01 Lezioni_sicurezza (1)
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI1
SicurezzastrutturaleSicurezza
strutturale
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI2
Sicurezza strutturale
Requisito fondamentale in ogni operazione di:1. progettazione2. costruzione3. utilizzazionedelle opere strutturali
Metodi di valutazione della sicurezza che consentano diverificarne la positività in tutti gli stati in cui verrà a trovarsi la struttura
Misura positiva della sicurezza nei diversi stati =
struttura “affidabile”
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI3
Metodi di misuradella sicurezza
nelle costruzioni
deterministicitensioni ammissibili
calcolo a rottura
probabilistici
di livello 3
di livello 2
di livello 1(semiprobabilistico)
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI4
Metodo delle tensioni ammissibili
La misura della sicurezza avviene nello spazio delle tensioni.
k
eRRS o anche
ke
RRS
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tensione “puntuale” nel materiale dovuta alleazioni di esercizio e valutata con analisi elasticalineare in presenza di qualunque tipo di azione(dirette e indirette)
eS
frattile 5% della distribuzione di frequenza delle resistenze (resistenza caratteristica)
kR
tensione ammissibile
kRR
coefficiente di sicurezza
rappresenta la combinazione tensionale (tensione ideale) cui si fa riferimento nel caso di stati disollecitazione combinati
eS
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Svantaggi del metodo delle tensioni ammissibili
1. sollecitazioni valutate in modo deterministico senza considerare alcuna incertezza e/o aleatorietà
2. elasticità lineare che non consente di tener conto di fenomeni anelastici e reologici (fessurazione, fluage, ...) e della eventuale non-linearità di comportamento del materiale
3. coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè devono coprire tutte le cause di incertezza lato azioni e resistenze effetto psicologico pericoloso
4. misura reale della sicurezza artificiosa o impossibile
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Vantaggi del metodo delle tensioni ammissibili
1. facilità di determinazione delle sollecitazioni per la possibilità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti
2. facilità nell’individuazione delle combinazioni di carico più gravose (linee di influenza)
3. buona attendibilità (in campo statico) delle sollecitazioni determinate nei campi usuali di impiego
4. buon comportamento nelle numerose strutture realizzate
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Metodo di calcolo a rottura
La misura della sicurezza avviene nello spazio delle forze.
ueue AAG
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e distinguendo le azioni permanenti :eG
ueue AAG
con :
azioni permanenti di esercizioeG
azioni variabili di esercizioeA
azioni variabili ultimeuA
coefficiente di sicurezza ultimou
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Svantaggi del metodo di calcolo a rottura
1. misura della sicurezza ancora deterministica2. non valuta le condizioni di esercizio3. coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè
devono coprire tutte le cause di incertezza lato azioni e resistenze effetto psicologico pericoloso
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Vantaggi del metodo di calcolo a rottura
1. possibilità di presa in conto di fenomeni anelastici o reologici o di non-linearità di comportamento dei materiali
2. valutazione corretta degli effetti delle deformazioni impresse
3. possibilità di controllo sperimentale della sicurezza ultima
In ogni caso entrambi i metodi deterministici presentano notevoli lacune nella valutazione della sicurezza strutturale
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Condizione di stato limite
In ambito strutturale, il concetto di stato limite legato aduno specifico requisito è interpretabile come uno statodella struttura, raggiunto il quale, essa non è in grado disoddisfare il requisito.
Il requisito di stato limite divide lo spazio n -dimensionalein un dominio di insuccesso (nel quale il requisito non èsoddisfatto) e in un dominio di successo, detto anche dominio di sicurezza (nel quale il requisito è soddisfatto);il confine tra i due domini è detto stato limite.
Si definisce probabilità di insuccesso la probabilità di nonsoddisfacimento del requisito di stato limite.
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Funzione di stato limite
La funzione di stato limite è la rappresentazione analiticadella condizione di stato limite. Quindi, la funzione distato limite esprime analiticamente una condizione raggiunta la quale, la struttura non può più svolgere lefunzioni o non soddisfa più le condizioni per cui è stataprogettata.
