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Imersão Matemática - Trigonometria
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1. (Fuvest) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:
2V(t) log (5 2 sen( t)), 0 t 2,π
em que t é medido em horas e V(t) é medido em
3m . A pressão máxima do gás no intervalo de tempo
[0, 2] ocorre no instante
a) t 0,4 b) t 0,5 c) t 1 d) t 1,5 e) t 2 2. (Unicamp) Seja x um número real, 0 x 2,π tal
que a sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão
aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a a) 1. b) 5 4.
c) 4 3.
d) 1 3.
3. (Mackenzie) O número de soluções que a equação
24 cos x cos2x cosx 2 admite no intervalo
[0, 2 ]π é
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4. (Unicamp) Considere o triângulo exibido na figura
abaixo, com lados de comprimentos a, b e c e
ângulos ,α β e .γ
a) Suponha que a sequência ( , , )α β γ é uma
progressão aritmética (PA). Determine a medida do
ângulo .β
b) Suponha que a sequência (a, b, c) é uma
progressão geométrica (PG) de razão q 2.
Determine o valor de tan .β
5. (Mackenzie) Os gráficos das funções f(x) sen 4x
e g(x) cos 3x, para 0 x ,π se interceptam em
a) cinco pontos. b) quatro pontos. c) três pontos. d) dois pontos. e) apenas um ponto. 6. (Mackenzie) A soma das raízes da equação
cos2x cos4x 0, no intervalo [0, ],π é
a) 0
b) 2
π
c) π
d) 3
2
π
e) 2
3
π
7. (Mackenzie) Seja Se
e então x vale
a) somente 1 b) somente –1 c) –1 ou 0 d) –1 ou 1 e) 1 ou 0 8. (Fuvest) O triângulo AOB é isósceles, com
OA OB, e ABCD é um quadrado. Sendo θ a
medida do ângulo ˆAOB, pode-se garantir que a área
do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados: tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679
tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317
a) 14 28θ b) 15 60θ c) 20 90θ d) 25 120θ e) 30 150θ 9. (Unesp) Determine o período da função f( )θ dada
pela lei de formação 1 2
f sen 1.5 3 3
πθ θ
10. (Mackenzie) Em , o domínio da função f,
definida por sen 2x
f(x) ,sen x
é
a) x | x k , kπ
b) x | 2k x 2k , kπ π π
c) 3
x | 2k x 2k , k2 2
π ππ π
2g x x xcos sen .β β
g x 03
,2
πβ
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d)
3x | 2k x 2k 2k x 2 2k , k
2 2
π ππ π π π π
e)
3x | 2k x 2k 2k x 2 2k , k
2 2
π ππ π π π π
11. (Unifesp) A sequência (12,a,b), denominada S1, e
a sequência (c,d,e), denominada S2, são progressões aritméticas formadas por números reais. a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo
de S1, a nova sequência de três números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa PG.
b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S2, a nova sequência que se forma tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine a razão r de S2, para o
caso em que r .2
ππ
12. (Fuvest) Sejam α e β números reais com
2 2π α π e 0 .β π Se o sistema de
equações, dado em notação matricial,
03 6 tg,
6 8 cos 2 3
α
β
for satisfeito, então α β é igual a
a) 3
π
b) 6
π
c) 0
d) 6
π
e) 3
π
13. (Mackenzie) O maior valor que o número real
10
sen x2
3
pode assumir é
a) 20
3
b) 7
3
c) 10 d) 6
e) 20
7
14. (Fuvest) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação
(cos2α) x2 - (4 cosα senβ) x +3
2
senβ = 0,
sendo á e â os ângulos agudos indicados no triângulo
retângulo da figura a seguir.
Pode-se então afirmar que as medidas de α e β são,
respectivamente,
a) 8
π e
3
8
π
b) 6
π e
3
π
c) 4
π e
4
π
d) 3
π e
6
π
e) 3
8
π e
8
π
15. (Fuvest) No quadrilátero plano ABCD, os ângulos
ˆABC e ˆADC são retos, AB AD 1, BC CD 2 e
BD é uma diagonal.
O cosseno do ângulo ˆBCD vale
a) 3
5
b) 2
5
c) 3
5
d) 2 3
5
e) 4
5
16. (Fuvest) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na
figura, a hipotenusa AC mede 12cm e o cateto BC
mede 6cm.
