01 Conjuntos
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PROFESSOR TENANI [email protected] www.professortenani.com.br
1
CONJUNTOS RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
CONJUNTOS NUMÉRICOS O conjunto é o conjunto dos números naturais
{0,1,2,3,4,...}
Geometricamente, o conjunto pode ser representado por meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita)
Subconjunto importante:
* {1,2,3,4,...} {0}
O conjunto é o conjunto dos números inteiros
{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}
Todos os elementos de pertencem também ao , isto é, .
A representação geométrica do conjunto pode é feita a
partir da representação de na reta numerada; basta acrescentar os pontos correspondentes aos números negativos.
Subconjuntos importantes:
* {..., 3, 2, 1,,1,2,3,...} {0}
{0,1,2,3,...}
* *{1,2,3,...}
{..., 3, 2, 1,0}
* {..., 3, 2, 1}
Módulo, ou valor absoluto, de x é a distância da origem ao
ponto que representa x . | 2 | | 2 | 2
| 4 | | 4 | 4
O conjunto é o conjunto dos números racionais, formado
pelas frações
p
q ; assim, um número é racional quando pode
ser escrito com uma fração
p
q , com p
e *q
.
*{ | e }p
Q p qq
Temos
REPRESENTAÇÃO DECIMAL Todo número escrito na forma decimal finito pode ser escrito como fração
20,4
5
;
10,25
4
;
358,75
4
; etc. Todo decimal periódico pode ser escrito na forma de fração, ou seja, é racional.
10,333... 0,3
3
;
10,04545... 0,045
22
; Os números decimais não exatos, que possuem uma representação infinita não periódica não podem ser escritos como fração, ou seja, não são racionais. Esses números
formam o conjunto dos números irracionais ( I ).
0,313113111... ; 2 1,4142136... ; 3,141592... O conjunto formado pelos números racionais e pelos
números irracionais é o conjunto dos números reais ( ).
I
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Qual é o valor de 14
0,1111...0,7777...
y
RESOLUÇÃO
14 1 14 1 550,1111... 18
70, 7777... 9 3 3
9
y
GABARITO: 55
3
02) Se 1,333...x e 0,1666...y , então x y é igual a:
a) 7
5
b) 68
45
c) 13
9
d) 4
3
e) 3
2
RESOLUÇÃO
21
1 4 1,6666 131,333... 13 3 10 10 6
x y
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2
4 1 8 1 9 3
3 6 6 6 2x y
GABARITO: D
03) Se p e q são números inteiros quaisquer, com 0q ,
então:
a) p
q é um número inteiro.
b) p
p q é um número inteiro.
c) p q
q
é um número inteiro.
d) p
q é um número inteiro se, e somente se, existir um
inteiro k tal que p kq .
e) Sendo p
q inteiro, tem-se também que
q
p é inteiro.
RESOLUÇÃO
Se exitir k tal que p kq então p kq
kq q .
Por outro lado, se p
kq com k então p kq
GABARITO: D
INTERVALOS O conjunto dos números reais possui subconjuntos importantes, denominados intervalos que são determinados
por meio de desigualdades. Sejam a e b , com a b .
Intervalo aberto de extremos a e b .
] , [ { | }a b x a x b
Intervalo fechado de extremos a e b .
[ , ] { | }a b x a x b
Intervalo aberto à direita (ou fechado à esquerda) de
extremos a e b .
[ , [ { | }a b x a x b
Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de
extremos a e b .
] , ] { | }a b x a x b
Semirreta esquerda, fechada de origem b . ] , ] { | }b x x b
Semirreta esquerda, aberta de origem b . ] , ] { | }b x x b
Semirreta direita, fechada de origem a . [ , ] { | }a x x a
Semirreta direita, aberta de origem a . ] , ] { | }a x x a
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 04) Sendo ] ;3]A , [ 2;0[B e { | 0}C x x , a
alternativa correta é:
a) ( ) ( )A C B C
b) ( )A B C
c) ( ) ( ) { | 3}A B B C x x
d) ( ) { | 2 3}A B C x x
e) ( )A B C
05) Sejam os intervalos reais
{ | 3 7}A x x
{ | 1 5}B x x e
{ | 0 7}C x x
É correto afirmar que:
a) ( )A C B A B
b) ( )A C B C B
c) ( )A B C B
d) ( )A B C A
e) A B C A C
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) (FATEC-SP) Sejam a e b números irracionais quaisquer.
Das afirmações: I. ab é um número irracional. II. ( )a b é um número irracional.
III. ( )a b é um número irracional.
pode-se concluir que: a) As três são falsas. b) As três são verdadeiras. c) Somente (I) e (III) são verdadeiras. d) Somente (I) é verdadeira. e) Somente (I) e (II) são falsas.
RESOLUÇÃO I. Falsa.
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3
Suponha 2a e 1
2b , então
1. 2. 1
2a b .
