02PORDTI

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2. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN (I)

2.1 INTRODUCCIÓN – DOMINIO TIEMPO

Un sistema lineal de primer orden con una variable de entrada, )"(" t x , y una variable

salida, )"(" t y se modela matemáticamente con una ecuación que en función de

parámetros de significado dinámico se escribe en la siguiente forma:

)()()(

t Kxt ydt

t dy=+τ (2.1)

Siendo, τ una constante de tiempo y K la ganancia en estado estacionario del

sistema. Estos dos parámetros se calculan con ecuaciones en función de

características físicas del sistema. La constante de tiempo expresa un atraso

dinámico y la ganancia es el cambio último en la variable de salida con respecto al

cambio último en la variable de entrada.

La ecuación (2.1) se escribe, usualmente, en términos de las variables desviación

con respecto a sus valores en el estado inicial, es decir en la forma estándar para

análisis dinámico o de sistemas de control:

)()()(

t KX t Y dt

t dY =+τ (2.2)

Siendo, )0()()( yt yt Y −=

)0()()( xt xt X −=

La ecuación (2.2) es diferencial lineal de primer orden cuya solución se puede hallar

mediante un factor integrante que para este caso es igual a

=

∫

τ τ

t dt expexp . Al

multiplicar la ecuación (2.2) por este factor, resulta fácilmente integrable y

evaluando la solución general obtenida para las condiciones iniciales de las variables

de entrada y salida se encuentra la solución correspondiente.

A continuación se desarrollan las respuestas paso, rampa y seno de un sistema lineal

de primer orden

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2.2 RESPUESTA PASO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Al considerar que en la ecuación diferencial (2.2), la variable de entrada esperturbada con un cambio paso constante, es decir que xt X ∆=)( , entonces se puede

escribir que:

xK t Y dt

t dY ∆=+ )(

)(τ (2.3)

Al resolver la ecuación (2.3) se obtiene como solución la siguiente respuesta para

Y(t):

−−∆=τ

t xK t Y exp1)( (2.4)

La ecuación (2.4) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.3) y una integración

indefinida da como solución general

−+∆=τ

t AxK t Y exp)( 1 (2.5)

Evaluando la ecuación (2.5) para la condición inicial 0)0( =Y , se obtiene que el

valor de la constante de integración es xK A ∆−=1 y, con ello, la solución dada por

(2.4)

La Figura 2.1 muestra el perfil gráfico correspondiente a la respuesta (2.4). La

expresión exponencial permite describir al comportamiento de un sistema de primer orden ante un cambio paso constante en su variable de entrada como una respuesta

monotónica estable porque alcanza un valor último constante. A partir de las

ecuaciones (2.3) y (2.4) se pueden deducir algunas características acerca de las

propiedades dinámicas de un sistema de primer orden así:

Ganancia en estado estacionario, K: Expresa el cambio último en la variable de

salida o respuesta del sistema para un determinado cambio paso en la variable de

entrada, es decir que

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xK t Y último

∆=)( (2.6)

En su último estado el sistema se ha estabilizado porque su respuesta se mantiene

constante, es decir, la derivada de su variable de salida se hace igual a cero. Al

considerar esto en la ecuación (2.3) se deduce la ecuación (2.6)

Figura 2.1 Respuesta Paso de un Sistema de Primer Orden (K = 3; τ = 1; ∆x = 2)

Constante de Tiempo, τ: Esta constante expresa el tiempo definido por la

relación entre la capacidad que tiene el sistema de transportar a una entidad (masa,

energía, cantidad de movimiento, etc) con respecto a la rapidez de cambio o

capacitancia de dicha entidad en la respuesta del sistema, es decir que:

ciaCapaci

Capacidad

tan=τ (2.7)

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Si la ecuación (2.4) se evalúa para un tiempo igual a la constante de tiempo, se

deduce un significado muy importante señalado sobre la Figura 2.1 y que es el

tiempo, en el período no estacionario del sistema, en que la respuesta del sistema ha

alcanzado el 63.2 % de su respuesta última. Se escribe, por lo tanto, que

últimot Y Y )(632.0)( =τ (2.8)