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Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do
ângulo MAC é igual a
a) 2
7
b) 3
7
c) 2
7
d) 2 2
7
e) 2 3
7
17. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de
raio R e ângulo central .θ
a) Para 60 ,θ determine a razão entre as áreas do
círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r. 18. (Unesp) A figura representa a vista superior do
tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar
retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O
ponto P, localizado em AB, representa a posição de
uma bola de bilhar, sendo PB 1,5 m e PA 1,2 m.
Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta
colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do
ângulo PTB igual 60 . Após essa colisão, a bola
segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D.
Nas condições descritas e adotando 3 1,73, a
largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de a) 2,42. b) 2,08. c) 2,28. d) 2,00. e) 2,56.
19. (Unicamp) Considere um hexágono, como o
exibido na figura abaixo, com cinco lados com
comprimento de 1cm e um lado com comprimento de
xcm.
a) Encontre o valor de x.
b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.
20. (Fuvest) Uma bola branca está posicionada no
ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo.
A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do
segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L
mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser
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refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q,
forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o
mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois
da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de
.θ
21. (Unesp) O conjunto solução (S) para a inequação
22 cos x cos(2x) 2, em que 0 x ,π é dado por:
a) S x (0, ) | 0 x6
ππ
ou 5
x6
ππ
b) 2
S x (0, ) | x3 3
π ππ
c) S x (0, ) | 0 x3
ππ
ou 2
x3
ππ
d) 5
S x (0, ) | x6 6
π ππ
e) S x (0, )π
22. (Unicamp) Seja x real tal que cos x tg x. O
valor de sen x é
a) 3 1
.2
b) 1 3
.2
c) 5 1
.2
d) 1 5
.2
23. (Unicamp) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km. 24. (Unesp) Sabendo-se que
2 2cos 2x cos x – sen x, para quais valores de x a
função 1
f x cosx cos 2x2
assume seu valor
mínimo no intervalo 0 x 2 ?π
25. (Fuvest)
Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do
guindaste. O braço 1OP tem comprimento 6 e o braço
1 2P P tem comprimento 2. Num dado momento, a
altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor do que P1
e a distância de O a P2 é 2 10. Sendo Q o pé da
perpendicular de P2 ao plano do chão, determine
a) o seno e o cosseno do ângulo 2ˆP OQ entre a reta
2OP e o plano do chão;
b) a medida do ângulo 1 2ˆOP P entre os braços do
guindaste;
c) o seno do ângulo 1ˆP OQ entre o braço 1OP e o
plano do chão. 26. (Fuvest) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente,
Dados: 3 1,73; 2 1 cossen .
2 2
θ θ
a) 7 m b) 26 m c) 40 m d) 52 m e) 67 m 27. (Unicamp) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contém
água até a altura 3
.4
a Inclina-se lentamente o cubo,
girando-o em um ângulo θ em torno de uma das
arestas da base, como está representado na figura abaixo.
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a) Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a água começar a derramar, determine a
tangente do ângulo θ .
b) Considerando, agora, a inclinação tal que
tan( ) 1/4, com 0 /2,θ θ π calcule o valor
numérico da expressão cos(2 ) sen(2 ).θ θ
28. (Fuvest)
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o
comprimento do lado BC mede 15 /5 , o ângulo
interno de vértice C mede α , e o ângulo interno de
vértice B mede 2α . Sabe-se, também, que
2 cos(2 ) 3cos 1 0α α
Nessas condições, calcule
a) o valor de sen α ;
b) o comprimento do lado AC .
29. (Fuvest) O número real x, com 0 x , satisfaz
a equação 3 3log (1 cosx) log (1 cosx) 2 .
Então, cos2x sen x vale
a) 1
3
b) 2
3
c) 7
9
d) 8
9
e) 10
9
30. (Fuvest) Sejam x e y números reais positivos tais
que x y2
. Sabendo-se que 1sen y x3
, o
valor de 2 2tg y tg x é igual a
a) 3
2
b) 5
4
c) 1
2
d) 1
4
e) 1
8
31. (Unesp) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo.
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura é:
a) 2 3
V t sen t .5 5
b) 3 5
V t sen t .5 2
c) 2
V t 0,6cos t .5
d) 2
V t 0,6sen t .5
e) 5
V t cos 0,6t .2
32. (Fuvest) Sejam x e y dois números reais, com
0 x2
π e y ,
2
ππ satisfazendo
4seny
5 e
11senx 5cos(y x) 3.
