7/16/2019 Metodos de Trabajo Virtual

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NOMBRE DEL ALUMNO:

IGNACIO HDEZ HDEZ

NOMBRE DEL ING.:

ORALIO HERNÁNDEZ ALVARADO TEMAS:

TEOREMA DEL TRABAJO VIRTUAL

TEOREMA DE CASTIGLIANO

GRUPO: “A” 

MATRICULA: 2010579

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Introducción

En este ensayo hablaremos del principio del trabajo virtual que tiene

muchas aplicaciones en la mecánica lo que son en armaduras y vigas el cual es

de mayor importancia porque por medio de estos métodos podemos determinar el

desplazamiento de un cuerpo y su pendiente en diferentes puntos de un cuerpo

deformable.

También mencionaremos el teorema de castigliano que fue postulado por 

el ingeniero Italiano Alberto Castigliano el cual nos hace mención de este método

y nos dice que es aplicable a cuerpos que solo tienen temperatura constante,

soportes rígidos y material con comportamiento elástico-lineal. Aplicación de este

teorema solo en armaduras y vigas.

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Objetivos:

Conocer el principio del trabajo virtual

Aplicaciones

Conocer el teorema de castigliano aplicado a vigas

Aplicaciones

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Principio del trabajo virtual

El principio del trabajo virtual fue desarrollado por John Bernoulli en

1717, e igual que otros métodos de energía de análisis, está basado en el principio

de la conservación de la energía. El principio del trabajo virtual tiene muchaaplicación en la mecánica, para obtener desplazamientos y la pendiente en varios

puntos de un cuerpo deformable.

Cuando un cuerpo esta fijo, es necesario que las cargas satisfagan las

condiciones de equilibrio y que los desplazamientos satisfagan condiciones de

compatibilidad. Específicamente, las condiciones de equilibrio requieren que las

cargas externas estén relacionadas en forma única con las cargas internas y las

condiciones de compatibilidad requieren que los desplazamientos externos estén

relacionados en forma única con las deformaciones internas.

Ejemplo: si consideramos un cuerpo deformable de cualquier forma o

tamaño y se le aplica una serie de cargas externas P, esa cargas causaran cargas

internas u dentro del cuerpo.

Aplicación de carga unitariavirtual  Aplicación de cargas reales

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Ecuación del trabajo virtual

∑  

 Aquí:

P’ 1 = Carga virtual externa unitaria que actúa en la dirección de  

U = Carga virtual interna que actúa sobre el elemento

= Desplazamiento externo causando por las cargas reales

Desplazamiento interno del elemento de la dirección de u, causado por las

cargas reales.

Deformación causada por Energía de deformación Trabajo virtual

Carga axialN 

   

Fuerza cortante K   ∫

  ∫

 

Momento flexiónate M 

 

 

Momento torsionante T 

 

 

Método de las fuerzas virtuales aplicada a armaduras

Está se aplicara para determinar un nodo de armadura. Para obtener este

trabajo virtual, se supondrá que cada miembro tiene una área trasversal contante

CARGAS VIRTUALES

DESPLAZAMIENTOS REALES

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 A y que la carga virtual n y la carga real N  son constantes a todo lo largo del

miembro.

 

  

La ecuación de trabajo virtual para toda armadura es:

∑  

Dónde:

1= carga unitaria virtual externa que actúa en el nodo de la armadura en la

dirección especifica de  

= desplazamiento de nodo causado por las cargas reales que actúan en la

armadura.

=fuerza virtual interna en el miembro de una armadura causada por la carga

virtual externa unitaria

= fuerza interna en el miembro de una armadura causada por las cargas reales

= longitud de un miembro

  = área de la sección trasversal de un miembro

= módulo de elasticidad de un miembro

Aplicación de las cargas reales Aplicación de la carga virtual unitaria 

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Cambiar la longitud debido a un cambio de temperatura se utiliza esta ecuación.

 

Dónde:

= carga unitaria virtual externa que actúa en el nodo de una armadura en la

dirección especificada de  

= fuerza virtual interna en un miembro de una armadura causada por la carga

unitaria virtual externa

= desplazamiento interno del nodo causando por el cambio de temperatura

= coeficiente de expansión térmica del miembro.

= cambio de temperatura del miembro

= longitud del miembro

Errores de fabricación de los miembros de una armadura se determina mediante

esta ecuación.

