞

=∑∞

==

Una excelente solución para placas de hormigón apoyadas en sus bordes y sometidas a cargas distribuidas se encuentra en el libro “Hormigón armado”de P. Jiménez Montoya (ν = 0,15).

Es importante destacar que en este libro se determinan los esfuerzos por losa individual, esta aproximación presenta algunos problemas cuando existen campos de campos de losas continuaslosas continuas, debido a que se obtienen distintos momentos negativos para losas que comparten un lado común, por lo tanto, deben satisfacer la continuidad de satisfacer la continuidad de momentos flectoresmomentos flectores.



Si en dos losas vecinas no existen diferencias mayores a un 20% entre las luces que llegan a un borde común, se asume que una buena aproximación para compensar compensar los momentos negativoslos momentos negativos es promediarlos. Sin embargo, es necesario considerar el efecto que provoca este promedio en los momentos positivos de los vanos.



La aproximación anterior deja de ser válida cuando existen diferencias mayores a un 20 %, entre luces que llegan a un lado común. En estos casos es necesario generar nuevos criterios de compensación de momentos, tales como:

- Ponderación (2/3)Mmayor + (1/3)Mmenor

- Ponderación a través de los factores para momentos negativos de las tablas de Jiménez-Montoya.



FFFF

M2S1S

2S21S1u

MuMu−−

−−−

+⋅+⋅

=

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En general existen 2 posibilidades de apoyos en los bordes de las losas: vigas o muros.vigas o muros.

Una viga o muro tiende a empotrar a una losa cuando la rigidez al giro es mucho mayor a la rigidez al giro de la losa.

¿Cuando se considera empotrado un apoyo de una losa?


¿Cuando se considera empotrado un apoyo de una losa?


Es un método aproximado muy utilizado antes de la aparición de los computadores, siendo conceptualmente interesante.

Esté método considera la losa como un emparrillado de vigas en dos direcciones (dividir la losa en franjas cruzadas) y determina la carga que toma cada una de ellas igualando las deformaciones en el centro.

El cálculo de las deformaciones no considera directamente el efecto de la torsión, ya que lo introduce como un factor de reducción de momentos.

4.2.2. Método Clásico Aproximado (Método de Marcus)


4.2.2. Método Clásico Aproximado (Método de Marcus)


y

yyy

x

xxx

EIlq

EIlq 44

384384⋅

⋅=⋅

⋅αα

qqll

lq

yyxx

yyx ⋅=⋅

+= χ

ααα

44

4

qqll

lqyyxx

xxy ⋅=⋅

+= ρ

ααα

44

4

1) Se iguala la flecha en el punto de intersección:

Con:

: dependen de las condiciones de apoyo yx αα ,

qqq yx =+

4.2.2. Método Clásico Aproximado (Marcus)


y

yyy

x

xxx

lqM

lqM

η

η2

2

=

=

2) Se determinan los momentos en ambas direcciones:

:, yx ηη Dependen de las condiciones de apoyo



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yyyxxx MMMM ⋅=⋅= ψψ maxmax ;

2) Se determinan los momentos en ambas direcciones:

Para considerar los efectos del momento torsor se aplica un coeficiente de reducción. Para esté método también son válidas las consideraciones de compensación de momentos negativos vistos anteriormente.

2

2

2

2

816

51;

816

51y

y

x

yy

y

x

y

xx

lq

Mll

lq

Mll

⋅⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

⋅⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−= ψψ



El método por coeficientes de losas (en 2 direcciones), basado en el Método de Marcus, se utiliza en forma amplia para losas de hormigón armado soportadas en los bordes por muros, vigas de acero o vigas monolíticas de hormigón, cuya altura total no sea menor que 3 veces el espesor de la losa, y que cumple con lo exigido por el código ACI 318, en el sentido de que un sistema de losa puede diseñarse utilizando cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y de compatibilidad geométrica, siempre y cuando se demuestre que la resistencia de diseño en cada sección es por lo menos igual a la resistencia requerida para que se cumplan los requisitos de funcionamiento.

4.2.2.1. Método por coeficientes


Este método utiliza tablas de coeficientes de momento que cubren varias condiciones y que se basan en el análisis elásticos pero también tienen en cuenta la redistribución inelástica. Por lo tanto, el momento de diseño en cada dirección es menor en cierta cantidad que el momento máximo elástico en esa dirección.

