ПараболаПарабола – множина точок площини, кожна з яких рівновіддалена від даної

точки і даної прямої, що лежать у цій площині. Запозичене в XVIII ст. з

французької мови, в якій parabole похідне від латин. parabola. Воно засвоєне з

грецької мови, де Аполлоній дав цьому поняттю назву (παραβολή) виходячи з

того, що задача про побудову кожної точки параболи зводиться до задачі про

додаток. До Аполлонія параболу називали перерізом прямокутного конуса.

ПарадоксПарадокс у математиці – думка, що разюче розходиться з усталеними

поглядами, неначебто суперечить здоровому глуздові, хоч насправді може й не

бути хибною. Запозичене в XIX ст. з французької мови. Франц. paradoxe походить

від грецьк. paradoxos (para – “проти”, doxos – “слава”). Буквально – “проти

суспільної думки”.

ПаралелепіпедПаралелепіпед – призма, основою якої є паралелограм. Запозичене в

XVIII ст. з латинської мови, в якій parallelepipedum – складання грецьк. parállēlos

– “паралельний” і epipedon – “поверхня”, дослівно “паралельно плоский”. Термін

“паралелепіпедальне тіло” зустрічається вперше у Евкліда і буквально означає

“паралеле-плоске тіло”.

66

Прямокутний паралелепіпед, усі виміри якого рівні, називається кубом.

“Кубос” в дослівному перекладі з грецької означає “гральна кістка”; як бачимо,

форму кубиків мали ці забавки вже в античні часи. Той же Евклід застосовував

термін “кубос” у тому ж розумінні, що й сучасне слово “куб”.

ПаралелограмПаралелограм – чотирикутник, в якого протилежні сторони паралельні,

тобто лежать на паралельних прямих.

Термін утворено від грецьких слів parállēlos (“паралелос”) – “той, що йде

поруч” і “грама” – “риска”, “лінія”. Згідно з Проклом, термін був уведений

Евклідом, але поняття паралелограма було відоме ще піфагорійцям.

ПаралельністьПаралельність – відношення еквівалентності на множині прямих на

площині (або на множині площин у тривимірному просторі). Термін з’явився в

Стародавній Греції. Потім був запозичений у латинську мову, а в XVIII ст.

прийшов до нас. Латин. parállēlos (para – “при”, “біля”, allēlόn – “обидва”, “один з

одним”), тобто дослівно – “той, що йде поруч”. Назва parállēlos для прямих, що

йдуть поруч одна з одною, використовувалась піфагорійцями 2500 років тому.

Евклід уперше застосував цей термін до площин.

Евклід (III ст. до н. е.) навчає математиці своїх учнів

67

Первісна функціяПервісна функція для даної функції f(x) на заданому проміжку – така

функція F(x), визначена на цьому проміжку, похідна якої дорівнює f(x):F′(x)=f(x).

Термін “первісна функція” – модернізований варіант

більш раннього терміна “примітивна функція”, який інколи ще

й досі зустрічається у деяких навчальних посібниках вищої

школи. Термін “примітивна функція” ввів у 1797 р.

французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736-1813),

маючи на увазі дослівне значення латинського слова primitivus

– як “початковий”. Первісну F(x) справді можна вважати

початковою для f(x) у тому розумінні, що f(x) утворюється з

F(x) диференціюванням.

ПеріодПеріод – див. Функція.

ПериметрПериметр – сума довжин усіх сторін багатокутника або ланок ламаної.

Походить від грецьких слів “пері” – “навколо” і “метрео” – “вимірюю”.

Запозичене в XVIII ст. з французької мови, де périmètre – складання грецьк. peri –

“кругом”, “навкруги” та metron – “міра”. Термін зустрічається в Архімеда, Герона

та Паппа.

ПерпендикулярПерпендикуляр до прямої а – пряма, що перетинає пряму а під прямим

кутом. Термін походить від латин. perpendicularis – “прямовисний”. Запозичене в

XVIII ст. з латинської мови. Латин. perpendicularis – суфіксальна похідна від

perpendiculum – “схил”, деривата від perpendere – “відважувати”.

ПірамідаПіраміда – багатогранник, одна з граней якого (основа піраміди) є деяким

плоским багатокутником, а решта граней (бічні грані піраміди) – трикутники –

зі спільною вершиною (вершина піраміди).

68

Жозеф Луї Лагранж.

Малюнок на поштовій марці

Стосовно походження терміна “піраміда” існує кілька гіпотез.

Найвірогідніші з них виводять цей термін з Давнього Єгипту, який уславився

своїми знаменитими великими пірамідами (усипальницями фараонів).

Перша з “єгипетських” гіпотез пояснює грецьке πνραμίς (“пураміс”) як

похідне від єгипетського “пер ме оус”, що означало “бічне

ребро споруди”. Згідно з другою гіпотезою, “пураміс”

утворився від давньоєгипет. “пер о” – “великий будинок”;

саме так називали єгиптяни усипальниці своїх фараонів.

Деякі вчені вважають, що термін бере свій початок від

форми хлібців у Стародавній Греції (“пірос” – жито).

“Європейська” гіпотеза виникла в середні віки.

Середньовічні вчені, пов’язуючи, як колись і Платон, з пірамідою форму

найактивнішої стихії – вогню, вважали, що грецьке πνραμίς виникло від

грецьк. ж “пор”, тобто “вогонь”. У деяких підручниках з геометрії XVI ст.

піраміда так і називалась “вогненне тіло” або “вогнеформне тіло”.

Українське слово “піраміда” запозичене зі старослов’янської мови.

Старослов. пирамида походить від вже згаданого грецьк. πνραμίς.

ПланіметріяПланіметрія – частина геометрії, в якій вивчаються властивості фігур на

площині.

Термін виник у середні віки за аналогією до давньогрецького терміна

“стереометрія”, запропонованого філософом Платоном. Його утворено

поєднанням двох слів: латин. planum – “площина” і грецьк. μετρεω (“метрео”) –

“вимірюю”.

ПлощаПлоща – це числова функція, задана на множині плоских багатокутників, зі

значеннями у множині додатних дійсних чисел, яка володіє такими

властивостями (аксіоми площі):

1) рівні багатокутники мають рівні площі;

69

2) якщо багатокутник розбито на декілька багатокутників, то його площа

дорівнює сумі площ цих багатокутників;

3) площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює

одиниці.

Першу властивість називають інваріантністю (дослівно – “незмінністю”)

площі. Площа фігури не змінюється під час переміщення, тобто у разі переходу до

рівної фігури. Друга властивість називається адитивністю площі (additio – в

перекладі з латини означає “додавання”; адитивний (additivus) – означає

“пов’язаний з додаванням”, “узгоджений з операцією додавання”, у якій результат

є сумою кількох доданків). Третю властивість називають нормованістю площі

(латин. norma означає “порядок”, “правило”, “погодженість”). Одиничний квадрат

виступає своєрідним еталоном, нормою відносно якого вимірюють площі інших

фігур.

Сам термін “площа”, імовірно, запозичено зі старослов’янської мови, в якій

він походить від грецьк. plateia у формі називного відмінка множ. plateiades.

Грецьк. plateia – жін. роду від platys – “широкий”. Менш переконливо – за

семантико-словотворчими причинами – пояснення імен. площа як слов. похідного

за допомогою суф. від плоский.

У своїх “Началах” Евклід не використовує слова “площа”, оскільки зміст

цього поняття він вкладає в термін “фігура”.

ПлощинаПлощина – одна з трьох первісних геометричних фігур (поряд з точкою і

прямою). Термін має відповідники в інших мовах, є буквальним перекладом.

Обчислення площі трикутника в папірусі Ахмеса

70

З часом термін змінював своє значення. Спочатку користувалися

визначенням Лейбніца, яке полягало в тому, що площина – це геометричне місце

точок, рівновіддалених від двох даних точок. Пізніше площину стали вважати

первинним поняттям, хоча дати їй означення намагаються й зараз.

