Notas sobre Lucas 1973 “Some international evidence on output-inflation tradeoffs”

Manuel Calderón1, UBA2 de Oct. 2015

1) Las preguntas empíricas que se plantea Lucas

“Does the natural rate theory lead to expressions of the output inflation relationship which perform satisfactorily in an econometric sense for all, or most, of the countries in the sample”

“What testable restrictions does the theory impose on this relationship?”

“Are these restrictions consistent with recent experience?”

2) Las presunciones de Lucas

“Nominal output is determined on the aggregate demand side of the economy, with the division into real output and the price level largely dependent on the behavior of suppliers of labor and goods”

“Partial ‘rigidities’ which dominate short-run supply behavior result from suppliers’ lack of information on some of the prices relevant to their decisions”

“Inferences on these relevant, unobserved prices are made optimally (or ‘rationally’) in light of the stochastic character of the economy”

3) Implicancias observacionales de estas presunciones

“Theories developed along these lines [natural rate theory] will […] link supply parameters to parameters governing the stochastic nature of demand shifts”.

1 mcalderon@ucema.edu.ar

1

4) Nociones de estadística usadas por Lucas para modelar el comportamiento óptimo de agentes con información imperfecta

Proyección, esperanza condicional y regresión lineal

Consideremos dos variables aleatorias (o vectores) x e y; se define la proyección de y sobre el espacio , a la variable aleatoria (o vector) :

Donde los coeficientes y se determinan a partir de minimizar la esperanza de la diferencia entre el vector y y el vector elevada al cuadrado, es decir:

Las condiciones de primer orden de esta maximización son:

que dan lugar al sistema de ecuaciones normales dado por:

De donde obtenemos que:

Si definimos la relación entre las variables x e y como , donde u es una variable aleatoria independiente de x que cumple que y , entonces

vale que y también que (por ser

). También vale (por ser independientes) que . Por lo tanto, vale que:

2

Vemos entonces que la proyección es igual a la esperanza condicional cuando la relación entre x e y es de la forma .

El problema de la “extracción de señal”

Supongamos que queremos estimar una variable aleatoria s (señal) que no observamos directamente o que se nos revela junto a un “ruido” o “error de medición” n, en base a la observación de otra variable aleatoria x. Es decir, la variable x que observamos está definida como:

Donde , , , , y suponemos que la señal y el

ruido son variables aleatorias independientes, lo que implica que . Estos

supuestos a su vez implican que , pues .

En base a la observación de x, la mejor estimación que podemos tener de s es la proyección de s en x (la proyección minimiza la “distancia” entre s y x, es decir, es el mejor estimador de s en base a la información de x):

Donde y

Demostración:

Si conocemos los valores de los parámetros , y entonces a partir de observaciones de x podemos proyectar (o estimar) los valores de s, a partir de la fórmula

.

3

5) El modelo de Lucas (“modelo de las islas”)

Los agentes del modelo son racionales, sus decisiones dependen de los precios relativos solamente (no de los absolutos) pero operan en una situación económica en donde no pueden distinguir cambios en precios relativos de cambios en el nivel general de precios.

Los productores (‘suppliers’) están localizados en una gran cantidad de mercados competitivos y aislados, indexados por la variable z (en este modelo z es continua)

La demanda de bienes en cada período es distinta en cada mercado, lo que ocasiona cambios tanto del nivel general de precios como de los precios relativos entre los diferentes mercados.

La oferta en el mercado z en el período t (expresada en logs) es:

donde: , es el ‘componente secular’ que depende de la acumulación de capital y la población de toda la economía

, es el ‘compo-nente cíclico’ que depende del precio relativo del mercado z tal como es percibido por los productores del mercado z dado su conjunto de información , y de su nivel rezagado un período, con , dado que es una desviación de la tendencia secular , y por lo tanto tiene que tener una dinámica convergente.

El precio del bien producido en el mercado z (observado sólo por los productores localizados en z), está dado por , donde z es independiente de , y

. Es decir, los productores de z saben que el precio de su producto es la suma de dos componentes independientes, pero no pueden diferenciar por separado sus valores, es el problema de la extracción de señal: basados en e , los productores van a estimar , para a su vez estimar su precio relativo , y en base a esta estimación decidir su nivel de producción.

El conjunto de información que tienen los productores de z es

, es decir, los productores tienen toda la información

del pasado. Esto les permite tener una distribución a priori de , que es común a los productores en todos los mercados. Se supone que esta distribución a priori es

, con conocida y donde es una función conocida de .

4

A partir de esto, tenemos que:

Por lo tanto:

Expectativas (racionales) de los productores

Los productores de z utilizan su información para calcular la distribución de condicional a su información . La distribución condicional es normal con esperanza condicional igual a:

Esto es así porque y tienen distribución normal conjunta.