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Metodo probabilistico di livello 3
La misura della sicurezza nei confronti di un genericostato consiste nella determinazione della relativaprobabilità di insuccesso e nel suo confronto con unvalore di riferimento sufficientemente piccolo prefissato
*rr PP
rP*
rP
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*rP
75 1010 rottura fragile (acciaio in trazione, cls incompressione, terreno, instabilità, ...)
54 1010 rottura duttile (acciaio o c.a. in flessione, cedimenti fondali, ...)
condizioni di esercizio 32 1010 (deformazioni, fessurazione,vibrazione, ...)
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Sia il vettore rappresentativo delle n variabili aleatorieche intervengono nella definizione della sicurezza; sia inoltre la funzione di densità di probabilità congiuntadelle n variabili aleatorie, tali che:
X
Xf
nnX dxdxdxxxxf ...),...,,( 2121
...)()[( 22221111 dxxXxdxxXxP
)](... nnnn dxxXx
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Se è noto il dominio di insuccesso , la probabilità diinsuccesso può essere immediatamente calcolata,come la probabilità che il vettore si trovi all’internodi :
'rD
rPX
'rD
'
...),...,,( 2121
rDnnXr dxdxdxxxxfP
Ammesso di poter separare le n variabili aleatorie in favorevoli e sfavorevoli, si possono definire le duevariabili aleatorie R ed S, tali che:
),...,,( 21 mR XXXgR
),...,,( 21 nmmS XXXgS
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Pertanto, considerata la variabile aleatoria E=R-S, la probabilità di insuccesso è calcolata nel seguentemodo:
'
),(0 ,
rDSRr drdssrfEPP
con :
dominio di insuccesso (insicurezza), nel quale cioè
'rD
densità di probabilità congiunta delle due variabilialeatorie R ed S
SRf ,
0e
(1)
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Integrando la (1) per strisce si ha:1. in orizzontale
2. in verticale
drdssrfP
rSRr ),(, (2)
(3)
dsdrsrfP
s
SRr ),(,
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Se R ed S sono indipendenti, la probabilità congiuntacorrisponde al prodotto delle probabilità
semplici:
quindi la (2) e la (3) diventano:
),(, srf SR
)()(),(, sfrfsrf SRSR
drrFrfdrdssfrfP SR
rSRr )(1)()()(
dssFsfdsdrrfsfP RS
s
RSr )()()()(
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ed, in rappresentazione grafica:
in orizzontale
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in verticale
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Qualora R ed S, oltre che indipendenti, abbiano anchedistribuzione normale:
RRRNR ;
SSSNS ;
= valore medio
= scarto quadratico medio
anche la variabile aleatoria Z=R-S è normale:
ZZZNZ ;
e risulta eSRZ 22SRZ
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La probabilità di esito negativo vale:
0
)(0 dzzfZPP Zr
Utilizzando la variabile normale standard ,è sostituita da e si ottiene: Z
ZZU
ZZZN ; 1;0UN
rUUr PFduufPZZ
1)(/
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Utilizzando le variabili standardizzate ridotte:
R
RR
S
SS
si ottiene , ,RRR SSS
0 SSRRSR o anche:
0 SRSR Retta di distanza “d” dall’origine
con:
22SR
SRd
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI27
22SR
SRd
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Il coefficiente è l’indice di sicurezza e corrisponde
all’inverso del coefficiente di variazione della variabile
aleatoria Z
Z
Z
Z
ZZc
2220
0
2
2
2
222
1
SR
S
S
R
R
S
S
S
R
SR
SR
Z
Z
cc
con coefficiente di sicurezza centraleS
R
0
Risulta srrr ccPP ,,0
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Utilizzando le precedentirelazioni per coppie di valori si possono disegnare le curve
sr cc ,
0rr PP
Si può notare come per valori elevati di (curve )anche un sensibile aumento di non riesca a confinare
entro valori sufficientemente bassi
rc 1690
rP
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI30
Per valori bassi di (curve ) risulta invece significa -tiva la variabilità di S.
rc 81
Il coefficiente di sicurezza centrale non è pertanto unbuon indice per la misura della sicurezza.