Nessas condições, determine
a) cos y.
b) sen2x.
33. (Fuvest) A figura representa um quadrado ABCD
de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede 5
,4
o
ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo
BAE. Nessas condições, o segmento DE mede
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a) 3 5
40
b) 7 5
40
c) 9 5
40
d) 11 5
40
e) 13 5
40
34. (Unifesp) Seja f a função (determinante) dada
por
cos(x) sen(x)
f(x) ,sen(x) cos(x)
com x real.
a) Num sistema cartesiano ortogonal, construa o
gráfico de y f(x).
b) Determine os valores de x para os quais
1f(x) .
f(x)
35. (Fuvest) Seja x no intervalo 0, 2
π
satisfazendo
a equação
tg x + 2
5
sec x= 3
2
.
Assim calcule o valor de:
a) sec x.
b) sen x . 4
π
36. (Fuvest) Para se calcular a altura de uma torre,
utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura:
um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no
solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio
em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo
determinado entre o raio e o solo foi de á =3
π
radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros
em direção à torre e o ângulo então obtido foi de â
radianos, com tg â = 3 3 .
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é
a) 4 3
b) 5 3
c) 6 3
d) 7 3
e) 8 3
37. (Unesp) Dois edíficios, X e Y, estão um em frente
ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé do
edifício X (ponto P), mede um ângulo á em relação ao
topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no topo do
edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem
um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse
observador mede um ângulo â em relação ao ponto Q
no edifício Y.
Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 tg α
= 4 tg β, a altura h do edifício Y, em metros, é:
a) 40
3.
b) 50
4.
c) 30. d) 40. e) 50.
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Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Pela equação de Clapeyron (da Química):
PV nRT
P pressão
V volume
n quantidade de matéria (nº mols)
R constante universal dos gases
T temperatura
Assim, percebe-se que pressão e volume são inversamente proporcionais: a pressão do gás é máxima quando o volume é mínimo. Como a função logarítmica dada é sempre crescente, o volume será mínimo quando o logaritmando for mínimo. Ou seja:
mín
logaritmando (5 2 sen( t))
f (t) 5 2 sen( t) sen( t) deve ser mínimo
3 3 3t 2k t 2k t 1,5
2 2 2
π
π π
ππ π
Resposta da questão 2: [D] Calculando:
1 2 3 2 1 3
2
2 2 2 2
PA a , a , a 2a a a
1 senx2sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cosx 2 sen x 2 2cosx
cos x cosx
sen x 1 cos x
1 cos x 2 2cosx 1 cos x 4 8cosx 4cos x 5cos x 8cosx 3 0
3cosx ou cos x 1 (não convém)
5
5 4sec x ; tgx
3 3
5 4 1PA r r
3 3 3
Resposta da questão 3: [D]
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2
sen x
2
2
4cos x cos2x cos x 2
4cos x cos x sen x cosx 2
4cos x cos x sen x cosx 2
3cos x 1 cos x cosx 2
2cos x cosx 1 0
1 1 4 2 1cosx
2 2
1cosx
2 ou cosx 1
De 1
cosx , x 0,2 ,2
π
x3
π ou
5x .
3
π
De cos x 1, x 0,2 ,π
x .π
Assim, a equação
24cos x cos2x cosx 2, x 0,2 ,π admite três
soluções. Resposta da questão 4:
a) Se ( , , )α β γ é uma PA, então a soma de seus
termos será 180, pois a soma dos ângulos internos
de um triângulo é sempre 180 . Assim, pode-se
escrever:
PA ( , , ) ( r, , r)
r r 3S 180 180 3 60
2
α β γ β β β
β ββ β
b) Se (a, b, c) é uma PG de raiz q 2, então pode-
se escrever:
PG (a, b, c) (a, a 2, 2a)
Pela lei dos cossenos, tem-se:
2 22 2 2 2 3
a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos4
β β β
Pela relação fundamental:
2 2 2 29 7 7sen cos 1 sen 1 sen sen
16 16 4β β β β β
Por fim, calculando a tangente:
7sen 7 4 74tg tg
3cos 4 3 3
4
ββ β
β
Resposta da questão 5:
[A] As abscissas dos pontos de interseção dos gráficos de
f e g são tais que
f(x) g(x) sen4x cos3x
sen4x sen 3x2
2kx , k
14 7
ou .
x 2k , k2
π
π π
ππ
Portanto, tomando 0 k 3, obtemos
5 9 13x , , , , ,
2 14 14 14 14
π π π π π correspondendo, assim, a
cinco pontos de interseção. Resposta da questão 6: [D]
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Lembrando que 2cos4k 2cos 2k 1, vem
2cos2x cos4x 0 2cos 2x cos2x 1 0
1cos2x ou cos2x 1
2
e
x [0, ]
5x ou x ou x .
