01 de Julio de 2016 SISTEMAS DE ECUACIONES Calculo Numerico... · Método de Richardson 6. Método...

Cálculo Numérico José Luis Quintero 1

01 de Julio de 2016

Postgrado de Investigación de OperacionesFacultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

SISTEMAS DE

ECUACIONES


Puntos a tratar

1. Sistemas fáciles de resolver2. Factorizaciones LU3. Factorización de Cholesky4. Métodos iterativos5. Método de Richardson6. Método de Jacobi7. Método de Gauss Seidel8. Método de Newton9. Métodos Cuasi-Newton

10. Método de Jacobi No Lineal


Suponga que la matriz A de tiene unaestructura diagonal. Esto significa que todoslos componentes distintos de cero de A seencuentran sobre la diagonal principal y elsistema es de la forma:

Sistemas fáciles de resolver

n n×

11 1 1

22 2 2

33 3 3

nn n n

a 0 0 0 x b

0 a 0 0 x b

.0 0 a 0 x b

0 0 0 a x b

=

K

K

K

M M M O M M M

K


En este caso el sistema se reduce a necuaciones simples y la solución es:

Si para algún índice i, y también,entonces puede ser cualquier número real.Si y no hay solución alguna.


1 11

2 22

3 33

n nn

b a

b a

x .b a

b a

=

M

iia 0=

ib 0=

ix

iia 0=

ib 0,≠


Suponga que la matriz A de tiene unaestructura triangular inferior. Esto significa quetodos los elementos de A distintos de cero sesitúan sobre la diagonal principal o debajo deella y el sistema es de la forma:


n n×

11 1 1

21 22 2 2

31 32 33 3 3

n1 n2 n3 nn n n

a 0 0 0 x b

a a 0 0 x b

.a a a 0 x b

a a a a x b

=

K

K

K

M M M O M M M

K


Para resolver el sistema, suponga paratodo i; en tal caso se obtiene a partir de laprimera ecuación. Sustituyendo el valorconocido de en la segunda ecuación,resuélvala para

Procediendo de la misma forma, se obtienenlos valores en este orden. En estecaso el pseudocódigo para encontrar lasolución se llama sustitución progresiva:


1x

iia 0≠

1x

2x .

1 2 nx ,x ,...,x ,



ij i

1 1 11

1

i 1

i i ij j ii

j 1

i

inicio

leer (n,(a ),(b ))

x b a

escribir(x )

desde i 2 hasta n hacer

x b a x a

escribir(x )

fin_ desde

fin

−

=

←

=

← −

∑


Suponga que la matriz A de tiene unaestructura triangular superior. Esto significaque todos los elementos de A distintos decero se sitúan sobre la diagonal principal oencima de ella y el sistema es de la forma:


n n×

11 12 13 1n 1 1

22 23 2n 2 2

33 3n 3 3

nn n n

a a a a x b

0 a a a x b

.0 0 a a x b

0 0 0 a x b

=

K

K

K

M M M O M M M

K


Para resolver el sistema, suponga paratodo i; en tal caso se obtiene a partir de laúltima ecuación. Sustituyendo el valorconocido de en la penúltima ecuación,resuélvala para

Procediendo de la misma forma, se obtienenlos valores en este orden. En estecaso el pseudocódigo para encontrar lasolución se llama sustitución regresiva:


nx

iia 0≠

nx

n 1x .−

n n 1 1x ,x ,...,x ,−



ij i

n n nn

n

n

i i ij j ii

j i 1

i

inicio

leer (n,(a ),(b ))

x b a

escribir(x )

desde i n 1 hasta 1 hacer

x b a x a

escribir(x )

fin_ desde

fin

= +

←

= −

← −

∑


Puntos a tratar




Suponga que A se puede factorizar como elproducto de una matriz triangular inferior Lcon una matriz triangular superior U: .

En este caso, para resolver el sistema deecuaciones se puede proceder poretapas como sigue:

Resolver para zResolver para x.

Factorizaciones LU

A LU=

Ax b=

Lz b=Ux z=


El análisis previo muestra lo simple que esresolver estos dos sistemas triangulares.

Se verá como se puede llevar a cabo lafactorización con el supuesto de queen el cálculo no aparecen divisores iguales acero.