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Si possono definire ulteriori coefficienti di sicurezza:
k
kk S
R coefficiente di sicurezza caratteristico
k
dd S
R coefficiente di sicurezza di calcolo
011
k SR R R R R Rk
k S S S S R S S
R k k cS k k c
011
d SR R R R R Rd
k S S S S R S S
R d d cS k k c
![Page 32: 01 Lezioni_sicurezza (1)](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55cf8f9c550346703b9e0163/html5/thumbnails/32.jpg)
Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI32
“k” e “d” individuano i frattili
Per distribuzione normale:
645.1Rk645.1Sk09.3Rd
![Page 33: 01 Lezioni_sicurezza (1)](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55cf8f9c550346703b9e0163/html5/thumbnails/33.jpg)
Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI33
Utilizzando le espressioni precedenti è possibile tracciarela probabilità in funzione di e al variare di e rP k d rc
sc
![Page 34: 01 Lezioni_sicurezza (1)](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55cf8f9c550346703b9e0163/html5/thumbnails/34.jpg)
Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI34
Si può osservare che utilizzando , il fascio di curve è ancora molto aperto, quindi valgono, anche se in modoridotto, le osservazioni già fatte per .
k
0
Pertanto non è un buon indice per misurare la sicurezzaa collasso.
k
![Page 35: 01 Lezioni_sicurezza (1)](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55cf8f9c550346703b9e0163/html5/thumbnails/35.jpg)
Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI35
Nel caso di , si osserva che con i valori usuali di(curve ) un valore di comporta unaprobabilità di rottura compresa tra e ,quindi sensibilmente costante.
d rc129 5.1d
4105 510
![Page 36: 01 Lezioni_sicurezza (1)](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55cf8f9c550346703b9e0163/html5/thumbnails/36.jpg)
Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI36
Pertanto può essere utilizzato come parametro per lavalutazione della sicurezza.
d
Si utilizza per scopi scientifici e di taratura dei metodiapprossimati di livello inferiore.
Il metodo di livello 3 risulta però di difficile applicabilitàper la mancata conoscenza delle leggi di distribuzionedi frequenza delle variabili aleatorie da prendere in conto.
![Page 37: 01 Lezioni_sicurezza (1)](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55cf8f9c550346703b9e0163/html5/thumbnails/37.jpg)
Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI37
1. difficoltà operative del livello 3 superate con il livello 22. la funzione di S. L. g(s, r)=0 è approssimata:
a) g(s, r)=0 lineare o linearizzata FORMb) g(s, r)=0 non lineare approssimata con funzione
di secondo ordine SORM
Metodo probabilistico di livello 2
FORM
FOSM (First Order Second Moment) (MVFOSM)
AFOSM (Advanced First Order Second Moment)
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI38
- FOSM ignora la legge di distribuzione delle variabilicasuali
- AFOSM considera la legge di distribuzione delle variabili casuali
a1) FOSM (MVFOSM): basato su una approssimazione di primo ordine in serie di Taylor della funzione di S. L. linearizzata ai valori medi ed usa solo medie e covarianze delle variabili casuali (normali e log-normali)
),...,,()( 21 nXXXgXgZ
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI39
Sviluppando in serie di Taylor nell’intorno dei valorimedi:
n
iXi
iX i
XXggZ
1)(
...21
1 1
2
ji XjXi
n
i
n
j ji
XXXXg
da cui:
),...,,(21 nXXXZ g
jij
n
i
n
j iZ XX
Xg
Xg ,cov
1 1
2
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI40
La covarianza di due variabili casuali , è il momentodel 2° ordine rispetto alle rispettive medie e
iX jXiX jX
Se le variabili sono indipendenti:iX
n
ii
iZ XVar
Xg
1
22
Valutati e si ottiene Z ZZ
Z
1,282 2,326 3,090 3,719 4,265 4,753 5,199
rr PP 110 210 310 410 510 610 710
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI41
a2) AFOSM (Hasofer-Lind per variabili normali):usa le variabili normali standard
i
i
X
Xii
XX
' i=1, 2, …, n
ha media nulla e deviazione standard unitaria'iX
L’indice di sicurezza è definito come distanzaminima dall’origine degli assi rispetto alla superficiedi S.L.