 

Dónde:

= carga unitaria virtual externa que actúa en el nodo de una armadura en la

dirección especificada de  

= fuerza virtual interna en un miembro de una armadura causada por la carga

unitaria virtual externa

= desplazamiento interno del nodo provocado por errores de fabricación

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= diferencia de longitud del miembro con respecto a su longitud planeada

causada por un error de fabricación

Método de las fuerzas virtuales aplicadas a vigas

El método de las fuerzas virtuales es un método de suma importancia ya

que por medio de esta podemos determinar el desplazamiento y la pendiente en

un punto en una viga. Se dice que el desplazamiento es causado por una carga

distribuida real expresada “w”, la cual genera tanto una fuerza cortante con un

momento flexionante dentro de la viga, el cual se debe considerar el trabajo virtual.

Ecuación del trabajo virtual para vigas:

∫

 

Dónde:

1 = carga unitaria virtual externa que actúa sobre la viga en la dirección de  

= desplazamiento causado por las cargas reales que actúan sobre la viga.

= momento virtual interno en la viga, expresado en función de x y causando por 

la carga virtual unitaria externa.

= momento interno en la viga, expresado en función de x y causado por las

cargas reales.

= módulo de elasticidad del material.

= momento de inercia de la sección trasversal, calculado con respecto al eje

neutro.

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Según John Bernoulli desarrollo el principio del trabajo virtual y dio a

conocer en el año 1717.

De acuerdo a lo postulado puedo decir que es un método muy práctico y

utilizado en la mecánica el cual nos permite determinar desplazamientos y laspendientes en un punto sobre una viga, como también las cargas que actúan

sobre estos cuerpos.

Son métodos muy usados para determinar la carga que esta pude

soportar como el desplazamiento como también el sentido de su trayectoria.

Teorema de castigliano

En 1879, Alberto Castigliano, un ingeniero de ferrocarriles italiano público

un libro en el que describió un método para determinar el desplazamiento y la

pendiente en un punto en un cuerpo. Este método al que llamo segundo teorema

de castigliano, es aplicado solo a cuerpos que tienen temperatura constante,

soportes rígidos y material con comportamiento elástico-lineal. Si debe

determinarse el desplazamiento en un punto, el teorema establece que el

desplazamiento es igual a la primera derivada parcial de la energía de la

deformación en el cuerpo con respecto a una fuerza actuando en el punto y en la

dirección del desplazamiento.

Para obtener el segundo teorema de castigliano, consideramos un cuerpo

de cualquier forma arbitraria sometido a una serie de n fuerzas P1, P2, Pn .

Veamos.

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Teorema de castigliano aplicado a vigas

()

  

Dónde:

= desplazamiento del nodo de la armadura

=fuerza externa de magnitud variable aplicada al nodo de la armadura en la

dirección de  

= fuerza axial interna en un miembro causada por la fuerza P y las cargas en

las armaduras

= longitud de un miembro

= área trasversal de un miembro

= módulo de elasticidad del materia

Teorema de castigliano aplicado a vigas

La energía de deformación interna en una viga es causada tanto por 

flexión como por cortante de acuerdo a la ecuación.

( )

 

Dónde:

=desplazamiento del punto causando por las cargas reales que actúan sobre la

viga

= fuerza externa de magnitud variable aplicada a la viga en la dirección de  

= momento interno en la viga, expresado como función de x y causado tanto

por la fuerza P como por las cargas sobre la viga

= módulo de elasticidad del material

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= módulo de inercia de la sección trasversal respecto al eje neutro

Esta información fue tomada del libro ( ) teorema de castigliano en la

página 766,767…etc. En el cual postula los diferentes tipos de ecuaciones que

nos son de mucha ayuda en la mecánica ya que por medio de estas fórmulasnosotros podemos determinar una trayectoria de un cuerpo sólido y predecir 

cualquier situación que puede ocurrir dentro de ella.

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Conclusión

De acuerdo a las postulaciones de John Bernoulli sobre el principio del

trabajo virtual y Alberto Castigliano que postulo el segundo teorema de castigliano

en el que menciona los análisis realizados a cuerpos sometidos a cargas sufrencambios para determinar y analizar cada parte del material que sufre cambios

drásticos, llevo a formular ecuaciones que nos sirven para determinar el problema

de cualquier estructura.