Prof.: Ing. Boris Chiriboga

MÉTODOS NUMÉRICOS

MÉTODO DE NEWTON-MODIFICADO

Integrantes:Zambrano Coello Kiara

Zambrano Álvarez Gema

MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO

• La dificultad del método de Newton Raphson en el comportamiento de una función con raíces múltiples

obliga a considerar una modificación del método discutido por Ralston. Como primero se desean

encontrar las raíces de una función f(x). Definimos una función nueva U(x), dada por:

Raíz múltiple

• Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de

)1)(1)(3()( xxxxf

375)( 23 xxxxf

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4

• La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x hace que dos términos de la ecuación sean iguales a cero.

• Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la raíz doble.

)1)(1)(3()( xxxxf

Raíz Doble

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4

Raíz Triple

• Una raíz triple corresponde al caso en que un valor de x hace que tres términos en una ecuación sean iguales a cero, como en

)1)(1)(1)(3()( xxxxxf

310126)( 234 xxxxxf

Raíz Triple

• Advierta que la representación gráfica, figura 2, indica otra vez que la función es tangente al eje en la raíz, pero que en este caso sí cruza el eje.

)1)(1)(1)(3()( xxxxxf

Raíz Triple

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

En general;

• La multiplicidad impar de raíces cruza el eje.

• Mientras que la multiplicidad par no lo cruza.

Dificultades del método de raíces múltiples

1. El hecho de que la función no cambie de signo en raíces múltiples pares impide confiarse de los métodos cerrados.

2. Tanto f(x) como f’(x) se aproxima a cero en la raíz: Esto afecta al método de Newton-Raphson, el cual contiene derivadas en el denominador de sus fórmulas respectivas.

Dificultades del método de raíces múltiples

Esto provocará una división entre cero cuando la solución converge muy cerca de la raíz.

Pero, f(x) siempre alcanzará un valor cero antes que f’(x). Por lo tanto, si se compara f(x) contra cero, dentro del programa, entonces los cálculos se pueden terminar antes de que f’(x) llegue a cero.

Newton-modificado

• Consiste en definir una nueva función u(x), que es el cociente de la función original entre su derivada:

)('

)()(

xf

xfxu

)('

)(1

i

iii xf

xfxx

)('

)(1

i

iii xu

xuxx

Newton-modificado

2)(')('')()(')('

)('xf

xfxfxfxfxu

)('')()('

)(')(21

xfxfxf

xfxfxx

i

iiii

Inicio

f(x), xo, tol, imax

)('')()('

)(')(21

xfxfxf

xfxfxx

i

iiii

 

 

i=imax

Si

No

 

Si

No

Xo=x1

Fin

DIAGRAMA DE FLUJO