Si se evalúa la ecuación (2.4) para un tiempo igual a cinco veces la constante de

tiempo, se obtiene una respuesta, aproximadamente, igual al 99.2% de la respuesta

última, lo que para muchas situaciones es considerado como el tiempo transcurrido

para alcanzar la estabilidad o el valor último

2.3 RESPUESTA RAMPA DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Al considerar que en la ecuación diferencial (2.2), la variable de entrada es

perturbada con un cambio rampa, es decir que rt t X =)( , entonces se puede escribir

que:

Krt t Y dt

t dY =+ )()(τ (2.9)


Y(t):

−+

−= τ τ

τ t t

Kr t Y exp)( (2.10)

La ecuación (2.10) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.9) y una integración

indefinida da como solución general

−+−=τ

τ t

At Kr t Y exp)()( 1 (2.11)

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valor de la constante de integración es τ Kr A =1 y, con ello, la solución dada por

(2.10)

La Figura 2.2 muestra, gráficamente, el perfil de la respuesta rampa de un sistema

lineal de primer orden. Se puede observar un comportamiento lineal y paralelo a la

rampa de entrada después de un determinado tiempo, que aproximadamente es cinco

veces la constante de tiempo

Figura 2.2 Respuesta Rampa de un Sistema de Primer Orden (K = 3, τ = 3, r = 2)

Se resalta en la Figura 2.2 el atraso de la respuesta con respecto a la rampa deentrada y se demuestra con la ecuación (2.10) que dicho atraso es igual al tiempo

correspondiente a la constante de tiempo

2.4 RESPUESTA SENO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Al considerar que en la ecuación diferencial (2.2), la variable de entrada es

perturbada con un cambio seno, es decir que )()( wt ASent X = , entonces se puede

escribir que:

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)()()(

wt KASent Y dt

t dY =+τ (2.12)


Y(t):

( )θ

τ τ τ

τ +

++

−

+= wt Sen

w

KAt

w

KAwt Y

22)(1

exp)(1

)( (2.13)

Siendo, )(tan1

τ θ w−=−

La ecuación (2.13) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.12) y una

integración indefinida da como solución general

[ ]

−+−

+=

τ τ

τ

t Awt Coswwt Sen

w

KAt Y exp)()()(

)(1)( 12

(2.14)


valor de la constante de integración es21

)(1 τ

τ

w

KAwA

+= y, con ello, la solución dada

por (2.13)

La Figura 2.3 muestra el perfil gráfico de la respuesta seno de un sistema lineal de

primer orden. Se observa una corta región inicial con una ligera inflexión que se

explica por la influencia del término exponencial en la expresión (2.13) que

corresponde a la respuesta del sistema. Cuando este primer término exponencial es

de un valor despreciable, la respuesta muestra un perfil definidamente sinusoidal que

se distingue por las siguientes características:

• Su frecuencia es igual a la del seno de entrada

• Su amplitud es el coeficiente del término sinusoidal y es dependiente de la

frecuencia del seno de entrada, además de los otros parámetros incluidos en

el mismo, es decir que:

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2)(1 τ w

KAArespuesta

+= (2.15)

• Es atrasada con respecto al seno de entrada, lo que se mide mediante un

ángulo fase que también es un valor que depende de la frecuencia del seno de

entrada

Figura 2.3 Respuesta Seno de un Sistema de Primer Orden (K = 3, τ = 2, A = 2, w=

0.5)

Cada una de estas características es importante porque constituyen los fundamentos

para analizar la dinámica de un sistema cualquiera en el dominio de la frecuencia

que a su vez se utiliza para el diseño de sistemas de control

2.5 MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Un sistema con una dinámica lineal de primer orden se puede plantear considerando

algunas simplificaciones como en el siguiente reactor de mezcla completa donde se

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desarrolle una reacción de una cinética de primer orden con respecto al reaccionante“A” y en la que este se transforma en un producto “B”, es decir que:

Reacción Química: BA →

Ecuación de velocidad de reacción: )()( t kct r =

Para el modelamiento se asume que:

• No hay efectos calóricos en el sistema de reacción

• La concentración de A no influye en la densidad del fluído

• La constante de velocidad de reacción es constante e igual a 0.2 min-1

• La corriente de entrada tiene una concentración )"(" t ci y su valor inicial en

estado estacionario es de ci(0) = 1.25 lbmol/pie3.

