02 Trabajo Virtual
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Universidad Federico Santa María
Departamento de Obras Civiles
Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233)
M. Valdebenito
Trabajo Virtual y Teoremas de
Energía
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 2
Trabajo Virtual
• Trabajo virtual se refiere a un trabajo ficticio causado por fuerzas
virtuales o desplazamientos virtuales
• Permite determinar desplazamientos en cualquier punto de una
estructura
• Permite determinar fuerzas desconocidas
• Principio: igualdad entre trabajo realizado por fuerzas externas y
energía de deformación
• Concepto de trabajos virtual involucra:
– Principio de los desplazamientos virtuales: fuerzas reales actuando
a través de desplazamientos virtuales
– Principio de las fuerzas virtuales: fuerzas virtuales actuando sobre
desplazamientos reales
Generalidades
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 3
Trabajo Virtual
• Importancia de los principios de trabajo virtual
– Principio de los desplazamientos virtuales se encuentra relacionado
con el método de los desplazamientos (método de rigidez)
– Principio de las fuerzas virtuales se encuentra relacionado con el
método de la carga unitaria (método de flexibilidad)
Generalidades
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 4
Trabajo Virtual
• Energía de deformación interna
– Por simplicidad, en esta unidad solo se consideran sistemas
estructurales cuya energía interna involucra carga axial
– La generalización a otros casos de interés será estudiada en una
unidad posterior
Generalidades
Trabajo Virtual
• Temas a ser tratados en esta unidad
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 5
Generalidades
Trabajo
virtual
Principio de
Desplazamientos
Virtuales (PDV)
Conceptos
preliminares
Aplicaciones a estructuras
Teorema de Castigliano I
Teorema de Desplazamiento Unitario
Principio de Fuerzas
Virtuales (PFV)
Aplicaciones a estructuras
Teorema de Castigliano II
Teorema de Fuerza Unitaria
Teorema de Crotti – Engesser
Relación entre PDV
y PFV
Conceptos Preliminares
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 6
Trabajo
virtual
Principio de
Desplazamientos
Virtuales (PDV)
Conceptos
preliminares
Aplicaciones a estructuras
Teorema de Castigliano I
Teorema de Desplazamiento Unitario
Principio de Fuerzas
Virtuales (PFV)
Aplicaciones a estructuras
Teorema de Castigliano II
Teorema de Fuerza Unitaria
Teorema de Crotti – Engesser
Relación entre PDV
y PFV
Conceptos Preliminares
• Considere la relación fuerza – desplazamiento de un sólido no lineal
elástico
• El trabajo que desarrolla la fuerza F es
• El trabajo complementario es
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 7
Trabajo y Trabajo Complementario
F
uL
Conceptos Preliminares
• Al introducir una pequeña
perturbación de
desplazamiento 𝛿𝑢, la
perturbación en el trabajo
𝛿𝑊 es:
• Al introducir una pequeña
perturbación de fuerza 𝛿𝐹,
la perturbación en el trabajo
complementario 𝛿𝑊∗ es:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 8
Trabajo y Trabajo Complementario
Conceptos Preliminares
• Considere la relación esfuerzo – deformación de un sólido no lineal
elástico
• La energía de deformación es
• La energía de deformación complementaria es
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 9
Energía de Deformación y En. de Def. Complementaria
F
uL
relacionado con 𝑈∗
relacionado con 𝑈
Conceptos Preliminares
• Al introducir una
pequeña perturbación
en la deformación
𝛿휀𝑥𝑥, la perturbación
en la energía de
deformación 𝛿𝑈 es:
• Al introducir una
pequeña perturbación
en el esfuerzo 𝛿𝜎𝑥𝑥, la
perturbación en la
energía de
deformación
complementaria 𝛿𝑈∗
es:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 10
relacionado con 𝑈
relacionado con 𝛿𝑈
relacionado con 𝑈∗
relacionado con 𝛿𝑈∗