No toda matriz tiene una factorización de estaíndole, por lo que se debe investigar estadificultad. Se comenzará con una matriz A dey se buscarán matrices

Factorizaciones LU

A LU=


tales que . Cuando esto es posible, sedice que A tiene una factorización LU. Esposible que L y U no se puedan determinar enforma única.

De hecho, para cada i, se puede asignar unvalor distinto de cero a o a (más no aambos).

Factorizaciones LU

A LU=

=

=

nn

n333

n22322

n1131211

nn3n2n1n

333231

2221

11

u000

uu00

uuu0

uuuu

U

llll

0lll

00ll

000l

L

L

MOMMM

L

L

L

L

MOMMM

L

L

L

iil

iiu


Por ejemplo, una elección simple consiste enfijar para y de este modo Lqueda convertida en una matriz triangularinferior unitaria (Factorización de Doolittle).Otra elección obvia es hacer de U una matriztriangular superior unitaria ( para cadai) (Factorización de Crout). Estos casosespeciales tienen una particular importancia.

Cuando de modo que parael algoritmo se llama factorización

de Cholesky.

Factorizaciones LU

iil 1= i 1,2,...,n,=

iiu 1=

tU L=ii iil u=

1 i n,≤ ≤


Factorización LU

ij ii

11 11 11

1j 1j 11

j1 j1 11

kk kk ks s

inicio

leer (n,(a ),(l ))

u a l

desde j 2 hasta n hacer

u a l

l a u

fin _ desde

desde k 2 hasta n hacer

u a l u

←=

←

←

=

← −

k-1

k kk

s 1

k-1

kj kj ks sj kk

s 1

l

desde j k 1 hasta n hacer

u a l u l

fin _ desde

desde i k 1 hasta n hacer

=

=

= + ← −

= +

∑

∑

k-1

ik ik is sk kk

s 1

l a l u u

fin _ desde

fin_ desde


desde i j hasta n hacer

=

← −

==

∑

ij jiescribir(l ,u )

fin _ desde

fin_ desde

fin


Factorización de Doolittle

Ejemplo numérico 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2x 4x 6x 18

4x 5x 6x 24

3x x 2x 4

+ + = + + = + − =

3 52 3

2 4 6 1 0 0 2 4 6

A 4 5 6 2 1 0 0 3 6 LU

3 1 2 1 0 0 1

= = − − = − −


Sistemas a resolver

Ejemplo numérico 1

1 1

2 2

3 52 3 3 3

1 0 0 z 18 z 18

2 1 0 z 24 z 12

1 z 4 z 3

= ⇒ = − −

1 1

2 2

3 3

2 4 6 x 18 x 4

0 3 6 x 12 x 2

0 0 1 x 3 x 3

− − = − ⇒ = − − −


Puntos a tratar




Como ya se mencionó, hay una factorizaciónde matrices que resulta muy útil en algunassituaciones. A esta factorización se le hadado el nombre del matemático André LouisCholesky, quien demostró el siguienteresultado:

TEOREMA 1. Si A es una matriz real, simétrica ydefinida positiva, entonces tiene unafactorización única en donde L es una matriztriangular inferior con diagonal positiva.

Factorización de Cholesky


El algoritmo para la factorización de Choleskyes un caso especial del algoritmo generalpara la factorización LU. Si A es real, simétricay definida positiva, entonces, por el teorema1, tiene una factorización única de la formadada por en donde L es triangularinferior y tiene una diagonal principal positiva


tA LL ,=



( )

ij

1 2

11 11

j1 j1 11

1 2k-1

2kk kk ks

s 1

inicio

leer (n,(a ))

l a


l a l

fin_ desde

desde k 2 hasta n hacer

l a l

=

←

=←

=

← −

∑

k-1

ik ik is ks kk

s 1

desde i k 1 hasta n hacer

l a l l l

fin_ desde

fin_ desde


desde j 1 hasta

=

= + ← −

==

∑

ij

n hacer

escribir(l )

fin_ desde

fin_ desde

fin



Ejemplo numérico 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 2

x 5x x 12

x x 3x 12

− + =− + + = + + =

t

1 1 1 1 0 0 1 1 1

A 1 5 1 1 2 0 0 2 1 LL

1 1 3 1 1 1 0 0 1

− − = − = − =


Sistemas a resolver

Ejemplo numérico 2

1 1

2 2

3 3

1 0 0 z 2 z 2

1 2 0 z 12 z 7

1 1 1 z 12 z 3

− = ⇒ =

1 1

2 2

3 3

1 1 1 x 2 x 1

0 2 1 x 7 x 2

0 0 1 x 3 x 3

− = ⇒ =


Puntos a tratar




Entre otros, la factorización LU y sus variantesson conocidos como métodos directos pararesolver el problema matricial Seejecutan a través de un número finito depasos y generan una solución x que seríaexacta si no fuera por los errores deredondeo.

