02.9 - Variable aleatoria mezcla.pdf

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El siguiente material se encuentra en etapa de corrección y no deberáser considerado una versión final.Alejandro D. Zylberberg <[email protected]>Versión Actualizada al: 4 de mayo de 2004

Variable aleatoria mezcla"Las máquinas A, B y C producen piezas cuyas longitudes están distribuidasrespectivamente según f XA , f XB y f XC . Las máquinas producen respectivamente el20%, el 50% y el 30% del total de unidades producidas. ¿Cómo se distribuyen laslongitudes de las piezas producidas?"

Método para obtener la función de densidad de la variable aleatoriamezcla

1) Averiguar las probabilidades de cada uno de los orígenes:P(A 1), P(A 2), ..., P(A n)

2) Averiguar la distribución de los elementos provenientes de cada uno de losorígenes:

f X1, f X2, ..., f Xn.3) Hacer una lista de todos los puntos que dividen las ramas de las funciones dedensidad de todos los orígenes.4) Para cada intervalo:

f XMEZCLA = P(A 1) f X1(x) + P(A 2) f X2(x) + ... + P(A n) f Xn(x)5) Armar la f XMEZCLA .

Recomendaciones prácticas

• Al igual que se dijo para la función de distribución acumulada y para ladistribución de las variables aleatorias condicionadas, no conviene construir unafunción que no es necesaria, a menos que nos la pidan. Si lo que nos piden es unaprobabilidad, no necesitamos construir la función de densidad de la variable

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aleatoria mezcla. En general todos los problemas que piden probabilidades devariables aleatorias mezcla se pueden resolver fácilmente por probabilidadcondicional, sin necesidad alguna de la función de densidad de la mezcla. Veremosesto más adelante, plasmado en los ejemplos.• Aunque el método no lo requiere, es conveniente, para tener menos

probabilidades de equivocarse, hacer un diagrama del estilo del que se hará en laresolución del ejemplo.

Resolución del ejemploSi por ejemplo las distribuciones fueran:

∀

<<=xotro0

6x241

)x(f AX

∀

<<=xotro0

7x431

)x(f BX

∀

<<=xotro0

5x141

)x(f CX

y era dato que:P(A) = 0,2 P(B) = 0,5 P(C) = 0,3Los puntos que separan las ramas de las 3 funciones de densidad son: 2, 6, 4, 7, 1,5.Ordenados quedan: 1, 2, 4, 5, 6, 7.Hagamos un esquema para darnos cuenta de en qué intervalos "aportan" cada unode los orígenes:

En cada intervalo aplicaremos:f XMEZCLA = P(A) f XA(x) + P(B) f XB(x) + P(C) f XC(x)• Intervalo - ∞ < x < 1f XMEZCLA = 0,2 . 0 + 0,5 . 0 + 0,3 . 0 = 0Es lógico que de 0, porque no hay aportes.• Intervalo 1 < x < 2

f XMEZCLA = 0,2 . 0 + 0,5 . 0 + 0,3 .1

/ 4 =3

/ 40

• Intervalo 2 < x < 4f XMEZCLA = 0,2 . 1 / 4 + 0,5 . 0 + 0,3 . 1 / 4 = 1 / 8• Intervalo 4 < x < 5f XMEZCLA = 0,2 . 1 / 4 + 0,5 . 1 / 3 + 0,3 . 1 / 4 = 7 / 24

• Intervalo 5 < x < 6f XMEZCLA = 0,2 . 1 / 4 + 0,5 . 1 / 3 + 0,3 . 0 = 13 / 60

• Intervalo 6 < x < 7f XMEZCLA = 0,2 . 0 + 0,5 . 1 / 3 + 0,3 . 0 = 1 / 6

• Intervalo 7 < x < + ∞f XMEZCLA = 0,2 . 0 + 0,5 . 0 + 0,3 . 0 = 0Ahora armamos la f XMEZCLA :





∀

<<<<<<<<<<

=

xotro0

7x66 / 1

6x560 / 13

5x424 / 7

4x28 / 1

2x140 / 3

)x(f MEZCLAX

Justificación del método

Comenzaremos por buscar la F XMEZCLA (x):Por la definición de función de probabilidad acumulada, podemos escribir:

)xXm(P)x(FXm≤=

Luego tomaremos en vez del suceso Xm ≤ x su intersección con el espaciomuestral, lo cual nos dará un suceso equivalente, por lo cual no se modificará laprobabilidad:

)ExXm(P)xXm(P ∩≤=≤Escribiremos el espacio muestral como los sucesos: "que un determinado elementovenga del origen 1 ó que venga del origen 2 ó ... ó que venga del origen n":

))A...A(xXm(P)ExXm(P n1 ∪∪∩≤=∩≤Luego distribuimos la intersección respecto de la unión, y queda:

))AxXm(...)AxXm((P))A...A(xXm(P n1n1 ∩≤∪∪∩≤=∪∪∩≤

Como un elemento no puede venir de dos orígenes, entonces los sucesos sondisjuntos, y podemos reemplazar la probabilidad de la unión por la suma de lasprobabilidades:

)AxXm(P...)AxXm(P))AxXm(...)AxXm((P n1n1 ∩≤++∩≤=∩≤∪∪∩≤Podemos escribir las probabilidades de intersecciones usando probabilidadescondicionales:

)AxXm(P)A(P...)A

xXm(P)A(P)AxXm(P...)AxXm(Pn

n1

1n1≤++≤=∩≤++∩≤

La probabilidad de que un determinado elemento sea menor a un determinado valor,sabiendo que vino de un determinado origen, es la función de probabilidadacumulada de ese origen, evaluada en el valor, con lo cual:

)x(F)A(P...)x(F)A(P)AxXm(P)A(P...)A

xXm(P)A(Pn1 XnX1

nn

11 ++=≤++≤

Entonces obtuvimos que:)x(F)A(P...)x(F)A(P)x(F

n1 XnX1Xm++=

Y como:

dx)x(dF

)x(f XmXm

=

Entonces:)x(f )A(P...)x(f )A(P)x(f Xnn1X1Xm ++=

Lo cual vale ∀ x. Entonces hacemos la lista de los puntos que dividan todas las





ramas de cada una de las fx i, para que si trabajamos en cada uno de los intervalosque quedan determinados entre esos puntos, no cambie la definición de ninguna delas funciones de densidad.

Problemas típicos1) Los pesos de los duraznos, ciruelas y naranjas se distribuyenrespectivamente en decagramos según:

∀

<<−<<−

=xotro0

7x6x7

6x55x

)x(f NX

∀

<<−<<−

=xotro0

6x5x6

5x44x

)x(f CX

∀

<<=xotro0

7x431

)x(f DX

Si se mezclan 20% de naranjas, 30% de ciruelas y 50% de duraznos.a) ¿Cómo se distribuye el peso de una fruta elegida al azar?b) ¿Cuál es la probabilidad de que una fruta elegida al azar pesemenos de 6 decagramos? Resuelva de dos formas distintas y extraigaconclusiones.c) Si se extrae una fruta al azar y pesa menos de 6 decagramos, ¿cuáles la probabilidad de que sea un durazno? Extraiga conclusiones.

Resolucióna) Puntos que dividen ramas: 4, 5, 6, 7Hagamos un diagrama que nos permita ir verificando lo que escribimos:

En cada intervalo aplicaremos:f XMEZCLA = P(A) f XD(x) + P(B) f XC(x) + P(C) f XN(x)• Intervalo - ∞ < x < 4f XMEZCLA = 0,2 . 0 + 0,3 . 0 + 0,5 . 0 = 0

• Intervalo 4 < x < 5f XMEZCLA = 0,2 . 0 + 0,3 . (x-4) + 0,5 . 1 / 3 = 3 / 10 (x-4) + 1 / 6• Intervalo 5 < x < 6f XMEZCLA = 0,2 . (x-5) + 0,3 . (6-x) + 0,5 . 1 / 3 = 1 / 5 (x-5) + 3 / 10 (6-x) + 1 / 6• Intervalo 6 < x < 7f XMEZCLA = 0,2 . (7-x) + 0,3 . 0 + 0,5 . 1 / 3 = 1 / 5 (7-x) + 1 / 6• Intervalo 7 < x < + ∞f XMEZCLA = 0,2 . 0 + 0,3 . 0 + 0,5 . 0 = 0Ahora armamos la f XMEZCLA :





∀

<<+−

<<+−+−

<<+−

=

xotro0

7x6

6

1)x7(

5

1

6x561

)x6(103

)5x(51

5x461

)4x(103

)x(f MEZCLAX

b) Primera forma:

1511

dx61

)x6(103

)5x(51

dx61

)4x(103

dxf )6X(P6

5

5

4

6

Xmm=

+−+−+

+−==< ∫ ∫ ∫

∞−

Segunda forma:Usamos la misma técnica de intersección con el espacio muestral que usamos parademostrar la fórmula:

P(Xm < 6) = P(Xm < 6 ∩ E) = P(Xm < 6 ∩ (N ∪ C ∪ D)) = P((Xm < 6 ∩ N)∪ (Xm < 6 ∩ C) ∪ (Xm < 6 ∩ D)) = P(Xm < 6 ∩ N) + P(Xm < 6 ∩ C) + P(Xm< 6 ∩ D) = P(N) P(Xm < 6 / N) + P(C) P(Xm < 6 / C) + P(D) P(Xm < 6 / D) =

1511

dxf 5,0dxf 3,0dxf 2,06

XD

6

XC

6

XN=++= ∫ ∫ ∫

∞−∞−∞−

En la segunda forma no necesitamos la distribución de la mezcla. Si no noshubieran pedido la función de densidad, no habría valido la pena hacerla.

c))6X(P

)D(PD6X

P6X

DPm

m

m <

<

=

<

El denominador ya lo calculamos en el punto anterior.P(D) es dato y vale 0,5.

32

dx31

dxf D6XP

6

4

6

Xm

D===

< ∫ ∫

∞−

11

5

1511

21

32

6XDP

m

==

<

Nuevamente la conclusión es que si lo que se pide es calcular probabilidades, nohace falta encontrar la función de densidad de la variable aleatoria mezcla.

2) En un parque de diversiones, la altura de las personas que quieren subirsea determinada atracción mecánica es una variable aleatoria X distribuida enmetros según:





∀

<<−

<<

<<−

=

xotro0

2x8.1)x2(4

25

8.1x2.145

2.1x1)1x(4

25

)x(f NX

El empleado del parque no puede dejar subir a nadie que mida menos de1.40m. Sin embargo, el 10% de los que miden menos de 1.40m igualmentelogran escabullirse.¿Cómo se distribuyen las alturas de las personas que se suben al juego?

ResoluciónEste problema tiene dos dificultades adicionales:• la mezcla es entre variables que a su vez proceden de distribucionescondicionadas.• el cálculo de las probabilidades de los orígenes no es inmediato.Comencemos por ver que va a haber que hacer una mezcla entre dos variablesaleatorias: la de las personas de más de 1.40m y que entraron legítimamente, y lasde las personas de menos de 1.40m, que se escabulleron:f XMEZCLA = P(entró escabullido) f Xbajos (x) + P(entró legítimamente) f Xaltos (x)

Entonces necesitaremos las distribuciones condicionadas:• Personas de menos de 1.40m:

( )83dx

45dx)1x(

4254.1XP

4.1

2.1

2.1

1

=+−=< ∫ ∫

Xbajos4.1X / X f

xotro0

4.1x2.13

10

2.1x1)1x(3

50

xotro0

4.1x2.145

38

2.1x1)1x(4

2538

)x(f =∀

<<

<<−

=∀

<<

<<−

==> <

• Personas de más de 1.40m:( )

85

8314.1XP =−=>

Xaltos4.1X / X f

xotro0

2x8.1)x2(10

8.1x4.12

xotro0

2x8.1)x2(4

2558

8.1x4.145

58

)x(f =∀

<<−<<

=∀

<<−

<<

==> >

Y ahora necesitamos calcular las probabilidades. Mostraremos 3 formas de hacerlo:

con proporciones, con probabilidad condicional, y con un diagrama del espaciomuestral: • Con proporciones, se hace así:





Por ejemplo, de cada 80 personas que se presentan, 50 son altas y 30 son bajas(según las probabilidades que acabamos de calcular). Las 50 que se presentan yson altas, entran directamente. De las 30 que son bajas, el 10% entra, con lo cual 3entran. Entonces de las 80 que se presentaron, entran 53, de las cuales 50 son altasy 3 son bajas.