Energía de Deformación y En. de Def. Complementaria
Conceptos Preliminares
• Trabajo
• Energía de Deformación (EdD)
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 11
Resumen
• 𝑊: Trabajo
• 𝑊∗: Trabajo complementario
• 𝛿𝑊: Trabajo (perturbación)
• 𝛿𝑊∗: Trabajo complementario (perturbación)
relacionado con 𝑈
relacionado con 𝛿𝑈
relacionado con 𝑈∗
relacionado con 𝛿𝑈∗
• 𝑈: EdD
• 𝑈∗: EdD complementaria
• 𝛿𝑈: EdD (perturbación)
• 𝛿𝑈∗: EdD
complementaria
(perturbación)
Principio de Desplazamientos Virtuales
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 12
Trabajo
virtual
Principio de
Desplazamientos
Virtuales (PDV)
Conceptos
preliminares
Aplicaciones a estructuras
Teorema de Castigliano I
Teorema de Desplazamiento Unitario
Principio de Fuerzas
Virtuales (PFV)
Aplicaciones a estructuras
Teorema de Castigliano II
Teorema de Fuerza Unitaria
Teorema de Crotti – Engesser
Relación entre PDV
y PFV
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Considere una partícula en un espacio bidimensional
Partícula se encuentra en equilibrio
Hay un total de N fuerzas actuando sobre ella
por equilibrio:
• Suponga que sobre este sistema se introduce un desplazamiento
virtual 𝛿𝑢
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 13
Caso de una Partícula
x
y
𝐹𝑁 𝐹𝑖
𝐹1
𝐹2
𝛿𝑢𝑦
𝛿𝑢𝑥x
y
Principio de Desplazamientos Virtuales
• El desplazamiento virtual 𝛿𝑢 se caracteriza por:
Es arbitrario
Es compatible
Es imaginario, perturba la partícula desde su posición de equilibrio
sin afectar las fuerzas externas
• Si bien 𝛿𝑢 puede ser arbitrario, habitualmente se escoge como un
desplazamiento pequeño infinitesimal.
𝛿𝑢𝑥 y 𝛿𝑢𝑦 son infinitésimos de primer orden desde el punto de vista
matemático
𝛿𝑢𝑥 y 𝛿𝑢𝑦 no se pueden integrar directamente
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 14
Caso de una Partícula
Principio de Desplazamientos Virtuales
• El trabajo virtual 𝛿𝑊 realizado por las fuerzas debido al desplazamiento
virtual es:
• Por condición de equilibrio se sabe que:
– Por lo tanto, se cumple que:
– Para un desplazamiento arbitrario 𝛿𝑢.
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 15
Caso de una Partícula
Principio de Desplazamientos Virtuales
• De los resultados anteriores se desprende el principio de
desplazamientos virtuales (PDV) para una partícula
• Note la relevancia de que la condición 𝛿𝑊 = 0 se cumpla para
cualquier desplazamiento virtual.
para caso particular
para caso arbitrario
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 16
Caso de una Partícula
Una partícula se encuentra en equilibrio si y solo si el trabajo virtual
hecho por todas las fuerzas que actúan en la partícula es cero para
un desplazamiento virtual arbitrario cualquiera.
𝐹1
x
y
Por lo tanto, sistema no se
encuentra en equilibrio
• Claramente los resultados anteriores son extensibles a un cuerpo rígido
(colección de partículas)
x
x
Principio de Desplazamientos Virtuales
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 17
Caso de un Cuerpo Rígido
x
𝐹𝑖
𝐹2
𝐹1
𝐹𝑁
𝑀2
𝑀1
𝑀𝑗
𝑀𝑀
𝛿𝑢𝑥
𝛿𝑢𝑦
𝛿𝜃
c c
c’
Principio de Desplazamientos Virtuales
• El PDV para un mecanismo indica que
• El número de grados de libertad de un mecanismo se determina en
base a los vínculos existentes y conexiones entre cuerpos rígidos
• Ejemplo
Determine el valor de la carga Q en función de P, a y b
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 18
Caso de un Mecanismo
Un mecanismo está en equilibrio si y solo si el trabajo virtual es cero
para todos los desplazamientos virtuales independientes (grados de
libertad)
R:
a b
P Q
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Cálculo de reacciones
Se libera vínculo asociado, reacción se asume como fuerza activa
Estructura pasa a ser un mecanismo, es posible introducir desplazamiento virtual
• Ejemplo
Calcular reacción vertical en C.