• El volumen de la masa reaccionante es constante e igual a 5 litros

• El flujo de la corriente de entrada es constante e igual a 1 litro / minuto

Se requiere del modelamiento matemático del reactor y su simulación para cambios

pasos, rampa y sinusoidal de la concentración en A de la corriente de entrada. La

Figura 2.4

Figura 2.4 Reactor de Mezcla Completa

Modelo matemático

Un balance de materia del componente A en el reactor es:

( ))()()(

)(t kVct Fct Fc

dt

t Vcd i −−= (2.16)

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Un análisis de la ecuación (2.16) nos muestra que en el modelo se tienen dos

variables, una de salida y otra de entrada, lo que permite simular su solución para un

cambio en la variable de entrada. No se plantea el balance de energía porque las

simplificaciones introducidas consideran que no hay efectos calóricos.

Una transposición de términos en la ecuación (2.16), permite expresarla de tal

manera que se deduzcan las expresiones para calcular los parámetros dinámicos del

sistema de acuerdo a la ecuación general de un sistema de primer orden.

Al arreglar la ecuación (2.16) en la forma general de la ecuación (2.1):

)()(

)(

t cKV F

F

t cdt

t dc

KV F

V i

+=+

+ (2.17)

Se obtienen las siguientes ecuaciones para calcular la constante de tiempo y la

ganancia en estado estacionario del reactor, conociendo sus parámetros físicos.

Constante de tiempo, minutos:KV F

V

+=τ (2.18)

Ganancia en estado estacionaria, adimensional: KV F

F K s

+= (2.19)

La ecuación (2.17) escrita en su forma estándar para un sistema lineal de primer

orden y en términos de las variables desviación es:

)()()(

t C K t C dt

t dC is=+τ (2.20)

Condiciones iniciales y parámetros dinámicos

Al evaluar la ecuación (2.17) en su estado estacionario, se obtiene el valor inicial de

la concentración en el reactor que es de c(0) = 0.625 lbmol/pie3. Con las ecuaciones

(2.18) y (2.19) se obtienen que el valor de la constante de tiempo es de 2.5 minutos y

la ganancia en estado estacionario es de 0.5

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2.6 SOLUCION NUMERICADE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

La solución numérica de la ecuación diferencial característica de un sistema linealde primer orden se puede obtener aplicando métodos como el de Euler o los de

Runge Kutta. En este tratado se utilizarán dichos métodos valiéndose de los códigos

disponibles en Matlab para su desarrollo

2.7 MATLAB: MODELO LINEAL DE PRIMER ORDEN

Para la simulación con Matlab de las respuestas paso, rampa y seno de un sistema

lineal de primer orden, mediante las ecuaciones (2.3) (2.9) y (2.12), se construyen

los archivos, pplineal.m, rplineal.m y splineal.m, que definen, respectivamente, laecuación diferencial para cada uno de los casos y que aparecen en la sección 2.8,

mas adelante. Cada uno de estos archivos se guarda por separado

En el código en Matlab después de declarar la función para la definición de un

sistema de ecuaciones diferenciales (mediante el símbolo dy) y las variables

incluidas, se escribe la ecuación diferencial despejada con respecto al término

derivada.

La solución de una ecuación diferencial se realiza mediante la utilización de

comandos como ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb. En los

siguientes códigos se solucionarán las ecuaciones diferenciales mediante el comando

ode45 que se aplica a soluciones no rigurosas y desarrolla una combinación de los

métodos de Runge-Kutta 4 y 5. La sintaxis del comando ode45 es:

[t,y] = ode45(‘Archivo’, Intervalo de Tiempo, Condiciones Iniciales) (2.21)

El intervalo de tiempo se puede introducir como una variable definida anteriormente

o directamente escribiendo dentro de un corchete el tiempo inicial y el final. Las

condiciones iniciales, de igual manera, se escriben dentro de un corchete para cadauna de las variables de salida

Los otros comandos siguen la misma sintaxis y desarrollan métodos numéricos de

Runge-Kutta de otros órdenes. Los que se invocan como ode15s y ode23s se aplican

a ecuaciones diferenciales que exigen soluciones rigurosas.