6 2 6
π
π π π
Por conseguinte, a resposta é 5 3
.6 2 6 2
π π π π
Resposta da questão 7:
[D]
Sabendo que e vem
Resposta da questão 8:
[E]
Considere a figura, em que M é o ponto médio do
lado AB.
Do triângulo retângulo OMB, obtemos
BM ABtgMOB MO .
MO 2tg2
θ
Sem perda de generalidade, suponhamos que
AB 1. Assim,
AB MO 1(AOB) .
24 tg
2
θ
A área do quadrado ABCD é maior do que a área do
triângulo AOB se
2 1(ABCD) (AOB) 1
4 tg2
1tg 0,25.
2 4
θ
θ
Logo, como tg15 0,2679 0,25 e 0 180 ,θ
vem que 30 180 .θ Note que
]30 ,150 [ ]30 ,180 [.
Resposta da questão 9:
2 2
P 32m
3
π ππ
Resposta da questão 10:
[D]
O maior subconjunto dos números reais para o qual f está definida é tal que
sen2x 2senxcosx0 0.
senx senx
Como senx 0 para x k ,π k , vem
2senxcosx0 cosx 0.
senx
Portanto, o resultado pedido é
3D(f) x | 2k x 2k 2k x 2 2k , k
2 2
π ππ π π π π
Resposta da questão 11:
a) Como (12, a,b) é uma progressão aritmética,
segue que
b 12
a b 2a 12.2
Além disso, sabendo que (12, a 1,b 5) é uma
progressão geométrica crescente, vem
2 2
2
(a 1) 12 (b 5) a 2a 1 12 (2a 7)
a 22a 85 0
a 17.
Portanto, a razão pedida é dada por
a 1 17 1
12 12
3.
2
b) Como (c, d, e) é uma progressão aritmética, segue
que e 2d c e r d c. Daí, sabendo que
senc send sene 0 e send 0, vem
sen(2d c) senc send 0
2d c c 2d c c2 sen cos send 0
2 2
2 send cos(d c) send 0 send (2 cosr 1) 0
1cosr
2
2r ,
3
π
3cos 0
2
π
3sen 1,
2
π
2 23 3x x cos sen 0 x 1 0
2 2
x 1.
π π
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pois r .2
ππ
Resposta da questão 12:
[B] Efetuando o produto matricial, vem
0 3 tg 6cos 03 6 tg
6 8 cos 2 3 6 tg 8cos 2 3
3 tg 6cos 0
3 tg 4cos 3
2cos 3
3cos
2
rad.6
Desse modo,
3tg 6cos 0 tg 36
rad3
e, portanto,
rad.3 6 6
Resposta da questão 13:
[D]
O número 10
sen x2
3
assume o seu maior valor
quando sen x for máximo, ou seja, quando senx 1.
Por conseguinte, o resultado pedido é
10 10 106.
sen x 1 52 2
3 3 3
Resposta da questão 14:
[D] Resposta da questão 15:
[C] Considere a figura.
Do triângulo ACD, pelo Teorema de Pitágoras,
encontramos
2 2 2 2 2AC AD CD AC 1 2
AC 5.
Desse modo, vem
CD 2cos ACD cos ACD .
AC 5
Como os triângulos ACD e ACB são congruentes por
LAL, segue que BCD 2 ACD e, portanto,
2
2
cosBCD 2 cos ACD 1
22 1
5
3.
5
Resposta da questão 16: [B]
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC,
vem
2 2 2 2 2 2AC AB BC AB 12 6
AB 108
AB 6 3 cm.
Do triângulo ABM encontramos
BM 3 3tgBAM tgBAM .
6AB 6 3
É fácil ver que tgBAC 2 tgBAM. Logo, obtemos
2
2
tgMAC tg(BAC BAM)
2 tgBAM tgBAM
1 2 tgBAM tgBAM
tgBAM
1 2 tg BAM
3
6
31 2
6
3 6
6 7
3.