De esta manera los momentos en las franjas centrales en las 2 direcciones se calculan a partir de las expresiones:



2aaa lwCM =2

bbb lwCM =

Donde:Ca , Cb: Coeficientes de momentos tabuladosw: carga uniformela : longitud de la luz libre en la dirección cortalb : longitud de la luz libre en la dirección larga



Fig. Variación de los momentos según las secciones críticas supuestas para el diseño, en una dirección de la losa.

Cada losa se divide, n ambas direcciones, en una franja central cuyo ancho es la mitad de la losa y dos franjas de borde con un ancho igual a ¼ del ancho de la losa.

Los momentos en las dos direcciones son mayores en la zona central de la losa que en las regiones cercanas a los bordes, por lo cual, este método establece que toda la franja central se diseña para el momento de diseño total tabulado.

Para las franjas de borde, este momento se supone que disminuye a un tercio de su valor máximo.Nota: Para un estudio mNota: Para un estudio máás detallado de este ms detallado de este méétodo ver Captodo ver Capíítulo 12 de tulo 12 de la Bibliografla Bibliografíía a "Dise"Diseñño de Estructuras de Concreto",o de Estructuras de Concreto", WinterWinter, G., , G., NilsonNilson, , A., A., McGrawMcGraw Hill Hill BookBook, , CoCo., 11., 11ªª EdEd., 1993.., 1993.



Consideremos una losa rectangular, apoyada continuamente en sus bordes, con una carga uniforme incremental.

Inicialmente para las cargas bajas se desarrolla un comportamiento elástico lineal.

4.3. Modo de falla de las losas

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Consideremos una losa rectangular, apoyada continuamente en sus bordes, con una carga uniforme incremental.


Toda la teoría de placas coincide hasta el punto cracking, donde se forma la primera fisura con su correspondiente pérdida de rigidez y comportamiento no lineal.

PUNTO A:PUNTO A:

Si gradualmente se aumenta la carga, en los lados más largos se generan momentos mayores negativos, comienza a fluir la armadura y aparecen grietas que se van distribuyendo a lo largo de los apoyos.


Comienzan a girar las secciones, se incrementan las deformaciones, se redistribuyen los esfuerzos, cambian las condiciones de apoyo, aparecen las primeras grietas para momento positivo.

PUNTO B:PUNTO B:


Se plastifican sucesivamente las secciones situadas en unas líneas que progresan, se unen y cruzan la placa reduciéndola a un mecanismo libremente deformable.

Estas líneas se llaman líneas de rotura.

PUNTO C:PUNTO C:


Nota: Para un mejor entendimiento de Nota: Para un mejor entendimiento de las llas lííneas de rotura ver Capneas de rotura ver Capíítulo 14 de la tulo 14 de la BibliografBibliografíía a "Dise"Diseñño de Estructuras de o de Estructuras de Concreto",Concreto", WinterWinter, G., , G., NilsonNilson, A., , A., McGrawMcGraw Hill Hill BookBook, , CoCo., 11., 11ªª EdEd., 1993.., 1993.

4.3. Modo de falla de las losas 4.3. Modo de falla de las losas

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4.3. Modo de falla de las losas 4.3. Modo de falla de las losas


COMENTARIO (Método de las líneas de rotura)

El método de las líneas de rotura o fluencia para el cálculo de losas de hormigón armado fue iniciado por A. Ingerslev y ampliado y mejorado considerablemente por K. W. Johansen (ingenieros daneses).

La carga última o máxima del sistema de losas se estima presuponiendo un mecanismo de colapso que sea compatible con las condiciones de borde. Los momentos en las líneas de las articulaciones plásticas serán los momentos últimos o máximos de resistencia de las secciones y la carga última o máxima se determina utilizando el principio de trabajo virtual o las ecuaciones de equilibrio.


COMENTARIO (Método de las líneas de rotura)

Para el método es preciso examinar todos los mecanismos posibles de colapso para garantizar que la capacidad de carga no se sobreestima. Sin embargo, los mecanismos correctos de colapso en casi todos los casos usuales son bien conocidos y, por consiguiente, el proyectista no estará enfrentado a menudo con la incertidumbre de la existencia de alternativas adicionales.Se debe hacer notar que la teoría de la línea de rotura o fluencia supone un colapso por flexión, es decir, que la losa tiene suficiente resistencia al corte para impedir la falla al corte.