ПлюсПлюс – знак “+” дії додавання, а також знак при додатних числах. Термін

походить від середньолатин. plus – “більше”. Перше застосування слова plus, як

позначення дії додавання, знайдено істориком математики Енестремом в

італійській алгебрі (XIV ст.). В українську мову “плюс” запозичено в XVIII ст.

Подібні фігуриПодібні фігури – див. Фігури геометричні.

ПослідовністьПослідовність – функція, задана на множині натуральних чисел N,

позначається звичайно а1, а2, …, an, … або { an }, .

Термін запозичено з російської мови. Там він утворений за зразком

багатьох інших мов у зв’язку з тим, що кожний наступний член послідовності

“следует” за попереднім.

Рекурентна послідовність – послідовність, яка задовольняє рекурентну

формулу. Походить від латин. recursio – “повернення” або recurrens – “той, що

повертається”.

ПохибкаПохибка. Вірогідно, що термін запозичений з російської мови, де

відповідний термін “погрешность” утворений у зв’язку з його тлумаченням.

Абсолютна похибка даного числа F (виразу, формули тощо), яке

розглядається як наближене значення іншого числа f (формули, виразу f), є модуль

різниці .

Оскільки за означенням ця похибка є абсолютною величиною, то називається

вона абсолютною.

71

Відносна похибка означається як відношення абсолютної похибки

наближеного числа F до модуля самого числа F, тобто відносна похибка є

дробом .

Те, що відносна похибка має таку назву, аналогічно абсолютній похибці

пояснюється тим, що за означенням вона є відношенням.

ПохіднаПохідна функції y=f(x) у точці x0 – число, до якого прямує відношення

приросту функції до приросту аргументу , коли

прямує до нуля.

Термін “похідна” ввів у 1797 р. французький математик Жозеф Луї

Лагранж (1736-1813). Він же ввів і сучасні позначення для

похідної у вигляді y′ та f′. Сам термін “похідна” є буквальним

перекладом відповідного франц. derivee, яке досить влучно

пояснює зміст цього поняття: функція f′(x) у певному

розумінні походить від функції f(x), тобто є похідною від неї.

До Лагранжа похідну, за пропозицією Лейбніца, називали

диференціальним коефіцієнтом і позначали . Позначення

Лейбніца досить чітко відображало саме походження похідної – як границі

відношення , тому його охоче використовували як раніше, так і в сучасних

курсах аналізу. Ньютон, який у своїх підходах до

обґрунтування математичного аналізу широко

застосовував фізичні уявлення, похідну функції називав

флюксією (дослівно з латини – “витікання”), а саму

функцію – флюєнтою (дослівно “текучість”). Але

терміни Ньютона не прижилися.

Терміни ж “диференціальний”, “диференційована”,

“диференціювання” тощо, які тією чи іншою мірою

72

Ісаак Ньютон

Лагранж

пов’язані з поняттям похідної, відображають той суттєвий аспект утворення

поняття похідної, який пов’язаний із знаходженням різниць та

, бо вони походять від латин. differentia – “різниця”, “відмінність”. Ці

терміни запозичені в українську мову з німецької. Нім. Differentiále –

“диференціал” виникло на базі вищезгаданого латин. differentia, яке утворилося, у

свою чергу, від латин. ferre – “носити”, що відповідає українському “берý”.

Початок координатПочаток координат – див. Система координат.

ПризмаПризма – багатогранник, дві грані якого є рівними багатокутниками

(основи призми), а решта граней – паралелограми (бічні грані призми).

Запозичено в XVIII ст. з французької мови. Франц. prisme утворене від

грецьк. πρίσμα – “обпиляна”, суфіксальної похідної від prizein – “сікти”,

“бити”.

Буквально з грецької (πρισμα) цей термін – “відпиляний брусок”,

“обпиляне”, “розпиляне тіло”.

Це слово зустрічається вже в Архімеда та Евкліда.

ПрогресіяПрогресія – див. Арифметична прогресія, Геометрична прогресія.

ПроекціяПроекція.

Центральна проекція точки М на площину α – точка М´ перетину прямої,

що проходить через точку М і деяку іншу фіксовану точку S, де і , з

площиною α.

Паралельна проекція точки М на площину α – точка М´ перетину прямої p,

яка проходить через точку М і паралельна даній прямій k (що перетинає площину

α), з площиною α.

73

Назви різних видів проекцій пояснюються їх означеннями. Саме ж слово

“проекція” походить від латин. projectio – “відкидаю вперед”; за змістом

означає: “зображення”, “тінь”.

Проміле (проміль)Проміле (проміль) числа – тисячна частина цього числа.

Походить від латин. pro mille – “на тисячу”, “за тисячу”. Слово “проміле” не

відмінюється.

ПропорціяПропорція – рівність двох відношень (часток) a:b=c:d, де abcd≠0. Термін

походить від латин. proportio – “узгодженість”, “сумірність”.

Термін “пропорція” утворився, як дослівний переклад на латину відповідного

давньогрецького оригіналу. А взагалі то грецькі вчені, починаючи з Піфагора,

терміну пропорція (у них це було знамените “логос” – “порядок”, “сумірність”,

“гармонія”, “наука”) надавали значно ширшого значення.

Сучасне означення пропорції вперше дав Цамберті, директор інженерної

школи в Римі (XV ст.). Сучасний запис A:B=C:D увів Лейбніц (1708 р.).

Протилежні числаПротилежні числа – два дійсних числа, сума яких дорівнює нулю. Назва

цілком пояснюється такою властивістю: на координатній прямій (числовій

прямій) протилежні числа зображаються точками, розміщеними з різних боків від

початку відліку (нульової точки) і на однаковій відстані від нього.

Процент (відсоток)Процент (відсоток) числа – сота частина цього числа.

Запозичене в Петровську епоху з німецької мови. Нім.

Procent походить від латин. pro centum – “зі ста”, “за сто” або “на

сто”.

Пряма (пряма лінія)Пряма (пряма лінія) – одна з первісних геометричних фігур

(поряд з точкою і площиною), властивості яких описуються аксіомами.

74

Це загальнослов’янське слово, що має відповідники в інших

індоєвропейських мовах (грецьк. promos – “передовий”, гот. fram – “спереду” і

т. д.). Деякий час пряма вживалася не в сучасному сенсі цього терміна.

Наприклад, Евклід термін “пряма” застосовує не в значенні прямої, що

нескінченно продовжується, а в значенні відрізка цієї прямої.

Прямокутний трикутникПрямокутний трикутник – див. Трикутник.

ПрямокутникПрямокутник – паралелограм, у якого всі кути прямі. Словотворча калька

з нім. Rechtwinkelig. Нім. recht – “прямий”, Winkel – “кут”, ig – “н(ий)”.

РадикалРадикал – див. Корінь з числа.

РадіанРадіан – величина центрального кута, що спирається на дугу кола, довжина

якої дорівнює радіусу.

Термін “радіан” утворено від латин. radius – “промінь”,

“спиця” – за допомогою суф. an, який вказує на походження.

Отже, radian буквально означає “променевий” або

“спицеподібний”. Термін з’явився у друці з 1873 р. в екзаменаційних білетах,

складених Томсоном.

РадіусРадіус кола (сфери) – відрізок, що сполучає будь-яку його точку з центром.

Радіусом називають і довжину цього відрізка, а також радіусом кола (кулі),

межею якого є дане коло (сфера).

Спочатку араби, а потім деякий час і європейці, радіус

кола називали “найбільшим синусом” або “повним синусом”,

75

Тарталья

бо під словом “синус” розуміли лінію синуса. Цей термін у Європі існував у

вигляді назви sinus tot і позначки sin tot. Евклід та деякі інші вчені називали це

поняття просто “пряма з центру”. В одному з латинських рукописів XI ст.,

названому “Мистецтво геометрії”, який відносять до римського автора Боеція,

зустрічається вперше термін “півдіаметр”. Його використовують також Фібоначчі

і Неморарій (XIII ст.), Регіомонтан (XV ст.) і Тарталья (XVI ст.). Термін “радіус”

вперше зустрічається в “Геометрії” французького вченого Рамуса, виданій в

1569 р., далі – у Франсуа Вієта. Останній писав, що “радіус” – це “елегантне

слово”, яке відомі римські поети Овідій і Вергілій застосовували у значенні

“промінь”. Термін стає загальноприйнятим лише в кінці XVII ст. “Радіус”

походить від латин. radix – “спиця в колесі”, “промінь”.

