04b-Matematica_Resolução

7/17/2019 04b-Matematica_Resolução

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e m á t i c a

R e

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vestibular 2015

Questão 28 - EQueremos encontrar um número x que satisfaz o

produto

10 –3 · 10 –3 · 10-3 · 10-3 · x = 10

Aplicando as propriedades de potência, obtemos

10 –12 · x = 10 → x =1010-12 ––– → x = 101 – (–12) → x = 1013

Questão 29 - CEsboçando os gráficos das funções f , g e h num

mesmo plano cartesiano, obtemos

Observando os gráficos, notamos que a função f intercepta as funções g e h e 3 pontos distintos.

Questão 30 - ESobre as incorretas(A) → o crescimento é variado, e não constante.(B) → comparando a emissão nos anos 80 e 90, o

crescimento não foi de 30%. Ao atribuir umaumento de 30% à 19,3 obtemos 25,09.

(C) → Na primeira década do século XXI, o menor valor registrado foi em 2000.

(D) → o crescimento percentual de 2000 a 2013 foide 47,5%

Sobre a correta(E) → comparando a emissão em 2000 de 24,6

com emissão em 2013 de 36,3, notamos umaumento de 12,3 que, em relação ao ano de2000, equivale a 47,56%, que é, aproximada-mente, 50%.

Questão 27 - CTeste de algarismo das unidades.

Primeiro, observamos as amostras de potência do9 e do 4.

90 = 191 = 992 = 8193 = 729

:.

40 = 141 = 442 = 1643 = 64

:.

Observe que as potências do 9 ou terminam com“1” ou com “9” e as potências do 4, com exceção do 40, ou

terminam com “4” ou com “6”. A lógica se encontra aoassociar o expoente em ser par ou ímpar.

Potências do 9Expoente par→ termina com “1”Expoente ímpar→ termina com “9”

Potências do 4

Expoente par→

termina com “6”Expoente ímpar→ termina com “4”

Sendo assim,999 → Termina com “9” e 444 → termina com “6”

Ao subtrair 999 – 444 obteremos um número que ter-mina com “3”.

Questão 26 - D

(0,125)125 = ( 1251000)

15

= ( 1 ––8)

15

=(123 ––)

15

= (2 –3)15 = 2 –45

Questão 31 - EDeterminando o vértice da função f(x):

XV =

-b2a

=-(-4)

2·1 = 2

gr = f(2) = 22 - 4 · 2 + 3 = -1

Vf(x)

= (2, -1)

Determinando o vértice da função g(x):

XV =

-b2a

=-(-4)

2·1 = -2

gr = g(-2) = - (-2)2 – 4 (-2) – 3 = 1

Vg(x)

= (-2, 1)

Determinado a distância entre Vf(x)

e Vg(x)

:

d = √∆x2 + ∆y2 = √42 + 22 = √20 = 25

Questão 32 - ANote que se a razão fosse 3 e o número 1 fosse

escolhido a aposta seria impossível, pois a sequência seria

1, 3, 9, 27, 81, 243. Logo, se a razão é inteira e os núme-ros escolhidos devem ser distintos a razão deverá valer 2.Essa informação elimina as alternativas B, D, E. Se onúmero 60 fosse escolhido, os demais seriam 30; 15; 7,5... .Como 7,5 não é uma aposta possível, a letra C está tam-bém eliminada.



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Questão 33 - BEtapa 1: zero trapézios

+1Etapa 2: 1 trapézio

+2Etapa 3: 3 trapézios




Observando o padrão de construção da sequênciatem-se que na etapa 5 o número de trapézios será 10 e,finalmente, na etapa 6 teremos 15 trapézios.

Questão 34 - ENote que os raios dos discos A, B, C, D, ... . Seri-

am respectivamente 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... .Logo, as áreas desses discos (A = π r 2) formarão a

seguinte sequência: π, π/4, π/16, π/64, ...Tal sequência é uma PG de razão 1/4, cuja soma

de seus infinitos termos é descrita por:

S∞ =a

1

1 - q → S∞ =

π1 -1/4

=π

3/4 ––– =

43

– π

Questão 35 - BLog 2 = 0,3 → 2 = 100,3

1000,3 = (102)0,3 = (100,3)2 = 22 = 4

Questão 36 - BNote que a cada mês que passa a população de

peixes ficará multiplicada por 1,02. Assim, pode-se afir-mar que a população crescerá 2% ao mês.