7
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Resposta da questão 17: a) Considere a figura.
Como o círculo e o setor são tangentes
internamente, temos AC R, OB OC r e
BAO 30 . Logo, segue que
AO AC OC R r. Portanto, do triângulo ABO,
vem
OB rsenBAO sen30
R rAO
r 1
R 3
Em consequência, a razão pedida é igual a
22
2
r r 26 .
60 R 3R
360
π
π
b) Se R 4r, então, do triângulo ABO, obtemos
r 1sen sen .
2 R r 2 3
θ θ
Por conseguinte, vem
2
2
cos 1 2sen2
11 2
3
7.
9
θθ
Resposta da questão 18:
[A]
Vamos supor que PTB DTC. Assim, do triângulo
BPT, vem
BP 1,5tgPTB BT m.
1,73BT
Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos
CD 2,7tgCTD CT .
1,73CT
Em consequência, segue que o resultado pedido é
4,2BT CT 2,43 m.
1,73
Resposta da questão 19:
a) Considere a figura.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos
ABC, ACD, ADE e AEF, vem
2 2 2 2 2AC AB BC 1 1 2,
2 2 2 2AD AC CD 2 1 3,
2 2 2 2AE AD DE 3 1 4
e
2 2 2 2 2AF AE EF x 4 1
x 5 cm.
b) É imediato que BAC 45 .
Do triângulo ACD, temos
CD 1tgCAD CAD arctg 45 .
2AC
Do triângulo ADE, vem
DE 1tgDAE DAE arctg 30 .
3AD
Do triângulo AEF, segue
EF 1tgE AF E AF arctg 30 .
4AE
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Portanto, tem-se
BAC CAD DAE EAF
45 45 30 30
150 .
α
Resposta da questão 20:
Considere a figura, em que P' e Q' são,
respectivamente, os simétricos de P e Q em relação
a RT, com T pertencente a L.
Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R,
segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'.
Logo, RS 2 ST e, portanto, RT 3 ST.
Do triângulo PRT, vem
PTtg60 PT 3 3 ST
RT
e
PT 3 3 STsen60 PR
3PR
2
PR 6 ST.
Do triângulo PST, obtemos
PT 3 3 STtg tg
ST ST
tg 3 3.
α α
α
Sabendo que 2 2cossec 1 cotgα α e que α é
agudo, encontramos
22 1 27
cossec 1 sen283 3
3 21sen .
14
α α
α
Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo
QRS, vem
PRQR RS 2 ST2
sen sen sen3 21
14
21sen .
7
α θ θ
θ
Resposta da questão 21: [A]
2
2 2 2
2 2 2
2
2cos x cos 2x 2
2cos x cos x – sen x 2
2cos x cos x – 1– cos x 2
4cos x – 3
3 3cosx ou cosx
2
0
2
Logo, o conjunto solução será:
5S x (0, ) | 0 x ou x
6 6
π ππ π
Resposta da questão 22: [C]
Sabendo que senx
tgx ,cosx
com x k2
ππ e
2 2cos x 1 sen x, vem
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2
2
2
senxcosx tgx cosx
cosx
cos x senx
sen x senx 1
111senx
42
1 5senx
2 2
5 1senx .
2
Resposta da questão 23: [A] h = altura do avião ao ultrapassar o morro.
htan 15 h 3,8 tg 15
3,8
Resposta da questão 24:
2 2
2 2
2
1f x cosx cos 2x
2
1f(x) cosx cos x sen x
2
1f(x) cosx (cos x 1 cos x)
2
1f(x) cos x cosx
2
Temos uma função do segundo grau na variável cosx. O valor do cosx para que f(x) seja mínimo será dado por:
1 1cosx cosx
2 1 2
Portanto, para
2 40 x 2 ,a função f(x) assume valor mínimo para x ou x = .
3 3
π ππ
Resposta da questão 25:
a) 22 1 10
sen P ÔQ .102 10 10
10
103
100
90
100
101
10
101QOPcos
2
2
b) 2 2 2
1 2 2 1 2 1ˆOPP 90 , pois OP PP OP
c) 1 2 2 1 2 2ˆ ˆOPP OP Q, logo P OP P OQΔ Δ α
12 6 6 3ˆEntão, sen P OQ sen 2 2sen cos 2 .