РеброРебро багатогранника – сторона грані цього багатогранника.

Загальнослов’янське слово, утворене за допомогою суф. -ро від основи

реб-, що має, імовірно, індоєвроп. характер (пор., напр., англосакс. ribb(i) –

“ребро”, давньоверхньонім. rippi – те ж, ірл. ribar – “сито” та ін.).

РівнянняРівняння – рівність зі змінними (невідомими).

Термін буквально перекладений з латини, де відповідне слово еquatio вперше

з’являється у Фібоначчі. Його також вживають інші математики середньовіччя.

Аequatio зустрічається також у Рамуса (1567 р.).

Рівняння квадратне з однією змінною – рівняння виду , де а≠0.

Вперше цю назву застосував Вольф в 1710 р. Звичні позначки для коренів х1 та х2

увів Лагранж.

Дискримінант квадратного рівняння – число D=b2-4ac. Походить від латин.

discriminantis – “розрізняючий”, утвореного від discrimrnare – “розбирати”,

“розрізняти”. Термін увів Сильвестр.

Рівняння кубічне – рівняння виду , причому а0≠0. Назву

вперше застосували Декарт у 1619 р. та Оутред у 1631 р.

76

Рівняння біквадратне. Рівняння виду: ,

де x – змінна, а≠0, b, c – числові коефіцієнти.

“Біквадратне” – буквально “двічі кратне”; від латин. bi(s) – “двічі”.

Рівняння лінійне. Рівняння виду ax+b=0, де x – змінна, a і b – деякі числа.

Назва “лінійне рівняння” виправдана тим, що графіком функції y=ax+b, вираз

якої збігається з лівою частиною рівняння, є пряма лінія.

Рівняння однорідне – рівняння виду , де f – однорідна

функція деякого ступеня однорідності, що задовольняє рівняння

для будь-якого .

Термін є буквальним перекладом відповідного латинського слова

homogeneus – “однорідний”; зустрічається вже у Вієта в 1646 р.

РізницяРізниця – див. Віднімання.

РомбРомб – паралелограм, у якого всі сторони рівні між собою.

Грецьке слово ρομβος (“ромбос”) мало два значення: 1) “барабан”; 2) “кругле

тіло”, “дзига”, “веретено”. Ромб дійсно нагадує чотирикутний бýбон. Переріз

веретена з намотаними на нього нитками також має форму ромба. Слово вже

застосовується в Герона й Паппа.

СегментСегмент. 1. Сегмент числової прямої – синонім числового відрізка.

2. Сегмент плоскої опуклої фігури, обмеженої

деякою кривою, – частина фігури між якою-небудь

дугою і хордою, яка стягує її.

77

3. Сегмент просторової опуклої фігури (або тіла), обмеженої деякою

поверхнею, – частина цієї фігури (тіла) між січною площиною і частиною

поверхні фігури, яка відтинається від фігури цією площиною.

Слово segmentum на латині означає “розрізаю”. Воно є буквальним

перекладом відповідного грецького терміна, який використовував ще Евклід.

Це поняття було відоме людям з давніх-давен, та називали вони його зовсім

інакше. Наприклад, у китайському математично-астрономічному творі “Чжоу-бі”,

що був створений приблизно 1100 р. до н. е., для поняття сегменту вводиться

термін “поле у вигляді лука” (тятива – основа, стріла – висота).

СекансСеканс. Див. Тригонометричні функції.

СекторСектор. 1. Сектор круговий – частина круга,

обмежена двома його радіусами та дугою кола

круга.

2. Сектор еліптичний – фігура, обмежена

двома фоксальними радіусами еліпса, що мають спільний фокус, та дугою еліпса.

3. Сектор кульовий – частина кулі, обмежена круговою конічною

поверхнею з вершиною в центрі кулі та кульовою (сферичною) поверхнею, яка

вирізається цією конічною поверхнею.

Запозичено в XVIII ст. з латинської мови. Латин. sector (буквально в

перекладі означає “відрізок”, “той, що відтинає, вирізає”) – суфіксальне похідне

від secare – “різати”, “рубати”. Термін є буквальним перекладом відповідного

грецького терміна, уперше вжитого Евклідом.

Інша давня назва цього поняття, як і поняття “сегмент”, зустрічається ще в

китайському математично-астрономічному творі “Чжоу-бі” (приблизно 1100 р.

до н. е.), де його називають “криве поле”.

78

Середнє значення (величина)Середнє значення (величина) чисел а1, а2, …, аn – числова

характеристика S цих чисел, що задовольняє умові

.

Середнє арифметичне n чисел а1, а2, …, аn є число

.

Середнє геометричне (пропорційне) додатних чисел а і b – число х, яке

дорівнює арифметичному квадратному кореню з добутку цих чисел, тобто

.

Середнє гармонічне n додатних чисел а1, а2, …, аn (n≥2) – число, що

дорівнює

.

Ці середні були відомі ще античним математикам і виконували велику роль,

зокрема, у давньогрецькій теорії музики.

В одному з математичних текстів, які відносять до давньогрецького

математика Архіта (близько 428-365 рр. до н. е.), середнє арифметичне m, середнє

геометричне g та середнє гармонічне h визначались як рівні середні члени

відповідно арифметичної, геометричної та гармонічної пропорцій:

З цих рівностей неважко одержати:

Назва “середнє пропорційне” виправдана тим, що число х є середнім членом

пропорції a:x=x:b.

За легендою, гармонічне середнє ввів Піфагор (VI ст. до н. е.), виразивши

його за допомогою відношення основних гармонічних інтервалів. Піфагор

установив, що разом зі струною, довжиною якої 12l, співзвучно зливаючись з

нею, звучать струни того ж натягу з довжинами 6l (вище на октаву), 8l та 9l (вище

79

на квінту і кварту), при цьому 9 є середнє арифметичне чисел 6 і 12, а 8 видатний

математик визначив як середнє гармонічне цих чисел.

СиметріяСиметрія . У дослівному перекладі з грецької “симетрія” означає

“правильне відношення”, “правильне розміщення”, “сумірність частин”.

Дзеркальна симетрія (відносно площини) – перетворення фігури F у

фігуру F′, якому за якого для будь-якої точки X фігури F, що не належить заданій

площині α, відповідною є така точка X′ фігури F′, що: 1) пряма XX′

перпендикулярна до α; 2) відрізок XX′ точкою перетину X0 з

площиною α ділиться навпіл.

Підставою для такої назви є те, що фізично

реалізувати симетрію відносно площини можна за

допомогою плоского дзеркала: довільна фігура F і її

зображення F′ у плоскому дзеркалі симетричні відносно

площини дзеркала.

Осьова або дзеркальна симетрія (відносно прямої) на площині –

перетворення плоскої фігури F у фігуру F′, якому за якого кожна точка X

переходить у точку X′, симетричну відносно даної прямої g (осі симетрії), тобто

таку точку, для якої відрізок XX′ перетинає пряму g під прямим кутом і точкою

перетину ділиться навпіл.

Фізичне зображення фігури F′, симетричної фігурі F відносно прямої, можна

одержати за допомогою плоского дзеркала. Звідси й походить назва “дзеркальна

симетрія”. Назва “осьова симетрія” пояснюється наявністю в цього типу симетрії

осі.

Центральна симетрія (відносно точки) – перетворення фігури F у фігуру F

′, за якого кожна точка X переходить у точку X′, симетричну відносно даної

точки O (центра симетрії), тобто таку точку, для якої відрізок XX′ містить

точку O і ділиться нею навпіл.

Ця симетрія називається “центральною” тому, що має центр симетрії.

80

СинусСинус. Див. Тригонометричні функції.