Nota: Para un mejor entendimiento de las lNota: Para un mejor entendimiento de las lííneas de rotura ver Capneas de rotura ver Capíítulo 14 de la tulo 14 de la BibliografBibliografíía a "Dise"Diseñño de Estructuras de Concreto",o de Estructuras de Concreto", WinterWinter, G., , G., NilsonNilson, A., , A., McGrawMcGraw Hill Hill BookBook, , CoCo., 11., 11ªª EdEd., 1993.., 1993.

En general se supone que una línea de rotura (ó línea de fluencia) que se forma en la esquina de una losa entra directamente a la esquina, como se indica en la figura (a).

EFECTO DE ESQUINAEFECTO DE ESQUINA


Figura (a) - Línea de rotura o fluencia en la esquina de una losa.

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No obstante, es obvio por la teoría elástica de las losas, que existen momentos fuertes de torsión en las regiones de esquinas, y que si la esquina de una losa simplemente apoyada no se sujeta en su lugar, tenderáa levantarse del apoyo.

Tiene su analogía en la teoría de la línea de fluencia en el fenómeno denominado por Johansen “palancas en las esquinas”.



Si no se sujetan las esquinas de una losa simplemente apoyada, la línea de rotura o fluencia tiende a bifurcarse antes de llegar a la esquina, como se indica en la figura (b), y la sección triangular de la región de la esquina tiende a girar alrededor de ab como eje y levantarse del apoyo.



Figura (b) - Línea de rotura o fluencia en la esquina de una losa.

Estas fuerzas tienden a levantar los bordes de las placas.



Alternativamente, si se sujeta la esquina en su lugar, pero no se proporciona acero superior, la losa tiende a agrietarse a través de la línea ab, como se señala en la figura (c). La línea ab será entonces una línea de rotura con resistencia cero.



Figura (c) - Línea de rotura o fluencia en la esquina de una losa.

Si se proporciona acero superior, y se sujeta la esquina, podrá todavía formarse el patrón de líneas de rotura de esquina de la figura (c), con ab como línea de fluencia con alguna resistencia al momento negativo.

Si se suministra suficiente acero superior y se sujeta la esquina, se desarrollará la línea de rotura o fluencia de esquina de la figura (a).

Si se forman los patrones de líneas de fluencia de las figuras (b) ó (c), la carga última o máxima de la losa será más baja que con el patrón de una sola línea que entre a la esquina.



Supongamos que tenemos una losa rectangular empotrada en sus 4 bordes. Estudiemos el comportamiento de algunas franjas representativas (strip) de la losa:

4.4. Losas apoyadas en todo su contorno

Recordemos además una relación fundamental de la teoría de la flexión: “el momento flector es proporcional a la curvatura”.

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Las deflexiones y momentos flectores son variables para cada franja de la losa.

La franja C que está en la dirección más larga de la losa, posee momentos flectores más pequeños debido a la escasa curvatura que presenta.

Los momentos flectores en la dirección más larga de la losa tienden a ser despreciables, cuando la razón (lado largo)/(lado corto) > 2. En este caso la losa trabaja fundamentalmente en su dirección corta y se denomina “losa en 1 dirección”. Cuando (lado largo)/(lado corto) < 2 se denomina “losa en 2 direcciones”.


Las losas apoyadas en todo su contorno se dividen en:

Losas armadas en una dirección:

lado largo / lado corto > 2

Losas armadas en dos direcciones:

1 < lado largo / lado corto < 2


A medida que una dimensión aumenta c/r a la otra, el momento en la dirección se incremente c/r a la dirección larga.

Cuando lado largo/lado corto > 5 los momentos en la dirección larga tienden a cero.

La losa puede diseñarse como una serie de vigas simplemente armadas de ancho unitario, de luz igual a la luz corta de la losa.

Sin embargo, debe disponerse una armadura mínima en el sentido transversal, para evitar efectos de retracción y fraguado.