• Note que en este caso, al aplicar PDV, un problema de equilibrio se transforma en un problema geométrico
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 19
Caso de una Estructura Isostática
R:
L
PA
2/L 2/LL
B
C ED
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Cálculo de fuerzas internas
Se libera vínculo asociado, fuerza interna se asume como fuerza activa
Estructura pasa a ser un mecanismo, es posible introducir desplazamiento virtual
• Ejemplo
Calcular carga axial, corte y momento en D
• Note que en este caso, al aplicar PDV, un problema de equilibrio se transforma en un problema geométrico
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 20
Caso de una Estructura Isostática
R:
L
PA
2/L 2/LL
B
C ED
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Considere una barra sometida en un extremo a una fuerza por unidad
de superficie 𝑓0 Se asume estado de esfuerzos unidimensional
Área de sección transversal 𝐴
• De las ecuaciones de equilibrio se sabe que:
(se asume que no hay
cargas volumétricas)
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 21
Caso de una Barra Deformable
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Se asume un campo de desplazamiento virtual 𝛿𝑢𝑥(𝑥). Si dicho campo
virtual actúa sobre el elemento diferencial se produce un trabajo virtual
• Integrando la última relación sobre el volumen de la barra.
• Asumiendo que 𝛿𝑢𝑥(𝑥) es diferenciable y aplicando integración por
partes, se deduce que:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 22
Caso de una Barra Deformable
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Si se asume que 𝛿𝑢𝑥 𝑥 = 0 = 0, se observa que:
• Por otro lado, note que
Deformación extensional virtual
• Finalmente, se determina la siguiente condición de equilibrio
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 23
Caso de una Barra Deformable
Fuerza
real
Despl.
virtual
Esfuerzo
real
Deformación
virtual
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Se denomina trabajo virtual (𝛿𝑊) al trabajo hecho por la fuerza real
sobre los desplazamientos virtuales
• Se denomina energía de deformación virtual (𝛿𝑈) a la energía asociada
a los esfuerzos reales sobre las deformaciones virtuales
• La barra está en equilibrio si y solo si el trabajo virtual y la energía de
deformación virtual son iguales
condición de equilibrio
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 24
Caso de una Barra Deformable
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Ejemplo
Barra de largo 𝐿, sección transversal 𝐴
Material lineal elástico (módulo de Young 𝐸)
Extremo de la barra sufre elongación Δ
Determine fuerza 𝐹 en función de 𝐸, 𝐴, 𝐿 y Δ
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 25
Caso de una Barra Deformable
R:
F
L
Sistema Real
L
Sistema Virtual
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Ejemplo
Barra de largo 𝐿, sección transversal 𝐴
Ley constitutiva no lineal elástica
Determine fuerza 𝐹 en función de 𝐶, 𝐴, 𝐿 y 𝑢𝐿
Suponga que campo de desplazamiento es lineal
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 26
Caso de una Barra Deformable
R:
F
LuL
Sistema Real
0
𝜎𝑥𝑥 = 𝑐휀𝑥𝑥𝑛
𝑛 ≤ 1
𝜎𝑥𝑥
휀𝑥𝑥
LuL
Sistema Virtual
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Enunciado: dada una estructura en equilibrio bajo la acción de fuerzas
externas que originan en ella esfuerzos internos y una segunda
estructura que sufre ciertos desplazamientos virtuales que originan
deformaciones virtuales, el trabajo realizado por las fuerzas externas
reales en los desplazamientos virtuales es igual al trabajo de los
esfuerzos internos reales en las deformaciones internas virtuales.