Métodos iterativos

Ax b.=


En contraste, un método indirecto da lugar auna sucesión de vectores que idealmenteconverge a la solución. El cálculo se detienecuando se cuenta con una soluciónaproximada con cierto grado de precisiónespecificado de antemano o después decierto número de iteraciones.

Métodos iterativos


Los métodos indirectos son casi siempreiterativos por naturaleza: para obtener lasucesión mencionada se utilizarepetidamente un proceso sencillo. Otraventaja de los métodos iterativos es queusualmente son estables y de hechoamortiguan errores (debidos al redondeo o aerrores pequeños) conforme el proceso selleva a cabo.

Métodos iterativos


Puntos a tratar




Sea

donde es el vector residual definidomediante

La iteración de Richardson dará lugar a unasolución de (en el límite) sipara alguna norma matricial subordinada.

El siguiente pseudocódigo ejecuta la iteraciónde Richardson:

Método de Richardson

(k) (k 1) (k 1) (k 1)x (I A)x b x r ,− − −= − + = +

(k 1)r −

(k 1) (k 1)r b Ax .− −= −

Ax b= I A 1− <


Método de Richardson

ij i i

n

i i ij j

j 1

inicio

leer (n,(a ),(b ),(x ),M,cot anorma)

cuadrado 0

desde k 1 hasta M hacer


r b a x

=

←=

=

← −∑

2i

1 2

i i

cuadrado cuadrado r

fin_ desde

norma (cuadrado)

escribir(k,norma)


x x r

← +

←

=← +

i

i iescribir(x ,r)

fin_ desde

si norma cot anorma entonces stop

fin_ desde

fin

<


Ejemplo numérico 3

1 1 112 3 181

1 1 113 2 182

1 1 112 3 183

1 x

1 x

1 x

=

(0) t

(1) t

(10) t

(40)

x (0.000000, 0.000000, 0.000000)

x (0.611111, 0.611111, 0.611111)

x (0.279498, 0.279498, 0.279498)

x (0.333107, 0.3

==

=

=

M

M

t

(80) t

33107, 0.333107)

x (0.333333, 0.333333, 0.333333)=M


Puntos a tratar




TEOREMA 2. Si A es diagonalmentedominante, entonces la sucesión que resultade la iteración de Jacobi converge a lasolución de para cualquier vectorinicial.

A continuación se presenta el pseudocódigopara el método de Jacobi:

Método de Jacobi

Ax b=


Método de Jacobi

fin

fin_desde

stop entonces cotanormanorma si

fin_desde

)r,escribir(x

u x

hacer n hasta 1i desde

norma),escribir(k

(cuadrado)norma

fin_desde

)u-x(cuadradocuadrado

axabu

hacer n hasta 1i desde

hacer M hasta 1k desde

0cuadrado

)anormacot,M),(x),(b),(a(n, leer

inicio

ii

ii

21

2ii

ii

n

ij1j

jijii

iiij

<

←=

←

+←

−←

==←

∑≠=


Ejemplo numérico 4

1

2

x7 6 3

x8 9 4

− = − −

(k) (k 1)6 37 71 2

(k) (k 1)8 49 92 1

x x

x x

−

−

= += −


Puntos a tratar




Método de Gauss Seidel

1

2

x7 6 3

x8 9 4

− = − −

(k) (k 1)6 37 71 2

(k) (k)8 49 92 1

x x

x x

−= += −


Puntos a tratar




Método de Newton


Puntos a tratar




Métodos Cuasi-Newton


Puntos a tratar




Método de Jacobi No Lineal


Pensamiento de hoy

“Solo tengo una luz por la que seguían mis pasos, y esta luz es la de laexperiencia. No conozco otra manerade juzgar el futuro que rodea elpasado”.

Patric Henry

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