II. Falsa Suponha 0a b a b a a
III. Falsa Suponha 0a b a b
GABARITO: A MÉDIO 02) (UFRJ) Três números naturais e múltiplos consecutivos de
5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior.Dentre esses números, o maior é: a) Múltiplo de 3 b) Ímpar c) Quadrado perfeito d) Divisor de 500 e) Divisível por 4
RESOLUÇÃO
Sejam 5 , 5 1 , 5( 2)a k b k c k
3 2 15 10 20 4a c k k k .
Logo:
5 4 2 30c .
GABARITO: A MÉDIO 03) (UCDB-MT) Assinale a sentença verdadeira.
a) 0
b) 0,323323332...
c) *
d) 12 e)
RESOLUÇÃO *
{1, 2, 3, ...} {0,1, 2, 3, ...}
GABARITO: C FÁCIL
04) (UNIFOR-CE) Dados os números racionais 500,02.10x , 510,2.10y e 52200.10z , é correto afirmar que:
a) x z y
b) x z y
c) x y z
d) x y z
e) x y z
RESOLUÇÃO 50 520,02.10 2.10x
51 520,2.10 2.10y 52 50200.10 2.10z
GABARITO: E FÁCIL
05) (UFRN) O valor de 2
0,666... é:
a) 0,333..
b) 1,333....
c) 3,333...
d) 3
e) 12
RESOLUÇÃO
2 2 32 3
20, 666... 2
3
GABARITO: D FÁCIL
06) (UNIFOR-CE) A fração a
b, na qual a e b são números
inteiros e 1000b , é equivalente a 3
8. Se b assumir o
menor valor possível, o valor de a será: a) 375 b) 378 c) 379 d) 400 e) 401
RESOLUÇÃO
33 3000
37588 8
1000
baa
ab
b
GABARITO: B MÉDIO
07) (PUCC-SP) Considerando {0,1,2,3,...} ,
* 24{ | , } com A x n n
x e { | 5}B x x ,
podemos afirmar que: a) A B tem 8 elementos.
b) A B tem 4 elementos.
c) A B A
d) A B A
RESOLUÇÃO
e)
* 24{ | , } 1, 2,3, 4,6,8,12, 24A x n n
x com
{ | 5} 0,1, 2,3, 4B x x
1,2,3,4A B
GABARITO: B FÁCIL 08) (PUC) Considere o número inteiro 100.101.102....200P
,produto de 101 números inteiros sucessivos. Ao inscrever-se P como um produto de fatores primos, o número de vezes que o fator 7 aparece é: a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
RESOLUÇÃO
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4
GABARITO: B DIFICIL 09) (UEL-PR) Existem, para doação a escolas, 2000 ingressos
de um espetáculo e 1575 de outro. Cada escola deve receber ingressos para somente um dos espetáculos e todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos. Distribuindo-se todos os ingressos, o número mínimo de escolas contempladas nessa doação é: a) 117 b) 123 c) 128 d) 135 e) 143
RESOLUÇÃO: Sejam:
x o número de ingresso para cada escola.
1k o número de ingressos recebidos por cada escola
para o primeiro espetáculo.
2k o número de ingressos recebidos por cada escola
para o segundo espetáculo. Então
1
1 2
2
20003575
1575
k xk k x
k x
Logo, x é o mdc entre 2000 e 1575.
2000,1575 25mdc e, portanto:
1
1 2
2
80143
63
kk k
k
GABARITO: E
10) (FUVEST-SP) Se 4 1x e 1 2y , então xy e 2
x
estão no intervalo: a) ] 8, 1[
b) 1
] 2, [2
c) ] 2, 1[
d) 1
] 8, [2
e) 1
] 1, [2
11) (COVEST-PE) O produto das idades de três amigos
adolescentes (entre 12 e 19 anos) correspondente a 4080 anos. A soma das idades, em anos, dos adolescentes é a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52
RESOLUÇÃO:
16 15
. . 4080
, , 4080 2.2.2.2.3.5.17
12 , , 19
x y z
x y z
x y z
GABARITO: A
12) (FGV-SP) Sejam ,a b e c números reais quaisquer.
Assinale a afirmação verdadeira:
a) 2 2a b a b
b) . .a b ac bc
c) 2 2a b a
d) c c c
a b a b
e) 2 2a b a b
RESOLUÇÃO:
2 2 2 2| |a a a a b a a
GABARITO: C 13) (UNIFOR-CE) Considerando os conjuntos , dos
números inteiros, e , dos números racionais, qual dos
números seguintes não pertence ao conjunto ( ) ( ) ?
a) 2
3
b) 0,777...