Questão 37 - ESe p(2) = 0, então 2 é uma raiz.Se p(-2) = 0, então -2 é uma raiz.Sabe-se que a soma das quatro raízes é dada

por -b

––a

.

Sendo x1, x2, x3, x4 as raízes tem-se:

S = -b

––a

= -2

––1

= -2 x1+ x

2+ x

3+ x

4 = -2

Sendo x1 = 2 e x

2 = -2 tem-se:

2 + (-2) + x3 + x

4 = -2 x

3 + x

4 = -2

Sabe-se que o produto das quatro raízes é dado T.i.por –––– .

aLogo, tem-se que: T.i. 12

P= –––– = –––– = 12 x1· x

2· x

3· x

4 = 12

a 1

P = T.i./a = 12/1Sendo x

1 = 2 e x

2 = -2 tem-se:

2 · (-2) · x3 · x

4 = 12 x

3 · x

4 = -3

Por soma e produto, temos que uma das raízes

é -3 e a outra é 1. Assim, as raízes são -3, -2, 1, 2.

Questão 38 - B

Ao representar no mesmo sistema de coordenadasnota-se que as funções f(x) = cosx e g(x) = x2 possuemexatamente dois pontos em comum.

Para calcular a área podemos dividir a figura inteira

em duas cujas áreas podem ser calculadas separadamen-te.

Note que a A1 é um triângulo equilátero, pois osângulos não apontados são congruentes e medem 60°cada um.

l 2 ––3 102

––3 100

––3

A1 = ––––––– = –––––––––– = ––––––––– = 25

––3

4 4 4

Tendo descoberto os três lados do triângulo, temos que A2,

que é um trapézio em que a base maior mede 10.

(B + b) · h (10 + 8) · 1 A

2 = ––––––– –––––––––– = ––––––––– –––––––––– = 9

2 2

Somando as duas áreas: A = 9 + 25 ––3 .

Questão 39 - C

60°



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Questão 40 - AObserve que um hexágono re-

gular é a composição de seis triângu-los equiláteros.

Assim, o segmento ––FD ––

corresponde a duas alturas destestriângulos.

Sabemos que em um triângu-lo equilátero:

l ––3 l

––3 6

h = –––––––– 3 = –––––––– l = ––––– 2 2

––3

Tendo encontrado a medida dolado do triângulo que é a mesma medidade cada lado do hexágono podemos calcular a sua área, que corresponde a área dos seis triângulostracejados.

6 l 2 ––3 6 2

––3

A = –––––––––––––– A = 6 ·( –––––––– ) ––––––––4

––3 4

36 ––3

A = 6 · –––– · –––– 3 4

A = 18 ––3 cm2

Questão 42 - Anulada

Questão 43 - A

Utilizando a divisão dos hexágonos regulares emtriângulos equiláteros, notamos que a medida do lado, emcada caso, corresponde ao raio do respectivo círculo.

Questão 41 - D

Devemos traçar o raio “r” de cada círculo, em seus pontos

de tangência. Assim, destacamos um quadrado cujos lados me-dem 2r.

A distância entre os centros de doiscírculos não tangentes entre si,corresponde a diagonal deste quadrado.

Sabendo que a diagonal de umquadrado mede d = l

––2 , temos d = 2r

––2.

Questão 44 - CTraçando os raios dos dois círculos no ponto decorte “D” temos.

l 2 ––3 22

––3

A1 = –––––– = –––––– =

––3

4 4

Usando a área através da trigonometria do triângu-lo, temos que:

a · b · sen 120° A = ––––––––––––––––––

2

2 · 2 · sen 120° ––3 A2 = A

3 = –––––––––––––––– = 2 · –––– = ––3

2 2

Logo, A1 + A

2 + A

3 = 3

––3

No quadrado completo tempos a outra metade dafigura que possui mesma área

Logo, A = 2 · 3 ––3

A = 6 ––3Basta lembrar que a razão entre as áreascorresponde ao quadrado da razão entre os lados.

A A

l A

2

–––– = ( ––––) AB

l B

A A

1

2

–––– = ( ––) AB

4

A A 1 –––– = ––– A

B16



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Questão 45 - DO sólido é remanescente de um paralelepípedo cuja

altura deve ser calculada.