HL
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Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI42
22SR
SRHL
R
RRR
'
S
SSS
'
![Page 43: 01 Lezioni_sicurezza (1)](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55cf8f9c550346703b9e0163/html5/thumbnails/43.jpg)
Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI43
La funzione di S. L. è: 0'' SRSR SR
AFOSM e FOSM danno valori coincidenti se R ed S sononormali e la funzione di S. L. è lineare
Per funzioni di S. L. non lineari, la determinazione didiventa un problema di ottimizzazione. Si può utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
HL
![Page 44: 01 Lezioni_sicurezza (1)](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55cf8f9c550346703b9e0163/html5/thumbnails/44.jpg)
Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI44
2
1
*
1
**
n
i i
n
i ii
HL
Xg
Xgx
![Page 45: 01 Lezioni_sicurezza (1)](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042511/55cf8f9c550346703b9e0163/html5/thumbnails/45.jpg)
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b) SORM (Second Order Reliability Method)
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Entrambe le approssimazioni delle funzioni di S. L.hanno la stessa distanza e l’approccio di FORMfornisce lo stesso livello di sicurezza; in realtà la probabilità di rottura dell’approssimazionenon lineare della funzione dovrebbe essere minore pervia della sua forma. FORM ignora la curvatura dellafunzione di S. L. perchè usa un’approssimazione di solo1° ordine.
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SORM migliora l’approccio di FORM includendo informazioni sulla curvatura della funzione di S. L.Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione nonlineare nell’intorno del valore
vale:),...,,()( 21 nXXXgXg
**2
*1 ,...,, nxxx
n
i iiinn X
gxxxxxgXXXg1
***2
*121 ,...,,),...,,(
...21 2
*
1 1
*
jijj
n
i
n
jii xx
gxxxx
SORM tiene conto delle derivate di secondo ordinementre FORM si ferma a quella di 1° ordine
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Secondo Breitung, la probabilità di insuccesso può esserecalcolata come:
1
1
21
1n
iif kP
dove sono le curvature principali nel punto di minimadistanza e è valutato tramite FORM.
ik
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Le tecniche di simulazione consentono di valutare laprobabilità di insuccesso nel caso di funzioni di S. L. esplicite ed implicite. La tecnica di simulazione piùnota è il Metodo Montecarlo; consiste nei seguenti passi:- definizione del problema considerando tutte le
variabili casuali- quantificazione di tutte le variabili casuali tramite le
PDF- generazione dei valori delle variabili casuali- valutazione deterministica per ogni insieme di valori
delle variabili casuali (sperimentazione numerica)- valutazione di informazioni probabilistiche da N
valutazioni deterministiche- valutazione dell’accuratezza ed efficienza della
simulazione
Tecniche di simulazione
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La generazione dei valori delle variabili casuali avvienetramite un generatore di numeri casuali, compresi tra 0 e1. Il numero casuale generato viene eguagliato alcorrispondente valore della CDF della variabileconsiderata e tramite questa si perviene al valore della variabile casuale tramite la PDF.
La probabilità di insuccesso si calcola come:
NN
P ff
casi sfavorevoli (g < 0)
casi totali investigati
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Se si valuta una probabilità di insuccesso pari a 10-5
solo 1/10-5 casi sarà sfavorevole, si raccomanda quindi diutilizzare almeno 10x105 = 106 simulazioni per ognivariabile casuale.
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Metodo probabilistico di livello 1
La misura della sicurezza in un generico stato si effettuaconfrontando due valori significativi di “R” ed “S”(anziché le leggi complete di n variabili aleatorie) dettivalori di calcolo.
ESTRESTRESTR mRd xxxgR ,...,, 21
ESTRESTRESTR nmmSd xxxgS ,...,, 21
verificando che risulti:
dd SR
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La scelta dei valori estremi, in linea di principio, si effettuamaggiorando le n-m variabili (S) e minorando le m variabili(R).
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Per le resistenze si assumono i frattili 0.05:
05.0..
INFESTRi iX xF
Per le sollecitazioni si assumono i frattili 0.95:
95.0..