Система координатСистема координат – сукупність математичних об’єктів зі способом

оперування з ними, який дає змогу визначати або (та) задавати положення

кожної точки на прямій, площині чи в просторі за допомогою певного набору

чисел.

Термін “координати” ввів німецький математик і філософ XVII ст. Готфрід

Вільгельм Лейбніц, утворивши його від латинських слів ordinatus –

“впорядкований”, “певний” і co (cum) – префікса, що означає, “спів”, “разом”,

підкреслюючи тим самим рівноправність усіх трьох координат. Цей термін вже

припускав будь-які криволінійні координати. Але ще й пізніше поняття про

координати пов’язувалося з відрізками діаметрів і хордами плоских кривих.

Розглядають три системи координат: систему координат на прямій, що

складається тільки з осі абсцис; на площині, де є вже не тільки вісь абсцис, а

й вісь ординат; а також систему координат у просторі, де бачимо вісь

абсцис, ординат і аплікат. Точка, що розглядається в будь-якій з цих систем,

має координати на всіх осях, з яких складається задана система, і називаються

вони відповідно абсцисою, ординатою та аплікатою цієї точки.

Позначаються літерами латинського алфавіту x, y та z відповідно.

Першу згадку термінів “абсциса” і “ордината” бачимо в латинському

перекладі (XVI ст.) творів великого давньогрецького математика Аполлонія.

Можливо, ними користувався італійський математик Федеріго Коммандіно в

своєму латинському виданні “Конічних перерізів” (1566), де він паралельні

хорди або півхорди, сполучені з деяким діаметром, передав зворотом

ordinatim applicatae, тобто “по черзі прикладені”, а відрізки цього діаметра від

його кінця до хорди – quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur , тобто

“ті, що відтинаються ними на діаметрі від вершини”. Вважається, що звідси

81

беруть початок терміни abscissa, тобто “відітнена”, ordinata і applicata, які

втім укоренилися не зразу.

Слово “абсциса”, що зустрічалося в сенсі відрізка в різноманітних

авторів, наприклад Кавальєрі (1635), стає технічним терміном координатної

геометрії в 1668 р. у Мікеланджело Річчі (1619-1692) і особливо у Лейбніца,

починаючи з рукописів 1673 р. Ферма і Декарт у своїх основоположних творах

з аналітичної геометрії (1636-1637) писали ще про “відрізки діаметра”. Слово

“ордината” в нашому сенсі застосовував інший перекладач на латину

“Конічних перерізів” – Франческо Мавроліко. Ферма

користувався терміном applicata, Декарт – appliqée par

ordre, тобто французьким перекладом ordinatim applicata,

але також (у листі 1638 р.) словом ordonnée, яке перед тим

у 1637 р. використав у своєму курсі П. Ерігон (у

латинському тексті 1644 р. – ordinatа); далі його став

регулярно вживав Лейбніц. Саме він у 70-80-х роках

XVII ст. зробив найважливіший внесок у поширення усіх трьох назв

координат.

У середині XVIII ст. слово “ордината” починає витісняти в геометрії на

площині слово “апліката”. Обидві координати спочатку називались

невідомими величинами, як у Ферма, або невизначеними, як у Декарта.

Термін “вісь абсцис” (латиною linea abscissa rum) був уведений Барроу,

вчителем Ньютона, у 1670 р.

Термін “вісь ординат” з’явився у другій половині XVIII ст.,

тоді ж поступово народилася традиція вказувати на площині

обидві осі. Формально вісь ординат уведена Крамером.

Початок координат – точка перетину осей координат.

Позначається початок координат звичайно літерою О –

першою літерою латин. Оrigo – “початок”.

82

Габрієль Крамер

Барроу

Декартова система координат –

прямокутна система координат на

площині або в просторі, в якої масштаби

вздовж осей координат однакові. Хоча

значення методу координат

поряд з Декартом відкрив і математик

П’єр Ферма, виклад цього методу було

вперше опубліковано в “Геометрії” саме Декарта. Звідси й походить назва.

Система рівнянь (нерівностей)Система рівнянь (нерівностей) – множина рівнянь (нерівностей) з n

(≥2) невідомими х1, х2, …,хn, для яких потрібно знайти значення невідомих, що

задовольняють одночасно всі рівняння (нерівності) системи. Термін

“система” запозичений в XVIII ст. з французької мови. Франц. système

походить від грецьк. systέma (буквально – “ціле”, “складене з частин”).

Система числення (нумерації)Система числення (нумерації) – спосіб означення й найменування

натуральних чисел.

Найбільш уживаною і повсюдно поширеною в сучасному світі є так звана

арабська (а точніше – індійська) десяткова позиційна система. Її називають

десятковою, бо в цій системі застосовують десять основних символів (цифр):

Титульна сторінка першого видання трактату Рене Декарта “Міркування про метод, щоб добре направляти свій розум і

відшукувати істину в науках”. Саме завдяки цій праці відкрилася нова епоха в історії математики – епоха змінних

величин і функцій

83

П’єр Ферма

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Назву ж “позиційна” вона отримала тому, що

“навантаження” кожного символа в ній залежить від місця (позиції), яке він

займає в записі числа.

Позиційна система числення – система числення, яка ґрунтується на

тому, що одна й та сама цифра набуває різних числових значень залежно від

її місця в записі числа. Оскільки тут важливу роль відіграє позиція цифри в

записі числа, то система числення так і називається, позиційною.

Непозиційна система числення – система числення, в якій числові знаки,

що стоять на різних місцях (позиціях) в адитивному записі натурального

числа, позначають одну й ту саму цифру або одне й те саме число. Оскільки

непозиційна система числення є своєрідною протилежністю позиційної, то цю

антонімічність значень і підкреслює преф. –не, тобто в даному виді системи

числення не важлива позиція цифри в числі.

СкалярСкаляр – синонім слова “число”. Закладаючи основи буквеної алгебри,

Франсуа Вієт (1540-1603) почав використовувати степені а4, а5, а6 і т. д.

У послідовності цих степенів Вієт розгледів своєрідну драбину, яка нескінченно

Малюнок Г. Лейбніца, присвячений двійковій системі числення

84

піднімається, і назвав їх східцями своєї драбини. А оскільки латиною драбина це –

scala, а східчастий – scalaeris, то завдяки цьому слово “скаляр” з’явилось у

математиці. Сучасного ж значення поняттям “скаляр”, “скалярна величина” надав

ірландський математик Уїльям Гамільтон (1805-1865), протиставляючи їх

уведеним ним же поняттям вектора і векторної величини.

Степінь числа (виразу)Степінь числа (виразу) – добуток кількох множників, що дорівнюють

цьому числу (виразу).

За першою версією слово “степінь” загальнослов’янське. Утворене за

допомогою суф. –ень від тієї ж основи, але з о/е, що й стопа. Не виключено, що

генетично степінь пов’язаний з дієсл. стати, стояти.

Але деякі вчені вбачають корені цього слова не у слов’янських мовах.

Розв’язували рівняння, середньовічні математики, що писали арабською, квадрат

невідомого називали “мал” (майно), а саме невідоме – “жидр” (насправді це слово

перекладалося, як корінь рослини, але в даному випадку як квадратний корінь з

х2) або “шай” (річ). Під час перекладу на латину в XII ст. невідоме стали називати

res (річ) або radix (корінь), квадрат невідомого – census (майно), а пізніше potentia.

Термін “степінь”, за цією версією, і є перекладом слова potentia.

Показник степеня. Якщо степінь числа а записати у

вигляді аn, то натуральне число n називатиметься

показником степеня. Слово “показник” – буквально

перекладений термін Exponent, уведений у 1553 р.

Штифелем для показника степеня. Показники степеня у

сучасному вигляді, але тільки додатні, увів Декарт

(1637 р.). Обчислення з від’ємними і дробовими

показниками зустрічались у бакалавра медицини і

математики Шюке (1484 р.) і Стевіна (1585 р.).

СтереометріяСтереометрія – розділ геометрії, що вивчає властивості фігур у просторі.