4.4. Losas apoyadas en todo su contorno4.4.1. Losas armadas en una dirección

(lado largo/lado corto > 2)



→ Según ACI 318-05 la armadura mínima de retracción es:

ρ = 0,0018 para acero A630-420H (fy = 4200 Kg/cm2)

ρ = 0,0020 para acero A440-280H (fy = 2800 Kg/cm2)

→ Según NCh 430 la armadura mínima de retracción es la mayor entre:

Amin = (1/5) Aprincipal ó φ8@20cm



Se requiere refuerzo de retracción y temperatura perpendicular al refuerzo principal, para minimizar la fisuración y para amarrar la armadura con el fin de que actúe como se supone en el diseño.

Separación del refuerzo por retracción de fraguado en losa



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En sistemas de losas continuas, los momentos flectores se calcularán aplicando la teoría de la viga continua que supone apoyos articulados. Además, la sobrecarga se debe considerar en sus posiciones más desfavorables.



Momento negativo



Momento positivo

PPSC

PPSC

PPSC

Para el análisis estructural se pueden utilizar los coeficientes del ACI318 Art.8.3.3., siempre y cuando:

(a) Haya dos o más vanos,(b) Los vanos sean aproximadamente iguales, sin que el mayor de los vanos adyacentes exceda en más de 20% al menor,(c) Las cargas estén uniformemente distribuidas,(d) La sobrecarga unitaria no exceda en 3 veces la carga permanente unitaria,(e) Los elementos sean prismáticos.





ln: luz libre medida entre caras de los apoyos.



El espesor mínima en losas de una dirección está dada por:

→ Según ACI 318-05: tabla 9.5 (a) para fy = 4200 Kg/cm2

→ Espesor mínimo de 10 cm→ Según NCh 430 (Antigua):

dmin = L/35 (losas simplemente apoyadas)dmin = L/40 (losas continuas)



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Al cargar estas losas, la curvatura es del mismo orden en ambas direcciones.

Como el momento es proporcional a la curvatura se deduce que los momentos internos son del mismo orden de magnitud.

Los momentos flectores se determinan a través de la teoría de placas (Método clásico exacto o clásico aproximado).

4.4. Losas apoyadas en todo su contorno4.4.2. Losas armadas en dos direcciones

(0,5 < lado largo/lado corto < 2)

SegSegúún ACI 318:n ACI 318:

→ Para el caso de losas en dos direcciones se puede diseñar mediante cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y compatibilidad geométrica, y los requisitos de resistencia (Artículos 9.2 y 9.3 ACI 318) y las condiciones de servicio (deformaciones).



→ Para el análisis de un sistema en 2 direcciones, el ACI 318 propone los siguientes métodos de cálculo:

Método de Diseño Directo (ver Artículo 13.6)Método Marco Equivalente (ver Artículo 13.7)

→ En términos generales, se puede decir que el Método de Marco equivalente usa un análisis de marco elástico para calcular el momento positivo y negativo en la losa, en cambio, el Método de Diseño Directo utiliza coeficientes para calcular esos momentos (método más conservador).



→ Por otra parte, el diseño de las losas también se puede realizar en forma aproximada ocupando tablas de diseño, entre las cuales se destacan las tablas de Hann, de Barres, de Stiglat, de Czerny, de Wippel, de Beton Kalander y las del libro Jiménez-Montoya, entre otras.

→ En estos casos, se tienen distintas tablas para las diferentes condiciones de apoyo de las losas (empotrado, simplemente apoyados, libre), para varios tipos de cargas sobre la losa (distribuidas, triangulares, puntuales, etc.) y que dependen de la relación largo-ancho de la losa a calcular.



Para cualquiera de los métodos de diseño, se debe proveer armadura en las dos direcciones para resistir los momentos solicitantes. El diseño de la armadura se determina como vigas simplemente armadas de ancho unitario.

La armadura mínima es por retracción y temperatura. El espaciamiento máximo es dos veces el espesor de la losa.



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Separación máxima del refuerzo a flexión en losas

Anclaje de armadura positiva en lado discontinuo (Art. 13.3.3)

El refuerzo para momento positivo perpendicular a un borde discontinuo debe prolongarse hasta el borde de la losa y tener una longitud embebida recta o en gancho de por lo menos 150 mm en las vigas, muros o columnas perimetrales.