SUPESTRi iX xF
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Il metodo, detto dei valori estremi, non tiene conto dellealeatorietà ed incertezze dei legami funzionalie
...Rg ...Sg
L’utilizzazione “ad litteram” della procedura può talvoltacomportare dei problemi di coerenza, ad esempio quandoun’azione interviene nello stesso tempo lato sollecitazioni e lato resistenze, in quanto dovrebbe essere, allo stessotempo maggiorata e minorata!
Il problema si risolve in tali casi assumendo per taleazione un valore deterministico anzichè due valori estremi.
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Metodo semi-probabilistico agli statilimiteCon tale metodo, alcune delle variabili aleatorie da cuidipende la misura della sicurezza, vengono assuntecome deterministiche e l’effetto della loro aleatorietà edincertezza è coperto dall’introduzione di un coefficientedi sicurezza (ne esistono di 3 tipi)
m lato resistenze (m=materiale)
f lato sollecitazioni (f=forze)
n fattore di comportamento
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Il metodo deriva in principio da quello di livello 1 ed èquindi definito “semi-probabilistivo”.Il termini “stati limite” sottolinea la necessità di effettuarela verifica nei riguardi di tutti gli stati che possono portarea comportamento insoddisfacente la struttura.In particolare si assumono:- le dimensioni geometriche come deterministiche- il legame funzionale come deterministico, per
la vasta messe di risultati sperimentali disponibili. In alcuni meccanismi complessi si introduce a valle del calcolo
con opportuna graduazione (riduzione) del coefficiente
...Rg
Rdn
dRd
d RR1
(incertezza di modello)
m
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- lato resistenza le variabili aleatorie considerate sono le resistenze a rottura dei materiali cui si applica il coefficiente
- il legame funzionale è assunto deterministico, per cui si rende necessaria l’introduzione dei coefficienti che ne tengano conto. Anche in questo caso è possibile introdurre l’incertezza di modello con
e viene graduato (ridotto) di conseguenza
yc ff ,m
...Sg
f
Sdn
dSdd SS
f
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- lato sollecitazioni le uniche variabili aleatorie considerate sono le azioni (A) di cui si considera la statistica dei massimi, per cui è necessaria l’introduzione dei coefficienti , nonchè di ulteriori coefficienti (coefficienti di combinazione) che tengono conto del riferimento unitario alla statistica dei massimi
Per le uniche variabili aleatorie considerate (f ed A) si assumono i valori caratteristici (frattile 5%),
(frattile 95%).
f
kfkA
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Per le altre cause di aleatorietà si introducono:
- Resistenze
- Sollecitazioni
m
kd
ff
ik
iif ASS
i Formulazioni pratiche per
costruzioni in c.a., c.a.p., acciaio
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Calcolo dei frattili per distribuzione normale e log-normale
I valori caratteristici (k) e di progetto (d) sono valutaticome frattili delle distribuzioni:
- frattile 5% per resistenza caratteristica- frattile 0.1% per resistenza di calcolo
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XXkX 64.1
Per distribuzione normale:
33 XXX VV
Per distribuzione log-normale (asimmetrica) occorrevalutare il coefficiente di skewness (obliquità) :
XXdX 09.3
X
conX
XXV
coefficiente divariazione
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Il valore caratteristico o di calcolo si valutano quindicon le espressioni:
220, 1/1lnexp XXpXi VVkX i = k oppure d
dove è il coefficiente della distribuzione normaleper lo stesso frattile (1.64 o 3.09)
0,pk
con 2.0XV XpXi VkX 0,exp
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Esempio: calcestruzzo con ,MPa 30X MPa 5X
20.0167.0305
XV
Log-normale(scelta consigliata)
MPa 8.22167.064.1exp30 kR
MPa 9.17167.009.3exp30 dR
Normale MPa 8.21564.130 kR
MPa 6.14509.330 dR
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Rappresentazione unitaria dei metodi di verifica della sicurezza (A. Migliacci)
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Livello 3: '2
,,D
SRr drdssrfP
Livello 2: 0 SREPPrEE *
Tensioni ammissibili: punto M
Livello 1: punto 1M
Risulta perchè la sicurezza sulle azioni ètrasferita sulle resistenze.
dRR
SeS quindi è più prossimo all’origine di M 1M