La respuesta de un sistema lineal de primer orden se simula con un archivo de

nombre solplin.m construido. La estructura de su construcción es como sigue:

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1. Se selecciona el tipo de respuesta que se quiere simular y se introducen los

parámetros dinámicos del sistema y los de la simulación dinámica

2. Según el tipo de respuesta señalado en el numeral (1), a continuación el

programa solicita los parámetros requeridos de acuerdo a ello

3. Solucionada la ecuación diferencial, el programa muestra algunas

características de la respuesta para algunos casos incluyendo el perfil gráfico.

La puesta en marcha del archivo solplin.m requiere que los tres archivos que se

referencian dentro de él se encuentren grabados en el mismo sistema de

computación

Solución del modelo para el reactor de mezcla completa

Se deja como ejercicio para el estudiante que modifique el programa solplin.m para

aplicarlo a la solución del modelo planteado para el reactor de mezcla completa, de

tal manera que el usuario introduzca los parámetros físicos característicos del

sistema y el programa calcule sus parámetros dinámicos. Las condiciones iniciales

de las variables desviación son de cero. Se plantea la simulación de las respuestas

paso, rampa y seno cambiando los parámetros físicos del reactor y del tipo de

respuesta, es decir, la magnitud del cambio paso, la pendiente de la rampa, la

amplitud o la frecuencia de la onda sinusoidal

2.8 MATLAB - PROGRAMAS CODIFICADOS

Archivo pplineal.m

function dy = pplineal(t,y)

global K X tau

dy = (K*X - y)/tau;

Archivo rplineal.m

function dy = rplineal(t,y)

global K r tau

dy = (K*r*t - y)/tau;

Archivo sslineal.m

function dy = splineal(t,y)

global K tau A w

dy = (K*A*sin(w*t)-y)/tau;

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disp(' CAMBIO PASO EN LA VARIABLE DE ENTRADA')

disp(' ')

disp('==============================================')

disp(' ')

X = input('Introduzca el valor del cambio paso en la variable de entrada = ');

disp(' ')

disp('==============================================')

[t,y] = ode45('pplineal', Rango, Inicio);

disp(' ')

disp(' RESULTADOS')

disp(' ')

disp('==============================================')

disp(' ')disp('Respuesta Monotónica Estable');

disp(' ');

disp('Respuesta Ultima')

K*X

plot(t,y)

title('Respuesta Paso de un Sistema Lineal de Primer Orden');

xlabel('Tiempo');

ylabel('Respuesta')

case 2

disp('==============================================')

disp(' ')

disp(' CAMBIO RAMPA EN LA VARIABLE DE ENTRADA')

disp(' ')

disp('==============================================')

disp(' ')

r = input('Introduzca el valor de la pendiente de la rampa de entrada = ');

disp(' ')

disp('==============================================')[t,y] = ode45('rplineal', Rango, Inicio);

disp(' ')

disp(' RESULTADOS')

disp(' ')

disp('==============================================')

disp(' ')

disp('Atraso de la respuesta lineal')

tau

plot(t,r*t,t,y/K,'r')

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title('Respuesta Rampa de un Sistema Lineal de Primer Orden');

xlabel('Tiempo');

ylabel('Respuesta')

case 3

disp('==============================================')

disp(' ')

disp(' CAMBIO SENO EN LA VARIABLE DE ENTRADA')

disp(' ')

disp('==============================================')

disp(' ')

A = input('Amplitud de la entrada seno = ');

w = input('Frecuencia de la entrada seno = ');disp(' ')

disp('==============================================')

[t,y] = ode45('splineal',Rango,Inicio);

disp('==============================================')

disp(' ')

disp(' RESULTADOS')

disp(' ')

disp('==============================================')

disp(' ')

disp('Amplitud del perfil sinusoidal de la respuesta');K*A/sqrt(1+(w*tau)^2)

disp('Fase de la respuesta con respecto a la entrada');

atan(-w*tau)

plot(t,A*sin(w*t),t,y,'r')

title('Respuesta Seno de un Sistema Lineal de Primer Orden');

xlabel('Tiempo');

ylabel('Respuesta')

end

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