85

Симон Стевін. Малюнок на поштовій марці

Походить від грецьк. слів στερεος (“стереос”) – “просторовий” та μετρεω

(“метрео”) – “вимірюю”. Термін зустрічається ще у відомого давньогрецького

філософа Аристотеля (IV ст. до н. е.).

СторонаСторона багатогранника – відрізок, який з’єднує дві послідовні сторони

цього багатогранника.

Загальнослов’янський термін. Утворений з допомогою суф. –на від слова

сторъ, яке вже зникло, засобом чергування о/е та –ъ від того ж дієслова, що й

простягти.

Сукупність рівнянь (нерівностей)Сукупність рівнянь (нерівностей) – множина рівнянь (нерівностей) з n (≥2)

невідомими х1, х2, …, хn, для яких потрібно знайти значення невідомих, що

задовольняють хоча б одне з рівнянь (нерівностей) сукупності. Термін

“сукупність” запозичений зі старослов’янської мови. Утворений він суфіксально-

префіксальним способом словотвору від въкупѢ – “разом”, зрощення прийм. въ –

“в” та імен. купъ – “купа”. “Сукупність” – буквально “об’єднання”.

СумаСума – див. Додавання.

Сфера (сферична поверхня)Сфера (сферична поверхня) – геометричне місце усіх точок простору,

рівновіддалених від однієї і тієї ж точки. Походить від грецького слова σφρα

(“сфайра”) – “кругле тіло”, “куля”, “м’яч”, “сфера”. Термін зустрічається вже у

Платона та Аристотеля.

ТангенсТангенс. Див. Тригонометричні функції.

86

ТеоремаТеорема – словесне або символічне вираження певного математичного

твердження, істинність якого встановлюється логічними міркуваннями,

можливо, у поєднанні з аналітичними викладками та посиланнями на раніше

встановлені твердження, або на твердження, що приймаються без

обґрунтування (аксіоми).

Слово “теорема” грецького походження (τεορεμα). Як математичний термін

застосовувалось ще Архімедом у III ст. до н. е. У дослівному перекладі означало

“видовище”, “демонстрація”, “вистава”, оскільки в давнину часто теореми

доводились публічно, на площах, що мало характер дискусій, диспутів. Слово

утворилось від дієсл. “теорео” – що означало “розглядаю”, або “обдумую”. Отже,

“теорема” – демонстрація чогось обдуманого.

ТорТор – поверхня (фігура), утворена обертанням кола ω

навколо осі і, що лежить у площині цього кола і не

перетинає його.

Термін походить від латин. torus – “вузол”,

“опуклість”.

ТотожністьТотожність – рівність, що виконується (перетворюється у правильну

числову рівність) для всіх допустимих значень змінних, які до неї входять.

Запозичено зі старослов’янської мови з додаванням префікса. Старослов.

тождьство є словотвірною калькою латин. identitas – “ідентичність”,

перекладеним старослов. прислівником тожде і суф. –ьство.

ТочкаТочка – одна з найпростіших геометричних фігур (поряд з прямою і

площиною), властивості яких описуються аксіомами.

Слово загальнослов’янське. Утворене за доп. суф. –ька (суч. -ка) від точь,

що походить від тъчь, що є похідним за допомогою теми –ь від основи тък-, що

87

виступало в тъкати, тъкнути; к перед ь змінилось на ч. Слов’янське тъкати,

тъкнути походить від латин. pungo – “колю”, тобто в первісному значенні під

точкою розуміли укол (звідти ж медичний термін “пункція”).

ТраєкторіяТраєкторія – неперервна крива, яку описує під час руху матеріальна точка.

Походить від латин. tragectio – “переміщую”.

ТранзитивністьТранзитивність – одна з найважливіших властивостей, яку може мати

бінарне відношення.

Походить від латин. transitive – “перехідний”.

ТрапеціяТрапеція – чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони (основи)

паралельні. Термін “трапеція” походить від давньогрецьк. τραπέζιον (“трапедза”),

тобто “стіл” (нагадує церковне “трапеза”). Форму трапеції мали тогочасні столи,

якщо дивитись на них “збоку”.

У китайському математично-астрономічному творі “Чжоу-бі” (приблизно

1100 р. до н. е.) для поняття трапеції застосовувалась назва “косе поле” або “поле

у вигляді совка”, отже, спочатку люди називали геометричні фігури у зв’язку з

асоціаціями, які ті в них викликали.

У “Началах” Евкліда спостерігаємо обернену ситуацію, бо вживається

сучасний термін “трапеція”, але не в сучасному розумінні: цим словом

називається будь-який чотирикутник (не паралелограм). “Трапеція” в нашому

розумінні вперше зустрічається у давньогрецького математика Посидонія (I ст.).

У середні віки трапецією називали, за Евклідом, будь-який чотирикутник (не

паралелограм); лише в XVIII ст. це слово набуває сучасного змісту.

Тригонометричні функціїТригонометричні функції – функції числового аргументу: синус, косинус,

тангенс, котангенс, секанс, косеканс.

88

Уперше термін “тригонометричні функції” у навчальну

літературу ввів німецький математик Георг Симон Клюгель

(1739-1812) у праці “Аналітична тригонометрія”. Визначення

тригонометричних функцій, в який вони пов’язуються зі

сторонами прямокутного трикутника, а не з лініями кола, дав

Ретик у 1551 році. Уперше тригонометричні лінії, як функції

кутів, почав розглядати Ейлер.

Синус. Синусом кута α (α – кут повороту) називається ордината точки

перетину тригонометричного кола з променем, утвореним шляхом повороту

додатного напрямку осі абсцис на кут α.

Синусом гострого кута в прямокутному трикутнику називається

відношення катета, який лежить проти цього кута, до гіпотенузи.

Термін “синус” несе на собі сліди довгого розвитку, який він пройшов від

олександрійських астрономів, які користувалися “геометрією хорди”, до наших

часів. Оскільки півхорда у середньовічній латинській термінології називалась

semirecta inscripta, то це наштовхує сучасних дослідників на думку, що термін

“синус” виник від скороченого запису цих латинських слів.

Можливою є й інша версія походження терміна “синус”. Таблиці півхорд

містилися ще в анонімних індійських (санскритських) книгах з астрономії IV-

V ст. н. е. Півхорда там називалась “ардхаджива” (“ардха” – “половина”, “джива”

– “тятива лука”, “хорда”). Араби, перекладаючи наукові твори індійців, замінили

іншомовне “джива” своїм близьким за звучанням “джайб”, що означало

“опуклість”, “виріз плаття”, “пазуха”, “западина”, “карман” (в арабській мові

голосні не позначаються, а довге и в слові “джива” позначається так, як і

напівголосна й). У свою чергу, під час перекладу на латину в XII ст. арабське

“джайб” було буквально записано як sinus – “вигнутість”, “кривина”.

Поряд з терміном “синус”, у Європі до XV ст. застосовувався термін

Птолемея “хорда подвійної дуги”.

89

Георг Симон Клюгель

Косинус. Косинусом кута α (α – кут повороту) називається абсциса точки

перетину тригонометричного кола з променем, утвореним шляхом повороту

додатного напрямку осі абсцис на кут α.

Косинусом гострого кута у прямокутному трикутнику

називається відношення катета, який прилягає до цього кута,

до гіпотенузи.

У XV ст. Регіомонтан, як й інші математики, застосовував

для поняття “косинус дуги (х)” латинський термін sinus

complementi, тобто “синус доповнення”. Термін “косинус” утворено в XVII ст.

(зустрічається вже в 1620 р. в англійського астронома Е. Гунтера) від

перестановки цих слів і скорочення одного з них; отже, “косинус” дослівно

означає “доповнення до синуса”, “функція, схожа за назвою із синусом”, “функція

доповняльного кута”.

Простий зв’язок між синусом і косинусом, що виражається формулами

зведення, цілком дозволяє одне з цих понять вважати всього лиш доповненням до

іншого.

Цей термін розроблявся протягом віків і став загальновживаним у першій

половині XVII ст.

Тангенс. Тангенсом кута α (α – кут повороту) називається точка на осі

тангенсів перетину цієї осі з променем (або його продовженням), утвореним

шляхом повороту додатного напрямку осі абсцис на кут α.