≥ 150 mm

A A

Corte A-A

Anclaje de armadura negativa en lado discontinuo (Art. 13.3.4)

El refuerzo para momento negativo perpendicular a un borde discontinuo debe doblarse, formar ganchos o anclarse en las vigas, muros o columnas perimetrales, para que desarrolle su capacidad a tracción en la cara de apoyo, de acuerdo con las disposiciones del Capítulo 12 “Longitudes de desarrollo y empalmes del refuerzo”del ACI 318.



ldh

cara de apoyo

Anclaje de armadura de losas en voladizo (Art. 13.3.5)

Cuando la losa no está apoyada en una viga perimetral o muro en un borde discontinuo, o cuando la losa se proyecte en voladizo más allá del apoyo, se permite el anclaje del refuerzo dentro de la losa.



Anclaje barra

Los momentos de flexión de las losas en la unión con las vigas de borde pueden estar sometidos a grandes variaciones.

Si las vigas perimetrales se van ha construir monolíticamente con los muros, la losa estáprácticamente empotrada. Si no existe un muro completo, la losa puede trabajar como simplemente apoyada dependiendo de la rigidez a torsión de la viga perimetral o del borde de la losa.

Las disposiciones señaladas en los artículos 13.3.3 a 13.3.5 del ACI 318, prevén condiciones desconocidas que pueden ocurrir normalmente en una estructura.



En las losas en dos direcciones en que la razón lado largo/lado corto > 1, debe proporcionarse refuerzo especial superior e inferior a lo largo de una distancia del 1/5 (20%) de la luz más larga de la losa de esquina.(En las esquinas exteriores de sistemas de losas en dos direcciones).

El refuerzo especial tanto en la parte superior como en la inferior de la losa debe ser suficiente para resistir el máximo momento positivo en el interior de la losa.

Debe suponerse que el momento actúa alrededor de un eje perpendicular a la diagonal que parte de la esquina en la parte superior de la losa y alrededor de un eje paralelo a la diagonal en la parte inferior de la losa.



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Refuerzo especial de esquina en losas Art. 13.3.6



Alternativamente, la armadura se la puede colocar en dos capas paralelas a los bordes de la losa tanto en la parte superior como en la parte inferior de la losa.





En los bordes libres de las placas se debe concentrar mayor armadura (viga plana) para hacer frente a posibles cargas en el borde y tensiones de retracción. Además la armadura inferior que llega perpendicularmente al borde debe doblarse y continuarse superiormente a una distancia mínima de 2h.



2h

h

Aberturas en los sistemas de losas

Cuando la losa tiene aberturas se producen importantes concentraciones de esfuerzos, dependiendo de la forma, dimensiones y ubicación de la abertura.

El Código permite que en un sistema de losas haya aberturas de cualquier tamaño, siempre que se realice un análisis que demuestre que se satisfacen tanto los requisitos de resistencia como los requisitos de comportamiento en servicio.



Aberturas en los sistemas de losas

En general, si la abertura es pequeña, suele ser suficiente concentrar en los bordes al menos una cantidad de armadura tal, que sea igual a la capacidad de las armaduras interrumpidas en cada dirección.

Si la abertura es grande hay que considerarla para el cálculo de esfuerzos. Generalmente a través de modelos con elementos finitos.



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ALTURAS MINIMAS:Método aproximado:

→ hmin > perímetro losa/180, pero no menor que 9 cm



Observación: Alturas útiles recomendada por Riddell R. e Hidalgo P.


ALTURAS MINIMAS:Método Detallado:

Si αfm ≤ 0,2

hmin = In mayor/33 para A630-420H, pero no menor que 10 cm

hmin = In mayor/36 para A440-280H, pero no menor que 10 cm

Donde:ln : luz libre del lado mayor de la losa en 2 direcciones, medida cara a cara de los apoyos en losas con vigas u otro tipo de apoyos en otros casos.






Si 0,2 < αfm < 2:

( ) cm5,122,0536

14000f

8,0Ih

fm

ymayorn

min ≥−⋅+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=αβ

Si αfm ≥ 2:

cm9936

14000f

8,0Ih

ymayorn

min ≥+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

=β




Donde:

αfm: Valor promedio de αf para todas las vigas y/o muros en los bordes de las losas.