10 52 10 2 10α α α
Resposta da questão 26: [B] Considere a figura, em que h é a diferença pedida.
Sabendo que 3
cos30 ,2
vem
2 2
31
30 1 cos30 2sen sen 152 2 2
2 1,73sen15
2
1 27sen15
2 100
1 3 1,73sen15
2 10
sen15 0,26.
Portanto,
h 100 sen15 100 0,26 26 m.
Resposta da questão 27:
a) Observando a figura abaixo, temos no triângulo assinalado:
a a14 4tg
a 2θ
b) Se tan( ) 1/4, com 0 /2,θ θ π temos:
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2 2
2 2
1 4sen e cos
17 17
Logo, cos2 sen2 cos sen 2.sen .cos
4 1 1 4 16 1 8 72. .
17 17 17 1717 17 17 17
θ θ
θ θ θ θ θ θ
Resposta da questão 28: a) Observe o cálculo a seguir:
2 2
2
2
2
2.cos(2 ) 3.cos 1 0
2.(cos sen ) 3.cos 1 0
2.(2.cos 1) 3.cos 1 0
4cos 3.cos 1 0
25
1cos3 5
cos 48
cos 1(não coném)
1 15logo, sen = 1
4 4
α α
α α α
α α
α α
Δ
αα
α
α
b) traçando uma reta r representada na figura, temos:
15 5x
10cosx
15 5x1 10
4 x
10x 4 15 20x
30x 4 15
2 15x
15
α
Resposta da questão 29: [E]
3 3
23
2 2
2
2
log (1 cosx) log (1 cosx) 2
log (1 cos x) 2
1 cos x 3
11 cos x
9
8cos x
9
Portanto,
2 2
2 2
8 1 1sen x 1 sen x senx (0 x )
9 9 3
Calculando o valor pedido, temos:
8 1 1 10cos2x senx cos x sen x senx
9 9 3 9
π
Resposta da questão 30:
[A] Como x e y são arcos complementares senx = cos y , seny = cosx e tgx = 1/tgy
sen (y – x ) = 1
3
seny.cosx – senx.cosy = 1
3
cosx.cosx – senx.cosx = 1
3
cos2x – sen2x = 1
3
cos2x – ( 1- cos2x) = 1
3
2.cos2x = 1
3+ 1
cos2x = 2
3
e sen2x = 1 – cos2x
logo sen2x = 1
3
e tg2x =
113
2 2
3
logo, tg2y = 2 Portanto: tg2y – tg2 x = 2 – ½ = 3/2 Resposta da questão 31:
[D]
O período da função é 2 2
5 5
π π.
Como as taxas de inalação e exalação são 6, temos a função :
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2y 0,6 sen .x
5
π. A função não poderia ser
2y 0,6 cos .x
5
π, pois, se x for zero, o y deveria
ser 0,6. Resposta da questão 32:
a) 2
2 24 9 3 3cos y 1 cos y cosy cosy
5 25 5 5
(segundo quadrante)
b) Desenvolvendo a expressão
11senx 5cos(y x) 3, temos:
2
11 senx 5(cos y cos x senx seny) 3
3 411senx 5 cos x senx 5 3
5 5
11senx 3cos x 4senx 3
15senx 3cos x 3 (dividindo por 3)
5senx cos x 1
5senx 1 cos x (elevando os dois membros ao quadrado)
25sen x 1 2 co
2
2 2
sx cos x
25(1 cos x) 1 2 cos x cos x
Desenvolvendo temos:
213cos x cos x 12 0, resolvendo temos
12cosx
13 ou cosx 1 (não convém)
22 12 5
sen x 1 senx13 13
ou
5senx
13
(não convém)
Sabendo que sen2x 2 senx cosx, temos:
5 12 120sen2x 2
13 13 169
Resposta da questão 33: [D]
2 2
554tg
1 4
5 2 52
2 tg 8 54 4tg(2 )11 111 tg 5
1 164
1 1 11tg(90 2 )
tg(2 ) 8 5 8 5
11
α
αα
α
αα
No triângulo ADE, temos:
11 DE 11 5DE
1 408 5
Resposta da questão 34:
a)
b) k
x , k2
π
Resposta da questão 35:
a) 5
2
b) 3 10
10
Resposta da questão 36:
[C] Resposta da questão 37:
[D]