Тангенсом гострого кута у прямокутному трикутнику називається

відношення катета, який лежить проти цього кута, до катета, який прилягає до

цього кута.

У XII ст. під час перекладу арабських творів на латинську мову тангенс був

названий umbra recta – “обернена тінь”. Цей термін зустрічаємо вже у

Брадвардина. Подальше походження терміна “тангенс” пов’язане з відомою

інтерпретацією значення тангенса на так званій лінії тангенсів, що є дотичною до

одиничного кола. Латин. tangens якраз і має значення “той, що дотикається”

90

Регіомонтан

(tango – “дотикаюсь”). Цей термін був уведений датським математиком Томасом

Фінком у 1583 р. у зв’язку з роллю лінії тангенса на тригонометричному колі.

Котангенс. Котангенсом кута α (α – кут повороту) називається точка на

осі котангенсів перетину цієї осі з променем (або його продовженням),

утвореним шляхом повороту додатного напрямку осі абсцис на кут α.

Котангенсом гострого кута у прямокутному трикутнику називається

відношення катета, який прилягає до цього кута, до катета, який лежить проти

нього.

Аналогічно утворенню терміна “тангенс”, у XII ст. під час перекладу

арабських творів на латинську мову котангенс назвали umbra recta – “пряма тінь”.

Також зустрічаємо цей термін у Брадвардина. Далі термін утворено зі скорочення

латин. слова complementi – “доповнення” та терміна tangens. Дослівно “котангенс”

означає “доповнення до тангенса”.

Формули зведення виражають простий зв’язок між тангенсом і котангенсом,

що дозволяє одне з цих понять уважати всього лиш доповненням до іншого.

Термін уведено німецьким математиком Т. Фінком у 1583 р. Загальновживаності

термін набуває лише у першій половині XVII ст.

Секанс – одна з тригонометричних функцій, яка позначається sec (іноді sec

x, де х – аргумент) і визначається формулою

,

де cos x – косинус того самого аргументу (величини кута в градусній або

радіанній мірі).

Секансом гострого кута у прямокутному трикутнику називається

відношення гіпотенузи до катета, що прилягає до цього кута.

Походить від латин. secans – “січна”, від seco – “різати”, “розсікати”. Термін

був уведений в 1583 р. датським математиком Томасом Фінком (1561-1556) у

зв’язку з роллю лінії секанса на тригонометричному колі.

Косеканс – одна з тригонометричних функцій, яка позначається cosec x (x –

аргумент) і визначається формулою

91

,

де sin x – синус того самого аргументу (величини кута) х.

Косекансом гострого кута у прямокутному трикутнику називається

відношення гіпотенузи до катета, що лежить проти цього кута.

Походить, аналогічно косинусу й котангенсу, від латин. co – скорочення від

complementum – “доповнення” та терміна secans.

Уперше термін зустрічається в 1620 р. в англійського вченого Едмунда

Гунтера (1581-1626). Розроблявся ж цей термін протягом віків і став

загальновживаним у першій половині XVII ст. Зараз термін “косеканс” виходить з

ужитку.

ТригонометріяТригонометрія – розділ елементарної математики, в якому вивчаються

властивості тригонометричних і обернених тригонометричних функцій та

застосування цих властивостей до спрощення тригонометричних виразів,

розв’язування тригонометричних рівнянь, нерівностей і їх систем, а також до

доведення тригонометричних тотожностей і нерівностей.

Уперше термін “тригонометрія” зустрічається в заголовку книги німецького

богослова і математика Бартолемея Пітіскуса (1561-1613) “Trigonometria sive de

solutione triangularim tractatus brevis et prespicuus” (1595). Тоді, і ще довгий час

опісля, зміст цього терміна повністю відповідав його дослівному філологічному

значенню. Слово “тригонометрія” утворено від грецьких слів τριγωνον

(“тригонон”), тобто “трикутник”, та μετρεω (“метрео”) – “вимірюю”, і буквально

означає “наука про вимірювання трикутників”. Отже, початково змістом

тригонометрії було те, що зараз називається “розв’язуванням трикутників”, –

тобто обчислення невідомих сторін і кутів трикутника за кількома заданими

сторонами і кутами. Тригонометрія ж у сучасному розумінні змісту цього терміна

– як наука про тригонометричні й обернені тригонометричні функції і їх

застосування – сформулювались у XVIII ст. завдяки зусиллям найславетнішого

математика цього століття швейцарця Леонарда Ейлера (1707-1783). У 1748 р. в

92

трактаті “Вступ до аналізу” Ейлер дав означення тригонометричних функцій, увів

сучасні їх позначення у вигляді і встановив найважливіші

властивості.

ТрикутникТрикутник – фігура, що складається з трьох точок (вершини трикутника),

які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків (сторін трикутника), які

попарно сполучають ці точки. Сторони трикутника перетинаючись утворюють

три кути, тому він і має таку назву. Цей термін виник не в слов’янських мовах, він

є буквальним перекладом із західноєвропейських мов (пор. англ. triangle).

Трикутник прямокутний – трикутник, один з кутів якого прямий. Тому він

і називається “прямокутним”. Відповідний термін у західноєвропейських мовах

з’являється в 50-х роках XVI ст.

Сторона прямокутного трикутника, що лежить проти прямого кута,

називається гіпотенузою. Грецьк. υποτεινω (“гіпотеіпоуса”) означає “той, що

натягує, стягує, протягує” (під прямим кутом). Слово бере свій початок від образу

давньоєгипетських арф, на яких струни натягувались на кінцях двох взаємно

перпендикулярних підставок. Дві інші сторони називаються катетами. Походить

від грецьк. χαθετος (“катетос”) – “прямовисний”, “висок”. У середні віки словом

“катет” позначали висоту прямокутного трикутника, у той час як інші дві його

сторони називали гіпотенузою та основою. У XVII ст. назва “катет” починає

застосовуватись у сучасному розумінні й широко розповсюджується починаючи з

XVIII ст.

Евклід застосовує вирази: “сторони, що містять прямий кут” – для катетів і

“сторона, що стягує прямий кут” – для гіпотенузи.

Трикутник єгипетський – прямокутний

трикутник зі сторонами 3, 4, 5. Вважається, що

давньоєгипетські землеміри будували прямі кути

на місцевості за допомогою замкненої мотузки з

вузлами, зав’язаними відповідно через 3, 4 і 5

93

ліктів. Натягуючи таку мотузку за вузли, вони, відповідно до оберненої теореми

Піфагора, отримували прямокутний трикутник, який через це тепер і називається

єгипетським.

Трикутник рівнобедрений – трикутник, дві сторони якого рівні.

У російських підручниках з геометрії кінця XIX ст. звичними і звичайними є

“треугольники о равных бедрах” (1876 р.). У виданні праць Лобачевського в

1895 р. поряд з “бедрами” використовуються “бока”. Оскільки українська

термінологія дуже тісно пов’язана з російською, то таке походження властиве і їй.

Трикутник рівносторонній (правильний) – трикутник, у якого всі

сторони рівні між собою. Такий трикутник є частинним випадком правильного n-

кутника, бо всі кути в ньому дорівнюють 60°. Тому рівносторонній трикутник

називають також правильним трикутником. Термін з’явився в XVII ст. Назва

“рівносторонній” цілком пояснюється означенням цього трикутника.

ФакторіалФакторіал – функція, яка визначена на множині цілих невід’ємних чисел і

значення якої дорівнює добутку натуральних чисел від 1 до даного натурального

числа n. Назва “факторіал” походить від англ. factor – “множник”. Термін

factorielle ввів Абогаст у 1800 р.

Фігури геометричніФігури геометричні – всякі множини точок, скінченні або нескінченні, на

площині або в просторі; об’єкти вивчення в геометрії. Походить від латин. слова

figura – “образ”, “вигляд”. Цей термін став загальновживаним починаючи з XII ст.

До цього поряд із ним використовували для того ж поняття інше латинське слово

– “форма”, – що також означає “зовнішній вигляд”, “зовнішні контури предмета”.