c) 0
d) 3
5
e) 2,0123
RESOLUÇÃO: ( ) ( ) GABARITO: C
14) (PUC-MG) Sendo { | 2 3}A x x e
{ | 2 3}B x x , é correto afirmar que:
a) A B A b) A B
c) A B A d) A B
e) A B B 15) (PUC-MG) Considere os seguintes subconjuntos de
números naturais: {0,1,2,3,...}
{ | 6 20}P x x
{ | } é parA x P x
{ | } é divisor de 48B x P x
{ | } é múltiplo de 5C x P x
O número de elementos do conjunto ( )A B C é
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
16) (UFAC) Considere o subconjunto dos naturais
{ | 6 19}S n n . Então, definindo o conjunto
{ | ( ,3) é um número primo}L s S mdc s , temos:
a) {6,9,12,15,18}L
Comentado [B1]: D
Comentado [G2]: C
Comentado [B3]: D
Comentado [B4]: A
Comentado [G5]: A
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5
b) {6,12,18}L
c) {8,10,12,14,16}L
d) {6,12}L
e) {12,18}L
17) (PUC-MG) Se ] 2;3]A e [0;5]B , então os números
inteiros que estão em B A são: a) -1 e 0 b) 1 e 0 c) 4 e 5 d) 3, 4 e 5 e) 0, 1, 2 e 3
18) (UFAC) O valor da expressão aritmética 3 52,333... 4{2 [25: 0,5 (3.9 2 )]} é:
a) Um número natural. b) Um número inteiro negativo. c) Um número racional. d) Um número irracional. e) Um número real maior que 114.
19) (UFC-CE) Sejam x e y números reais tal que 1 1
4 3x ,
2 3
3 4y e 3 2A x y . Então é correto afirmar que:
a) 4 5
3 2A
b) 3
14
A
c) 4 3
3 4A
d) 3 1
4 3A
e) 1
03
A
20) (UPE) Sejam N, Z, Q e R, respectivamente, os conjuntos
dos números naturais, inteiros, racionais e reais. Assinale a única alternativa FALSA.
a) N Z = N Q
b) Z (N Q) (R N)
c) Z (N Q) (R N)
d) Q N (Z R)
e) Z (N Z) (Z Q)
21) (UNIFOR CE) Dos números abaixo, o único irracional é
a) 4
b) 1253
c) 814
d) 1285
e) 10000006
22) (UFMS) Com base nas propriedades sobre o conjunto dos números reais, é correto afirmar que:
01. 3 125,0 é um número racional.
02. se x e y são números reais tais que 0 < x < 1 e 0 < y <
1, então 2y
1
x
10 .
04. se x e y são número reais tal que x < y, então x2 < y2.
08. se x e y são números reais tal que x > y, então x3 – y3 > 0.
16. 10
7
6
1
5
1
3
1 .
23) (UNIPAR PR) Considere a e b números racionais quaisquer. Podemos afirmar que é INCORRETA a alternativa: a) a/2 será um número racional.
b) a será um número racional.
c) a – b será um número racional. d) a + b será um número racional. e) a x b será um número racional.
24) (UFAL) Em uma escola, exatamente 0,300300300...% dos alunos estudam todos os dias, e exatamente 30,303030...% dos alunos estudam somente durante os exames. Se o número total de alunos da escola é inferior a 4.000, quantos são os alunos? a) 3.661 b) 3.662 c) 3.663 d) 3.664 e) 3.665
25) (UFOP MG) O valor simplificado da expressão
7
324,3...)1999,0(:0048,0
5
4 54 é:
a) 1,7 b) 2 c) –3,025 d) –4
26) (UPE) Considere as afirmações sobre os números reais.
00. Se R e ba com a > b, então 22 ba 01. Se a e b são números irracionais, então a + b é um
número irracional. 02. Se R e ba com a > b, então c b c a , para todo
número real c 03. Se ab = 0, então a = 0 e b = 0 04. O subconjunto do conjunto solução da equação
01a
1a
2
possui um único elemento.
27) (FUVEST SP) Dados dois números reais a e b que
satisfazem as desigualdades 1 a 2 e 3 b 5, pode-se afirmar que:
a) 5
2
b
a
b) 3
2
b
a
c) 3
2
b
a
5
1
d) 2
1
b
a
5
1
e) 5b
a
2
3
28) (UEPB) Em 1872, o matemático alemão Richard
Dedekind (1831-1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais, que a
Comentado [G6]: C
Comentado [G7]: C
Comentado [G8]: D
Comentado [T9]: Gab: B
Comentado [T10]: Gab: D
Comentado [T11]: Gab: 25
Comentado [T12]: Gab: B
Comentado [T13]: Gab: C
Comentado [T14]: Gab: B
Comentado [T15]: Gab: FFFFV
Comentado [T16]: Gab: C
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6
geometria sugerira há mais de vinte séculos.Os números racionais se opõem aos números irracionais. Qual é a alternativa verdadeira?
a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional.
b) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional.
c) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional.
d) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.
e) O quadrado de um número irracional é um número racional.
29) (FUVEST SP) A diferença entre 3
1 e seu valor aproximado
0,333 e igual a x% do valor exato. Então o valor de x é: a) 0,0001 b) 0,001 c) 0,01 d) 0,1 e) 0,3
30) (PUC RJ) O valor de 0,444... é:
a) 0,222... b) 0,333... c) 0,444... d) 0,555... e) 0,666...
GABARITO
01) A 02) A 03) C 04) E 05) D
06) B 07) B 08) B 09) E 10) D
11) A 12) C 13) C 14) D 15) A
16) A 17) C 18) C 19) D 20) B
21) D 22) 25 23) B 24) C 25) B
26) 04 27) C 28) B 29) D 30) E
Comentado [T17]: Gab: B
Comentado [T18]: Gab: D
Comentado [T19]: Gab: E
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