102 = x2 + 52

100 - 25 = x2

x = 5 ––3

Assim a altura do paralelepípedo mede 10 ––3

Assim seu volume será V = 20 · 10 · 10 ––3

V = 2000 ––3

Este paralelepípedo foi truncado, sendo retirados

dois primas de base triangular.

Volume do prisma V = AB . H

AB

10 ––3 · 5 A = –––––––––

2

A = 25 ––3

VPrisma

= 25 ––3 · 10

V = 250 ––3

Tendo sido retirados dois prismas, temos

V = Vparalelepípedo - 2Vprisma

V = 2000 ––3 - 2 · 250

––3

V = 1500 ––3

Questão 46 - BO sólido formado por duas faces quadradas e qua-

tro trapézios é um tronco de pirâmide.

Vamos observar a pi-

râmide de onde se originaeste tronco, para então de-terminar seu volume.

As arestas laterais,assim como aresta dabase da pirâmide maior

corresponde ao dobro damenor.

Assim, o apótema da pirâ-mide menor mede

––3 .

( ––3 )2 = h2 + 12

3 - 1 = h2

h = ––2

Aplicando o teorema de Pitágoras, vamos encon-trar a altura da pirâmide

Assim:

Questão 47 - APara encontrarmos o ponto de intersecção entre as

duas circunferências, resolveremos um sistema com asequações na forma geral.

(x – 3)2 + (y – 2)2 = 16 → x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0(x – 10)2 + (y – 2)2 = 9 → x2 + y2 – 20x – 4y + 95 = 0

Montando o sistema, encontramos x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0 x2 + y2 – 20x – 4y + 95 = 0

Multiplicando uma das linhas por -1 e somando asduas equações, obtemos

x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0 · (-1) x2 + y2 – 20x – 4y + 95 = 0

x2 + y2 + 6x + 4y + 3 = 3 x2 + y2 – 20x – 4y + 95 = 0

-14x + 98 = 0Resolvendo a equação resultante – 14x + 98 = 0,

obtemos x = 7. Substituindo x = 7 em qualquer uma dasequações, obtemos y = 2. Logo, o ponto de intersecção éo ponto (7,2).



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Questão 49 - E

ESPAÇO AMOSTRAL

Podemos utilizar apenas os algarismos:{0, 2, 4, 6, 8}

Sendo assim, temos:

2 · 4 · 3 = 24 → (possibilidades) ↓

2 ou 4

EVENTO FAVORÁVEL

Para um número ser divisível por 6, basta ser divisí-vel por 2 e por 3.

Assim, iniciando por 2, temos as seguintes possi-bilidades: 204, 240, 246 e 264; iniciando por 4, temos asseguintes possibilidades: 402, 420, 408, 480, 426, 462,

468 e 486.

Sendo assim, temos um total de 12 eventos favorá-veis.

Logo, P(divisível por 6) =12

= 50%. 24

Chamando de x o total de moedas de R$ 1,00, dey o total de moedas de R$ 0,5, de z o total de moedas deR$ 0,25 e de w o total de moedas de R$ 0,1, temos:

x · 1 + y ·0,5 + z · 0,25 = 6,75 (A)

y · 0,5 + z · 0,25 + w · 0,1 = 4,45 (B)z · 0,25 + w · 0,1 = 2,95 (C)

Subtraindo B de C temos y · 0,5 = 1,5 dondey = 3. Daí, o sistema ficou assim:

x + 0,25 · z = 5,25 (D)0,25 · z + 0,1 · w = 2,95 (E)

Subtraindo D de E temos x - 0,1 · w = 2,3

Como x, y, z e w são inteiros, x não pode assumir os valores 1 ou 2. Então, por tentativas, se x = 3,então w = 7 e, por consequência, z = 9. Assim temosx + y + z + w = 3 + 3 + 9 + 7 = 22 moedas.

Questão 48 - A

Questão 50 - CNote que existem apenas 3 perguntas que ainda

não foram respondidas. São elas: {4, 8, 9}. A pergunta 4 será respondida caso o ponteiro pare em

1, 2, 3, 4 ou 10. A pergunta 8 será respondida caso o ponteiro pare em

5, 6, 7 ou 8. A pergunta 9 será respondida apenas no caso de a

roleta cair em 9.

Daí, temos o total de 10 chances, das quais, 5 ser-vem; logo,

P(4) =5

––10 – =

1 ––

2 50%

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