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 27
Caso General
Trabajo Virtual Energía de Deformación Virtual
Sistema Real
(de fuerzas)
𝑓 Sistema Virtual
(de desplazamientos)
𝛿𝑢, 𝛿 휀
𝐹1
𝐹𝑖
𝐹2
𝑏𝑖
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Donde
𝐹1, … , 𝐹𝑁: fuerzas puntuales
𝑓: carga superficial
𝑏: carga volumétrica
𝛿𝑢: campo de desplazamiento virtual
𝛿 휀: campo de deformaciones virtual
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 28
Caso General
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Considere una estructura sujeta a un sistema de N fuerzas externas
• Se introduce campo de desplazamientos virtuales 𝛿𝑢( 𝑥) tal que:
El desplazamiento virtual en el punto de aplicación de las fuerzas 1,
2, …, i-1, i+1, N es cero.
El desplazamiento virtual en el punto de aplicación de la i-ésima
fuerza es 𝛿𝑢𝑖 (en dirección de la fuerza)
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 29
Teorema de Castigliano (Parte I)
𝐹 1
𝐹 𝑁
𝐹 2
𝐹 𝑖
𝛿𝑢𝑖
Sistema Real Sistema Virtual
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Aplicando PDV
• Formalmente, el teorema de Castigliano (parte I) indica que para una
estructura elástica (lineal o no lineal) sometida a 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑁 fuerzas
cuyos desplazamientos correspondientes son 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑁
(respectivamente) a lo largo de la línea de acción, es posible establecer
N ecuaciones de equilibrio de la forma:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 30
Teorema de Castigliano (Parte I)
En el límite, si 𝛿𝑢𝑖
es muy pequeño:
Energía de
deformación
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Ejemplo
Barra de largo 𝐿, sección transversal 𝐴
Ley constitutiva no lineal elástica
Determine fuerza 𝐹 en función de 𝐶, 𝐴, 𝐿 y 𝑢𝐿
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 31
Teorema de Castigliano (Parte I)
R:
0
𝜎𝑥𝑥 = 𝑐휀𝑥𝑥𝑛
𝑛 ≤ 1
𝜎𝑥𝑥
휀𝑥𝑥
F
LuL
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Este teorema permite determinar la fuerza 𝐹𝑖 requerido para mantener
el equilibrio de una estructura.
• Asuma que los esfuerzos que experimenta una estructura son
conocidos y se denotan como 𝜎. Se aplica un desplazamiento virtual
𝛿𝑢𝑖 en dirección de 𝐹𝑖.
• Por PDV:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 32
Teorema de Desplazamiento Unitario
𝐹 1
𝐹 𝑁
𝐹 2
𝐹 𝑖
𝛿𝑢𝑖
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Para una estructura lineal elástica se cumple que:
• Reemplazando la última expresión en la ecuación de PDV
• El teorema indica que la fuerza necesaria 𝐹𝑖 en la dirección 𝑖 para
mantener el equilibrio es igual ala integral sobre el volumen del
esfuerzo real 𝜎 multiplicado por las deformaciones 휀𝑢𝑖asociadas a un
desplazamiento unitario en la dirección 𝑖
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 33
Teorema de Desplazamiento Unitario
휀𝑢𝑖: campo de deformación debido a
desplazamiento unitario en dirección de
la i-ésima fuerza
Teorema de desplazamiento
unitario
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Este teorema es de utilidad en la deducción de relaciones de rigidez del
tipo
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 34
Teorema de Desplazamiento Unitario
Cargas sobre
una EstructuraMatriz de
RigidezDesplazamientos
de la Estructura
Principio de Desplazamientos Virtuales
• Ejemplo
– Determine la relación de rigidez
– Barras lineales elásticas, módulo de Young E, áreas de sección
transversal 𝐴1 y 𝐴2, respectivamente
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 35
Teorema de Desplazamiento Unitario
R:
LL
𝐹1 𝑢1
𝐸, 𝐴1 𝐸, 𝐴2
𝐹2 𝑢2
Principio de Fuerzas Virtuales
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 36
Trabajo
virtual
Principio de
Desplazamientos
Virtuales (PDV)
Conceptos
preliminares
Aplicaciones a estructuras
Teorema de Castigliano I
Teorema de Desplazamiento Unitario
Principio de Fuerzas
Virtuales (PFV)
Aplicaciones a estructuras
Teorema de Castigliano II
Teorema de Fuerza Unitaria
Teorema de Crotti – Engesser
Relación entre PDV
y PFV
Principio de Fuerzas Virtuales
• Considere una barra sometida en un extremo a una fuerza.