Donde:

Por lo tanto, reemplazando esto en la expresión para tenemos que:

La curva de oferta en el mercado z es entonces:

5

Donde: ,

,

donde es la densidad de z

Función de oferta agregada:

Integrando respecto de z (“agregando” las funciones de oferta en todos los mercados, obtenemos la función de oferta agregada:

La solución del modelo (ver apéndice para una descripción detallada de la forma de encontrarla) se puede expresar en términos de dos ecuaciones diferenciales, una para el nivel (en logaritmos) del producto real (medido como desviación del producto tendencial), y otra para la inflación:

Donde es el incremento de la demanda agregada nominal. Esta variable captura la política de demanda expansiva de un gobierno. El valor del parámetro indica que tan exitosa es una variación de la demanda nominal para mover el producto real. Este parámetro depende de los otros de la siguiente manera:

6

Suponiendo que los valores de y son relativamente estables, tenemos que a medida que aumenta (la varianza del incremento de la demanda nominal), el valor de tiende a cero, es decir, a mayor volatilidad del incremento de la demanda agregada nominal, menor es la capacidad de esta demanda de incrementar el producto real por sobre su tendencia de largo plazo.

6) Evidencia empírica del modelo de las “islas” de Lucas

Para una muestra de países con datos sobre producto real y nominal desde 1960 a 2014 (World Bank) se estiman los parámetros y obteniéndose una relación del tipo de la indicada por Lucas: una relación decreciente entre (efecto del incremento de la demanda agregada nominal sobre el producto real) y (varianza del incremento de la demanda agregada nominal).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

varianza del incremento de la demanda agregada nominal

efec

to d

el in

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ento

de

la d

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greg

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pro

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ARG

AUS

AUT

BEL

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COL

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FRA

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IDNISR

ITA

JPN

KOR

MYS

MEX

NLD

NOR

PAK

PRY

PRT

PER

SGP

ZAF

ESP

SWE

TUR

USA

URY

GBR

7

Evolución temporal del componente cíclico en Argentina y otros países

1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cic

lo

ARGUSA

1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cic

lo

ARGAUS

1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Cic

lo

ARGCAN

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Apéndice

1. Distribución normal bivariada

Si , con y , es decir si la función de

densidad conjunta de está dada por:

Donde

Entonces la distribución condicional de Y respecto de X también es normal:

Es decir, la esperanza de Y condicional a X es:

Y la varianza de Y condicional a X es:

Notemos que, en este caso, mientras que la esperanza de Y condicional a X es una función de X, la varianza de Y condicional a X no lo es, es decir, es constante.

2. Derivación de la solución para e por el método de Muth (coeficientes indeterminados)

El conjunto de información que tiene cada productor en cada “isla” en el período t consiste en , y la forma de la solución para es:

9

es la esperanza de condicional a , es decir, , de forma que:

Pero , donde

podemos decir que porque son independientes e idénticamente

distribuidos para todo t. Reemplazando entonces en la expresión

para , tenemos que:

Reemplazando la función de oferta agregada real en la condición de equilibrio entre el logaritmo de la oferta agregada nominal y el logaritmo de la demanda agregada nominal dada por , obtenemos la condición de equilibrio:

Reemplazando en esta ecuación las soluciones propuestas para y , y usando las

definiciones de e para expresar

Dado que esta condición de equilibrio debe cumplirse para todos los valores de las variables, es decir, la parte izquierda debe igualar a la parte derecha sean cuales sean los valores de las variables, los valores de los coeficientes de cada variable a izquierda y derecha de la identidad deben ser iguales (al igual que el término constante a ambos lados), es decir:

10

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

De (2) obtenemos que , y reemplazando esta solución en (1) y en (3)

tenemos que y , las condiciones (4), (5), (6) y (7) dan los

valores de equilibrio del resto de los parámetros. Por lo tanto, reemplazando los valores de estos parámetros en la solución propuesta para y en la expresión correspondiente para , obtenemos que:

Reemplazando luego estas expresiones en la ecuación para ,

11

A partir de estas soluciones y definiendo obtenemos las ecuaciones (11) y

(12) de Lucas, que representan la dinámica del producto real cíclico y la inflación :

Es decir, obtenemos el sistema de ecuaciones en diferencias dado por:

(11)

(12)

3. Sesgo de estimación en presencia de “errores de medición”

12

El problema de extracción de señal está vinculado al problema de los errores de medición. Un caso típico de este problema es el que consiste en una estructura del tipo:

Donde las variables y y x son observables, mientras que las variables , y u son no observables, y vale que y , , ,

, y . Notemos también que , por ser y u independientes. La variable u es el “error de medición” contenido en la variable x.

Estructura verdadera de relaciones “no observables”

Dado que sólo se observan x e y, la ecuación que podrá estimarse es:

Pero dada la estructura de relaciones, el error w no es independiente del regresor x, dado que reemplazando (2) en (1) tenemos:

es decir: y , por lo tanto, el “error de medición” u afecta tanto al término de error w y a la variable explicativa x en la regresión de y en x:

´

Estimación a partir de relaciones observables pero “incorrectamente especificadas”

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x

y

x

u

El estimador de mínimos cuadrados de es:

Cuanto más grande es la varianza del “error de medición” en relación a la varianza de la variable no observable , más sesgado hacia el 0 es el valor del estimador de mínimos cuadrados.

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y

xw

ux