94

Рівні фігури (конгруентні). Фігури А і В називаються рівними, якщо фігура

В може утворитися з А переміщенням. Термін “рівний” запозичений із

старослов’янської мови. Старослов. равнъ походить від загальнослов. orvьnъ,

утвореного за допомогою суф. -ьn- (похідного від -ьн-, суч. -н-) від основи orv-,

що відповідає давньопруському аrwis – початково “рівний”, “прямий”, далі –

“істинний”; сполучення or у старослов’янській мові змінилось на ра.

На відміну від терміна “рівний”, термін “конгруентний” запозичений із

латини. Там термін сongruere був уперше вжитий геометрами XVI ст. під час

перекладу праць Евкліда. Як більш технічний термін для відношення між

геометричними фігурами, congruent, найімовірніше, є власним терміном

Лейбніца (1646-1716), який писав латиною і французькою.

Подібні фігури – дві фігури, відповідні у перетворенні подібності.

Перетворення подібності площини (простору) – відображення площини

(простору) на себе, за якого всі відстані між точками змінюються в одному й

тому ж самому відношенні k>0.

Деякий час замість терміна “подібний” вживалося словосполучення “такий,

як” (напр., у Рекорда). Потім Лейбніц в одному зі своїх творів використав інше

словосполучення similitudinem ita notabimus, з якого, можливо, утворився

англійський термін similar – “подібний”, буквальним перекладом якого є і наш

український.

Таке тлумачення є однією з версій. За іншою ж, термін “подібність”

запозичений із старослов’янської мови, де він являє собою суфіксальну похідну

від подоба – “подібність”, “лице”, “образ”, що є, у свою чергу, префіксальною

похідною від доба – “пора”, “вигода”. “Подібний” буквально означає “підхожий”.

Фігури плоскі. Термін “плоский” загальнослов’янський, має точні

відповідники в балтійських мовах (пор., напр., латиш. plaskains – “плоский”,

“широкий”). Утворено за допомогою суф. –к- від того ж кореня, що й пласт (пор.

грецьк. plax – “рівнина”, нім. flach – “плоский”).

95

ФормулаФормула – записане за допомогою математичних знаків певне правило,

звичайно, зведене до найпростішого вигляду, де зазначено, які математичні

операції (дії) і в якому порядку потрібно виконати над заданими величинами,

щоб дістати значення шуканої величини. Назва походить від латин. formula

(“правило”, “спосіб”) – зменшене від forma – “образ”, “вигляд”, “норма”,

“зразок”, “правило, за яким щось роблять”, “масштаб”. Отже, спочатку термін

мав геометричний зміст. Особливого значення термін набуває в математичній

логіці, де він застосовувався для виразів формальної мови, побудованої згідно

з певними правилами.

ФункціяФункція з областю визначення Х – відповідність, за якою з кожним

елементом х (аргументом функції) множини Х за деяким правилом

зіставляється один певний елемент y (значення функції) з деякої множини Y.

Назва “функція” походить від англійського математичного терміна factor –

“співмножник”, що в свою чергу утворене від латин. functio – “здійснення”,

“виконання”. Слово “функція” Лейбніц використовував у рукописах з 1673 р., а у

публікаціях з 1692 р. у сенсі ролі (величини, що виконує ту чи іншу функцію). Як

термін у нашому розумінні вираз “функція від х” став використовуватися

Лейбніцем й І. Бернуллі.

Аргумент – означення див. Функція.

Термін запозичений із латинської мови, де argumentum, argumentāre є

похідним від дієсл. argure – “показувати”, “виясняти”, “доводити”,

“стверджувати”, спорідненого з грецьк. άργός – “білий”, “блискучий”. Перша

поява у друці терміна “аргумент функції” відноситься до 1862 р. (у творах

Неймана).

Область визначення функції (область допустимих значень – ОДЗ

функції) – множина значень, яких набуває незалежна змінна (аргумент). Область

визначення функції f часто позначають через D(f), бо D – перша літера в

англійському слові Definition – “визначення”, “означення”.

96

Підмножину множини Y, що складається з усіх елементів y=f(x), де ,

називають множиною (областю) значень функції f і позначають через E(f) або

E(y). Ці позначки мають такий вигляд, бо Е – перша літера в англійському слові

Existens – існуючий.

Період функції – деяке дійсне число τ, таке, що для всіх х з області

визначення функції f числа х+τ і х-τ належать області визначення функції f і

f(x)=f(x- τ)=f(x+ τ).

Запозичено в XVIII ст. із французької мови. Франц. période походить від

латин. periodus, що утворене від грецьк. periodos –“обхід”, “рух колом” (peri –

“кругом”, “навкруги”, hodos – “шлях”, “дорога”).

Функція парна, непарна. Функція y=f(x) з областю визначення D

називається парною, якщо область D симетрична відносно точки х=0 і при

цьому виконується рівність f(-x)=f(x).

Функція y=f(x) з областю визначення D називається непарною, якщо

область D симетрична відносно точки x=0 і для будь-якого виконується

рівність f(-x)=-f(x).

Парними є степеневі функції y=xn, n – ціле парне число, непарними –

степеневі функції y=xn, якщо n – ціле непарне число. Звідси й походять самі

терміни “парні” й “непарні” функції.

Функція лінійна – функція, яку можна задати формулою

виду , де k і b – деякі числа.

Термін пов’язаний з характерною властивістю прямої лінії

. Термін “лінійна функція” ввів Дюбуа-Раймонд у 1882 р.

Функція f(P) називається неперервною в точці Р0, якщо

за умови Р→Р0 вираз f(P) прямує до f(P0). Терміни

“неперервність”, “неперервний” увів Коші. Ці слова

застосовувались і до нього, але в них іноді вкладали

97

Дюбуа-Раймонд

Больцано

інший зміст. Сучасне означення неперервності функції остаточно сформулював

Больцано в 1817 р., а потім і Коші в 1821 р.

Функція однорідна – функція кількох змінних, для якої виконується

тотожність

за всіх можливих λ≠0, де k – деяка стала.

Термін є буквальним перекладом відповідного латин. homogeneus –

“однорідний”, зустрічається вже у Вієта в 1646 р.

Хорда кола (сфери)Хорда кола (сфери) – відрізок, що сполучає дві точки кола (сфери).

Походить від грецьк. χορδη (“хорде”) – “струна”, “тятива лука”. Термін у

сучасному розумінні був уведений європейськими вченими XII-XIII ст.

ЦентрЦентр – означення див. Коло, Круг, Куля.

Слово “центр” походить від грецького слова χέντρον (у латинській формі

centrum), що означає палицю із загостреним кінчиком, якою поганяли биків

(спочатку це слово було назвою ніжки циркуля, яку ставили в центр кола, яке

описували).

ЦиклоїдаЦиклоїда – плоска крива, яку описує фіксована точка М, нерухомо пов’язана

з колом, що котиться без ковзання по нерухомій прямій.

98

Походить від грецьк. χυχλοειδος – “кругоподібний”, що, у свою чергу,

утворене від χυχλος – “круг” та ειδος – “вигляд”.

ЦиліндрЦиліндр – геометричне тіло, яке утворюється двома рівними кругами, що

лежать у паралельних площинах, й усіма відрізками, що сполучають відповідні

точки цих кругів під час паралельного перенесення, яке один круг переводить в

інший.

Термін “циліндр” утворено від грецьк. χυλινδρος (“киліндрос”), що

означає “валик”, “каток”, яке, у свою чергу, утворено від дієсл. “киліндро” –

“обертаю”, “качаю”. Це свідчить про механічне походження цього терміна.

ЦифриЦифри – знаки для позначення чисел. Індійські математики назвали знак,

що позначав відсутність деякого розряду, словом “сунья” – “порожній”. Араби

переклали цей термін як слово cifra. Звідси й пішло слово, що ввійшло в

європейську літературу. Спочатку воно означало “нуль”, а потім уже в XV ст.