– Se asume que su campo de desplazamiento es 𝑢𝑥(𝑥)
– Se asume un estado de esfuerzos unidimensional
– Área de sección transversal 𝐴
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 37
Caso de una Barra Deformable
𝑓: fuerza por unidad de superficie
Principio de Fuerzas Virtuales
• Sobre esta barra se introduce un campo de esfuerzos virtual 𝛿𝜎𝑥𝑥(𝑥) y
fuerzas virtuales asociadas en equilibrio estático
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 38
Caso de una Barra Deformable
Por equilibrio:
(se asume que no hay
cargas volumétricas)
Principio de Fuerzas Virtuales
• Si el campo de desplazamientos (real) 𝑢𝑥(𝑥) actúa sobre el elemento
diferencial
• Integrando la última relación sobre el volumen de la barra
• Aplicando integración por partes:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 39
Caso de una Barra Deformable
Principio de Fuerzas Virtuales
• Dado que 𝑢𝑥 𝑥 = 0 = 0, se deduce que:
• Por otro lado, note que
Deformación extensional (real)
• Finalmente, se determina la siguiente condición de equilibrio
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 40
Caso de una Barra Deformable
Fuerza
virtual
Despl.
real
Esfuerzo
virtual
Deformación
real
Principio de Fuerzas Virtuales
• Se denomina trabajo virtual complementario (𝛿𝑊∗) al trabajo hecho por
la fuerza virtual sobre el desplazamiento real
• Se denomina energía de deformación virtual complementaria (𝛿𝑈∗) a la
energía asociada a los esfuerzos virtuales sobre las deformaciones
reales
• La barra esta en equilibrio si y solo si el trabajo virtual complementario y
la energía de deformación virtual complementario son iguales
condición de equilibrio
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 41
Caso de una Barra Deformable
Principio de Fuerzas Virtuales
• Ejemplo
Barra de largo 𝐿, sección transversal 𝐴
Material lineal elástico (módulo de Young 𝐸)
Fuerza F aplicada en el extremo de la barra
Determine el desplazamiento en el extremo en función de 𝐸, 𝐴, 𝐿 y 𝐹
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 42
Caso de una Barra Deformable
R:
F
L
Sistema Real
L
Sistema Virtual𝛿𝐹
Principio de Fuerzas Virtuales
• Ejemplo
Barra de largo 𝐿, sección transversal 𝐴
Ley constitutiva no lineal elástica
Determine el desplazamiento 𝑢𝐿 en función de 𝐶, 𝐴, 𝐿 y 𝐹
Considere como sistema virtual
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 43
Caso de una Barra Deformable
R:
F
LuL
Sistema Real
0
𝜎𝑥𝑥 = 𝑐휀𝑥𝑥𝑛
𝑛 ≤ 1
𝜎𝑥𝑥
휀𝑥𝑥
L
𝛿𝐹
Principio de Fuerzas Virtuales
• Enunciado: dada una estructura que debido a alguna causa sufre
desplazamientos que originan en ella deformaciones internas y una
segunda estructura en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas
virtuales que originan en ella esfuerzos virtuales, el trabajo realizado
por las fuerzas externas virtuales en los desplazamientos reales es
igual al trabajo de los esfuerzos internos virtuales en las deformaciones
internas reales
44
Caso General
Sistema Real
(de desplazamientos)
𝛿 𝐹 𝑗
𝛿 𝑏 𝑖
𝛿 𝑓Sistema Virtual
(de fuerzas)
𝛿 𝐹 1𝛿 𝐹 2
𝛿 𝜎 𝐹 2
𝐹 1 𝐹 𝑗
Principio de Fuerzas Virtuales
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 45