αf: Razón entre la rigidez a flexión de una sección de viga y la rigidez a flexión de una franja de losa limitada lateralmente por los ejes centrales de las losas adyacentes (si las hay) en cada lado de la viga.

losalademenorn

mayorn

LOSALOSAC

VIGAVIGACf l

lINERCIAEINERCIAE

== βα



Secciones efectivas de viga y de losa para el cálculo de la relación de rigidez αf de una viga intermedia.

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Secciones efectivas de viga y de losa para el cálculo de la relación de rigidez αf de una viga de borde.

4.5. Cálculo aproximado de los esfuerzos en campos de losas continuas

En campos de losas continuas es posible calcular los esfuerzos considerando cada losa en forma independiente, siempre que la diferencia entre cada dos luces contiguas no supere al 25% de la mayor de ellas.

Para el cálculo de los momentos negativos en los apoyos puede suponerse que todos los apoyos internos son empotramientos perfectos, respetándose las condiciones de borde externas.


Para el cálculo de los momentos positivos puede descomponerse la carga

→ Cargas de servicio:q = q’ + q’’ con q’ = pp + 0,5 sc

q’’ = 0,5 sc

→ Cargas Mayoradas:qu = qu’ + qu’’ con qu’ = 1,2 pp + 1,6 * (0,5 sc)

qu’’ = 1,6 * (0,5 sc)

qu = qu’ + qu’’ con qu’ = 1,4 pp + 1,7 * (0,5 sc)qu’’ = 1,7 * (0,5 sc)

Además, se suponen que los apoyos internos son empotramientos perfectos para q’ y apoyos simples para q’’.

ACI318-05

Apéndice C

ACI318-05



Considerando las tablas del Jiménez Montoya, el cálculo de momentos se realiza como sigue:

Por ejemplo, para los momentos, se tiene:

( ) l2y

''uSAX

'uSXx qqF001.0M F ⋅+⋅= +++

( ) l2y

''uSAY

'uSYy qqF001.0M F ⋅+⋅= +++

( ) l2yuSXx qF001.0M ⋅= −−

( ) l2yuSYy qF001.0M ⋅= −−

Criterios de compensación de momentos negativos:

- Promedio

- Ponderación (2/3)Mmayor + (1/3)Mmenor

- Ponderación a través de los factores para momentos negativos de las tablas de Jiménez-Montoya.

FFFF

M2S1S

2S21S1u

MuMu−−

−−−

+⋅+⋅

=


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4.6. Disposiciones de diseño de losas a flexión

El diseño de losas a flexión se resuelven como vigas de ancho unitarios, con armadura uniformemente repartida, según los requisitos para vigas que tienen sólo armadura a tracción.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

−=c

y2yn f

f··59.01·d·b·f·Mρ

ρ

'f85,0fm

c

y=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

fRm211

m1

y

nρ

( )db

Mdb

MR unn 22

φ==

4.6. Disposiciones de diseño de losas a flexión4.6.1. Armadura para resistir momentos negativos

(armadura superior)

Como no se conocen con exactitud la distribución de momentos en las losas, no es posible determinar con exactitud el punto en el cual ya no es necesario colocar armadura para resistir tracción.

Es por ello que el el detallamientodetallamiento de la armadura en losas de la armadura en losas es un proceso fuertemente influenciado por el criterio es un proceso fuertemente influenciado por el criterio ingenierilingenieril.

4.6. Disposiciones de diseño de losas a flexión4.6.1. Armadura para resistir momentos negativos

(armadura superior)

En general si las luces de dos losas adyacentes no difieren entre ellas en más de un 20% ó 25%, se puede considerar extender como mínimo las armaduras desde el apoyo continuo, en las cantidades que indica la figura inferior.

4.6. Disposiciones de diseño de losas a flexión4.6.2. Armadura para resistir momentos positivos

(armadura inferior)

Cuando sea necesario cortar las barras al llegar a los apoyos, es necesario proveer una longitud de traslapo mínima para empalmar a la barra siguientes.