цим словом стали позначати всі числові знаки. В українську мову термін

потрапив шляхом запозичення з польської мови у XVIII ст. Польськ. cyfra –

“цифра” є запозиченням з латинської мови, в якій cifra є арабізмом.

ЧасткаЧастка – див. Ділення.

Чевіана (пряма Чеви)Чевіана (пряма Чеви) – одна з прямих АА’, ВВ’ та СС’, що перетинаються

в одній точці й проходять через вершини трикутника.

Ці прямі названі на честь італійського геометра Джованні Чеви, який довів у

1678 р. теорему Чеви, пов’язану з чевіанами.

99

Чисельник дробуЧисельник дробу – див. Дріб.

ЧислоЧисло – одне з двох (поряд з фігурою) найзагальніших понять математики.

Відомий грецький математик Евклід (IV ст. до н. е.) пояснюючи, що треба

розуміти під числом, указував: “Число є множина одиниць”. Це визначення числа

математики визнавали як найбільш вірне до

XVIII ст. Нуль та дроби до цього визначення не

відносились. Тільки в другій половині XVIII ст.

великий англійський математик Ісаак Ньютон

увів нове визначення числа. Він казав: “Число є

відношення однієї величини до іншої того ж

роду, прийнятої за одиницю”. Інакше кажучи,

число стали розглядати як результат порівняння будь-якої величини з одиницею

виміру тієї ж величини.

Слово “число” загальнослов’янського походження, збереглося не в усіх

слов’янських мовах. Утворено за допомогою суф. –сло від чисти, чьту

переголосної форми до чьсти, чьту – “шанувати”; сполучення тсл спростилось

до сл.

Існує версія, що слово “число”, як стверджує порівняльне мовознавство, не

випадково виявляється спорідненим з латин. ciselare – “чеканити”, “гравірувати” і

має з ним спільне походження від “створювати помітки”, “зарубки”. Можливо,

там і знаходяться корені терміна “число”, бо початково люди рахували,

відмічаючи зарубки на дереві.

Числа додатні й від’ємні. Додатні числа – дійсні числа, більші за нуль;

вони розміщені на числовій прямій праворуч від початку відліку – нульової

точки. Різниця 0-а, де а – додатне число, називається від’ємним числом і

позначається через –а.

100

Ісаак Ньютон. Малюнок на німецькій поштовій марці

Терміни “додатний” (ще affirmativus – “ствердливий”, а не positivis) і

“від’ємний” (negativus і privativus) уперше в Європі з’явились у рукопису “Initius

Algebra”. Можливо, ці терміни є перекладами арабських термінів “місбат” і

“манфі” самаркандського математика і астронома ал-Кушчи. Сучасне позначення

додатних і від’ємних чисел знаками “+” та “-” уведено в кінці XV ст. Відманом.

Числа цілі – сукупна назва для множини

натуральних чисел (додатних цілих), чисел,

протилежних до натуральних (від’ємних цілих) і

числа нуль. Термін “ціле число” є буквальним

перекладом латин. numeri integer (“ціле число”).

Подібний термін зустрічаємо і в інших мовах

(напр., англ. whole number чи whole number).

Позначається символом Z.

Числа натуральні – усякі цілі додатні числа,

тобто будь-яке число натурального ряду.

Про “натуральний ряд” чисел ідеться ще в “Уведенні в арифметику”

грецького математика Нікомаха. Уперше термін “натуральне число” зустрічається

у римського вченого Боеція (480-524), який переклав твір Нікомаха, а в чітко

окресленому сучасному значенні – у французького математика й енциклопедиста

Жана Д’Аламбера (1717-1783). У слов’янську мову запозичений в XVIII ст.,

можливо, з польської мови, де naturalny походить від латин. Naturalis –

“природний”, суфіксального похідного від natura. Латинське numeri naturalis у

дослівному перекладі означає “природні числа”.

Множина всіх натуральних чисел позначається символом N, який вказує на їх

назву.

Числа парні і непарні. Цілі числа, які діляться (без остачі) на 2 (кратні

2), називаються парними; цілі числа, які не діляться на 2, – непарними. Ці

числа були відомі ще єгиптянам, хоча вони так їх і не називали. У Греції

подібне розподілення чисел відносять до Піфагора (VI ст. до н. е.) і його

101

Трикутна і квадратна таблиця множення “Арифметики” Відмана,

надрукованої в 1489 р

послідовників. Парні й непарні числа викликали у наших пращурів різні

асоціації: деякі вважали, що парні числа – це числа “чоловічі”, а непарні –

“жіночі”. Сучасні терміни пов’язані з означенням цих чисел, за яким вони

кратні чи некратні 2 (тобто, пáрі).

Числа прості і складені. Простим називається всяке натуральне число,

відмінне від одиниці, яке не має інших натуральних дільників, крім самого себе і

одиниці; складеним – таке, яке має принаймні один дільник, відмінний від самого

себе й одиниці.

Сам термін “просте число” є буквальним перекладом латинського

словосполучення numeri primi, яке, у свою чергу, перейшло до латинян від

давньогрецьких математиків.

Числа дійсні – сукупна назва для множини раціональних та ірраціональних

чисел. Множина дійсних чисел позначається символом R (від англійського слова

Real – “дійсний”). Термін “дійсні” є дослівним перекладом відповідного

англійського терміна Real.

Числа раціональні та ірраціональні. Числа раціональні – сукупна назва для

множини усіх цілих і дробових чисел, як додатних, так і від’ємних, а також числа

нуль. Позначається символом Q.

Латинське слово ratio, від якого утворена назва раціональних чисел, означає

“відношення” і вказує на давній спосіб запис цих чисел у вигляді відношень

цілих чисел. Це слово є перекладом грецьк. λογος (“логос”). Друге значення слова

ratio – “розум”, “глузд”. Відповідно до цього, “раціональний” означає

“розумний”, “охоплюваний розумом”, “доцільний”. В обох значеннях

раціональним числам протиставляються числа ірраціональні – числа (додатні й

від’ємні), які зображаються нескінченними і періодичними десятковими дробами.

Український термін запозичений із західноєвропейських мов, де походить від

латин. irrationalis, що є запереченням до rationalis і означає “нерозумний”,

“необґрунтований” у значенні “неосяжний (незбагнений) розумом”. Це латинське

слово є буквальним перекладом грецького слова “алогон” – “не виражений

102

“логосом”, тобто відношенням двох цілих чисел. Така назва склалася історично,

бо люди протягом багатьох століть не могли осягнути поняття ірраціонального

числа. Самеz збереження цієї назви тепер є даниною попередній історичній

традиції.

Насправді, спочатку терміни “раціональний” і “ірраціональний” стосувалися

не чисел, а сумірних і відповідно несумірних величин, які піфагорійці називали

такими, які можна виразити, та такими, які не можна виразити,

Теодор Киренський же – симетричними та асиметричними. У V-VI ст. римські

автори М. Капелла і Кассіодор переклали ці терміни на латину словами rationalis

та irrationalis. Термін “сумірний” (commensurabilis) увів у першій половині VI ст.

інший римський автор – Боецій.

Число е – основа показникової функції, похідна якої, якщо х=0, дорівнює

одиниці. Позначення у друці в 1736 р. увів швейцарський математик

Леонард Ейлер (1707-1783). У листах й рукописах термін зустрічається й раніше

(з 1728 р.). Позначка походить від першої літери латин. слова exponere –

“показувати”.

Число π – стале число, що дорівнює відношенню довжини кола до його

діаметра.

Уперше це число позначив грецькою літерою π

англійський математик У. Джонсон (1706 р.).

Загальноприйнятим це позначення стало після того,

як вийшла одна з праць математика Л. Ейлера

(1736 р.).

Позначення походить від початкової літери π

грецьк. слова περιφερεια (“периферія”), що означає

“коло”, “периферія”, “край або обвід округлого тіла”.

103

Леонард Ейлер

Числова вісьЧислова вісь – геометрична модель множини усіх дійсних чисел. Уперше

термін вжив Аполлоній, але тоді він стосувався лише сполучених діаметрів.

У більш широкому розумінні був ужитий І. Барроу (1670 р.).

104