Luego la probabilidad de que una persona que entró lo haya hecho legítimamente es50/53, y la probabilidad de que una persona que entró lo haya hechoescabulléndose es 3/53.• Aplicando probabilidad condicional, se hace así:

( ) ( ))entró(P8

5)entró(P

85

%100

)entró(P

)alto(PaltoentróP

entróaltoP

)entró(P803

)entró(P83

%10

)entró(P

)bajo(PbajoentróP

entróbajoP

===

==

=

Y como todas las personas que entran son necesariamente altas o bajas, entonces:( )1entróaltaPentró

bajaP =+

Con lo cual:

8053

)entró(P1)entró(P

18053

1)entró(P8

5)entró(P80

3 ==>==>=+

Luego:

533

5380803

)entró(P803

entróbajaP ===

( )5350

538805

)entró(P85

entróaltaP ===

• Haciendo un diagrama del espacio muestral, se hace así:La parte con lineas gruesas en el centro es el espacio muestral, dividido en las 4particiones posibles: los que entran y son altos, los que entran y son bajos, los queno entran y son altos, y los que no entran y son bajos.

entran no entranaltosbajos

Completaremos los casilleros con las siguientes probabilidades, según las vayamosdeduciendo:

entran no entranaltos P(alto∧entra) P(alto ∧noentra) P(alto)bajos P(bajo ∧entra) P(bajo ∧noentra) P(bajo)

P(entra) P(noentra)

Comenzamos por colocar las probabilidades que ya teníamos calculadas de cuandobuscamos las distribuciones condicionadas:





entran no entranaltos P(alto∧entra) P(alto ∧noentra) 5/8bajos P(bajo ∧entra) P(bajo ∧noentra) 3/8

P(entra) P(noentra)

Y sabemos que todos los altos que se presentan entran, con lo cual P(alto ∧noentra)= 0, por lo tanto:entran no entran

altos P(alto∧entra) 0 5/8bajos P(bajo ∧entra) P(bajo ∧noentra) 3/8

P(entra) P(noentra)Y luego como podemos ver en el diagrama, P(alto ∧entra)+ P(alto ∧noentra) = 5/8,con lo cual:

entran no entranaltos 5/8 0 5/8bajos P(bajo ∧entra) P(bajo ∧noentra) 3/8

P(entra) P(noentra)Sabemos que de los bajos, 10% entra y 90% no entra. El 10% de 3/8 es 3/80, y el90% es 27/80. Entonces:

entran no entranaltos 5/8 0 5/8bajos 3/80 27/80 3/8

P(entra) P(noentra)Y ahora sumamos para terminar de completar la tabla:

entran no entranaltos 5/8 0 5/8bajos 3/80 27/80 3/8

53/80 27/80Ahora calculamos

533

80 / 5380 / 3

)entró(P)entróbajo(P

entróbajoP ==∧=

( )5350

80 / 538 / 5

)entró(P)entróalto(P

entróaltoP ==∧=

Luego de conseguidas por cualquiera de los tres métodos las probabilidades,buscamos los puntos que dividen las ramas de las funciones de densidad:1, 1.2, 1.4, 1.8, 2Ahora trabajamos intervalo por intervalo, usando:f XMEZCLA = P(entró escabullido) f Xbajos (x) + P(entró legítimamente) f Xaltos (x)

• -∞ < x < 100

5350

0533

f XMEZCLA=+=





• 1 < x < 1.2)1x(

5350

05350

)1x(3

50533

f XMEZCLA−=+−=

• 1.2 < x < 1.4

53

100

53

50

3

10

53

3f XMEZCLA

=+=

• 1.4 < x < 1.8

53100

25350

0533

f XMEZCLA=+=

• 1.8 < x < 2)x2(

53500

)x2(105350

0533

f XMEZCLA−=−+=

• 2 < x < + ∞00

53

500

53

3f

XMEZCLA=+=

Finalmente, armamos la función de densidad:

∀

<<−

<<

<<

<<−

=

xotro0

2x8.1)x2(53

500

8.1x4.153

100

4.1x2.15310

2.1x1)1x(5350

f XMEZCLA

4) Un artesano recolecta varillas cuya longitud en cm. es la variablealeatoria X distribuida según:

∀

<<−=xotro0

6x1)1x(252

)x(f X

Como las varillas que miden más de 4 cm no le sirven, por ser demasiadograndes, las corta por la mitad.

a) ¿Cómo se distribuyen las varillas que le quedan?b) Si de las varillas que le quedan selecciona las que miden 2 ± 0,1 cm.,¿cómo se distribuyen las que selecciona?