En general, la armadura inferior debe prolongarse hasta los apoyos, satisfaciendo los siguientes requerimientos:

4.6. Disposiciones de diseño de losas a flexión4.6.2. Armadura para resistir momentos positivos

(armadura inferior)

Cuando las barras lleguen a los apoyos perimetrales de la estructura es necesario doblarlas hacia arriba y continuarlas como armadura superior, en una longitud no menor al 25% de la luz mayor de la losa que se estáarmando. Esta recomendación es necesaria para anclar adecuadamente las losas en los perímetros, para resistir eventuales momentos negativos generados por la interacción monolítica con lo apoyos, y para resistir momentos torsores que actúan en las esquinas de las placas.

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4.6. Disposiciones de diseño de losas a flexión

Investigar sobre las longitudes de anclaje mínimas de barras traccionadas y la conformación de ganchos estándar.

Ver capítulo 12 del ACI 318-05 y capítulo 5 del Manual de Armaduras de Refuerzo para Hormigón , Gerdau AZA, 2005. Página web: www.gerdauaza.cl

Para la determinación de los esfuerzos en los elementos de apoyo de las losas (vigas o muros), puede suponerse que las reacciones de la misma, para carga uniforme, se reparten según las áreas triangulares y trapeciales que se indican en la figura. Esto basado en las evidencias experimentales de los modos de falla de losas.

4.7. Distribución de cargas sobre los elementos de apoyo

En las esquinas a las que concurren bordes del mismo tipo, puede suponerse que la distribución se realiza a 45°.

En las esquinas formadas por un borde apoyado y otro empotrado, puede suponerse que la distribución es a 60°, correspondiente este ángulo al borde empotrado.

4.7. Distribución de cargas sobre los elementos de apoyo

Si los sistemas de losas que trabajan en dos direcciones están apoyados sobre vigas o muros, es poco frecuente que el corte en la losa sea un factor crítico para el diseño, ya que el esfuerzo de corte correspondiente a las cargas mayoradasgeneralmente está muy por debajo de la resistencia al corte del hormigón.

Por el contrario, si las losas en dos direcciones se apoyan directamente sobre las columnas como en el caso de las losas planas, el corte alrededor de las columnas constituye un factor crítico. Sin embargo, este tipo de estructuración, como ya dijimos, no se utiliza comúnmente en nuestro país.

4.8. Corte en los sistemas de losas que trabajan en dos direcciones

Los principales pasos para el diseño de losas de hormigón armado en dos direcciones son:

1. Elegir la estructuración y tipo de losa a usar de acuerdo a los requisitos establecidos por arquitectura, diseño y/o construcción.

2. Elegir el espesor de la losa, tal que se prevengan excesivas deformaciones en servicio y asegure su comportamiento como diafragma rígido.

4.9. Pasos generales para el diseño de losas

3. Elegir el método de diseño. Se podrá elegir un método aproximado para la determinación de los momentos actuantes y las deformaciones, como puede ser le uso de tablas de diseño, según el tipo de apoyos que presenta la losa (empotrado, apoyado, libre), de su forma (cuadrada, rectangular, circular) y del tipo de carga actuante (distribuida, puntual, triangular), o sencillamente ocupar programas de cálculo de elementos finitos.

4. Calcular el momento solicitante para las dos direcciones de análisis considerada.


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5. Determinar la distribución de momentos en la losa.

6. Calcular la armadura de refuerzo para los momentos determinados en los pasos anteriores.

7. Chequear la resistencia al corte que posee la losa.


ANEXO:ANEXO:

““LLííneas de Fluencia neas de Fluencia en Losasen Losas””

(Para Hormig(Para Hormigóón II)n II)

Otros métodos

Usualmente se basan en métodos lineales y elásticos

Generalmente consideran configuraciones regulares

→ Losas casi-cuadradas (forma única)

→ Apoyos y vigas en todas las caras (ej.: método de los coeficientes)

→ Tamaño de aberturas menores

4.10. Líneas de Fluencia en Losas

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Líneas de fluenciaMetodología que considera el comportamiento no-lineal de los materiales (formación de rótulas plásticas) y que permite diseñar losas para su estado último.

El estado último asume una falla por flexión.

Diseño en estado último requiere verificar que exista la capacidad de rotación. En losas, usualmente de baja cuantía de armadura, tienen gran ductilidad lo que simplifica el problema, no requiriendo esta verificación.