Caso General
Trabajo virtual
complementario
Energía de
deformación virtual
complementaria
Sistema Virtual
(de desplazamientos)
𝛿 𝐹 𝑗
𝛿 𝑏 𝑖
𝛿 𝑓Sistema Virtual
(de fuerzas)
𝛿 𝐹 1𝛿 𝐹 2
𝛿 𝜎 𝐹 2
𝐹 1 𝐹 𝑗
Principio de Fuerzas Virtuales
• Donde:
𝑢: campo de desplazamiento (real)
휀: campo de deformaciones (real)
𝛿 𝐹1, … , 𝛿 𝐹𝑁: fuerzas puntuales virtuales
𝛿 𝑓: carga superficial virtual
𝛿𝑏: carga volumétrica virtual
𝛿 𝜎: esfuerzos virtuales
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 46
Caso General
Principio de Fuerzas Virtuales
• Considere una estructura en equilibrio cuyo campo de desplazamiento
es 𝑢
• Se introduce una fuerza virtual 𝛿𝐹𝑖 en dirección del i-ésimo
desplazamiento 𝑢𝑖
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 47
Teorema de Crotti - Engesser
𝛿𝐹𝑖
𝑢𝑖 𝐹 2
𝐹 1 𝐹 𝑁
Sistema Real Sistema Virtual
Principio de Fuerzas Virtuales
• Aplicando PDV
• Formalmente, el teorema de Crotti – Engesser indica que para una
estructura elástica (lineal o no lineal), el desplazamiento en un punto es
igual a la derivada parcial de la energía de deformación virtual
complementaria respecto de la fuerza asociada
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 48
Teorema de Crotti - Engesser
En el límite, si 𝛿𝐹𝑖
es muy pequeño:
Energía de
deformación
Complementaria
Principio de Fuerzas Virtuales
• Ejemplo
Barra de largo 𝐿, sección transversal 𝐴
Ley constitutiva no lineal elástica
Determine el desplazamiento 𝑢𝐿 en función de 𝐶, 𝐴, 𝐿 y 𝐹
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 49
Teorema de Crotti - Engesser
R:
F
LuL
Sistema Real
0
𝜎𝑥𝑥 = 𝑐휀𝑥𝑥𝑛
𝑛 ≤ 1
𝜎𝑥𝑥
휀𝑥𝑥
Principio de Fuerzas Virtuales
• Para estructuras lineales elásticas, se sabe que
• Por lo tanto:
• El teorema de Castigliano (Parte II) puede ser interpretado como un
caso especial del teorema de Crotti - Engesser
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 50
Teorema de Castigliano (Parte II)
Teorema de
Castigliano (Parte II)
relacionado con 𝑈∗
relacionado con 𝑈
Principio de Fuerzas Virtuales
• Ejemplo
Barra de largo 𝐿, sección transversal 𝐴
Material lineal elástico (módulo de Young 𝐸)
Fuerza F aplicada en el extremo de la barra
Determine el desplazamiento en el extremo en función de 𝐸, 𝐴, 𝐿 y 𝐹
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 51
Teorema de Castigliano (Parte II)
R:
F
L
Principio de Fuerzas Virtuales
• Este teorema permite determinar el desplazamiento 𝑢𝑖 en un punto de
una estructura sometida a un campo de deformaciones conocido 휀
• Asuma una estructura donde el campo de deformaciones 휀 es
conocido. Si se aplica una fuerza virtual 𝛿𝐹𝑖 en dirección de 𝑢𝑖:
• Por PFV:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 52
Teorema de la Carga Unitaria
𝑢𝑖 𝐹 2
𝐹 1
𝐹 𝑁
𝐹 𝑖
𝛿𝐹 𝑖
Principio de Fuerzas Virtuales
• Para una estructura lineal elástica se cumple que:
• Reemplazando la última expresión en la ecuación de PFV
Teorema de la carga unitaria
• El teorema indica que el desplazamiento 𝑢𝑖 es igual a la integral sobre
el volumen del esfuerzo 𝜎𝑢𝑖ocasionado por una carga unitaria en
dirección de 𝑢𝑖 multiplicado por el campo de desplazamientos real 휀.