Resolución:a) Este ejercicio es lo más complicado que estudiaremos en cuanto a variablealeatoria mezcla, ya que además comprende:• distribuciones condicionadas

• probabilidades de orígenes• cambio de variables





Comencemos por ver que la mezcla será entre las varillas que miden menos de 4cm, y las que resultaron de cortar por la mitad varillas que medían originalmentemás de 4 cm.La distribución de las varillas que miden menos de 4 cm se puede obtenerfácilmente truncando la distribución original condicionándola a X<4. Las otras,

resultarán del cambio de variables de cortar por la mitad varillas que provienen deotra distribución condicionada.Comencemos por obtener las distribuciones condicionadas:P(X < 4) = 9/25

=>∀

<<−=∀

<<−=<xotro0

4x1)1x(92

xotro0

4x1)1x(252

925

)x(f 4X / X

P(X > 4) = 16/25

=> ∀

<<−=∀

<<−=>xotro0

6x4)1x(

16

2

xotro0

6x4)1x(

25

2

16

25)x(f

4X / X

Por simplicidad, a la longitud de las varillas de más de 4 cm. la llamaremos Y, y Zserá la longitud de tales varillas cortadas por la mitad.Z = Y / 2Hacemos el cambio de variables:La derivada de la transformación es 1/2. La transformación inversa es Y = 2Z.Los puntos que dividen las ramas de f Y (es decir, de f X/X>4 ) son el 4 y el 6.No hay puntos que dividan ramas de la derivada, y tampoco puntos en los que laderivada cambie de signo.Entonces el único intervalo a estudiar es 4 < Y < 6

Y = 4 => Z = 2Y = 6 => Z = 3con lo cual dicho intervalo aportará sobre el intervalo 2 < Z < 3

)1z2(41

)1y(41

21

)1y(1 62

dydz

)y(f )z(f Y

Z −=−=−

==

La distribución de z queda:






∀

<<−=zotro0

3z2)1z2(41

)z(f Z

Ahora calcularemos las probabilidades de los orígenes. Usaremos el método de

pensar en las proporciones, aunque también podría usarse cualquiera de los otros 2.De cada 25 varillas, 9 quedarán como están, y 16 se cortarán. Pero las 16 que secortan se transforman en 32. Entonces por cada 25 varillas, quedarán 9+32 = 41varillas. De cada 41 varillas de las que quedan, 9 eran cortas originalmente, y 32proceden de las largas cortadas por la mitad.

Las que eran cortas originalmente son las que están distribuidas según f X/X<4 .Las que resultaron de cortar las largas están distribuidas según la f Z queencontramos.Consecuentemente, la mezcla queda:f XMEZCLA = 9/41 f X/X<4 (x) + 32/41 f Z(z)Recordemos que el hecho de llamarlas Z fue solamente una cuestión de notación.Los puntos que dividen las ramas de las funciones de densidad involucradas en lamezcla son: 1, 4, 2, 3.Ahora estudiamos intervalo por intervalo:• -∞ < x < 1

004132

0419

f XMEZCLA=+=

• 1 < x < 2)1x(

4120

4132)1x(

92

419f XMEZCLA

−=+−=

• 2 < x < 3)5x9(

412

)1x2(41

4132

)1x(92

419

f XMEZCLA−=−+−=

• 3 < x < 4)1x(

412

04132

)1x(92

419

f XMEZCLA−=+−=

• 4 < x < + ∞00

4132

0419

f XMEZCLA=+=

Ahora armamos la función de densidad de la mezcla, y queda:

∀

<<−

<<−

<<−

=

xotro0

4x3)1x(412

3x2)5x9(412

2x1)1x(412

)x(f MEZCLAX

b) Ahora debemos condicionar la distribución que obtuvimos en el punto a) para X





= 2 ± 0,1. Es decir, para 1,9 < X < 2,1.P(seleccionar una varilla) = P(1,9 < X < 2,1) =

0702,0dx)5x9(412

dx)1x(412

dxf 1,2

2

2

9,1

1,2

9,1XMEZCLA

=−+−== ∫ ∫ ∫

∀

<<−<<−

=∀

<<−<<−

=<<

xotro0

1,2x2)5x9(6944,0

2x9,1)1x(6944,0

xotro0

1,2x2)5x9(412

0702,01

2x9,1)1x(412

0702,01

)x(f 1,2X9,1 / X

Y esa es la distribución de las varillas que selecciona.

A B C A m b e r Te x t C o n v e r t e r T r i a l v e r s i o n , h t t p : / / w w w . t h e b e a t l e s f o r e v e r . c o m / p r o c e s



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