VentajasVersatilidad (gran variedad de casos posibles de estudio)

Considera el comportamiento plástico (no-lineal) y re-distribución de momentos

4.10. Líneas de Fluencia en LosasLosa en 1 dirección simplemente apoyada (viga)– Losa sub-armada (ρ<ρb) con falla por flexión

– En el rango lineal, el diagrama de momento tiene la misma distribución que el diagrama de curvatura a lo largo de la losa

– En el rango no-lineal se concentra la curvatura en la zona de momento máximo (centro) formando la rótula plástica

– Para esta estructura estáticamente determinada, la rótula plástica genera el colapso


Ductilidad en flexión

Rótulas plásticas: concentración de deformaciones plásticas que generan grandes deformaciones (relativas a las elásticas)

4.10. Líneas de Fluencia en LosasDuctilidad en flexión



Ductilidad en flexión


4.10. Líneas de Fluencia en LosasLosa en 1 dirección empotrada

– Losa sub-armada (ρ<ρb) con falla por flexión

– Rótula se forma primero donde se alcanza la capacidad nominal (Mp)

– Ante el aumento de carga, las rótulas plásticas aparecen en la zonas de momento máximo positivo y negativo (supone refuerzo uniforme)

– Para esta estructura estáticamente indeterminada, sólo las tres rótulas plásticas generan el colapso

– La condición de indeterminación se traduce en una posible redistribución de momentos. El diagrama de momento en el colapso puede diferir del diagrama de momento para el comportamiento lineal y elástico


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Teorema del límite inferior: si para una determinada carga externa es posible encontrar una distribución de momentos en equilibrio (sin exceder fluencia) y que cumple las condiciones de borde, entonces la carga es un límite inferior

Teorema del límite superior: si para un pequeño incremento en desplazamiento, el trabajo interno es igual al externo (con rótulas plásticas en fluencia y cumpliendo las condiciones de borde), entonces la carga es un límite superior

La metodología de líneas de fluencia se basa en el “teorema del límite superior” por lo que la selección errónea del mecanismo de falla podría resultar en capacidades mayores a las reales

La posible imprecisión del método lo categoriza como un método de “pre-diseño”.

4.10. Líneas de Fluencia en LosasLosa en 2 direcciones simplemente apoyada

– La determinación de las líneas de fluencia no es tan evidente como en el caso de una losa en 1 dirección

– Pautas para determinar líneas de fluencia

Las líneas de fluencia son rectas

Las líneas de fluencia representan ejes de rotación

Los bordes de losa corresponden a ejes de rotación, que en caso de empotramiento corresponden a líneas de fluencia negativa

Un eje de rotación pasará sobre cualquier columna de apoyo

Las cargas concentradas forman líneas de fluencia radiales

Una línea de fluencia entre segmentos de losa puede pasar por la intersección de los ejes de rotación


Ej: eje “cd” y “ab” son ejes de rotación que requieren de la línea de fluencia “ef” para permitir la rotación

Ubicación de las líneas de fluencia depende de las solicitaciones y distribución del refuerzo.


La compatibilidad geométrica de deformaciones obliga a la línea de fluencia positiva a tener un punto común con las negativas.

Los ejes de rotación de los apoyos y el eje de rotación de la columna (estimado) fijan la ubicación de las líneas de fluencia.


Modos de falla posible que pueden dar la capacidad correcta o una sobreestimación de la capacidad.

Análisis por el método de los trabajos virtuales

– Asumiendo que el equilibrio está establecido un aumento infinitesimal de la carga producirá un aumento infinitesimal de la deformación. Así,

– Las deformaciones se asumirán solo plásticas, ya que la contribución de las deformaciones elásticas son despreciables (es decir, las secciones se mueven como cuerpo rígido)


Ejemplo de deformación “de cuerpo rígido” inadmisible


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Refuerzo ortotrópico

El refuerzo en losas es habitualmente ortogonal en 2 direcciones. Además, la cantidad de refuerzo suele no ser la misma en esas 2 direcciones, y en algunos casos varía a lo largo de la línea de fluencia.

4.10. Líneas de Fluencia en LosasCondiciones especiales

– Las líneas de fluencia no son necesariamente rectas. Estas pueden desviarse cerca de los bordes donde existe cero momento.

– Las esquinas también pueden dar pie a patrones diferentes de falla. Estos pueden producir bifurcación de las líneas de fluencia, e incluso requerir refuerzo negativo.


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