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 53
Teorema de la Carga Unitaria
𝜎𝐹𝑖: esfuerzos debido a carga unitaria
aplicada en dirección del 𝑖 –ésimo
desplazamiento
Principio de Fuerzas Virtuales
• Este teorema es de gran utilidad en la deducción de relaciones de
flexibilidad del tipo:
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 54
Teorema de la Carga Unitaria
Cargas sobre
una Estructura
Matriz de
Flexibilidad
Desplazamientos
de la Estructura
Principio de Fuerzas Virtuales
• Ejemplo
Determine la relación de flexibilidad
Barras lineales elásticas, módulo de Young 𝐸, áreas de sección
transversal 𝐴1 y 𝐴2, respectivamente.
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 55
Teorema de la Carga Unitaria
R:
LL
𝐹1 𝑢1
𝐸, 𝐴1 𝐸, 𝐴2
𝐹2 𝑢2
Principio de Fuerzas Virtuales
• Al igual que el PDV, el PFV se puede aplicar en el análisis de un cuerpo
rígido. En particular, es aplicable para determinar desplazamientos
• Ejemplo
Barra rígida de largo 𝐿 pivoteada en A
Barra experimenta giro pequeño ∆𝜃 alrededor de A
Objetivo es calcular desplazamiento vertical del punto B (∆𝐵,𝑦)
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 56
Caso de un Cuerpo Rígido
B
A ∆𝜃
∆𝐵,𝑦
Principio de Fuerzas Virtuales
• Ejemplo
Se define un sistema virtual de fuerzas ‘conveniente’
Por equilibrio
Aplicando PFV
• Note que en este caso, al aplicar PFV, un problema geométrico se
transforma en un problema de equilibrio
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 57
Caso de un Cuerpo Rígido
Cuerpo rígido, no hay energía
de deformación interna virtual
complementaria
𝛿𝑃
𝛿M
Principio de Fuerzas Virtuales
• Al igual que el PDV, el PFV se puede aplicar en el análisis de un
mecanismo. En particular, es aplicable para determinar
desplazamientos
• Ejemplo
Determine el desplazamiento horizontal de A debido a un giro ∆𝜃 en
torno a E
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 58
Caso de un Mecanismo
R:
A
B
C
D
E
∆𝜃
∆ 𝜃
L
𝛿𝐴,𝑥
L L
Note que en este caso, al
aplicar PFV, un problema
geométrico se transforma en
un problema de equilibrio
Relación entre PDV y PFV
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 59
Trabajo
virtual
Principio de
Desplazamientos
Virtuales (PDV)
Conceptos
preliminares
Aplicaciones a estructuras
Teorema de Castigliano I
Teorema de Desplazamiento Unitario
Principio de Fuerzas
Virtuales (PFV)
Aplicaciones a estructuras
Teorema de Castigliano II
Teorema de Fuerza Unitaria
Teorema de Crotti – Engesser
Relación entre PDV
y PFV
Relación entre PDV y PFV
• De acuerdo a lo expuesto anteriormente
• Note que las matrices de rigidez 𝐾 y flexibilidad 𝐹 no son
independientes entre si. De hecho, se relacionan según
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 60
Relación entre Desplazamiento y Carga Unitaria
PDV Teorema de
desplazamiento unitario
Relación de
rigidez𝑃 = 𝐾 𝑢
PFV Teorema de carga
unitaria
Relación de
flexibilidad𝑢 = 𝐹 𝑃
𝐾 −1 = 𝐹 𝑜 𝐹 −1 = 𝐾
Relación entre PDV y PFV
• Ejemplo
Para el problema de 2 barras
Por PDV
Por PFV
USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 61
Relación entre Desplazamiento y Carga Unitaria
LL
𝐹1 𝑢1
𝐸, 𝐴1 𝐸, 𝐴2
𝐹2 𝑢2